Números complejos o imaginarios

Transcripción

1 Números complejos o imaginarios Unidad imaginaria Se llam a así al número y se designa por la letra i. Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un núm ero real i es la unidad im aginaria Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. x = 0

2 Potencias de la unidad imaginaria i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determ inada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. i 2 2 i 2 2 = (i 4 ) 5 i 2 = 1 i 2 7 = i Números complejos en forma binómica Al núm ero a + bi le llam amos número complejo en forma binómica. El núm ero a se llama parte real del número complejo. El núm ero b se llama parte imaginaria del número complejo. 0i = a. Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a +

3 Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. El conjunto de todos números complejos se designa por. Los números complejos a + bi y a bi se llam an opuestos. Los números complejos z = a + bi y z = a bi se llam an conjugados. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria. Representación gráfica de números complejos Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llam a eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa: 1Por el punto (a,b), que se llam a su afijo, z

4 2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b). Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje im aginario, Y.

5 Operaciones de números complejos en la forma binómica Suma y diferencia de números complejos La sum a y diferencia de núm eros com plejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ( a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i ( i) + ( i) (4 2i ) = = (5 8 4) + ( )i = 7 + 7i Multiplicación de números complejos El producto de los núm eros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = 1. ( a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i ( i) ( 2 3 i) = =10 15i + 4i 6 i 2 = 10 11i + 6 = 16 11i

6 División de números complejos El cociente de núm eros com plejos se hace racionalizando el denominador; esto es, m ultiplicando num erador y denom inador por el conjugado de éste. Números complejos en forma polar Módulo de un número complejo El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por z.

7 Argumento de un número complejo El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).. Expresión de un número complejo en forma polar. z = r α z = r es el módulo. arg(z) = es el argumento. Ejemplos Pasar a la forma polar: z = º

8 z = º z = º z = º z = 2

9 z = 2 0 º z = 2 z = º z = 2i z = º z = 2i z = º

10 Pasar a la forma binómica: z = º Para pasar de la forma polar a la binóm ica, tenem os que pasar en prim er lugar a la forma trigonométrica: r α = r (cos α + i sen α) z = 2 (cos 120º + i sen 120º) z =1 0 º = 1 z = º = 1 z =1 9 0 º = i z = º = i

11 Números complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos Números complejos iguales Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento. Números complejos conjugados Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos. Números complejos opuestos Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

12 Números complejos inversos El inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto. Multiplicación de complejos en forma polar La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que: Su módulo es el producto de los módulos. Su argumento es la suma de los argumentos =

13 Producto por un complejo de módulo 1 Al multiplicar un número complejo z = r α por 1 β se gira z un ángulo β alrededor del origen. r α 1 β = r α + β División de complejos en forma polar que: La división de dos números complejos es otro número complejo tal Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos : = 2 3 0

14 Potencia de número complejo tal que: La potencia enésima de número complejo es otro número complejo Su módulo es la potencia n-ésima del módulo. Su argumento es n veces el argumento dado. (2 3 0 ) 4 = Números complejos en forma trigonométrica a + bi = r α = r (cos α + i sen α) B i nómica z = a + bi P olar z = r α trigon ométrica z = r (cos α + i sen α)

15 Pasar a la forma polar y trigonométrica: z = º z = 2 (cos 60º + i sen 60º) z = º z = 2 (cos 120º + i sen 120º) z = º

16 z = 2 (cos 240º + i sen 240º) z = º z = 2 (cos 300º + i sen 300º) z = 2 z = 2 0 º z = 2 (cos 0º + i sen 0º) z = 2 z = º

17 z = 2 (cos 180º + i sen 180º) z = 2i z = º z = 2 (cos 180º + i sen 180º) z = 2i z = º z = 2 (cos 270º + i sen 270º) Escribe en forma binóm ica: z = º z = 2 (cos 120º + i sen 120º)

18 z =1 0 º = 1 z = º = 1 z =1 9 0 º = i z = º = i Fórmula de Moivre Raíz de números complejos La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que: Su módulo es la en raíz enésima del módulo. Su argumento es: k = 0,1,2,3, (n-1)

19

20 Coordenadas cartesianas y polares Conversión de coordenadas polares a cartesianas x = r cos α y = r sen α Ejemplos º 1 0 º = (1, 0) º = ( 1, 0) º = (0, 1) º = (0, 1)

21 Conversión de coordenadas cartesianas a polares Ejemplos º º

22 º º (2, 0) 2 0 º ( 2, 0) º

23 (0, 2) º (0, 2) º