Soluciones de los ejercicios de la primera Unidad. Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo

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1 Soluciones de los ejercicios de la primera Unidad Dr. Víctor Hernández Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo 5 de marzo de 0

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3 Índice general Ejercicio.. Manejo del formalismo de los sucesos Ejercicio.. Propiedades de la probabilidad Ejercicio.3. Plantear un modelo de un experimento aleatorio Ejercicio.4: Plantear un modelo de un experimento aleatorio Ejercicio.5: Plantear un modelo de un experimento aleatorio Ejercicio.: Dígitos al azar Ejercicio.7: Cálculo con probabilidades condicionadas Ejercicio.7: Modelo dinámico Ejercicio.9: Modelos dinámicos Ejercicio Ejercicio.: Independencia de sucesos [..4] Ejercicio.: Cálculo con sucesos independientes [..4] Ejercicio.3: Cálculo con sucesos independientes [..][..4] Ejercicio.4: Variables aleatorias [.3][.3.] Ejercicio.5: Variables aleatorias y sus características [.3][.3.][.3.][.3.3][.3.5] 37 Ejercicio.: Variables aleatorias y sus características [.3][.3.][.3.][.3.3][.3.5] 39 Ejercicio.7: Variables aleatorias y sus características [.3][.3.][.3.][.3.3][.3.5] 40 Ejercicio.8: Variables aleatorias y sus características [.3][.3.][.3.][.3.3][.3.5] 4 Ejercicio.9: Variables aleatorias y sus características [.3][.3.][.3.][.3.3][.3.5] 43 Ejercicio.0: Vectores aleatorios [.5][.5.][.5.][.5.3][.5.7] Ejercicio.: Vectores aleatorios [.5.][.][..] Ejercicio.: Cálculo con valores esperados [.3.3][.5.3][.5.4][.5.5][.5.] 48 Ejercicio.3: Vectores aleatorios [.5][.5.][.5.][.5.3][.5.7]

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5 Estadística. Primera unidad didáctica 5 Ejercicio.: Manejo del formalismo de los sucesos [..] Parte A. La figura. muestra el diagrama de un circuito formado una serie de dos conmutadores y un subcircuito de dos conmutadores en paralelo. Los conmutadores c 4 A c B c C D c 3 Figura. pueden estar abiertos o cerrados, si están cerrados, puede pasar la corriente, mientras que si están abiertos, no puede pasar. Designemos por A i al suceso el conmutador c i está cerrado, i =,..., 4. Expresar en términos de los A i, los sucesos definidos por:. La corriente puede pasar entre entre A y C.. La corriente no puede pasar entre entre C y D. 3. La corriente puede pasar entre entre A y D. 4. La corriente no puede pasar entre entre B y D. Parte B Si A, B y C son sucesos del álgebra A de un modelo probabilístico, expresar en términos de A, B y C, y de las operaciones con conjuntos, los siguientes sucesos definidos por: a. Alguno de los sucesos A o B, ocurre. b. Al menos dos de los sucesos A, B o C, ocurren. c. Ninguno de los sucesos A o B ocurre. d. Exactamente uno de los sucesos A, B, C, ocurre. e. A y B ocurren, pero C no. f. Exactamente dos de los sucesos A, B ó C ocurren.

6 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 Solución. Parte A. La corriente puede pasar entre A y C si y solamente si ambos conmutadores, c y c, están cerrados, por lo que se tiene A = { la corriente puede pasar entre entre A y C } = A A. La corriente puede pasar entre C y D si y solamente si alguno de los conmutadores c 3 y c 4 está cerrado; se tiene luego A = { la corriente puede pasar entre entre C y D } = A 3 A 4 { la corriente no puede pasar entre entre C y D } = (A 3 A 4 ) c = A c 3 A c 4 3. La corriente puede pasar entre A y D si y solamente si puede pasar entre A y C, y puede pasar entre C y D y se tiene A 3 = { la corriente puede pasar entre entre A y D } = A A = A A [A 3 A 4 ] = [A A A 3 ] [A A A 4 ] 4. La corriente no puede pasar entre B y D si y solamente si no puede pasar entre B y C, o no puede pasar entre C y D, y resulta Parte B. { la corriente no puede pasar entre entre B y D } = A c (A 3 A 4 ) c. Alguno de los sucesos A o B, ocurre: A B. Al menos dos de los sucesos A, B o C, ocurren: (A B) (A C) (B C) 3. Ninguno de los sucesos A o B ocurre: (A B) c = A c B c 4. Exactamente uno de los sucesos A, B, C, ocurre: (A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c B c ) 5. A y B ocurren, pero C no: A B C c. Exactamente dos de los sucesos A, B ó C ocurren: (A B C c ) (A B c C) (A c B C)

7 Estadística. Primera unidad didáctica 7 Ejercicio.: Propiedades de la probabilidad [..] Parte A. Si A y B son dos sucesos del álgebra A de un modelo probabilístico, expresar en términos de P(A), P(B), y P(A B), las probabilidades de los siguientes sucesos: a. Al menos uno de los sucesos A o B ocurre. b. Sólo uno de los sucesos A ó B ocurre. c. Ninguno de los sucesos A o B ocurre. Parte B. Si A y B son dos sucesos del álgebra A de un modelo probabilístico, expresar en términos de P(A), P(B), y P(A B), las probabilidades de los siguientes sucesos: d. A c B c e. A c B c f. A c B g. A c B h. A (A c B) Solución. a. b. c. Parte A. P(al menos uno de los sucesos A o B ocurre) = P(A B) = P(A)+ P(B) P(A B) P(sólo uno de los sucesos A ó B ocurre) = P(A B c )+ P(A c B) = P(A) P(A B)+ P(B) P(A B) = P(A)+ P(B) P(A B) P(ninguno de los sucesos A o B ocurre) = P((A B) c ) = P(A B) = P(A) P(B)+ P(A B)

8 8 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 d. e. f. g. h. Parte B. P(A c B c ) = P((A B) c ) = P(A B) P(A c B c ) = P((A B) c ) = P(A B) = P(A) P(B)+P(A B) P(A c B) = P(B (A B)) = P(B) P(A B) P(A c B) = P(A c )+ P(B) P(A c B) = P(A)+ P(B) ( P(B) P(A B) ) = P(A)+ P(A B) P(A (A c B)) = P(A B) = P(A)+ P(B) P(A B) Ejercicio.3: Plantear un modelo de un experimento aleatorio [..,..,..3] Plantear un modelo consiste en definir un espacio muestral Ω que contiene todos los casos que consideramos posibles y asignar una probabilidad a cada caso de manera acorde con las características del experimento.. Plantear un modelo del experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda equilibrada hasta que han aparecido por primera vez o dos caras o dos cruces.. Plantear un modelo para el experimento que consiste en elegir al azar un número de tres bits, x x x 3, x i = 0 ó, entre todos los números posibles. Cuántos sucesos tiene el modelo? Cuál es la probabilidad de que se cumpla x +x +x 3 0 mod ()? 3. Plantear un modelo para el experimento que consiste en elegir al azar un número de cuatro bits, x x x 3 x 4, x i = 0 ó, entre todos los números posibles. Cuántos sucesos

9 Estadística. Primera unidad didáctica 9 tiene el modelo? Cuál es la probabilidad de que se cumpla x + x + x 3 + x 4 0 mod ()? 4. Plantear un modelo para el experimento que consiste en elegir al azar un subconjunto de símbolos del alfabeto Σ = {a,b,c,d} (el subconjuntos se sortea entre todos los subconjuntos posibles, incluyendo a /0 y Σ). Cuántos sucesos contiene este modelo? Escribir los casos favorables al suceso A = el subconjunto elegido contiene la letra a y calcular su probabilidad. 5. Consideremos un sorteo de un subconjunto de símbolos del alfabeto Σ = {a,b,c,d} que consiste en una selección secuencial de los símbolos que formarán el subconjunto, esa selección se realiza de la manera siguiente: lanzamos cuatro veces una moneda equilibrada, si en el primer lanzamiento sale cara, escogemos la letra a para formar parte del subconjunto; si sale cruz, la rechazamos; si en el segundo lanzamiento sale cara, escogemos la letra b para formar parte del subconjunto; si sale cruz, la rechazamos; así sucesivamente. Por ejemplo, si los cuatro resultados de lanzar la moneda son cruz, el subconjunto elegido es /0. Definir un modelo probabilístico a este procedimiento de formar un subconjunto aleatorio y compararlo con los modelos de los apartados 4 y 3. Solución.. Lo primero que se nos ocurre es hacer una lista de todas los resultados distintos que podemos obtener lanzando la moneda hasta que se cumple la condición del enunciado: aparecen dos caras o dos cruces. Esa lista de casos sería: Este análisis de los casos posibles nos lleva a plantear un espacio muestral con seis puntos Ω primer modelo = {,,,,, } El inconveniente de este modelo es que no es razonable aceptar que todos los casos tienen la misma probabilidad; por ejemplo, parece claro que tiene más probabilidad de ocurrir que. Por ello, puede ser preferible plantear un modelo menos intuitivo, pero más simétrico; por ejemplo, es claro que si lanzamos tres veces la moneda, con seguridad habrán salido o bien dos caras o bien dos cruces, luego podemos platear un modelo con los ocho casos posibles de la tabla. El espacio muestral Ω = {,,,,,,, }

10 0 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 Tabla. es completamente simétrico y podemos aceptar que todos los casos tienen la misma probabilidad igual a /8. P( ) = P( ) = P( ) = = P( ) El calculo de la probabilidad de un suceso se reduce al recuento de casos favorables; por ejemplo, la probabilidad de que sea necesario lanzar la moneda dos veces es igual a P(lanzar dos veces) = P( )+P( )+P( )+P( ) = 4 8 Con palabras diríamos que este modelo proviene del artificio mental siguiente: aunque el juego haya terminado en la segunda tirada porque ya aparecieron dos resultados iguales, todavía lanzaremos una vez más la moneda, de esta manera todos los resultados son simétricos.. Hay ocho números binarios distintos de tres bits que se muestran en la tabla.. Puesto que elegimos un número al azar, debemos suponer que todos tienen la misma Tabla. probabilidad de ser elegidos, esto es /8. Nuestro modelo está formado por el espacio muestral Ω = {,0,0,0,000,00,00,00} con la probabilidad uniforme que atribuye igual probabilidad a cada uno de los casos P() = P(0) = = P(000) = 8 Observemos que si cambiamos por y 0 por, la tabla. es idéntica a la tabla.; desde el punto de vista probabilístico este modelo es idéntico al modelo (Ω,P) del apartado anterior.

11 Estadística. Primera unidad didáctica Para calcular la probabilidad del suceso definido por que se cumple x +x +x 3 0 mod () identificaremos los casos favorables, claramente, esta igualdad se cumple cuando x x x 3 tiene un número par de unos (considerando cero como número par), así se tiene A = {x x x 3 x + x + x 3 0 mod ()} = {hay un número par de unos} = {0, 0, 0, 000} y se tiene P(A) = 4/8 = /. 3. Este ejercicio es un poco más general que el anterior, podemos tratarlos como hicimos antes, pero parece claro que el simple recuento no es un buen método para tratar números de dimensiones cada vez mayores. Un razonamiento general nos demuestra que hay 4 números de cuatro bits: el primer bit se puede escoger de dos maneras, 0 ó ; cualquiera que haya sido la elección del primero, el segundo también se puede elegir de dos maneras, etc., así el número de posibles elecciones es = 4 =. Este razonamiento se puede aplicar cualquiera que sea el número de bits y nos demuestra que hay n números distintos de n bits. El espacio probabilístico (no lo vamos a escribir) queda definido por ser un conjuntos de 4 elementos donde todos tienen la misma probabilidad (modelo uniforme), esa probabilidad común es n. Si queremos calcular la probabilidad del suceso A = {x x x 3 x 4 x + x + x 3 + x 4 0 mod ()} podemos recurrir al recuento exhaustivo y obtenemos A = {x x x 3 x 4 x + x + x 3 + x 4 0 mod ()} = {hay un número par de unos} = {, 00, 00, 00, 00, 00, 00, 0000} luego P(A) = 8/ = /. Para tratar casos de mayor dimensión es necesario emplear métodos e ideas más generales; por curiosidad exploraremos uno de esos razonamientos generales. Designemos por P(n+) al número de secuencias de n+ bits que tienen un número par de unos; ahora miremos el primer bit, si es un cero, los n bits que siguen deben contener un número par de unos, luego hay P(n) secuencias de esta clase; mientras que si el primer bit es un uno, los n bits siguientes deben contener un número impar de unos luego hay n P(n) secuencias de esta clase. En total, las secuencias de n+ bits que contienen un número par de unos son tantas como la suma de los dos anteriores, las que tienen un número par de unos y comienzan por uno más las que tienen un número par de unos y comienzan por cero, es decir P(n+) = P(n)+ n P(n) = n 4. Debemos saber que el conjunto Σ tiene 4 subconjuntos distintos, desde el subconjunto vacío /0 hasta el total Σ, el conjunto de los subconjuntos de Σ o conjunto de las

12 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 partes de Σ es el espacio muestral de este modelo. Ω 4 = PΣ = {/0,{a},{b},{c},{d},{a,b},...,{a,b,c,d}} puesto que se elige al azar uno de estos subconjuntos, cada uno puede ser elegido con igual probabilidad que cualquier otro, lo que implica que la probabilidad de elegir un subconjunto determinado es / 4 = 4. El modelo tiene tantos sucesos como subconjuntos tiene Ω 4 ; puesto que Ω 4 tiene 4 elementos, el modelo tiene 4 = sucesos. Para calcular la probabilidad del suceso A = el subconjunto elegido contiene la letra a debemos contar cuántos subconjuntos tienen como elemento la letra a, sin dificultad obtenemos A = {{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{a,b,c,d},} No sería necesario escribirlos todos, basta razonar que habrá tantos como subconjuntos del conjunto B = {b,c,d} ya que si a cualquier subconjunto de B se añadimos el elemento a, obtenemos un subconjunto de Σ que contiene a a. Se sigue P(A) = 3 / 4 = /. 5. Este ultimo apartado nos enseña que los modelos de los apartados 3 y 4 son idénticos y que esa equivalencia proporciona un método para simular la elección de un subconjunto al azar. Basta comprender que formar un subconjunto de Σ consiste en tomar cuatro decisiones binarias: si a es un elemento del subconjunto o no; si b es un elemento o no, etc.; la correspondencia entre decisiones y subconjuntos es claramente biyectiva. Si traducimos por pertenece y 0 por no pertenece, cada número de cuatro bits codifica un subconjunto; por ejemplo, el número 00 es el código del subconjunto {a, c}. Con esta interpretación, elegir un subconjunto al azar es equivalente a elegir un número de cuatro bits al azar y esto, a su vez, es equivalente a lanzar cuatro veces una moneda equilibrada, donde cara se interpreta como o pertenece, y cruz como 0 o no pertenece. Una moneda equilibrada es el aparato más elemental para simular la elección al azar de secuencias binarias o subconjuntos. Ejercicio.4: Plantear un modelo de un experimento aleatorio [..][..][..3] Una urna contiene bolas numeradas de a. Establecer un modelo probabilístico para el experimento aleatorio que consiste en extraer tres bolas, sucesivamente, sin reemplazamiento.. Cuál es la probabilidad de que el número de la primera bola sea menor que el número de la segunda bola?

13 Estadística. Primera unidad didáctica 3. Cuál es la probabilidad de que el número de la segunda bola sea menor que el número de la tercera bola? 3. Cuál es la probabilidad de que el número de la primera bola sea menor que el de la segunda y que el de la segunda sea menor que el de la tercera? Resolver estas mismas cuestiones en el caso general de una urna que contenga n bolas numeradas de a n. Solución.. Consideremos como espacio muestral Ω, el conjunto formado por las ternas (i,i,i 3 ), donde i,i,i 3 son números enteros distintos. El número i j lo interpretaremos como el número que tiene la j-ésima bola que se extrae. Puesto que las bolas se eligen al azar, aceptamos que el modelo es uniforme y todas las ternas son igualmente probables. De acuerdo con el segundo método para contar (apartado.8.), el número de casos posibles es 5 4 = 0. Para contar los casos favorables al suceso {i < i }, fijaremos el valor de i = k, contaremos los casos y sumaremos en k. Supongamos i = k, donde k =, 3,...,, en estas condiciones hay 4(k ) casos favorables, como se analiza en la figura.. El número de casos favorables es igual a k- < k = k 4 Figura.: La figura muestra el recuento de ternas tales que i = k, k >, e i < i. El número de la segunda posición sólo puede ser elegido de una manera: tiene que ser k. Una vez elegido el segundo número, podemos elegir el primero de k maneras, tantas como números enteros positivos menores que k. Por último, elegidos el primero y el segundo, siempre podemos elegir el tercero entre los cuatro números que restan. En total hay (k ) 4 = 4(k ) elecciones posibles. 4(k ) = 0 k= y la probabilidad de que la primera bola tenga un número menor que la segunda es P(i < i ) = 0 0 = 0.5 Este resultado parece intuitivo: es tan fácil que i < i, como que i > i. Vamos a analizarlo. De ese análisis se sigue el mejor y más general método para tratar este problema. Por cada caso favorable a que la primera bola tenga un número menor que la segunda, hay un caso favorable a que la primera bola tenga un número mayor que la segunda, basta cambiar el orden de los dos primeros números de la terna. La aplicación (i,i,i 3 ) (i,i,i 3 ) es, evidentemente, biyectiva (primer método para contar,.8.). Se sigue que tantos casos con i < i como casos con i < i, y su unión es Ω, luego ambos sucesos tienen probabilidad 0.5.

14 4 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso Para responder a esta cuestión podemos razonar como en la primera parte del punto anterior, contando casos favorables. Sin embargo, prefiero aplicar un razonamiento similar al expuesto en la última parte del punto anterior: la aplicación (i,i,i 3 ) (i,i 3,i ) también es biyectiva, lo que justifica que hay tantas ternas con i < i 3 como ternas con i > i 3. Por otra parte, la unión de las ternas que cumplen i < i 3 y las que cumplen i > i 3 es Ω, luego la mitad de los casos cumplen i < i 3 y P(i < i 3 ) = Ensayemos un razonamiento similar al anterior (basado en la simetría, otra de las estrategias de PÓLYA). Cada terna (i,i,i 3 ) se puede clasificar atendiendo al orden en que se presentan los números. Puesto que hay 3! = permutaciones de tres números, hay clases. Por ejemplo, pongamos que la clase C,,3, está formada por las ternas tales que i < i < i 3. De manera similar definiremos las clases C,3,, C,,3, C,3,, C 3,,, C 3,, Cada terna pertenece a una y solamente una clase, luego las clases son disjuntas entre sí y su unión es igual a Ω. Además, todas las clases contienen el mismo número de ternas, ya que todas están en correspondencia biyectiva con C,,3. Por ejemplo, la clase C,,3, formada por las ternas tales que i < i < i 3, se puede poner en correspondencia biyectiva con C,,3, mediante la aplicación f (i,i,i 3 ) (i,i,i 3 ) ya que si una terna pertenece a C,,3, pongamos (3,,5) C,,3, su transformada f(3,,5) = (,3,5) pertenece a C,,3 y, recíprocamente, toda terna de C,,3, tiene una contraimagen por f en C,,3. Se sigue que todas las clases tienen el mismo número de ternas y que ese número es la sexta parte del total. Inmediatamente obtenemos que la probabilidad de que una terna elegida al azar pertenezca a cualquiera de esas clases es /. En particular, se tiene P(i < i < i 3 ) = #(C,3,) #(Ω) Caso general. Los razonamientos que hemos empleado en las cuestiones y 3 anteriores son exactamente aplicables cuando la urna contiene n bolas numeradas de a. Los resultados son idénticos, ya que no dependen del número de bolas, sino del número de permutaciones de dos o tres números. Se tiene P(i < i ) = P(i < i 3 ) = 0.5 y P(i < i < i 3 ) = /. A los amantes del Cálculo, también les ofrecemos una solución numérica. Puesto que hay n bolas, el número de casos posibles es n(n )(n ), como se sigue del segundo método para contar. Ahora, hallaremos los casos favorables. El primer número, i, no puede ser ni n ni n, ya que sería imposible formar una terna con i < i < i 3. Supongamos que hemos elegido para i el valor k, k =,,..., n. Podemos elegir el valor de i entre k + y n. Supongamos que hemos elegido para i un valor j, donde k + j n. Bajo estas condiciones, podemos elegir i 3 entre j + y n, =

15 Estadística. Primera unidad didáctica 5 ambos inclusive. En consecuencia, cuando i = k e i = j, hay n j elecciones posibles para i 3. Si sumamos n j para todas las posibles elecciones de k y j, obtendremos el número de ternas favorables al suceso {i < i < i 3 }. Ahora, puesto que resulta pero y n k= n #{i < i < i 3 } = n k= j=k+ (n j) n (n j) = ++ +(n k ) j=k+ (n k )(n k) = = ( (n k) (n k) ) n #{i < i < i 3 } = k) k=(n n k= (n k) = + +(n ) = (n k) = + +(n ) = Se sigue que el número de casos favorables es y la probabilidad es n k= (n k) n(n ) n(n )(n ) n(n )(n ) n(n ) n(n )(n ) = 4 P(i < i < i 3 ) = n(n )(n )/ n(n )(n ) Ejercicio.5: Plantear un modelo de un experimento aleatorio [..,..,..3,..4] Plantear un modelo para el experimento aleatorio que consiste en ordenar en fila, al azar, tres tarjetas numeradas de a 3. Recuérdese que ++ + n = n(n+)/. Recuérdese que n = n(n+)(n+)/ =

16 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso Cuál es la probabilidad de que las tarjetas y 3 aparezcan antes que la?. Cuál es la probabilidad de que la tarjeta no esté en la primera posición? 3. Cuál es la probabilidad de que la tarjeta no esté en la primera posición ni la tarjeta en la segunda posición? 4. Cuál es la probabilidad de que ninguna tarjeta esté en la posición del número que lleva escrito? Solución. Consideremos como espacio muestral Ω el conjunto de las permutaciones de las tarjetas, y 3 ; puesto que la permutación se hace al azar, aceptamos que el modelo es uniforme y que todas tienen la misma probabilidad de ocurrir. Puesto que hay 3! = permutaciones, cada una tiene probabilidad /.. Para que y 3 estén antes que tiene que estar en la última posición; designemos por C a este suceso. Hay dos casos favorables a C, luego P(C ) = / = /3.. Sea A el suceso A = la tarjeta está en la primera posición Hay casos favorables a A, luego P(A ) = / = /3 y P(la tarjeta no está en la primera posición) = P(A ) = 3 Observemos que la probabilidad de que esté en la primera posición es igual a la de que esté en la última, esto es así porque cada caso favorable a A se transforma en un caso favorable a C (y al revés) sin más que intercambiar las tarjetas que están en la primera y tercera posición. 3. Con una notación semejante a la del apartado anterior, designemos por A i al suceso la tarjeta i esté en la posición i, entonces el suceso la tarjeta no está en la primera posición y la tarjeta no está en la segunda posición es A c Ac, su complementario es A A y, por la fórmula de la probabilidad de la unión, se tiene P(A A ) = P(A )+ P(A ) P(A A ) Del resultado del apartado anterior se sigue P(A ) = P(A ) = /3 y, de manera semejante, se razona que A A tiene caso favorable, por lo que se tiene P(A A ) = /. Basta sustituir, para obtener P(A A ) = 3 =

17 Estadística. Primera unidad didáctica 7 La probabilidad pedida es / = /. 4. Con la notación del apartado anterior, el suceso ninguna tarjeta esté en la posición del número que lleva escrito es igual a A c A c A c 3 Su complementario es U 3 = A A A 3 (alguna de las tarjetas está en su posición). Por la fórmula se la probabilidad de la unión, se tiene: P(U 3 ) = P(A i ) P(A i A i )+ P(A A A 3 ) i i <i i <i <i 3 = = 4 = 3 (.) La probabilidad pedida es igual a /3 = /3. Ejercicio.: Dígitos aleatorios [..,..,..3] Resolver mediante un modelo dinámico el siguiente problema: de una urna que contiene bolas numeradas de a 9, extraemos bolas al azar. Sea P k la probabilidad de que el primer 7 aparezca en la k-ésima extracción.. Calcular P k, suponiendo que las bolas se devuelven a la urna después de cada extracción.. Calcular P k, suponiendo que las bolas no se devuelven a la urna después de cada extracción. Solución.. El método empleado en la solución es el mismo en ambos casos, la idea clave es la interpretación dinámica de la probabilidad de la intersección. Para empezar, sigamos uno de los consejos de PÓLYA y consideremos un caso más sencillo, por ejemplo, k =. Ahora, para que el primer 7 aparezca en la segunda extracción, el primer resultado no debe ser 7 y el segundo sí. Designemos por A i al suceso aparece 7 en la i-ésima extracción ; se tiene el primer 7 aparece en la segunda extracción = A c A. El suceso cuya probabilidad queremos hallar es una intersección. De acuerdo con el cálculo dinámico (apartado.3), se obtiene P(el primer 7 aparece en la segunda extracción) = P(A c )P(A A c ).

18 8 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 La probabilidad de que el primer número no sea 7 es 8/9. P(A c ) = 8 9. Puesto que las bolas se devuelven a la urna después de cada extracción, la probabilidad de que el segundo número sea 7, si el primero no lo fue, es igual a /9; es decir P(A A c ) = 9. Así, obtenemos P(el primer 7 aparece en la segunda extracción) = Un razonamiento similar resuelve el caso general, basta aplicar el Método del libro (página 54, fórmula.), que generaliza el cálculo dinámico de la probabilidad de la intersección de dos sucesos. Si el suceso cuya probabilidad queremos hallar es una intersección de k sucesos; por ejemplo, se tiene el primer 7 aparece en la k-ésima extracción = A c A c A c k A k, P(el primer 7 aparece en la k-ésima extracción) = = P(A c )P(A c A c )P(A c 3 A c Ac ) P(A k A c Ac Ac k ). (.) Es más fácil interpretar la fórmula anterior que escribirla: la probabilidad de que el primer 7 aparezca en la k-ésima extracción es igual a la probabilidad de que el primer número no sea 7, P(A c ), por la probabilidad de que el segundo número no sea 7, supuesto que el primer número no fue 7, P(A c A c ), por la probabilidad de el tercero no sea 7, supuesto que ni el primero ni el segundo fueron 7 P(A c 3 A c A c ), etc., por la probabilidad de que el k-ésimo número sea 7, supuesto que ni el primero, ni el segundo,..., ni el (k )-ésimo, fueron 7 En resumen, se tiene P(A k A c A c Ac k ). P(el primer 7 aparece en la k-ésima extracción) = ( 8 9 = } {{ 9 } k ) k, 9 para k =,,.... (.3). La solución dinámica es, en método, idéntica que la anterior. La fórmula. sigue siendo cierta. Sólo cambia el cálculo de las probabilidades condicionadas, ya que ahora las reglas del experimento son distintas. Para empezar, en este experimento el rango

19 Estadística. Primera unidad didáctica 9 de los valores posibles de k se limita a k 9, ya que es seguro que 7 aparecerá en alguna de las nueve primeras extracciones. Resolveremos primero el problema particular con k = 3. Se tiene: P(el primer 7 aparece en la tercera extracción) = = P(A c )P(A c A c )P(A 3 A c A c ); (.4) donde P(A c ) = 8/9, P(Ac A c ) = 7/8 y P(A 3 A c A c ) = /7, ya que, por ejemplo, P(A c A c ) es igual a la probabilidad de no extraer el número 7 de una urna que contiene una bola con el 7 y siete bolas con otros números. P(el primer 7 aparece en la tercera extracción) = = 9 De manera general, se tiene: P(el primer 7 aparece en la k-ésima extracción) = = (k ) 8 9 (k ) 9 (k ) =. para k =,,..., 9 (.5) 9 Ejercicio.7: Cálculo con probabilidades condicionadas [..] Parte A. Si el resultado del tercer lanzamiento ha sido 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que los dos anteriores? Parte B. Lanzamos un dado tres veces. Si el segundo resultado es mayor que el primero, cuál es la probabilidad de que el tercero sea mayor que el primero? Parte C. De una urna que contiene tres bolas rojas y cuatro azules se extraen tres bolas. Si hay más bolas rojas que azules entre las extraídas, cuál es la probabilidad de que haya tres bolas rojas? Parte D. Lanzamos cinco veces una moneda que tiene probabilidad de cara igual a p; si en total han salido tres caras, cuál es la probabilidad de que el primer resultado de los cinco lanzamientos haya sido cara? Un emisor envía un mensaje binario de longitud N bits a través de un canal binario simétrico con ruido cuya probabilidad de error al transmitir un bit es p; si en total han ocurrido k errores, cuál es la probabilidad de que haya un error en el primer bit enviado? Parte E. Lanzamos dos dados equilibrados dos veces cada uno; si las sumas de los resultados de cada dado son iguales, cuál es la probabilidad de que la suma común sea 7?

20 0 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 Solución. Parte A. Qué hay que hacer?, calcular una probabilidad condicionada. Tracemos el plan; definamos los sucesos; escribamos la fórmula de la probabilidad condicionada y calculemos las probabilidades que intervienen en dicha fórmula. Para facilitar la escritura vamos a emplear una notación que anticipa el concepto de variable aleatoria que estudiaremos en la próxima lección. Es una notación tan intuitiva que no requiere más explicaciones. Designemos por X, X y X 3, los resultados de los sucesivos lanzamientos del dado. Con esta notación, el suceso el resultado del tercer lanzamiento ha sido mayor que el primero se representa por B = {X 3 > X } mientras que el suceso el resultado del segundo lanzamiento es mayor que el primero se representa por A = {X > X }. De manera semejante, el suceso el resultado del tercer lanzamiento ha sido 5, se representa por {X 3 = 5}. Tenemos que calcular P(B A) = P({X3 > X }} {X > X }). De acuerdo con la definición, esta probabilidad condicionada es igual a P({X 3 > X }} {X > X }) = P({X 3 > X } {X > X }) P({X > X }) P(A B) =. P(A) Para calcular la probabilidad del suceso A, contamos casos. Hay = 3 resultados distintos (casos posibles) de lanzar los dos dados. Entre estos 3 casos posibles, hay empates, que son los favorables al suceso X = X. Los restantes 30 casos de dividen en dos grupos simétricos de 5 casos cada uno; 5 favorables a X > X y 5 favorables X > X. Así, tenemos P(A) = P({X > X }) = 5 3 = Contar los casos favorables al suceso B = {X 3 > X } {X > X } exige un poco más de orden. Por el principio divide y vencerás, los clasificaremos según el valor de X. Por ejemplo, casos favorables a A B con X = hay 5 5 = 5; ya que el valor de X se puede elegir de cinco maneras y, una vez elegido el valor de X, el de X 3 también se puede elegir de cinco maneras. La tabla siguiente nos muestra el recuento de casos favorables a A B, clasificados según el valor de X.

21 Estadística. Primera unidad didáctica Casos favorables al suceso A B Casos con X = 5 5 = 5 casos Casos con X = 4 4 = casos Casos con X = = 9 casos Casos con X = 4 = 4 casos Casos con X = 5 = casos Casos con X = 0 0 = 0 casos Total de casos 55 casos Por otra parte, hay = casos posibles de lanzar los tres dados. Así, tenemos P(A B) = 55/. La probabilidad condicionada es P(X 3 > X X > X ) = Interpretemos el resultado. Sin disponer de más evidencia que conocer que los dados son equilibrados, valoramos en 0.47 la probabilidad de que el tercer resultado sea mayor que el primero. La evidencia de que el segundo resultado ha sido mayor que el primero, hace más verosímil que el primer resultado sea pequeño y, en consecuencia, hace más probable que el tercer resultado sea mayor que el primero. Con la evidencia adicional, valoramos en 0. la probabilidad de que el tercer resultado sea mayor que el primero. Esta conclusión resulta chocante a muchas personas que, en esencia, razonan así: como el resultado del tercer lanzamiento es independiente del resultado del segundo, la probabilidad de B será igual que la de {X 3 > X }. Este razonamiento no es correcto. Saber que el segundo resultado ha sido mayor que el primero, proporciona información sobre el primer resultado y modifica la probabilidad de que el tercero sea mayor que el primero. Parte B. Designemos por N el número de bolas rojas que hay entre las tres elegidas. Con esta notación, se tiene: {N } = hay más bolas rojas que azules (.) {N = 3} = hay tres bolas rojas (.7) La probabilidad que debemos calcular es condicionada. Sabemos que hay más bolas rojas que azules y queremos saber la probabilidad de que sean tres las bolas rojas. P(N = 3 N ) = P({N = 3} {N }) P(N ) (.8) Calcularemos P({N = 3} {N }) y P(N ).

22 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 Consideremos que las tres bolas se eligen simultáneamente. Hay tantos casos posibles como elecciones distintas de un subconjunto de tres bolas del conjunto de siete bolas que hay en la urna; esto es, hay ( 7 3 ) casos posibles. Hay (3 3 ) casos favorables a N = 3, tantos como maneras de elegir tres bolas rojas entre las tres que hay. Así, resulta ( ) 3 3 P(N = 3) = ( ). 7 3 Hay ( 3 )(4 ) casos favorables a N =, tantos como maneras de elegir dos bolas rojas entre las tres que hay y una bola azul entre las cuatro que hay, P(N ) = ( ) ( )( ) ( ). 7 3 Si reemplazamos en.8, resulta ( ) 3 P(N = 3 3 N ) = ( ) ( )( ) = Parte C. Designemos por A al suceso hay tres bolas rojas y por B al suceso hay más bolas rojas que azules ; para calcular P(A B) calcularemos P(B) y P(A B). Puesto que el orden en que aparecen las bolas es irrelevante para las cuestiones que tratamos, podemos considerar como modelo el formado por todas las extracciones posibles de tres bolas, este modelo tiene ( 7 3 ) casos posibles, tantos como maneras de escoger tres bolas entre siete. Todos los casos son igualmente probables puesto que la extracción se hace al azar. Para que haya más bolas rojas que azules entre las extraídas tiene que haber tres rojas o dos rojas y una azul; los casos favorables a que haya tres rojas son ( 3 3 ), tantos como maneras de escoger tres bolas entre tres; los casos favorables a que haya dos rojas y una azul son ( 3 )(4 ), tantos como maneras de escoger dos bolas rojas entre tres y una azul entre cuatro. Se sigue P(B) = ( ) ( )( ) ( ) 7 3

23 Estadística. Primera unidad didáctica 3 Por otra parte, A B, luego A B = A y se tiene ( ) 3 3 P(A B) = P(A) = ( ) 7 3 En consecuencia P(A B) = P(A B) P(B) = ( 3 3 ) ( 3 3 )+(3 )(4 ) = 3 Parte D. Designemos por B al suceso han salido tres caras y por A al suceso el primer lanzamiento ha sido cara, debemos calcular P(A B), para ello calcularemos P(B) y P(A B). La probabilidad de que aparezcan tres caras al lanzar cinco veces una moneda que tiene probabilidad p de cara en cada lanzamiento es ( 5 3 )p3 ( p) (ejemplo., distribución binomial), luego ( ) 5 P(B) = p 3 ( p) 3 Por otra parte, A B es el suceso: el primer lanzamiento es cara y hay tres caras en total, lo que equivale a decir que el primer lanzamiento es cara y entre los cuatro últimos lanzamientos hay dos caras y dos cruces. La probabilidad de que esto ocurra es el producto de la probabilidad de que el primer lanzamiento sea cara (p) por la probabilidad de que en cuatro lanzamientos tengamos dos caras y dos cruces (( 4 )p ( p) ); así, resulta Se sigue P(A B) = p ( ) 4 p ( p) = ( ) 5 P(A p 3 ( p) 3 B) = ( ) = 5 4 p 3 ( p) 9 ( ) 4 p 3 ( p) La segunda parte del enunciado nos muestra una aplicación de este modelo; imaginemos un duende que vive en el canal de comunicaciones, cuando un bit es enviado a través del canal, el duende lanza una moneda que tiene probabilidad de cara igual a p, si sale cara hay un error en la transmisión bit; si sale cruz, no hay error; el problema enunciado en términos de errores en la transmisión es completamente equivalente al problema en términos de caras y cruces, la probabilidad es 5/9. Parte E. Designemos por X y X los resultados de lanzar el primer dado y por Y, Y los del segundo, sean S y S las sumas de los resultados de lanzar dos veces el

24 4 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 primero y el segundo dado, respectivamente; S y S son independientes y se tiene P(S = S ) = = i= i= P(X + X = Y +Y = i) P(X + X = i)p(y +Y = i) Por simetría, para cada i se cumple P(X + X = i) = P(Y +Y = i) y mediante un un simple recuento de casos encontramos o bien i P(S = i) i P(S = i) i P(S = i) /3 5/3 0 3/3 3 /3 7 /3 /3 4 3/3 8 5/3 /3 5 4/3 9 4/3 P(S = i) = i 3 si i 7 3 i 3 si 8 i Luego P(S = S ) = 4/3. Ahora, si las sumas de resultados son iguales, la probabilidad de que valgan 7 es P(S = S = 7 S = S ) = P(S = S = 7) P(S = S ) = 4 Si S = S, la probabilidad de que ambas sumas sean iguales a i es directamente proporcional al producto P(S = i)p(s = i), por lo que lo más probable es que ambas sumas valgan 7. Ejercicio.8: Modelo dinámico [..][..][..3] Lanzamos un dado y, si el resultado es menor o igual que 3, lo volvemos a lanzar; cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea mayor que 4? Solución. Representemos el árbol del experimento; ene el primer nivel hay seis vértices o nodos, una por cada uno de los resultados posibles de lanzar el dado por primera vez. Cada rama que une el origen con uno de estos nodos está marcada con /, que es la probabilidad de llegar al nodo a partir del origen. Ahora, sea A = la suma de las puntuaciones es mayor que 4. De cada uno de los nodos del primer nivel parten dos ramas. Una lleva a A, indica que A ha ocurrido,

25 Estadística. Primera unidad didáctica A A c A A c A A c A A c A A c A A c y la otra lleva a A c e indica que A no ha ocurrido. Ahora, si el primer resultado es, para que A ocurra hay que obtener, ó en la nueva tirada y se tiene P(A ) = 3/. De igual manera obtenemos: P(A ) = 4, P(A ) = 5 Por otra parte, si el segundo resultado es 4, 5 ó, no se vuelve a lanzar el dado y se tienen: P(A ) = 0, P(A ) =, P(A ) = Por la fórmula de la probabilidad total, resulta: luego P(A) = /3. P(A) = Ejercicio.9: Modelos dinámicos [..][..] Parte A. Lanzamos un dado y, si el resultado es menor o igual que 3, lo lanzamos otra vez; cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea menor que 5? Parte B. Una urna contiene a bolas azules y b bolas rojas, otra urna contiene c bolas azules y d bolas rojas. Elegimos una bola al azar de la primera urna y, sin mirar

26 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 su color, la pasamos a la segunda; a continuación sacamos una bola al azar de la segunda urna; cuál es la probabilidad de que sea azul? Solución Parte A. Representemos el árbol del experimento, el primer nivel tiene seis vértices o nodos, una por cada uno de los resultados posibles de lanzar el dado por primera vez. Cada rama que une el origen con uno de estos nodos está marcada con /, que es la probabilidad de llegar al nodo a partir del origen. Ahora, sea A = la suma de las puntuaciones es menor o igual que 5. De cada uno de los nodos del primer nivel parten dos ramas. Una lleva a A, indica que A ha ocurrido, y la otra lleva a A c e indica que A no ha ocurrido. Ahora, si el primer resultado es A A c A A c A A c A A c A A c A A c, para que A ocurra hay que obtener,, ó en la nueva tirada y se tiene P(A ) = 4/. De igual manera obtenemos: P(A ) = 3, P(A ) = Por otra parte, si el segundo resultado es 4, 5 ó, no se vuelve a lanzar el dado y se tienen: P(A ) =, P(A ) =, P(A ) = 0 Por la fórmula de la probabilidad total, resulta: P(A) =

27 Estadística. Primera unidad didáctica 7 luego P(A) = 7/. Parte B. Representemos el árbol del experimento, el primer nivel tiene dos vértices o nodos, una por cada uno de los resultados posibles de extraer la bola de la primera urna que puede ser azul o roja. Cada rama que une el origen con uno de estos nodos está marcada con la probabilidad de llegar al nodo a partir del origen. Ahora, sea A = la bola extraída se la segunda urna es azul, de cada uno de los nodos del primer nivel parten dos ramas, una lleva a A, lo que indica que A ha ocurrido, y la otra lleva a A c e indica que A no ha ocurrido. Por la fórmula de la probabilidad total, resulta: a a+b b a+b Azul Roja c+ c+d+ d c c+d+ c+d+ d+ c+d+ A A c A A c P(A) = a a+b c+ c+d + + b a+b c c+d + = Ejercicio.0: Fórmula de Bayes [..][..][..3] ac+bc+ (a+b)(c+d+) Parte A. Consideremos tres sucesos A, A y A 3, disjuntos y exhaustivos (soon disjuntos y su unión es Ω), tienen probabilidades 0.5, 0.5 y 0.5, respectivamente. Un sistema de decisión automática actúa conforme a las reglas siguientes:. Si ocurre A, el sistema, con probabilidad 0., toma la decisión D y, con probabilidad 0.9, la decisión D.. Si ocurre A, el sistema, con probabilidad 0., toma la decisión D y, con probabilidad 0.9, la decisión D Si ocurre A 3, el sistema, con probabilidad 0., toma la decisión D 3 y, con probabilidad 0.9, la decisión D. Se pregunta:. Cuál es la probabilidad de que el sistema tome la decisión D?. Si el sistema ha tomado la decisión D, cuál es la probabilidad de que haya ocurrido A?

28 8 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso Si el sistema no ha tomado la decisión D, cuál es la probabilidad de que no haya ocurrido A? 4. Si el sistema no ha tomado la decisión D, cuál es la probabilidad de que haya tomado la decisión D? Parte B. Dos monedas tienen probabilidades p y p, respectivamente, de que al lanzarlas aparezca cara. Elegimos una moneda por sorteo; con probabilidad r se escoge la primera y con probabilidad r la segunda. La moneda elegida se lanza repetidas veces hasta que aparece la primera cara. Si la primera cara ha aparecido en el lanzamiento k-ésimo, cuál es la probabilidad de que estemos lanzando la primera moneda? Solución. Parte A. Las condiciones del modelo se resumen en el diagrama de árbol de la figura.3, que representa los dos niveles o etapas en que transcurre el proceso de decisión. Primero, el Azar decide cuál de los sucesos A, A, ó A 3 ocurre. Después, el sistema toma una decisión en la que influye de nuevo el Azar y la clase de suceso que se ha observado. La caja con línea discontinua que rodea los dos nodos que terminan en D señala una situación de de incertidumbre, ya que la información el sistema ha tomado la decisión D no permite saber con certeza en qué nodo nos encontramos. En estas condiciones, tiene pleno sentido preguntarse por la probabilidad de que nos encontremos en uno o en otro nodos, posterior al hecho de que se haya tomado la decisión D. R A A A D D D D 3 D 3 D Figura.3. Calcular la probabilidad de que es sistema tome la decisión D es evaluar la probabilidad total de transitar por alguno de los caminos que conducen a uno de los nodos etiquetados como D, ver figura.4. El cálculo es automático, por la fórmula de la

29 Estadística. Primera unidad didáctica 9 R A A A D D D D 3 D 3 D Figura.4 probabilidad total, se tiene P(D ) = P(A )P(D A )+ P(A )P(D A )+ P(A 3 )P(D A3 ) = = La probabilidad P(A D ) es una probabilidad posterior. De manera informal, podemos decir que mide la aportación relativa de la probabilidad del camino R A D dentro de la probabilidad de llegar a un nodo D. La fórmula de BAYES hace automática esa evaluación. P(A D ) = P(A )P(D A ) P(D ) = R A A A D D D D 3 D 3 D Figura.5 3. Si el sistema no ha tomado la decisión D, significa que nos encontramos en alguno de los nodos incluidos en la caja de línea discontinua del diagrama de la figura.5.

30 30 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 Para evaluar P(A c D c ), el primer paso es calcular P(D c ), esto es inmediato, ya que la probabilidad de su complementario se calculó en el primer apartado, así resulta P(D c ) = P(D ) = 0.55 Ahora, puesto que A c = A A 3 y los sucesos A y A 3 son disjuntos, resulta P(A c D) c = P(A D)+ c P(A 3 D) c La expresión anterior sugiere la mejor manera de calcular la probabilidad pedida. P(A c D c ) = P(A )P(D c A )+ P(A 3 )P(D c A 3 ) P(D c) = P(A ) +P(A 3 )P(D 3 A3 ) P(D c) = es decir P(A c D c) Ahora, puesto que D D c = D, se sigue P(D D c ) = P(D ) P(D c ) y, puesto que P(D ) = 0.5, resulta P(D D c ) = 0.5/ Parte B. Designemos por M al suceso la primera moneda es elegida, por las condiciones del problema P(M ) = r, su complementario M = M c es el suceso la segunda moneda es elegida y su probabilidad anterior de ocurrir es r. Ahora, designemos por A k el suceso la primera cara ocurre en el k-ésimo lanzamiento, para que A k ocurra tienen que aparecer k cruces seguidas y, por último, una cara. Si lanzamos la primera moneda, la probabilidad de que A k ocurra es P(A k M ) = ( p )( p ) ( p ) p = ( p ) k p } {{ } k veces mientras que si lanzamos la segunda moneda, la probabilidad es P(A k M ) = ( p )( p ) ( p ) p = ( p ) k p } {{ } k veces Por la probabilidad total, tenemos que la probabilidad de que A k ocurra es P(A k ) = P(A k M )P(M )+ P(A k M )P(M ) = r( p ) k p +( r)( p ) k p

31 Estadística. Primera unidad didáctica 3 Luego (BAYES) se tiene P(M A k ) = P(A k M )P(M ) P(A k ) r( p = ) k p r( p ) k p +( r)( p ) k p Ejercicio.: Independencia de sucesos [..4] Parte A. De una urna que contiene bolas numeradas de a. extraemos cuatro bolas, sucesivamente, sin reemplazamiento. Sea A i, j el suceso el número de la bola i-ésima es menor que el número de la bola j-ésima.. Estudiar si los sucesos A, y A,3 son independientes.. Estudiar si los sucesos A, y A 3,4 son independientes. Resolver el caso general, en el que suponemos que la urna contiene n bolas numeradas de a n. Parte B. Lanzamos dos veces una moneda equilibrada; sea A el suceso sale cara en el primer lanzamiento, B el suceso sale cara en el segundo lanzamiento y C el suceso aparece una cara y una cruz. Estudiar si A, B y C son independientes dos a dos y si son independientes. Solución. Parte A.. Se comprueba (y la simetría lo sugieres) que P(A, ) = / y P(A,3 ) = /. Por otra parte el suceso A, A,3 es la primera bola tiene un número menor que la segunda y la segunda menor que la tercera, calcular la probabilidad de este suceso es simple y resulta P(A, A,3 ) = /; ahora, se tiene y los sucesos no son independientes. P(A, A,3 ) = = 4 = P(A,)P(A,3 ). Otra vez, mediante un recuento se sigue P(A, ) = P(A 3,4 ) = /. Para calcular la probabilidad de la intersección P(A, A 3,4 ) emplearemos el siguiente razonamiento: pongamos que X i es el número de la bola extraída en i-ésimo lugar, i =,, 3, 4. Una vez extraídas las bolas, sus cuatro valores, X, X, X 3, X 4, pueden ser ordenados de menor a mayor. Hay 4! = 4 ordenaciones posibles y, por simetría, todas son igualmente probables, pues contienen el mismo número de casos posibles, ya que de

32 3 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 cualquier caso favorable a una ordenación, cambiando los subíndices convenientemente, obtenemos un caso favorable a cualquier otra ordenación. Hay seis ordenaciones favorables al suceso A, A 3,4 : X < X < X 3 < X 4 X < X 3 < X < X 4 X < X 3 < X 4 < X X 3 < X 4 < X < X X 3 < X < X 4 < X X 3 < X < X < X 4 (.9) Por ello, P(A, A 3,4 ) = /4! = /4 y se verifica P(A, A 3,4 ) = 4 = P(A,)P(A 3,4 ) por lo que los sucesos A, y A 3,4 son independientes. El razonamiento anterior resuelve también el caso general, tanto si hay bolas como si hay n, n 4, bolas, las seis ordenaciones de.9 son igualmente probables y se siguen idénticas conclusiones. Parte B. Sin dificultad obtenemos y P(A) = P(B) = P(C) = P(A B) = P(B C) = P(A C) = 4 Sin embargo, se tiene P(A B C) = 0 = /8, luego los sucesos A, B y C son independientes dos a dos pero no son independientes. Ejercicio.. Cálculo con sucesos independientes [..4] La figura. muestra el diagrama de un circuito formado por cuatro conmutadores dispuestos en una serie con un subcircuito intermedio de dos en paralelo. Los conmu- c 3 A c B C c 4 D c Figura. tadores pueden estar abiertos o cerrados, si están cerrados, puede pasar la corriente, mientras que si están abiertos, no puede pasar. Supongamos que cada conmutador está cerrado con probabilidad p, con independencia del estado de los restantes.

33 Estadística. Primera unidad didáctica 33. Cuál es la probabilidad de que la corriente pueda pasar entre A y D?. Si la corriente puede pasar entre entre B y C, cuál es la probabilidad de que pueda pasar entre A y D?. 3. Si la corriente puede pasar entre entre A y C, cuál es la probabilidad de que el conmutador c esté cerrado?. Solución. Designemos por {A D} al suceso la corriente puede pasar entre A y D, de igual manera definimos los sucesos {A B}, {B C} y {C D}. Designemos por C i al suceso el conmutador c i está cerrado.. Para que la corriente pueda pasar entre A y D tiene que poder pasar entre A y B, y entre B y C, y entre C y D. Con la notación que hemos establecido, se cumple {A D} = {A B} {B C} {C D} y, puesto que cada conmutador funciona independientemente de los restantes, los tres sucesos {A B}, {B C} y {C D} son independientes y se cumple P(A D) = P(A B)P(B C)P(C D) Ahora, {A B} = {c está cerrado} = C, luego P(A B) = p. De manera similar, se tiene P(C D) = p. Por su parte, {B C} = C C 3, ya que para que la corriente pueda pasar entre B y C tiene que estar cerrado alguno de los conmutadores c, c 3. Para calcular la probabilidad de {B C} hallaremos la de su complementario. P((C C 3 ) c ) = P(C c C c 3) = P(C c )P(C c 3) = ( p) Se sigue P(C C 3 ) = ( p) = p( p) y P(A D) = p 3 ( p).. Para calcular P(A D B C), necesitamos la probabilidad P(B C) = p( p) y la probabilidad de la intersección {A D} {B C}, pero {A D} {B C}, luego {A D} {B C} = {A D} y la probabilidad de la intersección es p 3 ( p). Se sigue P(A D B C) = p3 ( p) p( p) = p 3. Para calcular P(C A C), necesitamos conocer P(A C) = P(A B)P(B C) = p ( p)

34 34 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso 00-0 y la probabilidad de la intersección Se sigue P(C {A C}) = p y C {A C} = C C (C C 3 ) = C C P(C A C) = p p ( p) = p Ejercicio.3: Cálculo con sucesos independientes [..][..4] Parte A. Lanzamos tres veces una moneda que tiene probabilidad p de cara; si sabemos que ha aparecido al menos una cara, cuál es la probabilidad de que hayan aparecido dos? Parte B. Si lanzamos dos veces una moneda que tiene probabilidad x de cara y luego otras dos veces, cuál es la probabilidad P(x) de que aparezcan tantas caras en la primera serie de lanzamientos como en la segunda? Representar gráficamente P(x). Cuál es el valor de x que hace mínima la probabilidad P(x)? Parte C. Lanza n veces una moneda que tiene probabilidad p de cara, si sabemos que han aparecido al menos k caras, cuál es la probabilidad de que hayan aparecido k+? Solución. Parte A. Designemos por A i al suceso aparecen i caras, el suceso aparece al menos una cara es igual a A A A 3 ; la probabilidad que queremos calcular es P(A A A A 3 ) y, puesto que A, A y A 3 son disjuntos, se tiene P(A A A A 3 ) = P(A (A A A 3 )) P(A A A 3 ) Ahora bien, puesto que P(A i ) = ( 3 i )pi ( p) 3 i, resulta = P(A ) P(A )+ P(A )+ P(A 3 ) P(A ( 3 )p( p) A A A 3 ) = ( 3 )( p) +( 3 )p( p)+(3 3 )p Parte B. Que aparezca el mismo número de caras en ambas series de lanzamientos significa que aparecen dos caras, o una, o ninguna cara en ambas series. Por ejemplo, la probabilidad de que aparezcan dos caras en ambas series de lanzamientos es ( ) x ( ) x

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