Introducción. Maxima se puede obtener de la página web:

Transcripción

1 Introducción Maxima es un programa de cálculo simbólico que realiza cálculos matemáticos tanto en forma numérica como simbólica, a este tipo de programa se les llama CAS o SAC. Este programa y sus manuales se encuentran disponibles bajo la licencia GNU GPL. Las capacidades de este programa cumplen (al menos ese es mi aprteciación) las necesidades en cuanto al cálculo simbólico y como auxiliar en los cursos de matemáticas de las carreras de ingeniería. Existen otros programas dentro de esta categoría, como Mathematica ( c Wolfram Research) y Maple ( c Maplesoft). Maxima se puede obtener de la página web: wxmaxima es una interfase gráfica que utiliza Maxima como motor para realizar los cálculos. Esta interfase es la que aprenderemos a utilizar. Se puede obtener desde la página web: La versión para windows incluye a Maxima, para otros entornos se deben instalar separadamente. 1

2 Gilberto Aguilar Miranda 2

3 Unidad 1 Primer contacto Vamos a iniciar familiarizandonos con Maxima y con el entorno de wxmaxima. Cuando se inicia el programa se nos presenta una ventana de dialogo con alguna Sugerencia del día, después de cerrar esta ventana, se tiene el entorno de trabajo de wxmaxima. En el menú se tienen las opciones comunes sobre documentos (nuevo, abrir, exportar, salir) y a los comandos mas usuales de Maxima. La otra parte del entorno es la ventana de trabajo, que es donde aparecen los comandos y las respuestas a ellos. Mas adelante iremos profundizando en los comandos y los menús mencionados. En este apartado aprenderemos la forma en que damos órdenes y recibimos las respuestas de parte de Maxima, los tipos de operaciones y como se especifican, el manejo de variables y expresiones numéricas y simbólicas y su evaluación, la simplificaciones de expresiones y la definición de ecuaciones y como obtener su solución. 1.1 Entorno de trabajo Iniciemos algunas operaciones para familiarizarnos con el área de trabajo y la interacción con él. Situamos el cursor en el área de trabajo y escribimos 3+4 y luego pulsamos las teclas Shift+Enter, se obtiene algo como: (%i1) 3+4; (%o1) 7 En este punto hay que hacer algunas apreciaciones: 3

4 1.1. ENTORNO DE TRABAJO 1. Los símbolos (%i1) y (%o1) los escribe el programa, se refieren a la primera entrada y salida respectivamente. 2. Las entradas se terminan con un punto y coma. Este lo podemos introducir, pero si lo olvidamos (como en nuestro caso), wxmaxima lo pone por nosotros. Operaciones básicas Los símbolos para las operaciones básicas son: + suma * producto / división ** o ˆ potencia Para la multiplicación es necesario escribir el símbolo *, tal como lo hacíamos en programación: (%i2) 2*5; (%o2) 10 Intentemos unas operaciones mas complejas: (%i3) 5+(2*4+6)/7; (%o3) 7 (%i4) 5+2*4+6/7; 97 (%o4) 7 Observamos que se tiene una precedencia de los operados, la cual es la misma que se utiliza en la programación, así como el uso de los paréntesis para escribir subexpresiones. Ahora probemos con potencias y números muy grandes: (%i5) 3^58; (%o5) El número de dígitos del resultado es mayor que es que suele dar una calculadora. Ahora probemos con una potencia mas grande Gilberto Aguilar Miranda 4

5 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO (%i6) 3^1000; (%o6) [418digits] Maxima no muestra todos los dígitos, Los queremos ver? Tenemos dos formas de hacerlo, con los atajos del menú o digitando el comando apropiado. Con el menú es Maxima Cambiar Pantalla 2D y elegimos ascii (aparece en la ventana el comando que correspondiente), solo lo ejecutamos, esto es, presionamos Shift+Enter y realizamos de nuevo la operación (%i8) 3^1000; (%o8) \ \ \ \ \ \ La salida por defecto de Maxima es la ascci, La salida xml es una adecuación que realiza wxmaxima. Observación : porque sale un $ en lugar de un punto y coma? Tanto el punto y coma como el $ sirven para terminar un comando o para separar varios de ellos, la diferencia es que: a) el punto y coma obliga a que se visualice el resultado del comando b) con el $ no se visualiza el resultado (pero si se realiza el comando). Regresemos a la visualización por defecto: (%i9) set_display( xml)$ Numeros racionales Ahora trabajemos con numeros racioonales, o como les llaman los alumnos quebrados (%i10) 2+3/5; (%o10) 13 5 (%i11) float(2+3/5); (%o11) 2.6 Gilberto Aguilar Miranda 5

6 1.1. ENTORNO DE TRABAJO Simplificando cuando es posible (%i12) 12/5 + 6/10; (%o12) 3 (%i13) 12/15-2/15; (%o13) 2 3 Mas sobre numeros en otras secciones. Calculo simbolico En la operacion: (%i14) 3*a + 5*a/3; (%o14) 14 a 3 Maxima realiza la operacion en forma sombolica, ya que no existe un valor definido para a. Ademas, se incluyen operaciones comunes en el álgebra, pero eso sera motivo de otro apartado. Raices Para obtener la raiz cuadrada de un numero (%i15) sqrt(16); (%o15) 4 (%i16) sqrt(3); (%o16) 3 Maxima siempre da el mejor resultado posible (segun su base de conocimiento), por eso se obtiene 3. Tambien se puede obtener una raiz con el exponente correspondiente (%i17) 3^(1/2); (%o17) 3 Si deseamos obtener el resultado en decimal, se utiliza la funcion float Gilberto Aguilar Miranda 6

7 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO (%i18) float(sqrt(3)); (%o18) Constantes Maxima tiene predefinidas algunas constantes, por ejemplo, las mas típicas: El número π es %pi El número e es %e La unidad imaginaria es %i Y se utilizan como cualquier otra cantidad (%i19) 2*%pi/3 + %pi/6; (%o19) 5 π 6 (%i20) 3*%i + 2*%i; (%o20) 5 i Mas sobre números complejos en secciones posteriores. Uso de resultados anteriores Es posible utilizar las entradas y resultados (salidas) previos, para no tener que digitarlos de nuevo, la regla es: % el último resultado %inúmero la entrada número %onúmero la salida número (%i21) %o19 * 6; (%o21) 5 π (%i22) % + %pi; (%o22) 6 π Gilberto Aguilar Miranda 7

8 1.2. RESULTADOS EXACTOS Y APROXIMACIÓN 1.2 Resultados exactos y aproximación En los programas de computadora y en las calculadoras representan los números reales en base a un número finito de cifras representativas. La mayoría de las calculadoras científicas (esto no incluye la Voyage 200 ni la TI-89) solo pueden calcular operaciones con un máximo de 10 o 12 cifras significativos. Maxima puede trabajar con dos tipos de números: exactos y aproximados (%i23) 1/2 + 1/3; (%o23) 5 6 (%i24) /3; (%o24) Siempre que es posible, Maxima da los resultados en forma exacta. Este comportamiento viene regulado por una variable booleana, numer, cuyo su valor por defecto es false. Veamos los siguiente (%i25) numer; (%o25) false (%i26) numer: true$ (%i27) 1/2 + 1/3; (%o27) (%i28) numer: false$ Recordemos que el $ indica que no se muestre el resultado. El valor de esta variable numer se puede conmutar desde el menú con Menú Conmutar salida numérica. Normalmente utilizamos cálculos exactos, y solo requerimos algunos en forma aproximada, para eso tenemos: float(número) expresión decimal de número número, numer expresión decimal de número bfloat(número) expresión decimal larga de número Gilberto Aguilar Miranda 8

9 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO (%i29) float(sqrt(2)); (%o29) (%i30) sqrt(2), numer; (%o30) (%i31) bfloat(sqrt(2)); (%o31) b0 Que significa b0? (%i32) bfloat(1/sqrt(2)); (%o32) b 1 He aquí la respuesta. Y si queremos mas dígitos? (%i33) fpprec: 60; (%o33) 60 (%i34) bfloat(sqrt(2)); (%o34) b0 (%i35) fpprec: 100; (%o35) 100 (%i36) bfloat(sqrt(2)); (%o36) [43digits] b0 La variable fpprec de Maxima indica cuantos dígitos calcula bfloat (consultar la ayuda). 1.3 Funciones usuales En Maxima se tienen definidas la mayor parte de als funciones elementales, sus nombres suelen ser abreviaciones del inglés, aquí algunas de ellas: Gilberto Aguilar Miranda 9

10 1.3. FUNCIONES USUALES sqrt(x) exp(x) log(x) sin(x), cos(x), tan(x) csc(x), sec(x), cot(x) asin(x), acos(x), atan(x) sinh(x), cosh(x), tanh(x) asinh(x), acosh(x), atanh(x) raíz cuadrada de x exponencial de x logaritmo neperiano de x lo esperado, x en radianes lo esperado, x en radianes arcoseno, arcocoseno, arcotangente de x funciones trigonométricas hiperbólicas funciones trigonométricas hiperbólicas inversas Realizar algunas operaciones, mostrar exacto y aproximado producto de raices, (2) 3 exponenciales con exp(x) y con %e**(x), e 2 e 3 o e 2 + e 3 logaritmos naturales y otras bases, ln(20), log 10 (20) funciones trigonométricas, sin(π/4), cos(7π/4), atan(1) Otras funciones n! factorial de n entier(x) parte entera de x abs(x) valor absoluto o módulo de x random(x) da un número seudo-aleatorio, ver la ayuda. signum(x) da 1 o -1, según el signo de x max(x 1, x 2, ) el máximo de x 1, x 2, min(x 1, x 2, ) el mínimo de x 1, x 2, Realizar algunas operaciones de práctica. Operadores lógicos y relacionales Se puede probar el resultado de una desigualdad o igualdad (%i1) is(3 > 4); (%o1) false (%i2) is(3 <= 4); (%o2) true (%i3) is(4 = 4); (%o3) true Gilberto Aguilar Miranda 10

11 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO (%i4) is( (x+1)^2 = x^2 + 2*x + 1); (%o4) f alse Erroneo? Los operadores relacionales son: =, notequal, >, <, =, =. Y los operadores lógicos son: and, or. Estos se utilizan como en la programación. (%i5) is( 3<2 or 3<4); (%o5) true Probemos ahora con esto: (%i6) is( (x+1)^2 > 0 ); (%o6) unknown Como que no sabe? Observamos que Probemos ahora esto: (x + 1) 2 = { 0,si x = 1 > 0,si x 1 (%i7) (%o7) assume(notequal(x,-1)); [notequal (x, 1)] (%i8) is( (x+1)^2 > 0); (%o8) true En este caso, Maxima presupone que x 1, y por lo tanto se conoce la respuesta. Para hacer que maxima olvide, o sea, deshacer un assume, se utiliza (%i9) forget(notequal(x,-1)); (%o9) [notequal (x, 1)] Corroboramos que ya olvidó (%i10) is(notequal(x,-1)); (%o10) unknown Estos comandos, assume y forget son muy útiles en la solución de inecuaciones. Gilberto Aguilar Miranda 11

12 1.4. VARIABLES 1.4 Variables En Maxima es posible asignar a casi cualquier cosa un nombre; a un valor, a una matriz, a una expresión, a una ecuación, a un resultado, a una función, etc. Se les llama variables del usuario, su concepción es mas amplia que en los lenguajes de programación. E aquí algunos ejemplos: (%i1) altura: 20; (%o1) 20 (%i2) base: 10; (%o2) 10 (%i3) area: altura * base; (%o3) 200 Observamos que largo tiene un valor de 20, base de 10 y area de 200. Ahora analizamos: (%i4) ec1: x^2-1 = 0; (%o4) x 2 1 = 0 (%i5) solucion: solve( ec1, x); (%o5) [x = 1, x = 1] Comentarios: una ecuación y una lista. Algunos comandos relacionados con valores asignados var : expr asignar el valor expr al nombre var remvalue(var1, var2,...) borrar las asignaciones a var1, var2,... values muestra los valores asignados kill(a1, a2,...) similar a remvalue Un uso común de kill es para iniciar cálculos con la seguridad de que no tenemos asignaciones (%i6) (%o6) (%i7) values; [altura, base, area, ec1, solucion] kill(all)$ Gilberto Aguilar Miranda 12

13 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO Notamos que la numeración de entradas y salidas se reinició a cero. En menú Maxima se encuentran los atajos para estos comandos. 1.5 Expresiones simbólicas Hasta este punto, casi todo lo que hemos visto se puede realizar de alguna manera con una calculadora, pasemos a algo mas, el Calcúlo simbólico. Analizamos: (%i3) kill(all)$ (%i1) exp( log(x) ); (%o1) (%i2) (%o2) x exp(x) * exp(y); e y+x Desarrollo de las expresiones simbólicas Veamos como trata Maxima las expresiones: (%i3) p: (x+2) * (x-1); (%o3) (x 1) (x + 2) (%i4) q: (x-3)^2; (%o4) (x 3) 2 (%i5) p - q; (%o5) (x 1) (x + 2) (x 3) 2 Maximasolo reescribe las expresiones dadas, lo que sucede es que Maximano factoriza ni desarrolla de manera automática las expresiones, debemos indicárselo. Aquí algunos de los comandos para hacerlo: Gilberto Aguilar Miranda 13

14 1.5. EXPRESIONES SIMBÓLICAS expand(expr) ratexpand(expr) partfrac(expr, var) num(frac) denom(frac) Practicamos: realiza productos y potencias version de expand eficiente para polinomios descompone expr en fracciones parciales según var da el numerador de una fracción da el denominador de una fracción (%i6) expand(p); expand(q); (%o6) x 2 + x 2 (%o7) x 2 6 x + 9 (%i8) (%o8) (%i9) partfrac(p/q, x); 7 x (x 3) num(p/q); (%o9) (x 1) (x + 2) (%i10) denom(p/q); (%o10) (x 3) 2 Un poco de control sobre expand En Maximase puede ajustar la manera en que se comportan los comandos, esto se hace con variables del sistema, por ejemplo para expand: expand(expr,n,m) logexpand radexpand Probemos: versión con rango de potencias a desarrollar variable que controla el desarrollo de logaritmos variable que controla el desarrollo de radicales (%i12) expr1: (x+1)^10 + (x+2)^5 + 1/(x+5)^4 + 1/(x+4)^3; (%o12) 1 (x + 5) (x + 4) 3 + (x + 2)5 + (x + 1) 10 (%i13) expand(expr1, 6, 3); (%o13) 1 x x x (x + 5) 4 + (x + 1)10 + x x x x x + 32 Gilberto Aguilar Miranda 14

15 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO Que efecto tiene el valor de logexpand? Probemos con logaritmo de potencia, producto y cociente. (%i14) logexpand; (%o14) false (%i15) log(a^b); log(a*b); log(a/b); log(1/b); (%o15) log ( a b) (%o16) log (a b) ( a ) (%o17) log b ( ) 1 (%o18) log b (%i19) logexpand: true$ (%i20) %i15; %i16; %i17; %i18; (%o20) log (a) b (%o21) log (a b) ( a ) (%o22) log b (%o23) log (b) (%i24) logexpand: all; (%o24) all (%i25) %i15; %i16; %i17; %i18; (%o25) log (a) b (%o26) log (b) + log (a) (%o27) log (a) log (b) (%o28) log (b) El ejercicio es autoexplicado. Que efecto tiene el valor de radexpand? Probemos con x 2 y con xy. Gilberto Aguilar Miranda 15

16 1.5. EXPRESIONES SIMBÓLICAS (%i53) radexpand; (%o53) true (%i54) sqrt(x^2); sqrt(x*y); (%o54) x (%o55) x y (%i56) radexpand: all$ (%i57) %i54; %i55; (%o57) x (%o58) x y (%i59) radexpand: false$ (%i60) %i54; %i55; (%o60) x 2 (%o61) x y De nuevo, se autoexplica. Factorizacion El comando factor realiza, como se espera, la operacion opuesta a expand. ifactor(n) para un entero positivo n, lo descompone en sus factores primos factor(expr) factoriza expr en factores irreducibles sobre los enteros factorflag si toma el valor false, no se realizan factorizaciones dontfactor una lista sobre las cuales no se realizan factorizaciones, por defecto vacía (%i1) kill(all)$ (%i1) expr2: x^2*y^2 + 2*x*y^2 + y^2 - x^2-2*x - 1; (%o1) x 2 y x y 2 + y 2 x 2 2 x 1 (%i2) factor(expr2); (%o2) (x + 1) 2 (y 1) (y + 1) Gilberto Aguilar Miranda 16

17 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO (%i3) (%o3) (%i4) dontfactor: [x]; [x] factor(expr2); (%o4) ( x x + 1 ) (y 1) (y + 1) Ahora factor aplicado a números, aplicarlo a 64, 129, 9720 y 1/64 Simplificacion de expresiones Maximatiene algunos comandos para simplificar expresiones, aunque algunas ocasiones se debe indicar que desarrollar y que no (radicales, logaritmos, etc). ratsimp(expr) fullratsimp(expr) radcan(expr) coeff(pol, x, n) (%i1) simplifica la expresion racional expr simplifica la expresion racional expr simplifica expr cuando contiene radicales, logaritmos y exponenciales proporciona el coeficiente de la potencia n del polinomio pol definido en la variable expr: (x^2-x) / (x^2+x-6) - 5/(x^2-4); (%o1) (%i2) (%o2) (%i3) x 2 x x 2 + x 6 5 x 2 4 ratsimp(expr); x 3 + x 2 7 x 15 x x 2 4 x 12 factor(%); (%o3) (x 3) (x x + 5) (x 2) (x + 2) (x + 3) Ahora, consideremos la expresión ( x a/2 1 ) 2 ( x a/2 + 1 ) 2 x a 1 y aplicamos ratsimp, luego, al resultado obtenido le aplicamos de nuevo ratsimp, observar el resultado. Luego aplicamos fullratsimp a la expresión original. Sacamos conclusiones. Evaluación de expresiones El comando ev( expr, arg1, arg2,...) Gilberto Aguilar Miranda 17

18 1.6. ECUACIONES Y SU SOLUCIÓN evalúa la expresión expr en el entorno especificado por los argumentos arg1, arg2,... Los argumentos pueden ser de muchos tipos, nosotros cubriremos los de tipo sustitución, esto es, cuando el argumento es de la forma var = valor. (%i1) p: x^2 + x + 1; (%o1) x 2 + x + 1 (%i2) ev(p, x = 0); (%o2) 1 (%i3) ev(p, x = 1); (%o3) 3 una forma corta, es omitir el nombre del comando (%i4) p, x=1; (%o4) 3 Observemos este ejercicio interesante (%i5) ev ( x + (x+y)^2-3*(x+y)^3, x+y=t); (%o5) x 3 t 3 + t Ecuaciones y su solución En Maximalas ecuaciones se definen con el símbolo =, tal como se hace en matemáticas. (%i1) -2*x+3*y = 3; (%o1) 3 y 2 x = 3 Su utiliza lhs y rhs para obtener los lados izquierdo y derecho de la igualdad (%i2) (%o2) lhs(%o1); 3 y 2 x Gilberto Aguilar Miranda 18

19 UNIDAD 1. PRIMER CONTACTO (%i3) rhs(%o1); (%o3) 3 El comando solve da las soluciones a la ecuación (%i4) solve(%o1, x); (%o4) [x = 3 y 3 ] 2 (%i5) solve(%o1, y); (%o5) [y = 2 x + 3 ] 3 Cuando las soluciones se repiten (%i6) ec1: x^2 + 2*x + 1 = 0; (%o6) x x + 1 = 0 (%i7) solve(ec1, x); (%o7) [x = 1] (%i8) multiplicities; (%o8) [2] Simplificación de funciones trigonométricas Vacío Gilberto Aguilar Miranda 19