INTENSIDAD DE LAS PREFERENCIAS EN VOTACIONES. VISUALIZACIÓN GRÁFICA DE SU IMPORTANCIA *

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1 INTENSIDAD DE LAS PREFERENCIAS EN VOTACIONES. VISUALIZACIÓN GRÁFICA DE SU IMPORTANCIA * Alberto Turón Lanuza Grupo Decsón Multcrtero Zaragoza Facultad de Cencas Económcas y Empresarales. Unversdad de Zaragoza e-mal: turon@unzar.es José María Moreno Jménez Grupo Decsón Multcrtero Zaragoza Facultad de Cencas Económcas y Empresarales. Unversdad de Zaragoza e-mal: moreno@unzar.es Manuel Salvador Fgueras Grupo Decsón Multcrtero Zaragoza Facultad de Cencas Económcas y Empresarales. Unversdad de Zaragoza e-mal: salvador@unzar.es Resumen Este trabao analza gráfcamente la mportanca de la ntensdad de las preferencas de los ndvduos que partcpan en los procesos de votacón tradconalmente segudos en España. Utlzando el Proceso Analítco Jerárquco (AHP) como soporte metodológco en la resolucón de un problema de eleccón dscreta, se estudan las dferentes estructuras de preferenca asocadas al grupo encargado de la Toma de Decsones. Para ello se han desarrollado dferentes herramentas de vsualzacón gráfca que permten dentfcar los patrones de comportamento asocados a las dstntas posturas, tanto ndvduales como colectvas. Estos desarrollos se han aplcado a los resultados obtendos en una encuesta sobre el Tratado por el que se establece la Consttucón Europea, realzada por los alumnos de segundo curso de la Facultad de Económcas de Zaragoza. Palabras clave: Votacón, Democraca, AHP, Preferencas, Vsualzacón Gráfca. Área temátca: 7. Métodos Cuanttatvos. * Este trabao está parcalmente sufragado por el proyecto multdscplnar del Goberno de Aragón Goberno electrónco. Toma de decsones compleas basadas en Internet: e-democraca y e- cognocraca (ref. PM004-05).

2 . Introduccón. Uno de los tópcos que más nterés está despertando en el ámbto de la toma de decsones públcas es el goberno electrónco de los cudadanos. La e-cognocraca, novedoso sstema democrátco orentado a la creacón y dfusón socal del conocmento dervado de la toma centífca de decsones públcas (Moreno, 003; Moreno y Polasek, 003), permte la partcpacón drecta de los cudadanos en el goberno de la socedad, meorando la transparenca, la creatvdad y el aprendzae socal. En el ámbto del goberno electrónco de la socedad son de aplcacón las dferentes herramentas decsonales que durante los últmos dez años ha vendo desarrollando el Grupo Decsón Multcrtero Zaragoza para una de las técncas multcrtero más extenddas, el Proceso Analítco Jerárquco (AHP). Utlzando esta técnca multcrtero en la resolucón de un problema de eleccón dscreta con un elevado número de decsores, el trabao se centra en el estudo de la mportanca de la ntensdad de las preferencas de cada uno de los decsores. Con esta fnaldad, se analza la exstenca de patrones de comportamento representatvos de las dferentes posturas que adoptan ante un conunto de alternatvas. Para facltar este análss se han desarrollado algunas herramentas de vsualzacón gráfca adecuadas a las dmensones del problema consderado que facltan la labor de nterpretacón de los resultados y la extraccón de conclusones. El trabao se ha estructurado como sgue: La Seccón ( ) presenta el Proceso Analítco Jerárquco, enumera las etapas del msmo y destaca las posbldades que ofrecen las técncas de representacón gráfca. En la Seccón 3 ( 3) se detalla el algortmo utlzado para la localzacón de los grupos de consenso exstentes en el conunto de decsores e dentfcar las posturas exstentes en el msmo. En la Seccón 4 ( 4) se muestran los resultados correspondentes a la aplcacón consderada y se analza el comportamento de las estructuras de preferenca asocadas. Por últmo, la Seccón 5 ( 5) destaca las conclusones más mportantes del trabao.

3 . Antecedentes.. El Proceso Analítco Jerárquco (AHP) El Proceso Analítco Jerárquco (Saaty, 980; Moreno, 00b) es una técnca de decsón multcrtero dscreta, flexble, aberta y realsta, que permte la eleccón de la meor alternatva consderando tanto factores obetvos como subetvos. Medante una modelzacón erárquca de los problemas compleos que se plantean en el ámbto de las cencas socales, la adecuada modelzacón de problemas con una alta compledad, su aplcacón práctca a los problemas concretos oblga a consderar la partcpacón en el proceso de múltples actores, dando lugar a dferentes stuacones (Moreno-Jménez y otros, 00): ) Toma de Decsones en Grupo, donde los decsores actúan como un grupo tratando de alcanzar una únca decsón bao consenso; ) Toma de Decsones Negocada, donde los decsores actúan de forma ndvdual tratando de llegar a acuerdos entre sus ntereses personales; y ) Toma de Decsones Sstémca, en la que los decsores actúan como una red en busca de una decsón holístca bao una perspectva de toleranca. La prmera de estas stuacones, la Toma de Decsones en Grupo, ha vsto aumentar su nterés en los últmos años debdo, entre otras causas, a la globalzacón de la socedad y los mercados. En Moreno-Jménez y otros (00) se desarrolla una técnca para facltar el consenso entre los dstntos actores basándose en la dentfcacón de un núcleo de consstenca común a todos ellos. El Índce de Inconsstenca Geométrca (Aguarón y Moreno-Jménez, 00) proporcona una medda de la nconsstenca de los ucos así obtendos. La Dstrbucón de Estructuras de Preferenca de un conunto de alternatvas A,,A n es la dstrbucón de probabldades de las n! Estructuras de Preferenca dstntas, o posbles ordenacones de las n alternatvas, que se pueden obtener al ncorporar la ncertdumbre en el modelo medante ntervalos de ucos (Moreno- Jménez y Vargas, 993; Moreno-Jménez y otros, 999). Estas estructuras de preferenca dependen de cuál es el valor del Índce de Inconsstenca y el estudo de 3

4 la relacón con dcho índce proporcona un valoso conocmento sobre las tendencas, patrones y puntos crítcos del proceso de toma de decsones. La metodología de AHP consta de cuatro etapas: () modelzacón; () valoracón; (3) prorzacón y (4) síntess.. La modelzacón del problema medante la construccón de una erarquía en la que se ncorporan los elementos prncpales del msmo, sendo el nodo más elevado de la erarquía la msón perseguda, los nodos ntermedos los crteros, subcrteros..., y atrbutos, y los nodos de nvel más bao las alternatvas.. La etapa de valoracón consste en la ncorporacón de las preferencas del decsor a través de la emsón de ucos en comparacones pareadas. Estos ucos, meddos en la escala fundamental propuesta por Saaty (Saaty, 980), reflean la mportanca relatva para el decsor de los elementos que cuelgan de un nodo de la erarquía, con respecto al nodo del que dependen. El resultado es una sere de matrces de comparacones pareadas en la que se reflean las ntensdades de las preferencas y, a partr de las cuales, se obtenen las prordades locales de cada elemento de la erarquía. 3. Prorzacón. En esta etapa, se calculan las prordades locales por cualquera de los procedmentos de prorzacón exstentes en la lteratura (Aguarón y Moreno- Jménez, 003). A partr de éstas, aplcando el prncpo de composcón erárquca, se obtenen las prordades globales. 4. Síntess. Las prordades globales de las dferentes alternatvas son sntetzadas. Utlzando cualquera de los procedmentos de agregacón exstentes, habtualmente la meda geométrca ponderada, para obtener las prordades totales o fnales de las alternatvas., por cualquera de los procedmentos de agregacón exstentes. El proceso analítco erárquco permte evaluar la nconsstenca del decsor al emtr los ucos correspondentes a la matrz recíproca de comparacones pareadas (Aguarón y Moreno-Jménez, 003). Defnendo la consstenca como la transtvdad 4

5 cardnal de los ucos ( a = a a,, k ), cuando la medda de nconsstenca k k fada para el procedmento de prorzacón supera un determnado umbral, se revsan los ucos más dscrepantes con el fn de reducr dcha nconsstenca. Sguendo el enfoque marcado por el constructvsmo cogntvo en el paradgma de la raconaldad procedmental multcrtero, la metodología seguda en la aplcacón de esta metodología en este contexto consta de 6 etapas: ) formulacón y descrpcón del problema, ) modelzacón erárquca, 3) valoracón y emsón de ucos, 4) prorzacón, agregacón y síntess, estudo de la nconsstenca, 5) ncertdumbre, robustez y retroalmentacón, 6) explotacón del modelo, aprendzae y negocacón.. Las técncas de vsualzacón gráfca de nformacón A lo largo de los últmos años se han desarrollado dversas técncas de representacón gráfca de conuntos multdmensonales de datos. Con ellas se pretende dar una vsón de éstos que de alguna manera faclte al cerebro humano las tareas de exploracón, nteraccón con ellos y extraccón de nformacón y de conocmento. La vsualzacón gráfca de nformacón proporcona mayor rapdez y meores resultados que otras técncas a la hora de extraer conocmento de conuntos de datos cuya extensón o compledad los hace dfícles de tratar analítcamente, y además proporconan una mayor confanza en las conclusones obtendas (Kem, 00). En el caso concreto del Proceso Analítco Jerárquco, durante los últmos años el GDMZ ha vendo desarrollando dversas herramentas decsonales que muestran el potencal de las técncas de vsualzacón gráfca. Algunas aplcacones pueden encontrarse en Asah (994); Turón y otros (003) y Moreno-Jménez y otros (004) proponen el gráfco de evolucón de las estructuras de preferenca; Turón y Moreno- Jménez (004) muestran el dagrama de densdad de la nconsstenca de los ucos y el dagrama de localzacón de las estructuras de preferenca. 3. Búsqueda de grupos de consenso. En esta seccón se descrbe el algortmo segudo para encontrar grupos de consenso en el conunto de decsores del problema. Este algortmo es una varacón del 5

6 algortmo de las k-medas en el que el papel de los centrodes lo realza la dstrbucón de consenso del vector de prordades del grupo defnda en Gargallo y otros (005). 3.. Planteamento Suponendo un contexto local (un únco crtero), sea D = { D,, D }, r L un r grupo de r decsores que emten r matrces recíprocas de comparacones pareadas { R ; k =, L r} n n, correspondentes a la comparacón, respecto al crtero consderado, de un conunto de n alternatvas de decsón { A,, A n }, donde ( ) ( r ) k n n R = es una matrz cuadrada postva que verfca que (k) r =, r = > 0 para, =, L, n. Los ucos r representan la r mportanca relatva de la alternatva frente a la alternatva para el decsor Dk, conforme a la escala fundamental propuesta por Saaty (980). (k) ' Sean { = ( v,..., vn ); k =,..., r}( v > 0,..., vn > 0) L v las prordades (sn normalzar) de las alternatvas para cada decsor D k, y sean (k) ' { = ( w,..., wn ); k =,..., r} w sus valores normalzados a modo dstrbutvo n w = ( = ), esto es, w v = n v = para =, L, n. El algortmo utlza una aproxmacón bayesana al problema de obtencón de grupos y supone que el proceso de emsón de ucos para cada decsor D k vene dado por un modelo multplcatvo con errores logarítmco-normales amplamente utlzado en la lteratura de AHP, dado por la expresón w r = e, =,..., n ; = +,..., n; k =,..., r (3.) w 6

7 Tomando logartmos se llega a un modelo de regresón con errores normales dado por las ecuacones: (k ) y = µ µ + ε ; =, L, n ; = +, L, n ; k =, L, r (3.) donde y = log( r ), = log( v ) (k ) µ y ~ ε ( 0, ) N σ son ndependentes para k =, L, r. Además, y con el fn de evtar problemas de dentfcabldad, se ha tomado µ n = 0, es decr se toma la alternatva A n como alternatva de referenca. Como dstrbucón a pror sobre µ (k) = ( ) ' µ,..., µ se toma la dstrbucón unforme en R n- que es la dstrbucón no nformatva habtualmente utlzada en la lteratura bayesana. ( ' Sea y (k) = y, y3,..., y ) el vector de ucos emtdos por el decsor Dk; k =, L, r n( n ) y sea J= n n n el número de ucos emtdos por él. Sea X = (x ) matrz J ( n ) de forma que s la -ésma componente de los vectores {y (k) ; k =, L, r } corresponde a la comparacón entre las alternatvas A y A l con < l<m entonces x =, x l = - y x s = 0 para s, l y s corresponde a una comparacón entre las alternatvas A <n y A n entonces x = y x s = 0 para s. Las ecuacones (3.) del modelo se podrán poner en forma matrcal como y (k) = Xµ (k) + ε (k) ; k=,,r (3.3) con ε (k) ' = ( ε, ε ε ) ~ N ( 0 I ) 3,..., n n J J,σ. J Las dstrbucones a posteror de {µ (k) ; k=,,r} vendrán dadas por µ ˆ donde ( ) ( ( ) µ (k) y (k) ~ µ ˆ ( X' X) N σ (3.4) n, = X'X X'y ) es el MLE de µ (k). 7

8 3.. Dstrbucón de consenso del grupo Sean v = (v,,v n ) y w = (w,,w n ) los vectores de prordades sn normalzar y normalzadas de las alternatvas para el grupo, respectvamente. Sea µ = log(v) el vector de log-prordades del grupo Sean {α k ; k=,,r} (α >0,,α r >0; r α k k = = ) un conunto de pesos que ponderan la mportanca de cada uno de los decsores D,,D r en el proceso de toma de decsones conunta. Tal y como muestran Gargallo y otros (005), la dstrbucón de consenso del grupo de decsores vene dada por ( ) µ y ~ ˆ ( X' X) N σ (3.5) n µ consenso, consenso donde r α k µ ˆ k = σ µ ˆ consenso = y σ = r α consenso k = σ k r α k (k) σ = k. Tal y como demuestran Gargallo y otros (005) esta dstrbucón mnmza una meda ponderada de las dstanca de Kullback-Lebler de dcha dstrbucón a las dstrbucones de probabldad a posteror (3.4). Utlzando esta dstrbucón se estma el nvel de consstenca del grupo medante el estmador nsesgado tradconalmente utlzado en la lteratura de AHP y que vene dado por σ r ' ˆ D = ( y Xµ ˆ consenso )( y Xµ ˆ consenso ) (3.6) Jr n + k = Este estmador se utlza para evaluar el grado de consenso exstente dentro de un grupo. Para ello se establece límte superor de consstenca del grupo σ límte de forma que s se estma que el nvel de consstenca de un grupo es superor a dcho límte, 8

9 no exste consenso sufcente en el msmo al haber gran heterogenedad en las preferencas de sus membros El algortmo Una vez planteados los fundamentos estadístcos del algortmo, se pasa a contnuacón a descrbr el msmo. El método utlzado consta de los pasos sguentes: PASO 0 (ESTABLECIMIENTO DEL LÍMITE SUPERIOR DE CONSISTENCIA) Se establece el límte superor de consstenca σ límte. Para ello se ha utlzado el propuesto de Altuzarra y otros (005) que fa dcho límte de forma que e max P ε + α para ε ~ LN(0, σ e límte ) (3.7) max donde e max >0 es el error máxmo que se está dspuesto a soportar en el modelo (3.) con un nvel de confanza del 00(-α)% (0<α<). PASO (INICIALIZACIÓN DEL ALGORITMO) A) (CONSTRUCCIÓN DE GRUPOS) Se construye una partcón ncal del conunto de decsores D, { ( 0) (0),..., G ) } k (0 algortmo utlzado en el eemplo se ha optado por tomar k (0) = n y G (0) D k donde ˆ = ( ˆ µ,..., ˆ µ ) ' (k) (k) { : ˆ = max ˆ µ } = D ; =,,n n µ n µ y ˆ = 0. Se elmnan los grupos vacíos. µ n G. En el 9

10 B) (CÁLCULO DE LA DISTRIBUCIÓN DE CONSENSO DE CADA GRUPO) Se calcula, para cada grupo, la dstrbucón de consenso aplcando la expresón (3.5), (0) de forma que µ ~ ( ) ( ) G µ ˆ ( X' X) ( ) N σ, =,,k (0). Se pone t = n consenso, consenso (numero de teracones). PASO (ASIGNACIÓN DE GRUPOS) Se calcula, para cada decsor D k las dstancas de Kullback-Lebler de su dstrbucón a posteror (3.4) a cada una de las dstrbucones de consenso de los grupos calculadas en el paso anteror. Cada decsor se asgna al grupo cuya dstanca sea mínma. Una vez fnalzado el proceso de asgnacón se elmnan los grupos vacíos y se obtene una nueva partcón { ( t ) ( t ),..., G ( t ) } G del conunto de decsores, D. k PASO 3 GRUPO) (CÁLCULO DE LA DISTRIBUCIÓN DE CONSENSO DE CADA Se calcula, para cada grupo, la dstrbucón de consenso aplcando la expresón (3.5), ( ) ( ) G µ ˆ ( X' X) ( ) (t ) de forma que µ ~ N σ, =,,k (t). n consenso, consenso PASO 4 (DIVISIÓN DE GRUPOS) Se analza s algún grupo se debe dvdr. Para ello se calcula, para cada grupo, un estmador de su nvel de nconsstenca, determna el conunto ˆ ( t σ G ) utlzando la expresón (3.6). Se G dvdr = {,..., k ( t) }: ˆ σ G ( t ) σ lm te G ( t χ ( t ) G J n+, 0.5α y G ) J n +, 0.5α ( t ) > donde los límtes superores de consstenca se determnan a partr de la dstrbucón ˆ ( t ) G χ dado que σ es un estmador del nvel de consstenca del grupo. S Gdvdr = ( t ) se va al Paso 5. En caso contraro se determna el grupo tal que ˆ = G max σ ( t ) G max 0

11 max Gdvdr ˆ t ( t ) σ. Sea D k el decsor de G tal que σ (k) ( ) = max ( t ) σ. Se ( ) G ( t ) ( t ) dvde G en dos subgrupos: {Dk} y G -{Dk} y se calculan, utlzando (3.5), las max max max D G max dstrbucones de consenso de cada grupo. Se pone k (t+) = k (t) +, t = t+ y se va al Paso. PASO 5 (AGRUPAMIENTO DE GRUPOS) Se calcula el par ( mn, mn ) C tal que ˆ σ ( t ) ( t ) = mn (,) C σˆ, donde C= G G mn mn (t) (t) G G {(,) {,,k (t) } {,,k (t) < k (t), ˆ σ ( t ) ( t ) G G σ lmte G ( t ) χ G ( t ) G ( t) J n+, 0.5α } J n +, 0.5α ( t) ( t) S C = se va al paso 6. En caso contraro se reemplazan y por G ( t) mn G ( t) mn y se calcula la dstrbucón de consenso de este grupo. Se pone k k (t) -, t = t+ y se vuelve al paso. PASO 6 (CONDICIÓN DE FINALIZACIÓN) El algortmo acaba s dos partcones consecutvas de D son guales o s G mn G mn (t+) = G= {,..., k ( t) }: ˆ σ G ( t ) σ lmte G χ ( t) G ( t ) J n+, 0.5α J n +, 0.5α = S los nveles de consstenca ndvduales {σ (k) ; k=,,r} son desconocdos se estman a partr de los ucos ndvduales emtdos por cada decsor medante el ' estmador nsesgado ˆ = ( y Xµ ˆ ) ( y Xµ ˆ ) σ. J n +

12 4. Eemplo. Los desarrollos anterores se aplcaron a los resultados de una encuesta realzada entre los alumnos de segundo curso de la Facultad de Económcas de Zaragoza. En ella se pedía que expresaran la ntensdad de sus preferencas entre tres opcones relatvas al Tratado de la Nueva Consttucón Europea, que fue refrendado por los españoles el día 0 de febrero de 005. Las opcones propuestas eran las sguentes: A: Aceptar este tratado por el que se establece una Consttucón para Europa B: Rechazar este tratado por el que se establece una Consttucón para Europa C: Volver a convocar otro referéndum más adelante, que sea vnculante A partr de los resultados, medante AHP se obtuveron las estructuras de preferenca de cada uno de ellos, y a ellas se aplcaron las técncas de vsualzacón gráfca menconadas en este artículo. Los vectores de prordades de cada uno se muestran en la Tabla. 4. Dagramas trangulares En los dagramas trangulares se representan las prordades ndvduales estmadas medante { ( ) ˆ ( ˆ,..., ˆ k w = w w ) n ;k=,,r} donde ˆ w = n exp = ( ˆ µ ) ( ˆ µ ) exp ;=,..,n y las prordades de consenso de cada grupo estmadas medante ( ) consenso ( ) ( ) ( wˆ,..., wˆ ) w ˆ = donde consenso, consenso, n ˆ ( ) w consenso, exp ( ) ( ˆ µ consenso, ) ( ) ( ˆ µ ) = n k exp consenso, l l=. Los grupos asgnados se representan con colores dferentes y las prordades de consenso de los msmos con círculos. En cada gráfco se representan los resultados de aplcar el algortmo de la Seccón 3 con valores dferentes de e max y tomando α = Se observa que, cuanto mayor es e max menor es el número de grupos al aumentar el valor de σ lm te. Además, los grupos tenden a localzarse en las zonas del dagrama en las que se elge una de las alternatvas por encma de las otras dos y, dentro de las zonas trangulares correspondentes en aquellas subzonas en las que se encuentran las es-

13 Tabla. Vectores de prordades del problema de votacón. decsor a a 3 a 3 w w w ,584 0,808 0,350 3 /3 /3 0,808 0,350 0,584 3 /7 /5 3 0,079 0,649 0, /3 /3 0,808 0,350 0, ,3333 0,3333 0, /9 0,75 0,0436 0, ,590 0,775 0, /7 /7 0,579 0,0759 0, ,64 0,309 0, /3 0,7007 0,097 0,0 3 /3 3 0,3333 0,3333 0, /9 3 0, 0,389 0, /9 0,663 0,0636 0, /3 /7 0,790 0,079 0,649 5 /7 /3 7 0,0759 0,766 0,579 6 /7 /5 0,0778 0,4869 0, /5 /9 0,78 0,0704 0, ,758 0,983 0, ,3333 0,3333 0, /5 /5 0,0 0,097 0, /5 0,758 0,0759 0,983 3 /9 3 0, 0,389 0, /7 0,4667 0,0667 0, /3 /5 0,583 0,047 0, /3 /5 0,336 0,0746 0, ,6854 0,344 0, /5 0,779 0,0599 0, ,64 0,309 0, /7 /9 0,734 0,0545 0, /7 /9 /3 0,0549 0,897 0, /7 0,705 0,0586 0, /3 0,389 0, 0, /3 0,7903 0,070 0, /3 /5 /5 0,097 0,0 0, /9 0,75 0,0436 0, /3 /9 0,654 0,069 0, /5 0,779 0,0599 0,60 38 /3 /7 3 0,096 0,559 0, /9 9 0,0909 0,88 0, /5 /7 /9 0,0599 0,60 0, /3 0,486 0,49 0,486 decsor a a 3 a 3 w w w ,7007 0,0 0, /5 0,675 0,0856 0, ,5568 0,5 0, /5 /5 0,0 0,097 0, /5 /9 0,067 0,058 0, /5 /5 0,0 0,097 0, ,584 0,808 0, ,3333 0,3333 0, /7 /9 0,9 0,0480 0, /7 0,705 0,0586 0, ,3333 0,3333 0, /9 /9 0,0909 0,0909 0, /7 /7 0,07 0,0554 0, /3 3 0,000 0,6000 0, ,3333 0,3333 0, /9 0,73 0,0503 0, /3 0,7383 0,095 0,70 59 /9 /9 0,0909 0,0909 0, /7 0,608 0,0746 0, ,3333 0,3333 0, /5 0,7968 0,058 0, /3 0,584 0,350 0, /5 /5 0,49 0,49 0, /3 /5 0,583 0,047 0, /5 0,675 0,0856 0, /3 /3 /3 0,350 0,808 0, /5 0,4545 0,0909 0, /9 /9 /9 0,046 0,799 0, /3 /7 /5 0,080 0,884 0, /9 0,5887 0,067 0,344 7 /7 /7 0, 0, 0, /5 0,4054 0,40 0, /7 /9 0,488 0,0658 0, /9 9 0,0909 0,88 0, /9 0,7785 0,046 0, /9 0,7785 0,046 0, /3 /3 0,330 0,04 0, ,584 0,808 0, /5 /5 0,573 0,0703 0, ,389 0,4600 0, tructuras de preferenca más preferdas por el grupo de ndvduos. Este hecho se apreca muy claramente en los gráfcos perceptuales mostrados en la Fgura, en los que se observa que los grupos tenden a stuarse en torno a los puntos correspondentes a las estructuras de preferenca más preferdas por los ndvduos. Por eemplo, en el caso e max =75 puede verse cómo aparecen 7 grupos, representando los ndvduos con una estrella y el centro de masas de cada grupo medante un círculo, lo que permte caracterzar el comportamento general del grupo. En el caso 3

14 e max =50 los grupos se reducen a tres, lo que hace que algunos ndvduos se hayan reubcado stuándose en los grupos más cercanos. Observando el comportamento de algunos ndvduos se concluye que el dagrama trangular no representa de manera ntutva esta cercanía, pues al pasar de e max =75 a e max =50 algunos de ellos no se recolocan en los grupos más próxmos, s nos atenemos a la dstanca euclídea sobre el plano del smplex. Los gráfcos trdmensonales que se presentan en 4.3 permten obtener una vsón más clara de la cercanía entre ndvduos y grupos. 4. Gráfcos MDS Los gráfcos correspondentes a las estructuras de preferenca (Fgura ) se han elaborado a partr de los resultados obtendos al aplcar un Multdmensonal Scalng a la matrz de dstancas sguente: Dstancas = (d kl ) (Matrz (r+ngrupos+n!) (r+ngrupos+n!)) donde d kl = n! n! = = p Rankng p ( l) Rankng Dstanca ( Rankng, Rankng ), sendo [ µ ~ N ( m, ( X' ) )] p σ la probabldad de la estructura Rankng = P Rankng n X de preferenca sobre las alternatvas {A,,A n } obtendas a partr de la dstrbucón a posteror del vector de log-prordades µ (k) Dstanca (Rankng,Rankng ) = - ρ Rankng, Rankng sendo ρ el coefcente de rangos de Spearman. Rankng, Rankng Los puntos representados son los decsores (dbuados con *) que utlzan las dstrbucones a posteror (3.4), los grupos (dbuados con o) que utlzan sus dstrbucones de consenso (3.5) y los rankngs (dbuados con trángulos) que utlzan sus dstrbucones degeneradas. La etqueta de cada rankng representa el 4

15 orden de preferenca de las alternatvas (e.g. 3 es la estructura de preferenca {A 3,A,A }). Fgura. Dagramas trangulares representando las prordades de consenso de los grupos para dstntos valores de e max. 5

16 Fgura. Dagramas MDS representando las estructuras de preferenca por grupos para dstntos valores de e max. 4.3 Dagramas de densdades de consenso Los dagramas de densdades de consenso representan la densdad de la dstrbucón espacal de las dstntas estructuras de preferenca; para ello utlzan la dstrbucón de consenso expresada en (3.5), generando a partr de ella medante smulacón por 6

17 ordenador un conunto de valores de la dstrbucón y obtenendo a contnuacón las prordades ndvduales estmadas como se ha hecho en 4.. El número de valores ha de ser lo sufcentemente grande como para poder calcular la densdad de las prordades en cada punto del smplex, de manera que se puede obtener la dstrbucón de densdades sobre éste. Dcha dstrbucón puede representarse ben medante un gráfco trdmensonal o ben por medo de un dagrama que asgne dstnta ntensdad de color a cada punto en funcón de la densdad de éste. emax=50 emax=350 Fgura 3. Dagramas trangulares representando las prordades de consenso de los grupos para dstntos valores de e max. 7

18 En la Fgura 3 se muestran los gráfcos de ambos tpos correspondentes a dos de los casos del eemplo; puede observarse cómo la vsta trdmensonal proporconan nformacón más ampla sobre la poscón relatva de cada decsor con respecto a su grupo de consenso, nformacón en que los dagramas trangulares de 4. no es perceptble. Los gráfcos trdmensonales se han obtendo a partr de un modelo geométrco de los datos smulados generado por ordenador, lo que permte que el punto de vsta pueda ser modfcado de manera nteractva medante una herramenta de vsualzacón 3D, posbldad de gran ayuda en la etapa de nterpretacón del gráfco y comprensón de los resultados por lo que supone de facldad para dentfcar los patrones de comportamento asocados a las dstntas posturas, tanto ndvduales como colectvas, del conunto de decsores. 5. Conclusones. A lo largo de este trabao, se han presentado dstntas representacones gráfcas que recogen el comportamento de las estructuras de preferenca dervadas de la resolucón del problema. Estas representacones, entre las que se encuentran los dagramas trangulares, los gráfcos MDS y los dagramas de densdades de consenso, capturan la evolucón de los dferentes patrones de comportamento detectados en la resolucón del problema. A partr de las msmas se establecen dferentes camnos de consenso entre las opnones de los actores mplcados en la toma de decsones. Destacar, por últmo, que se ha presentado un nuevo gráfco trdmensonal en el que se ncorpora la dstrbucón de los conglomerados representados por sus respectvos centrodes. Dcho gráfco muestra la densdad de la dstrbucón espacal de las dstntas estructuras de preferenca, permtendo así detectar los patrones presentes en el conunto de las decsones, y destacando además la mportanca de los decsores en sus correspondentes grupos de consenso. La mportanca de estos gráfcos trdmensonales radca por un lado en la posbldad de ser examnados de manera nteractva desde dferentes puntos de vsta, medante una herramenta de 8

19 vsualzacón adecuada, y por otro en el aporte de nformacón que representan con respecto a los dagramas trangulares al proporconar, para cada grupo de consenso, nformacón sobre la poscón relatva de cada decsor en el msmo, dando una dea más clara de dónde se encuentran stuados los ndvduos más próxmos al consenso (en térmnos de las densdades de consenso) y cuáles son los más leanos a éste. Bblografía: Aguarón, J. y Moreno-Jménez, J. M. (003): The Geometrc Consstency Index: Approxmated Thresholds. European Journal of Operatonal Research, 47(), pp Altuzarra, A.; Moreno-Jménez, J. M. y Salvador, M. (005): Group Decson Makng wth AHP: A Bayesan Approach. Facultad de Cencas Económcas y Empresarales. Unversdad de Zaragoza (en evaluacón). Asah, T.; Turo, D.; Shnederman, B. (994): Usng treemaps to vsualze the Analytc Herarchy Process. Techncal Report CS-TR-393, Unversty of Maryland, Department of Computer Scence. Gargallo, P.; Moreno-Jménez, J. M. y Salvador, M. (005): Una aproxmacón bayesana para la búsqueda de consenso en AHP-GDM. XIX Reunón Asepelt- España. Badaoz (CD). Kem, D. A. (00): Informaton Vsualzaton and Vsual Data Mnng. IEEE Transactons on Vsualzaton and Computer Graphcs, 8(), pp. -8. Moreno-Jménez, J. M. (00a): Constructvsmo Cogntvo en Decsones Públcas (documento prvado). Moreno-Jménez, J. M. (00b): El Proceso Analítco Jerárquco. Fundamentos. Metodología y Aplcacones. En Caballero, R. y Fernández, G.M. Toma de decsones con crteros múltples. RECT@ Revsta Electrónca de Comuncacones y Trabaos de ASEPUMA, Sere Monografías,

20 Moreno-Jménez, J. M. y Vargas, L. G. (993): A Probablstc Study of Preference Structures n the Analytc Herarchy Process wth Interval Judgements. Mathematcal Computer Modellng, 7(4/5), pp Moreno-Jménez, J. M. (003): Las Nuevas Tecnologías y la Representacón Democrátca del Inmgrante. En ARENERE, J.: IV Jornadas Jurídcas de Albarracín. Conseo General del Poder Judcal. TSJA. Moreno-Jménez, J. M.; Aguarón, J. y Escobar, M. T. (00): Decsonal Tools for Consensus Buldng n AHP-Group Decson Makng. th Mn-EURO Conference, Bruselas. Moreno-Jménez, J. M.; Aguarón, J.; Escobar, M. T. y Turón, A. (999): The Multcrtera Procedural Ratonalty on Ssdema. European Journal of Operatonal Research, 9(), pp Moreno-Jménez, J. M.; Aguarón, J.; Raluy, A. y Turón, A. (004): A Spreadsheet Module for Consstent Consensus Buldng n AHP-Group Decson Makng. Aceptado para su publcacón en Group Decson and Negotaton Journal, Kluwer Academc Publshers, Dordrecht (Holanda). Moreno-Jménez, J. M. y Polasek, W. (003): E-Democracy and Knowledge. A Multcrtera Framework for the New Democratc Era. Journal Mult-crtera Decson Analyss, Saaty, T. L. (980): Multcrtera Decson Makng: The Analytc Herarchy Process. McGraw Hll. New York. Shnederman, B. (996): The Eye Have It: A Task by Data Type Taxonomy for Informaton Vsualzatons. Vsual Languages. Turón, A.; Aguarón, J.; Moreno-Jménez, J. M. y Raluy, A. (003): Vsualzacón gráfca de las estructuras de preferencas en AHP. Actas de la XVII Reunón ASEPELT-España, Almería. 0

21 Turón, A. y Moreno-Jménez, J. M. (004): Vsualzacón de nformacón en el Proceso Analítco Jerárquco (AHP). Actas de la XVIII Reunón ASEPELT-España, León.

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