TEMA 5 MOMENTO DE INERCIA. RADIO DE GIRO Y MOMENTO RESISTENTE.

Transcripción

1 TEMA 5 MOMENTO DE INERCIA. RADIO DE GIRO Y MOMENTO RESISTENTE. 1. DEFINICIÓN. El momento de inercia de un cuerpo expresa los efectos producidos por los cuerpos en movimiento. Está relacionado con las masas de los cuerpo y la inercia (2º principio de Newton) de estos cuando están en movimiento. Cuando hablamos de momentos de inercia referidos a superficies, que será lo más normal, se debería decir, momento de segundo orden, ya que una superficie carece de masa y, por tanto, no se produce inercia. En resistencia de materiales podemos definir el momento de inercia como la capacidad que tiene los cuerpos de ser rígidos, entendiendo por rigidez la capacidad que tienen estos de resistir la flexión. Es decir, un cuerpo con un momento de inercia en un determinado eje alto, es muy rígido y por lo tanto resiste mucha flexión. El momento de inercia se representa con la letra I o J. Podemos decir que un cuerpo tiene un elevado momento de inercia según un determinado eje cuando al ser dividimos por este eje de forma virtual, en las dos partes que no quedan, la distancia de sus centros de gravedad con respecto al eje es grande. Mientras mayor sea esta distancia, mayor será el momento de inercia. Ixx = M d 2 El momento de inercia, o de segundo orden, de una superficie plana s respecto a un eje xx, es igual a la suma de los momentos de inercia del conjunto de elementos-superficie s1, s2, s3,... sn (que forman la superficie s), respecto al eje xx. El momento de inercia de una superficie es igual al producto de su área por el cuadrado de su distancia al eje xx. Ixx = S d 2 Según las unidades escogidas para medir la superficie y la longitud, que interviene en el momento de inercia, este vendrá expresado en una unidades u otras: cm 4, mm 4, m 4. El momento de inercia siempre será una magnitud positiva, porque una área y una distancia al cuadrado, también son dos magnitudes positivas. 2. MOMENTO DE INERCIA POLAR. Este momento de inercia está relacionado con la torsión y nos da información de la capacidad que tiene un cuerpo para resistir esfuerzos torsionales. Nos relaciona el giro de una masa alejada con respecto a un punto O y la capacidad que tiene esta de resistir una torsión con respecto a ese mismo punto. Su obtención se simplifica calculando el momento de inercia de esa masa con respecto a los ejes perpendiculares formado por un sistema de Página : 1

2 coordenadas cartesianas que pasan por el punto O y sumando ambos. El momento de inercia polar se representa por Io. Io = Ixx + Iyy 3. TEOREMA DE STEINER. El teorema de Steiner, llamado también de los ejes paralelos, dice: Que el momento de segundo grado o de inercia de un cuerpo o de una superficie S cualquiera respecto a un eje xx, es igual al momento de inercia de esa superficie S respecto a un eje GG, que es paralelo al eje xx y pasa por el centro de gravedad de la superficie S, más el producto del área de la superficie S por el cuadrado de la distancia que separa a los ejes xx y CG. El teorema de Steiner queda expresado en la siguiente fórmula: Ixx = ICG + Sd 2 El teorema de Steiner se utiliza para calcular el momento de inercia de una superficies compuestas por figuras geométricas de momento de inercia conocido. En la siguiente ilustración se puede ver un ejercicio resuelto aplicando el teorema de Steiner. Como hemos podido ver, nos hace falta saber o calcular los momentos de inercia de las figuras geométricas mas fáciles o conocidas. Por ello se adjunta una tabla con lo momentos de inercia de las figuras geométricas mas conocidas. Página : 2

3 4. RADIO DE GIRO. Considera una área A que tiene un momento de inercia Ix con respecto al eje x (Fig. 1a). Imagina que se ha concentrado esta área en una delgada tira paralela al eje x (Fig. 1b). Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto al eje x, la tira debe ser colocada a una distancia Kx desde el eje x, donde Kx, está definida por la relación: Ix = Kx 2 A Kx es lo que se conoce como radios de giro de un área con respecto al eje x y se expresa de la siguiente forma: De igual forma se pueden definir los radios de giro Ky y K0 (Fig 1c y 1d). Fig MOMENTO RESISTENTE. Se define como el momento de inercia del área de la sección transversal de un elemento estructural dividido por la distancia de la fibra neutra a la fibra extrema. También llamado módulo de inercia o módulo resistente. Hace referencia o indica la cantidad de flexión que es capaz de admitir un elemento estructural. el momento resistente se representa por Wxx o Wyy y sus unidades en mm 3, cm 3. Wxx = Ixx / Y Página : 3

4 EJERCICIOS. )*+,-.*+/(01$'+2+31'4$-5(!"#$%&$'( Página : 4

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