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1 NIVERSIA E BENOS AIRES FACLTA E INGENIERÍA EPARTAMENTO E IRÁLICA Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo Ig. Lus E. Pérez Farrás - Novembre 003 -

2 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo TBERÍAS EN SERIE Y EN PARALELO INICE.- GENERALIAES Y OBETIVOS 3.- TBERÍAS EN SERIE 6..- Plateo y desarrollo del problema 6..- Solucó co los crteros racoales S cosderar pérddas de eregía localzadas y teedo e cueta que la líea de eergía total cocde co la líea de eergía pezométrca Cosderado pérddas localzadas Solucó e coduccoes de agua co la expresó de aze y Wllams S cosderar pérddas de ergía localzadas y supoedo cocdetes la líea de eergía total y la líea de eergía pezométrca Cosderado pérddas de eergía localzadas Cometaros sobre la regulacó co válvulas al pe 3.- TBERÍAS EN PARALELO Plateo y desarrollo del problema Solucó co los crteros racoales Solucó e coduccoes de agua, utlzado la expresó empírca, de aze y Wllams 6 El Autor agradece la colaboracó del Ig. Roberto Pérez, Proesor Ttular de las Cátedras de dráulca Geeral e dráulca Aplcada, de la Facultad de Igeería de la versdad Nacoal de la Patagoa Sa ua Bosco (FI NPSB), sede Comodoro Rvadava, por la metculosa revsó realzada del orgal, la optmzacó recomedada y los cosejos tedos e cueta para la edcó del presete trabajo. --

3 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo TBERÍAS EN SERIE Y EN PARALELO.- GENERALIAES Y OBETIVOS El propósto del presete texto es el de presetar el cálculo hdráulco de las tuberías e sere y e paralelo y la orma de ecarar la solucó de ambos problemas, plateado las ecuacoes ecesaras a tales eectos. La asgatura dráulca Geeral, e su ase preva eseña a dspoer de dos herrametas para el cálculo de tuberías, ambas proveetes de cosderacoes dsttvas sobre la ecuacó de arcy - Wesbach. E el capítulo correspodete de la matera se ha demostrado que la msma preseta la orma: E la que j g - j es la pérdda utara de eergía o pérdda utara de carga - es el coecete de rccó, que se ha probado resulta ucó de las varables las que se recuerda so: ; ρ ; ; μ ; - es la velocdad meda e la seccó, ρ es la masa especíca del agua, - dámetro tero o hdráulco de la coduccó, μ vscosdad absoluta del agua (ucó de la temperatura de la msma), - rugosdad absoluta de la tubería S e la expresó ombrada se reemplaza la velocdad meda e ucó del caudal y la seccó trasversal (ecuacó de cotudad) y además se susttuye el coecete de rccó por la relacó: 8 g b E la que g es la aceleracó ormal de la gravedad y b u coecete empírco vestgado por umerosas sttucoes y autores. a vez elaboradas las costates mplíctas, se obtee la expresó: j 6,8 b 5-3-

4 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo La cual es la ecuacó de arcy - Wesbach expresada de maera tal que pueda represetar a todas las órmulas empírcas exstetes. La prmera orma e ucó del coecete de rccó, es de suma utldad para ser aplcada co los crteros racoales, udados e la modera teoría ludodámca corroborada y adecuada por la expermetacó. Su gra vetaja radca o solo e su racoaldad so que además posblta su aplcacó co crtero uversal, es decr a gra úmero de ludos e dsttas codcoes de temperatura y aú e tuberías o crculares. La seguda e ucó del coecete b, da lugar a las dsttas expresoes empírcas que exste. El coecete b, es ucó de las característcas expermetales tedas e cueta e cada caso y permte pasar revsta a las umerosas expresoes exstetes. E el extremo de meor aproxmacó, la expresó de uput, la más atgua órmula coocda, toma b 50. E cambo e el extremo de mayor precsó detro de las expresoes empírcas, la más utlzada moderamete es la de aze y Wllams. La msma se obtee de reemplazar e la expresó geeral el valor de b obtedo e orma expermetal y teedo e cueta la varacó de las varables volucradas aú las que actúa e orma sutl (el valor de b para la expresó que os ocupa es ua ucó empírca partcularmete compleja de la relacó etre las varables tervetes). La expresó de aze y Wllams resulta almete: j,85,85, 85 ( 0,75 C) E la que C es ua costate que mde la rugosdad del materal de la coduccó La expresó de reereca, al gual que todas las empírcas tee lmtacoes coceptuales otables co respecto a las expresoes que se obtee co el crtero racoal. Sólo so váldas para escurrmeto de agua e régme pleamete turbuleto y o cotempla varacoes por temperatura, por lo que sus aplcacoes, cuato más alejadas de las temperaturas de expermetacó y ormulacó, hace más exacta su aplcacó. E apretada sítess, la dereca esecal etre ambas metodologías, racoal o empírca (además que la prmera tee carácter de uversal y la seguda es solo --

5 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo aplcable al agua e régme turbuleto y tuberías crculares) radca que e las prmeras la rugosdad es u cocepto relatvo ucó del Número de Reyolds y de la rugosdad absoluta, metras que e el segudo la rugosdad se toma como ua propedad absoluta de cada materal. E partcular es e éste cocepto dode radca la mucho mayor rqueza coceptual del prmer crtero e relacó co las expresoes empírcas. Pero es justamete esta meor justeza coceptual la que posblta el cálculo, sobre todo de stuacoes más complejas como las que se aalza e el presete texto. Como el cálculo de coduccoes hdráulcas dsta mucho de ser exacto, las aproxmacoes que co ellas se logra, resulta satsactoras e el campo de las aplcacoes tecológcas. El Igeero deberá decdr, e últma staca y e ucó de su dspobldad o acldad de utlzacó, cuál es la herrameta de cálculo más útl a sus objetvos. E el presete texto se aalzará el cálculo de coduccoes e sere y e paralelo, plateado las ecuacoes báscas para el cálculo, destacado la dcultad de realzar el msmo co las ecuacoes racoales y brdado la solucó utlzado la ecuacó de aze y Wllams. Es de destacar que actualmete exste sostcados y relatvamete costosos utltaros que posblta el cálculo co los crteros racoales. Pero també es certo que los valores a ser obtedos para la solucó del problema, utlzado la expresó de aze y Wllams (obvamete lmtada al escurrmeto de agua e régme turbuleto e coduccoes crculares) so lo sucetemete aproxmados a pesar de su meor precsó coceptual, obteédose valores práctcamete cocordates co los de la teoría racoal, al meos e térmos de aplcacó tecológca. Es oportuo señalar que e los casos de aplcacó e el campo de la dráulca e geeral, cuado los tramos so relatvamete largos, las pérddas localzadas resulta teer u eecto desprecable. Por ésta razó se ecara ambas solucoes, s o co cosderacó de las msmas. E stalacoes cortas co umerosos accesoros esta cosderacó o debe hacerse, lo que es habtual e stalacoes dustrales. Cuado se regula caudales, obvamete accoado válvulas para producr pérddas de carga expresamete a esos eectos, tampoco es posble o cosderarlas, ya que las msmas so expresamete las causales de la regulacó. Nota: Los acueductos regulados co válvulas al pe costtuye u claro ejemplo. Sobre el al del desarrollo de tuberías e sere se realza ua breve terpretacó del cocepto vertdo. -5-

6 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo.- TBERÍAS EN SERIE..- Plateo y desarrollo del problema E el esquema de la gura se terpreta el problema. E la msma puede aprecarse ua sere de ramales e sere, lo que mplca como codcoes de borde que el caudal es el msmo e los tramos que, e el caso mas geeral, puede ser de dsttas logtudes, co tuberías de dsttos materales y dámetros. La otra codcó de borde es que la suma de las pérddas de eergía guala a la eergía dspoble, dada por la dereca de cotas etre vel de greso aguas arrba y vel de llegada aguas abajo. E símbolos cte.... A Z A 0 3 Últmo /g Tramo j j * * j * l e Σ R *j j /g * * j * l sere j P /γ *j * P 3 /γ j * (-) -- j * P /γ 0 l Z Z l do. Tramo e sere Fgura Coduccó co tramos de Tuberías e Sere Z 3 3 l j /g R Z L Plao de comparacó Además de la gura puede terpretarse claramete, e cada tramo de dámetro costate, que las pérddas de eergía totales so guales, a las pérddas de carga. Se recuerda que el tema es aalzado e prouddad cuado se trata la terpretacó de la expresó de Beroull, para escurrmeto udmesoal e régme uorme de líqudo real, e el capítulo correspodete. Por lo expuesto precedetemete surge que es dstto expresar las ecuacoes como Pérddas de eergía total o como Pérddas de carga. E el desarrollo que sgue se utlza esta últma por ser la más utlzada e la práctca, cuado o se -6-

7 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo cosdere pérddas localzadas (caso muy recuete) e cambo se utlza las expresoes e ucó de la pérdda de eergía total, cuado sea cosderadas, atededo al mayor rgor tecológco de la aplcacó. So datos del problema las logtudes, materales y dámetros de las tuberías de los dsttos tramos e sere, como así també el desvel topográco, cocdete coceptualmete, co la eergía o carga total dspoble. La cógta es el caudal que erogará por la stalacó. Es evdete que las ecuacoes obtedas posblta ecarar, las solucoes de la gra varedad de opcoes de cálculos e ucó de datos e cógtas, y resolver su problemátca...- Solucó co los crteros racoales...- S cosderar pérddas localzadas y supoedo cocdetes la líea de eergía total co la eergía pezométrca Se hace presete que cuado se trató la expresó de Beroull, se destacó que e aplcacoes de la práctca (acueductos y redes de agua a presó) los térmos de eergía cétca resulta e geeral rrelevates ate los correspodetes a la presó. Cosecuetemete co esa smplcacó la líea de eergía total y la líea de eergía pezométrca se coude hacedo otablemete mas seclla la resolucó. Recordado además la seguda de las ecuacoes de codcó de borde, expresada como pérddas de carga e ucó de la smplcacó adoptada, para régme permaete se tee que: cte.... Nota: Se recuerda que el térmo de eergía cétca del tramo al e cocdeca co la etrada al reservoro, es e realdad ua pérdda localzada por etrada a depósto e la que, y cosderada e éste caso desprecable como el resto de las pérddas localzadas de toda la stalacó. Las pérddas geerales e los dsttos tramos de tuberías e sere resulta: 5 g g gπ π 6 8 A -7-

8 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo E la que A es ua costate propa para el prmer tramo de dámetro dado. esgado como B, C;... ; N las costates propas de los dsttos tramos, las expresoes de las pérddas de carga se reduce a: 3 B C... N 3 Cosecuetemete, la eergía total dspoble resulta: ( A B... N ) A B... N Por lo que el caudal se obtee de despejarlo de la órmula ateror, resultado: A B... N La solucó detva cosste para la determacó de los dsttos térmos de rccó para cada tramo, éstos debe calcularse por métodos teratvos, dado que so ucoes de las cco varables prevamete recordadas y e especal del dámetro y la velocdad meda. Los utltaros que orece el mercado resuelve el problema plateado co solveca y posbltado todo tpo de cálculos para los dsttos ludos y seccoes trasversales de coduccoes....- Cosderado pérddas de eergía localzadas E este caso las pérddas de eergía localzadas se toma e cueta cosderado su ecuacó geeral y la suma de todas las pérddas e la stalacó. E eecto, s se tee e toda la stalacó j sgulardades geeradoras de pérddas localzadas, la eergía total dspoble queda: A B... N j ( A B... N ) l j l -8-

9 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo E la que: l l g l g Ω 6 g π l E la que el coecete para cada tramo, es ua costate para cada accesoro e partcular, co lo que su sumatora costtuye e cosecueca ua costate para la stalacó. La ecuacó geeral queda etoces: A j B... N e dode: j A B N... E la que uevamete, el problema queda plateado e la determacó de los dsttos térmos de rccó para cada tramo, éstos debe calcularse por métodos teratvos, dado que so ucoes de las cco varables prevamete recordadas y e especal del dámetro y la velocdad Meda. Sólo dere del caso ateror e el que el deomador se debe cosderar la costate para ua dada stalacó, que costtuye la suma de todas las pérddas localzadas. Al gual que e el caso ateror, exte utltaros que resuelve ecetemete el cálculo hdráulco. La cosderacó de las pérddas de eergía localzadas e realdad costtuye, para la coeccó del programa, u problema meor..3.- Solucó e coduccoes de agua co la expresó de aze y Wllams Es oportuo señalar que el procedmeto a segur es gualmete váldo para cualquer expresó empírca. Se utlza la de aze y Wllams por ser la más dudda y actualzada S cosderar pérddasde eergía localzadas y supoedo cocdetes la líea de eergía total y la líea de eergía pezométrca -9-

10 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo Se recuerda uevamete que cuado se trató la expresó de Beroull, se destacó que e aplcacoes de la práctca (acueductos y redes de agua a presó) los térmos de eergía cétca resulta e geeral rrelevates ate los correspodetes a la presó. Cosecuetemete co esa smplcacó, la líea de eergía total y la de eergía pezométca se coude e ua sola, smplcado la solucó otablemete. e la seguda de las ecuacoes codcó de borde, expresada como pérddas de carga e ucó de la smplcacó adoptada, se tee que: cte.... Nota: Se recuerda que el térmo de eergía cétca del tramo al es e realdad ua pérdda localzada por etrada a depósto e la que l, y cosderada e éste caso desprecable como el resto de las pérddas localzadas de toda la stalacó. tlzado la expresó de aze y Wllams para la evaluacó de las pérddas de eergía hdráulca e cada tramo se tee: Reemplazado e la expresó codcó de borde y sacado al caudal como actor comú: espejado se obtee:,85,85 ( 0,75 C ) ( 0,75 C ),85,85 ( 0,75 C ) ( 0,75 C ),85,85,85,85,85,85,85, 85 ( 0,75 C ) ( 0,75 C ),85,85,85,85... l l l A B N A B N, 85 ( A B... N ) l l l,85,85 A B... N La ateror resuelve el problema s teracoes de gú tpo, dado que la rugosdad C es cosderada como úca y propa para cada materal, lo que desde el puto de vsta de la rgurosdad coceptual de la ecuacó, preseta claras derecas co los crteros racoales de cálculo, los que obvamete so mucho más sutles e lo aalítco. -0-

11 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo.3..- Cosderado pérddas localzadas E este caso las pérddas localzadas se toma e cueta cosderado su ecuacó geeral y la suma de todas las pérddas e la stalacó. E eecto: ( ),85 A B... N j l E la que, e orma totalmete smlar a lo aalzado para el caso de las solucoes racoales: l l g l g Ω 6 g π l E la que el coecete para cada tramo, es ua costate para cada accesoro e partcular, co lo que su sumatora costtuye e cosecueca ua costate para la stalacó. La ecuacó geeral queda etoces: j,85 ( A B... N ) La dcultad e este caso es resolver la ecuacó teedo la cógta elevada a dos expoetes dsttos (auque de u orde de magtud cercao). El método de Raphso - Newto, posblta ecotrar la solucó co u método teratvo rápdamete covergete y áclmete programable. Para ello se cosdera la ateror gualada a cero, y se la deoma como ucó φ:,85 ( A B... N ) 0 φ j Para el prmer tateo se adopta u valor de o, se reemplaza e la ecuacó y se obtedrá u resto φ. Luego se obtee el valor resolvedo la sguete expresó, e la que φ debe cosderarse co su sgo: φ dφ d 0,85 φ ( A B... N )

12 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo Se procede a u uevo tateo ahora reemplazado e la expresó orgal, el valor: 0 Se obtee u uevo resto φ el que resultará meor al ateror. Se procede e orma aáloga al paso ateror, utlzado el uevo resto. El proceso se retera hasta lograr valores de que satsaga la ecuacó co la aproxmacó cosderada sucete Cometaros sobre la regulacó co válvulas al pe El eecto regulador de las válvulas cosste justamete e geerar la pérdda de eergía (o carga) ecesara para posbltar la erogacó del caudal requerdo e ucó de las ecesdades. E ese caso el caudal requerdo es dato del problema y la cógta es la pérdda localzada a geerar por la válvula para posbltar su escurrmeto. E las expresoes más geerales, cosderado pérddas de carga localzadas, la cosderacó de la pérdda producda por la válvula debe derecarse claramete y ser despejada. E partcular la pérdda e la válvula puede expresarse como: v lv g v g Ω 6 g π v ξ v E la que: - ξ es ua costate umérca - v es el coecete de pérdda localzada ucó del grado de apertura de la válvula y a obteer de su curva característca (curva v ; grado de cerre e %). El térmo de pérddas de eergía hdráulca queda, e cosecueca: j j ξ v ξ v Y la expresó co las órmulas racoales queda: A j B... N ξ v --

13 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo e la que hay que despejar v y de la curva característca de la válvula obteer el grado de cerre ecesaro de la msma que posbltará escurrr al caudal requerdo. Obvamete sempre debe obteerse por medos teratvos los valores de los coecetes de rccó correspodetes a cada tramo. El cálculo aproxmado co la expresó de aze y Wllams, que o ecesta cálculos teratvos, se reduce etoces a cosderar: ( A B... N ) j,85 ( A B... N ) ξ,85 j ξ v v Nuevamete, de la ateror hay que despejar v y de la curva característca de la válvula (curva v ; Grado de cerre e %) se debe obteer el grado de cerre ecesaro de la msma, que posbltará escurrr al caudal requerdo. Obvamete, cuado o se requera el cálculo de las pérddas localzadas (lo que es recuete e la práctca de las stalacoes de saeameto básco) e las aterores el térmo correspodete a las msmas se los cosderará ulo. 3.- TBERÍAS EN PARALELO 3..- Plateo y desarrollo del problema El esquema de la gura posblta aalzar las varables tervetes. / l / materal / E la msma puede aprecarse como a u udo arrba u caudal que partr de esa seccó se burca e ramales e paralelo, cada uo evetualmete co tuberías de dsttos materales, dámetros y logtudes. / l / mat. / / l / mat. / - / l - mat. - / - Evdetemete a partr del udo, dode los ramales se reecuetra, el caudal suma resulta ser el orgal al o exstr, por hpótess de partda, dervacoes e ruta. / l / materal / Fgura Tuberías e paralelo Las codcoes de borde del problema so ácles de terpretar, e eecto obvamete el caudal suma de los caudales dervados por cada ramal es gual al -3-

14 Tuberías e Sere y e Paralelo -- epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas caudal total y por otra parte, la pérdda de eergía (o de carga) etre ambos udos es la msma cualquera sea el ramal que se cosdere. E símbolos se tee que: Los datos del problema so el caudal, las logtudes de cada ramal, como así també los materales y dámetros de las tuberías que los tegra. Las cógtas so los caudales que pasa por cada ramal y la pérdda de carga etre las seccoes o udos y. Reemplazado la ecuacó de arcy - Wesbach e ucó del coecete de rccó a ser evaluado segú las ecuacoes racoales, se tee Para u ramal geérco caracterzado por el subídce se tee: 5 5 y g que la e g g g ξ π ξ ξ π Ω Las aterores represeta e cada tramo ua costate umérca propa de cada stalacó. La expresó orgal queda etoces: S se cosdera las pérddas localzadas geeradas por los dsttos tpos de accesoros o sgulardades, las msmas se evalúa co la coocda expresó: g g g ) a g L L L

15 Tuberías e Sere y e Paralelo -5- epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas E la que K L es la costate para cada accesoro y a la costate que se obtee de reemplazar la velocdad meda por la ecuacó de cotudad (la seccó trasversal es etoces ua costate para cada dámetro) S se cosdera accesoros geerado pérddas de ergía localzadas e cada uo de los ramales, la expresó ateror queda:.... j j L j j L j j l T a a a E las que las sumatoras dca las suma de todas las pérddas localzadas de eergía e cada tramo y que resulta costates para ua dada stalacó Solucó co los crteros racoales La dcultad se ecuetra e que los térmos de la expresó ateror, o so depedetes del caudal y del dámetro, por lo que e cada tramo el coecete de rccó es etre otras varables, ucó del caudal que escurre e cada ramal y de la rugosdad absoluta del materal de la tubería. Es por ello que ecesaramete los métodos de cálculo resulta teratvos y sumamete egorrosos. Los dsttos proveedores de programas utltaros resuelve el problema sguedo camos smlares, brdado solucoes uversales, es decr, váldas para ua gra varedad de ludos e cluso ormas o crculares de las seccoes. El cálculo se reduce a platear las expresoes: E la que la últma mplca ua ecuacó para ua tubería hpotétca equvalete a todos los ramales e sere. Al reemplazar e la ecuacó:... Se obtee:... Al ser las pérddas guales etre las seccoes y resulta: ;...; ; ;

16 Tuberías e Sere y e Paralelo -6- epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas... Por lo que el coecete de la tubería equvalete resulta: 0,5 0,5 0,5... S el aálss se hubera realzado teedo e cueta las pérddas de eergía localzadas, la ateror se complcaría algo sumado los térmos costates debdos a las msmas y quedado expresado e la orma que sgue. etermados los coecetes de rccó de la tubería equvalete y los dsttos para cada tramo, por métodos ecesaramete teratvos, el cálculo es medato. E eecto co esos valores es ácl determar el térmo de pérdda de carga gual para la tubería equvalete o los dsttos ramales y co él, los dsttos caudales, que deberá cumplr co que su suma guale el caudal total Solucó e coduccoes de agua co la expresó de aze y Wllams Nota: El procedmeto a segur es gualmete váldo para cualquer expresó empírca. Se utlza la de aze y Wllams por ser la más usual y actualzada. Se recuerda que las codcoes báscas que debe ser cumpldas so: ,5 0,5 0,5... L L L a a a

17 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo E la prmera, se tee reemplazado las pérddas e los dsttos ramales e ucó de la expresó de aze y Wllams:,85,85 ( 0,75 C ) ( 0,75 C ),85 A,85 e la que A,85,85,85,85 ( 0,75 C ) ( 0,75 C ),85 B,85 e la que B,85,85...,85,85,85,85,85, 85 ( 0,75 C ) ( 0,75 C ) N e la que N E cosecueca, la pérdda de carga etre las seccoes y, e ucó de los datos de cada tramo y utlzado la expresó de aze y Wllams, resulta:,85,85 A B... N,85 El valor de la expresó preva mplca ua pérdda equvalete de los ramales e paralelo, que puede obteerse de cosderar ua tubería úca hpotétca, equvalete tato e trasporte de caudal como e pérdda de carga, a los ramales e paralelo. Ello posblta el plateo que sgue: χ 3 B,85 A N ;,85,85 ; ; de de de,85 ( ) dode dode dode ; de χ dode A B ( ). B -7-

18 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo Reemplazado las aterores e la ecuacó co la codcó a cumplmetar por los caudales, se tee que:... o lo que es equvalete: χ B C 3... N Teedo e cueta que las pérddas e todos los tramos debe ser ecesaramete guales, se puede smplcar por lo que, almete: χ A B... N espejado el térmo costate de la expresó de aze y Wllams, para la tubería hpotétca equvalete a tramos e paralelo, se tee: χ A B... N,85 Nota: Evdetemete carece de todo setdo calcular el dámetro, el coecete de rugosdad de la tubería equvalete y su logtud exacta (podría estmarse como la dstaca míma etre y ) dado que o solo o es ecesaro so que además es u problema determado. La expresó ateror posblta el cálculo de χ e ucó de A, B,..., N, que so costates para ua dada stalacó. Co el valor calculado precedetemete se puede obteer los caudales e cada rama co las expresoes: -8-

19 epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo χ A χ B... χ N Las que obvamete debe vercar que:... Lo que de resultar correcto mplca, además, que el problema está be resuelto. -9-

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