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1 UNIVERSALIDAD DE LA COMPUTACIÓN CUÁNTICA GEOMÉTRICA: MODELO DEL MEDIO KERR Andrés Scard 1, Maro Vélez Grupo de Lógca y Computacón Departamento de Cencas Báscas, Unversdad EAFIT, Medellín, Colomba 1 emal: RESUMEN El modelo del medo Kerr es un modelo de computacón cuántca geométrca. Se demuestra que éste es un modelo de computacón cuántca unversal. Para cada una de las compuertas cuántcas que generan la unversaldad, se presenta explíctamente el operador de holonomía Γ A (γ y el cclo γ sobre los cuales son construdas. ABSTRACT The Kerr medum s model s a Geometrc Quantum Computaton model. We proof that t s unversal quantum computaton model. For every quantum gate that produce the unversalty, we explctly show the holonomy operator Γ A (γ and the loop γ assocated wth them. PACS: 03,65. w, 03,67.Lx, 03,65.Bz Palabras Clave: Computacón cuántca geométrca, unversaldad, medo Kerr. Introduccón La unversaldad de un modelo de computacón cuántca, es decr, su capacdad de realzar cualquer operacón que realce una máquna de Turng, se establece por su capacdad de generar un conjunto de compuertas cuántcas U, tales que cualquer transformacón untara U(k 2 n, es decr, cualquer compuerta cuántca que opere sobre n-qubts, puede ser aproxmada con sufcente exacttud por un crcuto cuántco que consta úncamente de un número fnto de compuertas del conjunto U. La unversaldad o no un modelo de computacón cuatca geométrca está determnada por el grupo de holonomía Hol(A asocado a su conexón A. Hoy en día se sabe que la condcón de rreducbldad de la conexón A para U(4 es una condcón sufcente, pero no necesara para obtener la unversaldad [3]. Cuando la conexón no es rreducble, la unversaldad para U(4 se obtene demostrando que el modelo puede construr al menos una compuerta de 2-qubts no local o no trval, es decr, una compuerta que no sea de la forma SU(2 I 2 o de la forma I 2 SU(2 [4]. El objetvo del presente artículo es establecer explíctamente la unversaldad del modelo de Computacón Cuántca Geométrca No Abelana (CCGNA, denomnado el modelo del med Kerr. El modelo del medo Kerr Se presenta un modelo de CCGNA provenente de la óptca cuántca, denomnado el modelo del medo Kerr, el cual ha sdo desarrollado por Janns Pachos y Paolo Zanard [6] como una posble aplcacón del modelo desarrollado por Paolo Zanard y Maro Rasett [2]. En este modelo, la CCGNA producda por haces 230

2 Característca 1-qubt 2-qubt Hamltonano H 0 Xn(n 1, donde H 0 Xn 1 (n X es una constante proporconal no lneal [6] y n es el operador número Xn 2 (n 2 1, donde n a a con 1, 2, y a 1 a 1I, a 1 a 1I, a 2 Autovalores para E 0 0, 1 F { ν ; ν 1, 2,... } Operadores untaros D(λ e λa λa, S(µ soe- Transformacón spectral Conexón 1I a, a 2 1I a { 00, 01, 10, 11 } 1 a2 ξa 2 a1, e µa 2 µa 2 M(ζ e ζa 1 a 2 ζa 2a 1 N(ξ e ξa H(λ, µ H(ξ, ζ g (λ, µh 0 g(λ, µ, g (ξ, ζh 0 g(ξ, ζ, donde donde g(λ, µ g(ξ, ζ N(ξM(ζ D(λS(µ A A λ dλ + A µ dµ A λd λ A µd µ A A ζ dζ + A ξ dξ A ζd ζ A ξd ξ Espaco paramétrco M(λ, µ, donde λ, µ C M(ξ, ζ, donde ξ, ζ C Componentes de la α g (λ, µ conexón A αβ σ g(λ, µ β, α g (λ, µ σ g(λ, µ β, σ donde α, β {0, 1} y donde α, β σ {λ, µ} {00, 01, 10, 11} y σ {ξ, ζ}. Tabla 1: Característcas del modelo del medo Kerr coherentes, físcamente consste de las nteraccones no lneales efectuadas en un medo Kerr. La tabla (1 presenta las característcas más relevantes del modelo del medo Kerr, tanto para el caso de 1-qubt como para el caso de un 2-qubt, desde la perspectva de la unversaldad del modelo [1]. De acuerdo a la parametrzacón λ x + y, µ r 1 e θ1, (1 ζ r 2 e θ2, ξ r 3 e θ3, (2 donde x, y, r 1, θ 1, r 2, θ 2, r 3, θ 3 R, las componentes de la conexón A λ y A µ para el caso de un 1-qubt toman la forma de la ecuacón (3 y las componentes de la conexón A ξ y A ζ para el caso de un 2-qubt toman la forma de la ecuacón (4 [1]. ( ( y x1 x y1 A x, A x 1 y y, y 2 x ( ( A r1, A 0 0 θ senh2 r 1, (3 donde x 1 cosh r 1 e θ1 senh r 1, y 1 cosh r 1 + e θ1 r 1 senh r 1, y 2 cosh r 1 + e θ1 r 1 senh r

3 0 0 0 e θ2 A r2, A r e θ3 0 0 e θ3 0 0 (2 cosh2 r 2 1, e θ e θ A θ2 2 senh 2r (cosh 2r 2 1, e θ A θ3 0 0 e θ3 0 0 e θ cosh 2r 2 sen 2r sen2 r 3. (4 Unversaldad para el modelo del medo Kerr Sean R x (θ y R y (θ las compuertas de rotacón dadas por R x (θ e θγx/2, R y (θ e θγy/2, donde Γ x y Γ y son las matrces de Paul, y sea E una compuerta no trval de U(4 dada por E Teorema (Descomposcón X Y. Sea U cualquer operador untaro que opere sobre un 1-qubt. Entonces exsten números reales α, β, γ y δ tales que [5] U e α R x (βr y (γr x (δ. Teorema Un conjunto de compuertas unversales para U(2 y la compuerta E de U(4 son un conjunto de compuertas unversales para U(k 2 n [6]. Con base en las ecuacones (1 y (3, el operador de holomonía Γ A (γ y el grupo de holonomía Hol(A, asocados al medo Kerr para el caso de un 1-qubt, estan dados por ( Γ A (γ P exp A d, (5 donde {x, y, r 1, θ 1 } y γ Hol(A {Γ A (γ γ cclo sobre λ 0 }, (6 donde λ 0 M(x, y, r 1, θ 1. De acuerdo al teorema (0.0.1 sólo es necesaro encontrar cclos asocados a las compuertas de rotacón R y y R x para obtener la unversaldad U(2. La construccón de la compuerta R y (α se realza sobre el plano (x, r 1 fjando a cero los parámetros y y θ 1. Sobre este plano se construye el cclo γ Ry dado por 232

4 γ Ry (α: (0, 0 (0, b (1, b (1, 0 (0, 0, donde b es un parámetro que depende de α. Para el cclo γ Ry (α, la ecuacón (5 toma la forma Γ A (γ Ry (α ( exp γ Ry (α [ exp (1 e b R y (α, A x dx + A r1 dr 1 ( 0 ] cuando b ln ( 1 α 2. La construccón de la compuerta R x (α es smlar a la compuerta R y (α, pero se realza sobre el plano (y, r 1. Por otra parte, con base en las ecuacones (2 y (4, el operador de holomonía y el grupo de holonomía Hol(A, asocados al medo Kerr para el caso de un 2-qubt, toman la forma de las ecuacones (5 y (6 donde {r 2, r 3, θ 2, θ 3 } y λ 0 M(r 2, r 3, θ 2, θ 3. De acuerdo al teorema (0.0.2 sólo es necesaro entonces encontrar un cclo asocado a la compuerta E, para obtener la unversaldad U(4 (unversaldad U(k 2 n del modelo del medo Kerr. La construccón de la compuerta E se realza sobre el plano (θ 3, r 2, r 3 fjando a cero el parámetro θ 2. Sobre este plano se construye el cclo γ E dado por γ E : (3π/2, 0, 0 (3π/2, b, 0 (3π/2, b, 1 (3π/2, 0, 1 (3π/2, 0, 0, donde b es una constante. Para el cclo γ E (b, la ecuacón (5 toma la forma Γ A (γ E (b ( exp γ E (b A r2 dr 2 + A r3 dr 3 ( π E, cuando b arccosh

5 Conclusones La unversaldad U(2 del modelo del medo Kerr se obtene al construr las compuertas de rotacón R x (α y R y (α que actúan sobre un 1-qubt, y la unversaldad U(k 2 n se obtene a partr de las compuertas R x (α y R y (α y de la construccón de una compuerta no trval E que actúa sobre un 2-qubt. Estas compuertas se obtenen como operadores de holonomía Γ A (γ construídos con base en una conexón A y en cclos γ sobre un espaco paramétrco M. Referencas [1] M. Vélez y A. Scard, Informe técnco, Unversdad EAFIT (2003,(en ejecucón [2] P. Zanard y M. Rasett, Physcs Letters A, 264, 94(1999. [3] D. Lucarell (2002, eprnt: arxv.org/abs/quant-ph/ [4] D. Lucarell, Comuncacón personal. [5] I. L. Chuang y M. A. Nelsen, Quantum computaton and quantum nformaton, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press, (2000. [6] J. Pachos y P. Zanard (2001, eprnt: arxv.org/abs/quant-ph/

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