2000. San José, Costa Rica. 1 Trabajo presentado en la XVIII Semana Cartográfica de América Central. 4-7 setiembre

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1 Comparación de dos métodos de interpolación para elaborar un modelo de elevación digital a partir de curvas de nivel a escala 1: para Costa Rica 1. Jorge Fallas (jfallas@racsa.co.cr) Laboratorio de Teledetección y Sistemas de Información Geográfica (TeleSIG) Escuela de Ciencias Ambientales y Programa Regional en Manejo de Vida Silvestre Universidad Nacional, Costa Rica. Resumen La inserción y adopción de los Sistemas de Información Geográfica como una herramienta de trabajo en los ambientes académicos, gubernamentales y privados ha permitido pasar del uso de cartografía analógica a la digital. Sin embargo, los avances logrados en el uso de los SIGs para crear y utilizar cartografía temática no han sido los mismos que los logros en el área de la cartografía cuantitativa. Una de las aplicaciones de gran interés en el área de medio ambiente es la creación y uso de modelos digitales de elevación (MDE); los cuales son una representación tridimensional de un espacio determinado (X,Y,Z). En teoría, el valor del eje Z podría ser una variable física (Ej. precipitación o elevación) o cualquier otro fenómeno de naturaleza volumétrica. En la década de los 70s y 80s el crear una superficie a partir de puntos de muestreo o iso líneas era una tarea difícil y que requería de un equipo de cómputo muy especializado y costoso. Esto cambió drásticamente en la década del 90 con los avances en el área de los microprocesadores, las tarjetas gráficas y en el desarrollo de software amigable para dichos equipos. Sin embargo y a pesar de los anteriores avances existe todavía un gran vacío en la creación y uso de los MDE tanto a nacional como regional. El presente trabajo tiene tres objetivos: revisar algunos de los métodos y técnicas de interpolación disponibles a usuarios de microcomputadoras; describir las normas de calidad para modelos digitales de elevación y finalmente evaluar la exactitud de un MDE creado para Costa Rica utilizando dos métodos de interpolación: triángulos irregulares (TIN) e interpolación lineal a partir de un archivo raster. El MDE fue creado a partir de curvas de nivel con un intervalo de 100 m digitadas del mapa topográfico a escala 1: del Instituto Geográfico Nacional. La exactitud del modelo fue evaluada utilizando 7231 puntos con elevaciones conocidas provenientes de la cartografía a escala 1: del Instituto Geográfico Nacional. Para desarrollar la aplicación se seleccionaron los programas 3D Analista de ArcView GIS e IDRISI para Windows. Los resultados obtenidos indican que el modelo TIN, aun cuando es eficiente y visualmente atractivo, no logró mantener la sinuosidad de las curvas de nivel originales. La misma limitación aplica al MDE creado con IDRISI; aunque en menor grado. La raíz cuadrada del error medio cuadrático del modelo TIN fue de 57 metros en tanto que para el modelo creado con IDRISI fue de 50.5m. El ámbito de los errores fue de -98m a 230m para el modelo TIN y -98 a 250m para el modelo de IDRISI. Aun cuando ninguno de los dos modelos de elevación cumplió con la norma requerida para un mapa a escala 1: ; el modelo creado con IDRISI sí genera valores de elevación con un error inferior o igual a media curva y por tanto el autor recomienda su uso. 1 Trabajo presentado en la XVIII Semana Cartográfica de América Central. 4-7 setiembre San José, Costa Rica.

2 Indice General 1. INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN Interpolación a partir de isolíneas Interpolación a partir de triángulos irregulares (TIN) Interpolación lineal INSUMOS PARA ELABORAR UN MDE ESTADÍSTICOS Y NORMAS PARA EVALUAR LA EXACTITUD DEL MDE Exactitud Estándares o normas para la cartografía altimétrica Estándares para modelos digitales de elevación SITIO DE ESTUDIO METODOLOGÍA Datos Software utilizado Validación del modelo Análisis visual Análisis cuantitativo RESULTADOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA...26

3 1. INTRODUCCIÓN La superficie terrestre se caracteriza por su irregularidad, expresada en formas del relieve tales como depresiones, valles, colinas, cordilleras y acantilados. El modelar dicha superficie no es una tarea fácil ni simple. Los Sistemas de Información Geográfica (SIG) permiten recrear visual y numéricamente el valor Z asociado a los diferentes elementos del paisaje natural y antrópico; cualidad que los convierte en una poderosa herramienta para cualquier especialista en gestión ambiental y de recursos naturales (ver Fig. 1). El software le permite al usuario(a) no solo visualizar elementos en tres dimensiones sino que también realizar análisis cuantitativos a partir de dichos elementos (Ej. calculo de pendiente, aspecto y curvatura) (Thoen, 1997). 1 Fig. 1: Vista en perspectiva de un segmento del mapa 1: correspondiente a la ciudad de Heredia. Vista hacia el norte. Una de las características de la superficie terrestre es su variabilidad y por ende no es posible conocer con exactitud la elevación de cada uno de los puntos que la conforman. Si la superficie fuese regular podría modelarse utilizando una función matemática, lo que permitiría determinar a su vez la elevación exacta de cada punto; sin embargo en el mundo real este no es el caso y debemos conformarnos con modelos del terreno basados en una pequeña muestra de los posibles valores de elevación. Otro aspecto que limita el número de puntos a utilizar para crear el modelo es la memoria y la velocidad de los procesadores disponibles a los usuarios de computadoras personales. Por estas razones en las aplicaciones reales el (la) analista debe llegar a un compromiso entre exactitud del modelo y requerimientos de tiempo/equipo/software. Dadas estas limitaciones tecnológicas y prácticas, la clave para lograr un modelo fidedigno está en seleccionar una estructura de datos apropiada para representar la superficie terrestre dado el tipo de datos con que se cuente para elaborarlo (Worboys, 1995). En la literatura se reportan dos estructuras de datos: las cuadrículas o celdas regulares y los triángulos irregulares (TIN, por su siglas en inglés) (Kumler, 1992). A pesar de los diversos trabajos realizados en cuanto las bondades/limitaciones de cada estructura de datos

4 (Carrara, Bitelli y Carla, 1997; Kumler, 1992; Fallas, 1998), no existe a la fecha una clara conclusión sobre la superioridad de ninguna de ellas. A pesar de las ventajas que ofrecen los MDE y de los avances en las áreas de hardware y software, todavía existe un gran vacío en cuanto a la creación y uso de los MDE tanto a nivel nacional como regional. El presente trabajo tiene tres objetivos: primero describir algunos de los métodos y técnicas de interpolación disponibles para crear un MDE; segundo describir los estándares utilizados para evaluar la exactitud de un MDE y finalmente evaluar la exactitud de un MDE creado para Costa Rica utilizando curvas de nivel y dos métodos de interpolación: triángulos irregulares (TIN) e interpolación lineal. A los interesados en el tema se les remite al informe final del proyecto de investigación titulado Modelos Digitales de Elevación: Teoría, métodos de interpolación y aplicaciones (Fallas, 2000). 2. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN El término Modelo Digital del Terreno (MDT) fue acuñado, según Petrie y Kennie (1990) por Miller y La Flamme, dos ingenieros del Instituto Tecnológico de Massachusetts, a finales de los años 50. Según estos investigadores un modelo digital del terreno es una representación estadística de una superficie continua mediante una gran cantidad de puntos cuyos valores en X, Y y Z son conocidos y se encuentran definidos en un sistema de coordenadas arbitrario. En la literatura (Burrough, 1986; Petrie y Kennie, 1990) también se designa a un Modelo Digital de Elevación (MDE) como Modelo Digital de Altura, Modelo Digital de la Tierra y Modelo Digital del Terreno. La interpolación tiene como objetivo estimar, a partir de una muestra, valores de Z para aquellos puntos (X,Y) donde no existen datos y puede utilizarse para lograr tres fines: (a) estimar valores de Z para ubicaciones particulares (X,Y); (b) estimar valores de Z para una cuadrícula rectangular y (c) cambiar la resolución de la cuadrícula en un archivo raster (método conocido como re muestreo). Desde el punto de vista de la superficie asumida por el interpolador, estos pueden clasificarse en discretos (Ej. mapas coropléticos, mapas de unidades de suelos y polígonos de Thiessen) y continuos (Burrough,1986). Los segundos, pueden a su vez dividirse en interpoladores que operan a partir de puntos y los que operan a partir de iso líneas. Los primeros se dividen en exactos (los valores de los puntos de muestreo son preservados) y no exactos (no se mantienen los valores originales de los puntos de muestreo).también se les puede clasificar en globales cuando la interpolación está basada en todos los puntos de muestreo ó locales cuando se utiliza un subset de los puntos de muestreo en el proceso de interpolación (Oliver, 1990). Entre los métodos de interpolación global tenemos a las ecuaciones polinomiales y a las series de Fourier y entre los métodos de interpolación local a la distancia inversa ponderada, curvatura mínima, Kriging (ordinario y universal) y funciones radiales (Cressie, 1993; Isaaks and Srivastava, 1989; Keckler, 1995; Oliver, 1990; Petrie, 1990). 2.1 Interpolación a partir de isolíneas Una isolínea está formada por una conjunto de segmentos de longitud variable que interconectan puntos de igual valor en el terreno. Dos de las fuentes más comunes de isolíneas son las curvas de nivel impresas en los mapas topográficos o en los levantamientos topográficos. A partir de dicho insumo y utilizando el software apropiado (Ej. Intercon de IDRISI, 3D Analyst de Arc View, TIN 2

5 de Arc Info, MGE Terrain Analyst de Intergraph) es posible crear un modelo digital de elevación ya sea en formato raster o vectorial (ver cuadro 1). 3 Cuadro 1: Comparación entre las estructuras de datos raster y TIN. Modelo raster: cuadrícula regular La cuadrícula es un modelo de datos simple formado por una matriz de columnas e hileras. Los procesos computacionales son muy eficientes ya que se trabaja con una matriz de valores (columnas e hileras). Existen algoritmos bien establecidos para el procesamiento de los datos. Dichos algoritmos se originaron en la comunidad de usuarios de procesamiento de imágenes digitales. Datos en formato raster son abundantes y menos costosos que los vectoriales. Modelo Vectorial: triángulos irregulares La red de triángulos irregulares es una estructura más compleja que representa la superficie mediante un conjunto de caras de triángulos contiguos que no se traslapan. Procesos computacionales menos eficientes ya que se debe estimar el valor promedio para el conjunto de nodos que rodean el punto de interés. Los algoritmos para procesar TINs son más complejos y costosos de programar. Por lo tanto el software también es más caro. Existen pocos datos en formato TIN y normalmente son más caros. El modelo de celdas regulares es rígido, ineficiente y no expresa con fidelidad los cambios abruptos del terreno. El tamaño de los triángulos se adapta a las irregularidades del área que se modela. Las coordenadas de los valores originales se mantienen como parte de la información asociada a los vértices de los triángulos y por lo tanto no existe pérdida de detalle ni de información. Basado en: ESRI, 1997; Maune, 1994; Shearer, 1990 y Weibel y Heller, Interpolación a partir de triángulos irregulares (TIN) El modelo de datos TIN (por sus siglas en inglés) fue inventado en forma independiente en América del Norte al menos tres veces en los primeros años de 1970 (Mark, 1977). El modelo TIN surgió como una respuesta a la necesidad de buscar una estructura de datos alterna a la raster utilizada hasta aquel momento para representar Modelos Digitales del Elevación (MDE) y a la insatisfacción por parte de los usuarios(as) con el software existente para crear isolíneas. A los interesados en el desarrollo histórico de las redes de triángulos irregulares se les remite a Mark

6 (1977). Dicho desarrollo culminó a finales de la década del 70 con una aceptación del modelo TIN como la forma estándar de representar la topografía en un SIG y en otros programas de cómputo. El modelo TIN (Fig.2) está formado por un conjunto de triángulos adyacentes creados a partir de puntos con un espaciamiento regular o irregular. Los vértices representan elevaciones, las líneas indican la pendiente y las caras de los triángulos el aspecto u orientación. La red de triángulos irregulares puede crearse a partir de puntos (Masa de puntos), líneas (líneas de cambio o inflexión en la topografía) y polígonos (áreas) ó de una combinación de los anteriores. El modelo TIN permite almacenar la información topológica que define las relaciones espaciales entre cada uno de los triángulos y sus vecinos (Ej. información sobre los vértices y los lados de cada triángulo). Este modelo de datos es apropiado para representar las irregularidades del terreno y para derivar métricas del paisaje tales como pendiente, aspecto y sombreado del terreno (Worboys, 1995). Sin embargo cuando se requiere utilizar la superficie con fines de modelado (Ej. simulación de escorrentía superficial), la estructura de datos raster es más apropiada (ESRI,1998). La capacidad de crear un archivo raster a partir del TIN es una de las funciones que ofrece el SIG en la actualidad. 4 Fig. 2: Red de triángulos irregulares. Los puntos rojos indican los vértices; los cuales a su vez forman parte de las curvas de nivel (líneas negras). Las líneas grises corresponden a los lados de los triángulos. Los valores dentro de los triángulos corresponden a elevaciones estimadas por el modelo Interpolación lineal El método de interpolación utilizado por Intercon de IDRISI pertenece a la categoría globalaproximado (Heywood, Price y Petch; 1995). El programa crea el MDE a partir de un archivo de curvas de nivel en formato raster y utilizando un método de interpolación lineal que consiste en crear una serie de perfiles en diferentes direcciones (Ej. Norte-Sur, diagonal; E-O; alrededor del área a interpolar). Para cada uno de estos perfiles el programa registra la elevación y la pendiente de cada celda. La elevación final asignada a la celda corresponde a la del perfil con la máxima pendiente. El algoritmo utilizado es una modificación del algoritmo CONSURF creado por David Douglas de la Universidad de Ottawa, Canadá. El manual de IDRISI (Eastman, 1992) reporta que el MDE creado con dicho algoritmo para un mapa a escala 1: (curvas de nivel cada 3m) cumplió con las

7 normas de exactitud utilizadas para la cartografía analógica de los Estados Unidos de América. El error medio reportado fue de -0.7m con una desviación estándar de 0.56m. La probabilidad de obtener un valor de elevación superior a 0.5 el intervalo de la curva de nivel fue inferior a 1%. El método de interpolación hace un fuerte uso de la memoria RAM y virtual (disco duro) y por tanto el usuario debe poseer suficiente espacio de disco antes de iniciar el proceso de interpolación. Una de las limitaciones del interpolador es que crea superficies con fuertes irregularidades; las cuales deben eliminarse mediante la aplicación de un filtro promedio. 3. INSUMOS PARA ELABORAR UN MDE El modelo digital del elevación puede elaborarse a partir de diversos insumos, entre los que tenemos: perfiles; puntos equidistantes (cuadrícula); muestreo selectivo (Ej. líneas que indican cambios bruscos en el terreno); curvas de nivel; puntos aleatorios con elevaciones conocidas; muestreo progresivo (la intensidad del muestreo está en función de la complejidad del terreno) y muestreo compuesto (combinación de muestreo selectivo y progresivo) (Weibel y Heller, 1991). Grassie (1982) citado por Shearer (1990) comparó la exactitud de los MDE generados con diferentes programas comerciales utilizados en cartografía general o temática. El insumo consistió en aproximadamente 300 puntos para los siguientes tipos de muestreo: Puntos sobre curvas de nivel Puntos sobre líneas que indican cambios bruscos en el terreno Puntos sobre ríos Puntos en una cuadrícula con nodos cada 85m Puntos con una distribución irregular Los resultados se compararon con elevaciones de referencia obtenidas por medios fotogramétricos para una cuadrícula con una separación de 30*30m y con valores de elevación obtenidos de curvas de nivel con un intervalo 10m. Las conclusiones fueron las siguientes: 7 Todos los programas presentaron problemas en diferentes áreas y en general no capturaron las irregularidades menores del paisaje obtenidas a partir de las curvas de nivel utilizadas como control. 7 Los métodos de interpolación basados en puntos al azar mostraron variaciones muy marcadas en la calidad del producto generado; seguidos por los métodos basados en curvas de nivel. 7 Los métodos de interpolación globales mostraron los mayores errores seguidos por los métodos locales y sus resultados son comparables con los métodos basados en una búsqueda de puntos (Ej. Inverso de la distancia). 5

8 7 Los métodos basados en la búsqueda de puntos alrededor de cada nodo de la cuadrícula tienden a generar curvas de nivel angulares en áreas planas o de poca elevación. Esto se debe a que el método selecciona puntos con igual elevación alrededor de cada punto de la cuadrícula y por lo tanto los nodos tienden a tener el mismo valor que la curva de nivel. 7 La distribución espacial de los puntos de elevación es crítica para lograr una adecuada representación del paisaje en el MDE. Los métodos basados en una cuadrícula regular mostraron mejores resultados que los basados en una distribución irregular. Un resultado similar fue reportado por Ebner y Reiss (1984) (ver cuadro 2). 7 El error (RCEMC z ) mas pequeño se obtuvo con los puntos distribuidos regularmente (±3.31m a ±6.54m), seguido por las curvas de nivel (±3.49m a ±6.27m) y finalmente por los puntos distribuidos en forma irregular (±4.09m a ±6.80m). Lowthian (1986) citado por Shearer (1990) evaluó la exactitud de modelos digitales del terreno elaborado a partir de curvas de nivel con un intervalo de 10 m digitadas manualmente a partir de mapas impresos a escala 1: Los resultados se compararon con 2500 puntos de elevación derivados por métodos fotogramétricos. Los errores registrados fueron los siguientes: Error Medio Absoluto Error Promedio Error estándar (RCEMC z ) +6.75m -2.21m ±6.44m La diferencia en el error promedio (indicador de error sistemático) puede explicarse en parte, según Shearer (1990), por diferencias en el sistema de referencia utilizado para generar los puntos de control y los datos utilizados para crear el MDE. Según el autor, el error obtenido es aceptable para crear cartografía a escala 1:50.000; sin embargo el intervalo entre curvas de nivel era de 10m y por tanto podría argumentarse que el RCEMC z es superior al permisible para la escala 1: (5m). En el caso de las hojas topográficas, la exactitud del MDE dependerá de la escala del mapa y del intervalo entre las curvas de nivel. Otro aspecto que influirá en el producto es el método utilizado para digitar las curvas. Los métodos manuales (Ej. mesa para digitar) pueden generar un error planimétrico de ±0.5mm, en tanto que los métodos semiautomáticos (Ej. uso de escáner) pueden generar errores menores. La densidad de los puntos de muestreo está directamente relacionada con la pendiente del terreno, sin embargo para capturar los cambios bruscos en el terreno (Ej. cimas, cañones, valles) es aconsejable suplementar dicha información con elevaciones y líneas auxiliares. 6

9 7 Cuadro 2 : Eficiencia de diferentes esquemas de muestreo. Tipo de insumo Cuadrícula con una separación entre nodos de 10m Perfiles con una separación original de 10m Exactitud del insumo ±0.25m ±0.5m Resultados El MDE elaborado a partir de la cuadrícula brindó los mejores resultados (menor RCEMC z ). La raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC Z ) varió entre ±0.47m para perfiles con una separación de 20m y ±0.52m para perfiles con una separación de 60m y para un tamaño de celda de 20m. El RCEMC Z para celdas con tamaños entre 20m y 60m varió entre ±0.47m y ±0.61m, respectivamente. Curvas de nivel cada 2.5m ±0.5m La raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC Z ) varió entre ±0.51m para celdas de 20m y ±0.57m para celdas de 60m. Fuente: basado en Ebner y Reiss (1984) 5. ESTADÍSTICOS Y NORMAS PARA EVALUAR LA EXACTITUD DEL MDE Todo modelo digital de elevación está sujeto a dos fuentes de error. Al primer grupo se le denomina errores aleatorios y representan una sobre o sub estimación de los valores reales de elevación como resultado del azar. Estos errores no muestra un patrón determinado, en promedio su valor es igual a cero y los errores positivos y negativos tienen una frecuencia similar. Los segundos se denominan sistemáticos y también representan una sub ó sobre estimación de los datos de elevación; sin embargo, a diferencia de los primeros, tienen un patrón determinado y su promedio no es igual a cero (Maling, 1989). 5.1 Exactitud Desde un punto de vista estadístico, la exactitud representa la ausencia de un error sistemático o sesgo en el set de datos. Cuando no existe sesgo, el promedio de la variable es igual su valor verdadero. Para aplicar este concepto a un MDE es necesario comparar las elevaciones derivadas del mismo con otra fuente de información con un mayor grado de exactitud; por ejemplo, un mapa con valores mas exactos, valores de campo o elevaciones obtenidas por medios fotogramétricos (Cressie, 1993; Maling, 1989; Weibel y Heller,1991 ). La comparación resulta en una serie de diferencias denominadas residuos, cuyos valores pueden ser positivos o negativos. Estas diferencias se expresan estadísticamente como error promedio, error absoluto promedio y raíz cuadrada del error medio cuadrático (Shearer, 1990):

10 Error aritmético promedio El promedio indica la tendencia central de los errores y por lo tanto no indica la magnitud ni la dirección del error para puntos individuales. Cuando los errores son aleatorios la media tiende a cero y cuando existe un sesgo en los datos su valor será diferente de cero. El promedio aritmético no es un buen indicador del error del MDE pues un valor muy grande puede ser compensado por otro grupo de valores pequeños. Por ejemplo, un error de -100 metros puede ser compensado por diez errores de 10 metros y en promedio el error ser igual a cero (0). = (r i ) / n (1) Error absoluto promedio El error absoluto promedio indica la tendencia central de la distribución de errores sin considerar su signo y su valor es mayor o igual a cero. Este valor representa mejor el error esperado del MDE. Por ejemplo, para el caso mencionado en el párrafo anterior el error sería 18.2m. = (r i ) / n (2) Raíz cuadrada del error medio cuadrático La raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC) es una expresión matemática que captura tanto la magnitud como la variabilidad de las desviaciones de una serie de puntos de muestreo. Su fórmula es: RCEMC = ± ( (r i ) 2 / n) 0.5 (3) en donde: r i : Residuos n : tamaño de la muestra Desviación estándar o típica (DT) La desviación estándar, también conocida como error estándar en el ambiente cartográfíco, expresa la desviación de los errores (r i ) con respecto al promedio r y su expresión matemática es la siguiente: DT = ( (r i - r ) 2 / n-1) 0.5 (4) Cuando r = 0 el RCEMC es igual a la desviación estándar de los errores; sin embargo si r g 0 el valor del RCEMC será mayor que DT. En la literatura relacionada con los errores en cartografía se le denomina con frecuencia a ambos términos error estándar. Cuando los residuos tienen una distribución normal, el 95% de los mismos se encontrarán entre -2DT y +2DT. Otros valores de uso común son los siguientes: 8

11 Múltiplo de DT % de puntos incluidos Denominación q=1-p % k Error medio / Error estándar / / / / Error máximo * / / P: Probabilidad de que las observaciones exceden dichos límites por factores de azar. %: Porcentaje de 1as observaciones que exceden dichos límites por factores de azar. *: Conocido como criterio de Chauvenet (Maling, 1989). Cualquier residuo que exceda 3 desviaciones estándares es considerado como un valor extremo y es candidato a ser eliminado. 9 Del análisis de la presente sección se desprende que existen varias expresiones matemáticas para cuantificar el error asociado al MDE y que no todas indican lo mismo. Esto puede crear confusión e incertidumbre en el usuario del MDE; para evitar esta inconveniente se recomienda describir cada término utilizado y especificar su respectiva fórmula. 5.2 Estándares o normas para la cartografía altimétrica La investigación en cartografía hipsométrica ha demostrado que el error asociado a los valores de elevación está fuertemente influenciado por la pendiente del terreno. A continuación se brindan dos ecuaciones conocidas como ecuaciones de Koppé (Maling,1987) que permiten determinar el error esperado en un MDE tanto en elevación como en planimetría: RCEMC en elevación RCEMC Z = ± (A+B * tan ) (5) RCEMC en posición RCEMC P = ± (B+A * cot ) (6) en donde: RCEMC: raíz cuadrada del error medio cuadrático : gradiente de la pendiente en grados. A y B: constantes establecidas por cada país/usuario. El desplazamiento planimétrico ( P) y el error altimétrico ( Z) será el mismo para áreas con una pendiente de 45º (100%) y por lo tanto el error altimétrico siempre será menor que el planimétrico (cuadro 3). Los valores de A y B son constantes establecidas por cada país en función de la escala del mapa y los requisitos de exactitud deseados. Para la cartografía 1:50000 de Costa Rica, las ecuaciones anteriores brindarían los siguientes errores:

12 Cuadro 3: Errores esperados en planimetría y elevación para la cartografía 1: de Costa Rica, basado en Maling (1987). 10 Pendiente (grados) Pendiente (%) Categoría de pendiente RCEMC Z (±m) RCEMC P (±m) Ligeramente ondulado(2-6%) Ondulado (6-15%) Fuertemente ondulado (15-30%) Escarpado (30-50%) Fuertemente Escarpado(50-75%) Montañoso (>75%) Montañoso (>75%) RCEMC Z = *tan RCEMC P = *cot : pendiente en grados En general, los valores anteriores coinciden con la norma utilizada en la cartografía de los Estados Unidos de América, la cual indica que un 90% de los puntos muestreados debe tener un error inferior a media curva ( Maling, 1989). Para la cartografía 1: de Costa Rica con curvas de nivel cada 20 metros y auxiliares cada 5 metros (en lugares planos) dicha norma corresponde a 10 y 5 metros, respectivamente. A partir de la norma anterior y considerando que toda curva de nivel tiene un error planimétrico y otro altimétrico se puede utilizar la siguiente ecuación para determinar el error esperado en elevación para la cartografía 1: (Maling, 1989): Z = 0.5 IC + 0.5mm* tan (7) en donde: : representa la gradiente de la pendiente en grados. IC: intervalo de la curva de nivel 0.5mm: Este valor corresponde a la norma utilizada en los Estados Unidos de América para evaluar la exactitud planimétrica de los mapas con escalas inferiores a 1: Dicha norma establece que 90% de los puntos muestreados deben encontrarse a no mas de 0.5mm de su posición verdadera. El cuadro 4 ilustra la aplicación de la ecuación 7 a la cartografía 1: de Costa Rica. El error máximo esperado en elevación para la cartografía a escala 1: es igual al 1.5 veces el intervalo entre curvas de nivel, lo cual excede el estándar utilizado en los Estados Unidos de América para evaluar la exactitud en altimetría de la cartografía con escalas inferiores 1: Dicha norma establece que ningún punto de muestreo debe exceder el valor de una curva de nivel.

13 Cuadro 4: Errores esperados para la cartografía 1: de Costa Rica con curvas de nivel cada 100m, basado en Maling (1989). 11 Pendiente (grados) Pendiente (%) Categoría de pendiente RCEMC Z (±m) Ligeramente ondulado(2-6%) Ondulado (6-15%) Fuertemente ondulado (15-30%) Escarpado (30-50%) Fuertemente Escarpado(50-75%) Montañoso (>75%) Montañoso (>75%) Estándares para modelos digitales de elevación Los estándares propuestos para la cartografía analógica (Ej. ecuaciones de Koppé y Normas de la Agencia Cartográfica de los Estados Unidos de América) se basan en la gradiente de la topografía y/o la escala del producto cartográfico. En los modelos digitales de elevación no existe la escala como tal y por tanto se consideran independientes de la misma; sin embargo para los archivos raster puede utilizarse la separación entre los nodos de la cuadrícula como un equivalente de la escala. Ley (1986) citado por Shearer (1990), sugiere utilizar la siguiente equivalencia entre escala y resolución de la celda: Separación entre nodos Equivalente a escala Error planimétrico (RCEMC) 30 m 1: % de los errores 25 m 100 m 1: % de los errores 125 m Utilizando esta equivalencia puede establecerse la exactitud de un MDE a partir de las normas utilizadas para la cartografía convencional. Un Modelo Digital del Terreno (DEM, por su siglas en inglés) en los Estados Unidos de América es un archivo digital de puntos con un espaciamiento constante en sentido norte-sur (X,Y) y con un valor de elevación en el eje Z (Maune, 1994). A partir de los mapas 1: se trazan perfiles en sentido Norte-Sur con una separación de 30 m entre sí. Cada perfil a su vez contiene puntos con una separación de 30m; por cuanto el producto final es una matriz regular de 30*30m. Para los mapas 1: , la separación entre los perfiles y los puntos está basado en coordenadas geográficas (latitud, longitud). La separación entre perfiles y puntos es de 3 segundos de arco, lo cual corresponde a aproximadamente 90m en el sentido norte-sur y a una distancia variable en el sentido este-oeste. Esta última distancia depende de la ubicación del lugar ya que los meridianos convergen conforme aumenta la latitud. A continuación se describen las especificaciones de los MDT de nivel I, II y III utilizados en los Estados Unidos de América (Brown,

14 1994; Maune, 1994;Veregin, 1997). En todos los casos el error es calculado a partir de una muestra de al menos 28 puntos. Nivel I: Los valores de elevación son estimados a partir de métodos fotogramétricos. El MDT debe tener un error máximo (RCEMC z ) de 15m y ningún error puede exceder 50M (aproximadamente 3 veces la RCEMC). Este MDT cumple con los requisitos para elaborar ortofotos a escala 1: Nivel II: EL MDT es creada a partir de curvas de nivel y el error (RCEMC z ) máximo permisible es 0.5 veces el intervalo entre curvas de nivel del mapa fuente; además ningún error puede superar el intervalo de una curva de nivel. Las especificaciones de este nivel están diseñadas para que el usuario obtenga resultados similares a los que obtendría con métodos manuales y utilizando mapas impresos a la misma escala. Nivel III Este MDT es derivado de curvas de nivel y otra información auxiliar. El error máximo permisible en elevación (RCEMC Z ) es de 7 m y ningún error puede superar el intervalo de una curva de nivel. Debido a que los estándares anteriores están basados en normas para cartografía analógica, el Comité Federal para Datos Geográficos de los Estados Unidos de América aprobó en junio de 1998 los Estándares Nacionales de Exactitud para Datos Espaciales (NSSDA, por su siglas en inglés) ( Dichos estándares definen la metodología y los estadísticos a utilizar para evaluar la exactitud tanto de mapas digitales como analógicos. Estos nuevos estándares recomiendan calcular un intervalo de confianza al 95% para el error (1.96*RCEMC z ). A los interesados en hojas electrónicas diseñadas para implementar dicho estándar se les remite a 6. SITIO DE ESTUDIO El área de estudio corresponde a los Km 2 de área terrestre de Costa Rica. El país se caracteriza por una topografía muy variada, la cual incluye desde llanuras en la Zona Norte y Caribe, hasta áreas montañosas como las cordilleras de Guanacaste, Tilarán, Central y Talamanca. También posee valles tales como el Tempisque en el norte, Central; Coto Brus; Diquis y Coto Colorado en el sur y Talamanca y Estrella en el Caribe. La elevación máxima es 3820m y se encuentra en la cima del Cerro Chirripó. 7. METODOLOGÍA 7.1 Datos El modelo digital de elevación se elaboró a partir de curvas de nivel con un intervalo de 100 metros y digitadas de la cartografía 1: del Instituto Geográfico Nacional de Costa Rica. Para evaluar la exactitud del modelo se utilizó un set de 7231 puntos con elevaciones conocidas digitados de la cartografía1: del Instituto Geográfico Nacional de Costa Rica. 12

15 7.2 Software utilizado La elaboración de modelos digitales de elevación (MDE) a partir de curvas de nivel o puntos de muestreo (X,Y,Z) es una de las funciones presentes en la mayoría de los Sistemas de Información Geográfica (Ej. SPRING, Surfer, IDRISI, ILWIS, GRASS, Terrain Analyst de Intergraph, etc.) (Thoen,1997). En el presente estudio se seleccionó IDRISI (módulo Intercon) (Eastman, 1997) y la extensión 3D Analista de ArcView (ESRI, 1997) para crear los modelos digitales de elevación. Ambos programas se utilizan tanto en el ambiente nacional como en la región centro americana y por tanto el autor espera que las conclusiones y experiencias puedan fácilmente adaptarse a los otros países de la región. Para el proceso en IDRISI las curvas de nivel fueron rasterizadas con una resolución de 50*50m en Analista Espacial de ArcView (ESRI, 1998) y luego exportadas a IDRISI. El archivo original tenía 7446 columnas *7034 hileras (5.2 millones de celdas) y su tamaño era de102.3mb. No fue posible procesar dicho archivo en IDRISI; el programa creó un archivo temporal de 512MB y luego se detuvo. Por esta razón el país se dividió en cinco segmentos, con tamaños de archivo entre 10 y 50MB cada uno. Una vez creado el MDE se filtró dos veces con un filtro promedio (Eastman, 1992; Fallas,1998) y posteriormente se exportó al formato GRID de ArcInfo para continuar el proceso en ArcView GIS. Por su parte el modelo TIN fue creado en 3D Analista a partir de las curvas de nivel y posteriormente rasterizado utilizando cuatro resoluciones: 50*50m, 100*100m, 200*200m y 400*400m. El análisis estadístico se realizó con el programa StatMost (1995). 7.3 Validación del modelo La validación del modelo consistió en un análisis visual y en otro estadístico. El primero permite verificar si los MDE pueden reproducir las curvas de nivel a partir de las cuales habían sido creados; en tanto que el segundo brinda una estimación del error asociado al modelo Análisis visual La evaluación visual consistió en determinar sí el MDE creado tanto con 3D Analista como con Intercon de IDRISI era capaz de recrear las curvas de nivel a partir de las cuales había sido creado. Para esto se procedió de la siguiente manera. Primero, utilizando la extensión X-Tools (DeLaune, 1999), se seleccionaron 6 áreas de muestreo de 10*10Km cada una, asegurándose de incluir zonas planas (Ej. Caribe), onduladas (Coto Brus, Península de Sta. Elena), ligeramente onduladas (Valle Central, San Carlos), fuertemente onduladas (Península de Nicoya) y escarpadas (Chirripó). Luego, para cada sitio, el MDE fue reclasificado en clases de 100 m; también se crearon curvas de nivel con un intervalo de 100 metros a partir de los MDE. Finalmente, se visualizó el mapa para cada zona a escala 1:70000 y se inspeccionó la concordancia entre las curvas de nivel originales y las derivadas del MDE. 13

16 7.3.2 Análisis cuantitativo El análisis cuantitativo tiene como objetivo responder a dos preguntas: cuál es la exactitud de los modelos creados? y cuál es la resolución óptima para el MDE en formato raster? La metodología consistió en rasterizar el MDE creado a partir de la curvas de nivel (modelo de datos TIN) utilizando las siguientes resoluciones: 50*50 m, 100*100 m, 200*200 m y 400*400 m. El efecto de la resolución en el error del MDE se evaluó utilizando un set de 7231 puntos con elevaciones conocidas digitados de la cartografía 1: del Instituto Geográfico Nacional. La elevación estimada para cada punto fue extraída del MDE con la extensión USC-CLA Grid Utilities" (University of South Carolina,1998). Posteriormente, para cada punto se determinó el error; así como la raíz cuadrada del error medio cuadrático para la totalidad de los datos y por clases de elevación de 500 metros. Las fórmulas utilizadas fueron las siguientes: Error absoluto (m) = Elevación de referencia - elevación estimada del MDE (m) (8) Error Relativo ( %) = Error (m) / Elevación de referencia * 100 (9) Raíz Cuadrada del Error Medio Cuadrático (m) = ( (error) 2 / n) 0.5 (10) IC 95% : 1.96*(Raíz Cuadrada del Error Medio Cuadrático) (11) 8. RESULTADOS 8.1 Evaluación visual El modelo digital de elevación creado a partir de las curvas de nivel del mapa 1: se muestra en la figura 3. El MDE en formato TIN tiene un total de vértices y triángulos y su tamaño es de 36 MB. El tamaño de los archivos raster con valores enteros está en función de su resolución: 24.2MB para 50*50m; 8.11MB para 100*100m; 2.03MB para 200*200m; 0.59MB para 400*400m y 28.1MB para el archivo creado con IDRISI (50*50m). La apariencia visual del modelo refleja con claridad los diferentes rasgos topográficas del país. Por ejemplo, las cordilleras de Guanacaste, Volcánica Central y Talamanca pueden identificarse con facilidad; así como los valles de Coto Brus, La Estrella y Central. También es visible el área montañosa de la península de Nicoya. La figura 4 muestra la ubicación de los 6 áreas seleccionadas para evaluar visualmente la concordancia entre las curvas de nivel creadas a partir del MDE y las curvas de nivel originales. Las áreas de muestreo poseen una pendiente promedio que oscila entre 0% para el Caribe y 45% para Talamanca; la densidad de curvas de nivel registrada fue de 0 Km/Km 2 para el Caribe y 5.23 Km/Km 2 para Talamanca (cuadro 5). La densidad de curvas para el Caribe indica que dada la generalización del mapa no existe ninguna curva en el área muestreada. 16

17 Cuadro 5: Pendiente mínima, máxima, media y desviación estándar para seis sitios de muestreo, Costa Rica. Cada sitio representa un área de 10*10Km. 17 Sitio Pendiente (%) Densida d Mí n Má x Medi a Desv. Est. curvas Km/Km 2 Categoría de Relieve- Pendiente Caribe Plano (0-2%) Valle Central Ligeramente ondulado (2-6%) San Carlos Ligeramente ondulado (2-6%) Coto Brus Ondulado (6-15%) Murciélago Ondulado (6-15%) Nicoya Fuertemente ondulado (15-30%) Talamanca Escarpado (30-50%) Con el objetivo de evaluar el efecto de puntos auxiliares en la capacidad del modelo TIN para reproducir las curvas de nivel originales, se adicionaron 134 puntos al área de muestreo No.6 (Coto Brus). Los puntos fueron digitados desde la pantalla y los valores de elevación estimados a partir de las curvas de nivel originales. Aun cuando esto mejoró la capacidad el modelo TIN para recrear las curvas de nivel el problema no fue resuelto del todo (ver fig. 5). Dado lo tedioso de digitar puntos en forma manual, el método parece poco recomendable para áreas extensas. La raíz cuadrada del error medio cuadrático tampoco se redujo al adicionar los puntos. La figura 6 muestra las curvas de nivel derivadas del modelo TIN y del modelo creado con Intercon de IDRISI para el área de muestreo No. 6 (Coto Brus). De esta gráfica también se concluye que el modelo de triángulos irregulares no logró recrear las curvas de nivel originales. La magnitud del error es variables; sin embargo la discrepancia es mayor para áreas con curvas elongadas o con cambios bruscos en su dirección. El adicionar elevaciones auxiliares no mejoró la capacidad del modelo TIN para reproducir las curvas de nivel originales. Por su parte, las curvas de nivel creadas a partir del MDE interpolado con Intercon de IDRISI logró recrear mucho mejor las curvas de nivel originales; aun cuando también generalizó algunas curvas y omitió algunas otras. También se realizó otra prueba que consistió en generar curvas de nivel cada 500m y compararlas entre modelos y con las originales. En este caso ambos modelos crearon curvas muy similares; aun cuando nuevamente el interpolador Intercon de IDRISI generó las mejores curvas.

18 Fig. 5: La adición de puntos auxiliares permite crear un TIN que recrea mejor las curvas de nivel originales. 1. Observe que en este caso el TIN no logró recrear la ubicación de las curvas de nivel 300 y 400m. 2. Una vez adicionados los puntos, el nuevo TIN ubicó correctamente el área entre la curva 300 y 400m. 3 y 4: En este caso la adición de puntos permite separar las áreas con elevaciones superiores a los 800m. A B Fig. 6: Curvas de nivel creadas a partir de MDE (color negro) y curvas de nivel originales (color rojo). Área de muestreo No. 6: Coto Brus. A: Intercon de IDRISI. B: TIN de 3D Analista.

19 8.2 Evaluación cuantitativa La evaluación cuantitativa que se describe a continuación asume que el valor de elevación para cada uno de los 7231 puntos digitados de la cartografía 1: (Fig. 7) y utilizados como referencia tienen un mayor grado de exactitud tanto planimétrica como altimétrica que las curvas de nivel utilizadas para crear el MDE. 19 Fig. 7: Distribución de los 7231 puntos utilizados en la validación del MDE. Fuente: Cartografía 1: del ING-CR. La distribución de los puntos de referencia por categoría de elevación se presenta en el cuadro 6. La clase metros es la mejor representada con un 60% de la muestra, en tanto que la clase es la menos representada con apenas un 0.2% de los datos (12 observaciones). Sin embargo, para las otras clases se cuenta con al menos 85 puntos por categoría; lo que asegura un tamaño de muestra adecuado desde un punto de vista estadístico. Los estadísticos descriptivos por categoría de elevación indican que los puntos de muestreo están bien distribuidos al interior de cada clase y por tanto representan la variabilidad del paisaje a evaluar.

20 20 Cuadro 6: Distribución de puntos de muestreo por categoría de elevación. Clase Frecuencia absoluta frecuencia relativa (%) Elevaciones de referencia (m) Mín. Máx Medi a S Total S: desviación estándar Error promedio y absoluto promedio El error promedio general y por categoría de elevación fue positivo; esto significa que existe una tendencia a sobreestimar los valores de elevación derivados del MDE. En todos los casos la distribución de los errores mostró una asimetría hacia la izquierda (fig.8). El error varío entre -98m para la clase 0-500m y 230 a 250m para la clase m. El error absoluto promedio para los 7231 puntos de muestreo fue de 42m para el modelo creado con IDRISI y 48m para el modelo TIN. Los archivos raster mostraron errores de 48m, 49m y 56m para resoluciones de 50*50m, 100*100m, 200*200m y 400*400m, respectivamente (cuadro 7 y figura 9). Estos valores indican que en promedio los MDE, con excepción del último, cumplen con la norma utilizada para la cartografía analógico y que dice en promedio el error no debe exceder la mitad de una curva de nivel (50m).

21 21 IDRISI 400m 200m 100m 50m RCEMC: 51m RCEMC: 65m RCEMC: 58m RCEMC: 57m RCEMC: 56m Error (m) Fig. 8: Distribución de errores para MDE creados con IDRISI y 3D Analista. La línea roja indica el error máximo permisible. Cuadro 7: Error absoluto promedio para modelo TIN y para archivos raster derivados del MDE con resoluciones entre 50 y 400m. N: 7231 puntos de muestreo. CLASE (m) TIN 50*50 m Error promedio absoluto (m) 100*100 m 200*200 m 400*400 m Intercon IDRISI (50*50m) Promedio (m) Ámbito (m) Error 100 (%)

22 Error (m) TIN 50m 100m 200m 400m IDRISI Interpolador, resolución Fig.9: Diagrama de Box-Whisker para errores absolutos por método de interpolación y resolución del archivo raster. El error absoluto promedio por categoría de elevación mostró una correlación positiva ( R=0.95 a 0.97, P=0.0000, N=8) con la elevación media. El error absoluto promedio más pequeño (40m) pertenece a la categoría 0-500m y el mayor (61m) a la categoría m. Este resultado es consistente con lo reportado por otros investigadores (Kumler, 1992; Gao, 1997) en cuanto a que el error aumenta con el grado de complejidad del paisaje (Fig. 10). En todos los casos el MDE creado con Intercon de IDRISI mostró los errores más pequeños (40 a 54m). El intervalo de confianza para el error absoluto promedio (Fig.11) confirma la superioridad del modelo creado con intercon de IDRISI con respecto al modelo TIN. Observe que la amplitud del intervalo es muy pequeña debido al tamaño de la muestra. La distribución de errores superiores a 100m (cuadro 7 y fig. 12) indica que ninguno de los MDE cumple con la norma estipulada por el Servicio Geológico de los de los Estados Unidos de América ( USGS ) para los MDT de nivel II; la cual establece que en ningún caso el error podrá exceder el intervalo de una curva de nivel. Para el modelo creado con Intercon de IDRISI sólo el 2.6% de los errores excedieron los 100m en tanto que para el modelo TIN el valor fue de 4.4%. La distribución porcentual de errores mayores que 100m por categoría de elevación fue muy similar para ambos modelos; el primero acumuló un 62.7% de los mismos en la clase m en tanto que el segundo un 66.4%.

23 Leyenda Idrisi TIN N RCEMC (m) Caribe V. Central S. Carlos Coto Brus Murciélago Nicoya Talamanca Fig.10: Relación entre complejidad del paisaje y raíz cuadrada del error medio cuadrático Error (m) TIN 100m 200m 400m Idrisi Interpolador, resolución Fig.11: Error promedio absoluto e intervalo de confianza al 95% para modelos de elevación digital creados con 3D Analista e intercon de IDRISI. N: 7231.

24 Frec. Abs Leyenda TIN Idirisi Fig. 12: Distribución de errores absolutos superiores a 100 m por categoría de elevación. Raíz cuadrada del error medio cuadrático El cuadro 8 presenta la raíz cuadrada del error medio cuadrático por categoría de elevación para los MDE creados con Intercon de IDRISI y 3D Analista de ArcView. También se presentan los errores para los archivos raster derivados del TIN con una resolución de 50*50 m, 100*100m, 200*200m y 400*400m. Para ninguno de los modelos la raíz cuadrada del error medio cuadrático fue inferior a media curva de nivel (50m) (Fig. 13) y por tanto ninguno de ellos cumple con la norma aplicada a la cartografía analógica. Sin embargo, el error del modelo creado con IDRISI estadísticamente es igual a 50m (P=0.05) y por tanto puede considerarse que cumple con la norma; además, el IC indica que de 100 puntos de muestreo sólo 5 excederán el valor de una curva de nivel. RCEMC (m) Leyenda Tin 200m 400m Idrisi Fig. 13: Distribución de la raíz cuadrada del error medio cuadrático (m) por categoría de elevación y método de interpolación.

25 Cuadro 8: Raíz cuadrada del error medio cuadrático por categoría de elevación. Datos de elevación obtenidos de MDE en formato TIN y raster con una resolución de 50*50 m, 100*100m, 200*200m y 400*400m. 25 Clase (m) N Raíz cuadrada del error medio cuadrático (m) TIN 50* 50m 100* 100m 200* 200m 400 *400m Intercon 50*50m Media IC 95% IC 95% = RCEMC * CONCLUSIONES Un modelo digital de elevación puede crearse utilizando una estructura de datos raster ó una vectorial y diversos métodos de interpolación. De la investigación realizada hasta la fecha (Ackerman, 1978; Carrara, Bitelli y Carla, 1997; Fallas, 1998; Heywood, Price y Petch, 1995) no es posible afirmar que un método o modelo de datos es superior otro. Por esta razón el usuario de un determinado programa de software debe evaluar los resultados de su modelo, documentar el grado de error y decidir sí la calidad del mismo es apropiada para sus necesidades. EL presente trabajo trató de responder a dos preguntas básicas; primero es posible crear un MDE a partir de curvas de nivel derivadas de la cartografía 1: de Costa Rica? y segundo cumple el MDE con la calidad especificada para el nivel II del Servicio Geológico de los Estados Unidos de América?. Las principales conclusiones del trabajo son: 1. Los dos programas utilizados (IDRISI y 3D Analista de ArcView) poseen métodos de interpolación que permiten crear un MDE a partir de curvas de nivel.