4.1 GRAFICA DE CONTROL Y CONCEPTOS ESTADISTICOS

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1 4.1 GRAFICA DE CONTROL Y CONCEPTOS ESTADISTICOS Un proceso de control es aquel cuyo comportamiento con respecto a variaciones es estable en el tiempo. Las graficas de control se utilizan en la industria como técnica de diagnósticos para supervisar procesos de producción e identificar inestabilidad y circunstancias anormales. Una gráfica de control es una comparación gráfica de los datos de desempeño de proceso con los límites de control estadístico calculados, dibujados como rectas limitantes sobre la gráfica. Los datos de desempeño de proceso por lo general consisten en grupos de mediciones que vienen de la secuencia normal de producción y preservan el orden de los datos. Las graficas de control constituyen un mecanismo para detectar situaciones donde las causas asignables pueden estar afectando de manera adversa la calidad de un producto. Cuando una grafica indica una situación fuera de control, se puede iniciar una investigación para identificar causas y tomar medidas correctivas. Nos permiten determinar cuándo deben emprenderse acciones para ajustar un proceso que ha sido afectado por una causa especial. Nos dicen cuando dejar que un proceso trabaje por sí mismo, y no malinterpretar las variaciones debidas a causas comunes. Las causas especiales se deben contrarrestar con acciones correctivas. Las causas comunes son el centro de atención de las actividades permanentes para mejorar el proceso. Las variaciones del proceso se pueden rastrear por dos tipos de cusas 1) Común o (aleatoria), que es inherente al proceso 2) Especial (o atribuible), que causa una variación excesiva. El objetivo de una gráfica control no es lograr un estado de control estadístico como un fin, sino reducir la variación. Un elemento básico de las gráficas de control es que las muestras del proceso de interés se han seleccionado a lo largo de una secuencia de puntos en el tiempo. Dependiendo de la etapa del proceso bajo investigación, se seleccionara la estadística mas adecuada. Además de los puntos trazados la grafica tiene una línea central y dos limites de control.

2 Si todos los puntos de la grafica se encuentran entre los dos limites de control se considera que el proceso esta controlado. Una señal fuera de control aparece cuando un punto trazado cae fuera de los límites, lo cual se atribuye a alguna causa asignable y entonces comienza la búsqueda de tales causas. Establecer una gráfica de control requiere los siguientes pasos: 1) Elegir la característica que debe graficarse. 2) Elegir el tipo de gráfica de control 3) Decidir la línea central que deben usarse y la base para calcular los límites. La línea central puede ser el promedio de los datos históricos o puede ser el promedio deseado. 4) Seleccionar el subgrupo racional. Cada punto en una gráfica de control representa un subgrupo que consiste en varias unidades de producto. 5) Proporcionar un sistema de recolección de datos si la gráfica de control ha de servir como una herramienta cotidiana en la planta. 6) Calcular los límites de control y proporcionar instrucciones específicas sobre la interpretación de los resultados y las acciones que debe tomar cada persona en producción. 7) Graficar los datos e interpretar los resultados. Limite de control superior Valores observados de X Línea central Limite de control inferior Número de subgrupos (muestra) Ejemplo de gráfica de control generalizada para promedios

3 Para finalizar este tema en el siguiente diagrama se muestra la clasificación de las graficas de control para atributos y variables:

4 4.2 GRAFICOS DEL CONTROL PARA ATRIBUTOS Muchas características de la calidad no pueden representarse convenientemente con valores numéricos. En tales casos, cada artículo inspeccionado por lo general se clasifica como conforme o disconforme respecto de las especificaciones para esas características de la calidad. A las características de la calidad de este tipo se les llama atributos. El término atributos se utiliza en literatura sobre control de calidad para describir dos situaciones: 1. Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las especificaciones o no). 2. Una sola pieza puede tener uno o mas defectos y el numero de estos es determinado. En el primer caso, una grafica de control esta basada en la distribución binomial; en el último, la distribución de Poisson es la base para la grafica. Se presentan dos cartas de control de atributos: 1. Gráfica de control para la fracción disconforme o gráfica p 2. Gráfica de control de disconformidades o gráfica c Grafica p. Se clasifica la unidad de observación en una de dos categorías alternas, por ejemplo pasa o no pasa, cumple con las especificaciones y no cumple con las especificaciones; Se puede rastrear la producción de unidades defectuosas en la muestra de observación. Grafica C.- Cuando una observación consiste en la cantidad de defectos por unidad de observación, se rastrean la cantidad de los defectos. Grafica p para fracción de defectos. Cuando un proceso esta en control, la probabilidad de que cualquier pieza sea defectuosa es p (p es la proporción a largo plazo de piezas defectuosas para un proceso en control) y que diferentes piezas son independientes entre si, con respecto a sus condiciones.

5 Considérese una muestra de n piezas obtenida en un tiempo en particular, y sea X el numero de defectuosas y pˆ = X/n. como X tiene una distribución binomial, E(X) = np y V(X) = np (1-p), por lo cual E(pˆ) = p V(pˆ) = _p (1-p)_ n Del mismo modo, si np 10 y n(1-p) 10, pˆ tiene aproximadamente una distribución normal. En el caso de que p conocida (o una grafica basada en un valor fijo), los limites de control son LCL = p - 3 _p (1-p) n UCL = p + 3 _p (1-p)_ n Si cada muestra esta formada por n piezas, el numero de piezas defectuosas de la i- esima muestra es x i /n, entonces pˆ1, pˆ2, pˆ3,... se trazan en la grafica de control. Por lo general, el valor de p puede estimarse de los datos. Supóngase que se dispone de k muestras de lo que se piensa es un proceso de control, y sea k = pˆi i=1 k La estimación se utiliza en lugar de, en los limites de control antes citados. La grafica p para la fracción de piezas defectuosas tiene su línea central en la altura y limites de control LCL = - 3 _p (1- ) n UCL = + 3 _p (1- )_ n si LCL es negativo, es sustituido por 0. Ejemplo: Se selecciona una muestra de 100 tazas de una figura especial de loza, durante cada uno de 25 días sucesivos, y cada una se examina para ver si tiene defectos. Los números resultantes de tazas no aceptables y sus correspondientes proporciones muestrales son los siguientes:

6 día (i) X I p^i 1 7 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,06 Supóngase que el proceso estuvo en control durante este periodo, establezca límites de control y construya una grafica p. se tiene que pˆi = 1.52, dando: = 1.52/25=.068 y LCL = (0.0608) (0.9392)/100 = = UCL = (0.0608) (0.9392)/100 = = Por lo tanto el LCL se iguala a 0. la grafica de control muestra que todos los puntos están dentro de los limites de control. Esto es congruente con la suposición de un proceso en control.

7 p^i 0,1325 0,1125 0,0925 0,0725 0,0525 0,0325 0,0125-0, Grafica p Grafica c para el numero de defectos Ahora se considerara las situaciones en las cuales la observación en cada punto en el tiempo es el número de defectos en una unidad. La unidad puede estar formada por una sola pieza o un grupo de piezas. Se supone que el tamaño del grupo es el mismo en cada punto del tiempo. La grafica de control para el numero de piezas defectuosas esta basada en la distribución de probabilidad de Poisson. Si Y es una variable aleatoria de Poisson con parámetro θ, entonces E(Y) = θ σ Y = θ Del mismo modo Y tiene aproximadamente una distribución normal cuando θ es grande (θ 10 será suficiente para la mayoría de los casos). Si Y 1, Y 2,, Y n son variables independientes de Poissson con parámetros θ 1, θ 2, si θ n. θ 1 = = θ n = θ (la distribución del numero de defectos por pieza es la misma para cada pieza), entonces el parámetro de Poisson es =ג nθ. Numero de defectos en una unidad ג 3 - ג = LCL ג + 3 ג = UCL Con x i igual al numero total de defectos en la i-esima unidad (i= 1, 2, 3, ), se trazan puntos con alturas x 1, x 2, x 3, en la grafica.

8 Por lo general, el valor de ג debe estimarse de los datos. Como E(X i ) =,ג es natural utilizar la estimación ^ג = x testada (con base en x 1, x 2, x k ). La grafica c para el numero de defectos en una unidad tiene su línea central a una altura LCL = 3 UCL = + 3 Si LCL es negativo, se sustituye por 0. y Ejemplo. Una empresa fabrica paneles metálicos, a veces aparecen fallas en el acabado de estos paneles, por lo cual la compañía desea establecer una grafica de control para encontrar el número de fallas. Los números de fallas de cada uno de 24 paneles a los que se les hizo el muestreo a intervalos regulares de tiempo son los siguientes: = /24 = = ^ג Con Σx i = 2.35 y Los límites de control son LCL = = 0.40 UCL = = El punto correspondiente al decimoquinto panel se encuentra arriba del UCL, tras una investigación se encontró que la pasta empleada en ese panel tenia una viscosidad baja, al eliminar esta observación del conjunto de datos resulta limites de control LCL = = 0.15 UCL = = = 214/23 = 9.30 y los nuevos

9 Grafica c

10 4.3 GRÁFICAS X y R Las cartas de control X y R se usan ampliamente para monitorear la media y la variabilidad. El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele hacerse con la gráfica de control para medias, o gráfica X. La variabilidad de proceso puede monitorizar con una gráfica de control para el rango, llamada gráfica R. Generalmente, se llevan gráficas X y R separadas para cada característica de la calidad de interés. Las gráficas X y R se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y control de procesos en línea más importantes y útiles. Los pasos para crear las gráficas se irán detallando paso a paso con un ejemplo de contenido de plomo en agua. Creando una gráfica R en Excel Toma de muestras Periódicamente se toma una pequeña muestra (por ejemplo, de cinco unidades) del proceso, y se calculará el promedio (X) y el rango (R) de cada una. Debe recolectarse un total de al menos 50 medias individuales (esto es, diez muestras de cinco cada una) antes de calcular los límites de control. Éstos se establecen a +3o para los promedios y rangos muestrales. Los valores de X y R se grafican por separado contra sus límites a +3o. Por ejemplo: Se ha obtenido una gráfica del contenido de plomo en partes por billón de 5 muestras de agua registradas diariamente por un periodo de 5 días, que se muestra a continuación: Muestras de agua Día

11 Estos datos servirán para el desarrollo de las gráficas X y R. Éstos deberán ser introducidos en una hoja de Excel como se muestra en el cuadro. Cálculo del rango R de las muestras A continuación, deberán calcularse los rangos promedios de las muestras. El rango es la diferencia del valor mayor de la muestra menos el valor menor de la muestra, esto es, de manera muy abstracta, R = M m, donde M es el mayor y m es el menor. Aplicando este conocimiento a nuestro ejemplo, se calculan los valores de los rangos muestrales de la siguiente forma: Muestras de agua Día Ri Y así sucesivamente con todos los valores de la gráfica. Cálculo de la R promedio (Línea Central) M=13 y m=2: entonces 13 2 =11 M=15 y m=0: entonces 15 0 =15 M= 4 y m=2: entonces 4 2 = 2 M=15 y m=3: entonces 15 3 =12 M=10 y m=0: entonces 10 0 =10 Enseguida, se calculará el valor de R, que es el promedio de los rangos muestrales. Esto se obtiene sumando las Ri obtenidas en todas las muestras y dividiéndolo entre el número de observaciones realizadas. En el ejemplo se tiene que n = 30 porque cada uno de los 30 días se hizo 1 muestra; la suma de los rangos deberá dividirse, entonces, entre 30. Esto puede calcularse con la función de Excel PROMEDIO seleccionando la columna de datos correspondiente a Ri. Se recomienda crear un apartado en el diseño de la hoja de Excel que se esté utilizando donde se guarden estos valores, ya que se necesitarán para cálculos posteriores. Hasta ahora, la tabla debe estar como sigue:

12 Muestras de agua Día Ri El valor de R = 9.167, que es valor del Límite Central para la Gráfica R, y es la línea central de nuestras observaciones individuales. * Añádase este valor al listado de valores importantes. Cálculo de Límites Superior e Inferior de los Rangos Muestrales Como ya se ha explicado, los límites superior e inferior nos ayudan a deducir si nuestro gráfico se encuentra dentro o fuera de control. Por esto es necesario ubicar su lugar en el histograma ( que se hará posteriormente) con ayuda de las siguientes fórmulas abreviadas: Limite de control superior = D 4 R Limite de Control Inferior = D 3 R Donde D 3 y D 4 son constantes aplicadas en nuestro ejemplo, y que se encuentran en la siguiente tabla:

13 Número de observaciones en una muestra A 2 D 3 D 4 Factor para la estimación de R: d 2 =R/s La selección de las constantes D dependerán del número de observaciones en nuestra muestra; como nuestro ejemplo consta de 5 observaciones, D 3 =0 y D 4 = Así, se sustituye el valor seleccionado en la fórmula y se obtiene que Limite de control superior = D 4 R Limite de control superior = (2.114) ( 9.167) = 19.38* Limite de Control Inferior = D 3 R Limite de control superior = (0)(9.167) = 0* * Estos valores se usarán en la elaboración del gráfico. Agregue una columna del mismo número de filas de muestras (en este caso, 30) por cada valor obtenido, es decir, 1 columna de 30 filas con el valor (en cada una de las filas) y otra columna de 30 filas con el valor 0. Esto es para crear una línea indicativa de los límites en la creación del gráfico. Si lo desea, haga lo mismo con el valor del límite central de R. Crear el Gráfico R En Excel, con ningún valor seleccionado y las columnas ya creadas, siga los siguientes pasos: 1) Dé clic en el Asistente para Gráficos, elija el tipo de gráfico de líneas y Siguiente>. 2) Dé clic en la pestaña Serie y elimine todas las gráficas hechas por Excel, si las hay, dando clic en Quitar. 3) Dé clic en Agregar 4) Como Rótulos de los ejes de categorías (X), dé clic en el icono y proponga los valores de los días del 1 al 30. Dé ENTER. Éstos son los valores x. 5) Como Valores proponga todos los valores de Ri de la tabla y dé ENTER. Éstos son los valores y. 6) Para los límites dé clic en Agregar, dé los mismos valores de X pero como Y proponga a los valores obtenidos como Límite Superior, en este caso, la columna con el valor

14 7) Repita la operación pero con el valor de Límite Inferior =0 y dé clic en Siguiente>. 8) Cambie las opciones del gráfico como lo desee y dé clic en Finalizar. 9) Se ha creado el gráfico R de las muestras. Si lo desea, cambie el formato del tipo de Gráfico de los límites dando clic derecho sobre ellos y eligiendo la opción Tipo de gráfico. Gráfico R Creando una gráfica X en Excel En base a la primera tabla de datos, se realizará ahora un gráfico X, que es muy parecida a la anterior; la diferencia radica en que en lugar de tomar R como valores de Y, se toma el valor del promedio de X. Cálculo de los promedios X de las muestras (Línea Central) En la tabla de datos se agrega una columna y se realiza el cálculo de los promedios, que es la suma de los elementos de la primera muestra m entre el número de elementos, esto es, X = (m1 + m mn)/ n. En Excel puede utilizarse la fórmula (=PROMEDIO(m1:mn)), adecuado a cada ejercicio en particular. Aplicándolo al ejemplo, se tiene que el valor de n=5 porque son 5 muestras en total, obteniendo los valores de X : Muestras de agua Día Xi = ( )/5 = 7.2 = ( )/5 = 6.2 = ( )/5 = 3.4 = ( )/5 = 6.8 = ( )/5 = 4.8 = ( )/5 = 8.2 Y así sucesivamente con todos los demás datos de la tabla.

15 Cálculo del promedio de promedios ( ) Como su nombre lo indica, el promedio de promedios se calcula sacando el promedio de los resultados obtenidos de X. El valor de será posteriormente utilizado en las fórmulas de cálculo de los límites superior e inferior de la gráfica, así que es importante conservar en la mente dicho valor. Por esto se recomienda que una vez calculado, se enmarque o copie este valor en la misma hoja de Excel pero en un espacio especial para facilitar la resolución de dichas fórmulas. Ya calculados todos los promedios X en la tabla, se calcula el valor de con la fórmula de Excel PROMEDIO, seleccionando la columna obtenida de valores X. Hasta ahora, se tiene la siguiente tabla: Muestras de agua Día Xi El valor de es de 5.59, que es el valor del Límite Central para la Gráfica X. * Añádase este valor al listado de valores importantes.

16 Cálculo de Límites Superior e Inferior de X Los límites se calculan con las siguientes fórmulas abreviadas: Límite de control superior = X 2 + A R Límite de control inferior = X A 2 R Donde X = Gran promedio = promedio de los promedios muestrales R = Promedio de los rangos muestrales A 2 = Constante El valor de la constante puede consultarse en la tabla previamente dada, en el punto Cálculo de Límites Superior e Inferior de los Rangos Muestrales, que es igual a para nuestro ejemplo de 5 observaciones. Como los valores de X y R han sido calculados a lo largo de este ejemplo, sólo se sustituyen en las fórmulas de la siguiente forma: Límite de Control superior = X + A 2 R Límite de Control superior = (5.59) + (0.577)(9.17) = 10.88* Límite de control inferior = X A 2 R Límite de control inferior = (5.59) - (0.577 (9.17) = 0.30* * De la forma anterior, estos valores se usarán en la elaboración del gráfico. Agregue una columna del mismo número de filas de muestras (en este caso, 30) por cada valor obtenido, es decir, 1 columna de 30 filas con el valor 10.88(en cada una de las filas) y otra columna de 30 filas con el valor Esto es para crear una línea indicativa de los límites en la creación del gráfico. Si lo desea, haga lo mismo con el valor del límite central de X. Crear el gráfico X Como ya se ha dicho, la diferencia de los gráficos es en la selección de los valores de Y. Realice la gráfica como se indica en Crear el gráfico R, pero cambie los valores de Y por los valores de X promedio de las muestras. De igual forma agregue series que permitan apreciar los límites superior e inferior de la gráfica. El resultado será el histograma siguiente.

17 Gráfico X Interpretación de las Gráficas Se colocan las gráficas para X y R una encima de la otra de manera que el promedio y el rango para cualquier subgrupo se encuentren en la misma línea vertical. Observe si alguna de ellas o ambas indican una falta de control para ese subgrupo. Las X fuera de los límites de control son seña de un cambio general que afecta a todas las piezas posteriores al primer subgrupo fuera de los límites. El registro que se guarda durante la recolección de datos, la operación del proceso y la experiencia del trabajador deben estudiarse para descubrir la variable que pudo haber causado que saliera de los límites de control. Las causas comunes son un cambio en el material, el personal, la preparación de la máquina, el desgaste de las herramientas, la temperatura o la vibración. Las R fuera de los límites de control indican que la uniformidad de proceso ha cambiado. Las causas comunes son un cambio en el personal, un aumento en la variabilidad del material o desgaste excesivo en la maquinaria del proceso. Una sola R fuera de control puede ser causada por un cambio en el proceso ocurrido mientras se tomaba la muestra del subgrupo. Se buscan patrones poco usuales o no aleatorios. Nelson (1984, 1985) proporciona ocho pruebas para detectar esos patrones en las graficas de control usando límites de control a 3 σ : Prueba 1. Un punto fuera de la zona A. Prueba 2. Nueve puntos seguidos en la zona C. Prueba 3. Seis puntos seguidos con aumento o disminución estables. Prueba 4.Catorce puntos seguidos alternando arriba y abajo. Prueba 5. Dos de cada tres puntos seguidos en la zona A o más allá. Prueba 6. Cuatro de cada cinco puntos seguidos en la zona B o más allá. Prueba 7. Quince puntos seguidos en la zona C (arriba y debajo de la recta central). Prueba 8. Ocho puntos seguidos a ambos lados de la recta central.

18 4.4 ANALISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO La capacidad del proceso es la forma en que se compara la variabilidad inherente de un proceso con las especificaciones o requerimientos del producto. Las técnicas estadísticas pueden ser útiles en el ciclo de un producto, incluyendo las actividades de desarrollo previas a la manufacturas, para cuantificar la variabilidad del proceso, para analizar esta variabilidad respecto de los requerimientos o especificaciones del producto y para ayudar al personal de desarrollo y manufactura a eliminar o reducir en gran medida esta variabilidad. A esta actividad general se le llama análisis de capacidad del proceso. Evidentemente, la variabilidad del proceso es una medida de la uniformidad de la salida. Hay 2 formas de conceptualizar esta variabilidad: 1. La variabilidad natural o inherente en un tiempo especificado; es decir, la variabilidad instantánea. 2. La variabilidad con el tiempo El análisis de capacidad del proceso se define como el estudio de ingeniería para estimar la capacidad del proceso. La estimación de la capacidad del proceso puede estar en la condición de una distribución de probabilidad que tenga una forma, centro (media) y dispersión (desviación estándar) especificados. De manera alternativa, la capacidad del proceso puede expresarse como un porcentaje fuera de las especificaciones. Sin embargo, las especificaciones son necesarias para realizar el análisis de capacidad del proceso. El análisis de capacidad del proceso es una parte vital de un programa integral de mejoramiento de calidad. Entre los usos principales de los datos de un análisis de capacidad del proceso se encuentran los siguientes: 1. Predecir el grado de variabilidad que exhibirán los procesos. Esta información de capacidad proporcionará información importante para establecer límites de especificación realistas. 2. Seleccionar, entre procesos que compiten, el proceso más adecuado para que las tolerancias se cumplan. 3. Planear la interrelación entre procesos secuenciales. La cuantificación de las capacidades respectivas del proceso con frecuencia señala el camino para encontrar una solución. 4. Proporcionar una base cuantitativa para establecer un programa de verificación de control periódico del proceso y reajustes. 5. Asignar máquinas a los tipos de trabajos para los cuales son más adecuadas. 6. Probar las teorías de las causas de defectos durante los programas de mejoramiento de calidad. 7. Servir como base para la especificación de los requerimientos de calidad para las máquinas compradas. Por tanto, el análisis de capacidad de proceso es una técnica que tiene aplicación en muchos segmentos del ciclo del producto, incluyendo el diseño de producto y procesos, la fuente de proveedores, la planeación de la producción o la manufactura, y la propia manufactura.

19 La fórmula para la capacidad del proceso que más se usa es: Capacidad del proceso = +3 (un total de 6σ ) Donde σ = la desviación estándar del proceso cuando se encuentra en estado de control estadístico, es decir si la influencia de fuerzas externas o cambios repentinos. Si el proceso está centrado en la especificación nominal y sigue una distribución de probabilidad normal, 99.73% de la producción caerá a menos de 3 σ de la especificación nominal. Sólo el 0.27% de la salida del proceso quedará fuera de los límites de tolerancia natural. Es necesario recordar dos puntos: 1. El valor 0.27% fuera de las tolerancias naturales suena pequeño, pero corresponde a 2700 partes de millón disconformes. 2. Si la distribución de salida del proceso no es normal, entonces el porcentaje de la salida quedará fuera de +3 σ puede diferir considerablemente de 0.27%. Una razón importante para cuantificar la capacidad del proceso es poder calcular la capacidad del proceso de mantener las tolerancias del producto. Para procesos que se encuentran un estado de control estadístico, una comparación de la variación entre 6 σ y los límites de tolerancia permite un cálculo rápido de porcentaje de unidades defectuosas, mediante la teoría estadística. Quienes planean intentan seleccionar procesos que tengan 6 σ de la habilidad del proceso dentro de la amplitud de tolerancia. Una medida de esta relación es la tasa de capacidad: C p = Tasa de capacidad = Donde LES= Límite de especificación superior LEI = Límite de especificación inferior Rango de especifica ción Capacidad del proceso LES - LEI = 6s Un proceso que cumple bien con los límites de especificación (rango de especificación = +3 σ ) tiene un C p de 1.0. Lo crítico de muchas aplicaciones y la realidad de que el promedio del proceso no permanecerá en el punto medio del rango de especificación sugiere que C p debe ser al menos 1.33.

20 Tabla de los Índices del estudio de la capacidad del proceso: ICP Decisión 1.33<ICP<2.22 1<ICP< <ICP<1 ICP<0.67 Más que adecuado, incluso puede exigirse más en términos de su capacidad. Posee capacidad de diseño. Adecuado para lo que fue diseñado. Requiere control estrecho si se acerca al valor de 1. No es adecuado para cumplir con el diseño inicial. Requiere monitoreo constante. No es adecuado para cumplir con el diseño inicial. El índice de capacidad c pk La capacidad del proceso, según se mide con C p, se refiere a la variación en un proceso alrededor del valor promedio. Así, el índice C p mide la capacidad potencial, suponiendo que el promedio del proceso es igual al punto medio de los límites de especificación y que el proceso está operando bajo control estadístico; como con frecuencia el promedio no se encuentra en el punto medio, es útil tener un índice de habilidad que refleje ambas variaciones y la localización del promedio del proceso. Tal índice es C pk. El índice C pk refleja la proximidad de la media actual del proceso al límite de especificación superior (LES) o bien, al límite de especificación inferior (LEI). C pk se estima mediante: X - LEI LES - X C ˆ pk = min, 3s 3s Si el promedio actual es igual al punto medio del rango de especificación, entonces C pk = C p. Entre más alto sea el valor de C pk, más baja será la cantidad de producto que esté fuera de los límites de especificación. Los siguientes son dos tipos de estudios de capacidad del proceso: 1. Estudio del potencial del proceso. En este estudio se obtiene una estimación de lo que puede hacer un proceso bajo ciertas condiciones, es decir, la variabilidad en condiciones definidas a corto plazo para un proceso en estado de control estadístico. El índice C p estima la capacidad del proceso. 2. Estudio del desempeño del proceso. En este estudio, una estimación de la habilidad del proceso proporciona un panorama de lo que el proceso está haciendo durante un periodo largo. También se supone un estado de control estadístico. El índice C pk estima la capacidad.

21 4.5 GRÁFICAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES Un artículo disconforme es una unidad del producto que no satisface una o más de las especificaciones para ese producto. Cada punto específico en el que no se satisface una especificación resulta en un defecto o disconformidad. Sin embargo dependiendo de su naturaleza y gravedad, es muy posible que una unidad contenga varias disconformidades y no se clasifique como disconforme. Hay muchas situaciones prácticas en las que es preferible trabajar directamente con el número de defectos o disconformidades en ves de usar la fracción disconforme. Es posible desarrollar cartas de control para el número total de disconformidades en una unidad o bien para el número promedio de disconformidades por unidad. Para la revisión de los productos hay que describir dos situaciones: 1. Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las especificaciones o no). 2. En sola pieza puede tener uno o mas defectos y el numero de estos es determinado. Hay dos diagramas de control de atributos para las no conformidades: La primera (la gráfica p) se refiere a la fracción defectiva por no cumplir con las especificaciones. La segunda (la gráfica np) se refiere al control del número de artículos no conformes. Gráficos np Fundamentos teóricos BASADOS: en el número de elementos en una muestra o subgrupo que son juzgados como disconformes en base a una definición operacional. SE LLAMAN ASÍ PORQUE: El número de elementos disconformes en una muestra se suponen como la proporción de elementos disconformes, p, conforme al tamaño de la muestra, n, así que son llamados gráficos np. Calculando los límites de control para gráficos np Se deberá estimar la probabilidad, p, de que el proceso produzca un elemento disconforme. Para obtener una buena estimación, se necesita evaluar al menos de 20 a 25 muestras o subgrupos y contar el número de elementos disconformes en cada uno. La mejor estimación para p será p, la media proporcional de elementos disconformes. Las fórmulas para calcular los límites de control, la media proporcional y la línea central del gráfico son las siguientes:

22 * p - = Numero total de elementos disconformes en todos los grupos Número total de elementos en todos los grupos * Línea central = np, donde n = el tamaño del subgrupo común * UCL = np np - (1 p - ) * LCL = np np - (1 p - ) A continuación, se verá un ejemplo para comprender con más detalle el funcionamiento de las fórmulas y el desarrollo de los histogramas np. Creando un gráfico np Para realizar un gráfico de este tipo, se siguen principalmente 4 pasos básicos: 1) Captura de datos en Excel 2) Cálculo de la proporción disconforme 3) Sustitución en las fórmulas 4) Creación del gráfico en Excel Los datos se capturan primeramente en Excel, creando las columnas necesarias. Es importante aclarar que los gráficos np se utilizan cuando el tamaño de las muestras es el mismo cada vez que se toman; de ahí que el tamaño de la muestra, n, es constante. Para aplicar estos conocimientos se utilizará el siguiente ejemplo. Una manufacturera de esponjas de gasa toma una muestra de 600 esponjas diariamente, las inspecciona y registra el número de esponjas defectuosas. En total hay 9 muestras de esponjas, representados en la siguiente tabla: NUMERO DE ESPONJAS DE GASA DISCONFORMES EN 32 MUESTRAS DE TAMAÑO n =32 Día Proporción Elementos n disconforme disconformes p - = (x/n) =21/600 =22/600 =20/ y así sucesivamente. La proporción disconforme es el resultado de la división de los elementos disconformes entre el tamaño de la muestra, en este caso, 600.

23 A continuación, se sustituyen los valores en las fórmulas para calcular los valores de los límites. Así, se tiene que p - = Numero total de elementos disconformes en todos los grupos Número total de elementos en todos los grupos p - = 208 (suma de la columna Elementos disconformes ) 9(600) ( suma de los elementos muestreados) p - = Línea central = np, donde n = el tamaño del subgrupo común Línea central = (600)(0.0385) = 23.1* UCL = np np - (1 p - ) UCL = ( ) = 37.8* = LCL = np np - (1 p - ) LCL = ( ) = 8.96 * * Estos valores se usarán en la creación del gráfico np. Para realizar el histograma, siga los pasos del subtema 4.3 GRÁFICAS X Y R, en la sección Crear el gráfico R. Los pasos son básicamente los mismos, sólo basta sustituir el valor de los elementos disconformes en lugar de los valores de R como eje x, y los valores de los límites nuevos. La gráfica resultante es Cuenta muestral Gráfico np para esponjas de gasas n= Número muestral

24 Gráficos p Fundamentos teóricos BASADOS: En la distribución binomial y requiere que se cumplan las tres primeras suposiciones del gráfico np. Al contrario del np, los gráficos p pueden ser usados para tamaños de muestra iguales o diferentes. SE LLAMAN ASÍ PORQUE: Emplean la proporción de elementos disconformes en las muestras en lugar de el número de disconformidades. Calculando los límites de control para gráficos p Las finalidades principales de conocer los límites de control de la gráfica p, son: - Poner a la atención de la dirección cualesquiera cambios en el grado promedio de calidad. - Descubrir los puntos altos fuera de control que requieren actuar - Descubrir los puntos bajos fuera de control que indiquen normas menos estrictas para inspección o causas erráticas de mejoramiento de calidad Las fórmulas que nos permiten encontrar los valores de los límites cuando el tamaño de la muestra es igual son: *LCL = p - 3 _p (1-p) n *UCL = p + 3 _p (1-p)_ n *S p = _p (1-p) (conocido como Error estándar de la proporción) n Cuando el tamaño de la muestra es diferente, la n se encuentra con la fórmula n - = Número total de elementos en consideración Número total de subgrupos A continuación se aplicarán estas fórmulas en el desarrollo del gráfico p. Creando un gráfico p En base al ejemplo anterior de las muestras de gasas, se creará un nuevo gráfico siguiendo los pasos para un gráfico p. Para este tipo de gráfico de disconformidad, la diferencia radica que en lugar de tomar el número de elementos disconformes como Y, se utiliza la proporción disconforme de la tabla en cada observación. Los límites se obtienen con las fórmulas correspondientes, obteniendo LCL = S p = UCL = 0.062

25 De este modo, la gráfica obtenida es Gráfico p para esponjas de gasas n=600 Proporción Muestras Hay algunos casos en los que el tamaño de las muestras es distinto cada vez. En esos casos se utiliza la fórmula de n - (mencionada anteriormente) para sacar un promedio del tamaño muestral, y posteriormente se hace la sustitución en las fórmulas.

26 4.6 PROCEDIMIENTOS ESPECIALES PARA EL CONTROL DE PROCESOS Algunos temas especiales relativos a los gráficos Gráficos De Control Con Tamaño De Subgrupo Variable Siempre que sea posible es conveniente tener un tamaño de subgrupo constante. Si esto no puede hacerse, los límites en los gráficos X y R deben ser variables. Una vez que se ha estimado σ, estos límites para diversos tamaños de muestra pueden obtenerse utilizando los factores y fórmulas. En donde los datos utilizados para estimar σ incluyen subgrupos de diversos tamaños. Gráficos R O Gráficos σ Donde Los Gráficos X No Son Apropiados En algunos casos los subgrupos pueden ser comparables en su dispersión aunque no sean comparables en sus medias. Si se analizan muestras que tienen contenido químico algo diferente, los promedios de los subgrupos no son comparables. Sin embargo, la dispersión de los subgrupos refleja la capacidad de un analista y un procedimiento analítico para reproducir resultados por medio de varias determinaciones similares. El gráfico de control de R o σ proporciona una base para juzgar si esta dispersión parece estar influida por un sistema de causas constantes. Gráficos X Y σ Con Subgrupos Grandes Algunas veces sucede que se dispone de datos sobre medias y desviaciones estándar de alguna variable medida, procedentes de diferentes fuentes. Puede ser conveniente aplicar una prueba de homogeneidad a estas cifras para ver si hay una clara evidencia de que las_ diferentes fuentes representan diferentes sistemas de causas. Los gráficos de control de X y σ constituyen un procedimiento simple de prueba para este propósito Límites De Precaución En Los Gráficos De Control Algunos autores sobre control estadístico de calidad son partidarios del uso de dos conjuntos de límites en los gráficos X. Los límites externos, llamados algunas veces límites de acción son los límites convencionales casi siempre en 3-sigma o si se utilizan límites de probabilidad en 3.09-sigma. Los límites internos se recomienda límites de precaución y se encuentran casi siempre en 2-sigma o si se utilizan límites de probabilidad 0.05 en 1.96-sigma Problemas Que Acarrea Una Mala Interpretación De La Relación Entre Los Límites Del Gráfico De Control Y Los Límites De La Especificación Siempre que se introduce un gráfico de control de X en operaciones de producción, aparece una fuente de confusión. Cuando las especificaciones se aplican a valores individuales, los límites de la especificación tienden a confundirse con los límites del gráfico de control. Esta confusión existe en muchas mentes del personal de taller, inspectores, e incluso ingenieros directores, lo cual conduce a una diversidad de problemas. Representación De Los Totales Del Subgrupo Un sistema utilizado en muchas plantas consiste en representar en el gráfico de control la suma de n observaciones de cada subgrupo en lugar de su media. Si se representan los

27 totales, los valores que aparecen en el gráfico no son comparables con los límites de especificación; de ahí que, en este punto, la probabilidad de confusión queda muy reducida. Este tipo de gráfico no es si no un gráfico X convencional, con la escala aumentada n veces. Los valores de los límites y de la línea central, son los valores_ del gráfico X multiplicados por n. Cualquier conclusión que se saque del gráfico X, puede hacerse también a partir de los gráficos de los totales. Algunos procedimientos especiales relacionados. Gráficos Para Las Mediciones Individuales Cuando el personal del taller no entiende los gráficos de medias una forma de evitar interpretaciones erróneas consiste en no representar las medias, sino las mediciones individuales. En estos se dibujan correctamente los límites de la especificación que debe aplicarse a las mediciones individuales. Este tipo_ de gráfico puede ser mejor que nada, pero es mucho menos satisfactorio que un gráfico X convencional, basado en un tamaño de subgrupo de 4 o 5. En general este tipo de gráfico es inferior a los gráficos de control convencionales porque no ofrecen una panorámica clara de los cambios que tienen lugar en el proceso, ni siquiera una prueba rápida de la existencia de causas atribuibles de variación. Combinación Del Gráfico De Mediciones Individuales Y El Gráfico De Medianas Si se desean representar las mediciones individuales, se sugiere que se construya un gráfico que refleje también la tendencia central de los subgrupos. Un gráfico así podría ser independiente. O bien, el gráfico de control de la tendencia central podría superponerse al gráfico de mediciones individuales. El esquema más conveniente para esta superposición de gráficos, consiste en combinar un gráfico de mediciones individuales con un gráfico de medianas. La conveniencia de este último es mayor cuando el subgrupo contenga un número de mediciones impar : 3,5 o 7. En cualquier de estos gráficos combinados, los valores individuales pueden examinarse con respecto a los límites de tolerancia respetados en el gráfico; lo mismo pude hacerse con las medianas en relación a sus límites de control. Gráficos De Control De Medianas Entre Subgrupos, Empleando Medianas De Datos Estadísticos De Conjuntos De Subgrupos Enoch B. Ferrell, de Bell Telephone Laboratories ha propuesto el empleo del centro de la amplitud como medida de la tendencia central de cada subgrupo. Asimismo, ha propuesto que la estimación de la tendencia central de una población se base en la mediana de los centros de las amplitudes de un conjunto de subgrupos y que la estimación de la dispersión de la población se base en la mediana de las amplitudes del mismo conjunto de subgrupos. Una ventaja que representa el empleo de la mediana como medida de la tendencia central de un subgrupo es que puede encontrarse rápidamente sin tener que efectuar ninguna operación aritmética para subgrupos de tamaño impar, 3, 5, etc.

28 Prueba general de homogeneidad El Gráfico De Control Como Prueba De Homogeneidad Es imposible hacer demasiado énfasis sobre la importancia de mantener un registro del orden de producción siempre que se lleven a cabo medidas de cualquier calidad de producto manufacturado. Lo ideal es planear las medidas teniendo esto en mente. Prácticamente no puede ser posible. Esto es cierto cuado un comprador desea aplicar el análisis de gráficos de control al embarque de un producto respecto al cual no conoce el orden de producción. Aquí los gráficos de control son simplemente una prueba de homogeneidad. Esta homogeneidad puede haberse obtenido por un sistema de causas constantes durante la producción. El análisis con gráficos de control puede también aplicarse a los datos que ya se tienen disponibles y que no se obtuvieron teniendo en mente el gráfico de control, siempre que haya alguna base racional para establecer los subgrupos. Aquí los gráficos de control también son una prueba general de homogeneidad. Límites de probabilidad para gráficos de control para variables Límites De Probabilidad En Los Gráficos X Si se supone que los valores X, cuando todas las muestras se toman de la misma población, siguen una distribución normal, puede encontrarse el múltiplo de σ X correspondiente a unas probabilidades estipuladas, cuando la población es normal, los valores de X están normalmente distribuidos y cuando proceden de poblaciones que no son normales, se distribuyen según una forma aproximadamente normal, para un tamaño de muestra igual o mayor que 4. Límites De Probabilidad En Los Gráficos R Y σ La distribución de los valores de X que es normal o aproximadamente normal, es simétrica. Por tanto, en un gráfico X, los límites de probabilidad, al igual que los límites 3- sigma, son equidistantes de la línea central del gráfico. Por el contrario, como las distribuciones de R y de σ no son simétricas, aunque la población sea normal hay que disponer de factores independientes para los límites de control superior e interior, para que las probabilidades de las desviaciones extremas sean iguales. Diferentes Puntos De Vista En La Descripción De Los Límites En Los Gráficos De Control Por Variables Para describir los límites de los gráficos de control de X, R y σ se utilizan dos puntos de vista. Uno de ellos, es que la fijación de los límites debe basarse en el valor numérico de una probabilidad, que debería ser aquella que, sin que se produzca ningún cambio en la

29 población, un punto cayera dentro de los límites de control. Los partidarios de esta teoría, normalmente han adoptado como = valor de esta probabilidad en los gráficos X, Esto ha conducido a unos límites de X, de ±3.09σ X. La segunda postura considera que, aún cuando la probabilidad asociada a los límites se pudiera conocer exactamente, este valor solo es de interés en casos accidentales. Lo importante es que exista u criterio definido para el establecimiento de los límites y que dicho criterio constituya una guía adecuada para las acciones que deberán basarse en los gráficos de control. Aspectos Especiales De Los Límites De Probabilidad En Los Gráficos De Control De R Y De σ Aunque en los gráficos X, los límites de probabilidad son, al igual que los límites 3- sigma, equidistantes respecto a la línea central, en los gráficos R no lo son. Un punto en el que los defensores de los límites de probabilidad han puesto mayor énfasis es que, para los tamaños de subgrupo usuales de 5 elementos o menos, el límite inferior 3- sigma en estos gráficos es cero. Por lo contrario para un tamaño de subgrupo de tres o mayor, le corresponderá un límite de control inferior mayor que cero.

30 V. GRÀFICOS DE CONTROL PARA MEDIAS MÒVILES El Uso De Los Límites De Control Para Medias Móviles La media móvil es particularmente apropiada en los procesos químicos de fabricación continua cuando se aplican a características de calidad de materias primas y productos en procesos. El efecto nivelador de la media móvil con frecuencia tiene un efecto sobre las cifras que es similar al efecto que sobre el producto tendría una mezcla que se llevara a cabo en el resto del proceso de producción. En la introducción de las técnicas de Shewhart en las fábricas químicas, puede ser deseable no perturbar la costumbre de representar medias móviles y agregar gráficos para amplitudes móviles. Sin embargo, es apropiado aplicar límites de control para utilizar estos gráficos de medias móviles y agregar gráficos para amplitudes móviles. El cálculo de estos límites y la interpretación de estos gráficos son similares a los gráficos convencionales de X y R, pero difiere en ciertos aspectos. Combinación De Un Gráfico De Mediciones Individuales Y Un Gráfico De Amplitud Móvil En algunos procesos, es normal tener solo algunas mediciones aisladas y más o menos espaciadas en el tiempo. Bajo tales circunstancias, tal vez se quiera representar los valores X en lugar de suavizar las fluctuaciones de un día a otro, mediante la representación de medias móviles. Aunque en un caso así, la X móvil no se emplea, es preciso utilizar en cambio, la amplitud móvil como medida de la dispersión del proceso. El A.S.T.M. Manual on Quality Control of Materials recomienda un tamaño de subgrupo de dos para el gráfico de amplitud móvil en relación a uno para valores individuales. VI. Gráfico x con una tendencia lineal Gráfico X Para Medias De Universo Que Presentan Una Tendencia Con Una Desviación Estándar Constante En ciertas operaciones de maquinado, las herramientas se desgastan en una forma uniforme alo largo de su periodo de uso. Este desgaste puede ser uno de los factores que influyen en el valor medio de cierta dimensión del producto fabricado y puede ser responsable de una tendencia en este promedio. La línea central y los límites de control para el gráfico X, en este caso, deben ser pendientes y no horizontales. La pendiente de la línea central o la media del universo, y σ, estimada a partir de R, se determinan de las mediciones mismas. Una vez que se conocen, es posible determinar el ajuste inicial y la longitud de la corrida que juntas darán el periodo máximo entre los ajustes de maquinaria consistentes con las tolerancias especificadas.

31 VII. Inspección volante mediante el gráfico p Adaptación Especial Del Gráfico P Para Una Inspección Volante Para mantener el mismo nivel de sensibilidad con respecto a los cambios que tienen lugar en el proceso, el gráfico de control de la fabricación rechazada necesita un tamaño de muestra sustancialmente mayor que el gráfico X. Si el gráfico p ha de ser un instrumento efectivo en el control de un proceso en el que se tiene que mantener un elevado nivel de calidad, en la determinación del tamaño de la muestra existen dos aspectos que requieren una adaptación especial de dicho gráfico. Primero hay que esperar que en la muestra aparezcan varios elementos rechazados. Segundo, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, tanto más probable es que, durante la extracción de la misma, se produzca un cambio. El resultado sería una mayor probabilidad de que los cambios que tuvieran lugar entre la toma de dos muestras no se detectaran. En casos en que sea necesario hacer uso de la inspección por atributos, e interese detectar pequeños cambios en el proceso, las circunstancias pueden requerir el empleo de muestras pequeñas. Aquí, la única manera en que un gráfico p o un gráfico con np pueden utilizarse de manera provechosa es crear un nivel de mal calidad falso, mediante la aplicación de normas de aceptación, que sean mucho más rigurosas que las impuestas por las especificaciones. Esto es, puede establecerse una definición especialmente severa de un defectuoso, que solo se emplee para efectos de control de proceso a través del gráfico de control. De esta forma, un tamaño de muestra pequeño no es obstáculo para el uso de un gráfico de control basado en una inspección por atributos. VII. Combinación del control del proceso y la aceptación del producto Límite De Rechazo Para Valores Medios En Los Gráficos X Uno de los posibles métodos de representación de la relación entre los valores X y los límites de especificación que se aplican a los elementos individuales, es el empleo de límites de rechazo para los valores medios. Suponiendo queσ es conocida y constante, y que prácticamente todo el producto caerá dentro de los límites X ± 3σ, es fácil calcular los valores extremos de X que permitirán que prácticamente todo el producto caiga dentro de los límite de la especificación. Los límites de rechazo para los valore medios son unos límites del gráfico de control que resultarían apropiados si X estuviera presente en cada uno de estos valores calculados. Límites De Control Modificados Una etapa más avanzada en el empleo de los límites de rechazo y de los límites de control en los gráficos X, la constituye la sustitución de los límites de control por los límites de rechazo. En este caso, los límites de rechazo reciben el nombre de límites de control modificados. Su principal aplicación es en el control de dimensiones. La puesta en práctica de estos límites solo resulta interesante cuando el campo de variación del proceso (estimado muchas veces en 6σ) es considerablemente menor que la diferencia entre los dos límite de la especificación (S-I). S = Límite superior de la especificación I = Límite inferior de la especificación

32 4.7 GRÁFICAS DE CONTROL PARA SUMA ACUMULATIVA La gráfica de suma acumulada es una gráfica cronológica de la suma acumulada de las desviaciones de una muestra estadística que se alejan de un valor de referencia. La gráfica CUSUM incorpora directamente toda la información contenida en la secuencia de los valores muestrales graficando las sumas acumuladas de las desviaciones que presentan los valores muestrales respecto al valor objetivo. Por ejemplo, suponer que se colectan muestras de tamaña n>1, y que x j es el promedio de la j-ésima muestra. Entonces, si µ 0 es el objetivo para la media del proceso, la gráfica de control de suma acumulada se construye graficando la cantidad: C i i = ( x j μ 0 ) j = 1 Contra la muestra i. A C i se le llama la suma acumulada hasta la i-ésima muestra, incluyéndola. Se observa que si el proceso se mantiene bajo control en el valor objetivo µ 0, la suma acumulada definida en la ecuación anterior es una fluctuación aleatoria con media cero. Sin embargo, si la media experimenta un corrimiento ascendente a un valor µ 1 > µ 0, por ejemplo, entonces se desarrollará una alineación ascendente o positiva en la suma acumulada C i. Recíprocamente, si la media experimenta un corrimiento descendente a un valor µ 1 < µ 0, entonces se desarrollará una desalineación descendente o negativa en C i. Por lo tanto, si se desarrolla una tendencia en los puntos graficados, sea ascendente o descendente, ésta deberá considerarse como evidencia de que la media del proceso se ha corrido y deberá realizarse la búsqueda de alguna causa. La gráfica CUSUM no es una gráfica de control, ya que carece de los límites de control estadístico. Hay dos formas de representar CUSUMS, La CUSUM tabular (o algorítmica) y en la forma máscara V de la CUSUM. Estas gráficas de control se diseñaron para identificar cambios pequeños, pero sostenidos, en el nivel de un proceso, con mucha mayor rapidez que las gráficas X normales. Debido a que da una alerta temprana de cambios de procesos, es consistente con el principio administrativo de hacerlo bien la primera vez, y no permitir la producción de artículos con defecto. La gráfica de suma acumulada abarca todos los datos anteriores, al graficar sumas acumuladas de las desviaciones de los valores de la muestra respecto a un valor meta; es decir: S t = ( x i - x 0 ) Donde x i es el promedio del i-esimo subgrupo, x 0 es el valor normal, o de referencia, y S t la suma acumulada cuando se efectúa la i-ésima observación. Nótese que cuando n=1, x i es el valor de la I-ésima observación.

33 La gráfica de suma acumulada tiene un aspecto muy distinto al de las gráficas X y R normales. En lugar de un eje central y límites horizontales de control, se forma una mascarilla que consiste en un puntero de lugar y dos límites de control angulados. La mascarilla se coloca en la gráfica de tal manera que la punta, P, quede en el último punto graficado. La distancia d y el ángulo θ son los parámetros de diseño de la mascarilla. Si no hay puntos anteriores fuera de los límites de control, se supone que el proceso está bajo control. Si, por ejemplo, hay un desplazamiento en el promedio del proceso sobre el valor de referencia, cada nuevo valor que se añade a la suma acumulada hará que S t aumente y ocasionará una tendencia hacia arriba, en la gráfica. Finalmente, un punto puede quedar fuera del límite superior de control, lo cual indica que el proceso se ha salido de control. Si el promedio se desplaza hacia abajo, sucede lo contrario.

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