1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30 E, 40º N). O P del paralelo de Pequín R

Transcripción

1 1.- Hallar la longitud de un grado del aralelo que corresonde a Pekín (116º 30 E, 40º N). 360º π R P π R P 1º L =. Hay que hallar el radio 1º L 360º RP O P del aralelo de Pequín R P. 50º Llamando R T al radio de la tierra (6371 km) y llamando O y RT O a los centros del ecuador y del aralelo de Pequín P, resectivamente, se tiene que: O' P R P sen 50º = = R P = R T sen 50º = km. OP R T π R P 1º Sustituyendo en L =, se otiene L = km. 360º.- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, ero, en la geometría hierólica, desarrollada or Loachevski, la suma de los lados de un triángulo es siemre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siemre suerior a 180º, como en el caso de un triángulo situado sore una esfera. Otener la suma de los ángulos del triángulo esférico determinado or: La oruña (4º 43 O, 43º N), arcelona (5º 50 E, 41º 4 N) y Las Palmas (11º 44 O, 8º 9 N). En el triángulo esférico N (oruña, arcelona, Polo Norte): olatitud de la oruña: = 90º - 43º = 46º 38 olatitud de arcelona: c = 90º - 41º 4 = 48º 36 Ángulo en N: 4º º 50 = 10º 33 Teorema del eno en N: os n = c + sen sen c N = n = 8º (distancia ) Análogamente ara el triángulo PN (oruña, Las Palmas, Polo Norte): olatitud de la oruña: = 46º 38 olatitud de Las Palmas: c = 90º - 8º 9 = 61º 51 Ángulo en N: 11º 44-4º 43 = 7º 1 Teorema del eno en PN: os n = c + sen sen c N = n = 16º (distancia P) Y ara el triángulo PN (Las Palmas, arcelona, Polo Norte): olatitud de Las Palmas: 61º 51 olatitud de arcelona: 48º 36 Ángulo en N: 11º º 50 = 17º 34 Teorema del eno en PN: os n = 61º 51 48º 36 + sen 61º 51 sen 48º 36 17º 34 = n = 19º (distancia P) Haciendo el camio de notación: n = = 8º , n = = 16º y n = c = 19º , y alicando el teorema del eno al triángulo P formado or las tres ciudades, se otiene: Unidad docente de Matemáticas 1

2 P = = = c + sen senc P P = 4º 8' ''.3 = c + sen senc = 54º 53' 1''. c = + sen sen = = 10º 6' '' Así, P + + = 181º c sen senc - c sen senc c - sen sen = = = Razonar si uede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a) a=60º00 31, =137º0 40, c=116º00 3 ) A=70º00 5, =131º10 15, =94º50 53 c) a=64º4 03, =4º30 10, =58º40 5 d) c=116º1 05, A=70º51 15, =131º0 6 e) a=58º46, =137º0 50, =131º5 33 f) A=70º, =119º, a=76º g) a=90º, =67º38, =48º50 a) Alicando el teorema del eno: a c a = c + sensenc A A = = 0, sensenc A=73º03 3. Análogamente, a c = a c + senasenc = = 0, senasenc =131º3 43 c a c = a + senasen = = 0, senasen =96º55 57 ) Alicando el teorema del eno ara ángulos: A + A = + sensen a a = = 0, sensen a=57º Análogamente, + A = A + senasen = = 0, senasen =137º A = A + senasen c = = 0, senasen =115º57 16 c) Alicando el teorema del eno: c = a + senasen = 0, c = 50º 33'38'' Y ahora teorema del eno de nuevo ara desejar y y hallar A y, ó ien mediante las analogías de Neer: Unidad docente de Matemáticas

3 a- a- A sen + tg A = cotg ; tg cotg a+ = a + sen Saiendo que: a + a = 53º, ; 10º, = ; 9º, = llegamos al sistema: A+ A+ tg =, = 71º, A = 93º59'09'' A A tg 0, º, = 48º 1'4'' = = d) Alicando el teorema del eno ara ángulos: = A + senasen c = 0, = 95º 3'1'' Y ahora teorema del eno ara los ángulos de nuevo ara desejar a y y hallar a y, ó ien mediante las analogías de Neer: A a+ c a+ tg = tg = 7, = 97º, A+ A sen a c a tg = tg = 0,8463 = 39º, A+ sen a = 58º 3'08'' = 137º 4'18'' e) Por el teorema del seno: sen a sen A = 69º 08' 09'' < a < = sen A = sen A sen A = 110º 51' 51'' < a < Resolvemos ahora dos triángulos esféri, uno ara A 1 =69º08 09 y otro ara A =110º ª solución: A 1 =69º08 09, a,, Alicando las analogías de Neer: A1 + c1 a+ tg = tg = 1, , c A1 1 = 113º 55' 5' ' y luego teorema del eno ara otener 1 ó ien: a 1 tg = = =9º 3 43 a + A1 + tg ª solución: A =110º51 51, a,, Alicando las analogías de Neer: Unidad docente de Matemáticas 3

4 A + c a+ tg = tg = 3, c = 150º35'8'' y luego teorema del A eno, ó ien: a tg = = 3, =147º3 56 a+ A + t g f) Por el teorema del seno: sen a sen sen 76º sen119º 64º34'08'' sen = = = 0, sen A sen 70º = 115º 5'5'' > a > A Solución única y alicando las analogías de Neer: A + c a + 94º30' tg = tg = tg 95º4'56'' = 0, c = 81º9'6'' A ( 4º30' ) a A + ( 19º4'55'') tg = cot g = tg 94º30' = 0, = 73º17'46'' a + ( 95º4'55'' ) g) Triángulo rectilátero que su olar es rectángulo y or el entágono de Neer: A =180º-a=90º; =180º-=11º ; =180º-c=131º10 a A =90º 90º-c 90º- a =cotg cotg =0,3597 a = 68º 55' A = 180 a = 111º 05' =sen(90º- )sen = = 0, sen = 10º ' = 180º = 59º 38' =sen(90º-c )sen c = = 0, sen c = 135º 3' = 180º c = 44º 37' 4.- Hallar los lados a y de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, = 47º 54 54, a - = 13º Dividiendo miemro a miemro en las analogías de Neer: Unidad docente de Matemáticas 4

5 a + A tg = c A + a + A + a + tg tg tg tg = = a A a A tg 6º 50' 5'' tg sen tg tg = c A + tg sen a + a + tg = = 39º1' 6''.67 a + = Por hiótesis, a = 13º 40' 50' '. Resolviendo el sistema lineal tg 68º 57' 7'' tg 1º 0' 33'' 78º ' 53''.34 a + = a = 13º 78º ' 53''.34 40' 50'' a = 45º 51' 5'' se otiene:. = 3º 11' '' 5.- Resolver, si es osile, los siguientes triángulos esféri rectángulos, siendo A=90º: a) a=60º 07 13, =59º ) =167º 03 38, =157º c) a=11º 4 36, =76º a) (90º-c)=senasen=0, c = 48º 00'33'' < a < A 131º59'7'' a=cotgcotg tg = 1,059 = 50º 0'0'' =cotgatg tg = tga = 0, = 41º 5'14'' ) sena=sen/sen=0, a1 = 36º38'0'' < A < a = 143º 1'58'' < A < Dos soluciones de tal forma que es otuso: sen c = tg tg ser a 1 aguda, 1 c = 34º 34' 34'' = , ya que al c1 = 145º 5' 34'' c y han de ser amos otusos. = 7º00'07'' sen = = 0, = 107º 59'53'' de ser amos otusos. a catetos otusos corresonde hiotenusa aguda y ángulos otusos. c) Por el teorema del seno:, ya que al ser a 1 aguda, 1 y han, Unidad docente de Matemáticas 5

6 sen sen A sen 76º 44'15''sen 90º sen = 1,0551 sen a = sen11º 4'36'' = No existe tal triángulo. 6.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, =40º y c=100º, hallar la altura esférica sore el lado a y decir si es interior o exterior al triángulo. a H h h c A Si la altura sore el lado a es interior (h), al triángulo A, entonces y han de ser amos agudos o amos otusos, ues son ángulos que se oonen al cateto h, en los triángulos rectángulo en que h),divide al triángulo A. Si la altura es exterior (h), entonces han de ser y 180º- amos agudos o amos otusos, es decir, y tienen distinto carácter. Por tanto, hemos de hallar rimero y : a c = = = 34º 49' 11'' sena senc c a = = =118º 58' 36'' sena sen Luego al ser las soluciones válidas = 34º <90º y = 118º 58 36, deducimos que la altura sore el lado a es exterior al triángulo A y su valor es un ángulo agudo. onsiderando el triángulo AH rectángulo en H senh= sensenc= h = 34º 1' 59'' 145º 47' 1'' > 90º 7.- alcular los ar de circunferencia máxima corresondientes a: a) Altura sore el lado c. ) Mediana sore el lado c. c) isectriz del ángulo. =54º10' A=84º30' c=104º' a) Se descomone el triángulo en dos triángulos rectángulos y la altura se otiene or el teorema del seno: senh=sen.sena= º 48' 11'' < A < H h = 16 º 11' 49'' > 90º A agudo, luego su cateto ouesto h agudo. =54º10' A=84º30' H h c=104º' Unidad docente de Matemáticas 6

7 =54º10' c/ m A=84º30' c=104º' ) Puesto que, en el triángulo de la izquierda, conocemos dos lados y el ángulo comrendido, utilizamos el teorema del eno: m=(c/)+sensen(c/)a con c/=5º11 luego m=65º08 40 =54º10' / c) Es necesario calcular el ángulo en el z triángulo A: A=84º30' a=c+sensenca= Z c=104º' a=94º Otra vez el teorema del eno: c a = = 104º50'30'' en senasen el triángulo AZ el teorema del eno ara ángulos: Z = A + senasen Z = 66º1' y con el teorema del seno senz sen sen 61º 5'31'' = senz = sena z =, z > A > Z sena senz senz 118º 07'9'' lo que significa que no saemos cuál es la solución correcta, ara ello odemos volver a utilizar el teorema del eno ara ángulos: A + Z A = Z + senzsen z z = z = 61º 5'30'' senzsen z 8.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Un cateto y su ángulo ouesto son amos agudos o amos otusos. ) Si los catetos son amos agudos o amos otusos, entonces la hiotenusa es aguda; ero si un cateto es agudo y otro es otuso, entonces la hiotenusa es otusa. a) Por el entágono de Neer: =sen(90º-)sen=sen < 90º y <90º sen = > 0 >90º y >90º y amos agudos o amos ousos. ) Ahora es: a=sen(90º-)sen(90º-c)=c < 90º > 0 a = c > 0 a < 90º c< 90º c > 0 > 90º < 0 a = c > 0 a < 90º c > 90º c< 0 Unidad docente de Matemáticas 7

8 < 90º > 0 a = c < 0 a > 90º c > 90º c< 0 Recírocamente: a < 90º a = c > 0 signo( ) = signo( c) y c son amos agudos o amos otusos. a > 90º a = c < 0 signo( ) signo( c) y c son de distinto cuadrante. 9.- Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) A = a /(1+ a) ) sec A - sec a = 1 c) (a/) sen (A/) =1. Equilátero: los tres lados iguales a==c Y or el teorema del eno a = c + sen sen c A= a + sen a A Y desejando a a A = sen a a a a(1 a) a(1 a) a a) A = = = = sen a 1 a (1 + a)(1 a) 1+ a a 1 1+ a 1 ) Por el aartado anterior: sec A seca = = = = 1 A a a a a α 1+ α α 1 α c) Saemos que: = y sen = y así en nuestro caso: a A sen 1+ a 1 A = = 1+ a 1 A = a 1 = 1+ a 1 = 1+ a = 1, or el aartado a). 1+ a 1+ a 10.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Saiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40º 6 ; longitud: Oeste 3º 4 Tokio latitud: Norte 35º 40 ; longitud: Este 139º 45 : y que el radio de la tierra es 6370 km, se ide: a) Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? ) A qué distancia del Polo Norte asa aroximadamente? c) Se denomina írculo Polar Ártico a una circunferencia menor sore la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se one en todo el día. El írculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30. Sorevuela el mencionado avión el írculo Polar Ártico? A a) Datos: A=139º45 +3º4 =143º7 = 90º-40º6 =49º34 c=90º-35º40 =54º0 solución del triángulo: A(olo); (Madrid); (Tokio) a c Unidad docente de Matemáticas 8

9 alicando el teorema del eno: a = c + sen senc A otenemos a=96º48 44 or lo que la distancia recorrida es d = a(radianes). R = a (π/180) ( ) = km (el avión vuela a 10km sore la suerficie, de ahí el radio ) ) Del triángulo anterior calculamos el ángulo Alicando el teorema del eno c = a + sena sen Sale = 9º09 38 (rumo del avión desde Madrid) Ahora se lantea el siguiente triángulo esférico rectángulo con el unto más cercano al olo Los datos son =90º, = 49º34 y =9º09 38 ( y son comunes al triángulo anterior) senh= sen. sen = sen(9º09 38 ) sen(49º34 ) otenemos h = 1º 46 1 (solución aguda, h< 90º ues <90º en un triángulo rectángulo) La distancia al olo es la longitud del lado h. La distancia es aroximada si se considera la distancia al unto que identifica el Polo Norte sore la suerficie de la Tierra. Vamos a aroximarla or la distancia a la vertical del Polo a 10 km de altitud. Distancia al Polo. (1º46 1 ) π/180º ( )= km. c) como h=1º46 1 < (90º-60º30 )=9º30, SÍ SE SOREVUELA EL ÍRULO POLAR Ejercicios rouestos Resolver los siguientes triángulos esféri: 1) A=90º, =38º 17 46, c=37º ) A=90º, =5º 38 34, =50º ) =114º 31 18, =119º 4 34, =7º ) A=11º 4 3, =61º 1 40, a=7º ) A=161º 16 3, =16º 57 15, a=163º ) Un avión arte de un lugar cercano a Nueva York (74º1 longitud Oeste; 40º4 latitud Norte) con rumo 30º10 (dirección Norte y Oeste). Dar las coordenadas del unto de su recorrido más cercano al Polo Norte. 7) Un avión vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de m. De Madrid sale con rumo Noroeste y vuela.000 km hasta llegar a un unto en el cual vira ara dirigirse directamente a Nueva York. Saiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son Madrid: 3º 30' Oeste; 40º43' Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º7' Norte (La Tierra se considera una esfera de radio 6370 km y que el avión recorre ciclos de la esfera). Se ide: a). Distancia entre Madrid y Nueva ork. ). Distancia recorrida or el avión. Soluciones a los ejercicios rouestos 1) a=51º 13 46, =5º 38 34, =50º ) a=51º 13 46, =38º 17 46, c=37º a1 = 65º31'13",c1 = 85º13'50",A1 = 60º19'7" 3) a = 46º 4'38",c = 94º 46'10",A = 43º 44'35" 4) =64º 46 8, c=17º 58 40, =17º = 45º40'31", c1 = 146º06'6", 1 = 141º8' 17" 5) = 134º19'9", c = 54º0'33", = 114º49'3" 6) Longitud: 4º 46 4 y latitud 67º36 4 7) a) D=5857 km. ) Distancia total 5948 km. Unidad docente de Matemáticas 9

10 Nomre de archivo: Sol-esferica_05-06.doc Directorio: :\Documents and Settings\Administrador\Escritorio Plantilla: Normal.dot Título: 1 Asunto: Autor: Mluisa Palaras clave: omentarios: Fecha de creación: 7/09/005 4:50 amio número: 37 Guardado el: 1/10/005 1:51 Guardado or: Seminario Matematicas Tiemo de edición: 174 minutos Imreso el: 7/09/008 7:03 Última imresión comleta Número de áginas: 9 Número de alaras: (arox.) Número de caracteres: (arox.)