Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva NJCTL CTL NJEA NJCTL

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1 Slide 1 / 109 Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede rcia l e s tudia nte s y profe s ore s. No pue de s e r utiliza pado ra cua lquie r propós ito come rcia l s in cons e l e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios. NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa barajo otros profe s ore s, pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s, e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os. Nos otros, e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J enjea) rs e y ( s omos funda dore s orgullos os y a poyonjctl de y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro. NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s. Click para ir al s itio we b: Slide / 109 8º Grado Matemática Teorema de Pitágoras Distancia y Punto Medio Slide 3 / 109 Vínculo para preguntas de muestra PARCC Cálculo N 1

2 Slide 4 / 109 Tabla de Contenidos Click en un tema para ir a esta sección Teorema de Pitágoras Fórmula de Distancia Puntos Medios Glosario Common Core Standards: 8.G.6, 8.G.7, 8.G.8 Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones. Slide 5 / 109 Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero. (Haz click sobre el subrayado.) Cuántos tercios es en un entero? Cuántos quintos hay en un entero? Cuántos novenos hay en un entero? El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para armar una "pared de palabras". Slide 6 / 109 El cuadro tiene 4 partes 1 Factor Vocabulario Un número entero que puede dividir a otro número sin dejar resto 15 3 Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer número Ejemplos/ Contraejemplos (Cómo se utiliza en esta lección) 5 R es un factor de 15 Su significado 3 x 5 = 15 3 y 5 son factores de 15 3 no es un factor de 16 4 Volver al tema Vínculo para volver a la página del tema.

3 Slide 7 / 109 Teorema de Pitágoras Click para volver a la tabla de Contenidos Teorema de Pitágoras Slide 8 / 109 Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró. Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor. Lados de un Triángulo Rectángulo click para revelar c a Hipotenusa - Opuesto al angulo recto - El mas largo de revelar los 3 lados click para b Catetos click para revelar - lados que forman el ángulo recto click para revelar Slide 9 / 109

4 En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). Slide 10 / 109 a + b = c Cliquea sobre los links de abajo para ver varias animaciones de prueba Demostración con agua Mueve el cursor para mostrar c Movimiento de cuadrados Slide 11 / 109 Cateto que falta 15 pies a + b = c Escribe la Ecuación 5 + b = 15 Sustituye los números 5 + b = 5 Eleva al cuadrado -5 Sustrae -5 b = 00 5 pies Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta Slide 1 / 109 Cateto que falta pul gad as 9 pulgadas 18 a + b = c 9 + b = 18 Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrado 81 + b = b = Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta

5 Hipotenusa que falta a + b = c 7 pulgadas = c = c 65 = c Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrados Suma Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta 4 pulgadas Como usas la fórmula para encontrar los lados que faltan. 1 Cateto que falta Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación Escribe la Ecuación Sustituye los números Sustituye los números Eleva al cuadrado Eleva al cuadrado Sustrae Suma Encuentra la Raíz Cuadrada Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta Marca la Respuesta Cuál es la longitud del tercer lado? x 7 4 Slide 13 / 109 Slide 14 / 109 Slide 15 / 109

6 Cuál es la longitud del tercer lado? x Slide 16 / Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 17 / z 4 Cuál es la longitud del tercer lado? x 3 4 Slide 18 / 109

7 Ternas Pitagóricas Hay combinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas. 5 3 Slide 19 / es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiplo de una), no será necesario usar una calculadora! 4 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Slide 0 / 109 Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan. 1 = 1 = 4 3 = 9 4 = 16 5 = 5 6 = 36 7 = 49 8 = 64 9 = = = 11 1 = = = = 5 16 = = = = = = 441 = = 59 4 = = 65 6 = = 79 8 = = = 900 Slide 1 / Cuál es la longitud del tercer lado? 6 8

8 Slide / Cuál es la longitud del tercer lado? Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 3 / Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, cuál es la longitud de la hipotenusa? Slide 4 / 109

9 Slide 5 / 109 Los catetos de un triángulo rectángulo son de y 1 de longitud cuál es la longitud de la hipotenusa? 9 Slide 6 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de.5. Cuál es la longitud del otro cateto? Slide 7 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 4.5. Cuál es la longitud del otro cateto?

10 Slide 8 / 109 Este es un problema genial y bosqueja mucho de lo que hemos aprendido. Inténtalo en tus grupos. Luego trabajaremos en él paso a paso juntos para responder las preguntas que desglosan al problema en partes. En ΔABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC? From PARCC sample test 1 Qué hemos aprendido que nos ayudará a resolver este problema? Slide 9 / 109 A Teorema de Pitágoras B Terna pitagórica C Fórmula de distancia D Sólo A y B En ΔABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC? From PARCC sample test Slide 30 / 109 Primero, observa que tenemos dos triángulos rectángulos (rectas perpendiculares forman ángulos rectos). Los triángulos están remarcados en rojo y azul en el diagrama de abajo. En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC?

11 13 Cuál es la longitud del tercer lado en el triángulo rojo? Slide 31 / 109 A 3 cm B 6 cm C 9 cm D cm En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC? 14 Cómo se relaciona AD a CD? A AD > CD B AD < CD C AD = CD Slide 3 / 109 D no hay suficiente información para relacionar esos segmentos En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. 6 Cuál es la longitud de AC? 15 Cuál es la longitud de AC? Los alumnos escriben sus respuestas aquí En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC? Slide 33 / 109

12 Recíproco del Teorema de Pitágoras Slide 34 / 109 Si a y b son las medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c = a + b, entonces el triángulo es rectángulo Si c a + b, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo. a = 3 pies c = 5 pies b = 4 pies Corolario del Teorema de Pitágoras Slide 35 / 109 En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto. Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdadera, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo.. Slide 36 / pulg. 17 pulg. 15 pulg Es un Triángulo Rectángulo? a + b = c = 17 Escribe la Ecuación Sustituye los números = 89 Eleva al cuadrado 89 = 89 Simplifica ambos lados Si! Son iguales?

13 Slide 37 / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si No 10 pies 6 pies 8 pies Slide 38 / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si 36 pies No 4 pies 30 pies Slide 39 / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si No 10 pulgadas 8 pulgadas 1 pugadas

14 Slide 40 / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si 5 pies 13 pies No 1 pies 0 Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas? Slide 41 / 109 Si No Slide 4 / 109 Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras. 1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la situación.. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana.

15 Trabaja con tus compañeros para completar: Slide 43 / 109 Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego 4.0 millas al norte. Cuando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y.0 millas al sur. Cuál es la medida de la distancia más corta, expresada a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila? From the Ne w York S ta te Educa tion De pa rtme nt. Office of As s e s s me nt P olicy, De ve lopme nt a nd Adminis tra tion. Inte rne t. Ava ila ble from e dre ge nts.org/inte gra te dalge bra ; a cce s s e d 17, J une, 011. Trabaja con tus compañeros para completar: Slide 44 / 109 Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por 4 pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina trasera superior derecha, qué longitud tiene el sorbete, expresada a la décima de pulgada más cercana? From the Ne w York S ta te Educa tion De pa rtme nt. Office of As s e s s me nt P olicy, De ve lopme nt a nd Adminis tra tion. Inte rne t. Ava ila ble from e dre ge nts.org/inte gra te dalge bra ; a cce s s e d 17, J une, 011. Slide 45 / 109 El teorema de Pitágoras puede aplicarse a Figuras de 3 Dimensiones En esta figura: a = altura inclnada (altura de la cara triangular ) b = 1/ de la longitud de la base (del punto medio de lado de la base hacia el centro de la base de la pirámide) h = altura de la pirámide

16 Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes. Slide 46 / 109 Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera. EJEMPLO: Encuentra la altura inclinada de la pirámide cuya altura es de 5 cm y cuya base tiene una longitud de 8 cm Encuentra la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 1 cm. Coloca las medidas en el diagrama. Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 1 metros y la altura inclinada es de 9 m. Coloca las mediciones en el diagrama. Slide 47 / 109 Slide 48 / 109

17 Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. Cuál es la altura de la pantalla? 1 3 Calcula la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas Coloca las medidas en el diagrama. Un árbol fue alcanzado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está ahora a 8 m contantdo desde la base del árbol y aún parcialmente unido a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto era el árbol originalmente? Slide 49 / 109 Slide 50 / 109 Slide 51 / 109

18 4 Supón que tienes una escalera de 13 pies de longitud. Para poder subirte la colocas a 5 pies de distancia de la pared del edificio. Tienes que colocar un cartel arriba del edificio a 10 pies de altura sobre el nivel del suelo. Es suficientemente larga la escalera para que puedas llegar a la altura necesaria para colocar el cartel? Slide 5 / 109 Sí No 5 Acabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado) da base Slide 53 / pies. 90 pies. 1ra base 3ra base 90 pies. 90 pies Casa 6 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 5 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana? Slide 54 / 109

19 Slide 55 / Scott quiere nadar a través de un río que tiene 400 metros de ancho. Comienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio? Slide 56 / 109 Fórmula de Distancia Click para volver a la tabla de Contenidos Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos simplemente contando las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical La distancia entre esos dos puntos es 4 unidades. El punto más alto esta á 4 unidades por encima del punto más bajo Slide 57 / 109

20 Slide 58 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos? 9 Cuál es la distancia entre estos dos puntos? 30 Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Slide 59 / 109 Slide 60 / 109

21 La mayoría de los conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal. Por ejemplo: Slide 61 / 109 Contando las unidades entre estos dos puntos es imposible. Así que los matemáticos han desarrollado una fórmula usando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos. Dibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. c Slide 6 / 109 b a Ejemplo: Slide 63 / 109

22 Slide 64 / 109 Intenta con este problema ahora Slide 65 / 109 Derivación de una fórmula para el cálculo de distancia... Dibuja triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras (x, y) d longitud = y - y1 (x1, y1) longitud = x - x1 c = a + b Slide 66 / 109 d = (x - x1) + (y - y1) d = (x - x1) + (y - y1) Esta es la fórmula de distancia, ahora sustituída en valores.

23 Slide 67 / 109 Fórmula de Distancia Puede encontrar la distancia d entre dos puntos (x1, y1) y (x, y) utilizando la siguiente fórmula. d= (x - x1) + (y - y1) distancia en la coordenada x-. distancia en la coordenada y. Cuando solo damos dos puntos, usa la fórmula. Slide 68 / 109 Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-4, -7) Punto (-5, -) 31 Slide 69 / 109 Encuentra la distancia entre (,3) y (6,8). Redondea la respuesta a la décima más cercana. x1 Pista = y1 = 3 x = 6 y = 8

24 Slide 70 / Encuentra la distancia entre (-7,-) y (11,3). Redondea la respuesta a la décima más cercana. x1 = Pista -7 y1 = - x = 11 y = 3 Slide 71 / Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5). Redondea la respuesta a la décima más cercana. 34 Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la décima más cercana Slide 7 / 109

25 Cómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo? Slide 73 / 109 Se puede hacer una cosa o la otra; contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos desde los pares ordenados. Slide 74 / 109 Podemos contar cuántas unidades de largo tiene cada segmento es en este cuadrilátero para encontrar el perímetro? D (3,3) A (0,-1) C (9,4) B (8,0) Puedes usar la fórmula de distancia para resolver problemas de geometría. D (3,3) A (0,-1) C (9,4) B (8,0) Encuentra el perímetro de ABCD. Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar las cuatro longitudes de los lados. A continuación, suma todos juntos AB = AB = BC = BC = CD = CD = DA = DA = Slide 75 / 109

26 Slide 76 / Encuentra el perímetro del EFG. Redondea la respuesta a la décima más cercana. F (3,4) G (1,1) 36 E (7,-1) Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la décima más cercana. Slide 77 / 109 H (1,5) K (-1,3) I (3,3) J (1,1) 37 Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la decena más cercana. L (1,) O (0,-1) M (6,) N (5,-1) Slide 78 / 109

27 Slide 79 / 109 Punto Medio Click para volver a la tabla de Contenidos Encuentra el punto medio de este segmento. Slide 80 / 109 Qué es un punto medio? Como encontraste el punto medio? Cuáles son las coordenadas del punto medio? (, 10) (, ) Encuentra el punto medio de este segmento. Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos? (3, 4) (9, 4) Slide 81 / 109

28 Slide 8 / 109 Fórmula del Punto Medio Para calcular punto medio de un segmento con los puntos extremos (x1,y1) y (x,y) usa la fórmula: ( x1 + x y1 + y, ) Las coordenadas del punto medio de los ejes x e y son los promedios de las coordenadas de los puntos extremos de x e y, respectivamente. Slide 83 / 109 El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B. A (,5) B (8,1) Mira la próxima página para la respuesta Slide 84 / 109 El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B. Usa la fórmula del punto medio: ( A (,5) M B (8,1) x1 + x, y1 + y )

29 Slide 85 / 109 Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) Usa la fórmula del punto medio: ( x1 + x, y1 + y ) Slide 86 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (,10) y (6,-4)? A (3,4) B (4,7) C (4,3) D (1.5,3) Slide 87 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (4,5) y (-,6)? A (3,6.5) B (1,5.5) C (-1,5.5) D (1,0.5)

30 Slide 88 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-4,-7) y (-1,)? A (-8,-.5) B (-4,-4.5) C (-1,-6.5) D (-8,-4) Slide 89 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)? A (6.5,) B (6,7.5) C (7.5,6) D (15,1) Slide 90 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,). Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? A Fórmula Pitagórica B Fórmula de Distancia C Fórmula del Punto Medio D Fórmula del Área de un Círculo

31 Slide 91 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,). A (.5,-) B (,.5) C (-,.5) D (-1,1.5) Slide 9 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-1,10) y (,6). A (-7,8) B (-5,8) C (5,8) D (7,8) Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta. Q=? M (8,1) P (8,-6) Usa la fórmula del punto medio y resuelve para el desconocido. ( x1 + x y1 + y, ) Sustituye Multiplica ambos lados por Suma o Resta (8, 8) Slide 93 / 109

32 45 46 Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (-13,-) B (-8.5,-9.5) C (-4.5,-7.5) D (-1.5,-6.5) P = (-4,3) M = (-8.5,-9.5) Q=? Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (1,-1) B (-13,19) C (-8,11) D (-19,8) Slide 94 / 109 Slide 95 / 109 Q = (-6,9) M = (-7,10) P=? Slide 96 / 109 Glosario Click para volver a la tabla de Contenidos

33 Slide 97 / 109 Recíproco del Teorema de Pitágoras Si a y b son las medidas de los lados más cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo y equivale al cuadrado de b más el cuadrado de a, entonces ese triángulo es un triángulo rectángulo. Ejemplo: a+b = c 4 c a 4+3 = = 5 5 = b triángulo rectángulo Volver al tema Slide 98 / 109 Distancia Longitud Es la medida de cuán alejados están dos puntos a lo largo de un espacio. Fórmula de distancia d= (x - x1) + (y - y1) distancia en la coordenada distancia x-. en la coordenada y = Volver al tema Slide 99 / 109 Hipotenusa El lado más largo de un triángulo rectángulo que es el opuesto al ángulo recto. Hipotenusa a+b = c Volver al tema

34 Slide 100 / 109 Catetos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo. a+b = c Catetos Volver al tema Slide 101 / 109 Punto medio El medio de algo. Fórmula de punto medio: ( x1 + x y1 + y, ) El punto que está a la mitad de una recta. ( ( ( ) ) ) x1 + x y1 + y, , 4, 1 ( 6), Volver al tema Slide 10 / 109 Teorema de Pitágoras El un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados (a y b) es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). Fórmula: 4 Ejemplo: 4+3 = = 5 5 = Volver al tema

35 Slide 103 / 109 Ternas pitagóricas Combinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras = = 5 5 = = = 49 0 = = = = Volver al tema Slide 104 / 109 Triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto (90 ). Hipotenusa 60º Catetos 30º Escalera Vela 45º 45º Volver al tema Slide 105 / 109 Volver al tema

36 Slide 106 / 109 Volver al tema Slide 107 / 109 Volver al tema Slide 108 / 109 Volver al tema

37 Slide 109 / 109