I- CÁLCULO DE ERRORES EN LAS MEDIDAS.

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1 FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA MATERIA CONDENSADA I- CÁLCULO DE ERRORES EN LAS MEDIDAS. 1. Itroducció. La medida es fudametal e el crecimieto y aplicació de la Ciecia. Desde el corte de bloques de piedra para la costrucció de las pirámides, hasta la determiació de la forma de u plaeta a partir de las órbitas de sus satélites, los métodos y técicas de medida se ha extedido y mejorado, y uestra depedecia sobre su grado de fiabilidad ha aumetado. Pero hacer ua medida o basta. Cuado usamos el resultado obteido, debemos saber si es bastate bueo para uestros propósitos. Cuado se mide ua magitud física, o puede esperarse que el valor obteido sea exactamete igual al valor verdadero, ya que igua medida es perfecta. Es imprescidible, e cada caso, obteer algua idicació de qué ta cerca está el resultado de la medida de dicho valor verdadero; es decir, algua idicació de la exactitud y fiabilidad de la medida. Esto se hace icluyedo e el resultado ua estimació de su error. Todo resultado experimetal o medida hecha e u laboratorio debe icluir el valor estimado del error de la medida. Por ejemplo, puede medirse la distacia focal de ua lete y dar el resultado fial como: f = (256 ± 2) mm. (1) De este modo etedemos que la distacia focal está e algua parte etre 254 mm y 258 mm E este caso decimos que el error de f es de 2 mm, y lo expresamos así: dode el símbolo sigifica error de. f =2 mm, E realidad, la expresió (1) o sigifica que se está seguro de que el valor verdadero esté etre los límites idicados, sio que hay cierta probabilidad de que esté ahí. La ecuació (1) idica tambié que uestra resolució o permite saber ada e cuato a las décimas de mm adicioales o cualquier fracció meor que pueda existir e la distacia focal. A veces, el error o se poe explícitamete y se sobreetiede de la forma e que se idica el valor de la medida. Por ejemplo, si e el caso aterior damos el resultado fial e la forma: f= 256 mm (2) debemos eteder que la última cifra sigificativa es el 6, y el error es de 1mm, siedo equivalete a poer f= (256 ± 1) mm. Debido a ello e Física experimetal, los ceros a la derecha del puto decimal so relevates. No es lo mismo decir que ó que f= mm (3) f= mm (4) 1

2 Departameto de Física de la Materia Codesada E el primer caso, estamos diciedo implícitamete que la última cifra sigificativa de la medida so las décimas de milímetro, y por lo tato el error es 0.1mm y es equivalete a poer f = (256.1±0.1) mm, mietras que el valor dado e la ecuació (4) es equivalete a poer f = ( ± 0.01) mm. El úmero de cifras sigificativas del valor experimetal de ua magitud tiee que ser coherete co su error. Por ejemplo, si e otro experimeto, el error e la medida de la distacia focal se ha estimado e 0.7 mm, y el valor experimetal para la distacia focal, obteido mediate los cálculos pertietes resulta ser (e uestra calculadora) f= mm, solamete podremos cosiderar la primera cifra decimal como sigificativa ya que el error solamete lo podemos estimar co ua cifra decimal. Por tato, redodeado, debemos poer f= (256.4 ± 0.7) mm. No tiee igú setido poer como resultado f= ( ± 0.7) mm, f= ( ± 0.7) mm, ó f= (256 ± 0.7) mm, que so expresioes absolutamete icorrectas, por o teer el error y el valor el mismo úmero de decimales! Relacioado co lo aterior está el problema de decidir las uidades e las que expresaremos uestros resultados. E geeral, e el Laboratorio se usará uidades MKS. Solamete e casos excepcioales o se hará uso de esa regla. Estos casos puede surgir cuado las uidades que queremos emplear tiee u orde de magitud que o se correspode co el valor de la medida o el error del resultado. Cosideremos, por ejemplo, que hemos medido ua fuerza de 1.3 dias co u error de 0.2 dias. Si lo poemos e uidades MKS, será ( ± ) N, co u "mareo de ceros". La situació se puede y se debe salvar utilizado explícitamete potecias de 10 y es coveiete poerlo e la forma: (1.3 ± 0.2 ) 10-5 N o usado uidades CGS (dias, e este caso). De la misma forma que e el casos aterior, el úmero de decimales e el valor de la magitud debe estar de acuerdo co el valor del error. Puede ocurrir otras situacioes e las que las uidades MKS so demasiado pequeñas. Supogamos que hemos medido ua distacia de 1245 m pero co u error de 70 m. De la misma forma que ocurría co los valores co decimales, deberemos e este caso tambié redodear el valor obteido para que sea coherete co el error estimado. Es decir, deberemos poer que L= (1240 ± 70) m, y aparece e el valor tato de la medida como de su error u cero, que os idica que la precisió de uestra medida o permite saber "ada" sobre el valor de las uidades de metros e el valor medido y e su error. E ese caso, es coveiete pasar a otras uidades dode o sea ecesario itroducir esos ceros "simbólicos" y podremos L = (1.24±0.07) km. E este caso, los km es ua uidad más adecuada y cosistete co el error de la medida. Los errores, auque se "calcula" usado determiadas expresioes, de las que luego hablaremos, solamete so estimacioes, ema ta zabal es decir, zazu el valor que se obtiee es úicamete u valor aproximado que cosideramos razoable. Por ello, e el "calculo" de errores debe iterveir e muchos casos el setido comú a la hora de decidir cual es el error de ua medida. Uo de las primeras cuestioes es decidir cual es la "precisió" e el error, es decir, cual es el "error e el error". E el ejemplo aterior, puede ser que la estimació del error mediate determiados cálculos, de los que luego hablaremos, os haya dado e la calculadora: m; debemos etoces decidir cuatas cifras so sigificativas e este cálculo, y elegir etre tomar como error: 70, 68, 68.5 m, etc... lo que decidirá tambié el úmero de cifras sigificativas e el valor medido. Para tomar ua decisió o ecesitamos, si embargo, etrar e el cálculo de errores de los errores, ya que, e geeral, estos so ta grades, que basta ua regla geeral: 2

3 Cálculo de errores e las medidas Los errores se debe dar solamete co ua cifra sigificativa. Úicamete e casos excepcioales, se puede dar ua cifra y media (la seguda cifra 5 ó 0), o dos cifras sigificativas. E el ejemplo aterior, se puede ver que o tedría setido preteder precisar que el error de la logitud es de 68 m, (y o 66 i 69 m, por ejemplo), cuado la logitud propiamete dicha úicamete se ha podido medir co u error de uos 70 m. Sigificaría etoces que podemos "medir" co más precisió el error que la propia logitud! Debemos, por tato redodear el error a 70 m, que tiee úicamete ua cifra sigificativa. Y co ello, está implícito que el error solamete lo estamos estimado e deceas de metros, y supoemos que su valor debe estar probablemete etre 65 y 75m si poder especificar más. Resumiedo, podemos euciar tres reglas importates: 1) Cualquier magitud física obteida a partir de datos experimetales se debe expresar acompañada de su error, co idicació de las uidades empleadas. 2) La última cifra sigificativa e el valor de ua magitud física y e su error, expresados e las mismas uidades, debe correspoder al mismo orde de magitud (ceteas, deceas, uidades, décimas, cetésimas, etc...) 3) EN NUESTRO LABORATORIO, e geeral, los errores debe teer UNA ÚNICA cifra sigificativa. Solamete e casos excepcioales justificados puede utilizarse errores co ua y media, o dos cifras sigificativas. Ejemplos de expresioes correctas (si uidades): 24000± 3000; 2500± 300; 23.45± 0.06; 345± 3 ; ± ; (1.23 ± 0.06) ; 370± 30; 500± 100; 24567± 8; 23.50± Ejemplos de expresioes icorrectas: por la regla 2: 24567± 3000; 2523± 300; 23± 0.06; 345.3± 3; ± 0.004; ± 30; ( ± ) por la regla 3: 24567± 2928; ± 335.2; ± 0.165; ± 3.10; ± ; (8.23± 1.18) Ejercicio. Expresar correctamete los siguietes resultados (si uidades): por ejemplo: ± ± 40 ( ± (8.2± 0.1) 10-6 a) ± f) ± k) ± b) ± g) ± l) ± c) ± h) ±535.6 m) ± d) ± i) ± ) ± e) ± j) ± ñ) ± (solucioes al fial de los aputes de cálculo de errores) 3

4 Departameto de Física de la Materia Codesada La estimació de los errores que afecta a las medidas, costituye ua idicació de la exactitud y precisió de las mismas y os permite extraer coclusioes sigificativas de los resultados experimetales. Podría pesarse, etoces, que todo experimeto debe ser diseñado para reducir los errores tato como sea posible. Si embargo este puto de vista o es realista; la vida es fiita y los resultados del experimetador tambié, así como su capacidad de trabajo. Por tato es importate diseñar y efectuar el experimeto de modo que la exactitud de la respuesta fial sea la apropiada para el objetivo primordial que ha motivado su realizació. Pocos experimetos so ta secillos que la magitud fial se mida e forma directa (medidas directas ), sio que, por lo geeral, se tiee que medir los valores de varias magitudes primarias y combiar los resultados a fi de obteer el valor de la magitud requerida (medidas idirectas). Los errores e la medida de las magitudes primarias determia el error e el resultado fial. E geeral, los errores primarios cotribuye e distito grado al error fial, y es etoces coveiete cocetrar los recursos fiitos dispoibles de tiempo, aparatos y paciecia e reducir los errores primarios que cotribuye e mayor grado. Causas de error Es claro como aparece alguos errores. Por ejemplo, u micrómetro puede teer u "error de cero", dado ua lectura de 0.02 mm. cuado está totalmete cerrado. Si realizamos ua serie de medidas de la logitud, L, de ua barra de metal, el valor obteido para L sería icorrecto, dado que deberíamos restarle el "error de cero" (0.02 mm.). Más aú, durate la medida podría haber variado la temperatura y, por tato, la logitud de la barra o haber sido fija. E este caso, deberíamos elegir algua temperatura fija, por ejemplo 20 o C, y, mediate otro experimeto o coociedo el coeficiete de dilatació del metal, corregir uestras medidas. Tales errores se deomia errores sistemáticos. E geeral, los errores sistemáticos so costates o varía muy letamete respecto al tiempo ecesario para realizar ua medida. Este tipo de error se amiora, como es lógico, empleado u aparato bie calibrado y tomado las debidas precaucioes al hacer la medida. Diremos que el resultado es exacto cuado está libre de errores sistemáticos. Si embargo, cuado todos los errores sistemáticos se ha elimiado o corregido, e muchos casos tampoco se obtiee idéticos valores para u cojuto repetido de medidas. Los errores que da cueta de las diferecias etre tales valores se llama errores aleatorios. Estos errores se debe a causas impoderables como las variacioes imprevistas de las codicioes de medida, temperatura, presió, humedad, etc. U experimetador que haga la misma medida varias veces, o obtedrá, e geeral, el mismo resultado o sólo por las causas que acabamos de mecioar, sio tambié por las propias codicioes e las que se ecuetra él mismo y las variacioes e sus codicioes de observació. Los errores aleatorios puede compesarse ema realizado ta zabal u zazu gra úmero de medidas. U resultado se cosiderará tato más preciso, cuato meor sea su error aleatorio. Parece claro que au realizado co meticulosidad las medidas y repitiédolas u gra úmero de veces, o podemos reducir a cero el error del resultado. Dicho error estará determiado, e u caso ideal, por la resolució del aparato de medida y se deomia error istrumetal. Por tato, el coocimieto del valor verdadero de ua magitud es imposible. Solamete podemos obteer ua estimació, esperado que sea la mejor estimació del valor verdadero. La maera de obteer ese "mejor" valor y cómo estimar el error del mismo, se describe a cotiuació. 4

5 Cálculo de errores e las medidas 2. Error absoluto y error relativo. Los errores de los que hemos estado hablado hasta ahora so errores absolutos. El error relativo (e) se defie como el cociete etre el error absoluto ( x) y el valor medio (e valor absoluto). Es decir, e = "x (5) x dode el x se toma e valor absoluto, de forma que e es siempre positivo. Es u ídice de la precisió de la medida. Por ejemplo: si e ua medida de 100 m el error absoluto es de 1 m, y e otra medida de 10km el error absoluto es tambié de 1m, salta a la vista que, e el primer! caso, la "magitud" del error es mucho mayor que e el segudo, a pesar de que el error absoluto es el mismo. Este hecho se poe de maifiesto al calcular los errores relativos (1/100 y 1/10000 respectivamete) de ambas medidas. El error relativo se puede dar tambié e porcetaje: e =!x x "100% Por ejemplo, u error relativo del 10% e ua medida de ua logitud de 100m sigifica que el error absoluto será de 10 m. REGLA GENERAL: Es ormal que la medida directa o idirecta de ua magitud física co aparatos covecioales tega u error relativo del orde del uo por cieto o mayor. Errores relativos meores so posibles, sobretodo e medidas directas, pero o so ormales e los resultados fiales obteidos e u Laboratorio elemetal como el que utilizamos. E resume, habrá que teer ua buea justificació para poder asegurar que los resultados fiales de ua práctica tiee u error relativo por debajo del 1%. Esta regla debe ser ua guía permaete e la estimació del error de cualquier catidad. 3. Errores de Medidas Directas Como se ha cometado ateriormete, ua medida directa es aquella e la que la magitud que se quiere determiar se mide directamete. Las causas de error e las medidas directas, si supoemos que se ha tomado la precaucioes ecesarias para evitar los errores sistemáticos, se limita a los errores aleatorios y a los errores istrumetales. Co el fi de compesar los errores aleatorios e ua medida directa hay que realizar varias medidas, y como mejor estimació de la medida tomar el valor medio. Es decir, supogamos que se ha hecho medidas de ua magitud x, y los resultados obteidos so x 1, x 2,..., x se adopta como mejor estimació del valor verdadero el valor medio, x ó x, que viee dado por x = x = x 1 + x x Aú cuado este valor o es el valor verdadero de la magitud, se aproximará tato más al mismo cuato mayor sea el úmero de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se! va compesado uos co otros. Si embargo, e la práctica, o debe pasarse de u cierto úmero de medidas. E geeral, es suficiete co 10, e icluso podría bastar co 4 ó 5. = " i=1 5 x i (6)

6 Departameto de Física de la Materia Codesada Cuado la sesibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada co la magitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetició de la medida os lleve siempre al mismo resultado; e este caso, está claro que el valor medio coicidirá co el valor medido e ua sola medida, y o se obtiee ada uevo de la repetició de la medida y del calculo del valor medio, por lo que solamete será ecesario e este caso hacer UNA sola medida. E lo sucesivo, deomiaremos "valor medio" al obteido mediate la fórmula (6) a partir de los resultados e medidas, ó al valor obteido e ua úica medida, e el caso de que la repetició de la medida o sea ecesaria. De acuerdo co la teoría de Gauss de los errores, que implica supoer que estos se produce por causas aleatorias, se toma como la mejor estimació del error, para el valor experimetal, obteido como valor medio de u cojuto de medidas, el llamado error cuadrático defiido por dode:!x = # i=1 " i 2 ( $1) (7)! i = x " x i (8) El resultado del experimeto se expresa etoces como: x ± Δx. Para u úmero muy grade de medidas y siempre que los errores sea autéticamete aleatorios, el error Δx calculado de esta forma, es u úmero (positivo por defiició) que sitúa e u 68%, la probabilidad de que el valor verdadero se ecuetre etre x - Δx y x + Δx. La probabilidad será de u 95.4% etre x ± 2Δx y de u 99.7% e el itervalo x ± 3Δx Ejemplo 1: Si para determiar u volume hemos hecho varias medidas y la media de todas ellas es cm3 y el error cuadrático ΔV es 0.4 cm3, el resultado se expresa: (143.7 ± 0.4) cm3 [ ó 143.7(4) cm3 ] La idetificació del error de u valor experimetal co el error cuadrático obteido de medidas directas cosecutivas, solamete es válido e el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error istrumetal, es decir que aquél que viee defiido por la resolució del aparato de medida. E caso cotrario, deberemos tomar el error istrumetal como el error del valor medido. Este error istrumetal es la uidad más pequeña que el istrumeto puede apreciar, deomiada sesibilidad (o resolució) del istrumeto. Es evidete, por ejemplo, ema tomado ta zabal el caso zazu más extremo, que si el resultado de las medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo co la fórmula de arriba, será cero, pero eso o quiere decir que el error de la medida sea ulo!, sio que el error istrumetal es ta grade, que o permite observar diferecias etre las diferetes medidas, y es este último, el error istrumetal, el que hay que tomar etoces como error de la medida. Por ejemplo, ua medida de ua logitud co ua cita métrica que tiee divisioes hasta el mm, tedrá u error de 1mm, ya que si efectuásemos varias veces la medida el resultado sería siempre el mismo. IMPORTANTE: Para determiar el error de las medidas directas hay que determiar el error cuadrático y el error istrumetal. El error de la medida vedrá determiado 6

7 Cálculo de errores e las medidas por el de mayor valor de etre los dos. Evidetemete si sólo se ha realizado UNA medida de la magitud, el error es directamete el error istrumetal Ejemplo 2: Si, por ejemplo, al hacer ua medida de itesidad co u amperímetro cuya divisió o cifra sigificativa más pequeña es 0.01A, la lectura es 0.64A, y esta lectura es costate (o se observa variacioes al medir e diferetes istates), tomaremos 0.64A como el valor de la medida y 0.01A como su error; es decir, (0.64±0.01) A. Ejemplo 3: Cosideremos u segudo ejemplo: supogamos que hemos medido u determiado tiempo, t, cuatro veces, y dispoemos de u croómetro que permite coocer hasta las décimas de segudo. Los resultados ha sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho ateriormete, tomaremos como valor medido el valor medio: t= 1/4( ) = s. El error cuadrático será, de acuerdo co la fórmula (7):!t= 1 12 (-0.025) 2 +(0.075) 2 +(-0.125) 2 +(0.075) 2 " 0.05 s Este error cuadrático es meor que el error istrumetal, que es de 0.1 s, por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redodear e cosecuecia el valor medio!, por lo que el resultado fial de las medidas es t= (6.3±0.1) s. Ejemplo 4: Cosideremos, u uevo ejemplo, similar al aterior, pero e el que los valores obteidos para el tiempo está más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. E ese caso, el valor medio es s y el error cuadrático es (tal como sale de la calculadora). El error cuadrático es e este caso mayor que el error istrumetal, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiedo la regla 3) de arriba lo debemos redodear a 0.2, que está de acuerdo co el hecho de que o tedría setido estimar el error co más precisió que la que os permite el aparato de medida utilizado, e este caso el croómetro, que teía ua resolució de 0.1s. Por lo tato, Δt= 0.2 s y el resultado de la medida, e este caso, será t = (6.0 ± 0.2) s, dode es importate darse cueta del redodeo que ecesariamete se ha realizado e el valor medio, para que esté de acuerdo co la resolució istrumetal, y la sigificació de poer u cero a la derecha del puto decimal Errores de Medidas Idirectas. Propagació de Errores. Como ya dijimos ates, e muchos casos el valor experimetal de ua magitud se obtiee, de acuerdo a ua determiada expresió matemática, a partir de la medida directa de otras magitudes de las que depede. De la misma forma, el error de dichas magitudes idirectas o derivadas, va a depeder de los errores de las magitudes medidas directamete. Se trata etoces de calcular el ema error ta e zabal la magitud zazu idirecta a partir de los errores de las magitudes medidas directamete. A este problema se le llama tambié "propagació de errores". Vamos a cosiderar dos casos: a) Fució de ua sola variable: La magitud idirecta (y) cuyo error queremos hallar depede solamete de ua úica magitud (x), mediate ua relació fucioal geeral: y = f(x). Puede demostrarse que e este caso el error de y, cuado se cooce el de x, es: 7

8 Departameto de Física de la Materia Codesada! "y = f #( x) "x (9) siedo f "( x)el valor que toma la derivada de para el error relativo, tedremos:! ( ) ( ) "y! y = f # x "x (10) f x f ( x) para el valor estimado de x. Por tato, Ejemplo 5: Se trata de determiar el volume de ua esfera midiedo su radio. Si r es el valor medio obteido! y Δr su error, el volume será: V = 4 3 " r3 y el correspodiete error, ΔV = 4π r 2 Δr ! b) Fució de varias variables: La magitud idirecta (y) viee determiada por la medida de varias magitudes p. q, r,... co las que está ligada por la fució y = f(p,q,r,...). El error de la magitud fial a determiar (y), supoiedo que se cooce los errores de p, q, r,..., viee dado por: "y = $ #f & %#p "p ' ) ( 2 $ + & #f %#q "q ' ) ( 2 $ + & #f %#r "r ' ) ( 2 + (11) "f siedo "p, "f "q, "f, los valores que toma las derivadas de la fució f respecto a cada ua "r! de las variables p,q,r,..., mateiedo costates las demás (derivadas parciales). Evidetemete, este caso icluye el caso a) de ua sola variable como caso particular e el que la expresió geeral (11) se simplifica a la expresió (9).! Ejemplo 6: Sea u cilidro de secció circular de radio r = (1.53 ± 0.06) cm. y altura h= (10.2 ± 0.1) cm. El volume es V=π r 2 h, y su valor a partir de las medidas es etoces V= cm 3 (después decidiremos ema ta cuatas zabal zazu cifras so sigificativas). Teiedo e cueta que!v!h r = cte. = " r 2 y resulta la siguiete expresió para el error:!v!r h = cte. = 2" rh!v = " r (r!h)2 + ( 2h!r)2 (12) 8

9 Cálculo de errores e las medidas o sea!v = 3.14 "1.5 " ( 1.5 " 0.1) 2 + ( 20 " 0.06) 2 # cm 3 Nótese que como después la catidad obteida se va a redodear a ua sola cifra sigificativa o es ecesario hacer el calculo co todas las cifras sigificativas de las magitudes h y r, que hemos redodeado e el calculo a 1.5 y 10. Siguiedo, la regla 3), debemos redodear ΔV a 6 cm 3. Teemos etoces que el volume será V= (75±6)cm A veces es más secillo trabajar co los errores relativos. Por ejemplo, se puede demostrar fácilmete, a partir de la ecuació (11), que si: y= cte. p. q m. r s... (13) dode, m, s... so expoetes arbitrarios (eteros, egativos o fraccioarios), etoces se cumple que: " $ #!y y % " ' = 2!p % " $ ' + m 2!q % " $ ' + s 2!r % $ ' + (14) & # p & # q & # r & Ejemplo 7: El ejemplo aterior perteece a este caso, y teemos etoces que (ΔV/V) 2 = 4(Δr/r) 2 + (Δh/h) 2 = (15) Se ve aquí imediatamete que la cotribució del error de la altura del cilidro al error fial es muy pequeña comparada co la del error del radio. Ello es debido a que el error relativo e el radio es aproximadamete tres veces mayor que e la altura, y el radio además está al cuadrado e la fórmula del volume. Teemos etoces que: ΔV/V = 0.08, y por tato obteemos otra vez ΔV= = 6 cm 3. Es importate darse cueta que V+ΔV coicide prácticamete co el valor del volume del cilidro cuado los valores medios de r y h se substituye por r+δr y h+δh (siedo e este caso el efecto del cambio de r mucho más importate que el de h) Existe ua aplicació importate e imediata de estas fórmulas e aquellos casos, e los que la lectura del istrumeto ema de medida, ta zabal o zazu es directamete la magitud que realmete se quiere medir Ejemplo 8: Supogamos, por ejemplo, que medimos co u amperímetro, de resolució 0.1 A, la itesidad de corriete eléctrica que pasa por u elemeto de u circuito de corriete altera. Típicamete, el amperímetro os da el valor eficaz de la corriete que es Imax/ 2, y esto co u error o resolució istrumetal de 0.1A. Por tato, de acuerdo, co la ecuació (9), la resolució o error istrumetal e la medida de la amplitud de la corriete, Imax, será 9

10 Departameto de Física de la Materia Codesada A= 0.14 A, es decir, más de u cuareta por cieto mayor. E este caso, estará justificado redodear co "ua cifra y media" sigificativa y cosiderar ΔImax = Ejemplo 9: Supogamos, por ejemplo, que queremos medir el periodo, T, de u oscilador armóico, es decir, el tiempo que tarda e efectuar ua oscilació completa, y dispoemos de u croómetro co ua resolució de 0.1 s. Medimos el tiempo t que tarda e efectuar 40 oscilacioes. E ua medida este tiempo resulta ser 46.8 s; dividiedo por 40, teemos etoces que el periodo "medido" es s. Por qué poemos los dos ceros e los decimales si el croómetro os da u solo decimal?... Porque, e realidad, la medida de T es idirecta, ya que T se obtiee utilizado la fórmula T=t/40; por tato, el error ΔT será, de acuerdo co la ecuació (9), Δt/40, dode Δt es el error istrumetal e la medida de los cuareta periodos, es decir, 0.1s. Por tato, ΔT= s, y el experimeto tiee suficiete resolució istrumetal como para resolver la cuarta cifra decimal del periodo e cero ó 5. Estamos etoces e el caso de u error co ua cifra y media sigificativas. Es evidete que e este ejemplo podemos aumetar idefiidamete la resolució istrumetal para medir T aumetado el úmero de periodos que icluimos e la medida directa, t. El límite será uestra paciecia y la creciete posibilidad de cometer errores e el cotaje del úmero de periodos. Ua vez que teemos claro la resolució que os da los istrumetos empleados para la medida, e geeral deberemos, como explicamos más arriba efectuar varias medidas, y calcular el error cuadrático. Si éste es mayor que el istrumetal, lo tomaremos como el error del valor medio obteido. E caso cotrario, el error vedrá dado por el error debido a la resolució istrumetal Error de costates físicas y matemáticas. Muchas veces e las fórmulas empleadas para determiar ua magitud empleamos costates físicas o matemáticas, cuyo valor puede ser cosiderado co diferetes grados de precisió, por ejemplo, π, 2, g, la masa del electró, la carga del electró, G, etc... Al utilizar los valores de estas costates co u úmero limitado de cifras, itroducimos volutariamete u error que de debemos teer e cueta. La diferecia co u error experimetal es que sabemos de atemao el error que estamos itroduciedo. El decidir cuatas cifras decimales debemos icluir al utilizar esas costates e ua determiada fórmula se debe hacer e fució del error que tegamos e las magitudes medidas, de forma que el "error" producido al trucar la costate física o matemática empleada, sea isigificate frete al error que itroduce los propios errores de la medida Ejemplo 10: Cosideremos la típica preguta de u alumo de física elemetal poco experimetado: " Puedo coger g=10m/s 2?" Esta preguta es iecesaria porque la cotestació se obtiee directamete de los datos (experimetales) del problema de que se trate. Supogamos, por ejemplo, que uestro problema cosiste e que sabemos que u móvil, e caída libre desde ua altura h y comezado desde el reposo, alcaza ua velocidad v= 14.3 m/s, y queremos saber la altura desde la que ha caído. Por coservació de eergía (mgh=1/2mv 2 ) teemos que h= 1/2 (v 2 /g). La preguta es, ahora, Cuátas cifras decimales debo coger e g, para que el error resultate e h sea isigificate comparado co el que produce el propio error experimetal de v? Dado que la fórmula a usar es del tipo (13), usado (14) teemos que 10

11 Cálculo de errores e las medidas (Δh/h) 2 = 4(Δv/v) 2 + (Δg/g) 2 (16) El error o "imprecisió" e v ( Δv) es 0.1 m/s, por lo que 4(Δv/v) 2 = Si empleamos g= 10 m/s 2, podemos cosiderar Δg= 0.2 m/s 2 (porque e este caso sabemos que el valor verdadero es aproximadamete 9.81 m/s 2!) y tedremos (Δg/g) 2 = , que es del mismo orde que el otro sumado e (16), por lo que o es aceptable. Si tomamos g=9.8 m/s 2, Δg=0.01m/s 2 y (Δg/g) 2 = , que, al sacar la raiz, típicamete cotribuye a errores relativos e h e la milésima, y dado que el valor h es del orde de 10, implicará errores e las cetésimas e el valor de h. Si efectuamos el cálculo de Δh e fució de Δv, vemos que Δh = 0.2m, por lo que el error adicioal debido al g aproximado será despreciable. Por tato debemos usar g=9.8 m/s 2 y el resultado será: h= (10.4±0.2) m (usar más cifras decimales para g o servirá para ada, porque ifluye úicamete e la cifras o sigificativas de h, que o aparecerá e el resultado fial al redodear, pero usar meos supodría itroducir u error iecesario y espúreo e el valor de h) Ejemplo 11: Vamos a ver ahora, mediate u ejemplo, que el cálculo de errores es importate tambié a la hora de diseñar u experimeto, mucho ates de empezar a hacer medidas. Supogamos que queremos medir la aceleració de la gravedad, g, e el laboratorio mediate u experimeto muy secillo cosistete e dejar caer u objeto, e caída libre desde el reposo ua distacia de h=1.00 m, y medir el tiempo, t, que tarda e la caída. Dispodremos de u croómetro co ua resolució de la cetésima de segudo y la distacia de caída la cooceremos típicamete co u error de 1 cm, cual es la máxima precisió co que se podrá determiar g e este experimeto? La máxima precisió se obtedría si la medida fuera absolutamete perfecta e cuato al istate de comiezo y parada del croómetro, y úicamete ifluyera e el error fial los errores istrumetales del tiempo medido y la distacia. Utilizado que h=(1/2)gt 2, tedremos que g= 2h/t 2, y usado (14): (Δg/g) 2 = (Δh/h) (Δt/t) 2 (17) Sabemos que Δh/h 0.01 y Δt/t Esto último se obtiee teiedo e cueta que g es del orde de 10 m/s 2, y que por tato, t, de acuerdo co la fórmula será del orde de 0.5 s. (tambié se puede deducir del coocimieto comú de que u cuerpo tarda e caer ua distacia aproximada de u metro bastate meos de u segudo). De acuerdo co (17), etoces Δg/g 0.04, y teiedo e cueta que g es del orde de 10 m/s 2, Δg 0.4m/s 2. Es decir, que e uestro experimeto será imposible determiar i siquiera la primera cifra decimal de g e uidades de m/s 2. Como podemos mejorar la precisió etoces? Segú (17), simplemete aumetado la distacia de caída, de forma que h y t aumeta, mietras sus errores permaece costates; ema es ta fácil zabal ver, zazu si embargo, que ecesitaríamos ua caída libre de uos 100 m para poder reducir el error e g a uos 0.05 m/s 2! Coclusió: este método es muy iadecuado para determiar g, si o se dispoe de u croómetro más preciso. Ejemplo 12: Por último, vamos a poer u ejemplo que demuestra que el cálculo de errores es útil e campos fuera de las ciecias aturales, y debería ser cosiderado e situacioes ajeas a la Física. Pogamos por caso, la ota de selectividad de u alumo. Típicamete la ota fial de la selectividad se da co dos cifras decimales, y, e muchos casos, estos decimales so decisivos a la hora de poder etrar e uo u otro cetro uiversitario. Estimemos el "error" e ua ota de selectividad para ver si efectivamete estas cifras so sigificativas. E u exame de selectividad típicamete se realiza ocho a diez pruebas. 11

12 Departameto de Física de la Materia Codesada Pogamos ocho. Geeralmete los profesores que corrige cada prueba lo hace dado ua ota co ua "resolució" de 0.5 putos. Es decir, las otas de cada prueba so usualmete úmeros eteros o semieteros. Esto sigifica, que el error (ideal supoiedo ua correcció perfecta) recoocido implícitamete por el profesor es 0.5 putos. La ota de la prueba,, se obtiee promediado las diferetes pruebas (por simplicidad o cosideramos los promedios parciales que se hace e algú caso) = 1/8 ( ). El error de esa ota global, de acuerdo co la ec (11), será etoces:! = 1 64 " 8 " ( 0.5)2 = 0.2 La ota fial, N, de la selectividad se obtiee de promediar esa ota co la ota promedio, m, de BUP, que típicamete se da co uo o dos decimales (supogamos el mejor de los casos y que Δm=0.01). El error de la ota fial N= (+m)/2, es etoces!n = 1 2 (0.2)2 + (0.01) 2 = 0.1 Vemos que el error fial es causado por el error de la prueba, siedo despreciable la cotribució del error de la ota promedio. Es decir, podemos cocluir que, icluso e el caso ideal de que las "medidas", es decir, las correccioes, fuera "perfectas" y estuviera úicamete limitadas por ua "resolució istrumetal" de 0.5 e la calificació de cada prueba, el segudo decimal de la ota de selectividad o es sigificativo y el error e la calificació es del orde de IMPORTANTE: U error usual que hay que evitar es iterpretar las ecuacioes (11) y (14) como expresioes e las que se puede despejar alguo de los errores que aparece e la parte derecha de la ecuació. Cosideremos, por ejemplo, la ecuació (15) plateada e el ejemplo 7 para hallar el error relativo e valor del volume del cilidro, obteido a partir de su altura y su radio. Si somos demasiado igeuos, podríamos pesar que podemos utilizar la misma ecuació e u caso e que hemos medido el volume y el radio, y hemos deducido la altura del cilidro a partir de ellos, de forma que el error relativo para la altura sería: (Δh/h) 2 = (ΔV/V) 2-4(Δr/r) 2 Pues bie, esta ecuació es INCORRECTA! E efecto, la altura se deduce a partir del radio y el volume del cilidro mediate la expresió h=v/πr 2. Aplicado etoces la ecuació (14), teemos que: (Δh/h) 2 = (ΔV/V) 2 + 4(Δr/r) 2 y esta expresió (co sigo más) es la CORRECTA! E coclusió: los errores derivados de otros NO SE DESPEJAN de las ecuacioes válidas para el cálculo del error de otra magitud (si esta fuera la que es medida idirectamete). 12

13 Cálculo de errores e las medidas 5. Errores y procedimieto experimetal Cuado la catidad a coocer Z está relacioada co dos magitudes medidas directamete, A y B, por ua fució de la forma: Z = AB o Z = A/B, etoces, de acuerdo co la ec. (14) u error del x por cieto e A ó e B, ocasioa u error del mismo orde, x por cieto e Z. Por tato, e este caso, debe medirse A y B co ua precisió comparable, y esta deducció es correcta cualesquiera que sea los valores relativos de A y B. Pero la situació: Z = A + B ó Z = A - B es muy diferete; todo depede de las magitudes relativas de A y B. Veamos uos ejemplos: a) Supogamos que: A = ± 1 B = 100± 5 Z = A + B = ± 5 Aquí A tiee u valor grade y preciso. B se ha determiado detro de u 5%, pero la catidad fial Z se ha determiado detro de u 0.05%. Por tato, siempre es vetajoso comezar co ua magitud grade y dedicar tiempo a su determiació precisa, y después medir, co relativa rapidez, los térmios adicioales más pequeños. b) Cosideremos ahora que: A = 100 ± 2 B = 96 ± 2 Z = A - B = 4 ± 3 Las dos magitudes medidas directamete se ha determiado detro de u 2%, pero Z se cooce detro de u 75% (!!). De aquí, deducimos que o es coveiete restar dos catidades aproximadamete iguales, que se ha medido idepedietemete: se debe hallar, si es posible, otro método para determiar Z. c) Cosidérese, por último, la siguiete situació: se desea evaluar Z = A/B; se ha realizado ua serie de medidas y se ha ecotrado que A = 1000 ± 20 B = 10 ± 1 por tato, los errores relativos e A y B so, respectivamete del 2% y del 10%. Puede deducirse etoces, co las fórmulas dadas ateriormete, que el error relativo e Z es del 10.2%. Supogamos que se plaea uevas medidas que permita reducir el error e A o e B e u factor 2. Si el tiempo de medida ema se dedica ta zabal a la zazu magitud A, se reducirá su error relativo al 1% y el error relativo de Z será el 10%. Si, por el cotrario, el tiempo de medida se emplea e aumetar la precisió del valor de B (pasado a ser su error relativo el 5%), el error relativo de Z se reducirá al 5.4%. E cosecuecia los esfuerzos debe cocetrarse e la determiació precisa de las catidades que más cotribuye al error fial. E geeral se debe plaear el experimeto de modo que e el resultado fial igua magitud cotribuya co u error mucho mayor que las demás. 13

14 Departameto de Física de la Materia Codesada 6. Comparació y aálisis de resultados E muchos casos, ua vez obteido el valor experimetal de ua determiada magitud, deseamos saber si ese valor es cosistete co otras iformacioes que dispoemos. De hecho, e muchas de las prácticas a realizar, se os pide el que comparemos el valor obteido de algua magitud co su valor teórico o co el valor que hemos obteido por algú otro método. Aparte de la ecesidad de usar las mismas uidades e los dos casos para poder realizar la comparació, ésta o tedría igú setido, si o teemos e cueta e ella el error de los dos valores que estamos comparado. Supogamos, por ejemplo, que el valor obteido para la costate de fuerza de u muelle es 2 N/m, y el resultado obteido por otro método es 3 N/m. So los dos resultados coicidetes o cosistetes? es decir, es 2=3? Aquí o es como e las matemáticas, o podemos cotestar a la preguta si o coocemos el error de cada valor. Si, por ejemplo, se tratase de 2±1 N/m y 3±1N/m, etoces efectivamete las dos medidas da resultados que coicide detro del error, ya que los dos itervalos abarcados por el marge de error, [1,3] e el primer caso, y [2,4] e el segudo, se solapa, es decir, hay ua zoa comú a los itervalos, dode podría estar el valor verdadero. Si embargo, si las medidas obteidas so 2.0±0.1 y 3.0±0.1 N/m, respectivamete, los resultados o sería coicidetes, ya que los dos itervalos abarcados por el error o se solapa. IMPORTANTE: E geeral, si teemos que decidir si dos valores A± A y B± B so iguales, lo que teemos que hacer es determiar si los itervalos [A- A, A+ A] y [B- B, B+ B] se solapa. Si lo hace, podemos decir que uestros resultados so compatibles y coicidetes, y que o cotradice la afirmació de que las dos catidades so iguales (A=B). Pero si queremos afiar más y saber hasta que puto uestros resultados cofirma esa igualdad, lo más adecuado es calcular el valor del cociete r=a/b y su error r. Si A y B fuera iguales, r sería igual a 1. Por ello, uestros valores será cosistetes co esa igualdad si el valor 1 queda detro del marge de error de r, es decir, detro del itervalo [r- r,r+ r]. Por otro lado si r es muy grade, sigifica que uestra comprobació de la igualdad es muy poco fiable y de ua precisió muy baja. Volviedo al ejemplo del 2 y 3 mecioado arriba. Si se tratase de 2±1 y 3±1, el cociete es , pero el error r cumple ( r/r) 2 = ( A/A) 2 + ( B/B) 2 = 1/4 + 1/9 = 13/36=0.36, y por tato, r= x 0.36 = 0.4. Es decir, r= 0.7± 0.4, y el resultado cofirma la igualdad, pero co u error relativo e el resultado de más del 50%! por lo que o podemos estar muy cotetos. Las medidas ha resultado compatibles pero so medidas muy imprecisas. Por otro lado, si los valores fuera 2.0±0.1 y 3.0±0.1, ( r/r) 2 = =0.0036, por lo que r= 0.67 ± 0.04, que está muy alejado del valor previsto, r=1. Es decir las medidas o so compatibles pero su precisió es alta. Esto es idicativo de que algua de las medidas o es exacta, es decir tiee algú error sistemático que o hemos detectado. El que uo de los dos valores a comparar sea u valor predicho por la teoría o sigifica que o tega su error. Normalmete ese valor teórico se obtiee utilizado ua determiada fórmula teórica e la que se sustituye los valores de determiadas magitudes que ha sido medidas experimetalmete, o cuyo valor es coocido co ua precisió dada por el fabricate, por lo que el valor teórico obteido tedrá u error que se puede estimar siguiedo las reglas explicadas e apartados ateriores. Cuado los valores que se compara resulta ser o compatibles etre sí para estimar cómo de diferetes so dichos valores es coveiete determiar su diferecia relativa: 14

15 Cálculo de errores e las medidas Diferecia relativa = B! A B "(Diferecia relativa) = "r = 1! r Se toma como referecia (e la fórmula el valor B) el valor teórico o el que se cosidere que es más exacto. La diferecia relativa se expresa ormalmete e porcetaje Ejemplo 13: La llamada frecuecia de resoacia de u circuito RLC viee dada segú la teoría por la expresió! o =(2" LC) -1, dode L es el llamado coeficiete de autoiducció de la bobia utilizada, y C la capacidad del codesador. Si L se expresa e Herios (H) y C e Faradios (F), la frecuecia resultate de la formula aterior viee dada e Herzios (Hz). Teemos u circuito co u codesador de 0.51 µf y ua bobia de 14 mh. La frecuecia de resoacia que hemos medido resulta ser (1920±40)Hz. Cofirma uestro resultado la predicció teórica? De acuerdo co la formula teórica la frecuecia de resoacia será: teo &! o = ( $3 $6 ) ' 2" 14#10 H % 0.51#10 F + $1 * = K Hz pero su error esta relacioado co los implícitos de C y L: C=0.01 µf y L= 1 mh. La expresió resultate de las reglas geerales explicadas e apartados ateriores será:!" o teo " o teo = 1 4!L L !C C 2 = = y por tato, el valor teórico de la frecuecia es! o teo = (1880 ± 70) Hz. La razó etre este valor y el medido de (1920 ± 40) Hz es de , co u error que cumple r/r= (0.037) 2 + (0.021) 2 = Por lo que r= = Es decir,! 0 exp! 0 teo =1.02 ± 0.04 y uestra medida cofirma pleamete la predicció teórica, co ua buea precisió. Siedo la diferecia relativa del 2% Represetació gráfica E la práctica, muchas veces es muy útil expresar los resultados experimetales gráficamete. Supogamos, por ejemplo, que medimos e u determiado sistema, dos magitudes, x e y, que está físicamete ema ta zabal relacioadas, zazu para diferetes situacioes e las que x e y toma diferetes valores. Primeramete, llevaremos a ua tabla los valores de las variables, x i,y i, obteidos e la experiecia. E u sistema de ejes rectagulares, se represeta los putos cuyas coordeadas correspoda a cada par de valores (x i,y i ) expresados e la escala elegida. Estas escalas depederá del propio feómeo y de aquello que se quiera resaltar e él, así como de las limitacioes impuestas por el tamaño de la represetació. Cada puto debe idicar, detro de lo posible, los errores estimados para x e y, expresados e sus respectivas escalas. Si etre las variables x e y existe ua relació matemática secilla, ésta se podrá de maifiesto de forma visible e la gráfica de putos 15

16 Departameto de Física de la Materia Codesada obteida a partir de los resultados experimetales. El comportamieto geeral de los putos se podrá represetar como ua curva cotiua e el plao coordeado. Dicha curva se trazará de modo que esté lo más próxima al mayor úmero de putos posible, si presetar cambios bruscos de pediete y si ecesidad pasar por los putos experimetales. Como vetajas de la represetació gráfica, podemos citar las siguietes: 1) de u sólo golpe de vista se destaca o sólo los detalles, sio el cojuto del feómeo e el itervalo e que se ha realizado las medidas; 2) es posible estimar otros valores de la variable depediete, si ecesidad de uevas medidas; 3) e ua represetació gráfica, se poe de relieve aquellos valores que está afectados de u error aormal al separarse mucho del comportamieto geeral de las medidas, y que debe ser desechados, y si es ecesario, redetermiados. 4) La "dispersió" de los putos co respecto a la curva "suave" esperada, da ua idea de forma imediata de la calidad de las medidas y de la magitud del error e cada ua de ellas. 8.- Pricipio de Míimos Cuadrados. Hasta este mometo hemos expuesto ua especie de "recetario" para el cálculo de las mejores estimacioes de los resultados de las medidas y de sus respectivos errores. Todas las ecuacioes presetadas, puede justificarse co las debidas hipótesis, excepto la aparetemete arbitraria decisió, de adoptar la media como la mejor estimació del valor verdadero de ua magitud que se mide, repetidamete y co igual fiabilidad, u úmero de veces. Esta elecció puede justificarse co el llamado Pricipio de Míimos Cuadrados, que será descrito (brevemete) y aplicado e los párrafos siguietes. Supogamos que se realiza medidas de ua magitud cuyo valor verdadero es X. Sea los resultados de las medidas x 1, x 2, x 3,..., x y, por cosiguiete, sus desviacioes (descoocidas) del valor verdadero ε 1 = x 1 - X, ε 2 = x 2 - X, ε 3 = x 3 - X,... ε = x - X. Cosideremos la suma de los cuadrados de los errores: E(X) =! 2 1 +! 2 2 +! ! 2 Descoociedo el valor de X, y dado que E varía co X, el Pricipio de Míimos Cuadrados establece que la mejor estimació de X, es aquella que hace que E sea míimo ( y por tato de/dx = 0, para dicho valor). El valor "mejor" de X se puede obteer etoces de esta ecuació. Es fácil demostrar, aceptado este pricipio, que el promedio de los resultados, tal como se platea e la ecuació (6) es etoces la mejor estimació del valor verdadero. 9. Ajuste por míimos cuadrados. Regresió lieal Supogamos que estamos midiedo la logitud de ua varilla e fució de la temperatura. Esperamos que la relació etre la logitud de la varilla y la variable temperatura sea lieal: L(T) = Lo (1+αT) (18) dode L(T) es la logitud a determiada temperatura T, Lo la logitud a T = 0K y α es el coeficiete de dilatació lieal del material. Lo y α so descoocidos y so los parámetros físicos que os iteresa determiar, especialmete el coeficiete α, que será ua propiedad geeral del material. 16

17 Cálculo de errores e las medidas Si medimos la logitud de la barra e dos temperaturas diferetes tedremos dos ecuacioes del tipo (18) distitas, co dos icógitas, por lo que podríamos despejar Lo y α y obteer sus valores a partir de los resultados de esas dos úicas medidas. Si embargo, asumiedo la completa validez de la relació (18), esto sólo es cierto e u experimeto ideal, libre por completo de errores. Si efectuamos medidas a temperaturas diferetes, el aspecto de la represetació gráfica de uestras medidas puede ser parecido al de la figura. La relació etre las ordeadas y abscisas de los putos es lieal solamete de forma aproximada, debido a los errores de cada ua de las medidas. Por ello, si tomásemos úicamete dos putos para defiir la recta el resultado tedría u importate error debido al error e los dos putos usados. Ua mejor estimació de la recta y por tato, de las magitudes buscadas debe poder obteerse utilizado "a la vez" los putos experimetales. Por cosiguiete, la preguta a cotestar es cuál es la mejor estimació de la "verdadera" líea recta, y por tato de las magitudes Lo y α, a partir de las medidas?. La preguta puede ser cotestada utilizado el Pricipio de Míimos Cuadrados, y lo vamos a hacer para u caso geeral. Supogamos ua magitud física y, relacioada co otra, x, mediate ua fució y = ax+b (dode el valor teórico de b puede ser cero). Es decir, que y(x) es ua recta que corta el eje de ordeadas e el puto b. Cosideraremos úicamete el caso más simple supoiedo que la precisió co la que se mide x (variable idepediete) es mucho mayor que la de y. Esto quiere decir, que podemos represetar si error el valor de x. Si coociéramos el valor de a y b (pediete y ordeada e el orige de la recta "verdadera"), el verdadero valor de y (que llamaremos y*) vedría dado etoces por y*= ax + b. E defiitiva a los valores x 1, x 2,..., x les correspodería y 1 *, y 2 *,..., y * y todas estas parejas de valores está sobre la verdadera líea recta. Las desviacioes co los valores medidos de y será: ε 1 = y 1 - y 1 * = y 1 - ax 1 - b ε 2 = y 2 - y 2 * = y 2 - ax 2 - b : ε = y - y * = y - ax - b y, la suma de los cuadrados de estas desviacioes (fució de los valores descoocidos de a y b) será: E (a,b) = (y 1 - ax 1 - b) 2 + (y 2 - ax 2 - b) (y - ax - b) 2. Los valores que miimiza E(a,b) so aquellos para los cuales E/ a=0 y E/ b=0. El cumplimieto simultáeo de estas dos codicioes de puto extremal (míimo) de la fució permite etoces obteer las mejores estimacioes de a y b, que so: 17

18 Departameto de Física de la Materia Codesada a =!! x i y i - x i i = l! i = l x i 2 -! y i i = l i = l 2! x i i = l (19) b =! i = l!!! x i 2 y i - x i x i y i i = l! i = l i = l 2! x i 2 - x i i =l i = l Para calcular a y b, es coveiete obteer previamete los valores medios <x>,<y>, <x 2 > y <xy>, defiidos por la ec. (5) para x, y expresioes aálogas para los demás, como, por ejemplo: x 2 = 1! x2 i i=1 xy = 1! x i i=1 y i (20a) (20b) ya que a y b se puede obteer e forma muy secilla e fució de esas catidades, e cocreto: a = xy - x y x 2 - x 2 (21) b = y - a x (22) A partir de u cálculo más elaborado, se puede hallar tambié las expresioes geerales para los errores de los parámetros a y b:!a = " y x 2 - x 2 (23)!b = x 2!a (24) dode! y es ua medida del error promedio cometido sobre y, que se calcula mediate la siguiete expresió:! y 2 = 1 (-2)! (y i - x i - b) 2 i=1 = -2 y 2 - y 2 -a 2 ( x 2 - x 2 ) (25) El método de míimos cuadrados para estimar la mejor líea recta se cooce tambié como regresió lieal. Es coveiete resaltar que para el cálculo de los coeficietes a y b, coviee coservar el máximo de cifras decimales e las etapas itermedias del cálculo (por existir sustraccioes de catidades del mismo orde de magitud, y deomiadores muy pequeños). Se debe redodear, por supuesto, pero al fial del cálculo. 18

19 Cálculo de errores e las medidas Volviedo a uestro ejemplo, lo que debemos hacer co uestros "putos experimetales" (T i,l i ) es utilizar las ecuacioes (21-25) para obteer la mejor estimació de los parámetros a y b y sus errores e la relació: L(T)= at+b (26) Ua vez obteidos a y b, se debe dibujar la recta matemática resultate e la misma gráfica dode está represetados los putos experimetales, y comprobar visualmete que la recta obteida mediate "míimos cuadrados" se ajusta a lo que es razoable esperar a simple vista de la represetació gráfica de putos. Si los cálculos de las ecuacioes (21) y (22) se ha hecho correctamete, la recta dibujada usado los valores de a y b obteidos debe ser tal, que a simple vista se debe poder apreciar, que la recta corta la distribució de putos experimetales de forma que estos se sitúa a los dos lados de la recta de forma "equilibrada". Si hay ua asimetría clara etre el úmero de putos a u lado y a otro de la recta, teiedo e cueta que los putos más distates de la recta "pesa" más, se puede estar seguro que se ha cometido algú error e el cálculo o e su traducció gráfica. Los errores Δa y Δb obteidos mediate (23) y (24) os da idea de la icertidumbre e la pediete y el puto de corte para la recta "ajustada por míimos cuadrados". Debemos tambié comprobar su fiabilidad, observado e la gráfica la dispersió de los putos experimetales co respecto a los putos "ideales" sobre la recta; ya que esta dispersió os permite tambié, a simple vista, teer ua idea del orde de magitud de la icertidumbre a la hora de decidir "la mejor recta". Esta icertidumbre debe ser cosistete co los errores obteidos mediate las ecuacioes (23) y (24). Ua vez coocidos los mejores a y b e (26), comparado (26) y (18), es imediato determiar Lo y α, como Lo= b y α=a/b. Sus errores se calcula etoces mediate las reglas defiidas arriba: ΔLo = Δb y!" = 1 b!a 2 + a b 2!b Ejemplo 14: Dadas las temperaturas,t, medidas para diferetes presioes, P, que se lista abajo, realizar u ajuste a ua recta T = ap + b por el método de míimos cuadrados. Calcular a± a, b± b. P (mmhg) : T( C): Aplicamos las fórmulas de ajuste, ema para ta zabal lo zazu cuál debemos calcular los sumatorios y los promedios: =5; ΣT=260; Σ Τ 2 = 27418; Σ P=425; ΣP 2 =37125; ΣPT=25810; <P 2 >-<P> 2 =200; <T 2 > - <T> 2 = ; <PT> - <P><T> = 742 De estos valores, aplicado las fórmulas, obteemos a = (3.7±0.2) C/mmHg y b= (-260 ± 20) C. Los putos experimetales y la recta de míimos cuadrados obteida se represeta gráficamete para visualizar el grado de bodad del ajuste, tal como se muestra e las figuras. Nótese que las escalas de ua de las gráficas o está tomadas de forma adecuada para de está forma mostrar el valor de la ordeada e el orige. 19

20 Departameto de Física de la Materia Codesada Solucioes (de pag. 3): a) 4800 ± 300 f) 12.00±0.05 k) (6122.2± 0.4) 10-3 b) (678±4) 10-7 g) 10±20 l) (1.2± 0.3) 10-5 c) 5.0±0.2 h) 0±500 m) 0.0± 0.1 d) (201±5) 10-5 i) ± 0.05 ) 21.55± 0.02 e) (1260±20) j) 346± 4 ñ) (10± 1)

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