Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovkin

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1 Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovki Media geométrica y media aritmética Si,,, so úmeros positivos, los úmeros a = g = formados a base de ellos, se deomia, respectivamete, media aritmética y media geométrica de los úmeros,,, Para estos dos úmeros Augusti Cauchy, matemático fracés, demostró a pricipios del siglo XIX la desigualdad g a que se aplica frecuetemete e la solució de problemas Demostraremos esta desigualdad epoiedo previamete ua proposició auiliar Teorema Si el producto de uos úmeros positivos,,, es igual a, la suma de los mismos o es meor que : = Demostració Emplearemos el método de iducció matemática Comprobaremos primero que el teorema es válido para =, o sea, demostraremos que = + Co este fi, cosideraremos por separado dos casos: ) = = E este caso teemos + = y el teorema queda demostrado ) 0 < < E este caso teemos < y >, puesto que el producto es igual a De la igualdad ( )( ) = + se deduce que + = + + ( )( ) (4) La igualdad (4) ha sido establecida si impoer codició algua a los úmeros y Teiedo e cueta ahora que =, obteemos + = + ( )( ) Ua eposició detallada del método de iducció matemática puede verse e el libro de I S Somiski Método de la iducció Matemática (Editorial MIR, 975)

2 Fialmete, puesto que < <, el último úmero resulta positivo y por eso + > O sea, el teorema queda demostrado para = Notemos que la igualdad + = se cumple sólo si = E cambio, para, se tiee + > Basádoos e el método de iducció matemática, supodremos ahora que el teorema es válido para = k, es decir, supodremos que la desigualdad k k tiee lugar si k =, y demostraremos el teorema para = k +, o sea, demostraremos que k + k k+ si k k + =, dode > 0, > 0, 3 > 0,, k > 0, k + > 0 Notemos ate todo que siedo se puede presetar dos casos: k k + =, ) todos los factores,,, k, k + so iguales, o sea: = = = k = k + ) o todos los factores so iguales E el primer caso todos los factores so iguales a la uidad y la suma de los mismos es igual a k +, o sea, = k + k k+ E el segudo caso, etre todos los factores del producto k k+, habrá úmeros mayores y meores que uo (si todos los factores fuera meores que uo, el producto tambié sería meor que uo) Sea, por ejemplo, < y + > Teemos k Poiedo y = k +, obteemos ( ) k+ k = y 3 k =

3 Puesto que aquí el producto de k úmeros positivos es igual a la uidad, resulta (por hipótesis) que la suma de los mismos o es meor que k, o sea y k k Pero k + k + = ( y ) + y + k k+ k + y + = ( k + ) + y +, k+ k+ Recordado que y = + k, obteemos ( k + ) + + = k k+ k+ k+ ( k + ) + ( k + )( ) Puesto que < y k + >, teemos ( k )( ) > y, por cosiguiete, ( k + ) + ( )( ) > k + k k+ k+ Co esto queda demostrado el teorema Problema Demostrar que si,,, so úmeros positivos, se tiee co la particularidad de que el sigo de igualdad tiee lugar sólo si Solució Puesto que = = 3 = = = 3, la desigualdad se deduce del teorema El sigo de igualdad tiee lugar sólo si = = = = = 3 o sea, sólo si = = 3 = =

4 Problema Demostrar la desigualdad + + Solució Teemos + + = + = Puesto que el producto de los sumados del último miembro es igual a la uidad, la suma de los mismos o es meor que dos El sigo de la igualdad tiee lugar sólo para = 0 Problema 3 Demostrar que para a > se tiee log a + log 0 0 a Solució Puesto que log 0 a lga 0 =, teemos log0 a+ loga 0 = log0 a+ log a Problema 4 Demostrar la desigualdad Solució Dividamos etre desigualdad: 4 + umerador y deomiador del primer miembro de la 0 Puesto que + =, teemos 4 = + +, y, por cosiguiete, + Pasemos ahora a demostrar la afirmació euciada al pricipio del parágrafo Teorema La media geométrica de úmeros positivos o pasa de la media aritmética de estos mismos úmeros Si los úmeros,,, o so todos iguales, la media geométrica de es tos úmeros es meor que su media aritmética

5 Demostració De la igualdad g = se deduce que =, g g g o sea, = g g g Debido a que el producto de estos úmeros positivos es igual a, resulta (por el teorema ) que la suma de los mismos o es meor que, es decir, g g g Multiplicado por g y dividiedo etre ambos miembros de la última desigualdad, obteemos a = g Notemos que la igualdad tiee lugar sólo cuado = = = =, g g g o sea, = = = = g Por el cotrario, si los úmeros,,, o so todos iguales, se tiee a > g Problema 5 Etre todos los paralelepípedos co la suma fija de sus tres aristas recíprocamete perpediculares, hallar el paralelepípedo de volume máimo Solució Sea m = a+ b+ c la suma de las aristas y sea V = abc el volume del paralelepípedo Puesto que 3 3 a+ b+ c m V = abc = m teemos V El sigo de la igualdad tiee lugar sólo si 7 o sea, si el paralelepípedo es u cubo m a = b = c =, 3 Problema 6 Demostrar la desigualdad +! < Solució Empleado el teorema, teemos (5)

6 ( )! = < = = Elevado a la ésima potecia ambos miembros de la última desigualdad, obtedremos la desigualdad (5) Media potecial Defiició El úmero c α α α α α a + a + + a = se deomia media potecial de gradoα de los úmeros úmero a, a,, a E particular el a a a c = se deomia media cuadrática, y el úmero c a + a + + a = = a a a a 3 se deomia media armóica de los úmeros a, a,, a Problema 7 Demostrar que sí a, a,, a so úmeros positivos y si α < 0 < β, se tiee c g c (6) α o sea, que la media potecial de grado egativo o pasa de la media geométrica y que la media potecial de grado positivo o es meor que la media geométrica Solució Debido a que la media geométrica de úmeros positivos o pasa de la media aritmética, teemos β α α α α α α a + a + + a g = a a a

7 Elevado ambos miembros de la última desigualdad a la potecia y tomado e α cosideració que 0 α <, obteemos α α α α a a a g = a a a = Co esto queda demostrada la primera de las desigualdades (6) ; la seguda se demuestra aálogamete De la desigualdad (6) se deduce, e particular, que la media armóica o pasa de la media aritmética c c α c ( ) a a a3 a a a a3 a Problema 8 Demostrar que si a, a,, a so úmeros positivos, se tiee ( a + a + a3 + + a ) a a a3 a Solució Puesto que c g c, teemos c = a a a a 3 3 a + a + a + + a = c De esta desigualdad se deduce que ( ) a a a3 a a a a3 a Problema 9 Demostrar la desigualdad dode aa a a + a + + a a > 0, a > 0,, a > 0 (7) Solució Puesto que la media geométrica o pasa de la media aritmética, teemos

8 a + a + + a = aa a a a a Multiplicado por ambos miembros de esta desigualdad, obteemos la desigualdad (7) De la desigualdad (7) se deduce que a a a + a 3a aa a + a + a a aaa a + a + a + a o sea, el producto duplicado de dos úmeros positivos o pasa de la suma de sus cuadrados, el producto triplicado de tres úmeros o pasa de la suma de sus cubos, etc

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