REPÚBLICA DE CUBA INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO "JOSE MARTI" FACULTAD DE EDUCACIÓN INFANTIL DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA PRIMARIA

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1 REPÚBLICA DE CUBA INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO "JOSE MARTI" FACULTAD DE EDUCACIÓN INFANTIL DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA PRIMARIA ALTERNATIVA DIDÁCTICA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO RUTINARIOS EN CUARTO GRADO Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. AUTOR: Lic. MAXIMILIANO COMPANIONI MASDEU. TUTORES: Dr. LUIS CAMPISTROUS PÉREZ. Dra. CELIA RIZO CABRERA. CAMAGUEY 2005

2 ÍNDICE Pág. INTRODUCCIÓN 1 CAPÍTULO 1: Fundamentos psicológicos y didácticos de la 12 solución de problemas en la Enseñanza de la Matemática de la escuela primaria. CAPÍTULO 2: Propuesta didáctica para estimular la 15 actividad de los alumnos en la resolución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática de cuarto grado. CAPÍTULO 3: Validación de la alternativa didáctica y sus 24 resultados. Estudio de casos. CONCLUSIONES 29 RECOMENDACIONES 30 BIBLIOGRAFÍA 31 ANEXOS

3 1 INTRODUCCIÓN El siglo XXI depara enormes retos para la humanidad, pues los adelantos de la ciencia se suceden todos los días a pasos acelerados, dejando perplejo a los hombres, con la incertidumbre de cuál será el siguiente descubrimiento y cómo utilizarlo a favor del progreso e incorporarlo a su beneficio, reformando las tecnologías que con mayor rapidez se quedan obsoletas. A este veloz desarrollo científico técnico, no escapa el objeto de ninguna ciencia, pues todas ellas forman parte del conocimiento humano y constituyen su base y el camino seguido para alcanzar el nivel que hoy se muestra en la transformación del medio. La Matemática como un elemento de ese conjunto de ciencias, hace importantes aportes en este sentido, al brindarle al hombre mediante la solución de los problemas inherentes a ella, los medios en forma de técnicas estrategias y procedimientos, que se convierten en herramientas del intelecto, útiles en la trasformación de la realidad circundante. Para el logro de tales objetivos, es necesario formar a un hombre con potencialidades para comprender los cambios que se están produciendo en el mundo, dados por los avance científicos y tecnológicos de la época. Hacia este tipo de formación se encaminan los pasos del desarrollo presente y futuro, para el cual existe la voluntad en Cuba de insertarse y se crean todos los días las condiciones, con la idea de formar un pueblo, en el que su principal fortaleza sea el conocimiento y la cultura que la humanidad ha creado hasta nuestros días y la que se continuará creando. La escuela es el medio por excelencia en el que se puede hacer posible este ideal, por esa razón se trabaja en el perfeccionamiento continuo de la formación de los niños y jóvenes que van a asumir estos retos, que incluye a los conocimientos, a los medios para trabajar en la trasformación y también a los valores, sin los cuales todo lo anterior carece de una guía y de sentido en ese proceso. Para el logro de estos propósitos, la enseñanza y el aprendizaje, deben estar caracterizados por formas de comunicación amplias y flexibles en muchos sentidos, métodos que la propicien y claras intenciones de hacerlo. De este modo el maestro

4 2 puede demostrar su capacidad para lograr que los alumnos construyan el conocimiento y asuman el papel protagónico que les corresponde. En este proceso se dan elementos comunes a la didáctica de las ciencias particulares, en relación con sus componentes, tanto los que tienen que ver con las personas que intervienen de manera directa en él, como de aquellos más subjetivos como son los métodos, los procedimientos, las formas de organización, los objetivos, los contenidos y la evaluación, además de otros de tipo estructural que también inciden. En la enseñanza y el aprendizaje de cada ciencia, estos componentes tienen sus especificidades, a lo que no está ajena la Matemática. La selección adecuada y el uso óptimo de los componentes que tienen un carácter subjetivo, acompañado de un buen trabajo del docente, favorecen la apropiación de las relaciones cuantitativas y espaciales, necesarias para su inserción al medio circundante y el desarrollo pleno de los alumnos. La Matemática, al mismo tiempo que dota a los niños de los conocimientos necesarios en esos dos grandes complejos, tiene la misión de prepararlos para la vida, es decir, para enfrentar los retos mencionados al inicio, relacionados con los constantes cambios científicos y tecnológicos. Esto significa que se tiene que enseñar a pensar, de manera que el aprendiz busque las relaciones entre las cosas e intervenga en ellas de la manera más económica, bajo el criterio de que aprender a pensar es aprender a buscar soluciones adecuadas 1. Para lograr este propósito la Matemática utiliza varios recursos, unos relacionados con los componentes del proceso de enseñanza y aprendizaje y otros que son inherentes a su estructura como ciencia y que a su vez interactúan dentro del proceso mencionado; este es el caso de la solución de problemas. Este es uno de los complejos de materias más relevantes en la Enseñanza de la Matemática, porque a través de él, la Matemática no solo relaciona el resto de los contenidos entre sí, sino que es la vía ideal para comprender el mundo desde la propia asignatura, de relacionar todo cuanto nos rodea en los órdenes cuantitativo y geométrico. 1 Fidel Castro Ruz. Ideología, conciencia y trabajo político Ed. Política, p. 58. La Habana, 1987.

5 3 En la enseñanza de la solución de problemas, no basta con poner a los niños constantemente ante situaciones que les planteen exigencias relacionadas con soluciones intra o extra matemáticas, es preciso además que se exija a través de ellas un esfuerzo del pensamiento, en el que se tengan que utilizar procedimientos alejados de las rutinas propias de la asignatura que surgen del tratamiento de los contenidos, dentro de una dirección del proceso de enseñanza aprendizaje que propicie la actividad emprendedora del alumno en dicho proceso. Los problemas que aparecen en los textos como apoyo a los currículos de la asignatura, responden más a los contenidos y a los procedimientos de solución, que a una legítima didáctica para la solución de problemas. Estos problemas se consideran dentro de la clasificación de problemas escolares 2, pues su única función es la de servir para la ejercitación y la consolidación de esos contenidos y procedimientos. Como respuesta a los retos que se imponen en el presente y los que están por venir, las características del proceso de resolución de problemas en Matemática tiene que cambiar, de manera que se creen verdaderas interrogantes en las que los niños se vean obligados a buscar estrategias no convencionales y procedimientos reflexivos para resolver los problemas. Si los problemas que se plantean a los niños responden a la definición asumida en la investigación acerca de este tipo de ejercicio(campistrous y Rizo, 1996) y además exigen procedimientos de solución que no sean rutinarios, se va formando en los niños una mentalidad diferente, respecto al proceso de su solución, tendiente a no asumir las cosas dichas previamente, a no aceptar las cosas simplemente sin hacer un solo razonamiento porque aparece en un libro, porque se lo dicen 3, es decir, se flexibiliza el pensamiento en los mismos términos en que se define esta cualidad individual del pensamiento. 2 Celia Rizo Cabrera y Luis Campistrous Pérez. Estrategias de resolución de problemas en la escuela En: Revista latinoamericana de investigación en Matemática Educativa (RELIME. p.31 45, vol2, No 3).México, Los autores en el articulo se refieren a los problemas escolares para identificar aquellos que aparecen en los textos escolares. 3 Fidel Castro Ruz. Ideología, conciencia y trabajo político Ed. Política, p. 69. La Habana, 1987.

6 4 Bajo estos preceptos los problemas no solo deben estar caracterizados por una exigencia acerca de una vía desconocida a partir de determinadas condiciones, sino que además debe influir en lo afectivo y lo motivacional del niño, por lo que se debe tener en cuenta lo que se dice y cómo se presenta la situación. En este sentido, los esfuerzos que se realizan a diario en nuestras aulas de la escuela primaria no son suficientes, los resultados que se alcanzan en los operativos del SERCE, evidencian las dificultades que aún persisten en los niños ante la solución de los problemas en general y, especialmente, en los que responden a alguna característica diferente a la que tienen los problemas escolares. En el operativo nacional del año 2004, se alcanzó en la provincia de Camagüey el 64% en el ítem de conteo de figuras incluidas unas en otras, aunque en otras los resultados son significativamente mejores con respecto a los anteriores, desde el año 1996 cuando comenzó la aplicación de esta forma de medición de la calidad del aprendizaje. En la observación (Anexo 2) realizada al proceso, a través de la investigación, se pudo constatar que los maestros realizan el tratamiento de los problemas, sujetos a preconcepciones surgidas de la propia práctica escolar que van en sentido opuesto a la concepción de los problemas como objeto de enseñanza. Por ejemplo, se utilizan determinadas situaciones con el propósito de motivar, que en primer lugar son muy comunes y similares a las de los textos y, por otra parte, son utilizadas nada más en el momento inicial y por tanto no sostienen el interés de los niños durante todo el tiempo de la actividad. Se corroboró además el exceso de ayudas (Labarrere, 1987) por parte de los maestros y la tendencia a la ejecución característica en los niños como resultado del tratamiento formal que se da a los problemas en las clases, de donde surgen las creencias que tienen los niños respecto al proceso de solución de problemas. Las creencias 4 que tienen los niños respecto a la solución de los problemas se convierte en la primera evidencia o indicador del problema científico que originó a esta investigación. Ellas constituyen falsas concepciones que se producen cuando 4 Curso prerreunión Algunas técnicas de resolución de problemas del evento internacional Pedagogía 99, realizado en el Palacio de las Convenciones.

7 5 se repiten insistentemente problemas con las mismas características e intenciones, como ocurre con el tratamiento de los problemas escolares a través de toda la enseñanza de la Matemática. Estas ideas equivocadas del proceso de solución de problemas, tienen implicaciones en la interpretación práctica del concepto de problema, pues como norma, lo asocian a un texto escrito acompañado de una interrogante que aparece casi siempre al final, y por lo general la situación está relacionada con uno de los procedimientos de solución que están aprendiendo en ese momento. Para resolver estos problemas se utiliza un mismo esquema, respondiendo al criterio de datos, planteo y respuesta, que encasilla el proceso y no permite apreciar alguna variación si la situación así lo exigiera. Entre las creencias por lo general se consideran las siguientes: las soluciones pueden ser erróneas cuando conducen al cero o a ninguna solución y cuando hay alternativas de solución se conforman con una sola, no se exploran nuevos caminos para obtener un mismo resultado y se opera con todos los datos. En otras investigaciones en realizadas por Campistrous y Rizo en Cuba y Schoenfeld en Estados Unidos, fueron aisladas otras creencias, muy útiles para esta investigación, en las que se puede apreciar cuanto limitan el aprendizaje de la resolución de problemas. Otra evidencia del problema de investigación se da en la incorrecta utilización de la heurística y del sistema de ayudas por parte del maestro en el proceso de solución de problemas. En la bibliografía consultada se considera que los procedimientos algorítmicos han colmado la Enseñanza de la Matemática, a partir de que resulta fácil enseñar y aprender algo estrictamente organizado de una manera convencional, pero lo mismo no sucede con los procedimientos heurísticos, no resulta sencillo formar los recursos de pensamiento necesarios para utilizar la heurística como herramienta 5. 5 Ibid. En el mismo articulo en lo referido a la relación que se puede establecer entre el tratamiento de los problemas rutinarios y las creencias que tienen su origen en esas rutinas, los autores consideran la necesidad de plantear problemas que necesiten menos de procedimientos algorítmicos y más de procedimientos heurísticos y reflexivos, que los preparen para aprender a elaborar sus propias estrategias de solución.

8 6 A partir de las ideas de Polya (1989) respecto a la utilización de la heurística en el proceso de solución de problemas, ha ocurrido una simplificación de este recurso y en muchas de nuestras aulas se reduce el análisis a tres o cuatro preguntas: de qué trata el problema, qué me dan, qué me piden y qué operación se debe realizar, obstaculizando el análisis real de las relaciones que se pueden encontrar en el problema, lo que se pudo corroborar además por medio de la observación directa al proceso. La utilización de tipos de problemas que en general responden a la categoría de rutinarios (Campistrous y Rizo, 1999), tanto en lo referido a la presentación como a su contenido, se convierte en otro indicador de la existencia del problema de esta investigación, pues con ello y con el efecto que provocan las creencias, se limita la comprensión ampliada del concepto de problemas; estos se consideran rutinarios cuando en el proceso de resolución se pueden encontrar las vías de solución de una manera directa en el propio contenido de la asignatura que se aborda en la escuela 6. La utilización de problemas cuyos procedimientos de solución responden a una rutina, limitan la visión acerca de las múltiples formas en las que pueden ser presentados estos y de las posibilidades de su resolución, así como, del aprendizaje de estrategias y procedimientos válidos en el proceso de solución y en el propio quehacer diario de los niños. Todas estas deficiencias tienen como origen común el no considerar al tratamiento de los problemas dentro de la Enseñanza de la Matemática como objeto de enseñanza, con su sistema de objetivos y de principios, mediante los cuales se pueda acercar más a los niños al aprendizaje pleno de la resolución de problemas, con una estructuración adecuada dentro del currículo de la Matemática para todos los grados y niveles de enseñanza. Una modificación en la concepción del tratamiento actual de los problemas, puede favorecer sustancialmente la enseñanza y el aprendizaje de este complejo de materia de la Matemática, para lo cual se requiere entre otros aspectos que en las aulas se planteen verdaderos problemas, evitando con ello que su tratamiento solo 6 Ibid

9 7 sea visto con la única intención de lograr la fijación y la ejercitación de los contenidos correspondientes a los demás complejos de materia. La incorporación de los problemas cuyos procedimientos de solución no responden a determinadas rutinas, es una tarea importante de la Didáctica de la Matemática, a través de la cual se puede contribuir al aprendizaje de las herramientas necesarias para resolver nuevos problemas con mayor independencia y plena conciencia del proceso que se está llevando a cabo, y puede acercar más a los niños a los rasgos generales del concepto de problemas que deben dominar. Lo planteado hasta aquí permite inferir que en lo relacionado con la solución de problemas en la escuela primaria, aún no se ha hecho todo lo necesario para lograr un cambio favorable que se traduzcan en un incremento de la actividad de los niños en la resolución de problemas, mediante la combinación de los problemas escolares, con aquellos cuyos procedimientos de solución no son rutinarios y que exigen recursos propiamente heurísticos, que deben ser aprendido por los niños como resultado de la actividad desarrollada en todo el proceso. Todos los elementos hasta aquí analizados respecto a la resolución de los problemas conduce a una contradicción fundamental que se produce en ese proceso entre las condiciones externas y las internas, es decir, entre las acciones que se llevan a cabo desde la enseñanza y los conocimientos, procedimientos y estrategias que aún no son del dominio de los niños, entre lo objetivo representado en este caso por el problema y lo subjetivo que se resume en la actividad desarrollada en el proceso de solución de dicho problema por parte de los niños. Esta contradicción antes expresada, es la que motivó continuar estudiando por vías científicas el problema científico de esta investigación, que con la idea de contribuir a su solución, se declara de la siguiente manera: Cómo favorecer la estimulación de la actividad de los niños en el proceso de solución de problemas de Matemática en la escuela primaria? Como la enseñanza de la Matemática crea las condiciones para que los niños, desde el primer ciclo, se apropien de algunas técnicas y procedimientos para la resolución de problemas en las clases de Matemática, constituyendo uno de los complejos de materia que la componen, la investigación se realiza en el marco de

10 8 el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática del primer ciclo de la escuela primaria, que se asume como su objeto de estudio y que a su vez se centra en la enseñanza y el aprendizaje de la resolución de problemas en Matemática en el cuarto grado, considerado su campo de acción. El objetivo de la investigación es por tanto, proponer una alternativa didáctica que favorezca la estimulación de la actividad de los alumnos en la resolución de problemas de Matemática en cuarto grado. Las preguntas científicas que guiaron el trabajo realizado en la investigación son las siguientes: Qué situación tiene el proceso de solución de problemas en la Enseñanza de la Matemática de cuarto grado? Cuáles son los fundamentos psicológicos y didácticos que sostienen al proceso de solución de problemas en el currículo de la Matemática en cuarto grado y a la actividad de los niños en dicho proceso? Qué características deben tener los problemas que resuelvan los niños para estimular su actividad en el proceso de solución? Qué elementos debe contener la alternativa didáctica que puede ser utilizada por los maestros en el tratamiento de los problemas no rutinarios? Cómo validar la viabilidad de la alternativa didáctica? Durante la realización de todo el proceso investigativo se fueron cumpliendo las siguientes tareas científicas: Caracterizar al proceso de enseñanza-aprendizaje de la solución de problemas matemáticos en cuarto grado y a los problemas que usualmente se proponen en las clases. Determinar los presupuestos psicopedagógicos que debe tener el proceso de enseñanza aprendizaje de la resolución de problemas para lograr una mayor actividad de los alumnos. Determinar las características que deben tener los problemas y realizar un compendio que respondan a las mismas. Elaborar una alternativa didáctica que favorezca la estimulación de la actividad de los alumnos en el proceso de solución de problemas.

11 9 Instrumentar un estudio de casos que posibilite comprobar la viabilidad de la propuesta en las condiciones creadas al efecto. Es considerado un aporte a la teoría de la Enseñanza de la Matemática, la sistematización de la enseñanza de la resolución de problemas, sobre la base de un compendio de problemas que se ajustan a la definición de problemas no rutinarios, en cuya resolución se emplean procedimientos, técnicas y estrategias, unido a las características de la actividad que deben desarrollar el maestro y los niños en este proceso dividido en tres etapas de trabajo. También se realiza una clasificación de los problemas presentados, sobre la base de dos criterios que difieren de los tomados en cuenta por anteriores clasificaciones: por la forma de presentación y la formulación que caracteriza a los problemas del compendio y por el tipo de procedimiento que se debe utilizar en la búsqueda de la solución de los problemas. A la práctica escolar se ofrece una alternativa didáctica para el tratamiento de problemas no rutinarios, que comprende una numerosa compilación de este tipo de problemas, la caracterización de la actividad del maestro y la de los alumnos en el proceso de solución de dichos problemas y las etapas concebidas para la utilización de estos problemas en la enseñanza de la solución de problemas. También es un aporte a la práctica, las estrategias para la solución de los problemas propuestos en forma de acciones a realizar por los niños y la contextualización de las técnicas y el procedimiento generalizado para la solución de estos problemas. La novedad científica de la investigación consiste en que en la Alternativa didáctica se sugiere la utilización de una compilación de problemas que responden a la denominación de problemas no rutinarios para cuarto grado, en combinación con los problemas escolares que aparecen en el Libro de Texto. Es también novedosa, la clasificación de esta colección de problemas, sobre la base de dos criterios que no fueron tomados en cuenta en anteriores clasificaciones realizadas por otros autores y que se refieren a la forma en que se presentan estos

12 10 problemas y las estrategias utilizadas para hallar la solución de estos. Por último, la contextualización de las técnicas y el procedimiento generalizado y la declaración de estrategias para la resolución de los problemas propuestos, resulta novedoso para la enseñanza de la Matemática en cuarto grado. El trabajo desarrollado durante todo el proceso investigativo desde el punto de vista metodológico, tiene su base en el método dialéctico materialista como método general de todas las ciencias, pues la recopilación de información mediante la utilización de métodos y técnicas empíricas y teóricas, fueron permitiendo la conformación del aporte a la teoría de la investigación, diferenciándolo respecto a otras investigaciones similares, relacionadas con la solución de problemas. Como métodos teóricos fueron aplicados los siguientes: Método de análisis y síntesis: se utilizaron con el propósito de entender el desarrollo real del proceso de solución de problemas en toda su complejidad concreta, en busca de las relaciones que se pueden establecer en este proceso con la teoría de la actividad y la comunicación, a partir de las tendencias más actualizadas respecto a este proceso en la enseñanza de la Matemática del nivel primario y en consecuencia formular conclusiones, bajo el criterio de que el análisis es la premisa necesaria de la exposición sintética. Método histórico-lógico: permitió desentrañar la esencia del proceso de resolución problemas y sobre esta base posibilitó la elaboración de una alternativa didáctica en la que se agrupan aquellos elementos considerados necesarios para influir en la actividad de los niños en dicho proceso. Método de análisis de las fuentes de información: mediante el cual se pudo extraer información cualitativa y cuantitativa desde diferentes posiciones relacionadas con el proceso de enseñanza y aprendizaje y el proceso de solución de problemas. Como métodos empíricos fueron empleados los siguientes: Entrevistas para conocer en qué medida los maestros están preparados en lo relacionado con el problema científico y a la maestra del grupo en el cual se realizó

13 11 el estudio de casos para conocer su opinión acerca del desempeño de los niños en relación con el problema que se investiga antes y después de la aplicación realizada. La observación al proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, en busca de las regularidades que sustentan las deficiencias que se dan en el proceso de resolución de los problemas para hacer más sostenible alternativa didáctica que se propuso. Se aplicó una consulta con especialistas, en la que se encuestaron a maestros, jefes de ciclo, metodólogos y profesores de ISP con basta experiencia en el trabajo en la enseñanza de la Matemática, con el propósito de validar con sus criterios, las principales características de la alternativa didáctica. Método de estudio de casos: constituyó un importante recurso para recoger información cualitativa durante la aplicación del pre-experimento, pues con la ayuda de los protocolos obtenidos en el trabajo individual en la solución de los problemas propuestos durante la aplicación de la intervención, se pudo conocer a profundidad acerca de la actuación de los niños y su manera de pensar ante cada situación y también permitió consolidar desde el punto de vista cuantitativo el movimiento de los indicadores relacionados con los procedimientos de solución propuestos derivados de las características de los problemas. Como métodos estadísticos fueron empleados los siguientes: La prueba de Wilcoxon que permitió rechazar la hipótesis de nulidad, Ho: no existen diferencias significativas entre el control inicial y final. Cálculo porcentual en la comparación de los resultados en cada etapa de trabajo del estudio de casos, en la realización del preexperimento. Determinación del Índice porcentual el cual se calculó ponderando por 1, 2, 3, 4 y 5 cada por ciento obtenido en la escala a partir de bajo hasta alto respectivamente. Esos valores ponderados se promediaron (se sumaron y dividieron por 5). El índice es un indicador numérico global del comportamiento de cada aspecto considerado en la encuesta realizada a los especialistas.

14 12 SÍNTESIS DE CADA UNO DE LOS CAPÍTULOS DE LA TESIS. CAPITULO 1: Fundamentos psicológicos y didácticos de la solución de problemas en la Enseñanza de la Matemática de la escuela primaria. En este capítulo se realiza una síntesis, a partir de una extensa revisión bibliográfica, acerca de lo que significa resolver problemas en Matemática bajo la concepción de proceso y no de resultado exclusivamente y de los elementos que caracterizan al concepto de problemas. Sobre esta base se examina seguidamente, la relación estrecha que existe entre desarrollo del pensamiento y solución de problemas, términos que no se pueden identificar uno con el otro, pero que están dialécticamente relacionados. Con estos elementos se procede a caracterizar el intelecto y la actividad de los niños de cuarto grado, especialmente en el proceso de solución de problemas, con el propósito de sustentar las vías para estimular la actividad y la realización de los niños en este proceso, en el que también se ven imbricadas las características de la comunicación, en esta parte del proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática. Es precisamente en el primer epígrafe(1.1), Consideraciones sobre los problemas y la solución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática escolar, donde se precisan los elementos que conforman los criterios más actualizados, acerca de lo que significa resolver problemas, entendido en este informe como la búsqueda de las vías para provocar la transformación deseada y no solo la solución del problema en sí misma. También se hace un análisis de dos perspectivas 7 en las investigaciones realizadas respecto a la solución de los problemas en el proceso de enseñanza y aprendizaje: una en la que los problemas son utilizados como vía para obtener los conocimientos y otra que está enfocada en la dirección de convertir la solución de problemas en objeto de enseñanza. En el epígrafe 1.2, titulado Cómo se define el concepto de problema?, se hace un análisis de las tendencias a definir a los problemas en función solo del resultado a obtener y la que incluye además, la actividad del sujeto que interactúa con el 7 Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógica. María Cristina Pérez Lazo de la Vega. Ciudad de la Habana, 2001.

15 13 problema, desde que hace conciencia de él, hasta la comprensión de para qué le sirve el problema resuelto. También se llega a un consenso respecto a los elementos que deben estar contenidos en la definición de un problema: 1.- El sujeto que recibe la información asume que efectivamente tiene ante sí una interrogante, y que en lo inmediato no está capacitado para resolverla. 2.- el sujeto debe sentir que requiere de cierto esfuerzo cognoscitivo, 8 encaminado a encontrar los medios para obtener la vía de la solución. 3.- sentir la necesidad de resolverlo impulsado por el interés que le provoca el propio cuestionamiento o por una exigencia exterior. Finalmente se asume como definición de problemas la dada por Campistrous y Rizo (1996) en la que se considera que un problema es toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla y la vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la situación exigida, tiene que ser desconocida. El epígrafe 1.3, Algunas potencialidades del desarrollo intelectual de los escolares en el cuarto grado que favorecen y posibilitan su actividad ante la solución de problemas, parte del siguiente criterio;... la formación del pensamiento del alumno se produce fundamentalmente a través de la solución de problemas... de Labarrere 9. En este epígrafe se reconocen algunos factores que se conjugan en la actividad intelectual de los niños, de los cuales depende su desarrollo: compatibilidad entre las ideas, necesidades, motivos y sentimientos con el sistema de exigencias que la sociedad y el medio ponen ante cada individuo. Acumulación de un fondo de conocimientos 10 y experiencias, de desarrollos anteriores y de las operaciones de pensamiento. 8 Labarrere Sarduy, Alberto. Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas matemáticos. La Habana: Ed. Pueblo y Educación, Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas matemáticos. p.31. La Habana: Ed. Pueblo y Educación, En este sentido es que se refiere el autor a la experiencia acumulada. Ver: KRUTETSKY, V. A. Bases de la psicología pedagógica. Moscú: Ed. Prosvieshenie, 1972.

16 14 En el proceso de apropiación de nuevos conocimientos se debe producir la conjugación de un pensamiento convergente, con un pensamiento divergente. Las limitaciones más relevantes para que ocurra este necesario desarrollo del intelecto en lo relacionado con la resolución de problemas, está la tendencia a la ejecución inmediata, así como, las creencias en el tratamiento de los problemas como resultado de la utilización de procedimientos. En el epígrafe 1.4, denominado La actividad y la resolución de problemas, se parte de declarar a qué se refiere el autor, cuando habla de un niño activo en el proceso de solución de un problema, es decir se refiere a que esté mentalmente activo, o sea que su pensamiento esté en función de dicha actividad. Lo anterior se relaciona también con lo que significa pensar matemáticamente a criterio del Dr. Campistrous(2002), dentro de los cuales se encuentran criterios tales como: interpretar datos de la vida diaria, poseer un pensamiento flexible y un repertorio de técnicas para enfrentarse a situaciones y problemas nuevos y poseer un pensamiento crítico y analítico tanto al razonar como al considerar razonamientos de otros. El epígrafe 1.5 relacionado con la estimulación de la actividad de los alumnos mediante la solución de problemas, refiere las características que definen a los problemas cuyos procedimientos de solución no son rutinarios, contrario a la mayoría de los problemas escolares en los que los procedimientos de solución son algorítmicos o casi algorítmicos. No obstante se plantea un criterio que sustenta la Propuesta Didáctica, relacionado con la idea de utilizar de manera combinada a ambos tipos de problemas. En un resumen de cómo se puede estimular la actividad de los niños en la solución de problemas, se sugiere entre otros: Utilizar problemas que exijan de los niños el máximo de su esfuerzo intelectual y cuyos procedimientos de solución no sean rutinas Los problemas deben responder a algunas de las exigencias vistas anteriormente, es decir: A. Problemas con datos numéricos o sin ellos. B. Problemas que admiten una, varias o ninguna solución.

17 15 C. Problemas cuya formulación sea escrita o no. D. Problemas en que la presentación de las condiciones sea por medio de textos o a través de modelos, dibujos o patrones. E. Utilizar problemas en los que halla que transformar las condiciones dadas. F. Problemas con soluciones alternativas, problemas abiertos, problemas en los que las soluciones no son precisamente números Mezclar los problemas del compendio realizado con los problemas escolares. Crear espacios suficientes para el tratamiento de sistemas de problemas. (Campistrous y Rizo, 1996) Convertir el tratamiento de los problemas en objeto de la enseñanza. Por último en este capítulo, se presenta el epígrafe 1.6 titulado algunas consideraciones finales sobre la actividad y la comunicación en el proceso de solución de problemas, en el que se brinda la idea de cómo se da en la resolución de problemas, la relación entre actividad y comunicación. A través de la búsqueda de relaciones se puede apreciar la idea de que estos procesos, es decir, la comunicación y la propia actividad que se realiza, no ocurren de forma paralela y de manera independiente, ya que no solo es suficiente la orientación del maestro, sino que, el intercambio de experiencias entre los niños organizados en pequeños grupos, juega un importante papel en el empeño de enseñar a resolver problemas. Es bajo este criterio correspondiente a la teoría Histórico Cultural de Vigotsky, que se da la relación entre la actividad y la comunicación, o sea, la actividad genera un imprescindible proceso de intercambio de la experiencia entre los sujetos, que conduce al desarrollo de los procesos psíquicos y por consiguiente a la apropiación de la cultura. CAPITULO 2: Alternativa didáctica para estimular la actividad de los alumnos en la resolución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática de cuarto grado.

18 16 En este Capítulo se concretará la alternativa didáctica que responde al objetivo de esta investigación, y que constituye su principal resultado al sistematizar 11 la teoría relacionada con la enseñanza de la resolución de problemas, mediante el empleo de un compendio de problemas no rutinarios. La propuesta está organizada a partir de un estudio preliminar de los problemas compilados, que por sus características pueden contribuir a una mayor actividad en los alumnos, e incluye la discusión sobre algunas técnicas, estrategias y procedimientos que pueden ser útiles a los alumnos para orientarse en las vías de solución y en la propia solución de dichos problemas en este y otros grados, en dependencia del desarrollo que tengan los alumnos. Se analiza también la actividad del maestro y la del alumno en el proceso de enseñanza aprendizaje de la solución de problemas y finalmente se hace una propuesta de las etapas de trabajo que pueden ser utilizadas como alternativa didáctica para el tratamiento de los problemas propuestos.(anexo 2) En el epígrafe 2.1 Algunos antecedentes del trabajo con la solución de problemas en la escuela primaria, se resume primeramente el trabajo de investigación realizado en la escuela primaria, respecto al objeto de estudio y específicamente en lo relacionado con la resolución de problemas. Después de un análisis detallado, se resumen las deficiencias observadas en los siguientes aspectos: I. En la dirección del proceso por parte del maestro, que limita la actividad del alumno y propicia la tendencia a la ejecución al hacer énfasis en los resultados y no en los procesos. II. En el contenido mismo de los problemas y de los procedimientos de solución, pues hay ausencia de técnicas de solución y de procedimientos generalizados, que por tanto no son objeto de enseñanza, y los tipos de problemas que se proponen no posibilitan una mayor actividad. Es precisamente sobre la base de este último criterio que se realizó una compilación de problemas que responden a la caracterización de problemas no 11 Organizar según un sistema. Sistema: Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto. Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta Microsoft.

19 17 rutinarios, considerados estos como aquellos en los que la solución no depende de procedimientos rutinarios 12. El epígrafe 2.2 Características de los problemas del compendio propuesto sirve para resumir las características de los problemas que se proponen en el compendio realizado, para lo cual se parte de discutir acerca de los problemas escolares, que actualmente aparecen en los libros de texto de primaria. Luego como una necesidad de la práctica de la resolución de problemas, se promueve la idea de emplear aparejado a los problemas escolares, otros problemas cuyos procedimientos sean propiamente heurísticos. En este sentido se propone la colección de problemas de los que se brinda una muestra en el anexo 1, teniendo en cuenta que en el aspecto interno de los mismos, se dan dos tipos de situaciones: El texto da indicaciones precisas sobre lo que se debe realizar de inmediato, bien para proceder a la búsqueda de información en modelos o patrones, o para ejecutar acciones como el conteo y la búsqueda de alternativas de solución. Las condiciones que se dan en un grupo de problemas, no satisfacen las exigencias y en consecuencia se debe proceder a hacer cambios en las mismas. Estos problemas y los procedimientos de solución que se utilizan, pueden estimular de manera colateral a la flexibilidad del pensamiento, sobre la base de otras propiedades de este como son la reflexividad, la movilidad y la reversibilidad. Esto se puede lograr a partir de las posibilidades que brindan los problemas no rutinarios de romper con esquemas y preconcepciones. En el epígrafe 2.3 Clasificación de los problemas compendiados, se ofrece una clasificación de los problemas del compendio presentados, sobre la base de dos criterios que responden a las características de dichos problemas y que por tanto difiere de los que se han tomado como referencia en clasificaciones anteriores, lo que está debidamente fundamentado. 12 Los procedimientos de solución no rutinarios son entonces aquellos en los que se exige un proceso de búsqueda propiamente heurístico. Campistrous y Rizo, Didáctica y Solución de problemas. En proceso de Edición por la Editorial Iberoamericana. México.

20 18 Para clasificar los problemas, se mezcla entonces lo externo, lo visible, lo referido a la manera de presentarlo ante la persona que lo asume, con lo interno en el sentido de la acción o del proceder que debe seguirse. Los criterios de clasificación asumidos en la investigación se pueden resumir de la siguiente manera: La forma de presentación y la formulación que caracteriza a los problemas del compendio. El tipo de procedimiento que se debe utilizar en la búsqueda de la solución de los problemas. El análisis de los grupos así obtenidos, se realiza utilizando como referencia el modelo empleado por Luis Campistrous Pérez y Celia Rizo Cabrera (1996), de la siguiente manera: GRUPO 1: Problemas que se resuelven mediante la búsqueda de información en una representación gráfica. Se pueden identificar dos tipos de problemas que responden a las características definidas para este grupo: La información que se busca está asociada a un patrón. Ej. del 1 al 13 La información que se busca conduce a realizar reflexiones lógicas. Ej.: del 14 al 46. GRUPO 2: Problemas que tienen varias soluciones. En este grupo se pueden identificar dos tipos de problemas: De múltiples soluciones. Ej.: del 1 al 18 De selección de soluciones alternativas. Ej.: del 19 al 23 GRUPO 3: Problemas que se resuelven realizando un conteo. Se pueden delimitar dos tipos de conteo: Conteo directo. Ej.: 1 al 9 Conteo indirecto. Ej.: del 10 al 27 GRUPO 4: Problemas en los que se debe realizar transformaciones en las condiciones dadas. Cambiar o agregar datos numéricos. Cambiar la formulación en lo relacionado con las condiciones dadas o con la pregunta del problema.

21 19 En este grupo también se agregaron otros problemas que responden a la siguiente característica: Se resuelven mediante reflexiones lógicas. En el epígrafe 2.4 titulado Caracterización de la actividad de los alumnos en la solución de problemas en Matemática y su relación con el uso de técnicas y procedimientos de solución, se ponen en consideración los elementos generales que deben constituir parte del trabajo diario de los niños, para que se produzca el aprendizaje de la resolución de problemas como se ha indicado en otros momentos de este resumen. La primera acción que debe realizar el niño cuando asume el problema y lo lee, es tratar de identificar las partes: lo conocido y la meta o lo desconocido. Lo conocido en el problema debe ser comprendido independientemente de las cantidades (Campistrous y Rizo, 1996), de manera que pueda encontrar las relaciones entre lo dado, por su significación y por el contexto y no por la posible relación entre las cantidades u otro tipo de dato específico. Para lograr lo anterior la asimilación de las técnicas 13 constituye un inestimable recurso, en el que se pueden apoyar los niños para enfrentar la búsqueda de la vía de solución de los problemas. La técnica de la lectura analítica y la reformulación y la técnica de la modelación, cuando son dominadas por los niños, pueden constituir una especie de alerta ante los problemas en la etapa de orientación en el proceso de solución. Todo lo anterior sirve de apoyo al transcurso del procedimiento generalizado que debe formar parte de la actuación de los niños, para lo cual se ofrecen indicaciones por los autores que definieron este término para lograr una forma de trabajo, que pudiera ser utilizada siempre en la solución de los problemas 14. Esta forma de actuación es posible lograrla, a través de un trabajo sistemático del maestro, considerando al tratamiento de los problemas como objeto específico de 13 Campistrous y Rizo (1996) ofrecen cinco técnicas para la solución de los problemas, que pueden ser empleadas por las personas que se apropien de ellas en la diferente disciplina, pues constituyen métodos para el trabajo en el proceso de su solución. 14 Ver: Aprende a resolver problemas aritméticos, página 68 a la 70. Los autores Luis Campistrous Pérez y Celia Rizo Cabrera, después de analizar la manera en que se imbrican las técnicas en el procedimiento generalizado, sugieren cómo lograr que los niños se apropien del mismo.

22 20 enseñanza, incorporando al trabajo diario a los problemas compilados junto a los problemas escolares. En el epígrafe 2.5 Proceder didáctico del maestro en el tratamiento de los problemas del compendio realizado, se procede a realizar un análisis similar al anterior, pero en relación con la actividad del maestro en este proceder didáctico. El papel del maestro en este instante de reflexión que tienen los niños ante la solución de los problemas, debe estar encaminado a provocar la motivación de los niños con preguntas a modo de refuerzos, que se constituyen en impulsos 15 para estimular ese primer acercamiento que los niños han tenido. Las ayudas que en forma de impulsos se ofrecen en este primer momento, comprometen al niño con la situación y deben estar dirigidas a la comprensión de la situación y de los elementos que componen al problema en cuestión. El siguiente nivel de ayuda debe estar dirigido a la búsqueda, en las condiciones dadas, de aquellos elementos que son portadores de la vía de solución y las preguntas deben ser elaboradas de tal manera que promuevan la reflexión. Por último se deben realizar cuestionamientos que ayuden al niño a realizar el control de los resultados que se van obteniendo. Si el maestro utiliza adecuadamente el error cometido por el alumno, será beneficioso en dos sentidos: no hace mellas al aspecto afectivo por un lado y el niño reconocer dónde se produjo el error así como sus causas. El maestro además debe propiciar momentos de reflexión colectiva, que resulta efectivo en la misma medida en que el aula se organice en pequeños grupos, lo que se debe combinar con el trabajo individual y el frontal. Aquí también se explica cómo es posible en este espacio abierto a la reflexión colectiva activar la zona del desarrollo próximo, mediante la ayuda del otro, llámese el maestro o el niño que está al lado. Para lograr todo lo anterior y a favor de una enseñanza activa, requiere también de métodos y procedimientos que promuevan la incertidumbre y el cuestionamiento acerca de las cosas y de cómo se obtienen. También se refiere cómo deben utilizarse los problemas, sin que se altere el contenido del currículo de la 15 Enciclopedia Microsoft Encarta Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

23 21 matemática en el grado en combinación con los problemas escolares y conformar sistemas de problemas, en los que se vallan cumpliendo de manera paulatina los objetivos que serán definidos para cada una de dichas etapas. Finalmente en el epígrafe 2.6 Etapas de la Alternativa Didáctica para el tratamiento de los problemas propuestos. Algunas recomendaciones didácticas, a modo de orientación a los maestros, se establecieron tres etapas que pueden servir de guía, sin que estas constituyan un esquema rígido para el trabajo en las aulas. (Anexo 3) La primera etapa es la de familiarización con los problemas propuestos, mediante la cual se pretende además de poner en conocimiento de los niños las características de estos problemas, ampliar su visión acerca del concepto de problemas que ellos tienen concebido y de lo que buscar la solución de un problema significa. La familiarización incluye también el trabajo con técnicas, estrategias y procedimientos de solución relativamente desconocidos en la solución de los problemas escolares. El propósito central de esta etapa es tanto el de familiarizar a los niños con los problemas que fueron coleccionados, sobre la base de las diferencias descritas respecto a los problemas escolares y también el de despertar el interés y la motivación. Los problemas del compendio que se sugieren ser utilizados para el desarrollo de esta etapa son los de los grupos 1 y 4 (Ver Anexo 1) de la clasificación realizada. Algunas recomendaciones para el trabajo con esta etapa son: En la parte inicial de esta etapa se puede comenzar con situaciones problémicas diferentes, en un entorno lúdico, como es el caso de los llamados rompecabezas. En esta etapa de este proceso de búsqueda de la idea de la solución es recomendable la organización del trabajo en equipos. Si es necesario, el maestro le dará a los alumnos impulsos 16 en forma de sugerencias. 16 Con anterioridad, en este capítulo se hizo referencia a este concepto.

24 22 Por último, combinando adecuadamente la actividad individual con la actividad en equipos, se proponen los problemas antes referidos. A partir de esta primera familiarización debe comenzar una segunda etapa en la que se realizará un trabajo intensivo en los problemas propuestos. En esta etapa de trabajo intensivo en la solución de los problemas recopilados, el principal objetivo es enseñar a utilizar determinadas técnicas 17 (Campistrous y Rizo, 1996) y estrategias que como resultado, pueden ser convertidas en herramientas para el desempeño de los niños en este complejo de materias. Aquí se sugiere utilizar los problemas de los grupos 2 y 3, junto con los de los grupos ya mencionados en la primera etapa. Algunas recomendaciones para el trabajo con esta etapa son: Incluir entre las actividades a realizar, al igual que en la primera etapa, situaciones problémicas diferentes, en un entorno lúdico, como es el caso de los llamados juegos de mesa como el dominó, los dados y otros. En la etapa del proceso de búsqueda de la idea de la solución y en el proceso mismo de resolución o de discusión de resultados, es recomendable la organización del trabajo en equipos, combinándola armónicamente con las actividades individuales y de todo el grupo. Hay que introducir explícitamente el trabajo con algunas técnicas o estrategias útiles, que permita sistematizar algunas acciones de dichas técnicas. Tener en cuenta, además, que hay otros procedimientos generalizados de actuación que se dan en la búsqueda de la solución de estos problemas, que en este trabajo se les ha denominado estrategias. Estas estrategias son : Búsqueda de información en dibujos y en patrones. Búsqueda de múltiples soluciones y de soluciones alternativas. Conteo sistemático y exhaustivo sujeto a una o más condiciones. 17 Se está utilizando la denominación de técnicas, respetando la utilizada por ellos y que las conceptualizaron como: Acciones orientadoras y reguladoras que sirven de herramienta para la solución de problemas. Entre estas técnicas los autores consideraron la de formulación de problemas, la de modelación, la técnica de la lectura analítica, la del tanteo inteligente, la de la determinación de problemas auxiliares o subproblemas, la de la comprobación, entre otras.

25 23 Utilización de reflexiones lógicas. Transformación de las condiciones dadas en una situación. La tercera etapa denominada Aplicación de los problemas está dirigida a la reflexión acerca de la resolución de los problemas propuestos, incluyendo la generalización sobre el uso de las técnicas y procedimiento generalizado que tipifican este proceso (Campistrous, Rizo, 1996) y las estrategias correspondientes a estos problemas. La consideración en esta etapa de la generalización como proceso de pensamiento jerarquizado para ella, está fundamentada en el hecho de que: Las características del pensamiento en estas edades, en las que de manera paulatina va transitando de lo concreto a lo teórico, dan la posibilidad de analizar los objetos y las cosas cada vez desde perspectivas y posiciones diferentes, y también de lograr las primeras generalizaciones de lo que aprenden. Las generalizaciones respecto a los problemas ayudarán a los niños a tener una idea más amplia acerca de qué es un problema, de qué partes consta y de la variedad de formas en que estos pueden ser presentados. Las generalizaciones que se hagan respecto al proceso de solución en su conjunto, también permitirá que los niños tomen conciencia acerca de cada una de las técnicas y que además se apropien de ellas. Finalmente y como parte de los fundamentos teóricos es necesario reiterar que la propuesta se estructura sobre la tendencia de aprender a resolver problemas, que lleva implícita la necesidad de enseñar a resolver problemas, y está orientada a estimular la actividad de los niños ante la solución de los problemas en la clase de Matemática.