GEOMETRIA ANALITICA CUADERNO DE EJERCICIOS EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOS CORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM

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1 GEOMETRIA ANALITICA CUADERNO DE EJERCICIOS EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOS CORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM DEL BACHILLERATO DE LA U.A.E.M. PRESENTA EJERCICIOS QUE APOYAN EL PROCESO DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE DEL ALUMNO CON UN ENFOQUE POR COMPETENCIAS DE CADA UNO DE LOS MODULOS DEL PROGRAMA ROBERTO MERCADO DORANTES 5/10/011

2 PROGRAMA MODULO I RECTA MODULOII CIRCUNFERENCIA MODULO III PARÁBOLA MODULO IV ELIPSE MODULO VI HIPERBOLA Roberto Mercado Dorantes Página

3 INDICE PORTADA 1 PROGRAMA INDICE 3 MODULO I 4-13 MODULO II MODULO III 18-3 MODULO IV 4-34 MODULO V 35-4 BIBLIOGRAFIA 43 Roberto Mercado Dorantes Página 3

4 MODULO I OBJETIVO Calcular ecuaciones de rectas, graficarlas y resolver problemas cuya modelación conduzca a ecuaciones de rectas. OBJETIVOS PARTICULARES: Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, el ángulo de inclinación y un punto. Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen. Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuación general de una recta. Graficar la recta a partir de su ecuación general. Reconocer que toda ecuación de primer grado se representa como una recta y recíprocamente. Resolver problemas que involucren el concepto de distancia de un punto a una recta Evidencias de aprendizaje 1. Obtén las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano A ( ), B ( ), C ( ), D ( ), E ( ) Roberto Mercado Dorantes Página 4

5 . Calcula el perímetro del siguiente polígono que se muestra en la figura P= 3. Determine las coordenadas del P ( x, y), que divide al segmento AB cuyos extremos son: 1 A (1,-1) Y B (10,10) en la razón r, e indique si es punto de trisección. Grafique 3 Roberto Mercado Dorantes Página 5

6 4. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los puntos A (-5,3) y B (6,1/). Grafique 5. Señala gráficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura y obtén el valor de su ángulo de inclinación Roberto Mercado Dorantes Página 6

7 6. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por los puntos A (-1,1), B (,5) y C (4,-3). Grafique 7. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en seis unidades es igual al cuádruple de su abscisa. Roberto Mercado Dorantes Página 7

8 8. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto A ( 3,4). Grafique 9. Grafica en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones: a) x b) y c x 4 y Roberto Mercado Dorantes Página 8

9 10. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (,3) y su ángulo de inclinación es Grafique 11. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-,-3) y B (,5). Grafique Roberto Mercado Dorantes Página 9

10 1. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el punto (0,-). Grafique 13. Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas: a)x b) x c)5x 3y y 5 4y a) m=. b) m=. c) m= Determine la ecuación general de la recta que contiene al origen y es paralela a la recta x 3y 1 0 Roberto Mercado Dorantes Página 10

11 15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-4,3) Y es perpendicular a la recta x y Determine el valor de k para que la recta kx ( k ) y 10 0, sea perpendicular a la recta que tiene por ecuación 7x 10y Determine la distancia del punto P(5,-6) a la recta: 3x 4y 6 0 Roberto Mercado Dorantes Página 11

12 Evidencias de aprendizaje 1. Escribe la ecuación cuya pendiente es m 3 y su intersección con el eje y es el punto (0,). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).. Escribe la ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen 3 igual a 4 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 3. La siguiente ecuación y 4x 50 representa el sueldo de Luis que trabaja en una florería, donde y representa el salario semanal de Luis en dólares y la literal x representa el número de arreglos florales vendidos durante la primera semana, calcula: a) El sueldo semanal de Luis cuando no vende ningún arreglo floral b) Cuando vende 10 arreglos florales c) Representa utilizando Geogebra la solución de los dos incisos anteriores. 4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente m (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 5. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1(,3) y tiene un 0 ángulo de inclinación 45 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 6. Escribe la ecuación que pasa por los puntos P1(3,5 ) y P (,1 ). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 7. Se espera que el valor de una maquina disminuya con el paso del tiempo de manera lineal. Do puntos de datos indican que el valor de la maquina en un año después de la compra será $10, y su valor después de 6 años será de $30, Determina: a) La ecuación que representa la depreciación de la máquina, considerando como valor V, y antigüedad en años t. b) Interpreta el significado de la pendiente c) (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 8. De acuerdo con la Ley de Charles, la presión P (en pascales) de un volumen de gas se relaciona de forma lineal con la temperatura T (en grados centígrados). Un experimento dio como resultado que si T=0, entonces P=40, y que si T=70, entonces P=90. Roberto Mercado Dorantes Página 1

13 (Sugerencia: representa en el eje y la presión y temperatura en el eje x) a) Cuál es la pendiente de la recta que contiene estos puntos? b) Explica el significado de la pendiente en este contexto c) Escribe la ecuación de este modelo experimental d) Utilizando Geogebra representa el lugar geométrico de la ecuación obtenida. 9. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si sus intersecciones con los ejes X Y son los puntos A (3,0) y B (0,-). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 10. La grafica que aparece más adelante muestra el comportamiento de un negocio que renta locales para exposiciones. El dueño cobra x pesos por metro cuadrado, y el número de espacios y que puede rentar esta modelado por la ecuación lineal y 00 5x. a) Cuántos espacios disponibles hay al iniciar el negocio? b) Escribe el modelo de la ecuación en la forma simétrica c) Qué significa la intersección de la recta con el eje x Roberto Mercado Dorantes Página 13

14 MODULO II CIRCUNFERENCIA En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes; competencias: 1. Construir e interpretar modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la circunferencia. 3. Argumentar la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano.. Reconocer la circunferencia como lugar geométrico. 3. Identificar los elementos asociados a la circunferencia. 4. Comprender la existencia de una circunferencia específica cuando se conocen su centro y su radio. 5. Identificar el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación. 6. Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes a un cono Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno.. Determinar los elementos mínimos para trazar una circunferencia. Roberto Mercado Dorantes Página 14

15 3. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una circunferencia con centro en el origen en la escritura de su ecuación. 4. Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. 5. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. 6. Reflexionar sobre las características de la circunferencia como lugar geométrico, con la finalidad de modelar fenómenos o situaciones provenientes de diversos contextos. Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente en la realización de ejercicios y en la resolución de problemas.. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos. Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Identificar el tipo de curvas que se forman por medio de los cortes de un plano en un cono.. Realizar las descripciones mínimas necesarias para el trazado de una circunferencia. 3-Determinar la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen a partir de la medida de su radio o de otros datos. 4. Establecer el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación. 5. Resolver situaciones problemáticas que impliquen determinar la ecuación o la gráfica de circunferencias con centro en el origen. Roberto Mercado Dorantes Página 15

16 Es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que su distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante Dónde: r= constante (radio) C=punto fijo (centro) CP r Formas de la ecuación de una circunferencia a)ecuación de una circunferencia de centro en el origen(0,0) y radio r b)ecuación de una circunferencia de centro (h,k) y radio r c)ecuación de una circunferencia en su forma general x y ( x h) ( y k) r x y r ;forma canoníca ;forma ordinaria Dx Ey F 0;forma general Evidencias de aprendizaje 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6 (Utilizando Geogebra representa su lugar geométrico).. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6 3. Determina si el punto (3,-1) pertenece a la circunferencia x y 9 R. No es un punto de la circunferencia 4. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (,3). Utiliza Geogebra para trazar su grafica. R. x y Una laguna de forma circular tiene una superficie de 806m, toma como origen el centro de la laguna, obtén la medida de su radio. R Roberto Mercado Dorantes Página 16

17 6. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el punto (,1) y radio r=3 (Utiliza Geogebra para trazar su grafica). ( x ) ( y 1) 9 7. En la ciudad de México se encuentra un reloj floral, que tiene una caratula floral de 10 metros de diámetro. Lo adornan 0 mil plantas de diferentes especies. Determina: a) La ecuación ordinaria de la circunferencia considerando que su centro esta en el punto P (6,) ( x 6) ( y ) La glorieta del paseo colon en la ciudad de Toluca tiene por ecuación en su base x y 4 x 4 y ; Determinar: a) La ecuación ordinaria b) Elementos (centro, radio) 9. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-1,0) y que es tangente a la recta 3x 4y 1 0. (Utiliza Geogebra para trazar su grafica). 10. Transformar la siguiente ecuación de una circunferencia, a la forma ordinaria, obtén las coordenadas del centro, la magnitud del radio y representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. x y x 4y 0 0 Roberto Mercado Dorantes Página 17

18 MODULO III PARÁBOLA En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias: 1. Construir e interpretar modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la parábola. Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer a la parábola como lugar geométrico.. Identificar los elementos asociados a la parábola. 3. Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen. 4. Identificar los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación. Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Determinar las condiciones necesarias para trazar una parábola.. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje x o y en la escritura de su ecuación 3. Obtener los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en el origen a partir de su ecuación. 4. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen. Roberto Mercado Dorantes Página 18

19 Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes al lugar geométrico de la parábola.. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos. Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Reconocer los elementos de la parábola como lugar geométrico.. Trazar parábolas por medio de distintos métodos. 3. Determinar la ecuación de una parábola vertical u horizontal con vértice en el origen. 4. Determinar el vértice, el foco y la directriz asociados a una parábola a partir de su ecuación. 5. Modelar situaciones en las que intervienen parábolas verticales u horizontales con vértice en el origen. Roberto Mercado Dorantes Página 19

20 Formas de la ecuación de una parábola a)ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje horizontal(forma canonica) b) Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje vertical(forma canonica) c)ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje horizontal(forma ordinaria) d) Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje vertical(forma ordinaria) y 4 px ;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda x 4 py ; p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre hacia arriba, si p<0 la parábla se abre hacia abajo. ( y k) 4 p( x h) ;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda ( x h) 4 p( y k) ;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda Ecuación de la directriz es x=-p,las coordenadas de su foco son F(p,0) y la longitud de su lado recto LR= 4 P Ecuación de la directriz es y=-p,las coordenadas de su foco son F(0,p) y la longitud de su lado recto LR= 4 P Ecuación de su directriz x=h-p, coordedenadas de su foco F(h+p,k), longitud de su lado rectolr= 4 P Ecuación de su directriz y=k-p, coordedenadas de su foco F(h,k+p), longitud de su lado rectolr= 4 P Roberto Mercado Dorantes Página 0

21 Forma general de la ecuación de la parábola Una ecuación de segundo grado en las variables puede escribirse en la forma Ax Cy Dx Ey F 0 x y que carezca del término en xy a) Si A=0.C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o coincide) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Cy Ey F 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas b) Si A 0, C=0 y E 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Ax Dx F 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas Evidencias de aprendizaje 1. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y foco el punto (3,0), obten ademas el valor de su lado recto y la ecuación de su directriz. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico) Resultado: Ecuación buscada y 1 x LR=1 Ecuación de la directriz x=-3. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y el eje vertical, pasa por el punto (6,3), obten ademas las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico) Resultado: Ecuación de la parábola x 1 y Coordenadas del foco F(0,3) Ecuación de la directriz y=-3 Longitud del ladorecto LR=1 Roberto Mercado Dorantes Página 1

22 3. Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la parábola con vertice en el punto (-4,3) y que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga ademas la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico) Resultado: Ecuación de la parábola ( y 3) 1( x 4) Ecuación de la directriz x=-7 Longitud del lado recto LR=1 4. Obtenga la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuya ecuación general es 4y Resultado: 48 x 0 y 71 0 y 5 1( x ) 5. Compruebe que la ecuación 4x 48 y 1 x Hallar todos sus elementos representa una parábola. Resultado Representa una parábola con eje vertical 3 7 x 1 y 3 1 Coordenadas del foco, 13 Ecuación de la directriz y Longitud del lado recto LR=1 Roberto Mercado Dorantes Página

23 6. Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 0 cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco, a qué distancia del vértice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces un bosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto (0,15). 7. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensión cuya forma es aproximada a una parábola. Los cables del tramo principal se suspenden entre dos torres que se encuentran separadas 1 80 metros y cuyo borde superior se ubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba del punto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuación que represente la forma del cable. Observa la figura. Roberto Mercado Dorantes Página 3

24 Módulo IV Elipse La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva. Elementos de la elipse Focos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'. Roberto Mercado Dorantes Página 4

25 Centro Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. Distancia focal Es el segmento semidistancia focal. de longitud c, c es el valor de la Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor Es el segmento semieje mayor. de longitud a, a es el valor del Eje menor Es el segmento semieje menor. de longitud b, b es el valor del Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Roberto Mercado Dorantes Página 5

26 Centro de simetría Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría. Relación entre la distancia focal y los semiejes Excentricidad de la elipse La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor. Roberto Mercado Dorantes Página 6

27 Roberto Mercado Dorantes Página 7

28 En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias: a) Construir e interpretar modelos sobre la elipse como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. b) Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas como distintas representaciones de la elipse con centro en el origen. Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: a) Caracterizar la elipse como lugar geométrico. b) Identificar los elementos asociados a la elipse. c) Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos. Roberto Mercado Dorantes Página 8

29 d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria. Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda de hilo, regla y compás. b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse con centro en el origen y con eje focal sobre algún eje coordenado, y conocer su efecto en la conformación de su ecuación. c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de su ecuación. d) Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen. Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: a) Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes a la elipse. b) Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. c) Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos. Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: a) Reconocer los elementos de la elipse como lugar geométrico. b) Trazar elipses por medio de distintos métodos. c) Determinar la ecuación de elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados. Roberto Mercado Dorantes Página 9

30 d) Determinar los elementos asociados a una elipse a partir de su ecuación. e) Modelar situaciones en las que intervienen elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X Ecuación Vértices Longitud del Longitud del Focos eje mayor eje menor ' x y V ( a, o), V ( a, o) a b F(c,0), F (-c,0) 1 a b ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y ' x y (0, a), V (0, a) 1 b a V a b F(0,c),F (0,-c) Elipse Horizontal Elipse Vertical Roberto Mercado Dorantes Página 30

31 Evidencias de aprendizaje 1. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como vértices y focos los siguientes puntos: V (6,0), V (0,-3), F (4,0) y F (-4,0), representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: x y Ecuación en su forma canónica 1: Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como focos los siguientes puntos: F (0,3), F (0,-3) y su excentricidad es 3 representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: Ecuación en su forma canónica x y Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria que tiene como focos los siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-) y vértices V (-4,-8), V (-4,0). representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: ( x 4) ( y 4) Ecuación en su forma ordinaria Roberto Mercado Dorantes Página 31

32 4. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro en C(-9,3) foco y vértice en F (-6,3),y vértices V (-4,3),obtén además su dominio y rango, representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: ( x 9) ( y 3) Ecuación de la elipse en su forma ordinaria Dominio x 14, 4 Rango y 1, 7 5. El centro de una elipse es el punto (-,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: ( x ) ( y 1) Ecuación de la elipse en su forma ordinaria c 15 Excentricidad e a 5 Coordenadas de los focos F ( 15, 1) y F ( 15, 1) 6. La forma general de la ecuación de una elipse es: 9x 4y 18 x 1 y 18 0.Redúzcala a su forma ordinaria; determine centro, focos, longitud de los ejes mayor y menor, lado recto y su excentricidad. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: 3 ( y ) ( x 1) Ecuación de la elipse en su forma ordinaria Centro C(-1,3/) 3 3 Focos F ( 1, 5) y F ( 1, 5) 3 3 Vértices V ( 1, 3) y V ( 3 ) Longitud del eje mayor LR=6 Roberto Mercado Dorantes Página 3

33 Longitud del eje menor Lm=4 5 Excentricidad e 3 7. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol, sabiendo que el semieje mayor de la elipse es millones de kilómetros y qué la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol. Respuesta: Máxima distancia 15 millones de kilómetros Mínima distancia 146 millones de kilómetros Roberto Mercado Dorantes Página 33

34 Modulo V Hipérbola Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto. Sus elementos son: Vértices: A y A Covértices: B y B Eje transversal: recta que contiene los focos Eje conjugado: recta que contiene a los covértices Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado O Roberto Mercado Dorantes Página 34

35 Roberto Mercado Dorantes Página 35

36 Ecuaciones canonícas de la hipérbola a) Se llama ecuación canoníca a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'(-c, 0) y F(c, 0) Cualquier punto de la hipérbola cumple: b) Ecuación canoníca de eje vertical de la hipérbola F ' ( 0, - c ) y F ( 0, c ) a=longitud del eje transverso b=longitud deleje conjugado c=distancia éntrelos focos Roberto Mercado Dorantes Página 36

37 c a b Formas de la ecuación de la hipérbola de centro (h, k) a) Eje focal paralelo al eje X ( x h) a ( y k) b b) Eje focal paralelo al eje Y ( y k) a ( x h) b c Excentricidad e 1 a Evidencias de aprendizaje 1 1 a) Los vértices de una hipérbola son los puntos V (3,0) y V ` (-3,0) y sus focos son los puntos F(5,0) y F`( -5,0). Determinar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su excentricidad, la longitud de cada lado recto, el dominio, rango y construcción grafica utilizando Geogebra. Respuestas: x y Ecuación Longitud deleje transverso LT=6 Longitud deleje conjugado LC=8 3 Longitud de cada lado recto LR= 3 5 Excentricidad e 1 3 Dominio x (, 3) (3, ) Roberto Mercado Dorantes Página 37

38 Ra ngo y (, ) b) Escribe la ecuación 9x 4y 36 0, en su forma canoníca y obtén todos sus elementos, con Geogebra representa su lugar geométrico. Respuesta: y x Ecuación en su forma canoníca Focos F(0, 13 ) y F(0, 13 ) Vértices(0,3) y V(0,-3) Extremos del eje conjugado (,0) y ( -,0) Longitud deleje transverso LT=6 Longitud del eje conjugado LC=4 Longitud de cada lado recto LR= Excentricidad e 1 3 Dominio x (, ) Ra ngo y (, 3) (3, ) c) Obtenga las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es: 4x 5 y 100 utilizando Geogebra representa su lugar geométrico. Respuesta: Ecuaciones de las asíntotas x x 5y 5y 0 0 Roberto Mercado Dorantes Página 38

39 d) Los vértices de una hipérbola están en los puntos ( -5,-3) y (-5,- 1) y los extremos del eje conjugado están en ( -7,-) y (-3,-). Obtenga la ecuación de la hipérbola así como las ecuaciones de las asíntotas. Respuesta: ( y ) ( x 5) Ecuación de la hipérbola x y 1 0 Ecuaciones de las asíntotas x y 9 0 e) Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es Solución Completando el cuadrado en ambas variables Por tanto, el centro está en y. El eje de la hipérbola es horizontal, Roberto Mercado Dorantes Página 39

40 Los vértices están en, los focos en y y la excentricidad es. La gráfica se muestra en la figura f) Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en y y asíntotas y. Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica. Solución Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son. Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas. Roberto Mercado Dorantes Página 40

41 Por tanto, la ecuación canónica es El valor de está dado por Los focos están en y y la excentricidad es La gráfica se muestra en la figura Roberto Mercado Dorantes Página 41

42 y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son -La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos. Roberto Mercado Dorantes Página 4

43 BIBLIOGRAFIA OCAMPO CONTRERAS, JÓSE, GEOMETRIA ANALITICA, U.A.E.M, MEXICO 011 LEHMANN, CHARLES, GEOMETRIA ANALITICA, LIMUSA, MÈXICO, 198 JIMENEZ, RENE, MATEMATICAS III, PEARSON, MEXICO, 011 VAZQUEZ SANCHEZ, AGUSTIN, GEOMETRIA ANALITICA, PEARSON, MÈXICO, 007 OTEYZA.LAM.HERNANDEZ.CARRILLO, GEOMETRIA ANLITICA, PEARSON, MEXICO, 005 Roberto Mercado Dorantes Página 43