Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero.

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1 Vectores. Dados los vectores a y b del espacio. Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. Por que?. No siempre será posible. El vector a x c, cualquiera que sea c, será perpendicular tanto al a como al c. Por tanto solamente podrá ser igual al b en el caso de que el a y el b sean perpendiculares. En este caso, basta con tomar un vector c que forme un Angulo cualquiera con el a y de modo que c b = 0 y además que Uno de los productos a x c o c x a deberá ser igual al b Dados en R 3 : u = (a,1,a), v = (0,a,1) y w = (2,1,1), a) Para qué valores de a son linealmente dependientes los tres vectores?. b) obtén en cada caso una combinación lineal de los mismos cuyo resultado sea el vector nulo y los coeficientes distintos de cero. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero. = Para a = 1 y para a = -2, los tres vectores son linealmente dependientes. Sistema homogéneo compatible indeterminado. soluciones con i 0 una combinación lineal será: -2 u + v + w para 3 = 1 Sistema homogéneo compatible indeterminado soluciones con i = 0 1 = 3 una combinación lineal será: u + v + w para 3 = 2 1

2 Dados los vectores de R 3 : u = (1,2,-1) y v = (2,1,0) añade un vector w para que los vectores u, v y w sean: a) linealmente independientes, b) linealmente dependientes. Dados los vectores u = (1, 2,0) y v= (2, 1, 1), encuentra un vector w de modulo y perpendicular a los dos anteriores. 9w y w y 2 + w y 2 = 35 ; 35w y 2 = 35 ; w y 2 = 1 ; w y = 1 w y = 1 ; w x = - 3 ; w z = 5 ; w = ( -3, 1, 5 ) w y = -1 ; w x = 3 ; w z = -5 ; w = ( 3, -1, -5 ) Dados los vectores u = (1, 4, x) y v = (0, 3, y), obtén x e y con la condición de que u y v sean perpendiculares y de que = x y = 0 y = x = 0 ; 4x = - 12 ; x = - 3 y= x = 0 ; 4x = 12 ; x = 3 2

3 Dados los vectores u (3,2,1), v(-1,0,2) y w(1,1,0) obtén: a) u (v + w) ; b) u x (v - w) ; c) u x (v+w) ; d) u (v -w) : a) u (v + w) = (3, 2,1) (0, 1, 2) = = 4 i j k b) u x (v - w) = = 5i - 8j +k i j k c) u x (v + w) = = 3i 6j + 3k d) u (v - w) = (3, 2,1) (-2, -1, 2) = = - 6 Dados los vectores u = (9, 3, 3) y v = (1, 2, 3), calcula: a) modulo de u y v respectivamente; b) producto vectorial de u y v; c) vector unitario de u y de v; d) área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v. (PAU). 3

4 Dados los vectores: u = (a, 1+a, 2a), v = ( a,1,a), w = (1,a,1) se pide: a) Determina los valores de a para los que los vectores u, v y w sean linealmente independientes. b) Estudia si x = (3,3,0) depende linealmente de los vectores u, v y w para el caso a = 2. Justifica la respuesta. a 0, 1, -1 los tres vectores son l.i. y siempre se podrá poner x como combinación lineal de u, v y w. Si x = (3,3,0) (3,3,0) = 1 (2,3,4) + 2 (2,1,2) + 3 (1,2,1) 3 = 2 (-3/2) + 2 (3/2) = 3 Las nuevas coordenadas del x serán x = (-3/2, 3/2, 3) Determina el modulo del vector v + w sabiendo que, u w = 4 y el ángulo que forman u con (v + w) es 60º 20 = 20v + w v + w= 1 4

5 Dos vectores unitarios u y v forman un ángulo de 60º. Hallar: a) su producto escalar. b) el vector proyección ortogonal de v sobre u. c) el vector proyección ortogonal de u sobre v. Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide: a) las coordenadas de los otros dos vértices; b) el área del paralelogramo. (PAU) D O C AB = OB OA= (0, 2, 0) (1, 1, 1) = ( 1, 1, 1) C (x, y, z) AC = (x 1, y 1, z 1) A B AO = (0, 0 1) (1, 1, 1) = ( 1, 1, 0) CD = (x +1, y +1, z 1) y AB = CD D (0, 2, 2) 5

6 En R 3, el vector x = (5,-1,2), es combinación lineal de los vectores u = (3,-1,2) y v = (1,0,4)?. Para que x sea combinación lineal de los vectores u y v es necesario que el rango de la matriz formada por los tres vectores sea 2, o lo que es lo mismo que no exista menor principal de orden 3 en la matriz = Como si existe menor principal de orden 3 rango A = 3 los tres vectores son linealmente independientes por lo que el vector x no es combinación lineal de u y v. En R 3, el vector x = (1,6,-5), depende linealmente de los vectores u 1 = (0,1,1), u 2 = (2,1,0), u 3 = (-1,1,-2)?. Es x combinación lineal de los tres?. El que un vector x dependa linealmente de otros tres vectores u 1, u 2, y u 3 es lo mismo que decir que x se puede poner como combinación lineal de los tres. x = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 (1,6,-5) = λ 1 (0,1,1) + λ 2 (2,1,0) + λ 3 (-1,1,-2) 11 2 = 3 λ 3 λ 3 = 3 y 6 = λ λ 1 = 1 Al ser los tres λ reales y únicos puedo asegurar que el vector x es combinación lineal de los otros tres. Estudia la dependencia e independencia lineal en R 3 de los vectores: u = (-1,3,4), v = (2,1,1) y w(-4,5,7) = 0 Al ser el determinante de orden 3 igual a cero No existe menor principal de orden 3 al calcular el rango de la matriz formada por los tres vectores los tres vectores son linealmente dependientes 6

7 Mostrar que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, mediante un ejemplo en el que se multipliquen de distintas formas los vectores de componentes (1;1;1), (1;0;0) y (1;2;3). Sean a = (1;1;1) b = (1;0;0) c = (1;2;3) Comprovemos que (a x b) x c a x (b x c) Se comprueba que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa. Obtén el producto mixto {u,v,w}sabiendo que u = (1,2,1), v = (-1,0,1) y w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2. Obtén un vector perpendicular a w = (-2, 3, 4) que tenga modulo 5 Hay más de una solución? Sea v v, v, v ) ( x y z una solución 0, 4,3 v Al ser 2 ecuaciones con 3 incógnitas habrá más de 7

8 Para qué valores de a el conjunto de vectores (1,1,1), (1,a,1) y (1,1,a) es una base de R 3?. Para que los tres vectores formen una base, es suficiente con que sean linealmente independientes y para ello Si a 2 2a + 1 = 0 Para todos los valores de a -1, los 3 vectores son l.i y forman una base. Para qué valores de m los vectores u 1 = (1,1,2), u 2 = (1,2,m) y u 3 = (m,0,0) no forman una base de R 3?. u 1 = (1,1,2), u 2 = (1,2,m) y u 3 = (m,0,0). Para que los tres vectores no formen una base, es suficiente con que sean linealmente dependientes y para ello Para los valores de m = 0 y m = 4, los 3 vectores son l.d y no forman una base. Prueba que en R 3 son linealmente independientes los vectores: u 1 = (1,0,0), u 2 = (1,a,0) y u 3 = (1,b,c) siendo a,b,y c numeros reales cualesquiera, distintos de cero. Para que sean linealmente independientes el determinante formado por los tres vectores ha de ser distinto de cero siempre que los vectores a,b y c sean 0 que es la con- dición del problema 8

9 Qué vectores son los que dan el producto escalar nulo al multiplicarlos por un vector a, no nulo?. Cuáles son los que dan un producto vectorial nulo (vector cero), al multiplicarlos vectorialmente por ese vector a?. a) Dado un vector a 0, partiendo de que a.b = a. b.cos Podemos observar que para que este producto escalar, se haga cero, será necesario que b = 0 o que cos = 0, es decir que b sea ortogonal al a. b) Cualquiera que sea la forma en que se defina el producto vectorial de dos vectores a y b, se sabe que el modulo del producto vectorial vale: a x b = a. b. sen Para que este vector a x b sea nulo hara falta que, o bien el b = 0, o bien que el sen = 0. Esto último quiere decir que los vectores a y b deberán formar un ángulo de 0 o de 180, o lo que es lo mismo, que el vector b debe ser paralelo al vector a ya que b =.a, R Razonar, que si los vectores a, b, c, son perpendiculares dos a dos, el producto escalar (a + b).(c + b) no puede ser negativo. Por ser los vectores perpendiculares dos a dos se verifica que a.b = 0; a.c = 0; b.c = 0 Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar (a + b).(b + c) = a.b + a.c + b.b + b.c = b.b = b 2 Evidentemente, el modulo al cuadrado de un vector no nulo, nunca podrá ser negativo. 9

10 Razonar porque si u, v, w son tres vectores del espacio que no están en el plano, el vector (v x u) x (w x u) tiene la misma dirección que el vector u. Si los vectores u, v y w son ortogonales, es decir perpendiculares dos a dos, vamos a ver cual es la dirección de los productos vectoriales v x u y w x u y posteriormente la dirección de los nuevos vectores resultantes. Sabiendo que en general, el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ellos. v x u es un vector en la dirección del vector w w x u es otro vector en la dirección del vector v (v x u) x (w x u) será por tanto un vector perpendicular al w y al v, es decir en la dirección del vector u. Sea el vector v = e 1 2e 2 + 3e 3, expresado en una base cartesiana. Hallar: a) sus proyecciones ortogonales sobre cada uno de los vectores de la base, b) los ángulos que forma el vector v con cada uno de los vectores de la base. 10

11 Si B={u 1, u 2, u 3 } es una base de v 3 en donde u 1 u 1 = 3 ; u 2 u 2 = 2 ; u 3 u 3 = 1, u 1 u 2 = 3, u 1 u 3 = 3, u 2 u 3 = 6; cuánto ha de valer a para que el vector u = 2 u 1 + u 2 - u 3 sea ortogonal al v = u 1 - au u 3? u v ; u v = 0 2 u 1 u 1 + u 2 ( -a u 2 ) + (- u 3 ) 2 u 3 u v = 2 u 1 u u 1 ( -a u 2 ) + 2 u 1 u 3 + u 2 u 1 + u 2 ( -a u 2 ) + u 2 2 u 3 + (-u 3 ) u 1 + (-u 3 ) ( -au 2 ) + (-u 3 ) 2 u 3 = 2 3 2a a a 2 = = 28 2 a 28-2a = 0 a = 14 Siendo a y b dos vectores cualesquiera del espacio, probar que el producto escalar de a + b por el a x b, es siempre cero. Supongamos que a y b son distintos de cero. Al ser el vector a x b perpendicular al plano formado por los dos vectores a y b, lo será tam-bien al vector a + b (a + b).(a x b) = Si alguno de los vectores a o b vale 0, el producto vectorial a x b es 0 y nos queda que (a + b). 0 = 0 Un vector de modulo 10 se descompone en suma de otros dos de módulos iguales y que forman un ángulo de 45. Halla el modulo de cada uno de los vectores sumados. PAU. u = v + w u = w u = 10 α( u, v ) = 45 w u v 11

12 12

13 Recta y plano. Posiciones relativas Calcula el valor de m para que sean paralelos la recta r y el plano de ecuaciones: (PAU). Busquemos la recta r en paramétricas y su u r r : 2x = y x = - ½ + 3/2 y - ½ + 3/2 y + y z = 2 z = - ½ /2 y + y z = - 5/2 + 5/2 y u r = (3/2, 1, 5/2) = (3, 2, 5) y n π = (m, -1, 1) Para que r ǀǀ π u r n π u r n π = 0 ; 3m = 0 3m + 3 = 0 m = -1 Además podemos asegurar el paralelismo, viendo que el A(- ½, 0, - 5/2) r pero - (- ½ ) 0 5/2 5 0 luego A no pertenece al plano r ǀǀ π Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el punto (1, 1, 1) y el vector ( 0, -5, 3) y que pasa por el punto P (1, 0, -5). A (1,1,1) u r ( 0, -5, 3) u π = K. u r = ( 0, -5, 3) α (x, y, z) v π = AP = (0, -1, -6) u π, v π y AQ son l.d. AQ = (x - 1, y 1, z - 1) 33 ( x - 1) = 0 ; x - 1 = 0 ; π x = 1 13

14 Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto p( 1, 0, -1), es paralelo a la recta, y es perpendicular al plano 2x - y + z + 1 = 0 El punto P( 1, 0, -1) al plano pedido. Como r es paralelo al plano u r es paralelo al u, es decir, u = k u r Como u r = ( 2, 1, 0) Como el plano dado es perpendicular al pedido el n vector característico de y el v deberán de ser paralelos. v = k n ; Como 2x - y + z + 1 = 0 n = ( 2, -1, 1) v = ( 2, -1, 1) Si Q( x, y, z) es un punto genérico de, PQ, u, v son linealmente dependientes. x - 1-2y 4 (z + 1) = 0 x - 2y - 4z - 5 = 0 Considera la recta de ecuaciones paramétricas y los puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2). Determina la posición relativa de r y la recta que pasa por P y Q. a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q. u s = PQ = (0, -2, 0) Para calcular la posición relativa entre r y s, se calcula el Como A(-1, -1, 1) AP = (2, 2, 1) ; u r = (2, 1, 0) y u s = (0, -2, 0) r y s se cruzan en el espacio 14

15 Considera la recta Determinar a para que el plano π, de ecuación 2x + y + az =b sea paralelo a r. Determinar para que valor de b, la recta está contenida en el plano. n π u r n π u r si r π n π u r = 0 π 2x + y + az b = 0 n π = (2, 1, a) - x - 2 ( z) = - z => - x + 2 4z = - z => x = 2 3z u r = ( -3, 2, 1) ; n π u r = 0 ; 2 (-3) = 0 ; a = 0 ; a = 4 => r a Si quiero que r π obliguemos que A r π ; A r cuyo u r = ( 2, -1, 0) (-1) = b ; b = 3 15

16 Considera las rectas Determinar m para que las rectas se corten. Hallar el punto de corte. u r = (2, -1, 2) A (2, -1, l -m) u s = (-3, 4, -1) B (1, -1, 5) AB = (-1, 0, 5+m) (5 + m) 3 (5 + m) + 8 = 0 5 (5 + m) + 7 = 0 ; 5 + m = - 7/5 ; m = -7/5-5 ; m = - 32/5 Además no son paralelos pues u r u s para m = - 32/5 y m ya que Para hallar el punto de corte ponemos r y s en paramétricas, - 5 = -1 ; = 1/5 P(1-3/5, /5, 5-1/5) = (2/5, -1/5, 24/5). Cuáles son las condiciones para que un plano dado por su ecuación en forma implícita, sea paralelo a la dirección de un vector dado por sus coordenadas?. Por que?. Sea ax + by + cz + d = 0 el plano y sea v = (v 1,v 2,v 3 ) el vector. Para que el plano y el vector sean paralelos, es necesario y suficiente que el vector normal al plano w = (a,b,c) y el vector v sean ortogonales. w v = 0 ====> a v 1 + b v 2 + c v 3 = 0 16

17 Dada la recta de ecuaciones explicar el significado geométrico de (3y - z - 2) + (x + 2y + z - 1) para todo perteneciente a R Al venir la recta dada por sus ecuaciones reducidas, esto nos indica que la recta viene dada por la intersección de dos planos. Si en cada uno de los planos, pasamos el término independiente al primer término y realiza-mos una combinación lineal de ambos, nos queda: (3y - z - 2) + (x + 2y + z - 1) que nos representa la ecuación del haz de planos que tiene por base a la recta dada. Dada la recta en paramétricas halla: a) una ecuación en forma continua, b) una de sus expresiones implícitas, c) dos puntos diferentes de dicha recta. a) En forma continua: b) En implícitas: c) Para = 0 A(3, -1, 2) Para = 1 B(4, 3, 1) punto P. que es perpendicular a la recta r y contiene al Pasamos la recta a paramétricas y sacamos su vector director: u r ( - 2, 1, - 1/2 ) = ( 4, - 2, 1) y el A(7, 0, 2) u r = n π Con esta igualdad para que el plano sea perpendicular a la recta e imponiendo la condición de que pase por el punto dado P (1, 2, 3) hallamos el plano: 4 (1) 2 (2) + 3(1) + d= 0 d= - 3 Plano => 4x - 2y + z - 3 = 0 17

18 Dadas las rectas Calcular el valor de a para que las dos rectas estén en el mismo plano. Para que las rectas estén en el mismo plano lo único que no pueden hacer es cruzarse, es decir En caso contrario ó son coincidentes ó son paralelos ó se cortan en un punto. De r : De s: B ( 0, - 13/3, - a + 3/2) u s = ( 1, 2/3, 1/2) ( 6, 4, 3) AB = ( -1, -13/3 3, -a + 3/2 + 2) = ( - 1, - 22/3, -a + 7/2) ( -a + 7) + 9 ( -a + 7) a a a / 13 Para a = / 13 coincidentes pues r y s se cortan para este valor de a, ya que no pueden ser paralelas ni u r K. u s 18

19 determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. u s u s u s = k u s = (-2, -2, 3) para k =1 Si P(x, y, z) es un punto genérico del plano y A π 4 (x + 2)+ 7(y - 1) 2 (z + 1) =0 => π 4x + 7y - 2z - 1 = 0 19

20 Dadas las rectas Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. Si consideramos el plano del papel como el pedido y en él dibujamos la recta r y paralela a él la recta s. Dibujamos una recta s paralela a s y contenida en el plano cuyo vector u s es proporcional a u s. u s Si buscamos en r un punto base A r s r y su u r, elegimos un punto genérico del plano P(x,y,z) y calculamos el Us A x u r vector AP, llegamos a la conclusión s de que AP, u r y u s, son linealmente P dependientes AP= u r + u s => Calculamos u s : Restamos los dos planos, elimino la y, y despejo x Calculamos u r y A : Sumamos los dos planos, elimino la y, y despejo la x AP = (x, y - 1, z) 27x + 17y 23z 17 = 0 20

21 averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r. Razona la respuesta A x x C xb u r Calculamos la recta s que pasa por A y B y luego comprobemos si corta o no a la recta r u s = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4) x = 1 + 2/3 z y = x 1 + z = 1 + 2/3 z 1 + z y = 5/3 z Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del u r y del u s con lo que AC = ( 3, 4, 3 ) 21

22 puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2), halla la posición relativa de r y la recta s y los determinada por P y Q. (PAU). Calculemos la recta s que pasa por P(1,1,2) y Q(1,-1,2), u s = PQ = (0, -2, 0) Como u r = (2, 1, 0) y A(-1, -1, 1) AP = ( 2, 2, 1) r y s se cruzan calcula a y b de modo que: a) r y sean secantes. En qué punto se cortan?. b) r y sean paralelos, c) r este contenida en. (PAU). : x + y + az = b n π = (1, 1, a). Calculamos u r n π = (-1) (-2) a = - 2a Si -2a = 0 a = 0 A(2, 0, 4) r ; = b b = 2 A π Para a = 0 y b = 2 r π Para a = 0 y b 2 r paralela a π Para a 0 y b r incide en π 22

23 Dados, el plano x y + z + k = 0, donde k ϵ R, y la recta se pide: a) Demuestra que para cualquier k ϵ R, la recta r es paralela al plano Л. b) Determina el valor de k ϵ R de forma que la recta r esté contenida en el plano Л. a) n л = (1, -1, 1) u r = (2, 1, -1) A = (3, -1, 0) Para que л sea paralelo a r; u r n л = = = 0 y no depende del valor de k. b) Sustituyo el punto A de la recta en la ecuación del plano para que r esté contenida en el plano, porque si A (punto de la recta) pertenece también al plano, r pertenecerá al plano (-1) k = 0; k = -4 para este valor de k, r estará contenida en Л x y + z - 4 = 0, ya que el punto A sustituido en la ecuación del plano hace que esta se verifique. Para que se corten en un punto rg C = rg A = 3 = nº incognitas. a ; 0 existe m.p. de orden 3 rg C = rg A = 3 = nº incognitas Los três planos, β y ɣ se cortan en 1 punto. a perteneciente a R 23

24 Estudiar la posición relativa de los mismos según los valores de m. Para estudiar la posición relativa de 3 planos, veamos cuánto valen los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada según los valores de m. Los valores a discutir son m = 1, m = -2 y m 1, -2 Es obvio que los 3 planos son coincidentes = => rg C = 2 Ampliemos con los términos independientes: Sistema incompatible, no existen soluciones de corte. Geométricamente se observa que los planos no son paralelos dos a dos. Por lo que los planos solo pueden estar formando un triedro. m -2, 1 C 0 rgc = 3 y el rga = 3 pues no existen menores de orden 4. Si rgc = rga = nº de incógnitas = 3 Sistema compatible determinado existe una única solución que geométricamente indica que los 3 planos se cortan en un punto. 24

25 Dados los planos Estudiar la posición relativa. rag C = 3, existe menor principal de orden 3 en C rag A = 3, no existe menor principal de orden 4 en A Л 1, Л 2, Л 3 se cortan en un punto porque rgc = rga = 3 = nº de incógnitas, existe solución única que es el punto de corte. : 2x + 3y 5z + 6 = 0 Sustituimos la x, y y z de las paramétricas de la recta en las del plano 2 (2 + ) + 3 (3-2) 5 (4-3) + 6 = λ λ λ + 6 = 0 11 λ 1 = 0 λ = 1 / 11 El punto de intersección se obtiene sustituyendo λ en las paramétricas de r C (2 + 1/11, 3 2/11, 4 3/11) = (23/11, 31/11, 41/11) 25

26 Determinar la ecuación de un plano que pasa por el punto (1, 0, 2) y es El plano pedido tendrá como vectores dirección los proporcionales al u y al v y tomando un punto genérico P(x,y,z), el vector AP pertenecerá también al plano. ==> 5.(x - 1) - 3y - (z - 2) = 0 El plano será : 5x - 3y - z - 3 = 0 Determinar el valor de a para que los puntos (1, 2, -1), (a, 3, 0) y (2a, 5, 2) estén alineados. Hallar las ecuaciones de la recta que determinan para ese valor de a. Para que tres puntos A, B y C estén alineados, será necesario que AC = AB AB = (a - 1, 1, 1) AC = (2a - 1, 3, 3) 2a - 1 = 3a - 3 ==> a = 2 Si a = 2 el vector AB = (1, 1, 1) r 26

27 Determinar la posición relativa de las rectas: ==> u r = ( 3, 4, 1) ; u s = ( 3, 4, 1) ; AB = (5, 5, 0) r y s son paralelas 27

28 Determinar la posición relativa de las rectas: AB = (1, 2, 0) (- 4, 7, 0) = (5, -5, 0) = 2 => 28

29 La recta t que corta a las rectas r y s vendrá dada como intersección de dos planos y ' - 6x 2y + 2z + 4 = 0 3x + y - z - 2 = 0 x - 2y + z - 3 = 0 29

30 Discute y resuelve según los valores de m, la posición relativa de los siguientes planos, indicando las figuras geométricas que determinan. π 1 x y = 1 ; π 2 2x + 3y 5z = - 16 ; π 3 x + my z = 0 m = 0 m.p. orden 3 en C ; m.p. orden 2 en C rg C = 2 Si rg C < rg A sistema incompatible, no existe ningún punto de corte Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que siempre se cortan en rectas. En este caso podemos asegurar que los tres planos se cortan 2 a 2 en rectas paralelas (Triedro de planos) Si m 0 C 0 existe m.p. orden 3 en C rg C = 3 Como no existe menor de orden 4 en A rg A = 3 Si rg C = rg A = nº incognitas sistema compatible determinado solucion unica. Los tres planos se cortan en un punto. 30

31 Discute sin resolver, según los valores de m, la posición relativa de los siguientes planos, indicando las figuras geométricas que determinan. π 1 x y mz = 1 ; π 2-3x + 2y + 4z = m ; π 3 - x + my + z = 0 m = 1 m.p. orden 3 en C ; rg C < = -1 0 m.p. orden 3 en A rg A = 3 Si rg C < rg A sistema incompatible, no existe ningún punto de corte Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que los planos π 1 y π 3 son paralelos ya que y π 2 los corta a cada uno en rectas paralelas Si m 1 0 m.p. orden 3 en C rg C = 3 Como no existe menor de orden 4 en A rg A = 3 Si rg C = rg A = nº incógnitas sistema compatible determinado solución única. Los tres planos se cortan en un punto. 31

32 Escribe la ecuación implícita de un plano que pasa por el origen de coordenadas y que es paralelo a las rectas y x = y = z u π = k u r u r O v π = k u s A x B x u s Como u r = (2, 3, 4) y u s = (1, 1, 1), al proyectarlos paralelamente sobre el plano pedido, podremos asegurar que u π = k u r = (2, 3, 4), que v π = k u s = (1, 1, 1) y que el OP = (x, y, z) P Como OP, u π y v π deben de ser l.i 3x + 3y + 2z 3z 2y 4x = 0 - x + 2y z = 0 π x 2y + z = 0 Escribir la ecuación de una recta paralela al eje OY y que pasa por el punto (1, -2, 3) Como r al eje OY u r = k (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y como A(1, -2, 3) r 32

33 (PAU). (-1, -3, 5) r y s se cortan en un punto P. 2 3t = 1 - λ 3 + 5t = 2 λ t = 5 P( 2 15, , 5) = (-13, 28, 5) t = 5 es vacía, o se trata de un punto, de una recta o de otra figura. Vamos a calcular los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada que forman mis tres planos = 0 rg C = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en C = 0 rg A = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en A rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas ==> sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones, las cuales representan los infinitos puntos de la recta común a los tres planos. 33

34 r: (-2, -12, -4) No existe m.p. orden 3 r y s se cortan en un punto P (0, -12, -5) 34

35 cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en cada caso, los puntos de corte. AB = (-1, -2, 8) m.p. orden 2 AB = (-1, -2, 8) AB = (-1, -2, 8) 35

36 Estudiar la posición relativa de las rectas r y s, según los valores de b : r : = = s : = = u r = (3, 4, -1) A= (2, 1, -6) u s = (-6, b + 2, 2) B= (-1, 1, 3) AB = (-3, 0, -9) Calculemos el rg ; = (b + 2) (b + 2) = = b b 6 = 24b + 144; C = 0 24b = 0; 24b = -144; b = - 6 Si b = - 6 3x3 = 0 m.p. orden 3; Como = m.p. orden 2 Luego rg = 2 Calculamos rg rg 1 Ya que m.p. orden 2 Si rg = 1 y rg = 2 r y s son paralelas b - 6 3x3 0 m.p. orden 3 rg = 3 r y s se cruzan 36

37 Si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas; sistema compatible indeterminado; soluciones Los 3 planos se cortan en una recta que forma parte del haz de planos. Existe algún plano que pase por los puntos A(1,-1,3), B(2,-2,0) y C(3,-3,-3)?. Por qué? Depende de si los puntos están alineados en una recta en donde existirán infinitos planos pertenecientes al haz de planos o de que los puntos no estén alineados en cuyo caso existirá un único plano. Para ver si están o no alineados AB y AC deben o no ser proporcionales Al ser proporcionales los vectores están alineados en una sola recta de vector dirección u r = AB y punto base el A La ecuación del haz de planos sera: λ (x + y) + µ (3x 3z) = 0 (λ + 3µ) x + λ y - 3µ z = 0 37

38 Expresa la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(2,-3,1) y tiene como vector dirección v = (3,-2,0) : a) En forma vectorial, b) en forma paramétrica, c) en forma continua, d) en forma implícita o cartesiana. a) E. vectorial (x, y, z) = (2, -3, 1) + λ (3, -2, 0) Expresa la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(3,-1,-2) y B(1,4,-5) en forma de: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua, d) cartesiana. = AB = OB OA = ( 1 3, 4 + 1, ) = (-2, 5, -3) a) (x, y, z) = (3, -1, -2) + λ (-2, 5, -3) 38

39 Hallar la ecuación de un plano que pasa por Q(1,-2, 0) y que pertenece al haz de arista: El haz de planos se halla a partir de las reducidas de r. 2x + 6y 1 + ( 6x z 4 ) = 0 pasa por Q ( - 2) 1 + λ ( ) = 0 ; λ = 0 ; λ = 2x + 6y 1 + ( 6x z 4 ) = 0 ; 4x + 12y x 11z 44 = 0 70x + 12y 11z 46 = 0 Hallar la ecuación de un plano paralelo a : 5x y + 3z - 1 = 0 que pase por el punto Q (-12, 1, 4) // n = k n n = (5, -1, 3) n = (5, -1, 3) 5x y + 3z + d= 0 Para que pase por Q (-12, 1, 4) 5 (-12) (4) + d = 0-1/9 + d = 0 d = 1/9 5x y + 3z + 1/9 = 0 39

40 Hallar la ecuación general del plano paralelo a las siguientes rectas y que pasa por (0, 0,0): Se halla el vector director de cada una de las rectas: De r: A (0, -1, 0) u r (1, 1, 1) De s: B (2, 2, -1) u s (3, 0, 0) Se halla el plano con el punto (0, 0, 0) y los vectores de las anteriores rectas: Hallar la ecuación implícita del plano determinado por el punto A(1,-2,5) y los vectores u = (2,0,3) y v = (1,-1,2). (PAU). AP = (x 1, y + 2, z 5), u π y v π deben de ser l.d para que sean coplanarios. 3 (x 1) (y + 2) 2 (z 5) = 0 3x y 2z + 5 = 0 40

41 Hallar la intersección de la recta r, determinada por los puntos: A(1, 6, 3) y B(2, 6,0), con el plano: x y + 3z = 2 El punto P pedido se calcula intersectando la recta r que pase por A y B con el plano. P = r л Para calcular r, calcularemos u r = AB = = (2-1, 6-6, 0-3). u r = (1, 0, -3) y con A (1, 6, 3) como punto base escribiremos las paramétricas de r. 1 + λ (3-3λ) = 2; 1 + λ λ = 2; -8λ = -2 ; Hallar la posición relativa de una recta r y el plano : 4x-7y+5z = 0. En su caso hallar el punto de corte. Pasemos a paramétricas la recta r: Sustituimos las paramétricas de r en la ecuación del plano para calcular el punto de corte, si es que existe. 4 (1/2) 7 (- 1/2 + λ) + 5 λ = 0; 2 + 7/2-7 λ + 5 λ = 0 11/2 = 2 λ; λ = 11/4 único r y se cortan en 1 punto. P( ½, - 1/2 +11/4, 11/4 ) P( ) 41

42 Hallar la ecuación de una recta que pasa por P (0, 0, 2) y corta a las rectas siguientes: ; s: u r = (5, 2, 1) A r = (- 2, 4, - 1) u s = (4, - 2, 3) B s = (0, 0, 0) - 10 x + 13 y + 24 z 48 = 0 x + 2 y = 0 Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(1,1,-1), B(2,-2,3) y C(1,0,2) en todas las formas posibles. Elegimos como punto base el A y como vectores dirección el AB y el AC AP = (x-1, y-1, z+1) ; u π = AB = (1, -3, 4) ; v π = AC = (0, -1, 3) Ecuación vectorial : (x, y, z) = (1, 1, -1) + λ (1, -3, 4) + μ (0, -1, 3) Ecuación paramétricas : -5 (x 1) - 3 (y - 1) (z + 1) = 0 5x + 3y + z - 7 = 0 42

43 La ecuación en forma continua de una recta es: Determina a) su vector dirección, b) su ecuación en forma paramétrica, c) Tres puntos distintos que pertenezcan a dicha recta. a) u r = (2, -3, 5) b) c) Para λ= 0 A( 1, 0, 2) Para λ= 1 B(3, -3, 7) Para λ= -1 C(-1, 3, -3) Obtén la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación: x = 1-2 r : y = y un punto A(-3,0,2) exterior a ella. z = 3 - El vector u r = ( -2, 3, -1) pertenece también al plano pedido u π = u r El punto B (1, 2, 3) perteneciente a la recta y al plano junto con el punto A que no es de r pero si del plano, me dan el otro vector dirección del plano v π = AB = (4, 2, 1) Además puedo tomar como vector genérico el BP o el AP = ( x + 3, y, z 2) Como los tres vectores deben de ser l.d 43

44 Prueba que los puntos A(3,-2,1), B(2,2,-3) y C(1,1,0) no están alineados y halla la ecuación del plano que determinan. (PAU). AB = (2-3, 2+2, -3-1) = (-1, 4, -4) = u π AC = (1-3, 1+2, 0-1) = (-2, 3, -1) = v π AP = (x-3, y+2, z-1) u π y v π son l.i, mientras que según la definicion de plano, u π, v π y AP son l.d 8 (x 3) + 7 (y + 2) + 5 (z 1) = 0 El plano pedido tiene de ecuación general: 8x + 7y + 5z 15 = 0 Sea el triangulo de vértices A(1, 0,1) ; B (1, 1, 0) ; C (0, 1, 1). Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que determinan. A C Recta AB: AB = (0, 1, -1) pasa por A B Recta AC: AC = (-1, 1, 0) pasa por A Recta BC: BC = (-1, 0, 1) pasa por B Plano ABC: u = AB = (0, 1, -1) AP = (x 1, y, z - 1) v = AC = (-1, 1, 0) 1 ( x - 1) + 1 y + 1 (z - 1) = 0 ; x y + z - 1 = 0 ; x + y + z 2 = 0 44

45 en estan respectivamente. indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tienen mayor área. A = r п 1 п 1 x = 0; 12 + λ = 0; λ = 12 A(0, 30, 30) B = r п 2 п 2 y = 0; λ = 0; 2 λ = 6; λ=3 B(15,0,15) C= r n п 3 п 3 z = 0; λ= 0; 3 λ= 6; λ= 2 C(10, 10, 0) Se encuentra B entre A y C?. B no está entre AyC Se encuentra C entre A y B? C está entre A y B El DAB tiene mayor área que el DAB y que DCB ya que es la forma de estos dos. Sean A (m-2, m, -5), B (m, 1, -5) y C (-1, 3, m) los vértices de un triángulo ABC, cuánto vale m para que el triángulo sea rectángulo en B? BA ortogonal a BC BA BC = 0 BA = OA OB = (m - 2, m, -5) (m, 1, -5) BA = (-2, m - 1, 0) BC = OC OB = (-1, 3, m) (m, 1, -5) = (- 1 - m, 2, m + 5) BA BC = -2 (-1 - m) + (m - 1) = m + 2m 2 = 0 ; 4m = 0 ; m = 0 45

46 2x + y + mz = n. Se pide: a) Para que valores de m y n, r y son secantes?. b) Para que valores de m y n, r y son paralelos?. c) Para que valores de m y n, contiene a la recta r?. Primero calcularemos la matriz de coeficientes y ampliada resultante del sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano. Para que r y sean secantes, será necesario que exista un solo punto de corte, es decir que rg C = rg A = nº de incógnitas y para ello será necesario que Para que r y sean paralelos, será necesario que no exista ningún punto de corte, es decir que rg C = 2 y que rg A = 3, con lo que el sistema será incompatible y para ello será necesario que Para que la recta este contenida en el plano, será necesario que existan puntos de corte, es decir que rg C = rg A =2 nº de incógnitas, con lo que el sistema será compatible indeterminado y para ello será necesario que Se consideran 5 puntos cuyas coordenadas son: P 1 (1, - 1, 2) ; P 2 (- 2, 2, 3) ; P 3 (- 3, 3, 3) ; P 4 (- 3, 3, 0) ; P 5 (- 3, 4, 3). Contesta de forma razonada a la siguiente pregunta: forman parte de un mismo plano? Calculamos el plano que pasa por 3 de ellos: P 1, P 2, P 3 - (x 1) (y + 1) = 0 ; x + y = 0 46

47 Se consideran el plano π : x + ay + 2az = 4 y la recta Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos x + ay + 2az = 4 n π (1, a, 2a ) x z + 2z = 2 => x = 1 5z n π u r = a + 2a = a = 0 a = 1 y el n π ( 1, 1, 2) Además (1 1) + (1 1) + (2 0) 0 r // 47

48 Se consideran las rectas: Determina m de manera que las rectas se corten. Halla el punto de corte. A( 2, -1, -m ) B( 1, -1, 5 ) u r = (2, -1, 2) u s = (3, 4, -1) AB = ( -1, 0, 5 + m ) 11 m + 62 = 0 m = el rango es 2 y como los vectores dirección son l.i, podemos asegurar que las rectas se cortan en un punto. Para calcular el punto de corte sustituimos el valor de m = las igualamos a las paramétricas de s. en las paramétricas de r y 2 + 2λ = 1 + 3µ 2λ - 3µ = λ = µ - 8µ - 3µ = - 1 µ = 1 / 11 - (-62/11) + 2λ = 5 - µ λ + 4µ = 0 Y sustituyendo µ en la recta s saco el punto de corte P(1 + 3/11, /11, 5 1/11) P( 14/11, - 7/11, 50/11 ) 48

49 Problemas métricos en el espacio Calcular el ángulo que forman los planos (PAU). = arc cos 0 = 90 P (0, λ, 0) π ε r x P u s = u π S u t = v π A x Q x + y = 1 y = 1 x x = λ s ; y = 1 λ A (0,1,1) 2x z = -1 z = 1 + 2x z = 1 + 2λ u s (1,-1,2) t y + z = 1 y = 1- x x = 0 t ; y = 1 λ u s (0,-1,1) -x + y + z = 1 x = 0 z = λ El plano pedido π se calcula con los vectores AQ, u π y v π x y 1 z 1 π = 0 x (y 1) (z 1) = 0 π x y z + 2 = Y obligando a que P(0, λ, 0) sea de π - λ + 2 = 0 ; λ = 2 P (0,2,0) 49

50 Calcular la distancia del punto P(1, 3, 2) a la recta: Pasamos r a paramétricas => ; y = u Comprueba que los puntos A(0, 1, 0) B(2, 1, 1), C(-1, 3, -2) y D(-2, -1, 0) no son coplanarios y determinar el volumen del tetraedro. Si A, B, C y D no son coplanarios AB OB OA AB rg AC 3 AD 1 V tetraedro 6 2,0,1 AB AB AD paralelipedo ; AB, AC yad son li. AC OC OA ( 1,2,.2) AD OD OA ( 2, 2,0) = l.i. V AB AC AD u

51 Considera el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla el área de una de sus bases, el volumen del paralelepípedo y la distancia entre las bases. (PAU). H G E F D C A B Como AE = (0, 1, 6) Como d(π 1, π 2 ) = d ( E, π 2 ) 3 (z 1) = 0 3z 3 = d(π 1, π 2 ) = d ( E, π 2 ) = = ---- = 6 u Para hallar los puntos R ε r d(p,r) = d(q,r) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1) PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1) y QR = ( α, α, -1) El punto R es R(1, 0, 1) 51

52 Considera la recta de ecuaciones a) De entre los planos que contienen a la recta r, escribe la ecuación cartesiana del plano que es paralelo a la recta s: x = y 1 = z + 2. b) Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano obtenido en el apartado anterior (esto es, la recta intersección del plano obtenido en el apartado anterior con el plano que pasa por r y es perpendicular a ). A u r r El plano pedido es el del papel que contiene a r y es paralelo a s P Si u r = (2, 1, 2) y A(1, 1, 2) ε r ε π y u s u s = (1, 1, 1) s Para calcular la proyección ortogonal de una recta que se encuentra en un plano, sobre el mismo plano, no tenemos que realizar ningún calculo, ya que la recta s proyección de r es la propia y mismísima r r π 52

53 (PAU). a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q. Como u s = PQ = (0, -2, 0) => Como A(-1, -1, 1) AP = (2, 2, 1) ; u r = (2, 1, 0) y u s = (0, -2, 0) Para hallar los puntos R ε r d(p,r) = d(q,r) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1) PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1) y QR = ( α, α, -1) El punto R es R(1, 0, 1) 53

54 Considerar un cuadrado cuyo centro es el punto C ( 1,1,-1) y tiene uno de sus lados en a) Calcular la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado. b) Calcular la longitud del lado del cuadrado. (PAU). U r CP, y son l.d C P A -2( x - 1) + 2(y - 1) + z + 1=0-2x 2y z + 1= 0 Л= -2x 2y z + 1= 0 = 6 = 3 u 54

55 Consideremos el plano de ecuación 20x + 15z 60 = 0 a) hallar las ecuaciones de los ejes ox, oy. oz. y los cortes de estos con el plano. b) la distancia entre la recta OB y el eje ox. c) la distancia entre la recta AB y el eje OZ Lo primero es escribir las ecuaciones de los ejes OX, OY OZ. B (0,, 0) es un punto cualquiera de OY B (0, 0, ) es un punto cualquiera de OZ Hallamos los puntos de corte con el plano A: OX pertenece a ; = 0 ; 20 = 60 ; = 3 ; A(3,0,0) B: OY pertenece a ; = 0 ; 12 = 60 ; = 5 ; B(0,5,0) C: OZ pertenece a ; = 0 ; 15 = 60 ; = 4 ; C(0,0,4) C como la recta OB y el eje OX se cortan en (0,0,0) B La mínima distancia será 0 A La distancia entre la recta AB y el eje OZ estará entre el punto O(0,0,0) y la recta AB. Calculamos un plano a AB que pase por O. U AB es paralelo al n del plano buscado. O AB = (-3,5,0) ; n = k AB = (-3, 5,0) k = 1 d B - 3x + 5y + D = 0 ; al pasar por O(0,0,0) 0 + D = 0 ; D = 0 M luego - 3x + 5y = 0 A M AB perteneciente a La recta AB en paramétrica vale sustituyendo en -3 (3-3) = 0 ; = 0 ; 34 = 9 ; ; M(3,, 0) = (0,AB ) = d(o,m) = = = 55

56 Considérese la siguiente figura, siendo: A(1,1,0) D B(-1,-1,-1) C(2,2,0) Se pide: a) Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo. b)área de éste paralelogramo. a) Llamemos a las coordenadas de D(x, y, z).para ser paralelogramos sus lados de-ben ser paralelos dos a dos, es decir BA y el CD deben de ser paralelos e iguales. BA = (1+1, 1+1, 0 +1) = (2, 2, 1) CD=(x - 2, y - 2, z) D(4,4,1) b) A partir de la expresión geométrica del producto vectorial de dos vectores, BA x BC = S paralelogramo A Como BC = (2+1, 2+1, 0+1) = (3, 3, 1) B Dada la recta definida por: a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r a) b) 56

57 r ' y que, el 'corte a en la recta s s // al plano OXY z = 0 El plano es uno de los planos del haz que contiene a la recta r, es decir ' x (y -3) = 0 (, -1, 1 - ) r // plano OXY u r // z = 0 u r n = = 0 ; = 1 y sustituyendo en el haz de planos ' x (y - 3) = 0 ; x + y - 4 = 0 57

58 (PAU). π plano OXY z = 0 r π ↄ r y π π A A(1, -1, 0) u r = (2, -1, 3) u r n π P u π = u r = (2, -1, 3) v π = n π = (0, 0, 1) y AP = (x 1, y + 1, z) - (x 1) 2 (y + 1) = 0 x + 2y + 1 = 0 58

59 x 1 y + 2 z 1 x + 2 y 3 z - 2 Dadas las rectas r: = = s: = = a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Hallar la distancia entre ellas Para estudiar la posición relativa de dos rectas debemos calcular el rg donde A r y B s. AB u r u s A (1, -2, 1) B (-2, 3, 2) r s AB = (-3, 5, 1) u r = (3, 2, 4) u s = (-1, 2, 3) rg = 3 ya que = esto nos indica que r y s se cruzan y no se cortan. AB (u r u s ) d ( r, s) = u r u s ya que con AB, u r y u s se forma un paralepípedo cuyo V = Sbase. altura; AB (u r u s ) = u r u s AB d ( r, s) = = = = u i j k -2i -13j+ 8k

60 Dadas las rectas: Hallar las coordenadas de un punto P que está en la recta r y que determina con la recta s, un plano que contiene a r. El punto P pedido esta en r, mientras que la recta r está en el plano del papel, el cual debe venir determinado por el punto P y la recta s. Si P r escribamos r en paramétricas y así tendremos cualquier punto de r. λ, -1 -λ, λ) Por otro lado, si las rectas r y s se cortaran en un punto Q determinarían el plano del papel. y el vector AB = (2, 0, -2) Q( -2, 2, 2) Calculemos ahora el plano que contiene a r y s. M(x, y, z) 60

61 - (x+2) + y z = 0 ; -x + y z 2 = 0 ; => π x y + z + 2 = 0 Por último P deberá permanecer a π y a r por lo que P= π r. Si sustituimos las paramétricas de r en π sacamos un valor de λ y luego el punto. λ - ( -1 - λ) +λ + 2 = 0 ; λ λ + λ + 2 = 0 3λ = - 3 ; λ = - 1 P(-1, -1+1, -1) = ( -1, 0, -1) 61

62 Dado el plano π, mediante la ecuación x - 2y + 2z = 3 y el punto A(1;2;0), determinar el punto A' proyección ortogonal de A sobre π (pie de la perpendicular trazada a π desde A) Sea A'(x,y,z) el punto pedido y sea v π = (1;-2;2) el vector asociado o perpendicular al plano π. Sea el vector AA' = (x - 1, y - 2,z) paralelo al vector v π con lo que Dado el plano de ecuación x + 2y + 3z = 1 y el punto A(1,1,1), hallar las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde A a ese plano, (proyección ortogonal de A sobre él). Si x + 2y + 3z = 1 su vector perpendicular será n π = (1,2,3). Si llamamos A'(x,y,z) al punto pedido y calculamos el vector AA'= (x-1,y-1,z-1). El AA' será paralelo al n π ==> El A(x,y,z) => x + 2y + 3z = 1 Resolvamos el sistema 62

63 Dado el plano de ecuación x + 2y + 3z 1 = 0, el punto P(2,1,1) y la recta r de ecuaciones: determina: a) Unas ecuaciones de la recta que pasa por P y es perpendicular a. b) La ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a la recta r. c) Unas ecuaciones de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r. d) Unas ecuaciones de la recta que pasa por P, es paralela al plano y tal que su vector director es perpendicular al de r. (PAU). a) s π y P s n π = u s por lo que u s = (1, 2, 3) y la recta pedida es: b) π r y P π Hay que pasar la recta r a paramétricas llamando a z = λ Como PP = (x 2, y 1, z 1), el plano se calcula haciendo el producto escalar PP n π = 0 2 (x 2) + (y 1) + (z 1) = 0 2x + y + z 6 = 0 c) r 2 y P r Buscamos un plano llamado de apoyo π r, de forma que n π = k u r = (2, 1, 1) y como P ε r ε π y puedo buscar un genérico del plano PP = (x 2, y 1, z 1) tal que PP n π = 0, nos de la ecuación del plano de apoyo. 2 (x 2) + y 1 + z 1 = 0 2x + y + z 6 = 0 que casualidad, es el plano del apartado anterior!. A continuación buscamos el punto de corte de la recta r y el plano π introduciendo las paramétricas de r en la ecuación general del plano. 2 (-3 + 2λ) λ + λ 6 = λ λ + λ 6 = 0 6λ 8 = 0 λ = con lo que M = = (-7, 13, 1) r : u r = n π x u r = = - i + 5 j 3 k con lo que la recta r : 63

64 x y + z = 1 Dados A(-2,-4,-3) y B(2,6,5) y la recta r: 2x + y 3z = 2 averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r. Razona la respuesta A x x C xb u r Calculamos la recta s que pasa por A y B y luego comprobemos si corta o no a la recta r u s = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4) x y = 1 z Calculemos las paramétricas de r + 3x = 3 + 2z x = 1 + 2/3 z 2x + y = 2 + 3z y = x 1 + z = 1 + 2/3 z 1 + z x = 1 + 2/3 λ r y = 5/3 λ C(1, 0, 0) y u r = ( 2/3, 5/3, 1) = (2, 5, 3) z = λ y = 5/3 z Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del u r y del u s con lo que AC = ( 3, 4, 3 ) AC rg u r = rg ; = u s = 7 0 AB rg u r = 3 r y s se cruzan y no se cortan. u s 64

65 Dados dos planos de ecuaciones 3x - y + z = 1 y x + y - 2z = 0, hallar un vector cuya dirección sea paralela a ambos. Explicar como se ha calculado. Sea 3x - y + z = 1 y sea v = (3,-1,1) su vector perpendicular o asociado. Sea ' x + y - 2z = 0 y sea w = (1,1,2) su vector perpendicular o asociado. Al calcular el producto vectorial de los vectores v y w, nos dara un vector u, que será perpendicular a los vectores v y w. Como v y w son los vectores perpendiculares a cada uno de los planos, resultara que el vector u será siempre paralelo a los planos y '. i j k u = = i + 7j + 4k Luego el u(1,7,4) es el vector paralelo a los planos y '. 65

66 D π = x 2y -3z + 1 = 0 se pide: a) Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a π. b) Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a π. Sacamos n π (a partir del plano) n π (1, -2, -3) 3y z + 3-2z x 3 =0 => π = 3x + 3y z = 0 b) Necesitamos construir un plano π que sirva de apoyo a la recta que se pide, por lo que debe ser paralelo a π y pasar por A, por lo que sustituimos el punto para sacar d: π = x - 2y 3z + a = (-2) 3 (-3) + d = 0; d = 0; d = - 14 El nuevo plano π x 2y -3z - 14 = 0 Ahora estudiamos la posición relativa entre la recta r y π : u π u r = 1 (-1) + (-2) r incide en π Necesitamos buscar el punto en el que r incide en π, para ello metemos las coordenadas x, y, z de la recta r en paramétricas (apartado anterior) en la ecuación del plano: (- 1 λ) 2λ = 0; - 3λ 15 = 0; λ = -5 => sustituyendo en la ecuación de la recta r nos queda M (-6, -5, 0). Ahora sólo nos queda buscar el vector director de nuestra nueva recta t, que lo obtenemos a partir de A y M. AM = (-6, -5, 0) (1, -2, -3) = (-7, -3, 3) 66

67 Dados los planos a y b de ecuaciones respectivas: a 2x - y + 2z = 2 b - 4x + 2y - 4z = 1 Se pide: 1º) Probar que son paralelos y determinar la distancia entre ellos. 2º) Determinar la ecuación del plano perpendicular a ambos, que pasa por el punto A en que el plano a corta al eje OX y por el punto B en el que el plano b corta al eje OY. Para ver si son paralelos, tomaremos los vectores asociados a los dos planos y comprobaremos que son paralelos. u = (2,-1,2) a v = (-4,2,-4) b v = - 2u por lo que son paralelos y también los planos a y b Ahora calculemos un punto P al plano a dandole a x=0 e y=0 con lo que z = 1, es decir P = (0,0,1) d(p,b) = = = Calculemos las coordenadas de los puntos A y B Como el eje OX viene dado por los planos y = 0 e z = 0, sustituyendo en la ecuación del plano a 2x = 2 ==> x = 1 ; A = (1,0,0) Como el eje OY viene dado por los planos x = 0 y z = 0, sustituyendo en la ecuación del plano b y - 0 = 1 ==> y = - ; B = (0,1/2,0) 2 El vector AB y será AB = (-1,1/2,0) el vector u ya que es perpendicular a los planos a o b x - 1 y z La ecuación del plano -1 ½ 0 = x y = 0 ===> x + 2y - 1 = 0 67

68 Dados los puntos A(1,-3,1), B(2,3,1) y C(1,3,-1), se pide a) Obtener la ecuación del plano Л que los contiene b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano Л c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coordenadas. a) B AP= (x - 1, y - 3, z - 1) U Л = AB = (1, 6, 5) A P V Л = AC = (0, 6, -2) C x - 1 y - 3 z = 0; - 12 (x - 1) +2 (y + 3)+ 6 (z - 1)= (x - 1) + (y + 3) + 3(z - 1)= 0; - 6x + y + 3z +6 = 0; Л= 6x y 3z 6 = 0 b) d(0, Л) = = = = u c) OA, OB y OC forman un paralelepípedo V tetraedro = 1/6 V paralelepipedo = 1/6 OA (OB x OC) = 1/ = 1/6 1 = 2 u

69 Determinar los valores de los parámetros a y b, para que las rectas: Primero obligamos a que r y s se corten ; AB = (3, 0, 3) b 3a = b 3a = 0 a 2b + 1 = 0 Para que sean perpendiculares u r y u s lo deben de ser u r u s = 0 (1, 2, a) (-b, 1, -1) = 0 - b + 2 a = 0 a = 0 ; a = 1 69

70 Determinar m, si es posible, para que el plano : 2mx 3(m 1)y (m + 3)z + 2m + 4 = 0 sea ortogonal a la recta de ecuación r: (PAU). Como u r ( 1, 2, - 1) y n π = ( 2m, -3 (m-1), - (m+3) ) 2m - 3 (m-1) - ( m+3) π r u r // n π = = m = - 3m + 3 ; 7m = 3 m = 3 / 7 2m = -m 3 m = 3 3m 3 = - 2m + 6 ; 5m = 9 m = 9 / 5 Como podemos ver, no existe un valor de m unico por lo que no ewxiste ningun valor de m que haga que r sea perpendicular a π. 70

71 Determinar la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(1,0,2) y es perpendicular al plano determinado por el origen de coordenadas y de la recta x = 2z - 1 y = z 2 Al ser la recta r π. Podemos asegurar que el u r es paralelo al vector característico del plano u π. u r n π O Para calcular π tenemos un punto O (0, 0, 0) y una recta S contenida en π y de forma que el U B vector dirección de S y el vector característico B son. x = 2z 1 x = λ Si tomamos la recta S y = λ para todo λ y = z 2 z = λ perteneciente a R serán las parametricas de la recta Bs = (-1, -2, 0) pertenece a π u s = (2, 1, 1) pertenece a π Como O π y B π OB π y será OB = (-1, -1, 0) El vector n π buscado se puede calcular como el producto vectorial de dos de los vectores dirección del plano. i j k n π = u s x OB = = +2 i - j -3 k = n π = (2, -1, -3) u r = k n π u r = ( 2, -1, -3) para k = 1 La recta pedida esta ya calculada conociendo su punto base A y su vector dirección x = λ x - 1 y z - 2 y = - λ λ R = = z = 2+ 3 λ

72 Determinar razonadamente si las rectas r y s se cortan o cruzan x + y - 2z + 1 = 0 2x + y - z - 1 = 0 r: 2x - y + z - 1 = 0 s: x - y - 2z + 1 = 0 Hallar también el coseno del Angulo que forman sus direcciones. La recta r viene dada por dos planos cuyos vectores perpendiculares serán w = (1,1,-2) y w'= (2,-1,1) por lo que el vector dirección de la recta r será u r = w x w' i j k u r = = i - 4j - k - 2k - 2i - j = - i - 5j - 3k La recta s viene dada por otros dos planos cuyos vectores asociados serán v = (2,1,-1) y v' = (1,-1,-2) por lo que el vector dirección de la recta s será u s = v x v' i j k u s = = - 2i - j - 2k - k - i + 4j = - 3i + 3j - 3k Si tomamos un punto A r dando a z el valor 0 y resolviendo el sistema en x e y x + y = - 1 3x = 0 ==> x = 0 ==> y = -1 2x - y = 1 A(0,-1,0) Si tomamos un punto B s dando a z el valor 0 2x + y = 1 3x = 0 ==> x = 0 ==> y = 1 x - y = - 1 B(0,1,0) Formemos el vector AB = (0,2,0) y calculemos el rango formado por los vectores AB, u r y u s = 18 6 = 12 0 rg = Al ser los tres vectores l.i, las rectas r y s se cruzan u r.u s cos(r,s) = = = u r. u s = =

73 x 1 y +1 z Determinar un punto P de la recta r: = = que equidiste de los planos π: x + y + z = - 3 σ : x = λ y = - λ + μ z = - 6 μ Primero veamos la posición relativa de los 2 planos, para lo que pasaremos las parametricas de σ a su ecuación general implicita A (- 3, 0, - 6) σ = u σ = (1, -1, 0) AQ = (x + 3, y, z + 6) v σ = (0, 1, -1) AQ, u σ y v σ son combinación lineal l.d x+3 y z = 0 x y + z + 6 = 0 σ: x + y + z + 9 = π: x + y + z + 3 = 0 Los planos π y σ son paralelos pues los coeficientes de x, y, z son iguales Para escribir cualquier punto dela recta r lo escribimos en parametricas x = 1 + λ y = -1 + λ P (1+2λ, -1+ λ, 3λ) Є r z = 3λ Para que P equidiste igualamos d (P, π ) = d (P, σ) λ 1 + λ + 3 λ λ -1 + λ + 3 λ λ λ = = λ + 3 = 6 λ = 9 es una incongruencia no existe λ 6 λ + 3 = -6 λ λ = - 12 λ = - 1 El punto P será P(1 + 2(-1), -1 +(-1), 3(-1)) = (-1, -2, -3) 73

74 Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1,1,1) y B(0,2,0). El centro del paralelogramo es O (0,0,1). Se pide: a) Las coordenadas de los otros dos vértices. b) El área e paralelogramo. A D C AB = AB - OA = (0, 2, 0) (1, 1, 1) = (-1, 1,-1) 0 C(x,y,z) AC = (x 1, y 1, z - 1) AO = (0,0,1) (1,1,1) = (-1,-1,0) B AC = 2AO x 1 = - 2 ; x = - 1 C(-1,-1,1) y 1 = - 2 ; y = - 1 z 1 = 0 ; z = 1 CD = (x +1, y +1, z -1) x + 1 y + 1 z 1 x = 0 AB = - CD = = = - 1 ; y = - 2 D( O, -2, 2 ) z = 2 i j k Area = AB x AD = = - 2i + 2j + 4k = = 24 u

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