Física Computacional

Transcripción

1 Física Computacional Dr. José Mejía López Física Teórica, segundo piso Sitio Web:

2 Capítulo 2a - Control de la Temperatura - Potenciales empíricos

3 Control de la temperatura Escalamiento de velocidades - Mecánica estadística: se puede imponer una temperatura en un sistema poniéndolo en contacto térmico con un baño térmico grande. - Bajo esas condiciones, la probabilidad de encontrar el sistema en un estado de energía está dada por la distribución de Boltzmann y, para un sistema clásico, las velocidades siguen la distribución de Maxwell-Boltzmann: P(p) = 3/2 β 2πm exp β p2 2m SUBROUTINE gauss(sigma, l0,l)!genera l distribuido en forma gaussiana con!media l0 y desviación estándar sigma r=2. do while (r.ge.1.) v1=2.*ran2(iseed)-1.; v2=2.*ran2(iseed)-1. r=v1**2+v2**2 end do l0 = 0 l=v1*sqrt(-2.*log(r)/r) l=l0+sigma*l END SUBROUTINE σ = m β = mk B T

4 - La temperatura se puede mantener constante escalando las velocidades: vi = v i T T c - Esto da solo la E c por partícula deseada, pero no corresponde a ningún ensemble conocido. Sirve para preparar el sistema a la T deseada durante el equilibrio. El termostato de Anderson - El acoplamiento a un baño térmico está representada por fuerzas estocásticas que actúan ocasionalmente en partículas seleccionadas al azar. - Estas colisiones estocásticas puede ser consideradas como movimientos MC que transporta al sistema desde un nivel de energía constante a otra. - Entre las colisiones estocásticas, el sistema evoluciona a energía constante de acuerdo con las leyes de Newton. - Las colisiones estocásticos aseguran que todos los niveles accesibles de energía constante sean visitadas de acuerdo a su peso de Boltzmann. - La intensidad de acoplamiento es determinada por la frecuencia de colisiones estocásticas ν: P(t;ν) = ν exp( νt) Probabilidad que la siguiente colisión tomará lugar en el intervalo [t, t+dt]

5 - Algoritmo: 1. Se integran las posiciones y momentos iniciales usando las ecuaciones de movimiento durante un tiempo Δt. 2. Se seleccionan un número de partículas que colisionarán con el baño térmico. La probabilidad de que una partícula sea seleccionada en un paso de tiempo de longitud Δt es νδt. 3. Si la partícula i ha sido seleccionada para que sufra una colisión, su nueva velocidad se extrae desde la distribución de Maxwell-Boltzmann correspondiente a la temperatura deseada T. Todas las otras partículas no se ven afectadas por esta colisión. - La mezcla de la dinámica newtoniana con los choques estocásticos convierte a la simulación de Dinámica Molecular en un proceso de Markov. - Combinado con el hecho de que la cadena de Markov es también irreducible y aperiódica => el algoritmo de Andersen genera una distribución canónica.. - Se ha demostrado que una distribución canónica en el espacio de fase es invariante bajo la aplicación repetida del algoritmo Andersen.

6 SUBROUTINE integracion(nt) sigma=sqrt(t) do i=1,npar if (ran2(iseed).lt. nu*dt) then call gauss(sigma,0.d0,vv(i,1)) call gauss(sigma,0.d0,vv(i,2)) call gauss(sigma,0.d0,vv(i,3)) end if end do END SUBROUTINE integracion L-J: T = 2.0, ρ = , and N = 108 Corrección al tallo en LJ: P tallo = 16 3 πρ 2 2 εσ 6 3 eos: ecuación de estado de Johnson σ R c 9 σ R c 3 => Termostato de Anderson da buenos resultados para propiedades independientes del tiempo

7 - En general no puede ser usado para determinar propiedades dinámicas como el coeficiente de difusión - Las colisiones estocásticos perturban la dinámica de una manera que no es realista, conduce a decorrelaciones súbitas aleatorias de las velocidades de las partículas. - Este efecto se traducirá en un decaimiento aumentado de la función de autocorrelación de la velocidad, y por lo tanto la constante de difusión (es decir, la integral de tiempo de la función de autocorrelación de la velocidad) cambia. - Es evidente que este efecto será más pronunciado a medida que la frecuencia de colisión, se incrementa.

8 Termostato de Nosé-Hoover - Para construir Dinámica Molecular isotérmicas, Nosé introdujo una coordenada adicional s en la función Lagrangiana de un sistema clásico de N-cuerpos: Q es la masa efectiva asociada a s, y L un parámetro que se debe determinar. - Los momentos conjugados son: - El hamiltoniano del sistema extendido será: El sistema extendido genera un ensemble microcanónico de 6n+2 grados de libertad

9 - La función de partición del ensemble microcanónico es con - Vamos a definir Y recordemos que Suponiendo que h(s) tiene una sola raíz s 0.

10 - Entonces la función de partición da: - Si realizamos la simulación en este ensemble extendido, los promedios que dependen de p serán - Si elegimos L = 3N + 1, el promedio se reduce a un ensemble canónico:

11 - Vemos que en este ensemble, el espacio de fases es expandido por las coordenadas r y los momentos escalados p => p se refiere a los momentos reales y p los momentos virtuales. - Las variables reales (con ) y las virtuales (sin ) están relacionados por - Para la implementación, es conveniente no tener intervalos de tiempo fluctuantes y por tanto la formulación de variable real es recomendada.

12 - Hoover demostró que las ecuaciones de Nosé se pueden simplificar, introduciendo la el coeficiente de fricción ternodinámica - Las ecuaciones de Nosé-Hoover son (para las variables reales, i.e., quitando el ): - En términos de estas variables, se tiene:

13 L-J: T = 1.0, ρ = 0.75, and N = 256 Respuesta del sistema a un cambio súbito de la temperatura impuesta Para el cálculo de propiedades de transporte es preferible simulacones NVE.

14 Cadenas de Nosé-Hoover v v v x x Trayectorias del oscilador armónico en el ensemble microcanonico, Anderson y Nose-Hoover - Martyna et al. Demostraron que las restricción del termostato de Nosé-hoover (que es válido si existe solo una cantidad conservada) se alivia si el baño térmico es acoplado a otro termostato o a una cadena de termostatos. - Las ecuaciones de movimiento para un sistema de N partículas con M cadenas de Nosé-Hoover son: x

15 - Para estas ecuaciones, la energía conservada es

16 Control de la Presión - Las ecuaciones de movimiento propuesto por Martyna et al. son (en el que está incluido un termostato) - Se introduce un baróstato mediante las variables dimensión del espacio Parámetro de masa asociado a ε - La presión interna calculada en la simulación es

17 - Las ecuaciones de la cadena de longitud M son: - Para estas ecuaciones, la energía conservada es