ecuación que representa el movimiento armónico simple, con una frecuencia angular

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1 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. CURSO 2003/2004. PRIMERO INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN. SEGUNDA PRUEBA DE SOBRENOTA: OSCILACIONES Y ONDAS SOLUCIÓN DETALLADA 1. Una partícula realiza oscilaciones armónicas suspendida del techo mediante un resorte ideal. El periodo de las oscilaciones es T 0 cuando el experimento se realiza en la Tierra. Si el experimento se realiza en la Luna, donde la intensidad del campo gravitatorio es seis veces menor que en la Tierra, el periodo del movimiento sería: Nota: Considérese que los sistemas de referencia ligados a la luna y a la Tierra son inerciales. T 0 ; 6T 0 ; 6T0 Llamaremos g T a la gravedad en la superficie de la Tierra, y g L a la correspondiente a la superficie de la Luna. Consideremos las oscilaciones terrestres. Tomando un eje OX en la dirección vertical y cuyo sentido positivo es el de la gravedad se tiene, aplicando la segunda ley de Newton y considerando que el resorte tiene uno de sus extremos fijo en O y el otro en contacto con la partícula kx + mg T = mẍ ẍ + ω 2 0x = ω 2 0x eq, ecuación que representa el movimiento armónico simple, con una frecuencia angular k ω 0 = m, alrededor de la posición de equilibrio x eq = mg T /k. Vemos que la gravedad no tiene ninguna influencia sobre la frecuencia de las oscilaciones, y por tanto el periodo es independiente de ella. Si el experimento se repite en la superficie de la Luna, la ecuación de movimiento que se obtendría al aplicar la segunda ley de Newton (considerando que el sistema de referencia ligado a la Luna es inercial), sería: kx + mg L = mẍ ẍ + ω 2 0x = ω 2 0x eq, k/m, alrede- ecuación que representa oscilaciones armónicas con una frecuencia angular ω 0 = dor de la posición de equilibrio x eq = mg L /k. Vemos que la gravedad no tiene ninguna influencia sobre la frecuencia de las oscilaciones, y por tanto el periodo es independiente de ella. Por tanto, si el periodo es T 0 en la superficie de la Tierra, será también T 0 en la superficie de la Luna. 2. Una masa puntual, unida mediante un hilo ideal de longitud L/4 a un punto fijo O, realiza pequeñas oscilaciones en torno a su posición de equilibrio sometida a la acción del campo gravitatorio lunar (péndulo simple). Sabiendo que la gravedad en la superficie de la Luna es g/6, donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, cuánto vale el periodo del movimiento? Nota: Considérese que el sistema de referencia ligado a la luna es inercial. 1

2 π 6L/g ; 2π 2L/g ; 2π 3L/g Consideremos las oscilaciones en la superficie de la Luna. Llamaremos θ al ángulo que forma el péndulo con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso, de módulo mg L, y la tensión del hilo, la cual es normal a la trayectoria del punto. Aplicando la segunda ley de Newton, y proyectando ésta en la dirección tangente, tenemos: ma T = mg L senθ ml θ = mg L senθ, donde hemos llamado l a la longitud del hilo. Ahora, teniendo en cuenta que las oscilaciones son pequeñas, realizamos la aproximación senθ θ. Queda: θ + g L l θ = 0, ecuación que corresponde a un movimiento armónico simple de frecuencia angular ω = Teniendo en cuenta que l = L/4, se tiene g L /l. ω = 2 gl L. Ahora, teniendo en cuenta que g L = g/6, tenemos El periodo vendría dado por g ω = 2 6L. 6L T = π g. 3. Sea Ω la frecuencia a la que la amplitud de la velocidad en régimen permanente de un oscilador forzado amortiguado es máxima. Si se aumenta el amortiguamiento: Ω aumenta. Ω disminuye. Ω no cambia. Sea x(t) = A(ω)cos(ωt + φ(ω)) la posición del oscilador forzado en régimen permanente. La velocidad será ẋ(t) = ωa(ω)sen(ωt + φ(ω)), es decir, un m.a.s. de frecuencia angular ω y amplitud v(ω) = ωa(ω) = ω m (ω0 2 ω 2 ) 2 + γ 2 ω. 2 Dividiendo el numerador y el denominador por ω y realizando operaciones sencillas, se llega a la expresión: 2

3 v(ω) = m (ω 2 0 ω 2 ) 2 ω 2 + γ 2. Nótese que v(ω) es máxima cuando el denominador de la expresión anterior es mínimo, situación que se tiene cuando es mínimo el primer sumando del radicando. Esto ocurre para ω = ω 0, frecuencia para la cual se tiene resonancia en velocidad. Como ω 0 es la frecuencia angular de las oscilaciones libres sin amortiguamiento, y es independiente de γ, la respuesta correcta es la tercera. 4. Se tienen 2 muelles ideales de constante elástica k conectados en paralelo. Cada muelle tiene un extremo fijo al origen de coordenadas, y el otro unido a una misma masa puntual M que se encuentra sobre el eje OX. La partícula realiza oscilaciones forzadas en régimen permanente sometida a una fuerza excitadora F = cosωt ı. Cuál debe ser el valor de ω (diferente de cero) para que la amplitud del movimiento coincida con la elongación estática del sistema de muelles al aplicar sobre la partícula una fuerza constante ı? Nota: Supóngase que existe un amortiguamiento pequeñísimo, pero suficiente para hacer despreciable el término transitorio con el paso del tiempo. 2 2k M ; 2k M ; 2 k M La amplitud en el régimen permanente es, considerando despreciable el amortiguamiento: A(ω) = M ω 2 0 ω 2. (1) Nos preguntan por el valor de ω para el cual la amplitud coincide con la elongación estática que experimentaría el sistema de los dos muelles al someter a la partícula a una fuerza constante ı. Ésta se calcula igualando a cero la suma de ı y la resultante de las fuerzas que ejercen los muelles ( kx eq kx eq ) ı = 2kx eq ı. Tenemos: 2kx eq ı + ı = 0 x eq = 2k. (2) Nos falta por calcular la frecuencia natural no amortiguada ω 0. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento libre (no forzado) del oscilador, tenemos Mẍ = kx kx = 2kx ẍ + 2k M x = 0, ecuación que corresponde a un m.a.s. de frecuencia angular Sustituyendo (2) y (3) en (1), tenemos: ω 0 = 2k M. (3) 2k = M 2k M ω2 3 2k M ω2 = 2k M.

4 La ecuación anterior tiene dos soluciones. Una es ω 1 = 0, y la otra ω2 2 = 22k M = 4k k M ω 2 = 2 M. 5. Una partícula P de masa unidad puede deslizar sin rozamiento por el eje OX de un sistema inercial, estando unida al origen del mismo mediante un resorte ideal de constante k = 4π 2. Sobre P actúa la fuerza F = cos(πt) ı, siendo constante. En el instante t = 0 la partícula se encuentra en la posición x(0) = 3, estando en reposo. En el instante t = 1 la partícula se encuentra en la posición x(1) = 1. Cuánto vale? 3π 2 ; 2π 2 ; π 2 La ley de movimiento de las oscilaciones forzadas sin amortiguamiento es x(t) = m(ω0 2 ω 2 ) cosωt + C 1cosω 0 t + C 2 senω 0 t, donde ω = π, m = 1, y ω 0 = k/m = 2π. Sustituyendo tenemos: x(t) = 3π 2 cosπt + C 1cos2πt + C 2 sen2πt, Para determinar C 1 y C 2 aplicamos las condiciones en t = 0: x(0) = 3π 2 + C 1 C 1 = x(0) 3π 2. Sustituyendo en la expresión de x(t) se tiene: ẋ(0) = 0 C 2 = 0. x(t) = 3π 2 cosπt + (x(0) 3π 2 )cos2πt. Ahora, para determinar el valor de impondremos la condición para la posición en t = 1: x(1) = 3π 2 + x(0) 3π 2 = 3π2 2 (x(0) x(1)) = 3π2. 6. Dos ondas viajeras armónicas de la misma amplitud, g 1 (x, t) y g 2 (x, t), con velocidad de propagación v, se superponen. Se sabe que el movimiento ondulatorio resultante (g(x, t) = g 1 (x, t) + g 2 (x, t)) se puede expresar como g(x, t) = F (x)g(t). Entonces: Las dos ondas viajan en el mismo sentido. Las dos ondas viajan en sentidos contrarios. 4

5 No hay datos suficientes para saber si las dos ondas viajan en el mismo sentido o en sentidos contrarios. Si la onda resultante de la superposición se expresa a partir del producto de una función del tiempo por una función de la posición, esta situación corresponde a la aparición de ondas estacionarias, resultado de la superposición de ondas que se propagan en sentidos contrarios. Por tanto, la respuesta correcta es la segunda. 7. Dos ondas armónicas de la misma amplitud, g 1 (x, t) y g 2 (x, t), se propagan en el mismo sentido del eje OX. Sea g(x, t) = g 1 (x, t) + g 2 (x, t). En general, podemos afirmar que: Las otras respuestas son falsas. g(x, t) es una onda armónica si g 1 y g 2 tienen la misma longitud de onda. g(x, t) es una onda armónica si g 1 y g 2 tienen la misma velocidad y frecuencia. Si las dos ondas tienen la misma amplitud, se propagan en el mismo sentido, y además tienen la misma velocidad y frecuencia, entonces g(x, t) es una onda armónica de la misma frecuencia y velocidad, y propagándose en el mismo sentido que las ondas que se superponen. Por tanto la respuesta correcta es la tercera. La segunda no es correcta porque en principio las dos ondas no tienen porqué tener la misma velocidad, y si esto no ocurre, entonces la superposición de dos ondas de velocidades distintas no es una onda viajera, aun cuando las ondas se propaguen en el mismo sentido, y tengan la misma amplitud y longitud de onda. 8. Una onda armónica plana g( r, t) = Acos[θ( r, t)], siendo θ( r, t) la fase, se propaga en la dirección y sentido del vector unitario u = (1/3)(2 ı + 2 j + k). Su longitud de onda vale 2 y su periodo 1. Además, se sabe que θ( 0, 0) = π/2. Cuál es el valor de la onda en el punto (0, 0, 6) en el instante t = 0? A ; 0 ; A/2 La onda viene dada por la expresión g( r, t) = Acos[θ( r, t)] = Acos( 2π λ Sustituyendo los datos del enunciado obtenemos: Por tanto: g( r, t) = Acos( 2π 2 g(x = 0, y = 0, z = 6, t = 0) = Acos( 2π 2 u r 2π T t + φ). 1 3 (2x + 2y + z) 2πt + π 2 ) π 2 ) = Acos(2π + π 2 ) = 0.

6 9. g(x, t) es una onda viajera de la que se sabe que g(0, 2) = 2. Además, se sabe que cierto frente de ondas que en el instante t = 1 se encontraba en el punto x = 1, en el instante t = 2 estaba en el punto x = 2. En cuál de los siguientes puntos ocurre que g = 2 en el instante t = 1? x = 1 ; x = 3 ; x = 2 La velocidad de la onda es v = = 1. Nos preguntamos por el valor de x para el cual g(x, 1) = 2 = g(0, 2). Teniendo en cuenta que deducimos que x = v = 1. g(0, 2) = g(0 v(2 1), 1) = g( v, 1), 10. Una onda plana se propaga según la dirección y sentido del vector (1/ 3)( ı + j + k) siendo la velocidad de propagación igual a 2. Se sabe que la dependencia temporal de la onda en el origen de coordenadas es g( 0, t) = e t2. Cuál es el valor de la onda en el punto P 0 (4, 0, 0) en el instante t = 3? e 1/3 ; e 100/3 ; e 16/3 Los frentes de onda son planos perpendiculares a la dirección u = (1/ 3)( ı + j + k). Como nos dan el valor de la onda en el origen de coordenadas para todo instante de tiempo, este es valor que toma la onda en todos los puntos del plano perpendicular a u que pasa por el origen. Cuál es el valor de la onda en punto r, en cierto instante t? 1 La respuesta es que es igual al que tomó en todos los puntos del frente de onda que pasa por el origen, en un instante igual a t menos el tiempo que haya tardado la onda en desplazarse una distancia igual a la distancia entre los dos planos, la cual es igual a r u. Es decir: g( r, t) = g( r = 0, t u r v ) = g( 0, t x 2 3 y 2 3 z 2 3 ). En el punto P 0 (4, 0, 0) en el instante t = 3 tendremos: g(4, 0, 0, t) = g( 0, ) = 3 4 e ( 2 3 )2 = e Para hacer el siguiente razonamiento supondremos que r u > 0, aunque la expresión que obtendremos para g( r, t) es independiente de esta consideración. 6