Introducción a la teoría de grupos finitos

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1 Introducción a la teoría de grupos finitos por Alberto García Raboso 5 de marzo de 2008

2 II Este documento ha sido realizado en AMS-L A TEX 2ε. v. 1.0 (26 de agosto de 2001). v. 1.1 (24 de febrero de 2004): Actualización de dirección de correo electrónico. v. 1.2 (8 de marzo de 2007): Corrección de algunas erratas (gracias a Jorge Núñez Pascual). Modificada tabla al final del capítulo 10 para incluir grupos abelianos (por sugerencia de Jorge Núñez Pascual). Actualización de dirección de correo electrónico. v. 1.3 (5 de marzo de 2008): Corrección de algunas erratas. Se puede contactar con el autor en y

3 Índice general Índice general III 1 Grupos y subgrupos Primeras definiciones y propiedades Subgrupos Homomorfismos de grupos Teorema de Lagrange Clases de un grupo módulo un subgrupo Teorema de Lagrange Producto interno de subgrupos Grupos cíclicos Definición de grupo cíclico Propiedades de los elementos de torsión Corolarios del teorema de Lagrange Teoremas de Euler y Fermat Clasificación de grupos cíclicos Subgrupos de grupos cíclicos Generadores de grupos cíclicos Imagen homomórfica de grupos cíclicos Automorfismos de grupos cíclicos Acciones de grupos. Subgrupos normales El teorema de órbita-estabilizador Elementos conjugados y clases de conjugación Subgrupos normales Grupos cociente y teoremas de isomorfía Grupo cociente y teorema de correspondencia Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorfía Corolarios de los teoremas de isomorfía Grupos simétricos, alternados y diédricos 35 iii

4 IV Índice general 6.1. Permutaciones. Descomposición en ciclos disjuntos Descomposición en transposiciones. Sistemas de generadores de S n Signatura de una permutación Grupos alternados Estructura de los grupos simétricos y alternados Teorema de Abel Teorema de Cayley Grupos diédricos Producto directo y semidirecto Producto directo de grupos Producto semidirecto de grupos p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles p-grupos y p-subgrupos de Sylow Teoremas de Sylow Corolarios de los teoremas de Sylow Grupos solubles Grupos abelianos finitos Factorización de elementos de grupos abelianos finitos Clasificación de los grupos abelianos finitos Cuerpos finitos Grupos abelianos de orden bajo Clasificación de grupos de orden menor que Primeros grupos clasificados Grupos de orden pq Grupos de orden Grupos de orden Resumen Bibliografía 75

5 Capítulo 1 Grupos y subgrupos 1.1. Primeras definiciones y propiedades Definición Un grupo es un conjunto G dotado de una operación binaria que satisface los siguientes axiomas: (G1) Operación interna: x, y G, x y G (G2) Propiedad asociativa: (G3) Existencia de elemento neutro: (G4) Existencia de elemento inverso: x, y, z G, (x y) z = x (y z) e G : g G, e g = g e = g g G, g 1 G : g g 1 = e = g 1 g Definición Se dice que un grupo (G, ) es abeliano si para todos x, y G se cumple x y = y x. Definición Sea (G, ) un grupo. Se llama orden de (G, ) al cardinal G del conjunto subyacente. Se dice que (G, ) es finito si dicho cardinal lo es, e infinito en caso contrario. Proposición (Propiedades cancelativas) Sea (G, ) un grupo. Para todos a, b, c G se cumple a c = b c = a = b c a = c b = a = b 1

6 2 Grupos y subgrupos Demostración. Dado c G, el axioma (G4) asegura la existencia de un elemento c 1 G tal que c c 1 = e. Entonces, componiendo a c = b c por la derecha con c 1, se tiene (a c) c 1 = (b c) c 1 utilizando (G2) a (c c 1 ) = b (c c 1 ) a e = b e a = b utilizando (G4) utilizando (G3) Análogamente, y dado que c 1 c = e, componiendo c a = c b por la izquierda con c 1, c 1 (c a) = c 1 (c b) utilizando (G2) (c 1 c) a = (c 1 c) b utilizando (G4) e a = e b a = b utilizando (G3) Proposición El elemento neutro e de un grupo (G, ) es unico. Demostración. Supongamos que existiesen en (G, ) dos elementos neutros distintos e, f G. Entonces, utilizando el axioma (G3), e = e f = f. Proposición El elemento inverso de cualquier elemento g de un grupo (G, ) es único. Demostración. Supongamos que existiesen dos elementos g 1, g G tales que g g 1 = g 1 g = e y g g = g g = e. Entonces, g g 1 = g g, y, utilizando la propiedad cancelativa por la izquierda, se tiene g 1 = g. Proposición Sea (G, ) un grupo. Para todo g G se tiene que (g 1 ) 1 = g. Demostración. Dada la unicidad del elemento inverso, basta observar que g g 1 = g 1 g = e. Proposición Sea (G, ) un grupo. Para todos x, y G se tiene que (x y) 1 = y 1 x 1. Demostración. La unicidad del elemento inverso y las relaciones (x y) (x y) 1 = x (y y 1 ) x 1 = x e x 1 = x x 1 = e (x y) 1 (x y) = y 1 (x 1 x) y = y 1 e y = y 1 y = e demuestran el enunciado.

7 1.2. Subgrupos 3 Proposición Sea (G, ) un grupo. Entonces, (G, )es abeliano x, y G, (x y) 1 = x 1 y 1 Demostración. De la definición de grupo abeliano, (x y) 1 = y 1 x 1 = x 1 y 1. Recíprocamente, si para todos x, y G se tiene (x y) 1 = x 1 y 1, entonces, utilizando sucesivamente las proposiciones y 1.1.8, la hipótesis y de nuevo la proposición 1.1.7, x y = (x 1 ) 1 (y 1 ) 1 = (y 1 x 1 ) 1 = (y 1 ) 1 (x 1 ) 1 = y x 1.2. Subgrupos Definición Dado un grupo (G, ) y un subconjunto H G, se dice que (H, ) es un subgrupo de (G, ), y se denota (H, ) (G, ), si H es un grupo con respecto a la operación definida en G. Definición Sea (G, ) un grupo. Los subconjuntos G y {e} reciben el nombre de subgrupos impropios de G. El resto de subgrupos de G reciben el nombre de subgrupos propios de G. Proposición Sea (G, ) un grupo, y sea H G, H. (H, ) es un subgrupo de (G, ) si y sólo si para todos x, y H se cumple x y 1 H. Demostración. Sea H un subgrupo de G. Si x, y H entonces, por (G4), y 1 H, y, por (G1), x y 1 H. Recíprocamente, sea x H. Entonces x x 1 = e H y e x 1 = x 1 H, demostrando (G3)y (G4). Para probar (G1), basta observar que x y = x (y 1 ) 1 H. Por último, la asociatividad de la operación en H se deduce de la asociatividad de la operación en G. Proposición Sea I un conjunto de índices, y sean H i, i I subgrupos de un grupo (G, ). Entonces, i I H i es un subgrupo de G. Demostración. Sean x, y H i para todo i I. Por ser H i subgrupos, x y 1 H i para todo i I. Entonces, x, y, x y 1 i I H i. Definición Sea X un subconjunto cualquiera de un grupo G. Se llama subgrupo generado por X, y se denota X, a la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X. Proposición En las condiciones de la definición anterior, X = {x α 1 1 xα 2 2 xαn n : x 1, x 2,..., x n X, α 1, α 2,..., α n Z}

8 4 Grupos y subgrupos Demostración. Sea H X el conjunto del miembro derecho de la igualdad. Es claro que H X es un subgrupo de G. Como X H X y X es el mínimo subgrupo que contiene a X, se tiene que X H X. Falta probar la inclusión contraria. Puesto que X es un subgrupo de G y X X, si x i X, x i X para todo i = 1, 2,..., n, de donde x α 1 1 xα 2 2 xαn n X y H X X. Definición Se llama retículo de los subgrupos de un grupo (G, ) al conjunto de todos los subgrupos de (G, ), junto con sus relaciones de inclusión Homomorfismos de grupos Definición Sean (G 1, ), (G 2, ) grupos, y sea f : G 1 G 2 una aplicación entre ellos. Se dice que f es un homomorfismo de grupos si f(x y) = f(x) f(y) Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un homomorfismo suprayectivo, epimorfismo; un homomorfismo biyectivo, isomorfismo; y un isomorfismo de G en sí mismo, automorfismo. Si existe un isomorfismo entre (G 1, ) y (G 2, ), se dice que ambos grupos son isomorfos, y se denota (G 1, ) = (G 2, ). Proposición Sean (G, ), (H, ) grupos, y sea f : G H un homomorfismo entre ellos. Entonces, para todos x, y G, f(x y 1 ) = f(x) f(y) 1 f(y 1 x) = f(y) 1 f(x) Demostración. Utilizando que f es un homomorfismo, f(x y 1 ) f(y) = f((x y 1 ) y) = f(x) y basta componer con f(y) 1 por la derecha. La demostración del segundo aserto es análoga. Corolario Sean (G, ), (H, ) grupos, y sea f : G H un homomorfismo entre ellos. Entonces, 1. f(e G ) = e H. 2. Para todo g G, f(g 1 ) = f(g) 1. Demostración. 1. Basta aplicar la proposición anterior al caso x = y.

9 1.3. Homomorfismos de grupos 5 2. Basta aplicar la proposición anterior al caso x = e G, y = g. Proposición La relación de isomorfía de grupos es una relación de equivalencia. Demostración. Sean G, H, K grupos. La aplicación id G : G G es claramente un isomorfismo, por lo que G = G. Si φ es un isomorfismo de G en H, φ 1 existe y es una biyección de H en G. Si x 1, x 2 G, y 1, y 2 H, entonces φ 1 (y i ) = x i si y sólo si φ(x i ) = y i. Además, φ(x 1 x 2 ) = y 1 y 2, de donde φ 1 (y 1 y 2 ) = x 1 x 2. Así, φ 1 (y 1 )φ 1 (y 2 ) = x 1 x 2 = φ 1 (y 1 y 2 ) demostrando que φ 1 es un homomorfismo. Por tanto, H = G. Finalmente, si φ es un isomorfismo de G en H, y ψ es un isomorfismo de H en K, ψ φ es una biyección de G en K. Además, ψ φ(xy) = ψ(φ(xy)) = ψ(φ(x)φ(y)) por ser φ homomorfismo = ψ(φ(x))ψ(φ(y)) por ser ψ homomorfismo = (ψ φ(x))(ψ φ(y)) de modo que ψ φ es un homomorfismo, y G = K. Definición Sean (G, ), (H, ) grupos, y sea f : G H un homomorfismo entre ellos. Se llaman núcleo e imagen de f a los conjuntos kerf = {g G : f(g) = e} imf = f(g) = {h H : g G : f(g) = h} Proposición Sean G, H grupos, y f : G H un homomorfismo. Si G es abeliano, f(g) es abeliano. Demostración. f(x)f(y) = f(xy) = f(yx) = f(y)f(x) Proposición El conjunto Aut G de automorfismos de un grupo G es un grupo bajo la operación de composición.

10 6 Grupos y subgrupos Demostración. Sean f, g : G G automorfismos de G. Entonces, tanto f 1 f 2 como f 2 f 1 son biyecciones de G en G. Para demostar que son automorfismos, basta, por tanto, comprobar que son homomorfismos. (f 1 f 2 )(gh) = f 1 (f 2 (gh)) = f 1 (f 2 (g)f 2 (h)) por ser f 2 homomorfismo = f 1 (f 2 (g))f 1 (f 2 (h)) por ser f 1 homomorfismo = (f 1 f 2 )(g)(f 1 f 2 )(h) con demostración análoga para f 2 f 1. La asociatividad se deduce de la asociatividad de la composición de aplicaciones. La aplicación identidad es, evidentemente, un automorfismo, y cumple f id G = id G f = f, demostrando la existencia de elemento neutro. Por último, la inversa de una aplicación biyectiva es biyectiva, y, si g = f 1 (g) y h = f 1 (h), f 1 (gh) = f 1 (f(g )f(h )) = f 1 (f(g h )) por ser f homomorfismo = g h = f 1 (g)h 1 (h) demuestra que es un homomorfismo.

11 Capítulo 2 Teorema de Lagrange 2.1. Clases de un grupo módulo un subgrupo Definición Sea H un subgrupo de un grupo G. Se llama clase por la izquierda de G módulo H a cada conjunto gh = {gh : h H} con g G. Análogamente, se llama clase por la derecha de G módulo H a cada conjunto Hg = {hg : h H} de nuevo con g G. Proposición Sea H un subgrupo de un grupo G. Entonces, la relación H definida en G según x H y x 1 y H es una relación de equivalencia, con [g] = gh. Demostración. La relación H es reflexiva ya que x 1 x = e H por ser H subgrupo. Es simétrica, puesto que, si x H y, x 1 y H, entonces (x 1 y) 1 = y 1 x H y se tiene y H x. Finalmente, es transitiva, porque, si x H y, y H z, x 1 y, y 1 z H, entonces (x 1 y)(y 1 z) = x 1 z H y x H z. Por tanto, la relación H es de equivalencia. Si x H g, entonces g 1 x = h para algún h H, por lo que x = gh gh. Recíprocamente, si gh gh entonces g 1 (gh) = h H y g H gh. Corolario Sea H un subgrupo de un grupo G. Las clases por la izquierda módulo H forman una partición de G. Proposición Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g G existe una biyección entre H y gh. 7

12 8 Teorema de Lagrange Demostración. Sea α: H gh definida según α(h) = gh. Para comprobar que es inyectiva, basta notar que, si α(x) = α(y), se tiene gx = gy x = y. La sobreyectividad es evidente: todo elemento de gh es de la forma gh con h H, y, por tanto, es la imagen de h por α. Corolario H = gh Proposición Sea H un subgrupo de un grupo G. La aplicación α definida según α(gh) = Hg 1 establece una biyección entre el conjunto de clases por la izquierda de G módulo H y el conjunto de clases por la derecha de G módulo H. Demostración. Para probar que α es inyectiva, supongamos que α(x) = α(y). Entonces, Hx 1 = Hy 1 y existe h H tal que x 1 = hy 1. Así, y 1 x = h 1 H y por tanto xh = yh. La sobreyectividad se deduce de que, para todo x G, α(x 1 H) = Hx Teorema de Lagrange Definición Se llama índice de H en G, y se denota [G : H], al número de clases por la izquierda de G módulo H. Teorema (Lagrange) Sea H un subgrupo de un grupo finito G. Entonces, H divide a G. En particular, se tiene que G = [G : H] H Demostración. Basta observar que la relación de equivalencia H particiona G en [G : H] clases distintas, todas ellas con el mismo cardinal H. Corolario Sean H y K subgrupos de un grupo G tales que H K G. Entonces, [G : H] = [G : K][K : H] Demostración. Del teorema de Lagrange, [G : K][K : H] = G K K H = G H = [G : H]

13 2.3. Producto interno de subgrupos Producto interno de subgrupos Definición Dados dos subgrupos A y B de un grupo G. Se llama producto interno de A y B al conjunto. AB = {ab : a A, b B} Proposición Sean A y B subgrupos de un grupo G. AB es un subgrupo de G si y sólo si AB = BA, en cuyo caso se dice que A y B conmutan. Demostración. Supongamos que AB es un subgrupo. Sea ab AB. Existe entonces un elemento a b AB tal que a b = (ab) 1 de donde ab = (a b ) 1 = (b ) 1 (a ) 1 BA lo cual demuestra que AB BA. Por otro lado, para todo ba BA se tiene ba = (a 1 b 1 ) 1 AB por lo que BA AB y, finalmente, AB = BA. Recíprocamente, sean a 1 b 1, a 2 b 2 AB. Como AB = BA, existe elementos a A, b B tales que b 1 a 2 = a b. Así, (a 1 b 1 )(a 2 b 2 ) = (a 1 a )(b b 2 ) AB demostrando (G1). La asociatividad (G2), se deduce de la de la operación definida en G. (G3) es evidente, ya que e A, e B e AB. Por último, para probar (G4) basta observar que (ab) 1 = b 1 a 1 BA = AB. Q.E.D. Proposición Sean A y B subgrupos finitos de un grupo G. Entonces, AB = A B A B Demostración. Sea {x i (A B) : i = 1,..., k} el conjunto de clases por la izquierda de A módulo A B, de modo que x i x 1 j / A B. Puesto que éstas establecen una partición en A, para todo a A podemos escribir a = x i g para algún 1 i k y algún g A B. Así, todo elemento ab AB puede escribirse según ab = x i (gb) x i B. Además, x i B x j B, ya que, en caso contrario, x i x 1 j B, y, como x i x 1 j A por definición, se tendría x i x 1 j A B. Esto demuestra que {x i B : i = 1,..., k} es el conjunto de clases por la izquierda de AB módulo B, de manera que [A : A B] = A A B = k = AB = [AB : B] B de donde se deduce la afirmación del enunciado.

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15 Capítulo 3 Grupos cíclicos 3.1. Definición de grupo cíclico Definición Se dice que un grupo (G, ) es cíclico si existe al menos un elemento a G tal que a = G. Entonces, se dice que a es un generador de G. Definición Sea (G, ) un grupo. Se define el orden de a G como ord(a) = a. Definición Sea (G, ) un grupo. Se dice que a G es un elemento de torsión de G si ord(a) es finito. Proposición Sea (G, ) un grupo finito y a G. Si n = ord(a), entonces a n = e y a = {a, a 2,..., a n 1, a n = e} siendo distintos todos los elementos de este conjunto. Demostración. Puesto que (G, ) es un grupo finito, el conjunto {x r : r Z} debe contener repeticiones. Existen, pues, enteros positivos i < j tales que x i = x j. Entonces, e = x j x j = x j x i = x j i Tomando n como el menor entero positivo tal que x n = e, veamos que los elementos del conjunto {x, x 2,..., x n 1, x n = e} son todos distintos. En efecto, si existieran en él dos elementos iguales x r = x s con r < s < n, se tendra que x s r = e con s r < n, en contradicción con la definición de n Propiedades de los elementos de torsión Proposición Sea (G, ) un grupo y a, b G elementos de torsión. Se cumplen las siguientes propiedades: 11

16 12 Grupos cíclicos 1. a k = e ord(a) k, 2. ord(a) = 1 a = e, 3. ord(a 1 ) = ord(a), 4. ord(a k ) = ord(a) (ord(a),k) m y n), (donde (m, n) denota el máximo común divisor de 5. si ord(ab) es finito, entonces ord(ab) = ord(ba), y 6. si ab = ba, entonces ord(ab) [ord(a), ord(b)]; además, si ord(a) y ord(b) son coprimos, ord(ab) = ord(a)ord(b) (siendo [m, n] el mínimo común múltiple de m y n). Demostración. 1. Sea k = cn + r : c, r N, 0 r < n. Entonces, x k = x cn+r = x cn x r = x r de donde, necesariamente, ha de ser r = 0 y k = cn. El recíproco es evidente. 2. Si ord(a) = 1, entonces a 1 = a = e. Recíprocamente, si a = e, a = {e} y ord(a) = a = Basta observar que (a 1 ) m = e (a m ) 1 = e a m = e. 4. Denotando n = ord(a), d = (n, k), podemos hacer n = n d, k = k d. Si (a k ) m = a km = e, se tiene que n km, o equivalentemente, n k m. Como (n, k ) = 1, n m. Así, ord(a k ) = n. 5. Sea m = ord(ab), de modo que (ab) m = e. Entonces, (ab) m = (ab)(ab)... (ab)(ab) = a(ba)... (ba)b = e (ba) m 1 = a 1 b 1 (ba) m 1 = (ba) 1 (ba) m = e 6. Si a y b conmutan, se tiene (ab) k = a k b k. Por tanto, si M = [ord(a), ord(b)], el primer apartado implica que (ab) M = a M b M = e y ord(ab) M. Además, si n = ord(a), m = ord(b), (m, n) = 1, hacemos s = ord(ab), y utilizamos los resultados anteriores, (ab) s = a s b s = e a s = b s n (n, s) = Como también s M, se tiene s = M. ord(a s ) = ord(b s ) m n s, m s M s (m, s)

17 3.3. Corolarios del teorema de Lagrange Corolarios del teorema de Lagrange Corolario Para todo g G con G finito, ord(g) G Demostración. Se deduce de la definición del orden de x como x. Corolario Sea G un grupo de orden p primo. Entonces G es cíclico. Demostración. Sea g G, g e. Puesto que los únicos divisores de un número primo son la unidad y él mismo, y ord(g) = 1 implicaría g = e, se debe tener g = p Teoremas de Euler y Fermat Proposición Sea ā Z n. Se dice que ā es una unidad de Z n si existe b Z n tal que ā b = bā = 1. El conjunto de unidades de Z n se denota U(Z n ), y cumple U(Z n ) = {k N : k n, (k, n) = 1} Demostración. De la definición, es claro que el inverso multiplicativo de una unidad de Z n es también una unidad de Z n. Así, sean ā, b U(Z n ) inversos recíprocos. Entonces, ab 1 (mód n), de donde (ab, n) = (1, n) = 1 y, por tanto, (a, n) = (b, n) = 1. Recíprocamente, sea ā Z n tal que (a, n) = 1. La ecuación ax 1 (mód n) tiene entonces una solución única hasta congruencia. Proposición (U(Z n ), ) es un grupo abeliano. Demostración. La asociatividad se deduce de la asociatividad del producto de números enteros, y el axioma (G4) es consecuencia directa de la definición de U(Z n ). Sean ā, b U(Z n ), y sean c, d sus respectivos inversos. Entonces, ab dc = a bd c = a 1 c = ac = 1 dc ab = d ca b = d 1 b = db = 1 lo que demuestra que ab U(Z n ) y 1 U(Z n ). Definición Se llama función ϕ de Euler a la aplicación ϕ : N N definida según ϕ(n) = U(Z n ) Proposición La función ϕ de Euler cumple las siguientes propiedades: 1. Si (m, n) = 1, entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n),

18 14 Grupos cíclicos 2. ϕ(p k ) = p k 1 (p 1) si p es primo, y 3. ϕ(n) = n (1 1 p i ), donde p i son los divisores primos de n. Demostración. 1. Consideremos los números 1, 2, 3,..., mn, y formemos la tabla 0, 1, 2,... k,... n 1, n, n + 1, n + 2,... n + k,... 2n 1, , (m 1)n, (m 1)n + 1, (m 1)n + 2,... (m 1)n + k,... mn 1 Si (k, mn) = 1, entonces se debe tener (k, m) = (k, n) = 1. En cada fila hay ϕ(n) números primos con n. Observando que los números de una misma columna son congruentes entre sí módulo n, deducimos que, si (k, n) = 1, entonces todos los números de la k-ésima columna son primos con n. Consideremos una de estas columnas con (k, n) = 1: n, n + k, 2n + k,..., (m 1)n + k Estos números pueen considerarse como los valores de la función lineal nx + k : (n, m) = 1, donde x recorre un sistema completo de restos módulo m, x = 0, 1, 2,..., m 1 Entonces, cada columna de la forma anterior forma un sistema completo de restos módulo m, y, por tanto, contiene ϕ(m) números que son primos con m. 2. Es claro que ϕ(p) = p 1 con p primo. Sea ahora n = p k, k > 1. El sistema completo de restos módulo p k consta de p k 1 sistemas completos de restos módulo p, y en cada uno de ellos hay ϕ(p) números primos con p. 3. Sea n = p k i i. Utilizando los apartados anteriores, ϕ(n) = ϕ(p k i i ) = p k i 1 i (p i 1) = p k i i (1 1 p i ) = n (1 1 p i ) Teorema (Euler) Para todos a Z, n N tales que (a, n) = 1, se tiene a ϕ(n) 1 (mód n)

19 3.5. Clasificación de grupos cíclicos 15 Demostración. Por el teorema de Lagrange, ord(a) U(Z n ) = ϕ(n), de donde a ϕ(n) = 1 en U(Z n ). Teorema (Pequeño Teorema de Fermat) Para todo a Z y todo p N primo con p a, se tiene a p 1 1 (mód p) Demostración. teorema de Euler, Aplicando el segundo apartado de la proposición al a ϕ(p) 1 (mód p) = a p 1 1 (mód p) 3.5. Clasificación de grupos cíclicos Proposición Todo grupo cíclico es abeliano. Demostración. Puesto que todo elemento de un grupo cíclico G = g es de la forma g n para algún n Z, se tiene g i g j = g i+j = g j+i = g j g i Teorema (Teorema de clasificación de grupos cíclicos) Si (G, ) es un grupo cíclico infinito, entonces es isomorfo a (Z, +) Si (H, ) es un grupo cíclico de orden finito H = n, entonces es isomorfo a (Z n, +). Demostración. Sea (G, ) un grupo cíclico infinito y φ: (Z, +) (G, ) la aplicación dada por φ(r) = g r. La aplicación φ es un homomorfismo, ya que φ(r + s) = g r+s = φ(r) + φ(s), y es evidentemente biyectiva. Por tanto φ es un isomorfismo. Sea (H, ) un grupo cíclico de orden finito H = n y ψ : (Z n, +) (H, ) la aplicación dada por ψ( r) = g r. Veamos que ψ está bien definida. Sean r, s Z tales que r s (mód n), i.e., r = s + kn. Entonces, ψ( r) = g r = g s+kn = g s = ψ( s) El mismo argumento prueba que esta aplicación es inyectiva. Además, es un homomorfismo, ya que ψ( r + s) = g r+s = g r g s = ψ( r)ψ( s) Puesto que una aplicación inyectiva entre conjuntos con la misma cardinalidad es biyectiva, ψ es un isomorfismo de grupos.

20 16 Grupos cíclicos 3.6. Subgrupos de grupos cíclicos Proposición Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Demostración. Sea G = g un grupo cíclico, y sea H G. Es claro que si H es un subgrupo impropio de G es cíclico. Supongamos que H es un subgrupo propio. Sea g k H tal que g m / H para m < k, y sea g s otro elemento de H. Utilizando el algoritmo de división de Euclides, podemos escribir s = ck + r con 0 r < k. Como H es un subgrupo, (g k ) 1 = g k H. Por tanto, g s (g k ) c = g s ck = g r H en contra de la definición de k, a menos que r = 0. Así, cada elemento de H es de la forma (g k ) n para algún n Z, y H es cíclico generado por g k. Proposición Sea G = g un grupo cíclico de orden n. Entonces, 1. Para cada divisor d de n, existe un único subgrupo de G de orden d, g n d. 2. Si d y e son divisores de n, entonces la intersección de los subgrupos de órdenes d y e es el subgrupo de orden (d, e). 3. Si d y e son divisores de n, entonces el producto interno de los subgrupos de órdenes d y e es el subgrupo de orden [d, e]. Demostración. 1. Es claro que el elemento g n d tiene d potencias distintas, de donde g n d es un subgrupo de orden d. Supongamos que existiese otro subgrupo H de orden d, generado por un elemento x = g r para algún r Z. Entonces, x rd = e, por lo que n rd. Así, r debe ser de la forma k n d para algún k Z y x es una potencia de g n d. Por lo tanto, H debe ser un subgrupo de g n d, y, puesto que tiene el mismo cardinal, coinciden. 2. Sea x = g r g n d g n e. Como n d r, n e r, se tiene que [ n d, n e ] r. Pero, si d = d (d, e), e = e (d, e), Por tanto, [n d, n ] n [ 1 = e (d, e) d, 1 ] = e n n (d,e) r y x g (d,e). n (d, e) Recíprocamente, sea y = g s g n (d,e), de modo que y n e n (d,e), se tiene que n d s y n e s, de donde y g n d g n e. n (d,e) s. Como n d n (d,e)

21 3.6. Subgrupos de grupos cíclicos Sea x g n d g n e. Entonces, existen enteros k 1, k 2 tales que x = g k 1 n d +k 2 n e = g n de (k 1e+k 2 d) n y, evidentemente, de (k n n 1e + k 2 d) [d,e], de donde x g [d,e]. Recíprocamente, sea y g n [d,e]. Entonces, existe un entero k tal que y = g k n [d,e]. Utilizando la ecuación ab = (a, b)[a, b] y la propiedad lineal del máximo común divisor, y = g k n [d,e] = g k n de (k 1d+k 2 e) = g kk 2 n d g kk 1 n e g n d g n e Proposición Sea G = g un grupo cíclico infinito. Entonces, 1. Para cada d N, existe exactamente un subgrupo de G de índice d, g d. Además, todo subgrupo no trivial de G es de índice finito. 2. Sean d, e N. La intersección de los subgrupos de índices d y e es el subgrupo de índice [d, e]. 3. Sean d, e N. El producto interno de los subgrupos de índices d y e es el subgrupo de índice (d, e). Demostración. 1. Es claro que g d tiene índice d. Basta observar que las clases por la izquierda de G módulo g d son g k g d para cada 0 k < d. Supongamos que existiese otro subgrupo H = g s de índice d. Entonces, g l g s con 0 k < s son las clases por la izquierda de G módulo H, de donde, necesariamente, s = d. 2. Es claro que si x = g r g d g e, se debe tener d r, e r y, por tanto, [d, e] r y x g [d,e]. Recíprocamente, si y = g s g [d,e], entonces [d, e] s, y, por tanto, d s, e s, de donde y g d g e. 3. Sea x = g r g d g e. Existen, entonces, enteros k 1, k 2 tales que r = k 1 d + k 2 e. Es evidente que (d, e) r, de donde x g (d,e). Recíprocamente, sea y = g s g (d,e). Entonces, existe un entero k tal que s = k(d, e). Así, utilizando la propiedad lineal del máximo común divisor, y = g k(d,e) = g kk 1d+kk 2 e = g kk 1d g kk 2e g d g e

22 18 Grupos cíclicos 3.7. Generadores de grupos cíclicos Proposición Los enteros 1 y 1 son los únicos generadores del grupo (Z, +). Demostración. Es claro que todo entero n puede ponerse en cualquiera de las dos formas n = n 1 n = n ( 1) de modo que 1 y 1 generan efectivamente (Z, +). Sin embargo, el elemento 1 no puede ponerse en la forma 1 = m + m + + m = nm con n Z para ningún m 1, 1. Proposición Un elemento g k es un generador de un grupo cíclico G = g de orden finito n si y sólo si (k, n) = 1. Demostración. Basta utilizar la proposición 3.2.1, según la cual ord(g k ) = ord(g) (k, ord(g)) = n (k, n) de donde ord(g k ) = n si y sólo si (k, n) = 1. Corolario Todo grupo cíclico de orden finito n tiene ϕ(n) generadores Demostración. De entre todos los elementos de G = g, sólamente serán generadores aquéllos que sean de la forma g k, k < n, (k, n) = 1. Este conjunto es U(Z n ), cuyo cardinal es ϕ(n) Imagen homomórfica de grupos cíclicos Proposición Sea G = g un grupo cíclico, y sea f : G G un homomorfismo. Entonces, f(g) = f(g). Demostración. Basta observar que todo x f(g) es de la forma x = f(g n ) = f(g) n. Proposición Sea a un elemento de torsión de un grupo G, y sea f : G G un homomorfismo. Entonces, ord(f(a)) ord(a), con igualdad si f es inyectiva. Demostración. Sea a G tal que ord(a) = n, ord(f(a)) = m. Entonces, e = f(a n ) = f(a) n, de donde m n. Además, si f es inyectiva, f(a) m = e implica a m = e, y n m.

23 3.9. Automorfismos de grupos cíclicos Automorfismos de grupos cíclicos Proposición Sea G = (Z, +). Se tiene que Aut G = Z 2 Demostración. Sea f : G G un automorfismo, y sea g un generador de G. Puesto que G = f(g) = f(g), se tiene que f(g) debe ser también un generador. Como G posee únicamente dos generadores, Aut G es un grupo de orden dos, y, por tanto, isomorfo a Z 2. Proposición Sea G = (Z n, +). Se tiene que Aut G = U(Z n ) Demostración. Sea f : G G un automorfismo, y sea g un generador de G. Puesto que todo automorfismo es inyectivo, ord(f(g)) = ord(g) = n, de donde f(g) debe ser también un generador de G. Así, Aut G = {f i : G G, f i (g) = g i : (i, n) = 1} Sea ζ : Aut G U(Z n ) definida según ζ(f i ) = i. Utilizando el hecho de que Aut G es un grupo, ζ(f i f j ) = ζ(f ij ) = ij = ζ(f i )ζ(f j ) lo que prueba que ζ es un homomorfismo. Puesto que ζ es evidentemente biyectiva, es un isomorfismo.

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25 Capítulo 4 Acciones de grupos. Subgrupos normales 4.1. El teorema de órbita-estabilizador Definición Sea G un grupo, y X un conjunto. Una acción de G sobre X es una familia de aplicaciones que cumple las siguientes propiedades: (A1) φ e (x) = x, y (A2) φ a (φ b (x)) = φ ab (x). Φ = {φ g : X X : g G} Definición Dada una acción Φ de un grupo G sobre un conjunto X, y un elemento x X, se llama estabilizador de x al conjunto G x = {g G : φ g (x) = x} Proposición En las condiciones de la definición anterior, G x G Demostración. El axioma (A1) asegura que el elemento neutro de G pertenece a G x. (A2) asegura que, si a, b G x, entonces, φ ab (x) = φ a (φ b (x)) = φ a (x) = x por lo que ab G x. Por último, si a G x, se tiene que φ a 1(x) = φ a 1(φ a (x)) = φ e (x) = x demostrando que a 1 G x. 21

26 22 Acciones de grupos. Subgrupos normales Proposición Dada una acción Φ de un grupo G sobre un conjunto X, la relación definida según es de equivalencia. x Φ y g G : φ g (x) = y Demostración. El axioma (A1) asegura que x Φ x. Si x Φ y, entonces φ g (x) = y para algún g G. Así, φ g 1(y) = φ g 1(φ g (x)) = φ g 1 g(x) = φ e (x) = x demostrando que y Φ x. Por último, si x Φ y, y Φ z, entonces φ g (x) = y, φ h (y) = z y z = φ h (y) = φ h (φ g (x)) = φ hg (x) de donde se deduce la transitividad de la relación. Definición La clase de equivalencia de un elemento x X bajo la relación de la proposición anterior recibe el nombre de órbita de x. orb(x) = {y X : y Φ x} Teorema (Órbita-estabilizador) Sea Φ una acción de un grupo G sobre un conjunto X. Para cada x X, orb(x) = [G : G x ] Demostración. Dado x X, definimos una aplicación θ de la órbita de x en el conjunto de clases por la izquierda de G módulo G x según θ(φ g (x)) = gg x. Comprobemos que θ está bien definida. Supongamos que φ g (x) = φ h (x). Entonces, φ h 1 g(x) = x y, por tanto, h 1 g G x, de donde gg x = hg x. Veamos que es inyectiva. Si θ(φ g (x)) = θ(φ h (x)), se tiene que gg x = hg x y h 1 g G x. Así, φ h (x) = φ h (φ h 1 g(x)) = φ hh 1 g(x) = φ g (x) Por último, θ es suprayectiva, ya que cada gg x es θ(φ g (x)) por definición. Por tanto, θ es una biyección, y sus conjuntos dominio e imagen poseen el mismo cardinal.

27 4.2. Elementos conjugados y clases de conjugación Elementos conjugados y clases de conjugación Definición Sea G un grupo. Dado H G, la acción de H sobre G definida según Conj(G, H) = {κ h : G G, κ h (g) = hgh 1 : h H} recibe el nombre de conjugación de G por H. La órbita de un elemento g G se denomina clase de conjugación de g en H. Cl H (g) = {κ h (g) : h H} El estabilizador de g G recibe el nombre de centralizador de g en H. C H (g) = {h H : κ h (g) = g} Proposición Sea G un grupo. La familia de aplicaciones que forma la acción Conj(G, H) posee estructura de grupo bajo la operación de composición. Este grupo, Int G recibe el nombre grupo de automorfismos internos de G, y se tiene Int G Aut G Demostración. Es claro que Int G Aut G. El axioma (A2) asegura que Int G es cerrado por la operación de composición. El axioma (A1) asegura la existencia del elemento neutro, κ e. Por último, (κ a 1 κ a )(x) = κ a 1 a(x) = κ e (x) (κ a κ a 1)(x) = κ aa 1(x) = κ e (x) asegura la existencia de inversos. Proposición Sea G un grupo, y sean x, y G. Entonces, 1. y Cl G (x) a, b G : x = ab, y = ba, 2. y Cl G (x) = ord(x) = ord(y), y 3. Ges abeliano Cl G (x) = x x G. Demostración. Sea y = zxz Haciendo a = z 1 y b = zx, se tiene x = ab e y = ba. Recíprocamente, sea x = ab. Entonces, y = ba = b(ab)b 1 = bxb 1, de modo que y Cl G (x). 2. Sea ord(x) = n, ord(y) = m. Entonces, y m = e (zxz 1 ) m = zx m z 1 = e x n = e

28 24 Acciones de grupos. Subgrupos normales 3. Sea G abeliano. Entonces, para cada x G se tiene gxg 1 = xgg 1 = x con g G. Recíprocamente, si Cl G (x) = x, entonces gxg 1 = x para todos x, g G, o, equivalentemente, gx = xg. Proposición C H (g) = C G (g) H Demostración. Basta observar que C H (g) = {h H : κ h (g) = g} = {h G : κ h (g) = g} H = C G (g) H Definición Se llama centro de G al subgrupo Z(G) = C G (g) = {g G : gh = hg h G} g G Proposición Z(G) es un subgrupo abeliano de G. Demostración. De la propia definición de Z(G) como intersección de subgrupos, se deduce que es un subgrupo, y la caracterización Z(G) = {g G : gh = hg h G} demuestra que éste es abeliano. De hecho, se puede demostrar que Z(G) es el mayor subgrupo abeliano contenido en G, en el sentido de que todo subgrupo abeliano de G está contenido en él, de modo que G es abeliano si y sólo si G = Z(G). Proposición (Ecuación de clases de conjugación) Sea G un grupo finito, y sea C = {x 1, x 2,..., x m } una colección completa de representantes de clases de conjugación de G en G. Entonces, G = Z(G) + x C x / Z(G) Cl(x) Demostración. G puede escribirse como unión disjunta de clases de conjugación según G = x C Cl(x) = x C x Z(G) Cl(x) x C x / Z(G) Cl(x)

29 4.3. Subgrupos normales 25 Ahora bien, las clases de conjugación de los elementos de Z(G) constan de un único elemento. Por tanto, G = Z(G) + Cl(x) x C x / Z(G) = Z(G) + x C x / Z(G) Cl(x) Definición Sea G un grupo. Dado H G, la acción de H sobre el conjunto de subgrupos de G, denotado (G), definida según Conj( (G), H) = {χ h : (G) (G), χ h (K) = hkh 1 : h H} recibe el nombre de conjugación de subgrupos de G por H. La órbita de un subgrupo K G se denomina clase de conjugación de K en H. Cl H (K) = {χ h (K) : h H} El estabilizador de K G recibe el nombre de normalizador de K en H. N H (K) = {h H : χ h (K) = K} 4.3. Subgrupos normales Definición Sea G un grupo, y sea H G. Se dice que H es normal en G, y se denota H G si, para todo g G, se tiene ghg 1 = H. Proposición Son equivalentes: 1. H es normal en G. 2. Para todo g G, gh = Hg. 3. G = N G (H). 4. Cl G (H) = H. Demostración. (1 2) Componiendo ghg 1 = H por la derecha con g, obtenemos gh = Hg. (2 3) El normalizador de H en G es N G (H) = {g G : χ g (H) = H} = {g G : ghg 1 = H} = {g G : Hgg 1 = He = H} utilizando la hipótesis = H

30 26 Acciones de grupos. Subgrupos normales (3 4) Si G = N G (H), entonces ghg 1 = H para todo g G,de donde Cl G (H) = H. (4 1) Sea ghg 1 un conjugado de H. Entonces, ghg 1 Cl G (H) = H, de donde ghg 1 = H y H G. Proposición Sea G un grupo. Entonces, 1. {e} G, G G. 2. Si H G, entonces H N G (H). 3. Si H Z(G), entonces H G. 4. Si H G y G abeliano, entonces H G. 5. Si H G y [G : H] = 2, entonces H G. 6. Si H es el único subgrupo de G de orden n, entonces H G. Demostración. 1. Para todo g G, g{e}g 1 = {e}, luego {e} G. Para todo g G, ggg 1 = G, luego G G. 2. Basta observar el tercer apartado de la proposición De hecho, N G (H) es el mayor subgrupo en el cual H es normal, en el sentido de que cualquier otro subgrupo en el que H sea normal debe estar contenido en N G (H). 3. Si H Z(G), todo h H conmuta con todo g G. Por tanto, gh = Hg y, por el segundo apartado de la proposición 4.3.2, H G. 4. Si G es abeliano, es claro que gh = Hg y H G por el segundo apartado de la proposición Si [G : H] = 2, las clases por la izquierda y por la derecha de G módulo H deben coincidir: H y gh para cualquier g H (H y Hg 1, respectivamente). Aplicando ahora el segundo apartado de la proposición 4.3.2, H G. 6. Para todo g G, se tiene ghg 1 = H. Puesto que H es el único subgrupo de G de orden n, ghg 1 = H, demostrando la normalidad de H en G. Proposición Sean H y K subgrupos de un grupo G. Si K G, entonces HK G y H K H; si además H G, entonces HK G y H K G.

31 4.3. Subgrupos normales 27 Demostración. Como K G, se tiene que hk = Kh para todo h G. En particular, HK = KH, y, por la proposición 2.3.2, HK G. Para todo x H K y todo h H, hxh 1 H por ser H subgrupo de G. Además, puesto que x K y K es normal en G, hxh 1 K. Por tanto, hxh 1 H K. Si tanto H como K son normales en G, sus clases por la izquierda y por la derecha coinciden, de donde, para todo g G ghkg 1 = HgKg 1 = HKgg 1 = HK demostrando la normalidad de HK en G. Por último, si x H K, entonces gxg 1 H K para todo g G. Definición Se dice que un grupo G es simple si sus únicos subgrupos normales son sus subgrupos impropios.

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33 Capítulo 5 Grupos cociente y teoremas de isomorfía 5.1. Grupo cociente y teorema de correspondencia Proposición Sea N un subgrupo normal de un grupo G. El conjunto de clases por la izquierda de G módulo N es un grupo bajo la operación (xn)(yn) = xyn. Este grupo recibe el nombre de grupo cociente de G sobre N y se denota G/N. Demostración. En primer lugar, es necesario comprobar que la operación está bien definida. Si xn = un e yn = vn, entonces, u 1 x, v 1 y N y se tiene (uv) 1 (xy) = v 1 u 1 xy = v 1 ny donde n = u 1 x N = v 1 y(y 1 ny) Dado que N es normal, y 1 ny N. Como v 1 y N, también (uv) 1 (xy) N y xyn = uvn. Los axiomas de grupo se cumplen, entonces, de manera evidente: el elemento neutro es 1N = N, y el inverso de gn es g 1 N. Teorema (Teorema de correspondencia) Sea N un subgrupo normal de un grupo G. Existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de G/N y los subgrupos de G que contienen a N. Además, H G si y sólo si H/N G/N. Demostración. Sea H un subgrupo de G/N. Definimos la aplicación β del conjunto de las partes de G/N en el conjunto de las partes de G según β(h ) = {g G : gn H } 29

34 30 Grupos cociente y teoremas de isomorfía β(h ) es un subgrupo de G, ya que es no vacío (N β(h ), pues, para todo n N se tiene nn = N H por ser H G/N) y a, b β(h ) = an, b 1 N H = ab 1 N H = ab 1 β(h ) Recíprocamente, sea N H G. Definimos la aplicación α del conjunto de las partes de G en el conjunto de las partes de G/N según α(h) = {hn G/N : h H} = H/N α(h) es un subgrupo de G/N, ya que es no vacío (N α(h)) y h 1 N, h 2 N α(h) h 1, h 2 H h 1 h 1 2 H h 1 h 1 2 N α(h) Veamos ahora que tanto α como β son biyecciones, inversas la una de la otra. En efecto, sea N H G. Entonces, β α(h) = β(h/n) = {g G : gn H/N} = H Recíprocamente, si H G/N, entonces α β(h ) = α({g G : gn H }) = {gn H } = H Si H G, entonces ghg 1 H para todo g G, de donde (gn)(hn)(gn) 1 = (ghg 1 )N H/N gn G/N demostrando la normalidad de H/N en G/N. Recíprocamente, si H/N G/N, entonces (gn)(hn)(gn) 1 = (ghg 1 )N H/N para todo gn G/N implica que ghg 1 H para todos h H y g G, de modo que H G Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorfía Proposición Sean G 1 y G 2 grupos, y f : G 1 G 2 un homomorfismo. 1. H 1 G 1 = f(h 1 ) G H 2 G 2 = f 1 (H 2 ) G H 1 G 1 y f suprayectivo = f(h 1 ) G H 2 G 2 = f 1 (H 2 ) G 1. Demostración.

35 5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorfía Sean u, v f(h 1 ), de modo que existen x, y H 1 tales que u = f(x), v = f(y). Entonces, uv 1 = f(x)f(y) 1 = f(xy 1 ) f(h 1 ) 2. Sean u, v H 2, de modo que existen x, y H 1 tales que u = f(x), v = f(y). Entonces, uv 1 = f(x)f(y) 1 = f(xy 1 ) H 2 xy 1 f 1 (H 2 ) 3. Sea u f(h 1 ), de modo que existe x H 1 tal que f(x) = u. Para todo v G 2, existe g G 1 tal que f(g) = v, por ser f suprayectiva. Así, vuv 1 = f(g)f(x)f(g) 1 = f(gxg 1 ) f(h 1 ) ya que H 1 es normal, de donde gxg 1 H Sea x f 1 (H 2 ), de modo que existe u H 2 tal que f(x) = u. Para todo g G 1, existe v G 2 tal que f(g) = v. Como H 2 G 2, vuv 1 = f(g)f(h)f(g) 1 = f(gxg 1 ) H 2 de donde gxg 1 f 1 (H 2 ) para todo g G 1, luego f 1 (H 2 ) G 1. Teorema (Primer teorema de isomorfía) Sean G y H grupos, y f : G H un homomorfismo. Entonces, 1. imf H, 2. kerf G, y 3. G/kerf = imf. Demostración. 1. Basta aplicar el primer apartado de la proposición anterior al subgrupo impropio G. 2. Aplíquese el último apartado de la proposición anterior al subgrupo impropio {e}. 3. Sea θ : G/N imf la aplicación tal que θ(xn) = f(x). Supongamos que xn = yn, de modo que x 1 y N. Entonces, θ(xn) = f(x) = f(x)e = f(x)f(x 1 y) = f(y) = θ(yn)

36 32 Grupos cociente y teoremas de isomorfía demostrando que θ está bien definida. El hecho de que f sea un homomorfismo implica que θ también lo es, según θ((xn)(yn)) = θ(xyn) = f(xy) = f(x)f(y) = θ(xn)θ(yn) Además, es suprayectiva, ya que cada f(x) imf es θ(xn) por definición, e inyectiva, ya que θ(xn) = θ(yn) f(x) = f(y) f(xy 1 ) = e Por tanto, θ es un isomorfismo. xy 1 N xn = yn Teorema (Segundo teorema de isomorfía) Sean H G, N G. Entonces, H N H = HN N Demostración. Sea ϕ : G G/N el homomorfismo canónico con núcleo N definido según ϕ(g) = gn. Si consideramos la restricción de ϕ a H, tenemos ϕ(h) = HN/N y kerϕ H = H N. Basta, entonces, aplicar el primer teorema de isomofía a ϕ H. Teorema (Tercer teorema de isomorfía) Sean H, N G, N H. Entonces, G/N H/N = G/H Demostración. Considérese la aplicación χ: G/N G/H definida según χ(gn) = gh. Se tiene im χ = G/H y ker χ = H/N. Basta aplicar ahora el primer teorema de isomorfía Corolarios de los teoremas de isomorfía Proposición G/Z(G) = Int G Demostración. Sea ξ : G Int G la aplicación definida según ξ(g) = κ g. Esta aplicación es un homomorfismo, pues ξ(gh)(x) = κ gh (x) = [κ g κ h ](x) = [ξ(g) ξ(h)](x)

37 5.3. Corolarios de los teoremas de isomorfía 33 y es suprayectiva, ya que κ g es ξ(g) por definición. Basta ahora aplicar el primer teorema de isomorfía, ya que ker ξ = {g G : κ g = κ e } = {g G : κ g (x) = κ e (x) x G} = {g G : gxg 1 = x x G} = Z(G) Corolario Sea G un grupo. Son equivalentes: 1. G es abeliano, 2. Int G es trivial, y 3. Int G es cíclico. Demostración. (1 2) Para todos a, g G, κ a (g) = aga 1 = gaa 1 = a. (2 3) Evidente. (3 1) Supongamos que IntG es cíclico. Utilizando la proposición anterior, existe un elemento a G tal que G/Z(G) = az(g). Para todos x, y G existen enteros i, j y elementos b, c Z(G) tales que x = a i b, y = a j c. Entonces, xy = a i ba j c, y, puesto que todos estos elementos conmutan entre sí, xy = a i ba j c = a j ca i b = yx.

38

39 Capítulo 6 Grupos simétricos, alternados y diédricos 6.1. Permutaciones. Descomposición en ciclos disjuntos Definición Se llama grupo simétrico de orden n, S n, al grupo de permutaciones del conjunto {1, 2,..., n}. Proposición S n = n! Demostración. Existen n! permutaciones en un conjunto de n elementos. Proposición Sean π S n, e i {1, 2,..., n}. Si k es el menor entero positivo tal que π k (i) {i, π(i),..., π k 1 (i)}, entonces π k (i) = i. Demostración. Supongamos que π k (i) = π r (i) para algún 0 < r < k. Entonces, π k r (i) = i, en contra de la definición de k. Por tanto, r = 0. Definición Una permutación ρ se llama k-ciclo si existen k N e i {1, 2,..., n} tales que k es el menor entero positivo tal que ρ k (i) = i, y ρ(j) = j para todo j / {i, ρ(i),..., ρ k 1 (i)}. Se denota entonces ρ = (iρ(i)... ρ k 1 (i)). Un 2-ciclo recibe el nombre de transposición. Proposición Sea ρ un k-ciclo. Entonces, ord(ρ) = k. 35

40 36 Grupos simétricos, alternados y diédricos Demostración. Basta observar que ρ es un k-ciclo si k es el mínimo entero positivo tal que ρ k (i) = i, por la proposición Definición Se dice que ρ, σ son permutaciones disjuntas si no existe i {1, 2,..., n} tal que ρ(i) i y σ(i) i. Proposición Toda permutación puede escribirse como producto de ciclos disjuntos. Demostración. Sea σ S n. Definamos una relación en {1, 2,..., n} según irj k N : σ k (i) = j Esta relación es de equivalencia. iri, i.e., existe r N tal que σ r (i) = i, ya que, en caso contrario, el conjunto {σ k (i) : k N} sería infinito. Si irj, entonces existe k N tal que σ k (i) = j, de donde i = σ r (i) = σ r k σ k (i) = σ r k (j). Por último, si irj y jrk, se tienen k, m N tales que σ k (i) = j y σ m (j) = k, de donde σ k+m (i) = k. Por la proposición 6.1.3, cada una de las clases de equivalencia de esta relación es un ciclo. La disjunción de estas clases implica la disjunción de los ciclos. Proposición Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces ρσ = σρ, y, para todo k N, (ρσ) k = ρ k σ k. Demostración. Sea i {1, 2,..., n} que queda fijo por ρ. Entonces, σ r (i) queda también fijo por ρ, de donde ρσ(i) = σ(i) = σρ(i). Anlogamente, si j {1, 2,..., n} queda fijo por σ, ρ r (j) queda también fijo por σ y ρσ(j) = ρ(j) = σρ(j). Por último, si k {1, 2,..., n} queda fijo por ambas, es evidente que ρσ(k) = σρ(k) = k. Si ρ y σ conmutan, es evidente entonces que (ρσ) k = ρ k σ k para todo k N. Corolario Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces, ord(ρσ) = [ord(ρ), ord(σ)] Demostración. Si (ρσ) m = ρ m σ m = e, entonces ρ m = e; σ m = e, por ser permutaciones disjuntas. Así m = ord(ρσ) es el mínimo entero positivo tal que ord(ρ) m y ord(σ) m, es decir, m = [ord(ρ), ord(σ)].

41 6.2. Descomposición en transposiciones. Sistemas de generadores de S n Descomposición en transposiciones. Sistemas de generadores de S n Proposición Todo k-ciclo en S n puede descomponerse en un producto de k 1 transposiciones. Demostración. Basta observar que el k-ciclo π = (12... k) admite la factorización π = (1k)... (13)(12), de donde (i 1 i 2... i k ) = (i 1 i k )... (i 1 i 3 )(i 1 i 2 ) Corolario Las transposiciones generan S n. Demostración. Evidente de la proposición anterior Proposición Sean ρ, π S n. La descomposición en ciclos disjuntos de πρπ 1 se obtiene de la de ρ sustituyendo cada entero i en la descomposición de ρ por el entero π(i). Demostración. En efecto, πρπ 1 (π(i)) = πρ(i). Por tanto, πρπ 1 aplica π(i) en π(ρ(i)), mientras que ρ aplica i en ρ(i). Corolario Para todo n N, las transposiciones de la forma (k k + 1) con 1 k n 1 generan S n. Demostración. Veamos que toda transposición (ij) con i < j puede escribirse como producto de transposiciones de la forma (k k + 1). Utilizando la proposición anterior, vemos que En general, (i i + 2) = (i + 1 i + 2)(i i + 1)(i + 1 i + 2) 1 (ij) = (j 1 j)(j 2 j 1)... (i + 1 i + 2)(i i + 1) (i + 1 i + 2) 1... (j 2 j 1) 1 (j 1 j) 1 Basta ahora utilizar las proposiciones y Signatura de una permutación Proposición Sea F n el conjunto de los polinomios en n variables, y sea Ξ la familia de aplicaciones ξ σ : F n F n con σ S n definidas según ξ σ (f(x 1, x 2,..., x n )) = f(x σ(1), x σ(2),..., x σ(n) ) Ξ es una acción de S n sobre F n.

42 38 Grupos simétricos, alternados y diédricos Demostración. En efecto, si denotamos I la permutación identidad, ξ I (f(x 1, x 2,..., x n )) = f(x 1, x 2,..., x n ) verificando (A1). Para comprobar (A2), basta observar que ξ ρ ξ σ (f(x 1, x 2,..., x n )) = ξ ρ (f(x σ(1), x σ(2),..., x σ(n) )) = f(x ρσ(1), x ρσ(2),..., x ρσ(n) ) = ξ ρσ (f(x 1, x 2,..., x n )) Proposición Si n = (x i x j ) F n 1 i<j n se define la signatura de σ como la aplicación sgn : S n { 1, 1} definida según sgn(σ) n = ξ σ ( n ) Esta aplicación sgn es un homomorfismo. Demostración. Es claro que, para todo λ R, ξ σ (λf) = λξ σ (f). Por tanto, utilizando la proposición anterior, sgn(ρσ) n = ξ ρσ n por definición = ξ ρ ξ σ ( n ) por el axioma (A2) = ξ ρ (sgn(σ) n ) por definición = sgn(σ)ξ ρ ( n ) = sgn(σ)sgn(ρ) n por definición Definición Se dice que σ S n es una permutación par si sgn(σ) = 1. Se dice que σ S n es una permutación impar si sgn(σ) = 1. Corolario Sean π, σ S n. Entonces, 1. sgn(π) = sgn(π 1 ), y 2. sgn(πσπ 1 ) = sgn(σ). Demostración. Utilizando que sgn es un homomorfismo, de donde sgn(π) = sgn(π 1 ), y 1 = sgn(i) = sgn(ππ 1 ) = sgn(π)sgn(π 1 ) sgn(πσπ 1 ) = sgn(π)sgn(σ)sgn(π) = sgn(σ)

43 6.4. Grupos alternados 39 Corolario Sea σ un k-ciclo. Entonces, sgn(σ) = ( 1) k 1 Demostración. Es claro que la transposición (12) es impar, puesto que produce un único cambio de signo en n, la del factor (x 1 x 2 ). Una transposición de la forma (1k) puede escribirse como (1k) = (2k)(12)(2k) 1 luego es impar por el corolario Finalmente, (lk) = (1l)(1k)(1l) 1 por lo queda demostrado que toda transposición es impar. Por la proposición 6.2.1, todo k-ciclo puede factorizarse en un producto de k 1 transposiciones. Del hecho de que sgn es un homomorfismo se sigue el enunciado. Proposición Sea σ S n una permutación par. Entonces, toda descomposición de σ en transposiciones posee un número par de transposiciones. Anlogamente, si σ S n es una permutación impar, toda descomposición de σ en transposiciones posee un número impar de transposiciones. Demostración. Supongamos que σ S n posee dos factorizaciones distintas con k y l transposiciones, respectivamente. Entonces, las signaturas de cada una de ellas debe coincidir con la signatura de σ. Así, si σ es par, sgn(σ) = 1 = ( 1) k = ( 1) l de manera que tanto k como l deben ser pares. Análogamente, si σ es impar, sgn(σ) = 1 = ( 1) k = ( 1) l y k y l deben ser impares Grupos alternados Definición Se llama grupo alternado de orden n, A n al subgrupo de todas las permutaciones pares de S n. Proposición A n = ker(sgn). Demostración. En efecto, ker(sgn) = {σ S n : sgn(σ) = 1} es efectivamente el conjunto de todas las permutaciones pares de S n. Q.E.D.

44 40 Grupos simétricos, alternados y diédricos Corolario A n S n. 2. A n = n! 2. Demostración. Por el primer teorema de isomorfía, aplicado al homomorfismo sgn, A n S n y S n /A n = { 1, 1}. Aplicando ahora el teorema de Lagrange, Proposición A 2 = I. 2. A 3 = Z3. Demostración. A n = S n [S n : A n ] = S n S n /A n = n! 2 1. Es evidente del hecho de que S 2 = {I, (12)}. 2. Puesto que S 3 = {I, (12), (13), (23), (123), (132)}, se tiene que A 3 = {I, (123), (132)}. Pero (123)(123) = (132), (123)(123)(123) = I Así, A 3 es un grupo cíclico de orden 3, y, por tanto, isomorfo a Z 3. Proposición Para cada n 3, los 3-ciclos generan A n. Demostración. De la propia definición de grupo alternado, cada permutación de A n puede escribirse como producto de un número par de transposiciones. Agrupando las transposiciones por pares, (ij)(kl), se tienen dos casos. Si i, j, k, l son enteros distintos, Si alguno de ellos coincide, (ij)(kl) = (ikj)(ikl) (ij)(il) = (ilj) Por tanto, todo elemento de A n con n 3 puede escribirse como producto de 3-ciclos.

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