De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las 4 letras de la palabra PACO?

Transcripción

1 ombinatoria EJERIIOS Un equipo de fútbol tiene equipaciones, compuestas de camiseta, pantalón y medias, de diferentes colores, verde y azul. uántas formas distintas tendrán para vestirse sin que se repita la indumentaria? 8 Tendrán 8 posibilidades distintas para vestirse. De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las letras de la palabra PAO? 3 Se pueden colocar de maneras diferentes. 3 uántos caminos diferentes hay para llegar de mi casa al restaurante pasando por el cine? 3 Hay caminos diferentes. Mediante un diagrama de árbol, indica cuántas y cuáles son las distintas combinaciones de letras que podemos formar con las letras de la palabra ROSA. Las distintas posibilidades son: ROSA OSAR SARO AROS ROAS OSRA SAOR ARSO RSAO OARS SORA ASOR RSOA OASR SOAR ASRO RAOS ORAS SROA AOSR RASO ORSA SRAO AORS Hay posibilidades distintas. Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado de caras, numeradas del al. Describe cuántas y cuáles son las posibilidades del eperimento. Ayúdate con un diagrama de árbol. ara () 3 3 ruz (X) El número de posibilidades del eperimento es : 3 X X X3 X X X 8

2 SOLUIONARIO 3 Para los cargos de delegado y subdelegado de tu clase se han presentado 3 estudiantes: Juan, Rosa y María. Representa, mediante un diagrama de árbol, las posibles combinaciones que se pueden dar en la elección. Delegado Subdelegado Delegado Subdelegado Delegado Subdelegado Juan Rosa María Rosa Juan María María Juan Rosa 7 uántos números de 3 cifras, ninguna de ellas repetida, se pueden formar con los números impares? uáles son? Hay números posibles. 8 alcula. a) 8! c)! d) 8 a) 8!.3 c)! d) Haz las operaciones. a)! 7 7 c)!! d) 3 + a)! 79.. c)!! d) Simplifica estas operaciones con factoriales y números combinatorios. a) (n + ) n! c) n e) (n + )! n! g) n n n d) (n + )! f) n h) (n )! (n 3)! n a) ( n + ) n! ( n + )! n n c) n d) ( n + )! e) ( n + )! n! n n! f) n n g) n n n h) ( n )! ( n 3)! 9

3 ombinatoria Realiza las siguientes operaciones con números combinatorios. a) c) a) !!!! +!!!! 7!! 3!! !!! +!!! 3! 3!! + c) Aplica las propiedades de los números combinatorios, sin realizar las operaciones, y calcula, sabiendo que Haz estas operaciones. a) a) !! 3! 9 9 +!! +!!! 3! alcula estas potencias de binomios y simplifica todo lo que sea posible. a) ( + ) c) e) ( y) 3 ( ) d) ( + ) f) + 7 a) ( + )

4 SOLUIONARIO 3 ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 7 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) d) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) + y y 3 + ( y) ( y) ( y) ( y) 3 y + y y + y f) Desarrolla los siguientes binomios. a) (a + (a 8 a) ( a+ a b a b a b 3 a b a b a b a b 3 3 a + a b + a b + a b + a b + ab + b ( a a ( a ( a ( a b + 8 a b ( ) ( ) a ( a b 8 + ( ) a ( 8 a ( a 8a b+ 8ab ab + 7ab ab a b 8ab + b

5 ombinatoria Desarrolla el binomio. (a y) ( a y ) ( a ) ( y ) + + ( a ) ( y ) 3 ( a ) ( y ) ( a ) ( y ) ( a ) + ( y) ( a ) ( y) a a 8 y + a 3 y a y 3 + a y y 7 Hemos alquilado un palco en el teatro con asientos. De cuántas formas podemos sentarnos mis padres, mi hermana y yo?! V, 3 Podemos sentarnos de 3 formas.! 8 Además de nosotros, vienen al palco dos amigos más. uántas agrupaciones distintas podemos hacer? En este caso habrá tantos asientos como personas. Podemos hacer: P! 7 agrupaciones 9 on bolas rojas, 3 azules, naranjas y blancas, cuántos collares diferentes de bolas podemos hacer? VR,.8.7 Podemos hacer.8.7 collares. on botes de pintura: amarilla, azul, roja y blanca, cuántas mezclas de dos colores puedes realizar?,!!! Se pueden hacer mezclas de dos colores. En una clase de alumnos se tiene que elegir delegado y subdelegado. uántas parejas se pueden formar para desempeñar estos cargos?! V, ( )!! Se pueden formar parejas. 3! Tenemos pesas de,, 3,, y kg. uántas pesadas diferentes podemos hacer? Dependiendo de si utilizamos,, 3,, o pesas, el número de pesadas distintas es:, +, +, 3 +, +, +, pesadas

6 SOLUIONARIO 3 3 alcula el número de alineaciones distintas que podremos hacer para jugar un partido de fútbol, si tenemos jugadores en la plantilla.,!!! 7.3 Se pueden hacer 7.3 alineaciones. on las letras de la palabra POTENIA, cuántas palabras se pueden formar, con o sin sentido, suponiendo que las letras puedan repetirse? Y si no se pueden repetir? Si las letras pueden repetirse, dependerá del número de letras que queramos que tenga la palabra; así, si tiene n letras: VR 8, n 8 n Si las letras no pueden repetirse, dependerá del número de letras 8! que queramos que tenga la palabra; así, si tiene n letras: V 8, n ( 8 n)! Tres compañeros de un centro escolar están en la fila de un autobús. De cuántas maneras se pueden subir, sabiendo que tienen que hacerlo de uno en uno? Y si van cinco compañeros? Si son tres compañeros: P 3 3!, pueden subir de formas diferentes. Si son cinco compañeros: P!, pueden subir de formas diferentes. uántos números de 7 cifras iguales o diferentes se pueden formar con los dígitos,,, 7 y 8? VR, Se pueden formar 78. números distintos. 7 De cuántas maneras distintas pueden llegar nadadores a la meta? En este caso influye el orden y se trabaja con todos los elementos, pero no se repite ninguno, luego habrá que calcular el número de permutaciones de elementos. P! Pueden llegar a la meta de maneras. 8 De cuántas formas podemos colocarnos anillos diferentes en una mano, de modo que no estén en el mismo dedo?!! V, Podemos colocarlos de formas. ( )! 3! ATIVIDADES 9 Lanzamos un dado y una moneda consecutivamente. Razona cuántos resultados diferentes se pueden producir. Por cada resultado distinto del dado se pueden obtener dos resultados de la moneda. Aplicando el método del producto concluimos que se pueden producir: resultados diferentes. 3

7 ombinatoria 3 En un restaurante, el menú del día tiene 3 primeros platos, 3 segundos y postres para elegir. uántos menús diferentes podemos confeccionar? Utiliza el método del producto y represéntalo con un diagrama de árbol. Utilizando el método del producto podemos confeccionar: menús distintos. En el siguiente diagrama de árbol, aparecen los posibles menús con el plato PRIMERO A. El diagrama de árbol es análogo con el plato PRIMERO B y con el plato PRIMERO. POSTRE A SEGUNDO A POSTRE B POSTRE POSTRE D POSTRE A PRIMERO A SEGUNDO B POSTRE B POSTRE POSTRE D POSTRE A SEGUNDO POSTRE B POSTRE POSTRE D 3 La clave de acceso de un ordenador consta de caracteres (solo letras o números) y distingue entre letras mayúsculas y minúsculas. alcula el número de posibilidades distintas que hay para escribir la clave. Suponiendo que un ordenador personal tiene letras (sin considerar la letra ñ), y teniendo en cuenta que distingue entre mayúsculas y minúsculas, hay posibles letras y números. En total, son elementos. Por tanto, el número de posibilidades que hay para escribir la clave es el número de variaciones con repetición de elementos, tomados de en. VR, posibilidades 3 Susana dispone en su armario de faldas, 3 pares de pantalones de diferentes colores, blusas, 3 camisetas y 3 sombreros. onstruye, en un diagrama de árbol, las posibles combinaciones que puede hacer. onsideramos que no se pueden poner falda y pantalón juntos, ni camiseta y blusa a la vez. Por tanto, el diagrama de árbol es: SOMBRERO AMISETA SOMBRERO PANTALÓN AMISETA SOMBRERO 3 AMISETA 3 Se procedería de forma análoga con PANTALÓN y PANTALÓN 3. Después, se hace un diagrama de árbol similar al anterior sustituyendo las camisetas por BLUSA y BLUSA. Por último, se realizan los diagramas de árbol similares a los anteriores con FALDA y FALDA.

8 SOLUIONARIO 3 33 Representa, en un diagrama de árbol, los resultados obtenidos al lanzar una moneda al aire y anotar el resultado de tiradas. X X X X X X X X X El diagrama de árbol se completaría añadiendo las ramas ( X) a cada X que aparece en el diagrama. Por último, se haría otro diagrama análogo, considerando que la primera tirada es X. 3 El código PIN de un teléfono móvil está formado por dígitos. Halla el número de códigos diferentes que podemos poner en el teléfono. Teniendo en cuenta que el teclado de un teléfono móvil dispone de números distintos, el número de códigos diferentes es el número de variaciones con repetición de elementos, tomados de en. VR,. códigos 3 alcula el valor de los siguientes números combinatorios. c) a) d) 9 8 a) 8 8 7! 7!! ! 3!! c)!!! d) 9 9 8! 8!!

9 ombinatoria 3 Realiza estas operaciones con números combinatorios a) a) !!!! +!!!!! 8! 3! 3! Razona si es o no cierta esta igualdad. n! + m! (n + m)! Pon varios ejemplos en los que compruebes si la igualdad es cierta o falsa. La igualdad de números combinatorios n! + m! (n + m)! no es cierta. Veamos algunos ejemplos en los que no se cumple la igualdad. 3! +! + 8 3! +! ( 3+ ) ( 3 + )!!!! + 3! +! + 3 ( + 3)! 8!. 3! ( + 3 )! 38 Halla, con ayuda de la calculadora, los siguientes números factoriales. a)! 79.. e)! 8.! f) 3 3! 8 c) 7!. g)!, d)!, h) 7!. 39 alcula el valor de los números combinatorios, utilizando, si es necesario, la calculadora científica. a) a)

10 SOLUIONARIO 3 Demuestra con ejemplos que se verifican estas igualdades. a) n n n a) n n n n ( )!!! ( ) Desarrolla las potencias de estos binomios. a) ( a c) + a) ( a a ( a + d) ( 3 ) ( ) 3 + a a ( a) ( a) 3 3 ( a) ( a) ( a) ( a) a+. 8a. 3a +. a 7a + a c) e) d) ( 3 a) e) + + ( a ( a b + a b + ( ) ( ) a ( a a b + a b a b + ab b f) f) 7

11 ombinatoria uál es el desarrollo del binomio ( + y)? ( + y) ( y) ( ) 3 ( ) 3 y y 3 ( y ) ( y) ( y ) y 3 3 y y y. 8y + 3 HAZLO ASÍ ÓMO SE ALULA UNO DE LOS TÉRMINOS DE UN BINOMIO DE NEWTON? alcula el término octavo de ( y). PRIMERO. Se determinan a, b y n en el binomio. ( y) a b y n SEGUNDO. El término m del desarrollo del binomio de Newton es: n a m El término octavo es m 8 si: n a m F b n ( m ) ( m ) b n ( m ) ( m ) a, b y, n, m 8 8 ( 8 ) ( 8 ) ( ) ( y) 79 3 y. 3y 7 7 alcula el término seto de (3 + y) ( ) y y. y Halla el término tercero de ( + y). ( y) y y Obtén el término noveno de (3 + y) ( 3 ) y 9 3 y 7 y

12 SOLUIONARIO 3 7 alcula la suma de todos los coeficientes de los polinomios. a) ( + y) 3 e) ( y) 3 ( + y) f) ( y) c) ( + y) g) ( y) d) ( + y) h) ( y) a) c) d) e) f) g) h) Halla estas variaciones. a) De elementos, tomados de 3 en 3. De elementos, tomados de en. c) De 9 elementos, tomados de en. d) on repetición de elementos, tomados de 3 en 3. e) on repetición de elementos, tomados de en. f) on repetición de 7 elementos, tomados de en.! a) V, 3 3!! V, 9 8! 9! c) V 9, 93.! d) VR, 3 3 e) VR, 3.. f) VR 7,

13 ombinatoria 9 alcula las siguientes permutaciones. a) De elementos. e) De elementos. De elementos. f) De 7 elementos. c) De 9 elementos. g) De elementos. d) De 8 elementos. h) De elementos. a) P! 7 P! c) P 9 9!, 7 d) P 8 8!.3 e) P!, 8 f) P 7 7! 3, g) P! h) P!,3 Realiza las combinaciones. a) De elementos, tomados de en. De elementos, tomados de en. c) De 9 elementos, tomados de en. d) De elementos, tomados de 3 en 3. e) De elementos, tomados de en. f) De 7 elementos, tomados de en. a)!,!!!,! 8! c) 9 9! 9,!!! d) 3, 3 3!! e)!,!! f) 7 7! 7,! 3! alcula y simplifica. a) P + P P + P 3 + P P 7 P a) P + P! +!! +! ( + )!! P + P 3 + P 3! + 3! +! ( )! 3 c) P 7 P 7!! 7!! (7 )!!.3

14 SOLUIONARIO 3 alcula y simplifica los resultados., 3 c), 3,,,, a), d),, 3,,,,,! a),!!!! 3! 3,!!!!! 3!!!!!,,,,!!!!! 3! !!, 3,,,! 3!!!! 3!!!!!!! c) d), 3, 3,,!! 3!!!!! 3!!!!!!!! !!! 3!!!! 3!! 3 De cuántas formas se pueden sentar personas en un sofá de 3 plazas? V, 3!! formas de sentarse Escribe todas las palabras de 3 letras, con o sin sentido, que se pueden formar con las letras de la palabra HOLA.! V, 3 palabras Ejemplo: HOL, HOA, OHL, OHA! uántas banderas tricolores se pueden formar con los 7 colores del arco iris? 7! V 7, 3 banderas!

15 ombinatoria Para aprobar un eamen de preguntas hay que contestar correctamente a de ellas. De cuántas formas diferentes se pueden elegir las preguntas?,!! 3! formas 7 Un artesano hace pulseras con 3 hilos de diferentes colores. Si tiene hilo de colores, cuántos tipos de pulsera distintos puede hacer?! V, 3 9!.3 tipos de pulseras 8 Un entrenador de fútbol quiere presentar una alineación con defensas, 3 centrocampistas y 3 delanteros. uántas posibilidades tiene de hacerlo si dispone de 3 porteros, 7 defensas, centrocampistas y 7 delanteros, y cada jugador solo puede jugar en su línea correspondiente? Para elegir al portero tendrá: 3, 3 posibilidades 7! Para elegir a los defensas tendrá: 7, 3 posibilidades! 3!! Para elegir a los 3 centrocampistas tendrá:, 3 posibilidades 3! 3! 7! Para elegir a los 3 delanteros tendrá: 7, 3 3 posibilidades 3!! Aplicando el método del producto, el número total de posibilidades es: uántos números de cifras pueden formarse con los dígitos,, 3,,, 8 y 9? Y cuántos números de cifras? onsiderando que los dígitos no se pueden repetir, y teniendo en cuenta que los números que comienzan por no se consideran de cifras, resulta: 7!! V 7, V, números 3! 3! Análogamente, la cantidad de números de cifras es: 7!! V 7, V,. 3. números!!

16 SOLUIONARIO 3 uántas tripulaciones de remeros se pueden formar con un total de remeros?!, 9 tripulaciones!! Si integrantes de un equipo de baloncesto se sitúan en fila para hacer un tiro a canasta, de cuántas formas distintas pueden ponerse? P! formas 3 En una clase hay alumnos y se forman grupos de alumnos para realizar un trabajo de Matemáticas. uántos grupos diferentes se pueden hacer?!, 3.3 grupos!! uántos productos distintos se pueden formar con los dígitos,, 3,, y 7, de forma que cada producto conste de 3 factores? Puesto que el orden de los factores no altera el producto, el número! de productos de 3 factores que se puede formar es:, 3 3! 3! HAZLO ASÍ ÓMO SE ALULA EL NÚMERO DE POSIBILIDADES QUE UMPLEN UNA PROPIEDAD? on las cifras 3,, 8 y 9, cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar que sean mayores que? PRIMERO. Se eaminan los resultados que cumplen la condición. Si el número de 3 cifras que formemos tiene que ser mayor que, tendría que empezar por 8 o por 9. Los números buscados serán de la forma: 8ab a y b pueden ser: 3, o 9 9ab a y b pueden ser: 3, u 8 SEGUNDO. Se calculan las posibilidades. En ambos casos influye el orden y no hay repeticiones, por lo que son variaciones. También en ambos casos hay 3 elementos que se agrupan de en. 3! 3! V 3, ( 3 )!! Así, habrá números que empiecen por 8 y otros números que empiecen por 9. Hay números mayores que. 3

17 ombinatoria onsidera los dígitos,,,, 8 y. a) uántos números de 3 cifras se pueden formar? uántos de estos números empiezan por? Y por 3? a) Un número de 3 cifras deberá empezar por,,, u 8. Las otras dos cifras pueden ser cualquier número, incluido el : VR, 8. Se pueden formar 8 números. Números que empiecen por : VR, 3. Se pueden formar 3 números. Números que empiecen por 3: VR, 3. Se pueden formar 3 números. on las letras de la palabra PERMUTAIÓN, cuántas palabras pueden formarse que comiencen por PE? Y que terminen en ON? Palabras que empiecen por PE: P 9 9! 3.88 palabras Palabras que terminen en ON: P 9 9! 3.88 palabras on los dígitos,, 3, y, cuántos números de cifras se pueden hacer que sean múltiplos de? onsideramos que los dígitos no se puede repetir. Son múltiplos de los números que acaben en : P! números on las cifras,,, y 8, cuántos números de cifras se pueden formar? Y cuántos son múltiplos de 3? onsideramos que los dígitos no se repiten.!! V, V, números 3! 3! Son múltiplos de 3:,, 8, y 8. on las cifras,, 3 y : a) uántos números pares de cifras se pueden formar? Y cuántos números pares de 3 cifras? c) uántos múltiplos de con 3 cifras se pueden formar? onsideramos que los dígitos no se pueden repetir. a) Son pares los números terminados en : V 3, 3 números 3! V 3, números! 3! c) Son múltiplos de los números terminados en : V 3, números! En cuántos puntos se cortan 7 rectas de manera que no haya rectas que sean paralelas, ni más de rectas que se corten en un punto? Dado que todas las rectas se han de cortar dos a dos, el número de puntos 7! de corte distintos es: 7,!!

18 SOLUIONARIO 3 7 En cuántos puntos se cortan, como máimo, las diagonales de un octógono? El número de diagonales de un octógono es el número de rectas que unen dos de sus vértices, a las que hay que restar las rectas formadas por dos vértices consecutivos (lados): 8! 8, 8 8!! El máimo número de puntos de corte es el número de vértices más los posibles cortes de las diagonales, dos a dos. Hay que considerar que las diagonales que salen de un mismo vértice solo se cortan en ese vértice; por tanto, debemos restarle el número de puntos de corte de las diagonales: 8 +, 8, 7 En cuántos puntos se cortan, como máimo, las diagonales de un pentágono?! El número de diagonales de un pentágono es:,! 3! Puntos de corte: +,, 73 En cuántos puntos se cortan, como máimo, las diagonales de un heágono?! El número de diagonales de un heágono es:,! 3! Puntos de corte: +, 3, 93 7 on las letras de la palabra ESTERNOLEIDOMASTOIDEO, cuántas palabras se pueden formar de letras? a) Si se pueden repetir. Si no se pueden repetir. a) VR, palabras! V,.8 palabras! 7 De cuántas formas se pueden alinear signos + y 9 signos, de manera que no puedan situarse signos seguidos? No es posible alinearlos de ninguna manera, ya que al haber más signos que signos +, siempre quedarán dos signos seguidos. 7 alcula cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar con 3 letras de tu nombre, si: a) Se pueden repetir. No se pueden repetir. Dependerá de la cantidad de letras que tenga el nombre; por ejemplo, si tiene n letras: 3 n! a) VRn,3 n Vn, 3 ( n 3)!

19 ombinatoria 77 La escala musical se compone de 7 notas: do, re, mi, fa, sol, la y si. Si se ordenan de grave a agudo, cuántas melodías diferentes podemos hacer con notas? No influye el orden, puesto que las notas siempre se ordenan de grave a agudo. Son combinaciones con repetición de 7 elementos, tomados de en, y su fórmula es:! R m n n+m m !! 78 En código Morse se escribe cada letra del alfabeto mediante series de puntos (.) y rayas ( ): A se escribe utilizando símbolos. B se escribe utilizando símbolos... uántas series diferentes hay si utilizamos como máimo símbolos? omo las series pueden constar de,, 3 o símbolos, el número de series diferentes es: VR, + VR, + VR, 3 + VR, alcula el número de pulseras diferentes de bolas de colores que podemos elaborar si tenemos bolas de colores. onsiderando que la disposición de las bolas da lugar a collares diferentes, el número de collares distintos es: VR, 9, 3 8 Un alumno tiene 8 asignaturas en un curso. La nota de cada asignatura puede ser suspenso, aprobado, notable o sobresaliente. uántos boletines de notas distintos puede obtener? VR, boletines de notas 8 Un grupo de personas quiere hacer una ecursión en coche. Si en cada coche viajan personas: a) uántos grupos diferentes se pueden formar? En cuántos de estos grupos estarán arlos y María, que son dos de las personas que van a la ecursión? a) Puesto que el orden de elección de los integrantes de un grupo no es influyente en el grupo, el número de grupos de personas distintos! que se podrán formar, es:, 79! 7!! María y arlos estarán en:, 3 grupos diferentes 3! 7!

20 SOLUIONARIO 3 8 Utilizando solamente números enteros positivos, cuántas sumas distintas dan como resultado? Dos posibles sumas serían: Suponiendo que no importa el orden en la suma: Hay sumas que dan como resultado. 83 uántos números capicúas de cifras hay? Los números capicúas de cifras son de la forma abccba, con a. VR 9, VR, 9 9. Eisten 9 números capicúas de cifras. 8 Tres amigos han encontrado 8 piedras idénticas. De cuántas maneras pueden repartirlas si cada amigo se lleva al menos una piedra? ada amigo tendrá entre y piedras, pudiendo estar repartidas de la siguiente manera.,,,, 3,,,, 3,,,,,,,, 3,, 3,,,,, 3,, 3, 3 3, 3,, 3,,, 3,,, 3,,,,,,, Se pueden repartir de maneras diferentes. 8 Entre 8 estudiantes y profesores tenemos que elegir un comité de personas que contenga, al menos, 3 estudiantes y profesores. De cuántas formas podemos elegirlo? El comité estará constituido por 3 estudiantes y 3 profesores, o por estudiantes y profesores. 8 83, 3, + 8,, Se puede formar de.7 maneras diferentes. 8 on las letras de la palabra NADIE podemos formar palabras de letras utilizando todas sus letras sin repetirlas. Si ordenamos esas palabras alfabéticamente, qué lugar ocupará la palabra NADIE? Las palabras que empiezan por A, D, E, I son: P 8 La palabra NADIE ocupará el lugar 9, por orden alfabético. 7

21 ombinatoria 87 on las letras de PERMUTAIÓN formamos palabras, con o sin sentido. En cuántas de ellas aparecen las vocales juntas y ordenadas? La secuencia AEIOU puede comenzar entre la primera y la séptima posiciones. El resto de letras pueden estar en cualquiera de las posiciones restantes. 7 P.. Aparecen en. palabras. EN LA VIDA OTIDIANA 88 Desde que los romanos usaron la cuadrícula para organizar sus campamentos, muchas civilizaciones copiaron esta idea para planificar sus ciudades. Actualmente podemos ver este diseño en ciudades de todo el mundo. Estas calles perpendiculares que forman manzanas facilitan enormemente la ubicación. Javier trabaja en una empresa de mensajería y acaban de trasladarlo de oficina. Hoy tiene que llevar un pedido hasta una farmacia. Debes hacer la entrega por el camino más corto y sin alejarte de la oficina, porque después tienes tres entregas más. Su jefe le entrega este plano de la zona. uántos caminos distintos puede hacer? En el recorrido tendrá que adoptar 7 decisiones de tomar rumbo norte o este, donde 3 decisiones serán de tomar rumbo norte y decisiones serán de tomar rumbo este, por lo que si decide en qué momento de las 7 decisiones se elige tomar rumbo norte está determinado el camino. omo 7 7, 3, hay 3 caminos distintos. 8

22 SOLUIONARIO 3 89 Al comenzar un torneo de tenis, en el polideportivo donde se van a jugar los partidos publican este organigrama. PRIMERA RONDA SEMIFINAL FINAL AMPEÓN Dentro de cada casilla se escriben los nombres de los participantes. Las llaves representan los partidos y el tenista que pierda quedará eliminado. En este diagrama hay ocho jugadores, así que se necesitan siete partidos para completar el torneo. En total habrá tres rondas: la primera, la semifinal y la final. Pero qué ocurre si el número de jugadores es impar? La organización del torneo tiene que decidir qué sucede si el número de jugadores es impar. Se realizará un sorteo y el jugador elegido pasará directamente a la siguiente ronda. a) uántos partidos habrá que disputar en un torneo en el que hay 3 jugadores inscritos? Y si se inscriben 9 jugadores? a) Se jugarán partidos de dieciseisavos de final, 8 de octavos, de cuartos, de semifinal y final; en total, 3 partidos. Si hubiera participantes, los partidos serían, pero como el cuadro no está completo, 9 7 jugadores pasarán directamente a la segunda fase, y de la primera fase se jugarán 8 partidos, en vez de los 8 partidos que se habrían jugado de estar completo el cuadro. Por tanto, habrá: 7 8 partidos. 9