4. Sistemas. de ecuaciones lineales

Transcripción

1 4. Sistemas de ecuaciones lineales

2 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Codificación. Rectas y planos. Método de Gauss 4. Método de GaussJordán 5. Método de la matriz inversa 6. La regla de Cramer 44

3 Sistemas de ecuaciones lineales TRÁFICO.- CODIFICACIÓN En la siguiente figura se muestra el flujo de tráfico (en vehículos por hora) que circula por la rotonda y las avenidas adyacentes de una gran ciudad: Busca un procedimiento para averiguar cuántos vehículos circulan por cada uno de los tramos de la rotonda. REDES Y ECUACIONES LINEALES Es frecuente que en situaciones de las ciencias sociales (ámbito económico, flujo de transporte, flujo de comunicaciones) se utilicen redes. Las redes son esquemas que representan un conjunto de líneas de conducción de tráfico que se comunican entre ellas, con diferentes ramificaciones y enlaces. En las redes existe un principio básico: El flujo total que llega a un enlace es igual al flujo que sale de él. Por ejemplo, en el nudo de la siguiente figura hay unidades que llegan a él, por tanto, debe haber unidades que salen. Cómo podemos representar de forma algebraica este hecho?. Mediante una ecuación lineal: X X X. Cada nudo o enlace da lugar a una ecuación. Por tanto, se puede estudiar la organización del flujo en la red resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. FLUJO ECONÓMICO Una empresa tiene tres tiendas cuya situación económica está interrelacionada mediante la siguiente red (las cantidades indican millones de euros): Qué flujo económico se produce entre las tiendas A y B?. Qué sucedería si no hay trasvase de fondeos desde la tienda B a la C?. 45

4 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II HOTEL Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 5 habitaciones y 87 camas. Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?. X = nº habitaciones sencillas Y = nº habitaciones dobles 5 habitaciones x y 5 87 camas x y 87 En cada habitación doble hay camas Usamos el MÉTODO DE SUSTITUCIÓN De la primera ecuación despejamos y = 5 x (*) Sustituimos en la segunda ecuación : x + ( 5 x ) = 87 Quitamos paréntesis : x + x = 87 x = Sustituyendo en la ecuación (*) : y = 7 SOLUCIÓN : El hotel tiene habitaciones sencillas y 7 habitaciones dobles. El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación y sustituir en la otra, obteniendo así una ecuación con una incógnita. ZUMOS Un comerciante dispone de dos tipos de zumo de euros y 4 euros el litro respectivamente y desea obtener litros de un zumo cuyo precio sea de,5 euros el litro. Cuántos litros de cada uno de los zumos tiene que mezclar?. 46

5 Sistemas de ecuaciones lineales zumo A euros/litro zumo B 4 euros/litro X = nº de litros de zumo A Y = nº de litros de zumo B Desea obtener litros x + y = Cada litro de la mezcla cuesta,5 euros los litros costarán 5 euros Cada litro de zumo A cuesta euros los x litros de A costarán x Cada litro de zumo B cuesta 4 euros los y litros de B costarán 4 y El precio de la mezcla es : x + 4 y Por tanto, debe cumplirse : x + 4 y = 5. Hay que resolver el sistema : Usamos el MÉTODO DE REDUCCIÓN : x y x 4y 5 x y x 4y 5 y = 5 multiplico la ª por x y x 4y 5 sumando queda y = 5 x y multiplico la ª por 4 x 4y 5 x = 5 x = 75 4x 4y 4 x 4y 5 sumando queda SOLUCIÓN : Hay que mezclar 75 litros de zumo A y 5 litros de zumo B. El método de reducción consiste en multiplicar las ecuaciones por números adecuados y después sumarlas con el objetivo de eliminar una incógnita. INVERSIÓN Una familia dispone de 75 euros para invertir. Parte de ese dinero lo pone en una cuenta corriente al 5,5 % ; el resto lo invierte en bonos al,5 %. Cómo deberá hacer su inversión para obtener una renta anual de 7,5 euros?. Cuenta corriente X euros Bonos Y euros Debe ser x + y = 75 x euros al 5,5 % dan unos intereses de 5,5 x =,55 x y euros al,5 % dan unos intereses de,5 y =,5 y La renta anual será :,55 x +,5 y Debe ser :,55 x +,5 y = 7,5 Hay que resolver el sistema : x y 75.55x.5y 7.5 o bien x y 75 55x 5y 75 o bien x y 75 x y 545 Usamos el METODO DE SUSTITUCIÓN 47

6 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II De la primera ecuación despejamos : y = 75 x (*) Sustituyendo en la segunda : x + ( 75 x) = 545 Quitando paréntesis : x + 65 x = 545 x = 9 x = 75 Sustituyendo en (*) y = SOLUCIÓN : Hay que invertir ε en bonos y 75 ε en cuenta corriente. HERMANOS Dos hermanos charlando concluyen que entre ambos tienen 9 años, y el uno le dice al otro : dentro de ocho años mi edad será el doble de la tuya. Cuántos años tiene cada uno en la actualidad?. Las edades actuales son X e Y, siendo Y la edad del hermano que habla. Dentro de 8 años, su edad será y + 8, y por lo que dice, debe ser el doble que la de su hermano, que entonces será de x + 8. Por lo tanto, debe ser : x y 9 y 8 x 8 o bien x y 9 x y 8 Usamos el MÉTODO DE IGUALACIÓN Despejamos y de las dos ecuaciones : x y 9 y 9 x * x y 8 y x 8 Sustituyendo en (*) queda y = Igualamos : 9 x = x + 8 x = x = 7 SOLUCIÓN : Las edades de los dos hermanos son 7 y años. El método de igualación consiste en despejar una misma incógnita de las dos ecuaciones, e igualar los segundos miembros obteniendo una sola ecuación. LOCALIDADES Juan compró 4 butacas de patio y 6 de palco y pagó 4698 cents ; Salvador abonó 8 cents por 5 butacas de patio y de palco y Manuel 54 cents por butacas de patio y 8 de palco. Cuánto valen butacas de patio y de palco?. X =precio de una butaca de patio Y =precio de una butaca de palco 4 butacas de patio y 6 de palco cuestan 4698 cents 4 x + 6 y = butacas de patio y de palco cuestan 8 cents 5 x + y = 8 butacas de patio y 8 de palco cuestan 54 cents x + 8 y = 54 48

7 Sistemas de ecuaciones lineales Obtenemos un sistema de ecuaciones con incógnitas : x y 49 5x y 8 x 4y 56 ecuación. Resolvemos por REDUCCIÓN el sistema formado por la primera y tercera x y 49 x 4y 56 multiplico la ª por - x y 49 x 8y 54 sumando queda 5 y = 775 y = 555 Sustituyendo en la ecuación x + 4 y = 56, obtenemos x + = 56 x = 4 Sustituimos estos valores en la segunda ecuación para ver si son solución de la misma : = 8. Las soluciones son x = 4, y = 555 El precio de butacas de patio y de palco será : = 897 cets. SOLUCIÓN : butacas de patio y de palco cuestan 897 céntimos. MEZCLAS Si se mezclan 6 litros de vino blanco con litros de vino tinto, se obtiene un vino de grados (% de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan litros de blanco con 6 litros de tinto, se obtiene un vino de grados. Qué graduación tendrá una mezcla de 4 litros de vino blanco con 4 litros de vino tinto?. INVERSIÓN Un capital de euros produce anualmente 54 euros de intereses. Una parte del dinero se colocó al 6 por, y la otra al 5 por. Qué cantidad de dinero se colocó a cada tipo de interés?. CAMIÓN Un tanque de un camión de litros de volumen se llenó con agua procedente de dos depósitos de almacenamiento, A y B. El agua del depósito A se bombeó a dicho tanque a razón de litros por minuto. El agua del depósito B se bombeó a dicho tanque a razón de litros por minuto. Ambas bombas operaron al mismo tiempo; sin embargo, a causa de un fusible fundido, la bomba A estuvo parada minutos. Cuántos litros de cada depósito de almacenamiento se utilizaron para llenar el tanque del camión?. 49

8 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II ACCIONES Si una persona invierte el 4 % de sus ahorros en acciones del tipo A y el resto en acciones del tipo B, el interés medio resultante es del 5 %, mientras que si realiza la inversión al revés es decir, coloca el 4 % en B y el resto en A, el interés medio resultante es del 6 %. Qué interés proporcionan las acciones del tipo A y cuál las del B?. Cuál sería el interés medio resultante si se invirtiera la misma cantidad en los dos tipos de acciones?..- RECTAS Y PLANOS MÉTODO GRÁFICO Una ecuación lineal con dos incógnitas a x + b y = c representa una recta en el plano. Luego cada una de las ecuaciones de un sistema lineal con dos incógnitas representa una recta : a x + b y = c recta r a x + b y = c recta r Por lo tanto, un método que puedes usar para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en dibujar, en unos mismos ejes, las gráficas de las rectas r y r que representan las dos ecuaciones. Se pueden presentar tres casos : r y r se cortan en un punto r y r son coincidentes r y r son paralelas sistema con solución única infinitas soluciones sistema sin solución Utiliza el método gráfico para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones : a) x 5y 6 x y b) 5x y 5x y x y c) x 4y 6 5

9 Sistemas de ecuaciones lineales a) x 5 y = 6 r r s x + y = s x y x y 4 8 SOLUCIÓN ÚNICA : x = y = Las rectas r y s son SECANTES y sse cortan en el punto P(, ). b) 5 x y = r r s 5x y = s x y x y,7 4, SIN SOLUCIÓN Las rectas r y r son PARALELAS. No tienen ningún punto en común. c) x y = r r s x + 4 y =6 s 5 5 INFINITAS SOLUCIONES Las rectas r y r son COINCIDENTES. Tienen infinitos puntos en común. Un sistema con solución única se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO Un sistema con infinitas soluciones se dice COMPATIBLE INDETERMINADO Un sistema sin solución se dice que es INCOMPATIBLE DETERMINADO (solucion) COMPATIBLE SISTEMA INDETERMINADO (infinitas soluciones) INCOMPATIBLE(sin solucion) CLASIFICA SISTEMAS Utilizando el método gráfico indica cuáles de los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados, hallando las soluciones cuando sea posible. Qué hacer cuando el sistema es compatible indeterminado?. a) 6x y 5 x y 5 b) x y 8 x / y / 5 x 9y 6 c) 4x y 8 5

10 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II a) 6 x + y = 5 r x + y = 5 r Las rectas r y r se cortan en el punto P(, 5) El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y su única solución es x =, y = 5 b) x + y = 8 r Las rectas r y r son paralelas, no tienen ningún x / + y / = 5 r punto en común El sistema es INCOMPATIBLE. No tiene solución. c) x 9 y = 6 r Las rectas r y r son coincidentes, tienen infinitos 4 x y = 8 r puntos en común. El sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO. Tiene infinitas soluciones, que son todos los puntos de la recta x y =. Para expresar las infinitas soluciones del sistema, despejamos y en la ecuación anterior: y = x. Haciendo x = t, queda y = t.los infinitos puntos de la recta (es decir las infinitas soluciones del sistema) se expresan así : t, t, donde t es un PARÁMETRO. Al dar valores a t, obtienes los infinitos puntos de la recta, como puedes comprobar sustituyendo los valores de x e y de la siguiente tabla en la ecuación de la recta: Las soluciones escritas de la forma t, t se dice que están expresadas de FORMA PARÁMETRICA. GRÁFICAMENTE Estudia el sistema de ecuaciones x + y = 4x y = x + y = Representa gráficamente las rectas cuyas ecuaciones forman el sistema e interpreta geométricamente la solución obtenida. x + y = r r s t 4 x y = s x y x y x y x + y = t 7 4 Las tres rectas r, s, t se cortan en el punto P(, ). Son SECANTES. El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. Su única solución es x =, y =. 5

11 Sistemas de ecuaciones lineales MÉTODO DE ELIMINACIÓN El método de eliminación o método de reducción consiste en multiplicar las ecuaciones por números adecuados para que al sumar se elimine una de las incógnitas. Utilizando el método de eliminación indica cuáles de los siguientes sistemas tienen solución y cuáles no, resolviéndolos cuando sea posible. Interpreta geométricamente los resultados : a) x + y = 9 x 5y = 4 b) x 5y = 6 9x 5y = 8 c) x y = 5 x 4y = d) x y = 8 x + 4y = 4x y = e) 7x y = f) x + 5y = 4x + y = 6 a) x+y = 9 6x 9y = 7 x 5y = 4 6x y = 8 sumando: 9 y = 9 y = x+y = 9 5 x 5y = 45 x 5y = 4 9x 5y = sumando: 9 x = 57 x = El sistema es compatible determinado, su única solución es x =, y =. Las rectas que representan el sistema son secantes, se cortan en el punto P(, ) b) x 5y = 6 Multiplicando la ª ecuación por : 9x 5y = 8 Identidad. 9x+5y = 8 9x 5y = 8 sumando: =. Observa que la segunda ecuación es igual a la primera multiplicada por. En realidad se trata de una única ecuación, es decir son dos rectas coincidentes. Por tanto, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Para obtenerlas, despejamos y de la ecuación : x 5y = 6 y = 5 x 6 5. Haciendo x = t, obtenemos y = 5 t 6. Las soluciones en 5 forma paramétrica son: 6 t, t 5 5 c) x y =. Multiplicando la ª ecuación por : x 4y = = 4 Absurdo! x+4y = 4 x 4y = sumando: Esto significa que no se pueden verificar las dos ecuaciones simultáneamente. Luego el sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas que representan las ecuaciones del sistema son paralelas. 5

12 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II d) x y = 8. Multiplicando la ª ecuación por : x+4y = y = x y = 8 x y = 6 sumando: 4y = 4 x y = 8. Multiplicando la ª ecuación por : x+4y = 6x 4y = 6 x+47 = sumando: 7x = 4 x = El sistema es compatible determinado, su única solución es x =, y =. Las rectas que representan el sistema son secantes, se cortan en el punto P(,) e) 4x y = 7x y = Multiplicando la ª ecuación por : 4x y = 4x+y = sumando: = que es una identidad. La primera ecuación es igual a la segunda multiplicada por. Se trata de una única ecuación, son dos rectas coincidentes. El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Para hallarlas, despejamos y de la ecuación: 7x 7 7 y = y = x. Haciendo x = t, obtenemos y = t. Las soluciones en forma paramétrica son: 7 t, t. f) x+5y =. Multiplicando la ª ecuación por 4: 4x+y = 6 4x y = 8 4x+y = 6 sumando: = Absurdo! Esto significa que no se pueden verificar las dos ecuaciones simultáneamente. Luego el sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas que representan las ecuaciones del sistema son paralelas. Si en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, una de las ecuaciones se obtiene multiplicando la otra por un número, el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, tiene infinitas soluciones que se pueden expresar en forma paramétrica y las dos rectas que representan al sistema son COINCIDENTES. Si los coeficientes de x y de y son proporcionales en ambas ecuaciones, pero esta proporcionalidad no la conservan los términos independientes, el sistema es INCOMPATIBLE, no tiene solución y las rectas son PARALELAS. Si los coeficientes de x y de y no son proporcionales, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, tiene solución única y las rectas son SECANTES, se cortan en un punto. EXTRAÑO MENÚ ) Los gramos de un menú constan de dos alimentos A y B. Cada gramo de A tiene unidades de proteínas y de grasas, mientras que cada gramo de B tiene 5 unidades de proteínas y de grasas. El menú debe contener 7 unidades de proteínas y de grasas. Cuántos gramos de A y de B contiene el menú?. 54

13 Sistemas de ecuaciones lineales Sean x = gramos de A, y = gramos de B. Debe ser x + y = Proteínas Los x gramos de A tienen x unidades; los y gramos de B tienen 5y. Como en total han de ser 7 unidades, debe cumplirse: x + 5y = 7 Grasas Los x gramos de A tienen x unidades; los y gramos de B tienen y. Como en total han de ser unidades, debe cumplirse: x + y = x+ y = r Hay que resolver el sistema: x+5y = 7 s Para ello estudiaremos los sistemas que x+y = t se obtienen al formar parejas con las tres ecuaciones: (r, s), (r, t) y (s, t). r x+ y = x y =. Multiplicando la ª ecuación por : sumando: y = s x+5y =7 x+5y =7 y = 4, (...!?). Sustituyendo en la ecuación r, sale x = 4, (...!?) r y s se cortan en el punto A(4,, 4,) r x+ y = x y =. Multiplicando la ª ecuación por : sumando: y = t x+y = x+y = 7 y = 7 (...!?). Sustituyendo en la ecuación r, sale x = 7 (...!?) r y t se cortan en el punto B(7, 7) s x+5y =7 6x y = sumando: 6y = 5 y = 57,698 t x+y = 6x+4y = 6 (!?) Sustituyendo en la ecuación s, resulta x = 5,769 (...!?). s y t se cortan en el punto C(5,769, 57,698) Los resultados obtenidos parecen indicar que las rectas r, s y t se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto del plano que esté situado al mismo tiempo sobre las tres. Es decir las rectas r, s y t no tienen ningún punto en común. Por lo tanto, el sistema es INCOMPATIBLE. No hay ningún menú que cumpla las condiciones del problema. 55

14 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II ) Discute, resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas : a) x y = 6 x + y = x + y = b) x + y = x + 4y = x + 6y = 5 c) x + y = x y = x + y = AÑADE ECUACIONES Dado el sistema de ecuaciones lineales x y = x + y = a) Añade una ecuación al sistema de manera que el sistema sea compatible. b) Añade una ecuación al sistema de modo que sea incompatible. c) Interpreta geométricamente los apartados (a) y (b). Estudiamos primero de qué tipo es el sistema dado: r x y = s x+ y = sumando: x = x = Sustituyendo en r, sale y =. Por lo tanto, las rectas r y s se cortan en el punto P(, ). El sistema dado es compatible determinado. a) Si añadimos una recta coincidente con cualquiera de las dadas, r ó s, el sistema seguirá siendo compatible determinado. Así, por ejemplo: x y = x+ y = es un sistema compatible determinado (La ª y ª coinciden) x y = Como las rectas r y s se cortan en un único punto, no es posible añadir una ecuación para obtener un sistema compatible indeterminado. b) Basta añadir una recta paralela a cualquiera de las dadas r ó s. Para ello basta obtener una ecuación donde los coeficientes de x y de y sean proporcionales a los de una de las ecuaciones dadas, de forma que la proporcionalidad no se mantenga con los términos independientes. Así, por ejemplo : x y = x+ y = es un sistema incompatible (la ª y ª son rectas paralelas) x y = 5 c) En el sistema del apartado (a), la ª y ª ecuaciones representan rectas coincidentes, mientras que la ª las corta en el punto P(,). En el sistema del apartado (b), la ª y ª ecuaciones representan rectas paralelas, mientras que la ª las corta a las dos. 56

15 Sistemas de ecuaciones lineales PLANOS Un sistema de referencia o sistema de coordenadas en el espacio está determinado por tres planos perpendiculares entre sí dos a dos, que se cortan en un único punto O, llamado origen de coordenadas. Cada par de planos determina una recta, intersección de los dos, que se llama eje de coordenadas. Los tres planos se llaman planos coordenados. O = origen de coordenadas OX = eje de abcisas o eje de las x OY= eje de ordenadas o eje de las y OZ = eje de cotas o eje de las z Planos coordenados: XOY, YOZ, XOZ Un modelo de sistema de referencia lo constituye una de las cuatro esquinas del suelo de tu clase. Todo punto del espacio se puede representar por tres números reales que indican la distancia de dicho punto a los tres planos coordenados. Así : P(x, y, z), siendo : x=distancia de P al plano coordenado YOZ. y=distancia de P al plano coordenado XOZ. z=distancia de P al plano coordenado XOY. Recíprocamente, dados tres números reales x, y, z, existe un único punto del espacio cuyas distancias a los planos coordenados coincidan con ellos. Decimos que x, y, z son las coordenadas del punto P. Se llaman, respectivamente, abcisa, ordenada y cota del punto P. En el espacio, cualquier plano está determinado por una ecuación lineal con tres incógnitas. Es decir, la ecuación de un plano en el espacio es del tipo : A x + B y + C z + D = que se llama ECUACIÓN IMPLÍCITA DEL PLANO. Si en una ecuación de este tipo despejamos z, obtendremos una ecuación del tipo : z = a x + b y + c que se llama ECUACIÓN EXPLÍCITA DEL PLANO. ECUACIÓN DE UN PLANO Halla la ecuación explícita del plano que pasa por los puntos A(,, 4), B(, 5, ) y C(, 4, ). La ecuación explícita del plano es de la forma z = a x + b y + c. Hallaremos a, b y c con la condición de que el plano pase por los tres puntos A, B y C. Como pasa por A(,, 4) x =, Como pasa por B(,5, ) x =, Como pasa por C(,4,) x =, y =, z = 4 y = 5, z = y = 4, z = 4 a b c a 5b c a 4b c Hay que resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para ello usaremos el método de sustitución, despejando c de la primera ecuación : 57

16 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II a+b+c = 4 a+5b+c = c=4 a b ( ) Sustituyendo en la ª y ª ecuación resulta: a+4b+c = a+5b+c = a +5b+4 a b = a+4b = (*) De donde: b = y sustituyendo a+4b+c = a+4b+4 a b = b = en la ecuación ( * ) queda: a + 4 () = a =. Sustituyendo estos valores de a y b en ( ) resulta: c = 4 () = c =. Solución: a =, b =, c =. Por lo tanto: La ecuación explícita del plano buscado es z = x y +. La ecuación implícita del plano buscado es x y z + =. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS P : ax+by+cz +d = Sean P' : a' x+b' y+c' z+d' = pueden ser las siguientes : dos planos en el espacio. Sus posiciones relativas P=Q COINCIDENTES P//Q PARALELOS SECANTES Sistema Compat. Indeterm. Sistema Incompatible Sistema Comp. Indeterm Observa que el sistema no puede ser Compatible Determinado, ya que dos planos no se pueden cortar únicamente en un punto ; de hacerlo deben cortarse a lo largo de una recta, es decir, tendrán infinitos puntos en común y el sistema será Compatible Indeterminado. Discute, resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones : a) x + y z = 6 x y + 5z = 6 b) x y + 5z = 4x y +z = 6 c) x + y z = 4 9x + y 6z = 5 x + y z = 6 x y+z = a) (método de eliminación):. Sumando: y + x y+5z = 6 x y+5z = 6 7z = 6. El sistema dado es equivalente (tiene las mismas soluciones) al siguiente: x+ y z = 6. Despejamos y en función de z en la ª ecuación y dejamos esta y+7z = 6 incógnita como parámetro. Después despejamos x de la ª ecuación. Así tenemos: y = z + Haciendo z = t y = t +. Sustituyendo en la ª: x+ t + t = 6 x = t t = 4 t x = 4 t. El sistema es compatible indeterminado. Sus infinitas soluciones en forma paramétrica 4 7 son: 4 t, t +, t.los dos planos se cortan en una recta. 58

17 Sistemas de ecuaciones lineales x y+5z = 4x+y z = 6 b) (método de reducción):. Sumando: = 4x y+z = 6 4x y+z = 6 que es una identidad. Por lo tanto, los dos planos son coincidentes (la ª ecuación es la ª multiplicada por ). El sistema es equivalente a la ª ecuación: x y + 5 z =. Podemos hacer z = t y = s y despejar x en función de t y de s. Así: x = s 5 t. El sistema es compatible indeterminado. Sus infinitas soluciones en forma paramétrica son: 5 s t, s, t.los planos son coincidentes. x + y z = 4 9x y+6z = c) (método de reducción):. Sumando: = 9x+y 6z = 5 9x+y 6z = 5 7 Absurdo!. El sistema es incompatible, no tiene solución. Los planos son paralelos..- MÉTODO DE GAUSS MÉTODO DE GAUSS Un sistema triangular es aquel cuya ª ecuación tiene todas las incógnitas, la ª ecuación tiene una incógnita menos, la ª dos menos, y así sucesivamente, hasta la última ecuación que sólo tiene una incógnita. Un sistema triangular es muy fácil de resolver, pues basta despejar de la última ecuación y sustituir en cadena. Así : x y z x 4 x y z y y z 4 z El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y su única solución es x =-, y = z =. Los tres planos se cortan en el punto P(-,, ). Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. El método de Gauss, también llamado método de eliminación o método de reducción, consiste en obtener un sistema equivalente al dado que sea triangular. Las transformaciones que están permitidas para ello son: ) Multiplicar una ecuación por un número real distinto de cero. ) Sumar (o restar) ecuaciones. ) Cambiar de orden ecuaciones. Si una vez obtenido el sistema triangular, la última ecuación es del tipo a z = b, con a, se puede despejar la incógnita y el sistema es compatible determinado. Si a= y b, entonces la última ecuación es un absurdo y el sistema es incompatible. Si a = y b =, hay infinitos posibles valores de z, es decir, el sistema es compatible indeterminado. 59

18 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Utilizando el método de Gauss, indica cuáles de los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados, hallando las soluciones cuando sea posible : a) x + y z = x + y + z = 5 x + y z = b) x + y z = 6 x y + z = 4 c) x + y z = x y + z = 6 x + 4y 5z = 6 d) x + y + z = 5x + y + z = 7x + 4y + 4z = e) x + y + z = x + y z = x y + z = f) x + y z = 4 6x + 4y z = 9 a) Vamos a triangular el sistema, para lo que formamos parejas de ecuaciones : x+ y z = P x+ y+ z = 5 Q Vamos a eliminar la incógnita x de la ª y ª. Para ello formamos x+y z = R las parejas (P, Q) y (P, R). x+ y z = Q x+ y+ z = 5 P x y+6z = 4 sumando: y + 7z = x+ y+ z = 5 P x+ y z = x y+9z = 6 sumando: y + 7z = 5 R x+y z = x+y z x+ y z = El sistema inicial es equivalente al sistema: y+7z =. Vamos a eliminar la y+7z = 5 incógnita y de la ª ecuación. Para ello usaremos la ª y ª ecuaciones. y+7z = sumando: z = 4 y+7z = 5 El sistema inicial es equivalente a este otro: x+ y z = y+7z = z = 4 solución. b) Usamos el método de reducción: Como la última ecuación es absurda, el sistema es incompatible, no tiene x + y z = 6 x y+z = sumando: y +5z = 8 x y+z = 4 x y+z = 4 El sistema dado es equivalente a este otro: x+ y z = 6. Haciendo z = t y despejando y+5z = 8 y en la ª ecuación, queda: y = 5 z + 8 y = 5 t + 8. Sustituyendo el la ª ecuación: x t + t = 6 x = t. El sistema es compatible indeterminado. Sus infinitas soluciones en forma paramétrica son: t 5 8, t +, t. 6

19 Sistemas de ecuaciones lineales c) Vamos a triangular el sistema, para lo que formamos parejas de ecuaciones: x+ y z = P x y+ z = 6 Q Vamos a eliminar la incógnita x de la ª y ª. Para ello formamos x+4y 5z = 6 R las parejas (P, Q) y (P, R). P x+ y z = x y+z = Q x y+ z = 6 x y+ z = 6 sumando: y + z = 6 P x+ y z = x y+z = sumando: y z = 6 R x+4y 5z = 6 x+4y 5z = 6 x+ y z = El sistema inicial es equivalente al sistema: y+z = 6. Vamos a eliminar la incógnita y z = 6 y de la ª ecuación. Para ello usaremos la ª y ª ecuaciones. y+z = 6 y z = 6 sumando: z =. El sistema inicial es equivalente a este otro: x+ y z = y+z = 6 z = Como hay infinitos valores de z que cumplen la tercera ecuación, el sistema es compatible indeterminado. Para hallar sus soluciones en forma paramétrica, hacemos z = t, despejamos y en la ª ecuación: y = z y = t. Sustituyendo en la ª ecuación: x + t t = x = +t Por lo tanto, las soluciones en forma paramétrica son: ( + t, t, t). d) Vamos a triangular el sistema, para lo que formamos parejas de ecuaciones: x+y+ z = P 5x+y+z = Q Vamos a eliminar la incógnita z de la ª y ª. Para ello formamos 7x+4y+4z = R las parejas (P, Q) y (P, R). P x+y+ z = 9x 9y z = sumando: 4x y = Q 5x+y+z = 5x+y+z = P x+y+ z = 4 x 8y 4z = 4 sumando: 5x 4y = R 7x+4y+4z = 7 x+4y +4z x+y+ z = El sistema inicial es equivalente a este otro: 4x y =. Vamos a eliminar la 5x 4y = incógnita y de la ª ecuación. Para ello usaremos la ª y ª ecuaciones. 4x y = 4 6x+y = 4 sumando: x =. Por lo tanto, el sistema inicial 5x 4y = 5x y = es equivalente a este otro: 6

20 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II x+y+ z = + z = z = 4x y = 4 y = y = x = Por tanto, el sistema es compatible determinado y su única solución es (,, ), es decir, x =, y=, z =. e) Para triangular el sistema, formamos parejas de ecuaciones: x+ y+ z = P x+y z Q Vamos a eliminar la incógnita x de la ª y ª. Para ello formamos x y+z = R las parejas (P, Q) y (P, R). P x+ y+ z = x y z = sumando: y 4z = Q x+y z = x+y z = P x+ y+ z = x y z = sumando: y + z = R x y+z = x y+z = x+ y+ z = El sistema inicial es equivalente al sistema: y 4 z =. Vamos a eliminar la incógnita y+ z = y de la ª ecuación. Para ello usaremos la ª y ª ecuaciones. y 4z = y+z = sumando: z =. Por lo tanto, el sistema inicial es y+ z = y+ z = equivalente a este otro: x+ y+ z = x = y 4 z = y = z = z = Por tanto, el sistema es compatible determinado. Es decir, este sistema homogéneo solamente admite la solución trivial: (,, ). f) Usamos el método de reducción: P x+y z = 4 6x 4y+z = 8 Q 6x+4y z = 9 6x+4y z = 9 sumando: = Absurdo! El sistema es incompatible, no tiene solución. Los sistemas cuyos términos independientes son todos nulos se llaman SISTEMAS HOMOGÉNEOS. Los sistemas homogéneos son siempre compatibles, ya que como mínimo tienen la solución trivial (,, ). SI O NO?. Todo sistema homogéneo es compatible determinado. Verdadero o falso?. Por qué?. 6

21 Sistemas de ecuaciones lineales DE COMPRAS En una tienda, un cliente se ha gastado 5 euros en la compra de artículos entre discos, libros y carpetas. Cada disco le ha costado euros, cada libro 5 euros y cada carpeta 5 euros. Se sabe que entre discos y carpetas hay el triple que libros. a) Formula el sistema de ecuaciones asociado al enunciado anterior. b) Determina cuántos artículos ha comprado de cada tipo. EDADES De tres amigos, Arnau, Joan y Pere, se sabe lo siguiente: El doble de la edad de Arnau más el triple de la edad de Joan es tres años superior a cuatro veces la edad de Pere. El triple de la edad de Pere menos el doble de la edad de Joan es siete años inferior al doble de la edad de Arnau. El doble de la edad de Arnau más el doble de la edad de Pere es tres años inferior a cinco veces la edad de Joan. Calcula la edad de cada uno de los tres amigos. ÁRBOLES FRUTALES En un jardín hay árboles entre naranjos, limoneros y membrillos. El doble del número de limoneros más el triple del número de membrillos, es igual al doble del número de naranjos. a) Es posible saber con estos datos el número de naranjos que hay?. b) Si además se sabe que el número de naranjos es el doble del de limoneros, cuántos árboles hay de cada tipo?. FRUTAS Dos kilos de naranjas más un kilo de plátanos más dos kilos de mangos, valen 6,75 euros. Dos kilos de naranjas más dos kilos de plátanos más tres kilos de mangos, valen 5 euros. Tres kilos de naranjas más un kilo de plátanos, más dos kilos de magos, valen 7,75 euros. Cuánto vale un kilo de naranjas?. Cuánto vale un kilo de plátanos?. Cuánto vale un kilo de mangos?. 6

22 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II REUNIÓN En una reunión hay 6 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que las bajas y medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas. Cuál es el número de personas altas, medianas y bajas?. Justifica la respuesta. HELADERÍA En una heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos, te cobran 4 euros un día. Otro día, por cuatro copas de la casa y cuatro horchatas, te cobran 44 euros y, un tercer día, te piden 6 euros por una horchata y cuatro batidos. Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta?. COMERCIO En un cierto comercio un cliente compra 5 kg de papas, kg de azúcar y kg de café, gastando un total de 8,5 euros. Otro cliente compra kg de papas, kg de azúcar y kg de café, gastando 9 euros. Un tercer cliente compra 4 kg de azúcar y 5 kg de café, gastando euros. Halla el precio de cada artículo. CAMBIA UNA ECUACIÓN Resuelve, clasifica e interpreta geométricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales : x y z = x 4y + z = 4 x + y + z = a) Cambia la tercera ecuación para que el sistema sea incompatible. b) Cambia la tercera ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado. Vamos a triangular el sistema, para lo que formamos parejas de ecuaciones : x y z = P x 4y+ z = 4 Q Vamos a eliminar la incógnita x de la ª y ª. Para ello formamos las x+ y+ z = R parejas (P, Q) y (P, R). P x y z = x+4y+6z = 4 sumando: 7z = Q x 4y+ z = 4 x 4y+ z = 4 P x y z = x+6y+9z = 6 sumando: 7y +z = 7 R x+ y+ z = x+ y+ z = El sistema inicial es equivalente al sistema: x y z = x = 7y+z = 7 y = 7z = z = El sistema es compatible determinado. Los tres planos P, Q y R se cortan en el punto A(,, ). 64

23 Sistemas de ecuaciones lineales a) Para que el sistema sea incompatible, basta sustituir la ª ecuación por otra en la que los coeficientes de x, y, z sean proporcionales a los de una de las dos primeras ecuaciones, pero que esta proporcionalidad no se de entre los términos independientes. Por ejemplo : P x y z = Q x 4y+ z = 4 es un sistema incompatible, ya que la ª y ª ecuaciones R x 6y 9z = representan planos paralelos, como se muestra en la figura. b) Basta sustituir la tercera ecuación por otra que sea proporcional a una de las dos primeras. Por ejemplo : P x y z = Q x 4y+ z = es un sistema compatible indeterminado, ya que los planos P y R R 4x 8y z = 8 son coincidentes, lo que hace que los tres planos se corten en una recta, tal como se indica en la figura. SISTEMAS Y MATRICES x+ y+ z = Dado el sistema x+ y z = podemos representarlo por una tabla de números, x+ z = prescindiendo de las incógnitas. Así : Los coeficientes de las ecuaciones aparecen por filas, y los coeficientes de las incógnitas por columnas. La última columna corresponde a los términos independientes. Una tabla de números de este tipo se llama MATRIZ. Para resolver el sistema por el método de Gauss, podemos directamente operar sobre la matriz, sin necesidad de arrastrar las incógnitas. El objetivo será triangular el sistema, es decir obtener un triángulo de ceros por debajo (o por encima) de la diagonal principal. Para ello, las transformaciones permitidas son las siguientes : ) Multiplicar una fila por un número distinto de cero. ) Sumar (o restar) filas. ) Cambiar de orden filas. También se pueden cambiar de orden columnas, pero teniendo en cuenta que, si lo hacemos, cambia también el orden de las incógnitas. 65

24 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II El resultado debe ser una matriz del tipo a b e c f p d g q Pueden darse tres casos : ) p Se puede despejar la última incógnita y el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, con solución única. ) p= y q= En este caso, la última incógnita puede tomar infinitos valores, el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, tiene infinitas soluciones. ) p= y q En este caso, la última ecuación es absurda, el sistema no tiene solución, es INCOMPATIBLE. Utilizando el tratamiento matricial del método de Gauss, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en caso de que sean compatibles : a) x + y + z = x y + z = 4 x + 4y + z = 5 b) x + y = y + z = x + z = c) x y + z = x + y z = 4x + y z = d) x + y + z = x + y z = x + y = 5 e) x + y + z = x y + z = x y + z = f) x + y z = x y + z = 4 x + 4y 6z = a) La matriz del sistema es : ª ª ª ª ª ª Para pasar de la ª a la ª matriz hemos restado a la ª fila la ª multiplicada por y hemos restado a la ª fila la ª. Para pasar de la ª a la ª matriz hemos sumado la ª y ª filas. Observando la tercera matriz, vemos que el sistema es equivalente a: x+ y+ z =. Haciendo z = t y despejando queda: y = z y = t y z = 7 Sustituyendo en la primera ecuación: x + t + t = x = t Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado, sus infinitas soluciones en forma paramétrica son 7 t, t, t. b) La matriz del sistema es: ª ª Por lo tanto, el sistema es equivalente a este otro: ª ª x+ y = x = y+ z = y = z = z = El sistema es compatible determinado. Su única solución es: (,, ). 66

25 Sistemas de ecuaciones lineales 67 c) La matriz del sistema es: ª 4 ª ª ª ª ª 7 ª ª El paso de la ª a la ª matriz consiste en intercambiar la ª y la ª fila. El sistema inicial es equivalente a este otro: y+z = z = x+y 7. Haciendo z = t y despejando queda: y = z 7 y = t 7 Sustituyendo en la primera ecuación queda: x + t t 7 6 = x = t 7 Se cumple que el sistema es compatible indeterminado. Sus infinitas soluciones en forma paramétrica son:,t t 7, t 7. d) La matriz del sistema es: 5 ª ª ª ª ª ª El sistema inicial es equivalente a este otro: = z x+ y+ z =. Como la tercera ecuación es absurda, el sistema es incompatible, no tiene solución. e) La matriz del sistema es: 4 ª / ª ª ª. Luego el sistema es equivalente a: y = z = z = x = x++= y = z = y x+ y+ z = 4 4 El sistema es compatible determinado. Su única solución es: (,, ). f) La matriz del sistema es: ª+ª ª ª ª ª El sistema inicial es equivalente a este otro: = y+5z = z = x+ y. Como la tercera ecuación es absurda, el sistema es incompatible. No tiene solución.

26 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II NÚMERO MISTERIOSO En un número de tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces la de las unidades y la mitad que la cifra de las decenas. Además, la suma de las tres cifras es. De qué número se trata?. Sea N=xyz el número buscado. La cifra de las centenas es cuatro veces la de las unidades x = 4 z y la mitad que la cifra de las decenas x = y / x = y La suma de las tres cifras es x + y + z = Hay que resolver el sistema : x y z x y x 4z que es equivalente a : x y z x y x 4z La matriz del sistema es: ª ª ª ª ª ª ª ª 5 Luego el sistema es equivalente a este otro: x y z y 5z z x 8 x 4 y 5 y 8 z El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. La solución es x=4, y=8, z=. SOLUCIÓN : El número buscado es N = 48 AYUDA ESCOLAR Una empresa concede 7 euros para ayudas a estudiantes, hijos de sus empleados. Establece tres cuantías diferentes en función de sus niveles educativos, A, B y C : 4 ε para los del nivel A, 6 ε para los del B y ε para los del C. Si para el nivel A destina cinco veces más dinero que para el B, cuántos estudiantes hay en cada nivel?. 68

27 Sistemas de ecuaciones lineales X=nº estudiantes nivel A ; Y=nº estudiantes nivel B ; Z=nº estudiantes nivel C. Debe ser x + y +z = Dinero que reciben los del nivel A 4 x Dinero que reciben los del nivel B 6 y Dinero que reciben los del nivel C z Total de dinero destinado a ayudas 4 x + 6 y + z = 7 o bien 4 x + 6 y + z = 7 x + 4 y + 5 z = 675 El nivel A recibe 5 veces más dinero que el B 4 x = 56 y de donde 4 x = 8 y 4 x = 8 y x = y. Hay que resolver el sistema : x y z x y x 4y 5z 675 La matriz asociada al sistema es la siguiente: 4 5 ª ª ª ª ª ª 5 5 El sistema es equivalente a este otro: x y z x 8,8 y z y 9,4 z 5 z 4,6 El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. Redondeando las soluciones, tenemos que : x = 9 y = 9 z = 4 SOLUCIÓN : Hay 9 estudiantes del nivel A, 9 del nivel B y 4 del nivel C. RECIPIENTE Se dispone de un recipiente de 4 litros de capacidad y de tres medidas A, B y C. Se sabe que el volumen de A es el doble del de B, que las tres medidas llenan el depósito y que la dos primeras lo llenan hasta la mitad. Qué capacidad tiene cada medida?. 69

28 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II X=nº de litros de A ; Y=nº de litros de B ; Z=nº de litros de C El volumen de A es el doble de B x = y Las tres medidas llenan el depósito x + y + z = 4 Entre A y B llenan la mitad del depósito x + y = Hay que resolver el sistema: x y z 4 x y La matriz asociada al sistema es la siguiente: x y 4 ª ª ª ª 4 4 El sistema es equivalente a este otro: x y z 4 x 8 y z 4 y 4 z z El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. SOLUCIÓN : La medida A es de 8 litros, B es de 4 litros y C es de litros. LIBROS DE BOLSILLO Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L, L y L. El importe total de la edición es 75 euros. Los costes en euros, por unidad, son 7, 5 y 6, respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L es igual a los dos séptimos de los del tipo L y que, si al triple del número de ejemplares de L se le suma el número de ejemplares de L, se obtiene el doble de ejemplares de L. Averigua cuántos libros se han editado de cada tipo. TRANSPORTE UNIVERSITARIO Un autobús de la Universidad transporta en hora punta 8 viajeros de tres tipos:. Viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos.. Viajeros con bono descuento del %.. Estudiantes con bono del 4% de descuento. La recaudación del autobús en ese viaje fue de 975 céntimos. Calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes es el triple que el número del resto de viajeros. 7

29 Sistemas de ecuaciones lineales VIAJE FIN DE CURSO Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorras y banderines para ayudarse a pagar un viaje fin de curso. Cada camiseta se vende a 8 euros, cada gorra a, euros y cada banderín a euros. Los costes de cada prenda son de euros por camiseta, céntimos por gorra y 8 céntimos por banderín. El beneficio neto obtenido es de 674 euros y el gasto total es de 46 euros. Sabiendo que se han vendido un total de 7 unidades en conjunto, calcula cuántas se han vendido de cada clase. MUEBLES Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de estos tipos, se necesitó la utilización de unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la siguiente tabla: MADERA PLÁSTICO ALUMINIO SILLA unidad unidad unidades MECEDORA unidad unidad unidades SOFÁ unidad unidades 5 unidades La compañía tenía en existencia 4 unidades de madera, 6 unidades de plástico y 5 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?. HERENCIA El señor García deja a sus hijos herederos de todo su dinero con las siguientes condiciones: al mayor le deja la media de lo que les deja a los otros dos más ; al mediano, exactamente la media de lo de los otros dos; y al pequeño, la media de lo de los otros dos menos. Conociendo estas condiciones solamente, pueden los hijos saber cuánto dinero ha heredado cada uno?. 7

30 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II AUTOESCUELA Una autoescuela tiene abiertas tres sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 5, pero los matriculados en la tercera son tan sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en unidades al doble de los matriculados en la tercera. a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. b) Resuelve el sistema anterior. TEATRO En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 5, y euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, averigua cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día. GAUSS Escribe el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo: GAUSS x y z x z 4. x y z Considera la matriz A. Resuelve por el método de Gauss: a) el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A T A. b) el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A A T. 7

31 Sistemas de ecuaciones lineales 4.- MÉTODO DE GAUSSJORDAN Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamamos (AI n ) a la matriz que resulta al añadir a A la matriz unidad de orden n. Si la matriz cuadrada A tiene determinante no nulo, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (AI n ), mediante transformaciones elementales por filas, en la matriz (I n B). La matriz B será precisamente la inversa de la matriz A. a a a elementales por filas A I a a a b b b I B n a a a operaciones Esta última expresión se llama forma escalonada reducida de la matriz A. Podemos utilizar Derive para aplicar el método de GaussJordan, concretamente con el comando ROW_REDUCE. La salida de este comando depende de la entrada. Así: b b b b b b n ROW_REDUCE(A) da como resultado la matriz unidad del mismo orden que A, si A es cuadrada. ROW_REDUCE(A, IDENTITY_MATRIX(n)) da como resultado la matriz I n A, siendo n el orden de la matriz A. Ejemplo.- Calcula la inversa de la matriz row_reduce. 4 A utilizando el comando 5 7 Con la matriz seleccionada en la lista de expresiones, hacemos clic en el botón Editar expresión y tecleamos ROW_REDUCE(, pulsamos F para capturar la matriz, tecleamos IDENTITY_MATRIX(), y cerramos paréntesis. Al hacer clic en Simplificar, obtenemos También puedes introducir manualmente la matriz unidad del mismo orden que la matriz A en el comando ROW_REDUCE. Así, al editar la expresión ROW_REDUCE([[4, ], [5, 7]], [[, ], [, ]]) obtenemos el mismo resultado y, por tanto, la matriz inversa de A. DOS SISTEMAS Resuelve los siguientes sistemas con el comando ROW_REDUCE de DERIVE, utilizando el método de GaussJordan. a) 6x 4y x y 7 x z b) 4x y z 7 7x y z 7

32 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II GAUSSJORDAN Dadas las matrices: M y N : a) Halla la forma escalonada reducida por filas de las matrices M y N usando la función ROW_REDUCE. b) Escribe las matrices inversas de M y N. DOS MATRICES Dadas las matrices: A y 5 6 a) Calcula det(a) y det(b). B b) Utiliza la función ROW_REDUCE para calcular su inversa en caso de que exista. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES También Derive permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema puede ser compatible determinado, si tiene solución única, compatible indeterminado, si tiene infinitas soluciones, e incompatible, si no tiene solución. Veamos cómo utilizar el programa por medio de un ejemplo. Ejemplo.- Discute y resuelve los siguientes sistemas: a) x y 4z 5 x y 5z 7x 9y z 8 x 4y z b) x y z 7x 6y z a) Selecciona el comando Resolver / Sistema. En el siguiente cuadro de diálogo indica el número de ecuaciones del sistema y haz clic en Sí. En la siguiente ventana debes introducir cada una de las tres ecuaciones del sistema. A continuación, haz clic en la caja de texto Variables en ecuación y comprueba que aparecen resaltadas las tres incógnitas x, y, z. Finalmente, haz clic en el botón Simplificar y comprueba que las soluciones son 49 x, y, z Con esta expresión seleccionada, hacemos clic en el botón Simplificar, obteniendo la expresión decimal de la única solución del sistema: [x =.9876, y =.685, z =.58] Por tanto, el sistema es compatible determinado. b) Seleccionamos el comando Resolver / Sistema. Al igual que antes, indicamos a Derive que el sistema tiene tres ecuaciones y hacemos clic en Sí. En la siguiente ventana, introducimos las tres ecuaciones y hacemos clic en la caja Variables en ecuación. Tras comprobar que las incógnitas son x, y, z, hacemos clic en Simplificar y obtenemos un resultado sorprendente: [x y z Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, se trata de un sistema compatible indeterminado. 74

33 Sistemas de ecuaciones lineales CHOCOLATES Una fábrica de chocolates emplea, para una determinada marca, leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de los ingredientes por kilo son: leche,,8 euros; cacao, 4 euros; y almendra, euros. En un día se fabrican 9 kg de chocolate de dicha marca con un coste total de 58 euros. Cuántos kilos se utilizan de cada componente?. PINTURAS Cierta marca de pintura es elaborada con tres ingredientes, A, B y C, comercializándose en tres tonos diferentes. El primero se prepara con unidades de A, de B y de C; el segundo, con unidad de A, de B y de C; y el tercero con una unidad de cada ingrediente. El bote del primer tono se vende a 8 ε, el segundo a ε y el tercero a ε. Sabiendo que el margen comercial (o ganancia) es de 5 ε por bote, qué precio por unidad le cuesta a dicha marca de pintura cada uno de los tres ingredientes?. EL MÉTODO DE GAUSS CON LA CALCULADORA GRÁFICA La calculadora gráfica permite resolver sistemas de ecuaciones lineales, mediante los métodos de Gauss y GaussJordan, haciendo uso de las operaciones elementales por filas (opción MATH de la tecla MATRX) que se describen en la siguiente tabla: FUNCIÓN DESCRIPCIÓN EXPRESIÓN rowswap( Intercambia la fila i y la fila j rowswap(matriz, fila i, fila j) row+( Suma la fila i y la fila j y coloca el resultado en la fila j row+(matriz, fila i, fila j) *row( Multiplica los elementos de una fila por un número y coloca el resultado en dicha fila *row(número, matriz, fila) *row+( Multiplica la fila i por un número, se suma la fila j y se coloca el resultado en la fila j *row+(número, matriz, fila i, fila j) Veamos cómo se pueden usar estos comandos de la calculadora gráfica para resolver dos sistemas de ecuaciones lineales. Ejemplo.- Resuelve el sistema de ecuaciones lineales calculadora. Seguimos los siguientes pasos: Editamos la matriz A. 5 6 Efectuamos las operaciones elementales siguientes: x y 5x y 6 usando la Multiplicamos la fila primera por 5, se suma la fila segunda y el resultado se coloca en ésta. La operación es *row+(5, [A],, ) y obtenemos la matriz

34 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Multiplicamos la segunda fila por /6. La operación es *row(/6, Ans, ) y obtenemos la matriz. Multiplicamos la segunda fila por, se suma la primera fila y el resultado se coloca en ésta. La operación es *row+(, Ans,, ) y obtenemos la matriz. En esta última matriz podemos leer que la solución del sistema es x =, y =. Se trata, pues, de un sistema compatible determinado. Ejemplo.- Resuelve el sistema de ecuaciones lineales calculadora. x y z 6 x y z con la x y z Seguimos los siguientes pasos: Editamos la matriz 6 A. Efectuamos las operaciones elementales siguientes: Multiplicamos la primera fila por, se suma la segunda fila y el resultado se coloca en 6 ésta. La operación es *row+(, [A],, ) y obtenemos la matriz 4. Multiplicamos la primera fila por, se suma la tercera fila y el resultado se coloca en 6 ésta. La operación es *row+(, Ans,, ) y obtenemos la matriz 4. 6 x y z 6 En la última matriz, utilizando el sistema triangular de Gauss y 4, obtenemos la z 6 única solución del sistema: x =, y =, z =. Se trata, pues, de un sistema compatible determinado. INVERSIÓN Invirtiendo euros en acciones de tipo A y euros en acciones de tipo B, obtendríamos unos intereses totales (anuales) de 8 euros, y si invertimos euros en A y euros en B, obtenemos 6 euros. Cuáles serían los intereses si se invirtieran euros en A y 5 euros en B?. PETRÓLEO Un estado compra 54 barriles de petróleo a tres suministradores diferentes que lo venden a 7, 8 y dólares el barril, respectivamente. La factura total asciende a 6 millones de dólares. Si del primer suministrador recibe el % del total del petróleo comprado, cuál es la cantidad comprada a cada suministrador?. 76

35 Sistemas de ecuaciones lineales CRUCE DE CARRETERAS El cruce de carreteras, esquematizado en el dibujo, indica el número de coches / hora que transita por cada tramo de dirección única y en los que el aparcamiento está prohibido. Si se suspende el tráfico en el tramo AB por obras, qué número de vehículos han de discurrir por AC, BC y CD?. Podría cerrarse el tráfico por AC?. Y por CB?. 5.- MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Observa que dado el sistema x+ y = x 4y = 5 podemos considerar las matrices A= 4 B= 5 x X= y MATRIZ DE COEFICIENTES MATRIZ DE TÉRMINOS INDEPENDIENTES MATRIZ DE INCÓGNITAS con lo que el sistema puede escribirse en forma matricial así : A X = B o bien x 4 = y como puedes comprobar efectuando el producto de matrices A X 5 e igualando las dos matrices columna de ambos miembros. Observa además que la matriz A es cuadrada y regular y, por tanto, tiene inversa, A. Entonces, multiplicando por A ambos miembros tendríamos : A A X = A B y teniendo en cuenta que A A = I, obtenemos : I X = A B y como I X = X, resulta finalmente X = A B Por tanto, el problema de resolver un sistema de ecuaciones es equivalente al de hallar la matriz inversa de la matriz de coeficientes. Una vez obtenida ésta, basta efectuar un producto de matrices para tener resuelto el problema. Todo ello suponiendo, claro está, que la matriz de coeficientes es cuadrada y regular (es decir, tiene inversa). 77