CARRERA PROFESIONAL ADMINISTRACION DE NEGOCIOS INTERNACIONALES SEPARATA DE MATEMATICA

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1 CARRERA PROFESIONAL ADMINISTRACION DE NEGOCIOS INTERNACIONALES SEPARATA DE MATEMATICA El presente documento es una recopilación de información otenida en liros de autores prestigiosos y diversos sites de internet. El uso de este material es estrictamente educativo y sin fines de lucro Edición de circulación restringida sustentada en la Legislación sore Derechos del Autor DECRETO LEGISLATIVO 8 Artículo Respecto de las oras ya divulgadas lícitamente, es permitido sin autorización del autor. La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de eámenes de instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el ojetivo perseguido, de artículos o de reves etractos de oras lícitamente pulicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea ojeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de lucro

2 SESIÓN TEMA: LOS NUMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros representado por: Z= {,-.--, 0,,, } es una etensión de los números naturales. OPERACIONES ENTRE NUMEROS ENTEROS ADICION a + = c, donde a, y c є Z a ; : Sumandos c: Suma PROPIEDAD: La suma de dos números enteros es otro entero NOTA: La adición de los números enteros dee contemplar lo siguiente: a) La suma de dos números enteros positivos es positivo. Ejemplo: 8 + = ) La suma de dos números enteros negativos es otro negativo. Ejemplo = -7 c) La suma de un número entero positivo y otro negativo será positivo o negativo, de acuerdo al signo del número mayor. Ejemplos: = = -7 SUSTRACCION a = c, donde a, y c є Z a: Minuendo : Sustraendo c: Diferencia PROPIEDAD: Para otener la diferencia de dos números enteros, al minuendo se suma el opuesto del sustraendo, es decir: Ejemplos: a = a + (-) -7-9 = -7 + (-9) = = - + (6) = 8 = + (-8) = = 5 + (6) =

3 MULTIPLICACION a. = c, donde a, y c єz a: Multiplicando : Multiplicador c: Producto PROPIEDAD: El producto de dos números enteros es otro entero. NOTA:. La multiplicación tiene la siguiente regla de signos: (+)(+) = + (-)(-) = + (+)(-) = - (-)(+) = -. El producto de enteros se puede representar de la siguiente manera: Ejemplos : (-5)(-) = 0 (-)(7) = - (5)(-8) = -0 (-)(-)()(-6) = - (-)(-)(5) = 0 (a)() = a* POTENCIACION Es una multiplicación areviada, es decir:...= 6 Generalizando tenemos: a.a.a.a.a a = a n ; n factores PROPIEDADES: a n = p a: Base n: Eponente p: Potencia ) (-a) EXPONENTE PAR = +p; a Z + ) (-a) EXPONENTE IMPAR = - p; a Z + ) (a) 0 =, donde a 0; a Z ) (a) = a; a Z 5) (a) EXPONENTE PAR O IMPAR = +p; a Z + 6) (a) -n = n a ; a Z

4 RADICACION Es una operación inversa de la potenciación es decir: n a = n: Indice de la raíz a: Radicando o cantidad su radical. : Raíz PROPIEDADES: n + ) a = ±, "n" par o impar, a z n - ) a, Z, "n" par, a Z n - ) a = -, "n" impar, a Z DIVISION El cociente de dos números enteros es otro número entero. a : = c, donde a,, y c є Z, siendo 0 a: Dividendo : Divisor c: Cociente NOTA: La regla de signos para la división es la siguiente: Ejemplos: (+) : (-) = - (-0) : (-5) = + ( + ) : ( + ) = + ( - ) : ( - ) = + ( + ) : ( - ) = - ( - ) : ( + ) = - 0) = 0) = 0) - ( ) + ( )= 0) ( )( ) = 05) (-5) : (5) = 06) (-6) : (-6) = 07) (-) + (-) (7) = 08) 0 ()(5)-()() + 60 :( - : )= 09) (6 : ) 5 9 0) ( )() ( 6)() ) 90 0 ( * * 9 * 5) EJERCICIOS

5 0 ) (- (5 * ( 6 * )) ( ) ) ( * * 7 5 * 6) ( * 5 ( ) ) ) - 5 : -5 -(-8 : 7 - * (-5) ) ( 8) 5) 65 : : 0 ( ) 6) ( 7) ( : 8 :6) ( 0) 7) (-6 : : ( 50 :0 9 :)) 8) 5 : 7 ( * 5 9 * 6 + ) 9) 65 : - 9 * 7 -(0 * 8 +(-) ( ) ) 0) Si A, B -0, C 8, hallar : A -B - C (A B): C (A B C) SESIONES - TEMA: LOS NUMEROS RACIONALES El conjunto de números racionales está definido por: Q = a /a Z Z FRACCION: Es una división en forma indicada de dos números enteros, y se epresa así. a, además 0 TERMINOS DE UNA FRACCION a Numerador Numerado r NOTA: Recordar, el numerador indica las partes que se toman de un todo fraccionado. El denominador representa las partes en que se divide un todo. Ejemplo: 7 7 son las partes tomadas, de las en que se ha dividido la unidad

6 5 7 Finalmente diremos, el resto de la anterior fracción es = OPERACIONES CON FRACCIONES ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES HOMOGENEAS Recordemos que las fracciones homogéneas se caracterizan porque tienen el mismo denominador y se procede a sumar o restar de acuerdo al siguiente esquema: Ejemplos: a c a ± c ± = ) ) + + = = = 6 - = ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES HETEROGENEAS Las fracciones heterogéneas se caracterizan por tener diferentes denominadores, para sumar o restar podemos considerar el siguiente procedimiento: a c ad ± c ± = d d NOTA: El esquema anterior se aplica cuando se tienen dos fracciones. Ejemplos: 7 * +5 * +0 + = = = * * 5-9 * = = = 9 9 * 7 7 NOTA: Cuando hay más de dos fracciones se dee otener el mcm de los denominadores. Ejemplos: = = mcm = 60

7 (-) = = mcm= MULTIPLICACION DE FRACCIONES Para esta operación recordar que el producto es igual a la multiplicación de los numeradores sore los denominadores: a c a * c * = d * d Ejemplo: * * = = = * FRACCION DE FRACCION: Recordar que de =, es decir, la palara de significa multiplicar fracciones. POTENCIA DE UNA FRACCION Al igual que en los números enteros la potenciación es una multiplicación areviada donde se tiene un mismo factor que se repite n veces: n a a a a a...n veces = = donde 0; n >0 n n Ejemplo: = = NOTA: a 0 a ; si 0 Ejemplo: = =

8 POTENCIA DE UNA FRACCION CON EXPONENTE NEGATIVO En este caso se invierten los términos de la fracción y el eponente será positivo. Ejemplo: a -n n = a - 8 = = 6 RAIZ DE UNA FRACCION Una consecuencia de la potenciación es la operación de radicación, tenemos: Ejemplos: n a n a = ; donde 0 n = 9 8 = 7 DIVISION DE FRACCIONES El cociente de dos fracciones se otiene multiplicando al dividendo por el inverso del divisor: a c a d a * d : = * = d c * c Ejemplo: * 0 0 : = * = = = * 8 9 OBSERVACION: a a c Producto de etremos ) : = = d c Producto de medios d = a * d * c

9 Ejemplo: ) = a a 5 * = = = 5 * Ejemplo: 5 = NOTA: Al simplificar fracciones se dee tener en cuenta lo siguiente: z a) = nunca se hace esto * z z ) = nunca se hace esto *a z c) = nunca se hace esto z d) * z z *a = esto es correcto EJERCICIOS Y PROBLEMAS ) Efectuar : ) Simplificar: ) Resuelve: * - 7 7

10 ) Efectuar: + 5 P = * ) Resolver: * * ) Resolver: 7) Efectuar: - * * * * * 5 5 * 6 6 * 7-8) Simplificar: *0 + + * * * 5 9) Efectuar: * )Efectuar: - 5 : - 5 )Resolver:

11 )Efectuar: 9 : * * SESIONES: 5-7 TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESION ALGEBRAICA Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una epresión algeraica separadas por los signos + ó se llaman términos de la epresión. ELEMENTOS DE UN TERMINO ALGEBRAICO 5 ± y EXPONENTES VARIABLES SIGNO COEFICIENTE MONOMIOS Y POLINOMIOS MONOMIO: Epresión algeraica que tiene un término algeraico. BINOMIO: Epresión algeraica que tiene dos términos. TRINOMIO: Epresión algeraica que tiene tres términos. POLINOMIO: Epresión algeraica que tiene más de tres términos algeraicos. Son aquellos términos cuya variale es idéntica. TERMINOS SEMEJANTES Ejemplo: En la epresión: ² Los términos semejantes son: 7; ; -8 ; - ; 9

12 ADICION Y SUSTRACCION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En los siguientes casos comenzamos por asociar los términos semejantes antes de consolidarlos en un sólo término. El uso de la propiedad asociativa y distriutiva de la suma permite simplificar las epresiones semejantes cuando sumamos o restamos epresiones algeraicas. Ejemplos: ( + ) +( 7)= = 6-7 (9³ - ² +8 -) + ( ² ) = 9³ + -² + ² = 9 ³ -0 ² + + NOTA: Para hallar la diferencia entre dos polinomios al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo, es decir: A () - B ()= A () + [- B ()] Ejemplo: A( ) = B () = A() B() = ( 5 + 9) + ( ) A() B () = A() B () = MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar epresiones algeraicas nos valemos de la propiedad distriutiva y de la propiedad asociativa. Aplicar la propiedad distriutiva significa que cada término de una de las epresiones se multiplicará por cada término de la otra epresión y luego se suman todos esos productos. Ejemplo: Hallar el producto de: ( + )( -) = ()() + ()(-) +( )() +()(-) = ² = ² + 5 (a + )² = a ² +a + ² (a - )² = a ² - a + ² PRODUCTOS ESPECIALES (a )(a ) a ( + a)( + ) = +(a + ) + a (a + )(c + d)=ac +(ad + c) + d

13 Ejemplos: a) ( + ) = + ()()+ = ) ( - ) = ( ) - ()( )()+ 0 5 = - + c) ( + 6)( - 6) = - 6 = - 6 d) (a -0)(a +0) = a -0 = a -00 e) ( + 6)( +9) = +(6 +9) +(6)(9) = f) ( - 6)( -0) = +(-6-0) +(-6)(-0) = +(-6) + 60 = EJERCICIOS ) Dados: P() = Q() = ; Hallar: P ( ) + Q () ) Sean: P() = ; Q() = - Hallar: P () Q () ) Si : P() = - + Q() = - - ; Hallar: P() Q () ) Efectuar E + F, si: E = + - F = - -

14 5) Efectuar la multiplicación de los siguientes polinomios: a)( - + )( -) )( )( - ) c)( +y - z)( - y +z) d)(0, - 0,y)(0,6-0,8y) e) - y - y 6) Efectuar en forma directa: a) (a + ) = ) ( - ) = c) ( + 6)( - ) = d) ( + 5y ) = e) ( + 5)( - 5) = f) ( + y ) = g) (a - ) = h) ( + 9)( -) = i) ( - )(5 - ) = 7) Efectuar: ( +) - ( +) + 8) Determinar A+B; si: A = ( + ) -( +)( + 6) B = ( +7) -( +)( +5) 9) Si a- = c = 6; hallar: (a -) +( -c) +(a -c) M= 0) Si: (a+)(a - ) = 0; hallar el valor de: a ) Si: a + = 60 a. =0 (a -) Hallar el valor de: M= ) Simplificar: a+ a+c +c M= + + c a si : a++c = 0 ;

15 ) Si: + = y + y, hallar: + y U= y SESIONES 8 - TEMA: ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE DEFINICION Una ecuación de primer grado es aquella cuyo mayor eponente de su variale es uno, verificando la igualdad para un valor determinado de su incógnita o variale. Una ecuación de primer grado, reducida, adquiere la siguiente forma: a + = 0, a 0 Esta ecuación se denomina ecuación lineal, donde es la incógnita; a, єr, (coeficientes). Ejemplo: 0 + = + PRIMER SEGUNDO MIEMBRO MIEMBRO Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: ( ) ( ) Se sugiere seguir los siguientes pasos: ) Efectuar primero las operaciones que se encuentran dentro del corchete, es decir: 6 ) Se reducen los términos semejantes, dentro de los signos de agrupación: 7 ) Efectuamos la multiplicación de y por sus respectivos corchetes: 9 6 ) Agrupamos las variales en el lado izquierdo de la igualdad y los términos independientes al lado derecho, cuidando de camiar el signo de las mismas: 6 9

16 5) Culminamos las operaciones pendientes: 6) Finalmente la solución de la ecuación estará representada por Ejemplo: Hallar el valor de en la siguiente epresión: 5 Para este caso se sugiere: a) Multiplicar la igualdad por el común denominador, en este caso : 5 luego tendremos: () 5 () ) Efectuamos los productos indicados y/o simplificamos: ( ) ( 5) 6 c) Culminadas las multiplicaciones pendientes, tendremos: d) Finalmente procedemos como en el ejemplo anterior:

17 COSTOS FIJOS Y COSTOS VARIABLES En la producción de cualquier ien intervienen dos tipos de costos que se conocen como costos fijos y costos variales. COSTOS FIJOS: (CF) Son los costos que un empresario dee tomar en cuenta sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no depende del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas; intereses sore préstamos; pago de servicios (agua, luz, teléfono). COSTOS VARIABLES: (CV) Son los costos que dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos producidos. Ejemplos de costos fijos son los costos de materiales y la mano de ora. COSTO TOTAL: (CT) El costo total esta dado por: CT = CV + CF INGRESO: (I) Es lo que se recie por la venta de un ien particular y se epresa así: Donde: I : Ingreso Pv : Precio de venta por unidad q : Número de unidades I = (Pv). (q) UTILIDAD (U) La utilidad está dado por: Ejemplos: U = I CT ) Una empresa farica un producto que tiene costos variales de S/. 5 por unidad y costos fijos de S/ Cada unidad tiene un precio de venta de S/.. Determine el número de unidades que deen venderse para que la compañía otenga utilidades de S/ SOLUCION: Sea el número de unidades que deen ser vendidas.

18 DATOS: CV = S/.5 CF = S/ PV = S/. U = S/ Como el costo variale por unidad es de S/. 5; en será: 5 El ingreso: I = (Pv). (q) El CT = CV + CF I = () CT = () Saemos que: U = I CT () Reemplazando y en Tenemos: U = ( ) Por condición del prolema U = Entonces: ( ) = Resolviendo: = = = = = RESPUESTA: Se deen de vender unidades para otener dólares de utilidades. ) Un empresario tiene que invertir $.000. Planea invertir parte del dinero en onos lires de impuestos con un interés del 6% y el resto en onos sujetos a impuestos con un interés de 9%. Desea ganar $.005 por año en intereses de la inversión. Encuentre la cantidad que dee invertir a cada tasa de interés. SOLUCIÓN: Sea la cantidad invertida al 6%; la otra inversión será: (.000 ), a una tasa del 9%; en un año. I = 6% I = ( ) 9% I = 0,06 I = 0,09 ( ) Como el interés total es igual a $.005 y es igual a: I = I + I.005 = 0,06 + 0,09 (.000 ).005 = 0, ,09-0,06 + 0,09 = ,0 = = 0,0 = 8.500

19 RESPUESTA: El empresario dee invertir $ al 6% y $ al 9%. EJERCICIOS ) Hallar i en la ecuación:.85,7 =.000 ( + i) 5 ) En la ecuación hallar S :.000 = S 5 (.0) ) Hallar en: 6 ) Resuelva la ecuación: 5p (p ) p (p ) 9p (p ) 5) Hallar p en la ecuación:.900 = p ( + 0,0 7) 6) Hallar en: 5 6 7) Hallar : 8) Hallar en: ) Hallar en: 5 5 0) Hallar i en la ecuación:.899,77 =.800 ( + i) 7 ) Con una calculadora hallar el valor de aproimando el resultado al centésimo: 9,06 +,59 (8 5) =,07 + 0,56 ) Hallar el valor de : ) Si se cumple que: a =. Hallar: (a + ) (a + ) 5 7 ) Hallar si: 0 5) Si: a a 5 ; Hallar: a PROBLEMAS ) Carolina tiene S/. 0 y pierde veces consecutivos /; / y /, de lo que le ia quedando Con cuanto se queda? ) Luego de regalar los / de mi dinero y enseguida perder los /7 del resto, me quedaron S/. 50 Cuánto tenía al inicio? ) Luego de ganar veces consecutivos /5 del dinero que ia acumulando tengo.60 soles Con cuánto inicie el juego?

20 ) Se va a repartir S/ Si a Pedro le corresponde 5/9 del total y sólo ha reciido /8 de su parte Cuánto le falta reciir? 5) Mario reparte su fortuna entre sus hijos al mayor le da la mitad; al segundo le da / del resto, al tercero le da / de lo que queda. Si el último reciió S/. 600 Cuánto reciió el segundo? 6) Compro un terno con los /8 de mi dinero y un reloj por S/. 00. Si lo invertido ha sido los /5 de mi dinero Cuánto tenía? 7) Di a mi hermano los /7 de lo que tenía y a mi primo S/. 8. Si con esto he dispuesto de los 5/8 de mi dinero. Cuánto tenia? 8) Si me pagaran una cantidad que me deen; equivalente a los /7 de lo que tengo, podría gastar S/.0 y me quedarían S/. 50. Cuánto tengo? 9) He reciido S/. 50 después de haer gastado / de lo que tenia al principio y tengo ahora S/. más que al principio Cuánto tenia? 0) Un padre reparte S/.8 entre sus dos hijos los /7 de la parte que dio al mayor equivale a los /5 de la parte que dio al menor. Cuánto dio a cada uno? ) Dos hermanos pagan una deuda que asciende a los /5 de S/ , la parte que pago el menor equivale a los /9 de la parte que pago el mayor Cuánto pago cada uno? ) Cuando vendo un auto en S/ gano los /7 del costo. En cuánto tendría que venderlo para ganar los /5 del costo? ) Si gastara los /5 de lo que tengo y donara S/. me quedaría con los /7 de lo que tengo. Cuánto me queda? ) Una propiedad es de tres personas al primero corresponde 5/, al segundo /, y al tercero /, si se vende en S/ Cuánto corresponde a cada uno? 5) Si doy a mi hermano los /5 de lo que tengo menos S/., me quedarían S/.. Cuánto tengo? 6) Suponga que se invierten $ al 5% Cuánto dinero adicional dee invertirse al % para producir.8% de la cantidad total invertida? 7) Usted recie como sueldo un cheque por S/. 59 cada semana. Si sus deducciones por impuestos; retiro; cuota sindical y seguro médico constituyen 6% de su salario Cuál es su salario semanal antes de las deducciones? 8) Carmen Luján invirtió S/ de dos maneras: una parte al 6% y otra al %. En total ganó S/..00 en intereses en un año Cuánto invirtió al %. 9) José reciió S/ por la venta de un terreno. Invirtió una parte al 5% de interés y el resto al % de interés. Ganó un total de S/..90 en intereses en un año Cuánto invirtió al 5%? 0) Una compañía farica un producto a un costo variale de $,0 por unidad. Si los costos fijos son de $ y si cada unidad se vende a $ Cuántas unidades deen ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de $ ? ) Una empresa farica un producto que tiene costos variales a $ 6 por unidad y costos fijos de $ Cada unidad tiene un precio de venta de $ 0. Determine el número de unidades que deen venderse para que la compañía otenga utilidades de $ ?

21 ) Un total de $ fue invertido en dos ancos comerciales A y B. Al final del primer año A y B redituaron 6 y 5.75% respectivamente sore las inversiones originales Cuál fue la cantidad original por anco si en total ganó $ en intereses al año? ) En una clase de matemática para la administración ancaria hay 5 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el dole de chicas determina el número de chicas en la clase. ECUACIONES CON DOS VARIABLES Es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado que presenta la siguiente epresión: a +y = c () e + fy = d () Donde: ; y son las variales o incógnitas, a; ; c; e; f son los coeficientes. Ejemplo: + 5y = y = 850 VARIABLES: e y COEFICIENTES: ; 5; 9; ; 5; 850 A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema de dos ecuaciones lineales en las variales e y que consiste en hallar sus valores, para que al reemplazarlas sean verdaderas simultáneamente. Se sugieren los siguientes pasos: METODOS DE SOLUCION DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS METODO DE SUSTITUCION ) Se despeja una variale de cualquier ecuación. ) El valor de la variale en el paso (), se reemplaza en la otra ecuación y otenemos una ecuación de una variale. Mostraremos este método con el ejercicio anterior: Despejamos en la ecuación (): - y =...( ) +y =...( ) Reemplazamos () en () así: = + y y = () + y =

22 + y +y = MCM: (+ y) +y = ( + y) + 9y = 6 + 8y + 9y = 6 7y = 6 7y = y = 7 y = Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas () ó () en nuestro caso lo haremos en (). y = () = 8 = = + 8 = 9 = 9 = Cs, Se procede así: METODO DE IGUALACION ) Se despeja una misma incógnita en amas ecuaciones. ) Luego se igualan, oteniéndose un valor, que luego será reemplazado en una de las ecuaciones. Ejemplo: Resolver el sistema empleando el método de igualación: Despejamos de () y () En (): = + y En (): = -y - y =...() +y =...()

23 Igualamos amas epresiones: Resolvemos la ecuación hallando y + y = -y ( + y) = ( y) + 8y = 6 9y 8y + 9y = 6 7y = y = = 7 Reemplazamos este valor en () ó (); lo haremos en (): y = () = 8 = = + 8 = 9 = 9 = Cs:, Se sugieren los siguientes pasos: METODO DE REDUCCION. Se igualan los coeficientes de una de las variales de las dos ecuaciones, procurando que sean inversos aditivos.. Al sumar amas ecuaciones se eliminará una de las incógnitas.. Se resuelve la ecuación otenida en el paso y tenemos el valor de una incógnita.. Luego reemplazamos el valor de esta incógnita en cualquiera de las ecuaciones dadas y otenemos el valor de la otra variale. Ejemplo: Resolver el sistema, empleando el método de reducción: Vamos a igualar los coeficientes de y. - y =...() +y =...() Multiplicando la ecuación () por : 9 y = Multiplicando la ecuación () por : 8 + y = 8

24 Sumamos la ecuación () y (): 7 = 5 5 = 7 = Reemplazando: = en cualquiera de las ecuaciones: () ó () En nuestro caso reemplazaremos en (). y = () y = 9 y = - y = 9 - y = y = Cs: ; NOTA: Como oservarás cualquier método elegido, nos permite otener el mismo resultado. EJERCICIOS. Al resolver: + y = 5 - y =. Al resolver: + y =. Si:. Si: 5. Si: 6. Si: 7. Al resolver: - y = 55-5y = - - y = - 7u - v -0 = 0 5u - 6v -= 0-7y = +y = 9 + y = 7 y + z = z + =8 Hallar - + y - Hallar: + y Hallar: ( + y) Hallar: u - y + Calcular: M= - y Hallar: M = - z + y z - -

25 8. Si: a + = 7 +c = c + d = d+ e = a + e = - y = 6 + y = Calcular: P = Hallar: y a - -c a - d- e 9. Resolver : 0. Dado: - y =6 + y = 8 a + = 7 +c = -5 c + d = 8 d+ e = a + e = 9 Hallar: M = Hallar: y + y a. - c.d ; si: M P + K = 6; M = P = K. e. Al resolver el sistema: + y = -5 y + z = -7 + z = -8. Si se sae que: w = a+. Si: z = a+6 k = a Hallar: (z) (y) () Además M=w+z=z+k. a a + = + =. Hallar el valor de P = 6 9 Hallar: M - a. Resolver: 5. Resolver: = 9y =8y + y = 7 y + =

26 6. Resolver: y + = - y + = - 7. Resolver: - y =0 5 + y = 7 PROBLEMAS. Carolina ahorra en illetes de S/. 50 y de S/. 00 para hacer un osequio a su prima; al arir su alcancía logra contar 00 illetes que hacer un total de S/..00; suma con la cual compra el presente Cuántos illetes de S/. 50 y de S/. 00, ahorró Carolina?. Cinco veces lo que tiene A menos tres veces lo que tiene B es igual a S/.7. Tres veces los que tiene B es igual a S/. 5. Cuánto tiene cada uno?. El resultado de una pruea de matemática ásica es como sigue: Los / de los alumnos aproados es igual al triple de los desaproados más ; si al número de aproados se quita el quíntuplo de los desaproados resulta Cuántos alumnos aproaron y cuántos desaproaron?.. En un anco que tiene pisos, hay clientes en el primer y segundo piso; 6 en el segundo y tercer piso; 8 en el primer y tercero piso. Cuántos clientes hay en el primer piso? 5. El costo de 5 ejemplares de un liro y lapiceros es de S/. ; y el costo de 6 ejemplares y lapiceros, amos del mismo tipo anteriormente mencionados es de S/.. Hallar el costo de cada artículo. 6. Una compañía produce dos modelos de icicletas, el modelo RQZ y el modelo WRT. El modelo RQZ requiere horas de ensamlaje y el modelo WRT requiere horas de ensamlaje. Las partes para el modelo WRT cuestan $ 5 por icicleta y las partes para el modelo RQZ cuestan $ 0 por icicleta. Si la compañía tiene un total de horas de tiempo para ensamlaje y $ 65 disponiles por día para esos dos modelos Cuántos de cada modelo pueden hacerse en un día? 7. Si al dole de la edad de Naomi sumamos el triple de la de Aril otenemos 77 años. Si al triple de la edad de Naomi sumamos el dole de la de Aril resulta 78 años. Qué edad tiene cada una? 8. Tengo S/..650 y deseo comprar zapatos y camisas. Si compro dos camisas y un par de zapatos me soran S/. 500, pero si compro un polo y dos pares de zapatos me faltan S/ Cuánto cuesta cada par de zapatos y cada camisa? 9. Si el mayor de dos números se divide entre el menor, el cociente es y el residuo y si el triple del menor se divide entre el mayor, el cociente es y el residuo. Cuáles son los números?. 0. Hace años, al edad de Andrea era veces la de su hijo y dentro de 9 años ecederá en un año al dole de la de este último. Qué edad tiene cada uno?.

27 SESIONES - TEMA: ECUACIONES CUADRATICAS DEFINICION Es una ecuación de la forma: a + + c = 0; donde: a,, c R, a 0 Si al polinomio anterior le faltará alguno de sus términos tendremos una ecuación cuadrática incompleta METODOS DE SOLUCION Si la ecuación es completa se puede aplicar uno de los siguientes métodos: METODO DEL ASPA Si la ecuación se puede factorizar y presenta una de las siguientes formas: ++c=0 ó a ++c=0 Las raíces de la ecuación se pueden otener aplicando el método del aspa. Recordemos:. Se traza un aspa deajo del polinomio.. El producto de los etremos nos dee reproducir los términos en y el término independiente.. Al multiplicar en aspa los productos otenidos dee ser igual al término central.. Se iguala a cero el producto de los inomios otenidos en forma horizontal, para otener los dos valores de la ecuación tomando en cuenta el siguiente teorema: a 0 a 0 0 Veamos algunos ejemplos ilustrativos: ) = 0 - = - - = - -5 ( - )( - ) = 0 - = 0 = - = 0 = ) 0 7 0

28 5 (5 5 7 )( - 7) FORMULA GENERAL Si la ecuación no se puede factorizar, la formula general permite conocer la solución de la misma - - ac : - ac a discriminante OBSERVACIONES ) Si, ) Si, ) Si, ac ac ac 0 0 ; R Además: a es el coeficiente de (cuadrático); es el coeficiente de (lineal); c es el término independiente. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: + - =0; a = ; = ; c = , 0,8 () ()( () ), 7,,78

29 EJERCICIOS ) Resolver las siguientes ecuaciones mediante factorización: a) ) c) d) e) f) 0 g) 5 h) i) 6 j) ) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la formula general. En caso las raíces no sean eactas aproimar a dos decimales. a) ) d) e) k c) f) r r 5 i) 5( ) j) 5 k) m) 7 5 k g) k h) 8 k 8 6 ) Use una calculadora y la formula cuadrática para encontrar las soluciones aproimadas de las siguientes ecuaciones: a), ) c) 7,6 d) 8,06 8,7 0,,79 5,87,79 570,9 5, 0 0 5,0756 PROBLEMAS ) Un faricante puede vender unidades de un producto cada semana a un precio de p dólares por unidad, donde p = (00-). Si el costo de producir estas unidades es: ( ) dólares. Hallar: a) Cuántas unidades deen venderse cada semana para generar un ingreso de $ 9.600? ) A qué precio por unidad se generará un ingreso semanal de $ 9.900? c) Cuántas unidades dee el faricante producir y vender cada semana para otener una utilidad de $.00? d) A que precio por unidad el faricante otendrá una utilidad semanal de $.50?

30 ) Cada semana una compañía puede vender unidades se su producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p = (600-5). A la compañía le cuesta ( ) dólares producir unidades. a) Cuántas unidades dee vender la compañía cada semana para generar un ingreso de $ 7.500? ) Qué precio por unidad dee corar la compañía para otener un ingreso semanal de $ 8.000? c) Cuántas unidades dee producir y vender cada semana para otener una utilidad semanal de $ 5.500? d) A qué precio por unidad la compañía generará una utilidad semanal de $ 5.750? ) Una empresa que produce cereal para desayunos encontró que su costo de operación en dólares es c=0+50 y sus ingresos en dólares son I=65-. Para que valor o valores de serán iguales los costos y los ingresos. ) El ingreso mensual I de cierta compañía está dado por I= (800p-7p ), donde p es el precio en dólares del producto que farica esa compañía. A qué precio el ingreso será de $0 000 si el precio dee ser mayor de $ 50. 5) El gerente de una tienda de icicletas sae que el costo de vender icicletas es C= (0 + 60) y el ingreso de vender icicletas es I = ( - 8). Encuentre el punto de equilirio de (igualar los ingresos y los costos). 6) Una compañía farica los productos A y B. El costo de producir cada unidad A es $ más que el de B. Los costos de producción de A y B, son $00 y $ 50 respectivamente, y se hacen 5 unidades más de A que de B. Cuántas unidades de cada producto se farican? 7) Suponga que unos clientes comprarán q unidades de un producto cuando el precio es de (80- q)/ dólares cada uno. Cuántas unidades deen ser vendidas a fin de que el ingreso por ventas sea de $ 00? 8) Una compañía inmoiliaria es propietaria de 90 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en 50 dólares mensuales. Sin emargo por cada 0 dólares mensuales de aumento en la renta se tendrán dos desocupados sin posiilidades de ser rentados. La compañía quiere reciir.980 dólares mensuales de rentas. Cuál dee ser la renta mensual de cada departamento? 9. Ud. es el asesor financiero y jefe de una empresa propietaria de un complejo de oficinas que cuenta con 50 suites. Se puede rentar cada una de estas en $ 00 mensuales. Sin emargo, por cada $ 0 de aumento por mes hará dos de ellos desocupados, sin posiilidad de rentarlos. La compañía desea otener un total de $ 0.0 mensuales por la renta total del complejo. Se pide determinar la renta que dee corarse por cada suite. Cuál sería su respuesta? 0. La empresa ECABLE rindará servicio de televisión por cale a.000 clientes a un costo de $ mensuales. Un estudio de mercado indica que por cada disminución de $, en la tarifa mensual dará como resultado 50 nuevos clientes. Si la empresa tiene costos de operación de $ 0.000, el costo de instalación del servicio es de $ 6, además la empresa tiene que pagar un impuesto equivalente al 5% de los costos de instalación. Cuál es la tarifa más arata que puede estalecer la empresa para que su utilidad sea igual a $ 6.60?

31 SESIONES - 7 LA LINEA RECTA ECUACIONES DE LA RECTA LINEA RECTA Es un conjunto de puntos tal que, tomados de dos en dos darán una misma pendiente sin importar que pares de puntos se elijan y además las ordenadas de cada punto que la conforman están relacionadas con sus respectivas ascisas mediante una ecuación de primer grado con dos variales: e y. La ecuación de la recta queda determinada si se conocen dos condiciones: a) Un punto y la pendiente ) Dos puntos y L P ( ; y ) P ( ; y ) P ( ; y ) 0 m P P = m P P = m P P = Constante OBSERVACIÓN: ) Cuando se verifica lo anterior se dice que los puntos son COLINEALES. ) La mayor o menor inclinación de una línea recta con respecto al eje, se denomina PENDIENTE ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE Sea una recta L que pasa por el punto P ( ;y ) y tiene una pendiente m su ecuación es: y - y = m( - ) y L m (pendiente) y P(, y) y P ( ; y )

32 ) Tomamos un punto P(, y) de la recta L. DEMOSTRACION ) Hallamos su pendiente mediante la siguiente epresión: m = ) Efectuando: m( ) = y - y ) Camiando miemros: y y = m ( ) lqqd Ejemplo: y y Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (; ) y que tiene una pendiente igual a SOLUCIÓN: Se dee de oservar que como la pendiente m = es positiva la recta L forma un ángulo agudo con el eje. Aplicando la fórmula: y y = m( ) y = ( ) RESOLVIENDO: y - = 6 Transponiendo todo a un solo miemro: y 6 + = 0 y = 0 L y m = P (, ) ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Lo epuesto anteriormente nos permite otener la ecuación general de la recta cuya epresión es: A + By + C = 0 Cuando la ecuación se escrie así, decimos que está en la forma general donde A y B no pueden ser cero simultáneamente.

33 NOTA: ) Si tenemos la ecuación general de la recta, el valor de la pendiente será: A + By + C = 0 m = - B A ; B 0 ) La intersección con el eje y es. - B C Si C = 0 la recta pasa por el origen Si B = 0 la recta es vertical Si A = 0 la recta es horizontal Ejemplo: Hallar la ecuación general de la recta que pasa por A(6, 8) y su pendiente es. SOLUCION: Aplicamos la fórmula (punto pendiente). y y = m( ) Reemplazando: y 8 = ( 6) Operando: y 8 = Transponiendo y reduciendo: y + 8 = 0 y = 0 La ecuación tiene la forma general: A + By + C = 0 y = 0 La representación gráfica de la ecuación anterior será: y A(6, 8) X Y = 0 X (0, -)

34 OBSERVACION: La pendiente según lo eplicado anteriormente se otiene a partir de la ecuación general aplicando la fórmula: m = - B A Donde: A = ; B = - m = - ; m = La intersección con el eje y se otiene aplicando: - B C Así: C = - ; B = - - Ejemplo: Dada la ecuación: + 8 = 0. Hallar su pendiente y la intersección con el eje Y. SOLUCIÓN: Identificamos: A = B = - C = 8 Pendiente: Intersección con y : y + 8 = 0 A m = - B C 8 - B ECUACIÓN DE LA RECTA APLICADA A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN En su forma más elemental la oferta y demanda se representan mediante dos rectas. Oserva el gráfico: y (Precios) OFERTA: O DEMANDA: D 0 (Cantidades)

35 La demanda tiene pendiente negativa. La oferta tiene pendiente positiva En administración y economía se utiliza solamente el primer cuadrante del plano cartesiano. En el eje se colocan las cantidades demandadas. En el eje y se colocan los precios Ejemplo: A un precio de S/. por unidad, una empresa ofrecerá.000 polos al mes, a S/. cada unidad la misma empresa producirá polos al mes. Determina la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal. SOLUCIÓN: ) Construimos un diagrama: Precios y Q(9.000;) P(.000;) Cantidades ) Hallamos la pendiente de la recta que pasa pro los puntos P y Q. m ) Hallamos la ecuación de la oferta utilizando la forma (punto pendiente) y y = m ( - ) ) Reemplazamos (, y ) por uno, cualesquiera de los puntos P o Q en nuestro ejemplo vamos a usar el punto P (.000;): y = ( -.000).500 Efectuando:.500 (y ) = (.000) Efectuando operaciones tenemos:.500y =.000

36 Haciendo las transposiciones del caos, tenemos:.500y = 0.500y = 0 La ecuación de la oferta de los polos es:.500y = 0 Ejemplo: Se venden 0 calculadoras cuando su precio es de S/. 80 y 0 calculadoras cuando el precio es de S/. 60 Cuál es la ecuación de la demanda?. SOLUCIÓN: ) Trazamos una gráfica: Precio y 80 P (0, 80) Q (0, 60) ) Hallamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q m = X (Cantidad ) Hallamos la ecuación de la demanda utilizando la forma (punto pendiente) y y = m ( ). ) Reemplazamos ( ; y ) por cualesquiera de los puntos P o Q en nuestro caso lo haremos con el punto: P (0,80). y 80 = - ( 0) y 80 = ) Transponiendo el º miemro al primero tenemos: + y 80 0 = 0 + y 00 = 0 6) La ecuación de la demanda de las calculadoras es: + y 00 = 0

37 PROBLEMAS. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (; ) y pendiente.. Se tiene una recta que pasa por los puntos A ( ; 5) y B (; ).Determine su pendiente. Dadas las rectas: L: pasa por (, ) y (, ) P: pasa por (, ) y tiene pendiente Determinar la ecuación de la recta L y P.. Un faricante de detergentes oserva que las ventas son de paquetes a la semana cuando el precio es de S/.,0 por paquete; pero cuando el precio se reduce a S/.,0 por paquete, las ventas se incrementan a.000 paquetes. Hallar y graficar la ecuación de la demanda. 5. Un faricante de televisores advierte que, a un precio de SI..500 por televisor, las ventas ascienden a.000 televisores al mes. Sin emargo, a SI.. 50 por televisor, las ventas son de.00 unidades. Determine la ecuación de demanda y trazar la gráfica respectiva. 6. A un precio de SI.,50 por unidad, una empresa ofrecerá polos al mes; y a un precio de SI.,00 por unidad, la misma empresa producirá.000 polos al mes. Determine la ecuación de oferta y trazar la gráfica. 7. A un precio de S/. 5,00 por unidad, una empresa pondrá a la venta linternas eléctricas de plástico cada mes; y al precio de S/.,50 cada una, ofrecerá.000 unidades. Determine la ecuación de la oferta para este producto y trazar la línea respectiva. 8. Un faricante de herramientas puede vender 00 martillos al mes a S/.,00 c/u, mientras que solo puede venderse.000 martillos a S/.,75 c/u. Determinar y graficar la ecuación de la demanda. 9. Suponga que un faricante de zapatos colocará en el mercado 50 pares cuando el precio es de S/. 5 por par y 5 pares cuando cuestan S/. 0. Determinar y graficar la ecuación de la oferta. 0. Suponga que los clientes demandaran 0 unidades de un producto cuando el precio es de S/., y 5 unidades cuando el precio es de S/. 8. Encontrar la ecuación de la demanda suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando son requeridas 0 unidades.. Para mil pólizas, una compañía de seguros afirma que su ingreso mensual en dólares esta dado por : I=5, y su costo mensual en dólares esta dado por C= a) Trace la grafica de las ecuaciones de ingresos y costos sore los mismos ejes. ) Encuentre el punto de equilirio (I=C). c) A partir de la gráfica estime el ingreso y el costo cuando =00 (00 mil pólizas).. El costo de faricar 00 polos a la semana es de S/. 700 y el de 0 polos es de S/ Determinar la ecuación de costos.

38 SESIONES 8-0 TEMA: LA FUNCION CUADRATICA FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones cuadráticas son aquellas que tienen la siguiente regla de correspondencia. y f() a c con a 0 ; siendo a; ; y c constantes Ejemplos: a) y f() 8 0 ; siendo a = 8; = -0; c = ) y f() 8 ; siendo a = ; = -; c = -8 c) y f() ; siendo: a =; = 0; c = 0 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA La gráfica de una función cuadrática: y f() a c es una paráola. Esta paráola se are hacia arria o hacia aajo según sea positivo o negativo el coeficiente del término cuadrático. Ver figuras: 0 y 0 Si: y f() a c Si: y f() a c OBSERVACIONES (FIG: 0) (FIG: 0) a) La paráola es simétrica con respecto a una recta vertical llamada eje de simetría y pasa por el punto más ajo y más alto de la paráola. ) El punto de intersección de la paráola con su eje de simetría es el vértice de la paráola. c) Cuando a > 0 el vértice de la paráola está en el punto más ajo, (fig. 0) d) Cuando a < 0 el vértice de la paráola está en el punto más alto, (fig. 0)

39 Cálculo del vértice de una paráola: Sea y f() a otiene a partir de: c una función cuadrática cuya gráfica es una paráola; su vértice (v) se V= ;f a a ò V= ; c - a a En donde el valor óptimo (máimo o mínimo) de la función se alcanza en: ; a y f a ( óptimo) a ( óptimo) a NOTA: Y ma se otiene reemplazando optimo en la función f() Y min se otiene reemplazando optimo en la función f() Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice de la paráola y SOLUCION Según lo estalecido anteriormente tenemos: V ;f a a en donde : a = ; = -; c = El vértice está en: a () 8 y f 0

40 Luego: V= ;0 son las coordenadas del vértice. INTERCEPTOS CON LOS EJES COORDENADOS a) Para hallar los interceptos con el eje o ceros (si son reales) se hallan a partir de: a ac a ac ) Para hallar el intercepto con el eje y hacemos =0, entonces y = c Ejemplo: Hallar los interceptos con el eje e y de la función cuadrática: y a) Con el eje : a = ; = -; c= ( ) (-) () ()() ( ) (-) () ()() Luego los interceptos o ceros con el eje son: /; 0 ) Con el eje y, hacemos: = 0 en f() f(0) Luego el intercepto con el eje y es: (0) (0) EJERCICIOS ) Sin hacer una grafica determine el vértice de cada una de las siguientes paráolas y estalezca si se aren hacia arria o hacia aajo: a) f() ) f() c) g() 6 5 d) f() 6 ) Sin trazar una grafica, determine las intercepciones de cada una de las siguientes paráolas con los ejes e y a) g() 8 6 ) g()

41 ) En cada uno de los prolemas que se dan a continuación determine se el vértice de cada función es un punto máimo o un punto mínimo y encuentre las coordenadas de este punto.- Así mismo hallar las intersecciones con los ejes y grafique la función. a) y ) y c) f() d) f() ) En un complejo haitacional que tiene 00 departamentos de dos dormitorios. La ganancia mensual otenida por el alquiler de departamentos esta dada por: p() Cuántas unidades deen alquilarse para maimizar la ganancia mensual? Cuál es la máima ganancia mensual que se puede otener? 5) La ganancia mensual estimada otenida por la empresa Cannon al producir y vender X unidades de impresoras modelo E- es: p() -0, dòlares Encuentre cuantas impresoras dee producir cada mes para maimizar sus ganancias. 6) El ingreso mensual I (en cientos de dólares) otenido por la venta de estufas se relaciona con el precio unitario p(en dólares) mediante la ecuación. I(p) - p 0p a) Cuál precio unitario maimiza el ingreso mensual? ) Trace la grafica de I 7) Cuando una empresa vende unidades de un producto, sus ganancias son: p() Encuentre: a) El número de unidades que deen venderse para que la ganancia sea máima. ) La ganancia máima. 8) El administrador de una tienda de cámaras fotográficas ha encontrado que, a un precio (en dólares) de: p() =50- por cámara, se venden cámaras a) Hallar una epresión para el ingreso total de la venta de cámaras (nota: ingreso = precio demanda) ) Hallar el numero de cámaras vendidas que conducen a un ingreso máimo c) Hallar el ingreso máimo.

42 SESIONES: - TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES RAZON Es la comparación que eiste entre dos cantidades. Esta comparación se puede estalecer: a) Por diferencia ) Por cociente RAZON ARITMETICA: Es la comparación de dos cantidades mediante una diferencia. Ejemplo: La razón aritmética de 8 liros y 0 cuadernos, será: 8-0 = 8 Se puede afirmar que 8 liros eceden en 8 al número de cuadernos; o, la razón aritmética es 8. Generalizando: A B = K (razón) A: Antecedente B: Consecuente RAZON GEOMETRICA: Las cantidades se comparan mediante un cociente. Ejemplo: La razón geométrica de 8 liros y 0 cuadernos será: 8 = 0 5 (razón) Generalizando: A B K (razón), de donde: A=BK PROPORCION GEOMETRICA Es la comparación de dos razones geométricas. Es decir: a c d se lee: a es como c es a d a y d, se denominan EXTREMOS de la proporción. y c, se denominan MEDIOS de la proporción.

43 PROPIEDAD FUNDAMENTAL Si a c d entonces ad = c El producto de etremos es igual al producto de medios PROPIEDADES Sea la proporción geométrica a c d se cumple : ) a a c c d d ) a a c c d d ) a c d d ) a c d d 5) a c d a c d 6) a c d a c d EJERCICIOS. Hallar los valores, y en las siguientes proporciones: a) y ; si + y = 5 ) y 7 ; si + y = 8 c) 5 y y ; si y = 0 d) y 7 5 ; si y = 05. Hallar los valores de a y, si: a) a ; a + = 5 ) a ; si a + = 8 c) a a ; a = 0 d) ; a 5 a e) ; 5 a 6 7 f) ; a + = 88 a

44 . Se tiene que: 7 A 9 B C y además : A+B+C = 5; Hallar A + B + C PROBLEMAS. En un auditorio hay 00 personas; de las cuales 0 son mujeres. En qué relación se encuentran el número de homres y el número de mujeres?. Dos números están en la relación de a y su suma es 56. Hallar el mayor de dichos números.. Dos números se diferencian en 5; si la razón es /, determinar el número menor.. En una caja de caramelos hay de los saores fresa y limòn. Si por cada caramelo de fresa hay caramelos de limón. Cuántos caramelos de fresa hay; si en total eisten 80 caramelos?. 5. En una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como es a. Si hay dos docenas de plátanos. Hallar el número de manzanas. 6. En un corral por cada patos hay conejos y por cada conejo hay gallinas. Si se tiene patos. Determinar el número de gallinas. 7. En un salón de clases por cada 0 alumnas hay 9 alumnos. Después que se retiran 8 alumnas y alumnos, por cada alumnas hay 5 alumnos. Hallar el número de alumnas que haía al inicio. 8. En una fiesta hay 56 personas entre homres y mujeres de tal manera que el número de mujeres es al número de homres como es a. Se retiran 6 mujeres. Cuántos homres deen retirarse para que la relación de mujeres a homres sea de a 5? 9. Luis recie 0 soles de su padre, enseguida compra un pantalón y dice: lo que gaste y no gaste están en la relación de 5 a. Cuánto le queda luego de hacer la compra? 0. Dos números están en la relación de a 5, pero agregando 75 a uno de ellos y 5 al otro, amos resultados son iguales. Hallar el número mayor. REPARTO PROPORCIONAL Es la operación que consiste en dividir o repartir una cantidad en partes que sean directamente o inversamente proporcionales a ciertos números llamados índices de la proporcionalidad. TIPOS DE REPARTO REPARTO SIMPLE El reparto proporcional es simple cuando la división o reparto se hace en ase a un conjunto de números llamados índice de proporcionalidad, puede ser: Directo o inverso REPARTO SIMPLE DIRECTO En este tipo de reparto la cantidad a repartir se realiza en forma directamente proporcional (D.P.) a los números índices. Ejemplo: Repartir 80 en partes D.P. a los números: ; 5 y 7.

45 SOLUCIÓN: Sean A, B y C las partes a repartir y como son D.P. a los números índices (, 5 y 7) tenemos: A B 5 C 7 k De donde: A = k B = 5k C = 7k Como la suma de las partes resulta el todo, tenemos: A + B + C = 80 Reemplazando: k + 5k + 7k = 80 k = k = Luego las partes serán: k = 0 A = k = (0) = 0 B = 5k = 5(0) = 00 C = 7k = 7(0) = 0 REPARTO SIMPLE INVERSO: En este caso la cantidad que se va a repartir se hace en forma inversamente proporcional a los índices, invirtiendo los mismos y luego se procede a repartir en forma directa como en el caso anterior. PROCEDIMIENTO: a) Los números índices se invierten. ) Se saca el MCM de los denominadores (los números índices invertidos) c) Se multiplican a todos los números índices invertidos por el mcm y por la constante K. d) Se efectúa luego el reparto en forma D.P. (directamente proporcional). Ejemplo: Repartir 80 en forma IP a ; 5 y0 PARTES D.P. (INDICES) I.P.. A = / (0k). 5k 80 B = 5 /5 (0k) k C = 0 /0(0k) k 8k mcm (;5 y 0 = 0) Luego: 5k + k + k = 80 8k = 80 P

46 80 k = 8 k = 7,50 A = 5(7,50) = 7,50 B = (7,50) = 95 C = (7,50) = 7,50 REPARTO COMPUESTO Consiste en repartir una cantidad en forma DP e IP a la vez. PROCEDIMIENTO: ) El reparto IP se transforma a DP invirtiendo los índices, luego se multiplica por los índices DP ) Se multiplican luego los productos anteriores por el mcm de los denominadores. ) El reparto se realiza con los nuevos índices. Ejemplo: Repartir.88 en forma DP a y 5, a la vez y a la vez IP a 0 y 90 PARTES DP IP < > DP 88 A 0 < > (/0)(90) = 8K B 5 90 < > 5(/90)(90) = 5K K mcm (0; 90 = 90) < > : equivale Luego: Las partes son: A = 8K = 8( 56) = 008 B = 5K= 5(56) = 80 k = K= 56 PROBLEMAS. Al repartir S/ en tres partes DP a ; 5 y 6 e IP a 7 ; 8 ; 00 ; respectivamente. Determinar Cuál es la diferencia entre las dos mayores partes?. Un padre desea repartir una propina de S/. 50 entres sus hijos en forma proporcional a sus edades que son 5; 9 y 8 años, respectivamente. Cuánto reciirá cada hijo?. En una competencia de ciclismo se reparte S/..775 entre los tres primeros puestos en forma inversamente proporcional al tiempo empleado que fueron, 0 y 6 minutos. Qué cantidad de dinero reciieron cada uno de los primeros puestos?. Repartir en partes directamente proporcionales a 5, y 0.

47 5. Una persona reparte entre tres niños S/..600 en forma inversamente proporcional a sus edades, que son 8; ; años respectivamente Cuánto le tocó a cada uno? 6. Una casa comercial tiene tres deudas en diferentes ancos. Al primero le dee S/..800, al segundo S/ y al tercero S/ Si su haer es de S/ Cuánto aonará a cada anco? 7. Una empresa tiene un local valorizado en S/ y dos autos valorizados en S/..500 cada uno, se decide vender todo para poder cumplir con tres oligaciones, de tal manera que se repartirá de la siguiente manera al primero partes, al segundo 8 partes y al tercero partes. Cuánto le corresponde a cada uno? 8. Repartir 50 en tres partes que sean a la vez directamente proporcionales a /, /5 y /7 e inversamente proporcionales a /6, /0 y 5/. 9. Una empresa deerá repartir S/..800 entre cuatro empleados tomando en cuenta sus inasistencias, si estas fueron ; ; 6; 8; determinar cuánto le correspondió a cada uno. 0. Una entidad desea realizar una ora enéfica entre cuatro centros educativos, en ase a una puntuación, determinada por el desempeño del equipo de docentes y personal administrativo que laora en estos centros; la cantidad que se repartirá será S/..000 y el puntaje de cada centro fue, 0; 8 y 6 puntos respectivamente. Cuánto reciió cada centro? REGLA DE COMPAÑIA La regla de compañía tiene como finalidad el reparto de ganancias o pérdidas entre los diversos socios que conforman una sociedad o negocio; es un caso particular del reparto proporcional. Este reparto es directamente proporcional a los capitales y al tiempo que estuvo cada socio en dicho negocio. Ejemplo: Tres socios forman una sociedad; el primero aporta S/..000 en dos años; el segundo aporta S/..000 en cuatro años; y el tercero aporta S/..000 en cinco años. Cuánto corresponde a cada socio, saiendo que la ganancia es S/..000? SOLUCION: Este prolema lo resolvemos como los prolemas de reparto proporcional. Sean A; B y C los tres socios. SOCIOS CAPITALES (C) TIEMPO (T) (C)(T) A = 000 años 000 < > (k) G: 000 B = 000 años 000 < > (k) C = años < > (5k) k

48 < > : equivale k = K = 000 SOCIO A : K = ( 000) = SOCIO B : K = ( 000) = 000 SOCIO C : 5K = 5( 000) = PROBLEMAS. Katy, Gariela y María, aportaron S/..00; S/. 700 y S/..00 respectivamente para realizar un negocio si la ganancia fue S/ Cuánto le toca a cada socia por su inversión?. Tres amigos se asociaron para invertir en un restaurant aportando cada uno los siguientes capitales: S/ ; S/ y S/..000, si otuvieron una utilidad de S/ y traajaron ; y año respectivamente. Cuánto recie el que aportó mayor capital?. En un negocio Luisa, Juana y Fiorella aportaron S/..000; S/..000 y S/ respectivamente; después de tres meses de iniciado el negocio, Juana se retira, si al término de los 6 meses de iniciada la actividad comercial la utilidad de Fiorella ecede a la de Luisa en S/ Cuánto de utilidad le corresponde a Juana?. Una persona inicia un negocio, con un cierto capital, después de cinco meses acepta un socio el cual aporta S/. 00 menos que el primero, tres meses después acepta a otro socio el cual invierte S/. 500, si el negocio duro un año al final del cual el primero y el segundo ganaron S/. 80 y S/. 70, respectivamente. Hallar la ganancia del tercer socio? 5. Tres socios forman un negocio aportando capitales que están en la relación de ; y, si la utilidad total fue S/ Hallar la menor ganancia. 6. Katty, Susan, Carla y Rosa aportaron S/. 8.00; S/ y S/ respectivamente en un negocio; si la actividad comercial fracasó las dos primeras pierden S/. 70 menos que lo que pierden las dos últimas. Cuánto pierde Carla? 7. Se han asociado tres personas aportando la primera S/..000 durante seis meses; la segunda S/..000 durante ocho meses y la tercera S/ durante diez meses, al finalizar la operación otuvieron una ganancia de S/ Cuánto le corresponde a cada socio? 8. Dos socios forman una compañía aportando S/..000 y S/ respectivamente. Al cao de meses ingresa otro socio aportando cierto capital, si el negocio duró año y medio; cuando se repartieron las utilidades le tocó igual parte a los que aportaron mayor capital. Cuál fue el capital impuesto por el tercer socio? 9. Tres personas forman una sociedad, el primero aportó S/ , el segundo S/..000 durante 8 meses y el tercero S/..000 durante meses. Al repartir las utilidades de S/.0.000, proporcionales al capital y el tiempo, el segundo y el tercero reciieron juntos S/ Qué tiempo estuvo colocado el capital del primero? 0. Eduardo inaugura una empresa aportando S/ ; a los meses Desiré aporta los / de lo aportado por Eduardo más S/..500; a los 8 meses Rolando aportó /5 de lo que haían aportado los dos socios anteriores. Al cao de dos años Eduardo tuvo que cerrar la empresa deido a que perdieron S/ Determinar cuánto perdió cada uno?