n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

Transcripción

1 Cpítulo 10 Series de Funciones Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N l serie infinit socid (f n ) n N y usmos l notción f n o fn. Hy dos nociones de convergenci que podemos usr, si (S n ) converge puntulmente f : X R decimos que l serie f n converge puntulmente f en X. Si (S n ) converge uniformemente f, entonces f n converge uniformemente f. Los teorems que hemos obtenido nteriormente pr sucesiones de funciones pueden plicrse ls series de funciones. Teorem 10.1 Se f n un serie de funciones reles continus definids sobre X R, que converge uniformemente f en X, entonces f es continu. Demostrción. (S n ) n N es un sucesión de funciones continus que convergen uniformemente f en X. Por el Teorem 2.3 f es continu. De mner similr pueden obtenerse los siguientes teorems prtir de los resultdos correspondientes de ls secciones nteriores. Teorem 10.2 Se I R un intervlo bierto y pr n N f n : I R un función diferencible en I. Si f n converge puntulmente f en I y si f n

2 186 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES converge uniformemente en I entonces f es diferencible en I y f es l sum uniforme de f n. Teorem 10.3 Si (f n ) n N es un sucesión de funciones en R[, b] tl que f n converge uniformemente f en [, b] entonces f R[, b] y fdx = n f n dx. El siguiente teorem nos provee un criterio pr determinr si un serie de funciones converge bsolutmente. Teorem 10.4 (Weierstrss) Se (f n ) un sucesión de funciones reles definids sobre X y tles que sup x X f n (x) M n pr todo n N. Si M n converge entonces f n converge uniformemente en X. Demostrción. Como M n converge, ddo ε > 0 existe N tl que si n > m > N n f i (x) f i (x) M i < ε pr todo x X. i=m i=m i=m Un plicción del Teorem 2.1 complet l demostrción. Ejemplo 10.1 (Riemnn) Un función integrble que es discontinu en todo intervlo. Definimos l función { x x si x k/2, pr todo k Z, B(x) = 0 si x = k/2, pr lgún k Z donde x denot el entero más cercno x. L función f(x) = B(nx) n 2 (10.1) definid en [0,1] es discontinu en 1/2, 1/4, 3/4, 1/6, 5/6,... Sin embrgo, l serie (10.1) converge uniformemente por el criterio de Weierstrss, y ls funciones f n (x) = B(nx) n 2 son integrbles según Riemnn porque tienen un número finito de discontinuiddes. Ejemplo 10.2 Un función continu que no es diferencible en ningún punto. L función del ejemplo nterior, un vez integrd, es un ejemplo de un función continu que no es diferencible en un conjunto denso de puntos. El

3 10.1. SERIES DE FUNCIONES 187 siguiente pso es preguntrse si existen funciones continus que no sen diferencibles en ningún punto. Weierstrss demostró en 1872 que ests funciones existen. L función que consideró fue f(x) = b n cos( n x) que es uniformemente convergente pr b < 1 y no tiene derivd en ningún punto si b > 1 + 3π/2. Nosotros vmos considerr un ejemplo propuesto por Tkgi en Considermos l función { x 0 x 1/2 K(x) = 1 x 1/2 x 1, y l extendemos periódicmente: K(x + 1) = K(x) pr todo x y obtenemos un función continu con form de zig zg. Definimos hor f(x) = 1 2 n K(2n x) = K(x) K(2x) + 1 K(4x) + (10.2) 4 Como K(x) 1/2 y 2 n converge, vemos que l serie en (10.1) es uniformemente convergente y por lo tnto l función f es continu. Pr ver que est función no es diferencible se x 0 un punto y consideremos α n = i/2 n y β n = (i + 1)/2 n, donde i es el entero tl que α n x 0 < β n, y considermos el cociente r n = f(β n) f(α n ). β n α n En los puntos α n y β n l sum (10.2) es finit y por lo tnto r n es l pendiente de l serie truncd n j K(2j x) A medid que n ument se tiene que r n+1 = r n ± 1, y l sucesión (r n ) no puede converger. Por otro ldo r n = λ n f(β n ) f(x 0 ) β n x 0 + (1 λ n ) f(x 0) f(α n ) x 0 α n donde λ n = (β n x 0 )/(β n α n ) (0, 1]. Si f fuese diferencible en x 0 se tendrí que r n f (f(β n ) f(x 0 ) (x 0 ) λ n f (x 0 ) ) β n x 0 + (1 λ n ) ( f(x 0 ) f(α n ) f (x 0 ) ) x 0 α n < λ n ε + (1 λ n )ε = ε, pr n suficientemente grnde, lo cul es un contrdicción.

4 188 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Ejercicios Demuestre que Σ1/(n 2 +x 2 ) converge uniformemente en el conjunto {x: x 0}. 2. Investigue l convergenci puntul y uniforme en R de l serie 1 (1 + x 2 ) n 3. Demuestre que l serie nx 2 n 2 + x 3 es uniformemente convergente en [0, ], pr culquier > Demuestre que l serie 0 xn converge uniformemente en [ η, η] pr 0 < η < 1 pero que esto no es cierto en ( 1, 1). 5. Muestre que si (f n) es un sucesión de funciones reles definids en S R, entonces Σf n converge uniformemente en X si y sólo si pr culquier ε > 0 existe un entero n 0 tl que m f r (x) < ε si m n n 0 y x X. r=n 6. Investigue l convergenci puntul y uniforme de l serie Σf n en el conjunto X y sus subconjuntos en cd uno de los siguientes csos: f n(x) = f n(x) = xn 1, X = [0, ); fn(x) = x n + 1 (nx), X = R \ {0} 2 1 ( 1)n, X = [0, ); fn(x) =, X = [0, ) x n + 1 n + x 7. Si (f n ) es un sucesión cotd de funciones reles sobre un conjunto X y Σ n es bsolutmente convergente, entonces Σ n f n es uniformemente convergente en X Series de Potencis Se ( n ) n N un sucesión de números reles y pr cd n N se f n : R R l función definid por f n (x) = (x c) n pr c R fijo. L serie n f n = n (x c) n es un serie de potencis y n se llm el n-ésimo coeficiente de l serie. Escribiremos Σ n (x c) n pr denotr est serie, ( n ) n N es l sucesión de coeficientes socidos ell. En generl sólo vmos considerr el cso c = 0 pero los resultdos se extienden l cso generl de mner trivil. Teorem 10.5 Si pr x 0 0, Σ n x n 0 converge y y < x 0 entonces Σ n y n es bsolutmente convergente.

5 10.2. SERIES DE POTENCIAS 189 Demostrción. Si Σ n x n 0 converge, l sucesión ( n x n 0 ) converge 0 y es cotd, es decir, existe M que depende de x 0 tl que n x n 0 M, pr n N. Si y < x 0 entonces n y n M y/x 0 n y por el criterio de Weierstrss (teorem 10.4) l serie Σ n y n converge bsolutmente y que y/x 0 < 1. Teorem 10.6 Pr culquier serie de potencis Σ n x n ocurre lgun de ls siguientes posibiliddes: 1. Σ n x n converge puntulmente pr todo x R. 2. Existe ρ > 0 tl que l serie converge puntulmente en ( ρ, ρ) y diverge puntulmente en {x : x > ρ}. 3. Σ n x n converge únicmente pr x = 0. Demostrción. Si no ocurren ni 1 ni 3 entonces existen reles x 0 y x 1 distintos de 0 tles que Σ n x n 0 converge y Σ n x n 1 diverge. Se A = {x : Σ n x n converge}. A no es vcío porque x 0 A y es cotdo y que, por el teorem 10.5, si x > x 1 entonces Σ n x n diverge, de modo que A ( x 1, x 1 ). Se ρ = sup A, supongmos que y < ρ y escojmos x A, y < x A. Por el teorem 10.5, como Σ n x n converge, tmbién lo hce Σ n y n e y A, de modo que ( ρ, ρ) A. Pr ver el recíproco supongmos que y > x > ρ y Σ n y n converge, entonces por el teorem 10.5, Σ n x n converge y x A, lo cul contrdice l definición de ρ. Por lo tnto Σ n y n diverge si y > ρ. Definición 10.2 El rdio de convergenci de un serie de potencis Σ n x n es infinito en el cso 1, ρ en el cso 2 y 0 en el cso 3. El intervlo o círculo de convergenci es R en el cso 1 y ( ρ, ρ) en el cso Determinción del Rdio de Convergenci Los siguientes teorems dn resultdos útiles pr l determinción del rdio de convergenci de un serie de potencis. Teorem 10.7 (Cuchy) Si lim n n / n+1 existe o es, entonces ρ = lim n. n n+1 Demostrción. Aplicmos el criterio del cociente l serie con término generl x n = n x n : lim x n+1 = lim n+1x n+1 = x lim n n n x n n+1 = x / lim n. n n n+1 x n Ahor, l serie n x n converge si x < lim n / n+1 y diverge si x > lim n / n+1. n

6 190 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Teorem 10.8 (Hdmrd) El rdio de convergenci de l serie n x n está ddo por 1 ρ = limsup n n n. Demostrción. Aplicmos el criterio de l ríz l serie con término generl x n = n x n : n n limsup xn = x limsup n, n n vemos que l serie n x n converge si x < limsup n n n y diverge si x > limsup n n n. Teorem 10.9 Se Σ n x n un serie de potencis con rdio de convergenci distinto de 0. Entonces 1. L serie converge bsolutmente en cd punto de su círculo de convergenci 2. L serie converge uniformemente en todo intervlo cerrdo contenido en su círculo de convergenci. Demostrción. 1. Supongmos que y está en el círculo de convergenci de Σ n x n y escojmos z en el círculo de convergenci de modo que y < z. Por el Teorem 10.5, Σ n y n converge lo cul muestr el primer resultdo. 2. Supongmos que [α, β] es un intervlo cerrdo contenido en el círculo de convergenci de Σ n x n : Se γ = máx( α, β ) entonces γ está en el círculo de convergenci de n x n y por l prte 1, Σ n γ n converge. Por lo tnto, si ε > 0 existe N N tl que r=m+1 r γ r < ε si n > m N. En consecuenci, si x [α, β] y S n (x) = Σ n r=0 r x r, S m (x) S n (x) r=m+1 r x r r=m+1 r γ r < ε si n > m > N. Por lo tnto (S n ) es un sucesión de Cuchy y en consecuenci converge. Ejemplos Tomemos l sucesión ( n ) n N donde n = 1, pr todo n N y se x R. L serie de potencis en x con coeficientes ( n ) es l serie geométric Σ x n, que como sbemos es convergente si x < 1 y es divergente si x 1. Así, el rdio de convergenci de est serie es 1 y observmos que ell no converge ni en 1 ni en 1.

7 10.2. SERIES DE POTENCIAS Considermos l sucesión ( n ) n N con n = 1/n! pr todo n N. Se x R y consideremos l serie Σx n /n!. Aplicndo el teorem 10.7 obtenemos x n (n + 1)! x n+1 n! = n + 1 x (n ) y por lo tnto est serie de potencis tiene rdio de convergenci. 3. Consideremos hor l sucesión ( n ) n N con n = n! pr todo n N. Se x 0, x R. Pr ver que l serie Σ n x n no converge mostrremos que n x n no tiende 0 cundo n. Se t = 1/ x y n 0 el menor entero positivo myor que t. Pr todo entero n > n 0 tenemos n x n = n! t n = n 0! t n 0 (n 0 + 1)(n 0 + 2) n t n n 0 n 0! t n 0. Por lo tnto l sucesión ( n x n ) no tiende 0 y Σ n x n no converge. El rdio de convergenci de est serie es 0. Definición 10.3 un función f con dominio un intervlo bierto I R y vlores en R es nlític si pr cd c I existe ρ tl que pr todo x (c ρ, c + ρ) I se tiene que f(x) = n (x c) n, es decir, que f se puede representr como un serie de potencis. En ls siguientes secciones estudiremos ls principles propieddes de ests funciones Continuidd Corolrio 10.1 Si Σ n x n tiene rdio de convergenci distinto de cero, entonces converge puntulmente en su círculo de convergenci un función que es continu en el círculo de convergenci. Demostrción. Se C el círculo de convergenci de Σ n x n y f l función l cul converge l serie de potencis. Si x C podemos escoger un intervlo cerrdo [α, β] tl que x [α, β] C, y como Σ n x n converge uniformemente en [α, β], obtenemos que l función f es continu en x. El estudio de l continuidd de un serie de potencis en un punto del borde de su círculo de convergenci es más delicdo. Presentmos continución un resultdo conocido como el Teorem de Abel.

8 192 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Teorem (Abel) Supongmos que l serie Σ n x n tiene rdio de convergenci ρ positivo y supongmos que converge en uno de los extremos ρ del intervlo de convergenci: Σ n ρ n = s. Entonces l función f(x) = Σ n x n pr x < ρ tiende s cundo x ρ. Pr l demostrción necesitmos el siguiente lem Lem 10.1 Se α k un serie (no necesrimente convergente) cuys sums prciles S p = p k=1 α k están cotds, es decir, existe M > 0 tl que S p < M pr todo p N. Se b j un sucesión no creciente de números no negtivos. Entonces pr todo p N se tiene Demostrción. α 1 b α p b p Mb 1 α 1 b α p b p = S 1 b 1 + (S 2 S 1 )b (S p S p 1 )b p = S 1 (b 1 b 2 ) + + S p 1 (b p 1 b p ) + S p b p M(b 2 b 1 + b 2 b b p 1 b p + b p = Mb 1 Demostrción del Teorem de Abel. Ddo ε > 0 existe N N tl que pr n > N se tiene que n+1 ρ n n+p ρ n+p < ε pr todo p N. Ddo n > N escribimos α p = n+p ρ n+p pr p N. Ests α p cumplen ls hipótesis del lem nterior con M = ε. Pr todo x [0, ρ] tenemos n+1 x n n+p x n+p = α 1 ( x ρ ) + + α p( x ρ )p ( x ρ )n Usndo el lem con b p = (x/ρ) p concluimos que pr todo n > N y todo x [0, ρ] n+1 x n n+p x n+p ε ( x) n+1 ε ρ pr todo p N. Esto prueb que n x n converge uniformemente en [0, ρ]. Como los términos n x n son funciones continus, l sum f(x) = n x n es continu en [0, ρ]. Por lo tnto n n ρ n = lim x ρ n x n

9 10.2. SERIES DE POTENCIAS Derivds e Integrles El siguiente resultdo nos muestr l relción entre diferencición y series de potencis. Teorem Si Σ n x n tiene rdio de convergenci distinto de cero y converge puntulmente en su círculo de convergenci l función f, entonces f es diferencible en cd punto x de su círculo de convergenci y f (x) = n n x n 1. Demostrción. Se C el círculo de convergenci de Σ n x n, x C y escojmos y C de modo que y > x. Entonces Σ n y n es convergente y pr lgún k R, n y n k pr n N y se tiene n (n + 1) n+1 x n = (n + 1) x y n+1 y n k n y (n + 1) x y. En consecuenci, como Σ(n + 1) x/y n converge, lo cul se ve fácilmente usndo el criterio de l rzón, podemos concluir por el criterio de comprción que Σ(n + 1) n+1 x n converge. Por lo tnto el círculo de convergenci C de Σ n x n está contenido en el círculo de convergenci C 1 de Σ(n + 1) n+1 x n, de mner que si x C, existe δ > 0 tl que [x δ, x + δ] C C 1. Por el Teorem 10.9, tnto Σ n x n como Σ(n + 1) n+1 x n convergen uniformemente en [x δ, x + δ] y por el Teorem 10.2, pr t (x δ, x + δ) f (t) = (n + 1) n+1 t n. Teorem Bjo ls hipótesis del Teorem f tiene derivds de todos ls ordenes en su círculo de convergenci C que están dds por f (k) (x) = n(n 1) (n k + 1) n x n k (10.3) n=k y en prticulr f (k) (0) = k! k k = 0, 1,... (10.4) Demostrción L ecución (10.3) se obtiene plicndo sucesivmente el teorem nterior f. L ecución (10.4) nos muestr que los coeficientes en el desrrollo de f en serie de potencis están determindos por los vlores de f y sus derivds en el origen. Por otr prte, si conocemos los coeficientes en el desrrollo de l función tenemos de inmedito los vlores de ls derivds de f en el origen.

10 194 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Observmos sin embrgo que ún cundo un función f puede tener derivds de todos ls ordenes, l serie Σ n x n donde n se obtiene usndo (10.4) no necesrimente converge f(x) pr x 0. En este cso f no puede ser desrrolld en serie de potencis y que tendrímos f(x) = Σc n x n, en consecuenci y necesrimente c n = n. Ejemplo 10.4 f(x) = n!c n = f (n) (0) { e 1/x 2 x 0 0 x = 0 es posible mostrr que f tiene derivd de todos los ordenes en x = 0 y f (k) (0) = 0 pr n 1. Teorem Si Σ n x n tiene rdio de convergenci distinto de cero y converge puntulmente en su círculo de convergenci l función f, entonces f es integrble según Riemnn en culquier subintervlo cerrdo [, b] del círculo de convergenci y n fdx = n + 1 (bn+1 n 1 ). Demostrción. Se [, b] un subintervlo del círculo de convergenci de Σ n x n. Por el Teorem 10.9 Σ n x n converge uniformemente en [, b] y por el Teorem 10.3 f R[, b] y fdx = n x n dx de donde se obtiene el resultdo Multiplicción de Series de Potenci Teorem Se n x n y b n x n dos series de potenci con intervlos de convergenci I 1, I 2, respectivmente. Se f l función definid por l primer serie en I 1, g l función definid por l segund serie en I 2. Entonces, en el dominio común I 1 I 2 de mbs funciones, se tiene que Demostrción. Sen A n (x) = f(x)g(x) = c n x n con c n = i x i, B n (x) = i=0 j b n j b i x i, C n (x) = i=0 c i x i i=0

11 10.2. SERIES DE POTENCIAS 195 ls sums prciles y se R n (x) = i=n+1 b ix i. Tenemos C n (x) = = = c i x i = i=0 j x j i=0 n i=j i j b i j x i = b i j x i j = j x j B n j (x) = = g(x) j x j i=j j b i j x i n j j x j b k x k j x j (g(x) R n j (x)) j R n j (x)x j. Ahor, g(x) n jx j converge g(x)f(x) cundo n y pr mostrr que C n f g bst ver que 0 R n + 1 R n 1 x + + n R 0 x n 0 (n ). Fijmos x y sbemos que n x n es bsolutmente convergente. Ponemos A = j x j. Además, b j x j es convergente y ddo ε > 0 existe N N tl que si n N entonces R n < ε. Por lo tnto tenemos ( n N j x j R n j = n N sup k N + j=n N+1 j x j R n j + R k εa + M ) j x j R n j j=n N+1 j x j R n j + sup k N j=n N+1 j x j j x j R n j R k j=n N+1 j x j donde M es un cot pr R n. Hciendo n vemos que l sum en el segundo término tiende 0, de modo que limsup j x j R n j εa n Como ε es rbitrrio, esto implic el resultdo Series de Tylor Se f un función rel definid sobre un intervlo bierto de R que contiene l 0, y supongmos que f tiene derivds de todos los ordenes en 0. Podemos

12 196 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES entonces escribir l serie de potencis f (n) (0) x n n! donde f (0) (0) = f(0). Est serie se conoce como l serie de Mclurin de f. Consideremos hor l serie de potencis Σ n x n. Si est serie tiene rdio de convergenci distinto de 0 y converge f en su círculo de convergenci, entonces, por el Corolrio 10.1, n = f (n) (0)/n!, de modo que Σ n x n es l serie de Mclurin correspondiente f. En generl, ls series de potencis de l form: n (x x 0 ) n con n = f (n) (x 0 )/n! se conocen como l serie de Tylor de f lrededor del punto x 0. Por el Teorem de Tylor sbemos que f(x) = n 1 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + f (n) (ξ) (x x 0 ) n ξ entre x 0 y x. n! Est serie converge f si y sólo si el resto tiende 0 cundo n : lim f (n) (ξ) (x x 0) n = 0. n n! Teorem Supongmos que f tiene derivds de todos los ordenes en un intervlo de l form (x 0 r, x 0 + r) y que existe un constnte M (que puede depender de x 0 ) tl que f (n) (x) M x (x 0 r, x 0 + r) y n N (lgún N N). Entonces, pr todo x (x 0 r, x 0 + r) l serie de Tylor de f lrededor de x 0 converge f(x): f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! Demostrción. En cd uno de estos puntos tenemos un desrrollo de Tylor cuyo resto puede estimrse: f (n) (ξ)(x x 0 ) n n! M x x 0 n = M rn n! n! pero rn n! 0 y el límite del resto tiende 0.

13 10.2. SERIES DE POTENCIAS 197 Ejemplo 10.5 (Ls funciones exponencil y logrítmic) Definimos x n E(x) = n!. (10.5) Por l prueb del cociente sbemos que est serie converge pr todo x R. Aplicndo el teorem sobre multiplicción de series bsolutmente convergentes obtenemos E(x)E(y) = = x n n! 1 n! m=0 y m m! = ( n k Como consecuenci tenemos que x R y por lo tnto E(x) 0 x R. ) x k y n k = x k y n k k!(n k)! (x + y) n = E(x + y) (10.6) E(x)E( x) = E(x x) = E(0) = 1 (10.7) A prtir de l definición observmos que E(x) > 0 si x > 0 y por lo tnto E(x) > 0 pr todo x R. A prtir de (10.5) vemos que E(x) + si x + y (10.7) nos dice que E(x) 0 cundo x. A prtir de (10.5) vemos que 0 < x < y E(x) < E(y) y por (10.7) tenemos E( y) < E( x), de modo que E es estrictmente creciente en R. Además por (10.7): E(z + h) E(z) E(h) 1 lim = E(z) lim = E(z) n 0 h h 0 h de modo que E (z) = E(z). Iterndo (10.6) obtenemos E(z 1 + z z n ) = E(z 1 ) E(z n ). n! Como E(1) = e obtenemos Si ρ = n/m, n, m N entonces E(n) = e n. [E(ρ)] m = E(mρ) = E(n) = e n

14 198 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES es decir, y por (10.7) sbemos que E(ρ) = e ρ, ρ > 0, ρ Q Si definimos E( ρ) = e ρ si ρ > 0, ρ Q. e x = sup{e ρ : ρ < x, ρ Q} ls propieddes de continuidd y monotomí de E implicn Resumiendo tenemos E(x) = e x, x R. Teorem ) e x es continu y diferencible pr todo x. b) e x es estrictmente creciente y estrictmente positiv. c) e x+y = e x e y d) e x + (x + ), e x 0, (x ). e) lim x xn e x = 0 n N. Demostrción. Sólo demostrremos e). A prtir de e x > xn+1 (n+1)! pr x > 0, obtenemos x n e x (n + 1)! >. x Como E es estrictmente creciente y diferencible en R, tiene un función invers L que tmbién es estrictmente creciente y diferencible y cuyo dominio es (0, ). L está definid por Derivndo obtenemos Poniendo y = E(x), L(E(x)) = x, x R (10.8) L (E(x))E(x) = 1 L (y) = 1/y, y > 0. Tomndo x = 0 en (10.8) vemos que L(1) = 0 y en consecuenci Si u = E(x), v = E(y) L(y) = y 1 dx x. L(uv) = L(E(x)E(y)) = L(E(x + y)) = x + y = L(u) + L(v).

15 10.2. SERIES DE POTENCIAS 199 Usulmente escribimos log x en lugr de L(x). Tenemos Es posible mostrr como ntes que log x x, log x x 0. x α = E(αL(x)) = e α log x derivndo (x α ) = E(αL(x)) α x = αxα 1. Vemos que x α log x 0 (x ), α > 0. Si 0 < ε < α y x > 1 x x α log x = x α 1 dt < x α 1 t x α xε = x ε < xε α ε 1 x y como α > ε est expresión tiende 0 cundo x. Ejemplo 10.6 (Ls funciones trigonométrics) Definimos ls funciones C(x) y S(x) en R por C(x) = ( 1) j x2j (2j)!, 1 t ε 1 dt S(x) = ( 1) j x 2j+1 (2j + 1)! Ambs series convergen en todo R. Si derivmos ests series obtenemos S (x) = ( 1) j x2j (2j)! = C(x) y de mner similr C (x) = S(x). Es posible ver que, definids de est mner, ests funciones stisfcen ls misms identiddes que ls funciones seno y coseno. Por ejemplo, si ponemos h(x) = S 2 (x) + C 2 (x) derivndo obtenemos h (x) = 2S(x)C(x) 2C(x)S(x) = 0 pr todo x y por lo tnto h es constnte. Como C(0) = 1, S(0) = 0 tenemos h(0) = 1 y h(x) = 1 pr todo x R. Usndo el desrrollo en serie pr l función exponencil, que tmbién vle pr rgumentos complejos, obtenemos e ix (ix) k = = 1 + ix x2 k! 2 ix3 3 + x4 4 + ix ) ) = (1 x2 2 + x4 4 + i (x x3 3 + x5 5 = C(x) + is(x)

16 200 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES que es l fórmul de Euler. A prtir de ell podemos obtener otrs propieddes de ls funciones trigonométrics. Por ejemplo, prtir de l identidd obtenemos e i(x+y) = e ix e iy C(x + y) + is(x + y) = (C(x) + is(x))(c(y) + is(y)) = C(x)C(y) + is(x)c(y) + ic(x)s(y) S(x)S(y) = C(x)C(y) S(x)S(y) + i(s(x)c(y) + C(x)S(y)) e igulndo l prtes rel e imginri obtenemos ls identiddes C(x + y) = C(x)C(y) S(x)S(y) S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y) Ejercicios Verificr que i) el círculo de convergenci de Σβ n x n es ( 1/β, 1/β); ii) Σx n /n 2 converge si x 1 y diverge si x > Hllr el rdio de convergenci de ls siguientes series y determinr su comportmiento en los extremos del intervlo de convergenci. 1) (n + 1)x n 2) (x 2) n n n 3) (3/2) n x n n + 1 4) ( 1) n+1 x n x 2n 2 5) n 2 (2n 2)! 7) x n2 8) ( 1) n+1 x 2n 2 (2n 2)! 6) ( 1) n+1 n n n x n 9) n 10) 2 n x n n ) x n 2 n (n 1) 12) nx n 1 2 n 1 3 n 3. Hllr el rdio de convergenci de ls siguientes series y determinr su comportmiento en los extremos del intervlo de convergenci. 1) ( 1) n+1 n(x 1) n 1 (x 2) n, 2), n! (x + 4) 2n 2 3), 4) ( 1) n+1 (x + 3) 2n 2. (2n 2)! 4. Hlle l serie de McLurin pr ls siguientes funciones y determine su rdio de convergenci 1) sen x, 2) cos x, 3)(1 + x) α, 4) log(1 + x) Observe que en tercer cso el intervlo de convergenci de l serie y el dominio de l función no coinciden.

17 10.3. SERIES DE FOURIER A prtir de l relción rcsin x = x dt, desrrolle el integrndo en un 0 1 x2 serie de potencis e integre pr obtener l serie de McLurin de rcsin x. El mismo procedimiento plicdo l relción log(1+x) = x 0 l serie pr log(1 + x). dt 1+t permite obtener 6. Se c n un serie convergente y definmos f(x) = c nx n pr 1 < x < 1. Demuestre que lim f(x) = c n, x 1 es decir, que l serie de potencis es continu en Series de Fourier Ls ides del Análisis de Fourier surgen históricmente socids proglems de l Físic tles como l conducción del clor y el movimiento de onds. Vmos revisr muy superficielmente uno de estos problems, el de l cuerd vibrnte, pr hcernos un ide del tipo de problems que motivó el surgimiento de ests técnics L Cuerd Vibrnte Consideremos l ecución de ond 2 2 y x 2 = 2 y y 2 (10.9) que describe el movimiento de un cuerd que está sujet en sus extremos. supondremos, por comodidd, que los extremos están situdos e los puntos 0 y π, y tenemos como condiciones de contorno y(0, t) = 0, y(π, t) = 0. (10.10) L función y(x, t) describe el movimiento de l cuerd en el punto x medid que el tiempo t evolucion. Adicionlmente tenemos ls siguientes condiciones iniciles: t = 0 (10.11) t t=0 que indic que l velocidd inicil de l cuerd es 0 y y(x, 0) = f(x) (10.12) que describe l configurción inicil de l cuerd. Pr resolver est ecución suponemos que podemos seprr ls vribles. Por convenienci tommos = 1 y suponemos y(x, t) = u(x)v(t). Colocndo esto en l ecución diferencil (10.9) obtenemos u (x)v(t) = u(x)v (t) (10.13)

18 202 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Obtenemos u (x) u(x) = v (t) v(t) Como el ldo izquierdo sólo depende de x mientrs que el derecho sólo de t, necesrimente u (x) u(x) = λ = v (t) v(t) pr lgun constnte λ. Esto nos d dos ecuciones ordinris lineles de segundo orden que podemos resolver u = λu (10.14) v = λv (10.15) Ls condiciones iniciles implicn u(0) = u(π) = 0. Este problem tiene solución no trivil si y sólo si λ = n 2 pr lgún entero positivo n, y l solución correspondiente es u n (x) = sen(nx) Pr este mismo vlor de λ, l solución generl de (10.15) es v(t) = A sen(nt) + B cos(nt) L condición implic que v (0) = 0 y entonces A = 0. Por lo tnto v(t) = B cos(nt) En consecuenci l solución que encontrmos pr l ecución ( 10.9) con ls condiciones de contorno e iniciles dds es y n (x, t) = sen(nx) cos(nt) (10.16) Por el principio de superposición culquier combinción linel finit de ests soluciones tmbién es un solución. y(x, t) = α k sen(kx) cos(kt) k=1 Bjo cierts condiciones, un combinción linel infinit de soluciones del tipo ( 10.16) tmbién es un solución: y(x, t) = α k sen(kx) cos(kt) k=1 Nos flt ún exminr l condición (10.12): y(x, 0) = f(x). tenemos f(x) = y(x, 0) = α k sen(kx) y est condición se stisfce si podemos expresr f en un desrrollo de funciones seno. k=1

19 10.3. SERIES DE FOURIER Sistems Ortogonles de Funciones Definición 10.4 Si f, g son funciones reles, integrbles según Riemnn en [, b], l integrl f(x)g(x) dx (10.17) se conoce como el producto interno de f y g, y se denot por f, g. El número no-negtivo f = f, f 1/2 es l norm de f. El producto interno tiene ls siguiente propieddes f, f 0. f, g = g, f. αf, g = α f, g, f + g, h = f, h + g, h. Observción 10.1 Pr l integrl de Riemnn no es cierto en generl que f, f = 0 f = 0, y que un función que se distint de 0 en un punto del intervlo [, b] pero igul cero en el resto de los puntos stisfce f, f = 0 pero no es identicmente igul cero. Sin embrgo, si considermos el producto interno sobre el espcio de ls funciones continus en [, b], entonces si se stisfce que f, f = 0 f = 0. Proposición 10.1 (Desiguldd de Cuchy-Schwrz) Si f, g son integrbles según Riemnn en [, b] entonces f, g f g. (10.18) Demostrción. Sbemos que f g, f 2, y g 2 son integrbles. Tenemos Ponemos y entonces 0 = A = (f(x) γg(x)) 2 dx f 2 (x) dx 2γ f 2 (x) dx, B = f(x)g(x) dx + γ 2 g 2 (x) dx. f(x)g(x) dx, C = A 2γB + γ 2 C 0 g 2 (x) dx, pr todo γ R. Si C = 0 entonces B = 0. Si C 0 el discriminnte de l ecución cudrátic no puede ser positivo y tenemos B 2 AC. Usndo est desiguldd podemos obtener l desiguldd de Minkowski

20 204 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Proposición 10.2 (Desiguldd de Minkowski) f + g f + g (10.19) Demostrción. f + g 2 = f(x) + g(x) 2 dx f(x) f(x) + g(x) dx + g(x) f(x) + g(x) dx f f + g + g f + g = ( f + g ) f + g de donde se obtiene el resultdo. Tenemos l siguiente relción f + g 2 = f + g, f + g = f, f + 2 f, g + g, g = f 2 + g f, g. Por lo tnto l ecución f + g 2 = f 2 + g 2 es equivlente f, g = 0. Esto motiv l siguiente definición Definición 10.5 Sen f, g funciones integrbles según Riemnn en [, b]. Si f, g = 0 decimos que f y g son ortogonles. Si S = {φ 0, φ 1, φ 2,... } es un colección de funciones integrbles según Riemnn en [, b] decimos que S es un sistem ortogonl en [, b] si φ m, φ n = 0 siempre que n m (10.20) Si demás cd φ n tiene norm 1, decimos que S es ortonorml en [, b]. Escribiremos s.o.n. pr brevir sistem ortonorml. Nos interes en prticulr el sistem trigonométrico ddo por φ 0 (x) = 1 2π, φ 2n 1 (x) = cos nx sen nx, φ 2n (x) = n 1 (10.21) π π Es sencillo verificr que este sistem es ortonorml en [0, 2π], o en culquier intervlo de longitud 2π. L noción de producto interno puede extenderse funciones con vlores complejos que sen integrbles según Riemnn. L integrl de un función de este tipo f(x) = f 1 (x) + if 2 (x) se define como f(x) dx = f 1 (x) dx + i f 2 (x) dx. Ls propieddes de ests integrles son similres ls de ls funciones reles y pueden deducirse de ells.

21 10.3. SERIES DE FOURIER 205 En el cso de funciones complejs el producto interno está definido por f, g = f(x)g(x) dx (10.22) donde g(x) denot el complejo conjugdo de g(x). Se introduce el conjugdo pr que el producto interno de f consigo mism se un cntidd no-negtiv: f, f = f(x) 2 dx 0. L norm de f se define como ntes: f 2 = f, f y ls propieddes del producto interno deben modificrse de l siguiente mner: f, g = g, f y demás hor podemos multiplicr por constntes complejs. L definición de sistems ortogonles y ortonormles no cmbi. Como ejemplo de un sistem ortonorml de funciones con vlores complejos tenemos φ n (t) = einx cos nx + i sen nx =, n 0 (10.23) 2π 2π donde [, b] = [0, 2π]. Ejemplo 10.7 Se f, g R(, b), g 0. Definimos l proyección de f sobre g como el vector Vemos que h y f h son ortogonles. h, f h = h, f h 2 = = g h = f, g g 2. g, f f, g g 2 g, f f, g f, g f, g g 2 g 2 = 0 f, g g, f, g g g 4 y que g, f = f, g. Por lo tnto h y f h son ortogonles. Definición 10.6 Un colección finit {φ 0, φ 1,..., φ n } de funciones es linelmente dependiente en [, b] si existen constntes c 0, c 1,..., c n, no tods cero, tles que c 0 φ 0 (x) + + c n φ n (x) = 0, x [, b]. (10.24) En cso contrrio decimos que {φ 0, φ 1,..., φ n } es linelmente independiente en [, b]. Un colección infinit {φ 0, φ 1,... } es linelmente independiente en [, b] si todo subconjunto finito es linelmente independiente en [, b].

22 206 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Ejemplo 10.8 Todo sistem ortogonl es linelmente independiente: Supongmos que c 0 φ 0 (x) + + c n φ n (x) = 0, x [, b], multiplicndo por φ k (x), 0 k n e itegrndo en [, b] obtenemos pr 0 k n. c k φ 2 k(x) dx = c k φ k 2 = 0 c k = 0 Ddo un espcio con producto interno V y un colección de vectores linelmente independientes g 0, g 1, g 2,... en V, es posible formr un sistem ortonorml φ 0, φ 1, φ 2,... de l siguiente mner φ 0 = g 0 g 0 φ 1 = g 1 g 1, φ 0 φ 0 g 1 g 1, φ 0 φ 0 φ 2 = g 2 g 2, φ 1 φ 1 g 2, φ 0 φ 0 g 2 g 2, φ 1 φ 1 g 2, φ 0 φ 0 Este procedimiento se conoce como el proceso de ortogonlizción de Grm- Schmidt. Los polinomios de Legendre normlizdos se obtienen plicndo el proceso de Grm-Schmidt los polinomios 1, x, x 2,..., x n,... en [ 1, 1]. En R, este proceso plicdo ls funciones x n e x2 /2, n 0 d ls funciones de Hermite normlizds y plicdo ls funciones x n e x, n 0 en [0, ) d ls funciones de Lguerre normlizds. L nlogí existente con vectores en un espcio de dimensión finit sugiere l posibilidd de expresr un función rbitrri f como combinción linel de los elementos de un conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... }, que serí un ecución de l form f(x) = c n φ n (t) (10.25) válid pr todo x [, b]. Est ide plnte dos problems. bjo qué condiciones en f y {φ 0, φ 1,... } se puede segurr que (10.25) existe? Y suponiendo que exist un desrrollo de este tipo Cómo determinmos los coeficientes c 0, c 1,...? Vemos primero el segundo problem. Vmos suponer que (10.25) es ciert y opermos formlmente con est ecución sin preocuprnos por los problems de convergenci. Multiplicmos

23 10.4. LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN. 207 mbos ldos por φ k (x) e integrmos l serie resultnte término término en [, b] pr obtener f, φ k = c n φ n, φ k = c k. Por lo tnto, si podemos justificr ls operciones formles, vemos que el k-ésimo coeficiente en (10.25) no es más que el producto interno f, φ k. Teorem Se {φ 0.φ 1,... } un sistem ortonorml en [, b] y supongmos que l serie c n φ n (x) converge uniformemente en [, b] y se f(x) l función definid por est serie en [, b]. Entonces est función es integrble según Riemnn en [, b] y el n-ésimo coeficiente c n está ddo por c n = f, φ n = f(x)φ n (x) dx, n 0. (10.26) Demostrción. Aplicr resultdos sobre series de funciones. Supogmos hor que tommos el siguiente punto de vist: Nos dn un función f integrble según Riemnn en [, b] y un conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... } en [, b]. Podemos definir los coeficientes c k por (10.26) y podemos escribir l serie (10.25). Surgen hor ls siguientes pregunts: Converge puntulmente en [, b] est serie? Si l serie converge pr cierto x es f(x) su vlor? En generl l respuest mbs pregunts es negtiv. Es necesrio poner restricciones dicionles tnto en l función f como en el conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... } L Serie de Fourier de un Función. Definición 10.7 Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b] y supongmos que f R(, b). L notción f(x) c n φ n (x) (10.27) signific que los coeficientes c i, i 0 están ddos por c n = f, φ n = f(x)φ n (x) dx, n 0. (10.28) L serie (10.27) se conoce como l serie de Fourier de f respecto l sistem {φ 0, φ 1,... } y los números c i, i 0 son los coeficientes de Fourier de f respecto {φ 0, φ 1,... }.

24 208 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES En el cso prticulr de ls funciones trigonométrics, l serie se conoce como l serie de Fourier generd por f. En este cso con con n = 1 π f(x) ( n cos nx + b n sen nx) 2π 0 f(x) cos nx dx, b n = 1 π 2π 0 f(x) sen nx dx. Si usmos ls funciones e inx entonces l serie de Fourier se escribe c n = 1 2π n= 2π 0 c n e inx f(x)e inx dx Convergenci en Medi Cudrátic Definición 10.8 Se (f n ) n 1 un sucesión de funciones en R(, b) y se f R(, b). Decimos que f n converge en medi cudrátic f si ( 1/2 f n f = f n (x) f(x) dx) 2 0 (n ). (10.29) Este tipo de convergenci es distinto l convergenci puntul. Los siguientes ejemplos muestrn que ningun implic l otr. Ejemplo 10.9 Consideremos f n = n1 (0,1/n). Entonces f n (x) 0 cundo n pr todo x [0, 1] pero 1 0 f n (x) 2 dx = 1, de modo que f n no converge 0 en medi cudrátic. Ejemplo Consideremos l siguiente sucesión f 0,0 = 1 [0,1) f 1,0 = 1 [0,1/2), f 1,1 = 1 [1/2,1) f 2,0 = 1 [0,1/3), f 2,1 = 1 [1/3,2/3), f 2,2 = 1 [2/3,1).

25 10.5. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA 209 Entonces 1 0 f n,k 2 = 1/n pr todo 0 k n, de modo que l sucesión tiende cero en medi cudrátic, pero no converge en ningún punto. Definición 10.9 Un sucesión (f n ) en un espcio con producto interno es un sucesión de Cuchy si pr todo ε > 0 existe un N N tl que m, n N f n f m < ε Un espcio con producto interno es completo si tod sucesión de Cuchy converge un punto del espcio. Un espcio con producto interno que es completo se conoce como un espcio de Hilbert. Ni el espcio de ls funciones continus en un intervlo [, b] con el producto interno que hemos definido, ni el de ls funciones integrbles según Riemnn son completos. Teorem Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b], se f R(, b) y supongmos que f(x) c nφ n (x). Se s n (x) l sum prcil s n (x) = c k φ k (x) (10.30) Si b 0, b 1, b 2,... son números complejos culesquier se t n (x) = b k φ k (x). (10.31) Entonces tenemos l siguiente identidd: f(x) t n (x) 2 dx = de donde se obtiene l desiguldd f(x) 2 dx f(x) s n (x) 2 dx c k 2 + c k b k 2 (10.32) f(x) t n (x) 2 dx (10.33) Demostrción. (10.32) implic (10.33) porque el ldo derecho de (10.32) tiene su mínimo vlor cundo b k = c k, pr k 0. Pr demostrr (10.32) escribimos f t n 2 dx = f t n, f t n = f, f f, t n t n, f + t n, t n

26 210 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Ahor t n, t n = b k φ k, b m φ m = b k b k φ k, φ m = b k 2 f, t n = f, m=0 b k φ k = t n, f = f, t n = Por lo tnto c k b k m=0 b k f, φ k = b k c k f t n 2 dx = f 2 + b k 2 b k c k b k c k = f 2 = f 2 c k 2 + c k 2 + (b k c k )(b k c k ) b k c k 2 Teorem Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b], se f R(, b) y supongmos que f(x) c nφ n (x). Entonces () L serie c n 2 converge y stisfce l desiguldd c n 2 que se conoce como l desiguldd de Bessel. (b) L ecución c n 2 = f(x) 2 dx (10.34) f(x) 2 dx (10.35) que se conoce como l identidd de Prsevl, es válid si y sólo si se tiene f s n 0 cundo n, donde s n es l sucesión de sums prciles. Demostrción. Poniendo b k = c k en (10.32) y observndo que el ldo izquierdo es no-negtivo obtenemos c k 2 f(x) 2 dx

27 10.6. SERIES TRIGONOMÉTRICAS. 211 que demuestr (). Pr demostrr (b) ponemos b k = c k de nuevo en (10.32) y obtenemos f s n = f(x) s n (x) 2 dx = f(x) 2 dx c k 2 de donde se obtiene (b). L prte (b) del teorem nterior nos dice que l identidd de Prsevl vle si y sólo si l sucesión s n converge f en medi cudrátic. Definición Se S un colección de funciones integrbles según Riemnn en [, b]. Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b], y se s n (x) = f(x) c n φ n (x) c k φ k (x), n 0. El conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... } es completo pr S si pr tod f S se tiene que f s n 0 cundo n 0. Por lo tnto, pr un s.o.n.c. l relción de Prsevl vle pr tod f S. Veremos más delnte que el sistem de funciones trigonométrics es completo pr el conjunto S de ls funciones continus en [0, 2π]. Como consecuenci de l prte () del teorem nterior observmos que el coeficiente de Fourier c n de f respecto de culquier s.o.n. {φ 0, φ 1,... } debe tender 0 cundo n, porque c n 2 converge. En prticulr, cundo φ n (t) = e int / 2π tenemos de donde obtenemos 2π lim n 0 2π lim n 0 f(x) cos nx dx = 0, f(x)e inx dx = 0 2π lim n Series Trigonométrics. f(x) sen nx dx = 0. De hor en delnte sólo considerremos series trigonométrics y funciones periódics con período 2π que sen integrbles según Riemnn en [ π, π]. L serie de Fourier de f es l serie n= c n e inx 2π

28 212 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES con y l sum prcil se escribe c n = 1 2π π π f(x)e inx dx s n (x) = s n (f; x) = n c k e ikx 2π. En este cso l desiguldd de Bessel es π π s n (x) 2 dx = c k 2 π n π f(x) 2 dx. (10.36) Teorem (Lem de Riemnn-Lebesgue) Se f R[, b]. Pr todo β R se tiene lim α f(t) sen(αt + β) dt = 0 (10.37) Demostrción. Si f es constnte en [, b], el resultdo es consecuenci de cos(α + β) cos(αb + β) sen(αt + β) dt = 2 α α si α > 0. El resultdo tmbién vle si f es constnte en (, b), sin importr como definimos f() y f(b). Por lo tnto (10.37) vle si f es un función escler. Pr ε > 0 escogemos P P[, b] tl que S(P, f) I(P, f) < ε/2. Definimos M(t), m(t) funciones escler determinds por P y f de modo que M(t) vle M i en el i-ésimo intervlo de l prtición P, y de mner similr pr m(t) con m i. Por lo tnto m(t) f(t) M(t) pr todo t [, b] y tenemos Entonces I(P, f) = m(t) dt, S(P, f) = (f(t) m(t)) sen(αt + β) dt M(t) dt. M(t) m(t) dt ε 2. Pr este mismo vlor de ε podemos escoger A de modo que α A Combinndo ests dos ecuciones obtenemos m(t) sen(αt + β) dt < ε 2. f(t) sen(αt + β) dt 0.

29 10.6. SERIES TRIGONOMÉTRICAS. 213 cundo α. Introducimos el núcleo de Dirichlet pr obtener un expresión pr s n que se más mnejble: D n (x) = e ikx. (10.38) Est función stisfce k= n (e ix 1)D n (x) = e i(n+1)x e inx. Multiplicndo est iguldd por e ix/2 obtenemos que Tenemos s n (f; x) = k= n π = 1 2π = 1 2π π π D n (x) = sen(n )x. sen(x/2) c n e inx 2π = π f(t) k= n k= n 1 π f(t)e ikt dt e ikx 2π π e ik(x t) dt f(t)d n (x t) dt L periodicidd de ls funciones que precen en est fórmul y un cmbio de vribles muestrn que s n (f; x) = 1 π f(t)d n (x t) dt = 1 π f(x t)d n (t) dt (10.39) 2π π 2π π Teorem Si pr lgún x existen constntes δ > 0 y M < tles que pr todo t ( δ, δ) entonces f(x + t) f(x) M t (10.40) lim s n(f; x) = f(x). (10.41) n Demostrción. Definimos g(t) = f(x t) f(x) sen(t/2) pr 0 < t π, y ponemos g(0) = 0. Por l definición del núcleo de Dirichlet tenemos 1 π D n (x) dx = 1. 2π π

30 214 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Por lo tnto, prtir de (10.39) tenemos que s n (f; x) f(x) = 1 π 2π π = 1 π 2π = 1 2π π π π f(x t)d n (t) dt f(x) (f(x t) f(x))d n (t) dt g(t) sen(n + 1 )t dt. 2 y hor, como g es integrble según Riemnn en [, b] podemos usr el lem de Riemnn-Lebesgue pr obtener el resultdo. Corolrio 10.2 Si f(x) = 0 pr todo x en un intervlo I, entonces lim s n (f; x) = 0 pr todo x I. Otr formulción de este corolrio es l siguiente: Si f(t) = g(t) pr todo t en un vecindd de x, entonces s n (f; x) s n (g; x) = s n (f g; x) 0 cundo n. Pr l demostrción del próximo teorem necesitmos l siguiente versión del teorem de Stone-Weierstrss, que enuncimos sin demostrción. Un álgebr A de funciones complejs es uto-djunt si pr tod f A se tiene que f A. Teorem Se A un álgebr uto-djunt de funciones complejs continus en un conjunto compcto K, A sepr puntos en K y no se nul en ningún punto de K. Entonces l clusur uniforme B de A consiste de tods ls funciones complejs continus sobre K, es decir, A es dens en C(K). Teorem Si f es continu y periódic (con período 2π) y si ε > 0, entonces existe un polinomio trogonométrico P tl que pr todo x R. f(x) P (x) < ε Demostrción. Si identificmos x y x + 2π podemos considerr ls funciones periódics de período 2π sobre R como funciones sobre el círculo unitrio T, por l trnsformción x e ix. Los polinomios trigonométricos formn un álgebr uto-djunt A que sepr puntos de T y no se nul en ningún punto de T. Como T es compcto, el teorem dice que A es denso en C(T ). Lem 10.2 Se f R[, b]. Ddo ε > 0 existe un función continu g en [, b] tl que f g < ε.

31 10.6. SERIES TRIGONOMÉTRICAS. 215 Demostrción. Ddo ε > 0 se P P[, b] tl que S(P, f) I(P, f) < ε. Con bse en est prtición definimos l función g(t) = x i t f(x i 1 ) + t x i 1 f(x i ) x i x i Observmos que g(x i 1 ) = f(x i 1 ) y g(x i ) = f(x i ) y l función está definid como un interpolción linel entre estos dos puntos. Por lo tnto tenemos que pr todo x en [x i 1, x i ], En consecuenci g(x) f(x) M i m i 1 f(x) g(x) 2 dx = xi i=1 xi i=1 x i 1 f(x) g(x) 2 dx x i 1 M i m i 2 dx < ε Teorem Sen f, g funciones integrbles según Riemnn con período 2π y e inx e inx f(x) c n, g(x) d n. 2π 2π Entonces f s n (f) 0 y f, g = f(x)g(x) dx = k= c n d n (10.42) Demostrción. Se ε > 0. Como f R[ π, π] y f( π) = f(π) por el lem nterior tenemos un función h continu en [ π, π], con período 2π tl que f h < ε. Por el teorem existe un polinomio trogonométrico P tl que h(x) P (x) < ε/2π pr todo x. Por lo tnto h P < ε. Si P tiene grdo N, por (10.33) tenemos h s n (h) h P < ε pr todo n N. Por l desiguldd de Bessel pr h f, s n (h) s n (f) = s n (h f) h f < ε. Combinndo ests desigulddes con l desiguldd de Minkowski obtenemos f s n (f) f h + h s n (h) + s n (h) s n (f) 3ε

32 216 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Esto demuestr l convergenci 0 de f s n (f). Por otro ldo π π s n (f)g dx = k= n 1 π c n e ikx g(x) dx = 2π π k= n c n d n y por l desiguldd de Cuchy-Schwrz tenemos ( fg s n (f)g f s n (f) g f s n (f) 2 g 2) 1/2 que tiende 0 cundo n por lo que cbmos de demostrr. A prtir de est desiguldd se obtiene (10.42).