n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones."

Transcripción

1 Cpítulo 10 Series de Funciones Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N l serie infinit socid (f n ) n N y usmos l notción f n o fn. Hy dos nociones de convergenci que podemos usr, si (S n ) converge puntulmente f : X R decimos que l serie f n converge puntulmente f en X. Si (S n ) converge uniformemente f, entonces f n converge uniformemente f. Los teorems que hemos obtenido nteriormente pr sucesiones de funciones pueden plicrse ls series de funciones. Teorem 10.1 Se f n un serie de funciones reles continus definids sobre X R, que converge uniformemente f en X, entonces f es continu. Demostrción. (S n ) n N es un sucesión de funciones continus que convergen uniformemente f en X. Por el Teorem 2.3 f es continu. De mner similr pueden obtenerse los siguientes teorems prtir de los resultdos correspondientes de ls secciones nteriores. Teorem 10.2 Se I R un intervlo bierto y pr n N f n : I R un función diferencible en I. Si f n converge puntulmente f en I y si f n

2 186 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES converge uniformemente en I entonces f es diferencible en I y f es l sum uniforme de f n. Teorem 10.3 Si (f n ) n N es un sucesión de funciones en R[, b] tl que f n converge uniformemente f en [, b] entonces f R[, b] y fdx = n f n dx. El siguiente teorem nos provee un criterio pr determinr si un serie de funciones converge bsolutmente. Teorem 10.4 (Weierstrss) Se (f n ) un sucesión de funciones reles definids sobre X y tles que sup x X f n (x) M n pr todo n N. Si M n converge entonces f n converge uniformemente en X. Demostrción. Como M n converge, ddo ε > 0 existe N tl que si n > m > N n f i (x) f i (x) M i < ε pr todo x X. i=m i=m i=m Un plicción del Teorem 2.1 complet l demostrción. Ejemplo 10.1 (Riemnn) Un función integrble que es discontinu en todo intervlo. Definimos l función { x x si x k/2, pr todo k Z, B(x) = 0 si x = k/2, pr lgún k Z donde x denot el entero más cercno x. L función f(x) = B(nx) n 2 (10.1) definid en [0,1] es discontinu en 1/2, 1/4, 3/4, 1/6, 5/6,... Sin embrgo, l serie (10.1) converge uniformemente por el criterio de Weierstrss, y ls funciones f n (x) = B(nx) n 2 son integrbles según Riemnn porque tienen un número finito de discontinuiddes. Ejemplo 10.2 Un función continu que no es diferencible en ningún punto. L función del ejemplo nterior, un vez integrd, es un ejemplo de un función continu que no es diferencible en un conjunto denso de puntos. El

3 10.1. SERIES DE FUNCIONES 187 siguiente pso es preguntrse si existen funciones continus que no sen diferencibles en ningún punto. Weierstrss demostró en 1872 que ests funciones existen. L función que consideró fue f(x) = b n cos( n x) que es uniformemente convergente pr b < 1 y no tiene derivd en ningún punto si b > 1 + 3π/2. Nosotros vmos considerr un ejemplo propuesto por Tkgi en Considermos l función { x 0 x 1/2 K(x) = 1 x 1/2 x 1, y l extendemos periódicmente: K(x + 1) = K(x) pr todo x y obtenemos un función continu con form de zig zg. Definimos hor f(x) = 1 2 n K(2n x) = K(x) K(2x) + 1 K(4x) + (10.2) 4 Como K(x) 1/2 y 2 n converge, vemos que l serie en (10.1) es uniformemente convergente y por lo tnto l función f es continu. Pr ver que est función no es diferencible se x 0 un punto y consideremos α n = i/2 n y β n = (i + 1)/2 n, donde i es el entero tl que α n x 0 < β n, y considermos el cociente r n = f(β n) f(α n ). β n α n En los puntos α n y β n l sum (10.2) es finit y por lo tnto r n es l pendiente de l serie truncd n j K(2j x) A medid que n ument se tiene que r n+1 = r n ± 1, y l sucesión (r n ) no puede converger. Por otro ldo r n = λ n f(β n ) f(x 0 ) β n x 0 + (1 λ n ) f(x 0) f(α n ) x 0 α n donde λ n = (β n x 0 )/(β n α n ) (0, 1]. Si f fuese diferencible en x 0 se tendrí que r n f (f(β n ) f(x 0 ) (x 0 ) λ n f (x 0 ) ) β n x 0 + (1 λ n ) ( f(x 0 ) f(α n ) f (x 0 ) ) x 0 α n < λ n ε + (1 λ n )ε = ε, pr n suficientemente grnde, lo cul es un contrdicción.

4 188 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Ejercicios Demuestre que Σ1/(n 2 +x 2 ) converge uniformemente en el conjunto {x: x 0}. 2. Investigue l convergenci puntul y uniforme en R de l serie 1 (1 + x 2 ) n 3. Demuestre que l serie nx 2 n 2 + x 3 es uniformemente convergente en [0, ], pr culquier > Demuestre que l serie 0 xn converge uniformemente en [ η, η] pr 0 < η < 1 pero que esto no es cierto en ( 1, 1). 5. Muestre que si (f n) es un sucesión de funciones reles definids en S R, entonces Σf n converge uniformemente en X si y sólo si pr culquier ε > 0 existe un entero n 0 tl que m f r (x) < ε si m n n 0 y x X. r=n 6. Investigue l convergenci puntul y uniforme de l serie Σf n en el conjunto X y sus subconjuntos en cd uno de los siguientes csos: f n(x) = f n(x) = xn 1, X = [0, ); fn(x) = x n + 1 (nx), X = R \ {0} 2 1 ( 1)n, X = [0, ); fn(x) =, X = [0, ) x n + 1 n + x 7. Si (f n ) es un sucesión cotd de funciones reles sobre un conjunto X y Σ n es bsolutmente convergente, entonces Σ n f n es uniformemente convergente en X Series de Potencis Se ( n ) n N un sucesión de números reles y pr cd n N se f n : R R l función definid por f n (x) = (x c) n pr c R fijo. L serie n f n = n (x c) n es un serie de potencis y n se llm el n-ésimo coeficiente de l serie. Escribiremos Σ n (x c) n pr denotr est serie, ( n ) n N es l sucesión de coeficientes socidos ell. En generl sólo vmos considerr el cso c = 0 pero los resultdos se extienden l cso generl de mner trivil. Teorem 10.5 Si pr x 0 0, Σ n x n 0 converge y y < x 0 entonces Σ n y n es bsolutmente convergente.

5 10.2. SERIES DE POTENCIAS 189 Demostrción. Si Σ n x n 0 converge, l sucesión ( n x n 0 ) converge 0 y es cotd, es decir, existe M que depende de x 0 tl que n x n 0 M, pr n N. Si y < x 0 entonces n y n M y/x 0 n y por el criterio de Weierstrss (teorem 10.4) l serie Σ n y n converge bsolutmente y que y/x 0 < 1. Teorem 10.6 Pr culquier serie de potencis Σ n x n ocurre lgun de ls siguientes posibiliddes: 1. Σ n x n converge puntulmente pr todo x R. 2. Existe ρ > 0 tl que l serie converge puntulmente en ( ρ, ρ) y diverge puntulmente en {x : x > ρ}. 3. Σ n x n converge únicmente pr x = 0. Demostrción. Si no ocurren ni 1 ni 3 entonces existen reles x 0 y x 1 distintos de 0 tles que Σ n x n 0 converge y Σ n x n 1 diverge. Se A = {x : Σ n x n converge}. A no es vcío porque x 0 A y es cotdo y que, por el teorem 10.5, si x > x 1 entonces Σ n x n diverge, de modo que A ( x 1, x 1 ). Se ρ = sup A, supongmos que y < ρ y escojmos x A, y < x A. Por el teorem 10.5, como Σ n x n converge, tmbién lo hce Σ n y n e y A, de modo que ( ρ, ρ) A. Pr ver el recíproco supongmos que y > x > ρ y Σ n y n converge, entonces por el teorem 10.5, Σ n x n converge y x A, lo cul contrdice l definición de ρ. Por lo tnto Σ n y n diverge si y > ρ. Definición 10.2 El rdio de convergenci de un serie de potencis Σ n x n es infinito en el cso 1, ρ en el cso 2 y 0 en el cso 3. El intervlo o círculo de convergenci es R en el cso 1 y ( ρ, ρ) en el cso Determinción del Rdio de Convergenci Los siguientes teorems dn resultdos útiles pr l determinción del rdio de convergenci de un serie de potencis. Teorem 10.7 (Cuchy) Si lim n n / n+1 existe o es, entonces ρ = lim n. n n+1 Demostrción. Aplicmos el criterio del cociente l serie con término generl x n = n x n : lim x n+1 = lim n+1x n+1 = x lim n n n x n n+1 = x / lim n. n n n+1 x n Ahor, l serie n x n converge si x < lim n / n+1 y diverge si x > lim n / n+1. n

6 190 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Teorem 10.8 (Hdmrd) El rdio de convergenci de l serie n x n está ddo por 1 ρ = limsup n n n. Demostrción. Aplicmos el criterio de l ríz l serie con término generl x n = n x n : n n limsup xn = x limsup n, n n vemos que l serie n x n converge si x < limsup n n n y diverge si x > limsup n n n. Teorem 10.9 Se Σ n x n un serie de potencis con rdio de convergenci distinto de 0. Entonces 1. L serie converge bsolutmente en cd punto de su círculo de convergenci 2. L serie converge uniformemente en todo intervlo cerrdo contenido en su círculo de convergenci. Demostrción. 1. Supongmos que y está en el círculo de convergenci de Σ n x n y escojmos z en el círculo de convergenci de modo que y < z. Por el Teorem 10.5, Σ n y n converge lo cul muestr el primer resultdo. 2. Supongmos que [α, β] es un intervlo cerrdo contenido en el círculo de convergenci de Σ n x n : Se γ = máx( α, β ) entonces γ está en el círculo de convergenci de n x n y por l prte 1, Σ n γ n converge. Por lo tnto, si ε > 0 existe N N tl que r=m+1 r γ r < ε si n > m N. En consecuenci, si x [α, β] y S n (x) = Σ n r=0 r x r, S m (x) S n (x) r=m+1 r x r r=m+1 r γ r < ε si n > m > N. Por lo tnto (S n ) es un sucesión de Cuchy y en consecuenci converge. Ejemplos Tomemos l sucesión ( n ) n N donde n = 1, pr todo n N y se x R. L serie de potencis en x con coeficientes ( n ) es l serie geométric Σ x n, que como sbemos es convergente si x < 1 y es divergente si x 1. Así, el rdio de convergenci de est serie es 1 y observmos que ell no converge ni en 1 ni en 1.

7 10.2. SERIES DE POTENCIAS Considermos l sucesión ( n ) n N con n = 1/n! pr todo n N. Se x R y consideremos l serie Σx n /n!. Aplicndo el teorem 10.7 obtenemos x n (n + 1)! x n+1 n! = n + 1 x (n ) y por lo tnto est serie de potencis tiene rdio de convergenci. 3. Consideremos hor l sucesión ( n ) n N con n = n! pr todo n N. Se x 0, x R. Pr ver que l serie Σ n x n no converge mostrremos que n x n no tiende 0 cundo n. Se t = 1/ x y n 0 el menor entero positivo myor que t. Pr todo entero n > n 0 tenemos n x n = n! t n = n 0! t n 0 (n 0 + 1)(n 0 + 2) n t n n 0 n 0! t n 0. Por lo tnto l sucesión ( n x n ) no tiende 0 y Σ n x n no converge. El rdio de convergenci de est serie es 0. Definición 10.3 un función f con dominio un intervlo bierto I R y vlores en R es nlític si pr cd c I existe ρ tl que pr todo x (c ρ, c + ρ) I se tiene que f(x) = n (x c) n, es decir, que f se puede representr como un serie de potencis. En ls siguientes secciones estudiremos ls principles propieddes de ests funciones Continuidd Corolrio 10.1 Si Σ n x n tiene rdio de convergenci distinto de cero, entonces converge puntulmente en su círculo de convergenci un función que es continu en el círculo de convergenci. Demostrción. Se C el círculo de convergenci de Σ n x n y f l función l cul converge l serie de potencis. Si x C podemos escoger un intervlo cerrdo [α, β] tl que x [α, β] C, y como Σ n x n converge uniformemente en [α, β], obtenemos que l función f es continu en x. El estudio de l continuidd de un serie de potencis en un punto del borde de su círculo de convergenci es más delicdo. Presentmos continución un resultdo conocido como el Teorem de Abel.

8 192 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Teorem (Abel) Supongmos que l serie Σ n x n tiene rdio de convergenci ρ positivo y supongmos que converge en uno de los extremos ρ del intervlo de convergenci: Σ n ρ n = s. Entonces l función f(x) = Σ n x n pr x < ρ tiende s cundo x ρ. Pr l demostrción necesitmos el siguiente lem Lem 10.1 Se α k un serie (no necesrimente convergente) cuys sums prciles S p = p k=1 α k están cotds, es decir, existe M > 0 tl que S p < M pr todo p N. Se b j un sucesión no creciente de números no negtivos. Entonces pr todo p N se tiene Demostrción. α 1 b α p b p Mb 1 α 1 b α p b p = S 1 b 1 + (S 2 S 1 )b (S p S p 1 )b p = S 1 (b 1 b 2 ) + + S p 1 (b p 1 b p ) + S p b p M(b 2 b 1 + b 2 b b p 1 b p + b p = Mb 1 Demostrción del Teorem de Abel. Ddo ε > 0 existe N N tl que pr n > N se tiene que n+1 ρ n n+p ρ n+p < ε pr todo p N. Ddo n > N escribimos α p = n+p ρ n+p pr p N. Ests α p cumplen ls hipótesis del lem nterior con M = ε. Pr todo x [0, ρ] tenemos n+1 x n n+p x n+p = α 1 ( x ρ ) + + α p( x ρ )p ( x ρ )n Usndo el lem con b p = (x/ρ) p concluimos que pr todo n > N y todo x [0, ρ] n+1 x n n+p x n+p ε ( x) n+1 ε ρ pr todo p N. Esto prueb que n x n converge uniformemente en [0, ρ]. Como los términos n x n son funciones continus, l sum f(x) = n x n es continu en [0, ρ]. Por lo tnto n n ρ n = lim x ρ n x n

9 10.2. SERIES DE POTENCIAS Derivds e Integrles El siguiente resultdo nos muestr l relción entre diferencición y series de potencis. Teorem Si Σ n x n tiene rdio de convergenci distinto de cero y converge puntulmente en su círculo de convergenci l función f, entonces f es diferencible en cd punto x de su círculo de convergenci y f (x) = n n x n 1. Demostrción. Se C el círculo de convergenci de Σ n x n, x C y escojmos y C de modo que y > x. Entonces Σ n y n es convergente y pr lgún k R, n y n k pr n N y se tiene n (n + 1) n+1 x n = (n + 1) x y n+1 y n k n y (n + 1) x y. En consecuenci, como Σ(n + 1) x/y n converge, lo cul se ve fácilmente usndo el criterio de l rzón, podemos concluir por el criterio de comprción que Σ(n + 1) n+1 x n converge. Por lo tnto el círculo de convergenci C de Σ n x n está contenido en el círculo de convergenci C 1 de Σ(n + 1) n+1 x n, de mner que si x C, existe δ > 0 tl que [x δ, x + δ] C C 1. Por el Teorem 10.9, tnto Σ n x n como Σ(n + 1) n+1 x n convergen uniformemente en [x δ, x + δ] y por el Teorem 10.2, pr t (x δ, x + δ) f (t) = (n + 1) n+1 t n. Teorem Bjo ls hipótesis del Teorem f tiene derivds de todos ls ordenes en su círculo de convergenci C que están dds por f (k) (x) = n(n 1) (n k + 1) n x n k (10.3) n=k y en prticulr f (k) (0) = k! k k = 0, 1,... (10.4) Demostrción L ecución (10.3) se obtiene plicndo sucesivmente el teorem nterior f. L ecución (10.4) nos muestr que los coeficientes en el desrrollo de f en serie de potencis están determindos por los vlores de f y sus derivds en el origen. Por otr prte, si conocemos los coeficientes en el desrrollo de l función tenemos de inmedito los vlores de ls derivds de f en el origen.

10 194 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Observmos sin embrgo que ún cundo un función f puede tener derivds de todos ls ordenes, l serie Σ n x n donde n se obtiene usndo (10.4) no necesrimente converge f(x) pr x 0. En este cso f no puede ser desrrolld en serie de potencis y que tendrímos f(x) = Σc n x n, en consecuenci y necesrimente c n = n. Ejemplo 10.4 f(x) = n!c n = f (n) (0) { e 1/x 2 x 0 0 x = 0 es posible mostrr que f tiene derivd de todos los ordenes en x = 0 y f (k) (0) = 0 pr n 1. Teorem Si Σ n x n tiene rdio de convergenci distinto de cero y converge puntulmente en su círculo de convergenci l función f, entonces f es integrble según Riemnn en culquier subintervlo cerrdo [, b] del círculo de convergenci y n fdx = n + 1 (bn+1 n 1 ). Demostrción. Se [, b] un subintervlo del círculo de convergenci de Σ n x n. Por el Teorem 10.9 Σ n x n converge uniformemente en [, b] y por el Teorem 10.3 f R[, b] y fdx = n x n dx de donde se obtiene el resultdo Multiplicción de Series de Potenci Teorem Se n x n y b n x n dos series de potenci con intervlos de convergenci I 1, I 2, respectivmente. Se f l función definid por l primer serie en I 1, g l función definid por l segund serie en I 2. Entonces, en el dominio común I 1 I 2 de mbs funciones, se tiene que Demostrción. Sen A n (x) = f(x)g(x) = c n x n con c n = i x i, B n (x) = i=0 j b n j b i x i, C n (x) = i=0 c i x i i=0

11 10.2. SERIES DE POTENCIAS 195 ls sums prciles y se R n (x) = i=n+1 b ix i. Tenemos C n (x) = = = c i x i = i=0 j x j i=0 n i=j i j b i j x i = b i j x i j = j x j B n j (x) = = g(x) j x j i=j j b i j x i n j j x j b k x k j x j (g(x) R n j (x)) j R n j (x)x j. Ahor, g(x) n jx j converge g(x)f(x) cundo n y pr mostrr que C n f g bst ver que 0 R n + 1 R n 1 x + + n R 0 x n 0 (n ). Fijmos x y sbemos que n x n es bsolutmente convergente. Ponemos A = j x j. Además, b j x j es convergente y ddo ε > 0 existe N N tl que si n N entonces R n < ε. Por lo tnto tenemos ( n N j x j R n j = n N sup k N + j=n N+1 j x j R n j + R k εa + M ) j x j R n j j=n N+1 j x j R n j + sup k N j=n N+1 j x j j x j R n j R k j=n N+1 j x j donde M es un cot pr R n. Hciendo n vemos que l sum en el segundo término tiende 0, de modo que limsup j x j R n j εa n Como ε es rbitrrio, esto implic el resultdo Series de Tylor Se f un función rel definid sobre un intervlo bierto de R que contiene l 0, y supongmos que f tiene derivds de todos los ordenes en 0. Podemos

12 196 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES entonces escribir l serie de potencis f (n) (0) x n n! donde f (0) (0) = f(0). Est serie se conoce como l serie de Mclurin de f. Consideremos hor l serie de potencis Σ n x n. Si est serie tiene rdio de convergenci distinto de 0 y converge f en su círculo de convergenci, entonces, por el Corolrio 10.1, n = f (n) (0)/n!, de modo que Σ n x n es l serie de Mclurin correspondiente f. En generl, ls series de potencis de l form: n (x x 0 ) n con n = f (n) (x 0 )/n! se conocen como l serie de Tylor de f lrededor del punto x 0. Por el Teorem de Tylor sbemos que f(x) = n 1 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + f (n) (ξ) (x x 0 ) n ξ entre x 0 y x. n! Est serie converge f si y sólo si el resto tiende 0 cundo n : lim f (n) (ξ) (x x 0) n = 0. n n! Teorem Supongmos que f tiene derivds de todos los ordenes en un intervlo de l form (x 0 r, x 0 + r) y que existe un constnte M (que puede depender de x 0 ) tl que f (n) (x) M x (x 0 r, x 0 + r) y n N (lgún N N). Entonces, pr todo x (x 0 r, x 0 + r) l serie de Tylor de f lrededor de x 0 converge f(x): f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! Demostrción. En cd uno de estos puntos tenemos un desrrollo de Tylor cuyo resto puede estimrse: f (n) (ξ)(x x 0 ) n n! M x x 0 n = M rn n! n! pero rn n! 0 y el límite del resto tiende 0.

13 10.2. SERIES DE POTENCIAS 197 Ejemplo 10.5 (Ls funciones exponencil y logrítmic) Definimos x n E(x) = n!. (10.5) Por l prueb del cociente sbemos que est serie converge pr todo x R. Aplicndo el teorem sobre multiplicción de series bsolutmente convergentes obtenemos E(x)E(y) = = x n n! 1 n! m=0 y m m! = ( n k Como consecuenci tenemos que x R y por lo tnto E(x) 0 x R. ) x k y n k = x k y n k k!(n k)! (x + y) n = E(x + y) (10.6) E(x)E( x) = E(x x) = E(0) = 1 (10.7) A prtir de l definición observmos que E(x) > 0 si x > 0 y por lo tnto E(x) > 0 pr todo x R. A prtir de (10.5) vemos que E(x) + si x + y (10.7) nos dice que E(x) 0 cundo x. A prtir de (10.5) vemos que 0 < x < y E(x) < E(y) y por (10.7) tenemos E( y) < E( x), de modo que E es estrictmente creciente en R. Además por (10.7): E(z + h) E(z) E(h) 1 lim = E(z) lim = E(z) n 0 h h 0 h de modo que E (z) = E(z). Iterndo (10.6) obtenemos E(z 1 + z z n ) = E(z 1 ) E(z n ). n! Como E(1) = e obtenemos Si ρ = n/m, n, m N entonces E(n) = e n. [E(ρ)] m = E(mρ) = E(n) = e n

14 198 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES es decir, y por (10.7) sbemos que E(ρ) = e ρ, ρ > 0, ρ Q Si definimos E( ρ) = e ρ si ρ > 0, ρ Q. e x = sup{e ρ : ρ < x, ρ Q} ls propieddes de continuidd y monotomí de E implicn Resumiendo tenemos E(x) = e x, x R. Teorem ) e x es continu y diferencible pr todo x. b) e x es estrictmente creciente y estrictmente positiv. c) e x+y = e x e y d) e x + (x + ), e x 0, (x ). e) lim x xn e x = 0 n N. Demostrción. Sólo demostrremos e). A prtir de e x > xn+1 (n+1)! pr x > 0, obtenemos x n e x (n + 1)! >. x Como E es estrictmente creciente y diferencible en R, tiene un función invers L que tmbién es estrictmente creciente y diferencible y cuyo dominio es (0, ). L está definid por Derivndo obtenemos Poniendo y = E(x), L(E(x)) = x, x R (10.8) L (E(x))E(x) = 1 L (y) = 1/y, y > 0. Tomndo x = 0 en (10.8) vemos que L(1) = 0 y en consecuenci Si u = E(x), v = E(y) L(y) = y 1 dx x. L(uv) = L(E(x)E(y)) = L(E(x + y)) = x + y = L(u) + L(v).

15 10.2. SERIES DE POTENCIAS 199 Usulmente escribimos log x en lugr de L(x). Tenemos Es posible mostrr como ntes que log x x, log x x 0. x α = E(αL(x)) = e α log x derivndo (x α ) = E(αL(x)) α x = αxα 1. Vemos que x α log x 0 (x ), α > 0. Si 0 < ε < α y x > 1 x x α log x = x α 1 dt < x α 1 t x α xε = x ε < xε α ε 1 x y como α > ε est expresión tiende 0 cundo x. Ejemplo 10.6 (Ls funciones trigonométrics) Definimos ls funciones C(x) y S(x) en R por C(x) = ( 1) j x2j (2j)!, 1 t ε 1 dt S(x) = ( 1) j x 2j+1 (2j + 1)! Ambs series convergen en todo R. Si derivmos ests series obtenemos S (x) = ( 1) j x2j (2j)! = C(x) y de mner similr C (x) = S(x). Es posible ver que, definids de est mner, ests funciones stisfcen ls misms identiddes que ls funciones seno y coseno. Por ejemplo, si ponemos h(x) = S 2 (x) + C 2 (x) derivndo obtenemos h (x) = 2S(x)C(x) 2C(x)S(x) = 0 pr todo x y por lo tnto h es constnte. Como C(0) = 1, S(0) = 0 tenemos h(0) = 1 y h(x) = 1 pr todo x R. Usndo el desrrollo en serie pr l función exponencil, que tmbién vle pr rgumentos complejos, obtenemos e ix (ix) k = = 1 + ix x2 k! 2 ix3 3 + x4 4 + ix ) ) = (1 x2 2 + x4 4 + i (x x3 3 + x5 5 = C(x) + is(x)

16 200 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES que es l fórmul de Euler. A prtir de ell podemos obtener otrs propieddes de ls funciones trigonométrics. Por ejemplo, prtir de l identidd obtenemos e i(x+y) = e ix e iy C(x + y) + is(x + y) = (C(x) + is(x))(c(y) + is(y)) = C(x)C(y) + is(x)c(y) + ic(x)s(y) S(x)S(y) = C(x)C(y) S(x)S(y) + i(s(x)c(y) + C(x)S(y)) e igulndo l prtes rel e imginri obtenemos ls identiddes C(x + y) = C(x)C(y) S(x)S(y) S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y) Ejercicios Verificr que i) el círculo de convergenci de Σβ n x n es ( 1/β, 1/β); ii) Σx n /n 2 converge si x 1 y diverge si x > Hllr el rdio de convergenci de ls siguientes series y determinr su comportmiento en los extremos del intervlo de convergenci. 1) (n + 1)x n 2) (x 2) n n n 3) (3/2) n x n n + 1 4) ( 1) n+1 x n x 2n 2 5) n 2 (2n 2)! 7) x n2 8) ( 1) n+1 x 2n 2 (2n 2)! 6) ( 1) n+1 n n n x n 9) n 10) 2 n x n n ) x n 2 n (n 1) 12) nx n 1 2 n 1 3 n 3. Hllr el rdio de convergenci de ls siguientes series y determinr su comportmiento en los extremos del intervlo de convergenci. 1) ( 1) n+1 n(x 1) n 1 (x 2) n, 2), n! (x + 4) 2n 2 3), 4) ( 1) n+1 (x + 3) 2n 2. (2n 2)! 4. Hlle l serie de McLurin pr ls siguientes funciones y determine su rdio de convergenci 1) sen x, 2) cos x, 3)(1 + x) α, 4) log(1 + x) Observe que en tercer cso el intervlo de convergenci de l serie y el dominio de l función no coinciden.

17 10.3. SERIES DE FOURIER A prtir de l relción rcsin x = x dt, desrrolle el integrndo en un 0 1 x2 serie de potencis e integre pr obtener l serie de McLurin de rcsin x. El mismo procedimiento plicdo l relción log(1+x) = x 0 l serie pr log(1 + x). dt 1+t permite obtener 6. Se c n un serie convergente y definmos f(x) = c nx n pr 1 < x < 1. Demuestre que lim f(x) = c n, x 1 es decir, que l serie de potencis es continu en Series de Fourier Ls ides del Análisis de Fourier surgen históricmente socids proglems de l Físic tles como l conducción del clor y el movimiento de onds. Vmos revisr muy superficielmente uno de estos problems, el de l cuerd vibrnte, pr hcernos un ide del tipo de problems que motivó el surgimiento de ests técnics L Cuerd Vibrnte Consideremos l ecución de ond 2 2 y x 2 = 2 y y 2 (10.9) que describe el movimiento de un cuerd que está sujet en sus extremos. supondremos, por comodidd, que los extremos están situdos e los puntos 0 y π, y tenemos como condiciones de contorno y(0, t) = 0, y(π, t) = 0. (10.10) L función y(x, t) describe el movimiento de l cuerd en el punto x medid que el tiempo t evolucion. Adicionlmente tenemos ls siguientes condiciones iniciles: t = 0 (10.11) t t=0 que indic que l velocidd inicil de l cuerd es 0 y y(x, 0) = f(x) (10.12) que describe l configurción inicil de l cuerd. Pr resolver est ecución suponemos que podemos seprr ls vribles. Por convenienci tommos = 1 y suponemos y(x, t) = u(x)v(t). Colocndo esto en l ecución diferencil (10.9) obtenemos u (x)v(t) = u(x)v (t) (10.13)

18 202 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Obtenemos u (x) u(x) = v (t) v(t) Como el ldo izquierdo sólo depende de x mientrs que el derecho sólo de t, necesrimente u (x) u(x) = λ = v (t) v(t) pr lgun constnte λ. Esto nos d dos ecuciones ordinris lineles de segundo orden que podemos resolver u = λu (10.14) v = λv (10.15) Ls condiciones iniciles implicn u(0) = u(π) = 0. Este problem tiene solución no trivil si y sólo si λ = n 2 pr lgún entero positivo n, y l solución correspondiente es u n (x) = sen(nx) Pr este mismo vlor de λ, l solución generl de (10.15) es v(t) = A sen(nt) + B cos(nt) L condición implic que v (0) = 0 y entonces A = 0. Por lo tnto v(t) = B cos(nt) En consecuenci l solución que encontrmos pr l ecución ( 10.9) con ls condiciones de contorno e iniciles dds es y n (x, t) = sen(nx) cos(nt) (10.16) Por el principio de superposición culquier combinción linel finit de ests soluciones tmbién es un solución. y(x, t) = α k sen(kx) cos(kt) k=1 Bjo cierts condiciones, un combinción linel infinit de soluciones del tipo ( 10.16) tmbién es un solución: y(x, t) = α k sen(kx) cos(kt) k=1 Nos flt ún exminr l condición (10.12): y(x, 0) = f(x). tenemos f(x) = y(x, 0) = α k sen(kx) y est condición se stisfce si podemos expresr f en un desrrollo de funciones seno. k=1

19 10.3. SERIES DE FOURIER Sistems Ortogonles de Funciones Definición 10.4 Si f, g son funciones reles, integrbles según Riemnn en [, b], l integrl f(x)g(x) dx (10.17) se conoce como el producto interno de f y g, y se denot por f, g. El número no-negtivo f = f, f 1/2 es l norm de f. El producto interno tiene ls siguiente propieddes f, f 0. f, g = g, f. αf, g = α f, g, f + g, h = f, h + g, h. Observción 10.1 Pr l integrl de Riemnn no es cierto en generl que f, f = 0 f = 0, y que un función que se distint de 0 en un punto del intervlo [, b] pero igul cero en el resto de los puntos stisfce f, f = 0 pero no es identicmente igul cero. Sin embrgo, si considermos el producto interno sobre el espcio de ls funciones continus en [, b], entonces si se stisfce que f, f = 0 f = 0. Proposición 10.1 (Desiguldd de Cuchy-Schwrz) Si f, g son integrbles según Riemnn en [, b] entonces f, g f g. (10.18) Demostrción. Sbemos que f g, f 2, y g 2 son integrbles. Tenemos Ponemos y entonces 0 = A = (f(x) γg(x)) 2 dx f 2 (x) dx 2γ f 2 (x) dx, B = f(x)g(x) dx + γ 2 g 2 (x) dx. f(x)g(x) dx, C = A 2γB + γ 2 C 0 g 2 (x) dx, pr todo γ R. Si C = 0 entonces B = 0. Si C 0 el discriminnte de l ecución cudrátic no puede ser positivo y tenemos B 2 AC. Usndo est desiguldd podemos obtener l desiguldd de Minkowski

20 204 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Proposición 10.2 (Desiguldd de Minkowski) f + g f + g (10.19) Demostrción. f + g 2 = f(x) + g(x) 2 dx f(x) f(x) + g(x) dx + g(x) f(x) + g(x) dx f f + g + g f + g = ( f + g ) f + g de donde se obtiene el resultdo. Tenemos l siguiente relción f + g 2 = f + g, f + g = f, f + 2 f, g + g, g = f 2 + g f, g. Por lo tnto l ecución f + g 2 = f 2 + g 2 es equivlente f, g = 0. Esto motiv l siguiente definición Definición 10.5 Sen f, g funciones integrbles según Riemnn en [, b]. Si f, g = 0 decimos que f y g son ortogonles. Si S = {φ 0, φ 1, φ 2,... } es un colección de funciones integrbles según Riemnn en [, b] decimos que S es un sistem ortogonl en [, b] si φ m, φ n = 0 siempre que n m (10.20) Si demás cd φ n tiene norm 1, decimos que S es ortonorml en [, b]. Escribiremos s.o.n. pr brevir sistem ortonorml. Nos interes en prticulr el sistem trigonométrico ddo por φ 0 (x) = 1 2π, φ 2n 1 (x) = cos nx sen nx, φ 2n (x) = n 1 (10.21) π π Es sencillo verificr que este sistem es ortonorml en [0, 2π], o en culquier intervlo de longitud 2π. L noción de producto interno puede extenderse funciones con vlores complejos que sen integrbles según Riemnn. L integrl de un función de este tipo f(x) = f 1 (x) + if 2 (x) se define como f(x) dx = f 1 (x) dx + i f 2 (x) dx. Ls propieddes de ests integrles son similres ls de ls funciones reles y pueden deducirse de ells.

21 10.3. SERIES DE FOURIER 205 En el cso de funciones complejs el producto interno está definido por f, g = f(x)g(x) dx (10.22) donde g(x) denot el complejo conjugdo de g(x). Se introduce el conjugdo pr que el producto interno de f consigo mism se un cntidd no-negtiv: f, f = f(x) 2 dx 0. L norm de f se define como ntes: f 2 = f, f y ls propieddes del producto interno deben modificrse de l siguiente mner: f, g = g, f y demás hor podemos multiplicr por constntes complejs. L definición de sistems ortogonles y ortonormles no cmbi. Como ejemplo de un sistem ortonorml de funciones con vlores complejos tenemos φ n (t) = einx cos nx + i sen nx =, n 0 (10.23) 2π 2π donde [, b] = [0, 2π]. Ejemplo 10.7 Se f, g R(, b), g 0. Definimos l proyección de f sobre g como el vector Vemos que h y f h son ortogonles. h, f h = h, f h 2 = = g h = f, g g 2. g, f f, g g 2 g, f f, g f, g f, g g 2 g 2 = 0 f, g g, f, g g g 4 y que g, f = f, g. Por lo tnto h y f h son ortogonles. Definición 10.6 Un colección finit {φ 0, φ 1,..., φ n } de funciones es linelmente dependiente en [, b] si existen constntes c 0, c 1,..., c n, no tods cero, tles que c 0 φ 0 (x) + + c n φ n (x) = 0, x [, b]. (10.24) En cso contrrio decimos que {φ 0, φ 1,..., φ n } es linelmente independiente en [, b]. Un colección infinit {φ 0, φ 1,... } es linelmente independiente en [, b] si todo subconjunto finito es linelmente independiente en [, b].

22 206 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Ejemplo 10.8 Todo sistem ortogonl es linelmente independiente: Supongmos que c 0 φ 0 (x) + + c n φ n (x) = 0, x [, b], multiplicndo por φ k (x), 0 k n e itegrndo en [, b] obtenemos pr 0 k n. c k φ 2 k(x) dx = c k φ k 2 = 0 c k = 0 Ddo un espcio con producto interno V y un colección de vectores linelmente independientes g 0, g 1, g 2,... en V, es posible formr un sistem ortonorml φ 0, φ 1, φ 2,... de l siguiente mner φ 0 = g 0 g 0 φ 1 = g 1 g 1, φ 0 φ 0 g 1 g 1, φ 0 φ 0 φ 2 = g 2 g 2, φ 1 φ 1 g 2, φ 0 φ 0 g 2 g 2, φ 1 φ 1 g 2, φ 0 φ 0 Este procedimiento se conoce como el proceso de ortogonlizción de Grm- Schmidt. Los polinomios de Legendre normlizdos se obtienen plicndo el proceso de Grm-Schmidt los polinomios 1, x, x 2,..., x n,... en [ 1, 1]. En R, este proceso plicdo ls funciones x n e x2 /2, n 0 d ls funciones de Hermite normlizds y plicdo ls funciones x n e x, n 0 en [0, ) d ls funciones de Lguerre normlizds. L nlogí existente con vectores en un espcio de dimensión finit sugiere l posibilidd de expresr un función rbitrri f como combinción linel de los elementos de un conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... }, que serí un ecución de l form f(x) = c n φ n (t) (10.25) válid pr todo x [, b]. Est ide plnte dos problems. bjo qué condiciones en f y {φ 0, φ 1,... } se puede segurr que (10.25) existe? Y suponiendo que exist un desrrollo de este tipo Cómo determinmos los coeficientes c 0, c 1,...? Vemos primero el segundo problem. Vmos suponer que (10.25) es ciert y opermos formlmente con est ecución sin preocuprnos por los problems de convergenci. Multiplicmos

23 10.4. LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN. 207 mbos ldos por φ k (x) e integrmos l serie resultnte término término en [, b] pr obtener f, φ k = c n φ n, φ k = c k. Por lo tnto, si podemos justificr ls operciones formles, vemos que el k-ésimo coeficiente en (10.25) no es más que el producto interno f, φ k. Teorem Se {φ 0.φ 1,... } un sistem ortonorml en [, b] y supongmos que l serie c n φ n (x) converge uniformemente en [, b] y se f(x) l función definid por est serie en [, b]. Entonces est función es integrble según Riemnn en [, b] y el n-ésimo coeficiente c n está ddo por c n = f, φ n = f(x)φ n (x) dx, n 0. (10.26) Demostrción. Aplicr resultdos sobre series de funciones. Supogmos hor que tommos el siguiente punto de vist: Nos dn un función f integrble según Riemnn en [, b] y un conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... } en [, b]. Podemos definir los coeficientes c k por (10.26) y podemos escribir l serie (10.25). Surgen hor ls siguientes pregunts: Converge puntulmente en [, b] est serie? Si l serie converge pr cierto x es f(x) su vlor? En generl l respuest mbs pregunts es negtiv. Es necesrio poner restricciones dicionles tnto en l función f como en el conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... } L Serie de Fourier de un Función. Definición 10.7 Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b] y supongmos que f R(, b). L notción f(x) c n φ n (x) (10.27) signific que los coeficientes c i, i 0 están ddos por c n = f, φ n = f(x)φ n (x) dx, n 0. (10.28) L serie (10.27) se conoce como l serie de Fourier de f respecto l sistem {φ 0, φ 1,... } y los números c i, i 0 son los coeficientes de Fourier de f respecto {φ 0, φ 1,... }.

24 208 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES En el cso prticulr de ls funciones trigonométrics, l serie se conoce como l serie de Fourier generd por f. En este cso con con n = 1 π f(x) ( n cos nx + b n sen nx) 2π 0 f(x) cos nx dx, b n = 1 π 2π 0 f(x) sen nx dx. Si usmos ls funciones e inx entonces l serie de Fourier se escribe c n = 1 2π n= 2π 0 c n e inx f(x)e inx dx Convergenci en Medi Cudrátic Definición 10.8 Se (f n ) n 1 un sucesión de funciones en R(, b) y se f R(, b). Decimos que f n converge en medi cudrátic f si ( 1/2 f n f = f n (x) f(x) dx) 2 0 (n ). (10.29) Este tipo de convergenci es distinto l convergenci puntul. Los siguientes ejemplos muestrn que ningun implic l otr. Ejemplo 10.9 Consideremos f n = n1 (0,1/n). Entonces f n (x) 0 cundo n pr todo x [0, 1] pero 1 0 f n (x) 2 dx = 1, de modo que f n no converge 0 en medi cudrátic. Ejemplo Consideremos l siguiente sucesión f 0,0 = 1 [0,1) f 1,0 = 1 [0,1/2), f 1,1 = 1 [1/2,1) f 2,0 = 1 [0,1/3), f 2,1 = 1 [1/3,2/3), f 2,2 = 1 [2/3,1).

25 10.5. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA 209 Entonces 1 0 f n,k 2 = 1/n pr todo 0 k n, de modo que l sucesión tiende cero en medi cudrátic, pero no converge en ningún punto. Definición 10.9 Un sucesión (f n ) en un espcio con producto interno es un sucesión de Cuchy si pr todo ε > 0 existe un N N tl que m, n N f n f m < ε Un espcio con producto interno es completo si tod sucesión de Cuchy converge un punto del espcio. Un espcio con producto interno que es completo se conoce como un espcio de Hilbert. Ni el espcio de ls funciones continus en un intervlo [, b] con el producto interno que hemos definido, ni el de ls funciones integrbles según Riemnn son completos. Teorem Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b], se f R(, b) y supongmos que f(x) c nφ n (x). Se s n (x) l sum prcil s n (x) = c k φ k (x) (10.30) Si b 0, b 1, b 2,... son números complejos culesquier se t n (x) = b k φ k (x). (10.31) Entonces tenemos l siguiente identidd: f(x) t n (x) 2 dx = de donde se obtiene l desiguldd f(x) 2 dx f(x) s n (x) 2 dx c k 2 + c k b k 2 (10.32) f(x) t n (x) 2 dx (10.33) Demostrción. (10.32) implic (10.33) porque el ldo derecho de (10.32) tiene su mínimo vlor cundo b k = c k, pr k 0. Pr demostrr (10.32) escribimos f t n 2 dx = f t n, f t n = f, f f, t n t n, f + t n, t n

26 210 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Ahor t n, t n = b k φ k, b m φ m = b k b k φ k, φ m = b k 2 f, t n = f, m=0 b k φ k = t n, f = f, t n = Por lo tnto c k b k m=0 b k f, φ k = b k c k f t n 2 dx = f 2 + b k 2 b k c k b k c k = f 2 = f 2 c k 2 + c k 2 + (b k c k )(b k c k ) b k c k 2 Teorem Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b], se f R(, b) y supongmos que f(x) c nφ n (x). Entonces () L serie c n 2 converge y stisfce l desiguldd c n 2 que se conoce como l desiguldd de Bessel. (b) L ecución c n 2 = f(x) 2 dx (10.34) f(x) 2 dx (10.35) que se conoce como l identidd de Prsevl, es válid si y sólo si se tiene f s n 0 cundo n, donde s n es l sucesión de sums prciles. Demostrción. Poniendo b k = c k en (10.32) y observndo que el ldo izquierdo es no-negtivo obtenemos c k 2 f(x) 2 dx

27 10.6. SERIES TRIGONOMÉTRICAS. 211 que demuestr (). Pr demostrr (b) ponemos b k = c k de nuevo en (10.32) y obtenemos f s n = f(x) s n (x) 2 dx = f(x) 2 dx c k 2 de donde se obtiene (b). L prte (b) del teorem nterior nos dice que l identidd de Prsevl vle si y sólo si l sucesión s n converge f en medi cudrátic. Definición Se S un colección de funciones integrbles según Riemnn en [, b]. Se {φ 0, φ 1,... } un s.o.n. en [, b], y se s n (x) = f(x) c n φ n (x) c k φ k (x), n 0. El conjunto ortonorml {φ 0, φ 1,... } es completo pr S si pr tod f S se tiene que f s n 0 cundo n 0. Por lo tnto, pr un s.o.n.c. l relción de Prsevl vle pr tod f S. Veremos más delnte que el sistem de funciones trigonométrics es completo pr el conjunto S de ls funciones continus en [0, 2π]. Como consecuenci de l prte () del teorem nterior observmos que el coeficiente de Fourier c n de f respecto de culquier s.o.n. {φ 0, φ 1,... } debe tender 0 cundo n, porque c n 2 converge. En prticulr, cundo φ n (t) = e int / 2π tenemos de donde obtenemos 2π lim n 0 2π lim n 0 f(x) cos nx dx = 0, f(x)e inx dx = 0 2π lim n Series Trigonométrics. f(x) sen nx dx = 0. De hor en delnte sólo considerremos series trigonométrics y funciones periódics con período 2π que sen integrbles según Riemnn en [ π, π]. L serie de Fourier de f es l serie n= c n e inx 2π

28 212 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES con y l sum prcil se escribe c n = 1 2π π π f(x)e inx dx s n (x) = s n (f; x) = n c k e ikx 2π. En este cso l desiguldd de Bessel es π π s n (x) 2 dx = c k 2 π n π f(x) 2 dx. (10.36) Teorem (Lem de Riemnn-Lebesgue) Se f R[, b]. Pr todo β R se tiene lim α f(t) sen(αt + β) dt = 0 (10.37) Demostrción. Si f es constnte en [, b], el resultdo es consecuenci de cos(α + β) cos(αb + β) sen(αt + β) dt = 2 α α si α > 0. El resultdo tmbién vle si f es constnte en (, b), sin importr como definimos f() y f(b). Por lo tnto (10.37) vle si f es un función escler. Pr ε > 0 escogemos P P[, b] tl que S(P, f) I(P, f) < ε/2. Definimos M(t), m(t) funciones escler determinds por P y f de modo que M(t) vle M i en el i-ésimo intervlo de l prtición P, y de mner similr pr m(t) con m i. Por lo tnto m(t) f(t) M(t) pr todo t [, b] y tenemos Entonces I(P, f) = m(t) dt, S(P, f) = (f(t) m(t)) sen(αt + β) dt M(t) dt. M(t) m(t) dt ε 2. Pr este mismo vlor de ε podemos escoger A de modo que α A Combinndo ests dos ecuciones obtenemos m(t) sen(αt + β) dt < ε 2. f(t) sen(αt + β) dt 0.

29 10.6. SERIES TRIGONOMÉTRICAS. 213 cundo α. Introducimos el núcleo de Dirichlet pr obtener un expresión pr s n que se más mnejble: D n (x) = e ikx. (10.38) Est función stisfce k= n (e ix 1)D n (x) = e i(n+1)x e inx. Multiplicndo est iguldd por e ix/2 obtenemos que Tenemos s n (f; x) = k= n π = 1 2π = 1 2π π π D n (x) = sen(n )x. sen(x/2) c n e inx 2π = π f(t) k= n k= n 1 π f(t)e ikt dt e ikx 2π π e ik(x t) dt f(t)d n (x t) dt L periodicidd de ls funciones que precen en est fórmul y un cmbio de vribles muestrn que s n (f; x) = 1 π f(t)d n (x t) dt = 1 π f(x t)d n (t) dt (10.39) 2π π 2π π Teorem Si pr lgún x existen constntes δ > 0 y M < tles que pr todo t ( δ, δ) entonces f(x + t) f(x) M t (10.40) lim s n(f; x) = f(x). (10.41) n Demostrción. Definimos g(t) = f(x t) f(x) sen(t/2) pr 0 < t π, y ponemos g(0) = 0. Por l definición del núcleo de Dirichlet tenemos 1 π D n (x) dx = 1. 2π π

30 214 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Por lo tnto, prtir de (10.39) tenemos que s n (f; x) f(x) = 1 π 2π π = 1 π 2π = 1 2π π π π f(x t)d n (t) dt f(x) (f(x t) f(x))d n (t) dt g(t) sen(n + 1 )t dt. 2 y hor, como g es integrble según Riemnn en [, b] podemos usr el lem de Riemnn-Lebesgue pr obtener el resultdo. Corolrio 10.2 Si f(x) = 0 pr todo x en un intervlo I, entonces lim s n (f; x) = 0 pr todo x I. Otr formulción de este corolrio es l siguiente: Si f(t) = g(t) pr todo t en un vecindd de x, entonces s n (f; x) s n (g; x) = s n (f g; x) 0 cundo n. Pr l demostrción del próximo teorem necesitmos l siguiente versión del teorem de Stone-Weierstrss, que enuncimos sin demostrción. Un álgebr A de funciones complejs es uto-djunt si pr tod f A se tiene que f A. Teorem Se A un álgebr uto-djunt de funciones complejs continus en un conjunto compcto K, A sepr puntos en K y no se nul en ningún punto de K. Entonces l clusur uniforme B de A consiste de tods ls funciones complejs continus sobre K, es decir, A es dens en C(K). Teorem Si f es continu y periódic (con período 2π) y si ε > 0, entonces existe un polinomio trogonométrico P tl que pr todo x R. f(x) P (x) < ε Demostrción. Si identificmos x y x + 2π podemos considerr ls funciones periódics de período 2π sobre R como funciones sobre el círculo unitrio T, por l trnsformción x e ix. Los polinomios trigonométricos formn un álgebr uto-djunt A que sepr puntos de T y no se nul en ningún punto de T. Como T es compcto, el teorem dice que A es denso en C(T ). Lem 10.2 Se f R[, b]. Ddo ε > 0 existe un función continu g en [, b] tl que f g < ε.

31 10.6. SERIES TRIGONOMÉTRICAS. 215 Demostrción. Ddo ε > 0 se P P[, b] tl que S(P, f) I(P, f) < ε. Con bse en est prtición definimos l función g(t) = x i t f(x i 1 ) + t x i 1 f(x i ) x i x i Observmos que g(x i 1 ) = f(x i 1 ) y g(x i ) = f(x i ) y l función está definid como un interpolción linel entre estos dos puntos. Por lo tnto tenemos que pr todo x en [x i 1, x i ], En consecuenci g(x) f(x) M i m i 1 f(x) g(x) 2 dx = xi i=1 xi i=1 x i 1 f(x) g(x) 2 dx x i 1 M i m i 2 dx < ε Teorem Sen f, g funciones integrbles según Riemnn con período 2π y e inx e inx f(x) c n, g(x) d n. 2π 2π Entonces f s n (f) 0 y f, g = f(x)g(x) dx = k= c n d n (10.42) Demostrción. Se ε > 0. Como f R[ π, π] y f( π) = f(π) por el lem nterior tenemos un función h continu en [ π, π], con período 2π tl que f h < ε. Por el teorem existe un polinomio trogonométrico P tl que h(x) P (x) < ε/2π pr todo x. Por lo tnto h P < ε. Si P tiene grdo N, por (10.33) tenemos h s n (h) h P < ε pr todo n N. Por l desiguldd de Bessel pr h f, s n (h) s n (f) = s n (h f) h f < ε. Combinndo ests desigulddes con l desiguldd de Minkowski obtenemos f s n (f) f h + h s n (h) + s n (h) s n (f) 3ε

32 216 CAPÍTULO 10. SERIES DE FUNCIONES Esto demuestr l convergenci 0 de f s n (f). Por otro ldo π π s n (f)g dx = k= n 1 π c n e ikx g(x) dx = 2π π k= n c n d n y por l desiguldd de Cuchy-Schwrz tenemos ( fg s n (f)g f s n (f) g f s n (f) 2 g 2) 1/2 que tiende 0 cundo n por lo que cbmos de demostrr. A prtir de est desiguldd se obtiene (10.42).

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs

Más detalles

Sucesiones de Funciones

Sucesiones de Funciones Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr,

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Funciones de una variable real II Integrales impropias

Funciones de una variable real II Integrales impropias Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)

Más detalles

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011)

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011) APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elbordos por José Mnuel Rodríguez Versión brevid de Dmitry Ykubovich (20). INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se define el conjunto de

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

Integral impropia Al definir la integral definida b

Integral impropia Al definir la integral definida b Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd,

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

ECUACIONES INTEGRALES

ECUACIONES INTEGRALES ECUACIONES INTEGRALES JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA ECUACIONES INTEGRALES TEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

Más detalles

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.) Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

1 Aproximación de funciones por polinomios.

1 Aproximación de funciones por polinomios. GEODESIA Y FUNCIONES OTOGONALES Enrique Clero Curso GPS en Geodesi y Crtogrfí Crtgen de Indis Aproximción de funciones por polinomios. Consideremos el conjunto de funciones S = ; x; x ; x 3 ; x ; :::::

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

Integración en el plano complejo

Integración en el plano complejo Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1 MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Integrales de ĺınea complejas

Integrales de ĺınea complejas Tem Integrles de ĺıne complejs. Integrles de líne.. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel llev socid un función vectoril de vrible rel, por lo que ls definiciones y resultdos

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

Series y Probabilidades.

Series y Probabilidades. Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

Para hallar el límite de una sucesión podemos utilizar algunas técnicas como: El concepto de límite de una función:

Para hallar el límite de una sucesión podemos utilizar algunas técnicas como: El concepto de límite de una función: Tema 3 Sucesiones y Series 3.1. Sucesiones de números reales Definición 3.1.1 Una sucesión de números reales { } es una aplicación que asigna a cad N un número real: : N R a 1, a 2, a 3... son los términos

Más detalles

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R . Funciones, sucesiones, límites y continuidd en R.. Funciones reles de vrible rel Un función f es un regl que sign cd uno de los números x de un conjunto D R un único número rel f (x). A D dom f se le

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

Series de Fourier CAPITULO Funciones Seccionalmente Continuas 1.1. Preliminares sobre funciones continuas.

Series de Fourier CAPITULO Funciones Seccionalmente Continuas 1.1. Preliminares sobre funciones continuas. Contenidos Cpitulo. Series de Fourier 3. Funciones Seccionlmente Continus 3. Extensiones de Funciones Seccionlmente Continus 6 3. Cmbio de Intervlo 3 CAPITULO Series de Fourier. Funciones Seccionlmente

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

Series de Taylor. Antes de comenzar con la series de Taylor, repasemos algunas propiedades importantes de las series infinitas.

Series de Taylor. Antes de comenzar con la series de Taylor, repasemos algunas propiedades importantes de las series infinitas. Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Series de Tylor Antes de comenzr con l series de Tylor, repsemos lguns propieddes importntes de ls series infinits. 1. Algebr de series de potencis El álgebr elementl

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Complementos de Mtemátics, ITT Telemátic Tem 3. Deprtmento de Mtemátics, Universidd de Alclá Índice 1 básic 2 Obtención de ls regls de cudrtur 3 Error de cudrtur 4 Regls compuests Introducción Integrl

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C.

Más detalles

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS Abril de 006 CONSDERACONES SOBRE LAS COMPUERTAS Cátedr de Mecánic de los Fluidos Escuel de ngenierí Mecánic Autores: ngeniero Edgr Blbstro ngeniero Gstón Bourges e-mil: gbourges@fcei.unr.edu.r 1 Abril

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Teoremas de convergencia

Teoremas de convergencia Cpítulo 3 Teorems de convergenci L necesidd de considerr límites de sucesiones o series de funciones es básic en el estudio del nálisis. Por tnto, es nturl preguntrse bjo qué condiciones se tiene que un

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles