Lógica Proposicional Cálculo Proposicional de Orden Cero (Cero)

Transcripción

1 Introducción a la Computación (TFA) Lógica Proposicional Cálculo Proposicional de Orden Cero (Cero) Teoría de Lógica Proposicional - Autor: Ana Garis Modificaciones: E. Benegas Temas a Desarrollar - Motivaciones - Concepto de Proposición - El lenguaje de la Lógica Proposicional -Sintaxis - Construcción de Enunciados - Semántica 1

2 Motivaciones Por qué es importante la Lógica en Computación? Instrumento para la - Representación de problemas - Resolución de problemas. Ejemplo Cómo resolver un problema? Enunciado Es incompleto? Es ambiguo? Es contradictorio? Especificar enunciado preciso Motivaciones Lógica en Computación - Procesamiento de lenguaje natural - Bases de datos - Inteligencia artificial - Ingeniería de software - Criptografía - Diseño de hardware 2

3 Concepto de Proposición Los lenguajes naturales poseen gran capacidad expresiva, pero a veces es preferible un lenguaje menos ambiguo y mas preciso. Por este motivo, se construyen lenguajes artificiales, i asignando a sus símbolos significados precisos y unívocos. Un lenguaje está construido a partir de combinaciones de signos que reciben el nombre de expresiones. Pero no cualquier combinación es válida, sino que dicha combinación debe realizarse de acuerdo con una serie de reglas gramaticales. Cuando una expresión del lenguaje natural es gramaticalmente correcta y tiene un sentido completo recibe el nombre de oración. Concepto de Proposición Tipos de oraciones -Desiderativas -dubitativas -imperativas -interrogativas -exclamativas Ojalá apruebes el examen (deseo) Quizás apruebes el examen (duda) Tienes que aprobar el examen (orden) Aprobaste el examen? (pregunta) Aprobaste el examen! (sentimiento) -declarativas o enunciativas Aprobaste el examen (afirmación) 3

4 Concepto de Proposición Una proposición es 1- Una oración declarativa 2- Un enunciado del que puede afirmarse si es verdadero ofalso Las oraciones enunciativas, también llamadas enunciados o proposiciones, son aquellas oraciones que afirman o niegan algo y que, por tanto, pueden ser verdaderas o falsas. Concepto de Proposición Proposiciones Simples y Compuestas - Las proposiciones simples oatómicasson aquellas que no pueden descomponerse en partes. «El gato es un mamífero» «El pato es un ave» - Las proposiciones compuestas o complejas (también llamadas moleculares) son aquellas que pueden descomponerse en proposiciones simples. Las proposiciones complejas se constituyen a partir de proposiciones simples. «El gato es un mamífero y el pato es un ave» 4

5 El lenguaje de la Lógica Proposicional Sintaxis: cómo definir reglas gramaticales para construir proposiciones o fórmulas bien formadas (fbfs) - Alfabeto - Reglas gramaticales para construir fbfs Semántica: cómo asignar valores de verdad a las fórmulas: - Valuación Sintáxis Alfabeto 1. Variables o símbolos proposicionales (Conjunto infinito numerable de cadenas de caracteres que comienzan con letra mayúscula) Ej. Gato_es_mamífero, Xtpr, A, B, C, etc. 2. Conectivos proposicionales u operaciones lógicas Paréntesis () Negación Conjunción (y) Disyunción (o) Implicación Doble implicación 5

6 Sintaxis Reglas Gramaticales para construir fórmulas bien formadas 1. Todo átomo es una fbf denominada fbf atómica. 2. Si P, Q, R, son fbfs, también lo son las fórmulas compuestas (o moleculares): Sintaxis Reglas para construir fórmulas bien formadas - Frecuentemente es necesario utilizar los paréntesis para agrupar las fbfs, y tratarlas como una unidad respecto a los operadores lógicos. - Cuando hay más de un operador lógico, se hace necesaria una regla que establezca la relación entre las operaciones lógicas y las proposiciones. Es necesario tener Reglas de Jerarquía o prioridad o PRECEDENCIA entre las operaciones lógicas 6

7 Precedencia entre operaciones lógicas 1. () + jerarquía jerarquía Las operaciones con mayor prioridad o precedencia deben resolverse primero Ejemplo Construcción de Enunciados 1. P Es falso que P No es el caso de P No P No es cierto que P P y Q P no obstante Q P aunque Q P sin embargo Q P pero Q P o Q Al menos P o Q Si P entonces Q P sólo si Q Si P, Q Q si P Es suficiente P para que Q Es necesario Q para que P No P a menos que Q A no ser que Q no P P si y sólo si Q P cuando y sólo cuando Q P necesario y suficiente para Q Ejemplo: Sólo si no has tenido una experiencia traumática puedes ser feliz. 7

8 Construcción de Enunciados Pasos sugeridos para construir una f.b.f. Ejemplo 1: Sólo si no has tenido una experiencia e traumática puedes ser feliz. - Paso 1: Identificar las entidades con estructura de oración declarativa Has_tenido_experiencia_traumática: (P) has tenido una experiencia traumática Puedes_ser_feliz: (Q) puedes ser feliz - Paso 2: Descomponer frase teniendo en cuenta la prioridad de las conectivas Has_tenido_experiencia_traumática puedes_ser_feliz - Paso 3: Obtener una fórmula abreviada P Q Ejercicio: «Si Juan aprueba el examen, se irá a Cuba; pero si no aprueba, se quedará en casa deprimido» Semántica El lenguaje de la Lógica Proposicional Sintaxis: cómo definir reglas gramaticales para construir proposiciones o fórmulas bien formadas (fbfs) - Alfabeto - Reglas gramaticales para construir fbfs Semántica: cómo asignar valores de verdad a las fórmulas - Las fórmulas atómicas sólo pueden tomar valores que pertenecen a Val = {V, F} donde V se interpreta como Verdadero y F como Falso. - Lógica proposicional es bivalente 8

9 Tablas de verdad Ejercicio: Construir tabla de verdad para formula P Q Tautología y Equivalencia Lógica Tautología: Fórmula en la que cualquier o toda asignación de valores de verdad hace verdadera su interpretación. Ej.: PV P Equivalencia lógica ( ): Cuando dos fórmulas tienen los mismos valores de verdad para todas las asignaciones posibles de valores de verdad de sus fórmulas componentes. 9

10 Tautología Ejemplo: Equivalencia Lógica Ejemplo: 10