SOLUCIONARIO. Ing. Miguel Jiménez Carrión M.Sc

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1 Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. SOLUCIONARIO Sobre Programació Diámica por Ig. Miguel Jiméez Carrió M.Sc Modelo de la Diligecia Asigació de Recursos El modelo de la mochila Producció e Ivetario Coiabilidad E algú puto de la líea de desarrollo descubrimos lo que somos e realidad, y luego tomamos uestra verdadera decisió por la cual somos resposables. Tome esa decisió pricipalmete por usted, ya que uca se puede vivir realmete la vida de otra persoa. Eleaor Roosevelt R (D ) R (D ) R (D ) S = S = S - D S = S - D Regió Regió Regió S = S - D D Cuátos agetes asigar? D Cuátos agetes asigar? D Cuátos agetes asigar?

2 Programació Diámica. PROGRAMACIÓN DINÁMICA La programació diámica es u método para resolver ciertos problemas de programació matemática, cuya característica de estos problemas es que los modelos matemáticos que los represeta so complejos y por tato requiere mucho procesamieto de cómputo para ecotrar su solució, además puede ser divididos e problemas más pequeños. Esta característica del problema de dividirse e subproblemas es aprovechada por la programació diámica para ecotrar la solució. La orma de operar de la programació diámica es dividir el problema e problemas más pequeños llamados subproblemas, luego iicia el proceso de solució por etapas; e dode cada etapa del proceso resuelve u subproblema y al ializar co todas las etapas, el problema es completamete resuelto. Etre ua etapa y la siguiete existe ua liga que permite el exo etre etapas esta liga se llama ució recursiva. Los ejemplos que sigue muestra el proceso de solució describiedo al mismo tiempo la otació de la ució recursiva, explicádose lo esecial y las características particulares de cada problema: Caso: Problema de la Diligecia ) Este problema está reerido a ecotrar la ruta óptima (ruta míima o ruta más coiable), para viajar desde u puto llamado odo iicial o uete hacia otro llamado odo ial o destio a través de ua red de camios que los coecta dados los retoros (costos beeicios tiempo, etc), asociados co los arcos o ramas de la red. Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. Ahora es posible usar la ució geeral de la programació diámica y luego represetar esa ució e térmios del problema como sigue: Fució Recursiva Geeral de PD. Fució Recursiva para el Problema Dode: R (, ) D S + S + ( + ) ) = = = ) = g[ R ( D + ) ) = Mi [ R ( D + ) D Represeta la distacia por tomar la decisió D e la etapa, para pasar del estado S al estado S + Represeta el mejor valor e la etapa +, cuado el estado es S + Represeta el mejor valor e la etapa, cuado el estado es S Nota: debe otar que tato S, como S + toma u cojuto de valores, por ejemplo S toma los valores: (, y ) y S + = S, toma los valores (, 9, y ) Utilizado la orma tabular de la PD teemos, para las dieretes etapas: Para = ) = Mi [ R ( D + ) D + ) S ) Estado DECISIÓN (D ) S D ( E este caso lo primero que hay que recoocer es, que al tomar ua decisió para decidir que ruta seguir e orma geeral para todo el problema, ivolucra aalizar toda la red esto hace que el problema sea complejo, por cuato del odo al existe múltiples alterativas e las que se ecuetra varias ramas e la ruta. E segudo lugar, ver si es posible dividir el problema e subproblemas o etapas de maera que la decisió e cada subproblema sea más ácil; e este setido se ha dividió el problema e etapas, de la a la coorme se aprecia e la parte ierior de la red. Obsérvese que es más ácil tomar ua decisió e cada etapa pues la decisió será directa; por ejemplo si estamos e la etapa (subproblema ) al iicio os podemos ecotrar e los odos, ó y podemos ir a los odos, 9, ú la decisió es imediata, pues solo existe ua rama e cada alterativa. Esta característica es importate recoocer para tomar la decisió de aplicar la metodología de la programació diámica. Para = ) = Mi [ R ( D ) + D Estado DECISIÓN (D ) D S ( ( S ) 9 + = = + = 9 + = + =, - + = )

3 Programació Diámica. Para = Estado DECISIÓN (D ) ) D S S 9 + = + = = + = + = 9 + = = Para = Para = ) = Mi [ R ( D ) + D ) = Mi [ R ( D ) + D Estado DECISIÓN (D ) S +9= = += 9+= - += += ( ) D ( ) ) S Caso : Asigació de recursos co retoros tabulados Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. ) Problema de Presupuesto de Capital Ua compañía tiee tres ábricas existetes, y e cada ua se está cosiderado ua posible expasió. El capital total asigado para expasió es milloes de soles. El úmero de plaes alterativos para la ábrica i,(i =,,) icluyedo la posibilidad de igua expasió, el costo esperado adicioal de cada alterativa para la ábrica i y el retoro correspodiete se tabula e la siguiete tabla. Fábrica Fábrica Fábrica Alterativa C R C R C R El objetivo del problema de decisió es seleccioar u pla actible para cada ábrica i tal que se maximice el igreso total resultate. La solució de este problema siguiedo la metodología de programació diámica es dividir el problema e tres etapas e el cual cada etapa costituye ua ábrica, el estado del sistema es el diero dispoible para cada etapa o ábrica y la decisió que se toma e cada etapa es cuato ivertir?. Procediedo de la siguiete maera: Se graica las etapas del problema para ua mejor ilustració y se aplica el método de solució de derecha a izquierda. R (D,S) R (D,S) R (D,S) ) = Mi [ R ( D ) + D Estado DECISIÓN (D) S S ( += +=9 += 9 ( ) D S ) S= S=S-D S=S-D S=S-D Fábrica Fábrica Fábrica Cuáto Ivertir? Cuáto Ivertir? Cuáto Ivertir? cómo se obtiee el recorrido mas corto? Esto se logra comezado desde la etapa, de la siguiete maera: Si se está e el odo la decisió óptima es ir al odo, luego se pasa a la etapa. Si se está e el odo la decisió óptima es ir al odo, luego se pasa a la etapa. Si se está e el odo la decisió óptima es ir al odo 9, luego se pasa a la etapa. Si se está e el odo 9 la decisió óptima es ir al odo, luego se pasa a la etapa Si se está e el odo la decisió óptima es ir al odo.. La distacia total recorrida se obtiee sumado las distacias de las ramas ivolucradas e el recorrido e este caso es: = 9. R (D,S ) : represeta la coiabilidad por tomar la decisió D (istalar,,ó ); uidades e paralelo e la etapa ( compoete, ó ) para pasar del estado S (diero dispoible al iicio de la etapa ) al estado S +. Para = (ábrica ) ƒ (S ) = Max [R (D,S ) + ƒ (S D S Estado S Decisió (D ) ƒ (S ) D (S ) -

4 Programació Diámica. Para = (ábrica ) Estado S ƒ (S ) = Max [R (D,S ) + ƒ (S D S Decisió (D ) ƒ (S ) D (S ) += = = += = += 9+= = += 9+= +=, += += 9+= += Para = (ábrica ) Estado S ƒ (S ) = Max [R (D,S ) + ƒ (S D S Decisió (D ) ƒ (S ) D (S ) Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. R (D,S ) : represeta las vetas por tomar la decisió D (asigar,,, ó ); agetes e la etapa ( regió, ó ) para pasar del estado S (agetes dispoibles al iicio de la etapa ) al estado S +. Solució Obsérvese que solo se cueta co agetes y que por lo meos debe asigarse uo a cada regió, lo que sigiica que cada ves que se evalúa ua regió debe de los seis reservarse para las otras dos regioes co lo cual lo máximo dispoible para cada regió es, por eso e la tabla se tiee asigacioes de a. El diagrama de bloques es: S = R (D ) R (D ) R (D ) S = S - D S = S - D Regió Regió Regió D Cuátos agetes asigar? D Cuátos agetes asigar? D Cuátos agetes asigar? S = S - D += += += Ahora ates de evaluar la ució recursiva se debe determiar para cada etapa los itervalos de variació tato de la decisió como del estado de los agetes dispoibles, así teemos: El problema tiee solucioes óptimas alterativas: Etapa : Ivertir Milló de soles e la ábrica D o se decide asigar agete que es el míimo o se asiga hasta que es el máximo. Ivertir Milloes de soles e la ábrica 9 S la catidad míima para del recurso vededores que debe haber para todas las etapas Ivertir Milló de soles e la ábrica Ivertir Milló de soles e la ábrica Ivertir Milloes de soles e la ábrica Ivertir Milloes de soles e la ábrica Ivertir Milloes de soles e la ábrica Ivertir Milloes de soles e la ábrica Ivertir Milló de soles e la ábrica ) Asigar Agetes Vededores El gerete de vetas de ua editorial de libros de texto uiversitarios tiee agetes de vetas que puede asigar a tres regioes distitas del país. Ha decidido que cada regió debe teer por lo meos u agete y que cada agete idividual debe quedar restrigido a ua de estas regioes, pero ahora quiere determiar cuátos agetes debe asigar a las respectivas regioes co el i de maximizar las vetas. La siguiete tabla da el icremeto estimado e las vetas de cada Regió regió (e las uidades apropiadas) si se le asiga dieretes catidades de agetes. úmero Utilizado la programació diámica determie: de a) La ució recursiva asociada al problema agetes idicado los límites máximos y míimos de la 9 variable de estado y de la decisió para cualquier etapa. y cumplir co los requisitos míimos es ; pues so regioes, dado que por lo meos debe asigarse vededor e cada regió; y lo máximo que debe asigarse para las tres etapas es lo que se tega dispoible (este mismo razoamieto vale para las etapas siguietes). Etapa : D o se decide asigar agete que es el míimo o se asiga hasta que es el máximo. S porqué so regioes, y por lo meos debe asigarse a cada regió o el máximo existete al iicio de la etapa meos, que es lo míimo que requiere la etapa. Etapa : D o se decide asigar agete que es el míimo o se asiga hasta que es el máximo. S porqué es ua regió, y por lo meos debe asigarse a esta regió o el máximo existete al iicio de la etapa meos ( agete para la regió y u agete para la regió ). Ahora si queremos geeralizar el itervalo S, para cualquier valor de etre,, y, teemos: La ució recursiva es: + S + (S ) =Max {R (D,S ) + + (S -D )} D b) La solució del problema. -+ S -+

5 Programació Diámica. Ahora se utiliza la orma tabular del método de programació diámica para su solució comezado por la etapa : = (S ) =Max {R (D,S ) + } D S S Decisio D F (S ) D (S ) Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. Notas estimadas No DE DÍAS DE ESTUDIO Curso IOII SO RM Mat. 9 9 E este caso se divide el problema e etapas, cada etapa represeta u curso y para cada uo se decide cuatos días estudiar, al iicio de la etapa, teemos días que será asigados a todas las etapas, como se requiere las otas míimas especiicadas se debe tomar la decisió de estudiar por lo meos u día cada curso y como máximo días, para lo cual la catidad de tiempo dispoible al iicio de cada etapa es: + S +. = = (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } S D S Decisió D F (S ) D (S ) + = = + = = + = + = -, + = 9 + = + = 9 + = 9 S (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } D S Decisió D F (S ) D (S ) El diagrama de bloques de este problema es: S = R (D ) Curso IOII D Cuátos días asigar? S = S - D R (D ) Curso SO D Cuátos días asigar? S = S - D R (D ) Curso RM D Cuátos días asigar? S = S - D R (D ) Curso Mat. D Cuátos días asigar? S = S - D R (D,S ) : represeta la ota que se obtiee por tomar la decisió D (asigar,,, ó ); días e la etapa (curso IOIIO, RM ó Mat.) para pasar del estado S (días dispoibles al iicio de la etapa ) al estado S +. Fució Recursiva: + = + = + = =, (S ) =Max {R (D,S + ) + + (S -D )} D + S +. Solució óptima: Alterativa Asigar agete a la regió : vetas obteidas agetes a la regió : vetas obteidas agetes a la regió : vetas obteidas total vetas Alterativa Asigar agetes a la regió vetas obteidas agetes a la regió vetas obteidas agetes a la regió vetas obteidas total vetas ) Asigar el recurso Tiempo Usted cueta co días ates de que se iicie los exámees iales de sus cuatro cursos y desea asigar este tiempo de estudio de la maera más eectiva que le sea posible. Usted ecesita al meos las otas míimas que se idica para cada curso y quiere cocetrarse e u solo curso cada día de modo que desea asigar uo, dos, tres o cuatro días a cada curso. Usted estima que las asigacioes alterativas para cada curso le proporcioaría la ota que se muestra e la tabla siguiete. Resuelva este problema usado programació diámica de maera que maximice el promedio que obtega de los cuatro cursos e idique su respuesta. Para = S (S ) =Max {R (D,S ) + } D S. Decisió D F (S ) D (S ) 9 9 9

6 Programació Diámica. Para = Para = (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } D S S Decisió D F (S ) D (S ) += += += += += +=, +9= +=9 += += 9 S (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } D S Decisió D F (S ) D (S ) += += += += += += +9= += += += Número de Área Comerciales Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. 9 9 El recurso escaso que tiee que distribuirse e las dieretes estacioes ubicadas e dieretes áreas, es el úmero de comerciales y del cual se dispoe u máximo de ; la tabla muestra el úmero de votos gaados si se asiga etre y comerciales e las dieretes áreas de modo que el estado al iicio de cada etapa es el úmero de comerciales dispoibles y la decisió puede variar etre o asigar igú comercial o asigar como máximo los comerciales, e dode cada etapa represeta ua estació televisiva ubicada e ua área determiada. El diagrama de bloques correspodiete es S = R (D ) Estació e área S = S - D R (D ) Estació e área S = S - D R (D ) S Estació = S - D e área R (D ) Estació e área S = S - D Para = S (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } D D Cuátos comerciales asigar? S Decisió D F (S ) D (S ) sea (S D ). 9+= += += += Fució Recursiva: Respuesta Nota Asigar al curso IOII día 9 D Cuátos comerciales asigar? D Cuátos comerciales asigar? D Cuátos comerciales asigar? Dode R (D,S + ), represeta el úmero de votos gaados por asigar D comerciales e la estació del área de maera que el úmero dispoible de comerciales para el área que le sigue (S ) =Max {R (D,S + ) + + (S -D )} D S Asigar al curso SO días Asigar al curso RM día Para = Asigar al curso Mat. día (S ) =Max {R (D,S ) + } D S ) Estrategia para campaña electoral. Ua campaña política se ecuetra e su última etapa y las prelimiares idica que la elecció está pareja. Uo de los cadidatos del cual usted es asesor, tiee suicietes odos para comprar tiempo de TV por u total de cico comerciales e horas de mayor audiecia e estacioes localizadas e cuatro áreas dieretes. Co base e la iormació de las prelimiares se hizo ua estimació del úmero de votos adicioales que se puede gaar e las dieretes áreas de diusió segú el úmero de comerciales que se compre. Estas estimacioes se da e la siguiete tabla e miles de votos: Utilice la programació diámica para diseñar ua estrategia respecto a cómo debe distribuirse los cico comerciales etre las cuatro áreas co el i de maximizar el úmero estimado de votos gaados. D S (S ) D (S )

7 Programació Diámica. Para = Para = Para = S (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } D S D (S ) D (S ) += += += += += 9+=9 9 += += 9+= +=,, += += 9+= += += += +=9 9+= += += 9+=9 (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } D S D S (S ) D (S ) += += += +9=9 += += += +9= += += += += +9= += += += += += +9=9 += += (S ) =Max {R (D,S ) + (S -D ) } D S D S (S ) D (S ) += += += += += += Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. ) Determiar políticas y estrategias e el juego. Usted cree haber desarrollado u sistema para gaar u juego. Sus colegas o piesa que este sistema sea ta bueo, por lo que le apuesta que si comieza co ichas, usted o tedrá cico ichas después de tres jugadas. Cada jugada icluye apostar cualquier catidad de las ichas dispoibles y gaar o perder este mismo úmero de ichas. Usted cree que su sistema le dará ua probabilidad de / de gaar ua jugada dada. Supoiedo que usted está e lo correcto, se quiere determiar su política óptima respecto a cuatas ichas apostar (si apuesta) e cada ua de las tres jugadas. La decisió e cada jugada deberá tomar e cueta los resultados de las jugadas ateriores. El objetivo es maximizar la probabilidad de gaar la apuesta hecha a sus colegas. Cojeturas: El estado e cada etapa estará represetado por el úmero de ichas a jugar, o sea que el recurso escaso so las ichas dispoibles e cada etapa. E la última jugada (Jugada) usted debe teer por lo meos ichas, para poder cotiuar co el juego, si tiee o meos ya o puede jugar e cosecuecia perdió la apuesta co su amigo, por que auque juegue ichas y gaa o alcazaría la meta de ichas; si embargo si tiee ichas la úica alterativa es jugar ichas para poder llegar a la meta de, si tiee ichas puede jugar ó icha para alcazar o jugar ichas para llegar a. Si por el cotrario usted tiee ya e ésta etapa, o más ichas ya o debe jugar porque ya gaó la apuesta a su amigo. Resumiedo e esta etapa tiee: D = (,, ) y S = (,, ) E la seguda jugada (jugada ) usted debe teer por lo meos ichas para teer chace de gaar, porque si tiee icha y la apuesta y asumiedo que gaa, solo tedría dos ichas para apostar e la jugada y auque gae e esta jugada, perderá la apuesta co su amigo porque solo tedrá ichas al ial. Además lo máximo que podría teer es ichas si apostó todo e la primera jugada y gaó; si embargo como solo iteresa coseguir ichas se cosidera como límite. Co respecto a la decisió de cuatas ichas jugar e esta etapa, se puede o jugar igua icha si tiee ya ichas y sigue co chace de gaar el juego o jugar todas las ichas. Resumiedo D = (,,,, ) y el estado del úmero de ichas será S = (,,, ) Fialmete e la primera jugada (jugada), se tiee cuatro alterativas de juego a saber: jugar, ó ichas y cualquier alterativa se puede tomar como decisió e esta etapa; y el estado al iicio de esta etapa o puede ser como míimo icha o meos de cico para estar ivolucrado e el problema. D = (,,, ) y S = (,,, ). Si embargo para dar respuesta al caso se utilizará S=. Al ial de cada jugada (etapa ), el úmero esperado de ichas es : S + = /(S-D)+/(S+D), los valores de S, se deie e la orma tabular: El diagrama de bloques es: R(D,S) = / R(D,S) = / R(D,S) = / Respuesta: No asigar igú comercial a la estació ubicada e le área votos gaados: Asigar comercial a la estació ubicada e el área votos gaados: Asigar comercial a la estació ubicada e el área votos gaados: Asigar comerciales a la estació ubicada e el área votos gaados: Total de votos que se espera se gae: S= S=/(S-D)+/(S+D) S=/(S-D)+/(S+D) Jugada Jugada Jugada D cuátas ichas jugar? D cuátas ichas jugar? D cuátas ichas jugar? S=/(S-D)+/(S+D)

8 Programació Diámica. La ució recursiva es: (S ) =Max {R (D,S + ) x (/(S-D)+/(S+D)} D variable. S variable. Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. ) Problema de corte Ua ábrica de papel ha recibido solicitudes de cuatro dieretes litograías (impretas), de la siguiete maera: beeicio por rollo solicitud : rollos de, mts de acho b = $,/rollo solicitud : rollos de, mts de acho b = $,/rollo solicitud : rollos de, mts de acho b = $,/rollo Para = (S ) =Max {R (D,S )} solicitud : rollos de, mts de acho b = $,/rollo D. La ábrica tiee u rollo de metros de acho de papel para ateder estas ordees. Ordees S =, ó. parciales puede ser satisechas. cuáles ordees y cuato de cada ua se debe satisacer para maximizar el beeicio total?. D S (S) D (S) - - / / El diagrama de bloques: - / / / - - R (D ) R (D ) R (D ) R (D ) Para = (S ) =Max {R (D,S ) x (/(S -D )+/(S +D )} D. S =,, ó. D S (S) D (S) - // // - - /9 ó / // / / - /, ó / /+// / / / / Para = (S ) =Max {R (D,S ) x (/(S -D )+/(S +D )} D. S =. D S (S) D (S) // //9+//9 / / / Respuesta: Estrategia E la ra jugada la decisió debe ser jugar icha (D =), y si gaa la primera jugada etoces e la seguda jugada jugar icha (D =); pero si pierde la ra jugada, etoces e la seguda jugada la decisió debe ser jugar icha o dos ichas (D = ó ), pues es idierete. Si se gaa la ra jugada y gaa e la da jugada etoces e la tercera jugada ya o debe jugar (D=). Por el cotrario si gaa e la ra jugada y pierde e la da jugada etoces e la tercera jugada debe jugar ichas (D=). Si pierde e ra jugada y gaa la da jugada etoces e la tercera jugada tiee la opció de jugar ó ichas (D= ó ) depediedo si se juega ó e la da jugada Fialmete si pierde e ra jugada y pierde la da jugada etoces la apuesta estará perdida. S = a) Etapa : Solicitud a la que asigara ua catidad de rollos ( =,,,). b) Variable de estado S : Catidad de metros dispoibles al iicio de cada etapa. c) Variable de decisió D : Catidad de rollos, a etregar e cada etapa d) Estado al ial de la etapa : S + = S - - r D. r = acho del rollo pedido e) Fució de retoro: Vetas máximas = R (D + ) ) La catidad de rollos que se puede despachar de cada solicitud es: como míimo cero () y como máximo {Mi (soicitud, etero ( / acho )) }; es decir: D mi (, /. ) D D mi (, /. ) D D mi (, /. ) D D mi (, /. ) D g) La ució de retoro imediato R (D + ) = D x b Fució Recursiva: (S ) =Max {D x b + + (S -r D )} D mi (soicitud, etero ( / r )) S Para = (S ) =Max { D x b + } D S S S = S.D S = S - D Solicitud Solicitud Solicitud S = S - D D Cuátos rollos ateder? D Cuátos rollos ateder? D (S) D(S) x,= x,= x,=, x,= x,=,, x,= x,=, x,= x,= x,=, x,= x,= x,=, x,= x,=,. x,= x,=, x,= x,=,, D Cuátos rollos ateder? S = S - D Solicitud D Cuátos rollos ateder?

9 Programació Diámica. Para = Para = Para = S (S ) =Max { D x b + (S -D ) } D S D (S) D(S) x,+= x,+= x,+,=,, x,+,=, x,+=,, x,+= x,+=, x,+= x,+,=,9,9 x,+,=, x,+,=,9 x,+=,. x,+,=, x,+=9, x,+=, 9, (S ) =Max { D x b + (S -D ) } S D S D (S) D(S) x,+= x,+= x,+,=,, x,+,=,, x,+= x,+=,, x,+,9=,9 x,+=,,9 x,+,=, x,+,=,. x,+9,=9, x,+,=9, 9, (S ) =Max { D x b + (S -.D ) } D S = D S (S) x,+9,=9, x,+,=, x,+,=, 9, D(S) Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. Caso : El modelo de la mochila ) Modelo geeral si restriccioes U camioero que trabaja por su cueta tiee m de espacio dispoible e u camió que saldrá para la ciudad de Lima. U distribuidor que tiee grades catidades de tres artículos dieretes, todos destiados para esa ciudad, ha orecido al camioero los siguietes pagos por trasportar tatos artículos como quepa e el camió: Pago. Volume.(V ) Artículo $/art. m /art. I II III Cuátas uidades de cada artículo deberá aceptar el camioero a i de maximizar los pagos de embarque, si exceder la capacidad del camió?. E este caso si quisiéramos costruir el modelo matemático de este problema las variables de decisió represetaría la catidad de artículos que se debe de embarcar de cada tipo de artículo, e cosecuecia hay tres variables de decisió a saber: X = la catidad de artículos tipo I a embarcar e el camió. X = la catidad de artículos tipo II a embarcar e el camió. X = la catidad de artículos tipo III a embarcar e el camió. La ució objetivo será maximizar el beeicio total que estará represetado por la suma de los beeicios parciales. El modelo matemático será: Max Bt = X + X + X s.a X + X + X Xj y etero Ahora como deseamos aplicar la metodología de programació diámica, debemos dividir el problema e tres etapas (subproblemas), uo para cada tipo de artículo y el estado al iicio de cada etapa es la capacidad de volume dispoible aú e el camió. E cada etapa debe decidirse cuatas uidades se debe embarcar. Diagrama de bloques: S = R (D ) R (D ) R (D ) S = S - D S = S -D S = S - D Artículo I Artículo II Artículo III Respuesta: beeicio Ateder co rollos a la solicitud x, =, Ateder co rollo a la solicitud x, =, Ateder co rollo a la solicitud x, =, Ateder co rollos a la solicitud x, =, Beeicio total = 9, D Cuátos Artículos embarcar? R (D,S + ) = Pago x D D Cuátos Artículos embarcar? dode: Pago =, y para =, y respectivamete Fució Recursiva: (S ) =Max { Pago x D + + (S -V D )} D (etero ( / V ) S V = El volume del artículo D Cuátos Artículos embarcar?

10 Programació Diámica. Para = Respuesta: embarcar uidades del artículo I co beeicio x = Para = Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. (S ) =Max { Pago x D + } embarcar uidades del artículo II co beeicio x = embarcar uidades del artículo III co beeicio x = Total 9 D S S S D (D ) D (S ) x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= 9) Modelo particular (co restriccioes) U camioero que trabaja por su cueta tiee m de espacio dispoible e u camió que saldrá para la ciudad de Lima. U distribuidor que tiee grades catidades de tres artículos dieretes, todos destiados para esa ciudad, ha orecido al camioero los siguietes pagos por trasportar tatos artículos como quepa e el camió: Pago. Volume. Artículo $/art. m /art. I II III Cuátas uidades de cada artículo deberá aceptar el camioero a i de maximizar los pagos de embarque, co la codició de embarcar por lo meos u artículo de cada tipo y si exceder la capacidad del camió?. x+= x+= Para este caso hay dos camios para dar respuesta al modelo, pero e ambos casos el diagrama de bloques es el mismo: Camio La ució recursiva o cambia, pero si embargo el rago de variació de la decisió y del estado e cada etapa varía completamete a saber: (S ) =Max { Pago x D + (S -V D )} D S D (D ) D (S ) x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+= x+=9 x+= 9 D Etero(( V V )/ V ) ; D Etero(( V V )/ V ); D Etero(( V V )/ V ) V S V V ; V + V S V ; V + V + V S Si deseamos geeralizar el rago de variació para cualquier úmero de etapas, de los parámetros D y S tedremos: N V i i = D Etero( ); i ; dode N represeta el úmero total de etapas. V N i= V i S i= V i para = V i o existe y como tal o hay que restar Ahora bie aplicado la orma tabular y mateiedo la ució recursiva co los ragos de variació ecotrados se tiee los siguiete: Para = S x+ 9=9 Para = (S ) =Max { x D + } (S ) =Max { Pago x D + (S -V D )} D D S = D x+ x+ x+ x+ x+ x+ = =9 = = = = x+ = 9 x+ = (D) 9 D(S) S D S (D ) D (S ) x+= x+= x+= x+=

11 Programació Diámica. Para = Para = S (S ) =Max { x D + (S -V D )} D S 9 D (D ) D (S ) S + = += += += = += 9 9 Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. El costo por uidad producida co tiempo extra a la semaa es $ más que e las horas ormales. El costo de almaceamieto es $ por uidad por cada semaa que se guarda. Existe u ivetario de dos dispositivos, pero la compañía o desea quedarse co iguo después de tres semaas. Utilice programació diámica para determiar cuátas uidades debe producir cada semaa co el i de miimizar los costos de producció e ivetarios. Solució: E primer lugar el acuerdo asumido por la BUILD-EM-FAST COMPANY y su Cliete, o admite pedidos pedietes por tato tiee que abastecerlo co sus tres uidades por mes. El problema es actible dividirlo e tres etapas (dado que so tres semaas de producció) para tomar decisioes de cuato producir por semaa y e cosecuecia cada subproblema es más ácil de resolver. El Retoro imediato asociado co la decisió e cada etapa está relacioado co los costos de producció tato e tiempo ormal cómo e tiempo extra más el costo de ivetario tal como se idica: (S ) =Max { x D + (S -V D )} R (D,S + ) = Cpei = C P + Ce Pe + (S + P + Pe ) D S = D (D) + 9 = + 9 = 9 + = + = 9 D(S) Dode: Cpei = Costo de Producció e ivetario e la etapa C P = Costo ormal de Producció e la etapa x Catidad producida e tiempo ormal e la etapa Ce Pe = Costo Producció e tiempo extra e la etapa x Catidad producida e tiempo extra e la etapa D = Decisió e la etapa, reerida a determiar cuátas uidades producir e tiempo ormal y e tiempo extra. El estado al iicio de cada etapa(semaa), está dado por: S = ; Respuesta: embarcar uidades del artículo I co beeicio x = S = S + P + Pe ; los valores que puede tomar so:,, y embarcar uidades del artículo II co beeicio x = S = S + P + Pe ; los valores que puede tomar so:,, y embarcar uidades del artículo III co beeicio x = Total 9 S = ; Estado al ial de la semaa Camio E este caso lo más práctico es de la capacidad total m, reservar m para cumplir co el requerimieto de llevar ua uidad de cada tipo de artículo y el resto de capacidad m dispoibles se le da el tratamieto que se le dio al ejemplo (modelo geeral si restriccioes), el resultado debe ser el mismo; se deja al alumo para que compruebe lo maiestado. Obsérvese que co el restate de m pude llevar uidad del artículo y uidad del artículo adicioales; logrado e total llevar: La decisió al iicio de cada etapa (semaa), está dado por: D : Se debe producir por lo meos para satisacer la demada puesto que se tiee uidades e ivetario y como máximo la suma de la capacidad de producció e tiempo ormal y e tiempo extra D : Se puede dejar de producir si e la etapa aterior se produjo, y lo máximo que se puede producir es la suma de la capacidad de producció e tiempo ormal y e tiempo extra. D : Se puede dejar de producir si e la etapa aterior se produjo, y lo máximo que se puede producir es la suma de la capacidad de producció e tiempo ormal y e tiempo extra. embarcar uidades del artículo I co beeicio x = embarcar uidades del artículo II co beeicio x = embarcar uidades del artículo III co beeicio x = Total 9 Diagrama de Bloques: Y se llega al mismo resultado Cpei Cpei Cpei Caso : Producció e Ivetario ) La BUILD-EM-FAST COMPANY ha acordado co su mejor cliete abastecerlo co u dispositivo especial co uidades durate cada ua de las tres semaas siguietes, au cuado producirlos va a requerir horas extra de mao de obra. Los datos de producció cocerietes so como se idica e la tabla: Producció máxima Producció máxima Costo de Producció Semaa tiempo ormal tiempo extra por uidad tiempo ormal $ $ $ S = Semaa S =S + P +Pe - Semaa S =S + P + Pe - Semaa D D D (P + Pe ) (P + Pe ) (P + Pe ) S =

12 Programació Diámica. Fució recursiva: ) = Mi[ C P Ce Pe + + P + Pe ) + + P + Pe ) D variable + + Nota: úicamete la producció e tiempo extra tiee lugar cuado co la producció e tiempo ormal o alcaza. Para = (S ) = Mi[P + Pe + (S + P + Pe ) + ] D S D S (S ) D (S ) Nota: E la celda dode o existe asigació es porqué ésta o es actible. Para = (S ) = Mi[P + Pe + (S + P + Pe ) + (S + P + Pe ) ] D S D S (S ) D (S ) Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. ) La Norther Airplae Co. costruye avioes comerciales para varias líeas aéreas e todo el mudo. La última etapa del proceso de producció cosiste e abricar los motores de turbia e istalarlos (operació sumamete rápida) e la estructura del avió termiado. La compañía tiee varios cotratos de trabajo para etregar u gra úmero de avioes e u uturo cercao, y e este mometo debe programarse la producció de los motores de turbia durate los próximos cuatro meses. E la seguda columa de la Tabla, se idica la catidad de motores que debe estar lista para su istalació, a i de cumplir co las echas de etrega cotratadas. Así, el úmero acumulado de motores que debe producirse para ies de los meses,, y debe ser por lo meos,, y, respectivamete. Las istalacioes dispoibles para producir los motores varía de acuerdo co otros programas de producció, mateimieto y reovació durate este período. Las dierecias mesuales que resulta e cuato al úmero máximo que se puede producir y el costo uitario de producció (e milloes de dólares) se da e la tercera y cuarta columas de la tabla. Dadas las variacioes de los costos de producció, podría valer la pea producir alguos motores u mes o dos ates de su echa de istalació y se está estudiado esta posibilidad. El icoveiete es que esos motores deberá almacearse hasta que sea istalados (la estructura de los avioes o estará lista ates). El costo de almaceaje para cada motor es de $ /mes (se icluye el iterés sobre el capital ivertido), como se ilustra e la última columa de la tabla. Utilice programació diámica para determiar la programació del úmero de motores que se debe abricar e cada uo de los cuatro meses, de maera que se miimice los costos totales de producció y almaceaje. Supoga que las catidades producidas debe ser eteros múltiplos de cico. Mes Istalacioes programadas Producció máxima Costo uitario de producció Costo uitario de almaceaje Tabla El costo está expresado e milloes de dólares. Para = (S ) = Mi[P + Pe + (S + P + Pe ) + (S + P + Pe ) ] D S = D S (S ) D (S ) 9 9 Respuesta: Producir: uds. e el período : E tiempo ormal y e tiempo extra e el período : o hay producció e el periodo : e tiempo ormal e tiempo extra Co u costo total míimo e las tres semaas de $ 9. Solució Mes Demada d Prod. Máx P Cup C Cua I /= /=.=..=. /= /=.=..=. /= /=.=..=. /= /=.=..=. ) = Mi[ C x D + I + D d ) + + D,S variable + D d

13 Programació Diámica. Para = ) = Mi [. x D +. + D ) + ] S D S Debe ser tal que sumado a la capacidad de producció alcace para ateder la demada de uidades (es decir a múltiplos de ), e cosecuecia al iicio del cuarto mes debe haber por lo meos uidades porque la capacidad de producció e el cuarto mes está limitada a uidades; y como máximo S debe ser uidades dado que co ello se satisace la demada de ese mes y el stock ial será cero (), o hay restricció de dejar al ial algú ivetario. D Si el estado del ivetario al iicio del cuarto mes es la decisió actible es o producir, si embargo si el estado iicial es uidades lo máximo que se puede producir es uidades. D S (S ) D (S ) Para = ) = Mi [. x D +. + D ) + + D S D S Puede comezar e y utilizar la máxima capacidad de producció de este mes (D =), para poder abastecer la demada de este mes y quede e ivetario uidades para el siguiete mes; y lo máximo que puede ser S al iicio de esta etapa es de maera que auque o se produzca igua uidad (D=), aú quede uidades e ivetario para el siguiete mes y satisacer la demada. D S (S ) D (S ) Para = ) = Mi [. x D +. + D ) + + D S D S Puede ser, pues la capacidad de producció de este mes co exceso puede satisacer la demada y lo máximo que puede ser es, que correspode a la capacidad máxima de producció e la ra etapa meos su demada esto es: ( = ); el ivel míimo de producció e este mes debe ser aú cuado S = y se satisaga la demada de este mes; si embargo si o se Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. produce o alcazaría a cubrirse toda la demada de los meses siguietes. El ivel máximo que pude tomar D es, equivalete a la capacidad máxima de producció. D S (S ) D (S ) Para = ) = Mi [. x D +. + D ) + + D S= D E este caso el ivetario iicial es cero (). Por tato, la decisió que se tome debe ser por lo meos uidades para ateder la demada (D=), y el ivel máximo de producció es equivalete a la capacidad de producció de este mes (D=). D S (S ) D (S )..... Producir e el período e el período e el periodo e el periodo Caso : Modelo de Coiabilidad ) Cosidere u sistema electróico que costa de cuatro compoetes, cada uo de los cuales debe ucioar para que el sistema tambié lo haga. La coiabilidad de éste se puede mejorar si se istala varias uidades paralelas e ua o más de las compoetes. La siguiete tabla muestra la probabilidad de que las respectivas compoetes ucioe si cosiste e ua, dos o tres uidades e paralelo, así como sus respectivos costos e cietos de dólares. Dadas las limitacioes de presupuesto se puede gastar u máximo de $. utilice los modelos de redes para determiar cuatas uidades paralelas debe istalarse e cada ua de las cuatro compoetes para maximizar la probabilidad de que el sistema ucioe. Probabilidad y costo de ucioamieto Nro de uidades Comp. Comp. Comp. Comp. paralelas prob costo prob. Costo prob costo prob. costo Este modelo ue visto e el capítulo de redes e el cual se costruyó el modelo matemático y se diseñó la red que represetaba el problema. Ahora se aplicará la metodología de la programació diámica para resolverlo. Solució:

14 Programació Diámica. E este caso como se tiee que tomar la decisió de cuatas uidades istalar de cada tipo de compoete, se divide el problema e etapas (ua etapa por cada tipo de compoete). El estado del sistema al iicio de cada etapa está dado por el diero dispoible; si embargo lo que hay que teer presete es que al iicio de cada etapa el diero dispoible debe ser de tal maera que por lo meos alcace para istalar ua uidad de esa etapa y ua uidad de cada ua de las etapas restates. Esto sugiere que e la etapa lo míimo que puede ser S es dólares, para la etapa lo míimo debe ser S = ( para la etapa y para la etapa ), e la etapa debe garatizarse por lo meos dólares (D=), y ialmete para poder diseñar el circuito por lo meos se ecesita dólares al iicio de la ra Etapa para istalar ua uidad de cada tipo de compoete (S. Para = (S ) =Max {R (D,S )} D S D S (S ) D (S ) Las catidades máximas de diero dispoible se obtiee de la siguiete maera: S costo de ud. del comp. costo de ud. del comp. costo ud. del comp. S costo de ud. del comp. costo de ud. del comp. Para = S costo de ud. del comp. (S ) =Max {R (D,S x (S -c(d )) )} S D S Geeralizado para cualquier valor de teemos: D N i= costo por istalar uidad del compoete i= c i ( ) S i S D c i i= () i= costo por istalar uidad del compoete Co respecto a la decisió e cada etapa, e todas las etapas es la misma es decir istalar, ó uidades co lo cual D. Diagrama de Bloques: S = R (D ) R (D,S + ) : represeta la coiabilidad que se alcaza por istalar D uidades del compoete c (D ) : represeta el costo por istalar D uidades e la etapa. Fució recursiva: S =S c (D ) S =S -c (D ) Comp. Comp.. Comp. S =S -c (D ) D Cuátas uidades istalar? (S ) =Max {R (D,S + ) x + (S -c(d ))} N R (D ) D Cuátas uidades istalar? R (D ) D Cuátas uidades istalar? R (D ) i Para = Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. S (S ) D (S ).x.= x.= x.9=..x.=. --..x.9=..x.=..9x.=...x.9=..x.9=..9x.=.. (S ) =Max {R (D,S x (S -c(d )) )} D S 9 S (S ) D (S ) S =S -c (D ).x.= Comp..x.9= x.=..x.=. --..x.=..x.9=..x.=.. 9.x.=..x.=..x.9=.9. D Cuátas uidades istalar? Para = D (S ) =Max {R (D,S x (S -c(d )) )} D S = D S (S ) D (S ).x.=..x.=..x.=.. Respuesta: costo coiabilidad Istalar uidades del compoete. Istalar uidad del compoete. Istalar uidad del compoete. Istalar uidades del compoete.9 E esta ució recursiva los elemetos de la ució se multiplica por estar e serie los compoetes del circuito. Aplicado la orma tabular de solució de la programació diámica teemos: Coiabilidad del circuito ==>.x.x.x.9 =.

15 Programació Diámica. Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA ) Ua compañía ha averiguado que u competidor está plaeado sacar u uevo tipo de producto co vetas poteciales muy grades. Esta compañía ha estado trabajado e u producto similar y la ivestigació está casi termiada. Ahora se quiere sacar el producto más rápidamete para alcazar a la competecia. Se tiee que lograr cuatro etapas idepedietes (o si traslape) icluyedo lo que alta de la ivestigació que por el mometo se lleva a cabo a paso ormal. Si embargo, cada etapa se puede realizar e u ivel de prioridad o de quiebre para acelerar la termiació. Los tiempos requeridos (e meses) y el costo (e milloes de dólares) para los distitos iveles so: Tiempo y Costo IR D SDM IPD Nivel t c t c t c t c Normal Prioridad Quiebre 9 9 IR D = Ivestigació Restate = Desarrollo SDM = Sistemas de Diseño y Mauactura IPD = Iicio de Producció y Distribució. Se dispoe de $ para estas cuatro etapas. Utilice la programació diámica para determiar el ivel a que debe coducirse cada etapa para miimizar el tiempo total hasta que se pueda comercializar el producto sujeto a las restriccioes de presupuesto. ) Ua empresa sabe que la demada de su producto durate cada uo de los cuatro meses siguietes será como sigue: mes, uidad; mes, uidades; mes, uidades; mes, uidades. Al pricipio de cada mes, la empresa debe determiar cuátas uidades se debe producir durate ese mes. Durate u mes e el que se produce cualquier úmero de uidades, se icurre e u costo de preparació de dólares. Además, hay u costo variable de dólares por cada uidad producida. Al ial de cada mes, se icurre e u costo de. dólares por uidad e ivetario. Las limitacioes de capacidad permite la producció de u máximo de uidades durate cada mes. El tamaño de la bodegas de la empresa restrige el ivetario ial de cada mes a uidades cuado mucho. La empresa desea determiar u caledario de producció para cada mes cosiderado que la o ateció de ua demada determiada o le sigiica perjuicio debido a la gra demada de su producto, y además que reduzca al míimo la suma de los costos de producció y de almaceamieto durate los cuatro meses. Supoer que hay uidades a mao a pricipio del primer mes y se requiere que al ial de los períodos haya uidad. Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. Proesor Ivestigador Espero que este módulo ayude a los estudiates a compreder los modelos de Programació Diámica Determiística. Este módulo muestra paso a paso la metodología de la Programació Diámica de ciertos problemas de Programació Matemática que so vistos e el curso de Ivestigació de operacioes II.. ) Ua empresa sabe que la demada de su producto durate cada uo de los cuatro meses siguietes será como sigue: mes, uidad; mes, uidades; mes, uidades; mes, uidades. Al pricipio de cada mes, la empresa debe determiar cuátas uidades se debe producir durate ese mes. Durate u mes e el que se produce cualquier úmero de uidades, se icurre e u costo de preparació de dólares. Además, hay u costo variable de dólares por cada uidad producida. Al ial de cada mes, se icurre e u costo de. dólares por uidad e ivetario. Las limitacioes de capacidad permite la producció de u máximo de uidades durate cada mes. El tamaño de la bodegas de la empresa restrige el ivetario ial de cada mes a uidades cuado mucho. La empresa desea determiar u caledario de producció para cada mes cosiderado que la o ateció de ua demada determiada le sigiica perjuicio debido a la poca demada de su producto, y además que reduzca al míimo la suma de los costos de producció y de almaceamieto durate los cuatro meses. Supoer que hay uidades a mao a pricipio del primer mes y se requiere que al ial de los períodos haya uidad. 9