Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005

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1 Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005 SOLUCIÓN MODELO A 1. En una población de fumadores se quiere examinar la relación entre el número de cigarrillos que consumen diariamente y el número de días, durante el último año, que sufrieron algún tipo de problema respiratorio. Se obtiene la siguiente tabla de valores para 10 fumadores de una muestra tomada en la población: Número de cigarrillos (X) Días con problemas respiratorios (Y) (a) Cuál es el porcentaje de personas de la muestra que fuman 20 cigarillos diarios? De entre las personas que fuman 20 cigarrillos diarios, cuál es el porcentaje que tienen problemas respiratorios 30 días al año? (b) Se puede considerar que existe una relación lineal entre ambas variables? Razona la respuesta y, en caso afirmativo, utilizando la correspondiente recta de regresión, haz una estimación del número de días con problemas respiratorios que tendrá una persona que fuma 25 cigarrillos al día. Solución: (a) Se consideran las variables X= n o de cigarrillos diarios e Y = n o de días con problemas respiratorios. Si observamos los datos correspondientes a la variable X, nos damos cuenta de que la modalidad x i = 20 aparece 2 veces, por lo tanto su frecuencia absoluta es n i = 2. Al preguntarnos sobre el porcentaje de personas de la muestra que presentan la modalidad x i, se nos está preguntando sobre la frecuencia relativa dre dicha modalidad, esto es f i = 2/10 = 0.2 que, expresado en porcentajes, supone un 20% de la muestra. Por otra parte, el porcentaje de individuos que tienen problemas respiratorios 30 días al año, de entre aquellos que fuman 20 cigarrillos diarios es la frecuencia relativa de la modalidad y j = 30 de Y, condicionada a la modalidad x i = 20 de X. Entonces, dicha frecuencia fj i = 1/2, puesto que, en este caso, no debemos dividir entre el tamaño de la muestra, sino entre el número de individuos de la muestra que presentan la modalidad x i de X, es decir, el número de individuos de la muestra que fuman 20 cigarrillos diarios. (b) Para saber si se puede considerar que existe una relación lineal entre las variables, solamente hay que calcular el coeficiente de correlación lineal ρ = σ XY, que es el indicador σ x σ Y numérico de la calidad de un ajuste lineal. Cuanto más próximo esté a 1 ó -1, mejor será el ajuste (también podríamos calcular ρ 2 y ver si está próximo a 1). Representamos en una tabla los datos para ir indicando, paso por paso, cada una de las operaciones necesarias para calcular covarianza y desviaciones típicas de X e Y.

2 x i y i x i y i x 2 i yi A continuación, se van calculando cada una de los términos: N N x i i=1 media de X, X = N = 219 y i i=1 = 21.9 media de Y, Y = 10 N = = 33.9 Ni=1 x i y i covarianza σ XY = X Y = = N 10 N x 2 i varianza de X, σx 2 i=1 = N X2 = = Por tanto, como varianza de Y, σ 2 Y = ρ = N x 2 i i=1 N Y 2 = = = = 0.91 es un número próximo a 1, se puede decir que una recta es un buen modelo para estimar la relación entre ambas variables. Como consecuencia, sí se puede admitir que la relación entre ambas variables es lineal. Para calcular la recta de regresión de Y sobre X, se aplica la fórmula (que resulta de resolver genéricamente el sistema de ecuaciones que proporciona el método de los mínimos cuadrados:) recta de regresión de Y X : y Y = σ XY (x X) σx 2 y 33.9 = (x 21.9) y = 1.179x Para hacer una estimación del número de días con problemas respiratorios que tendrá una persona que fuma 25 cigarrillos al día, se sustituye la x por 25, en la ecuación de la recta de regresión: = Utilizando un ajuste lineal, se estima que una persona que fuma 25 cigarrillos diarios, tendrá problemas respiratorios 37 días al año.

3 2. El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Cuando el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad de que un día escogido al azar el proceso se encuentre bajo control es de (a) Si se escoge aleatoriamente una unidad, cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? (b) Sabiendo que se ha escogido una unidad no defectuosa, cuál es la probabilidad de que el proceso se encontrase bajo control? Solución: (a) A la vista de la pregunta que se nos formula en el primer apartado, nombramos el suceso del que nos piden la probabilidad: D= elegir un objeto defectuoso ; según el teorema de la probabilidad total, para calular p(d), ha de tenerse en cuenta si el proceso se encontraba o no bajo control cuando se escogió la unidad. Entonces, consideramos los sucesos: C= el proceso se encuentra bajo control, C= el proceso no se encuentra bajo control. Con la notación establecida, la probabilidad que se pide será p(d) = p(d C)p(C) + p(d C)p( C) = (1 0.92) = 0.07 (b) La probabilidad que nos piden en este apartado es una probabilidad condicionada (recuerda el famoso sabiendo que ). Concretamente, p(c D), para lo cual se usa la fórmula de Bayes: p(c D) = p( D C) p(c) p( D) = (1 0.05) = = Obsérvese que la probabilidad del denominador, p( D) se ha calculado utilizando el apartado anterior. Sin embargo, podría haberse hecho también utilizando de nuevo el teorema de la probabilidad total: p( D) = p( D C)p(C) + p( D C)p( C) = (1 0.05) (1 0.3) (1 0.92) = Para cierto juego de cartas se deben repartir las 0 cartas de una baraja española entre jugadores. Calcula la distribución de probabilidad y la función de distribución de la variable aleatoria que mide el número de reyes que recibe un jugador concreto. Supongamos que se juegan 5 partidas de dicho juego. Cuál es la probabilidad de que el mismo jugador reciba en cada partida los reyes de la baraja? Solución: Se denomina X= número de reyes que recibe un jugador concreto. Según el enunciado del problema, se reparten las 0 cartas entre jugadores, por lo tanto, un jugador concreto va

4 a recibir 10 cartas. Como en la baraja hay un total de reyes, los posibles valores de la variable X son {0, 1, 2, 3,, 5}. La distribución de probabilidad de la variable consiste en asociar a cada valor de la variable su probabilidad correspondiente. El reparto de cartas se puede considerar como extracciones de cartas sin reemplazamiento. Por tanto, como el experimento no se corresponde con una repetición de pruebas de Bernouilli independientes, ya que en cada extracción no se está en las mismas condiciones que al principio (cada vez se van teniendo menos cartas), la variable X no sigue una distribución binomial. Una forma de hacer el problema sería ir considerando lo que ocurre en cada una de las diez extracciones y hacer la intersección de todas. Dado que el número de extracciones (cartas que recibe cada jugador) es elevado (10 cartas) es preferible pensar el problema casos favorables usando directamente la regla de Laplace: p =. Para hacer el recuento de casos posibles los mismos en cada caso, hacemos uso de la combinatoria: ( )( ) p(x = 0) = ( ) = ( )( ) p(x = 1) = p(x = 2) = p(x = 3) = ( ) = ( )( ) ( ) = ( )( ) ( ) = ( )( ) 366 p(x = ) = ( ) = Hay que calcular también la función de distribución. Si x < 0, F (x) = 0 si 0 x < 1, F (x) = ; si 1 x < 2, F (x) = = ; si 2 x < 3, F (x) = = ; si 3 x <, F (x) = = ; si x 3, F (x) = = 1 La función de distribución es F (x) = 0 si x < si 0 x < si 1 x < si 2 x < si 3 x < 1 si x Supongamos ahora que se juegan 5 partidas de dicho juego. En cada partida, la probabilidad de un jugador reciba los cuatro reyes es siempre la misma, p = , según se ha

5 calculado en el apartado anterior. Como se quiere calcular la probabilidad de que en las 5 partidas ocurra lo mismo, será p p p p p = p 5 = = En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26 o y una desviación típica de o. (a) Calcula la probabilidad de que un día escogido al azar la temperatura máxima sea de 26 grados. (b) Calcula el número de días que se espera tengan temperatura máxima comprendida entre 22 o y 28 o. (c) Cuál es la probabilidad de que un día la temperatura sea inferior a 20 grados? (d) El sistema de refrigeración de un edificio público se pone en funcionamiento en un 80% de los días de junio, siempre que el sistema considera que la temperaratura es demasiado elevada. Cuál es la temperatura que debe superarse para que se active el sistema de refrigeración? Solución: Sea X= temperatura máxima diaria durante el mes de junio. Se sabe que X N(26, ). (a) La probabilidad de que un día se registre una temperatura máxima igual a 26 grados es 0, puesto que la variable X es continua. (b) Para calcular cuántos días se mantiene la temperatura entre 22 y 28 grados, hay que calcular primero la probabilidad de que un día la temperatura se mantenga entre dichos valores: ( p(22 < X < 28) = p < Z < ) = p( 1 < Z < 0.5) = 1 (p(z < 1)+p(Z > 0.5)) = 1 (p(z > 1)+p(Z > 0.5)) = 1 ( ) = El número de días que se espera que la temperatura se mantenga entre 22 y 28 grados es, entonces = días (c) En este apartado sólo hay que tener en cuenta la simetría de la normal tipificada respecto a la recta x = 0 y consultar las tablas: ( ) p(x < 20) = p Z < = p(z < 1.5) = p(z > 1.5) = (d) Si se representa por a al valor buscado, lo que se sabe sobre él es que la probabilidad de que la temperatura sea superior, X > a, es igual a 0.8. Por tanto, ( 0.8 = p(x > a) = p Z > a 26 ) Según la notación establecida, a 26 = z 0.8. El valor de z 0.8 no se encuentra en la tabla de la normal tipificada, al tratarse de una probabilidad mayor que 0.5. Entonces, habrá que pensar en la relación entre z 0.8 y z 0.2, dado que este último sí se puede buscar en la tabla. Obsérvese que z 0.8 debe ser un número negativo, puesto que es el número real que deja a su derecha un área igual a 0.8, por debajo de la campana de Gauss:

6 z 0.8 Entonces, z 0.8 es el número positivo que deja a su derecha un área igual a 0.2. Por lo tanto, z 0.2 z 0.8 = z 0.2 Buscamos el número 0.2 en el interior de la tabla y se anota a qué fila y columna corresponde. Como no se encuentra este valor concreto en la tabla, se debe interpolar. Para ello, se consideran los dos números que aparecen en la tabla entre los cuales se encuentra 0.2: son el y , que correponden a abcisas iguales a 0.85 y 0.8, respectivamente. Construímos la recta que pasa por los puntos (0.1977, 0.85) y (0.2005, 0.8): y 0.8 = Sustituyendo 0.2 en la recta anterior, se obtiene (x ) = (x ) z 0.2 = ( ) = a 26 Entonces, grados. = z 0.8 = z 0.2 = 0.817, de donde, depejando la a, se obtiene a = 5. Una empresa desea conocer si el porcentaje de sus trabajadores que poseen conocimientos mínimos de inglés ronda el 60%, para poner en marcha dentro de un plan de formación propio, un curso especializado de este idioma. Para ello, de 200 trabajadores encuestados, 132 resultaron tener un nivel básico de inglés. A un nivel de significación α = 0.05, explica razonadamente si la compañía decidirá poner en marcha el curso o no. Solución: Hay que plantear un contraste de hipótesis estadísticas sobre la probabilidad de cierto suceso (al que podemos denominar éxito), que sería un trabajador posee conocimientos mínimos de inglés. Mirando en la tabla de contrastes de hipótesis, debemos escoger el que responde al epígrafe constrastes para el parámetro p de un binomial B(1, p), es decir, p es la probabilidad de éxito, cuando el experimento se lleva a cabo un sola vez. Como en el enunciado se dice

7 que para que el programa de formación se ponga en marcha lo que se quiere verificar es que la proporción de trabajadores ronde el 60%, es decir que la probabilidad de que un trabajador posea esos conocimientos es igual a 0.6. H 0 : p = 0.6 H a : p 0.6 De la tabla de los contrastes de hipótesis, tomamos la regla de decisión del contraste. Como es un contraste bilateral p0 (1 p 0 ) Se rechaza H 0 si ˆp p 0 > z α/2. n El nivel de significación es α = 0.05, entonces z α/2 = z = 1.96, valor que se obtiene haciendo una búsqueda inversa en la tabla de la normal tipificada. El parámetro ˆp corresponde al estimador de la probabilidad de éxito, que es la proporción muestral: ˆp = 132 = El 200 término p 0 corresponde al valor que queremos contrastar para el parámetro p; en este caso, p 0 = 0.6. Se tiene entonces p0 (1 p 0 ) 0.6(1 0.6) ˆp p 0 = = 0.06 < = z α/2 = n 200 Como no se cumple la condición de rechazo, se acepta H 0 : p = 0.6. Por lo tanto, se acepta que la proporción de trabajadores con conocimientos de inglés es del 60%, con lo que sí se pondrá en marcha el curso.

8 SOLUCIÓN MODELO B 1. En el folleto de instrucciones del zoom de una cámara fotográfica aparecen los siguientes datos de la medida de la distancia focal del zoom y el ángulo de visión correspondiente: Distancia focal (X, mm) Ángulo de visión (Y, grados) Calcula una recta de regresión y una curva exponencial y = KA x para estimar el ángulo de visión según la distancia focal del zoom. Analiza cuál de las dos proporciona mejores estimaciones. Solución Construímos una tabla con los datos necesarios para calcular la recta de regresión de Y sobre X: x i y i x i y i x 2 i Media de X: X = 18 3 = Media de Y : Y = = 52. Covarianza de (X, Y ): σ XY = = 2598 = Varianza de X: σx 2 = 818 ( ) 18 2 = 268 = La recta de regresión de Y sobre X queda y 52 = (x 9.333) y = x Para ajustar la curva exponencial del tipo y = KA x, se realiza el siguiente cambio de variable, tomando logaritmos neperianos, Lny = LnK + xlna y se calcula la recta de regresión de Y = Lny sobre X, con los pares de valores {(x i, Lny i )}. Consideramos una nueva tabla con los cálculos necesarios para la recta de regresión de Y sobre X : x i = x i y i = Lny i x i y i x 2 i Ahora sólo es necesario calcular la media de Y y la covarianza de (X, Y ), puesto que la media y la covarianza de X ya las hicimos antes:

9 Media de Y : Y = = Covarianza de (X, Y ): σ X Y = La recta queda: = y = (x ) y = x Si denotamos a la recta anterior por y = α+βx, entonces, para deshacer el cambio anterior K = e α = e.8253 = y A = e β = e = Ya tenemos las dos constantes, K y A, que eran necesarias para tener definida la curva de regresión propuesta en el ejercicio. Lo único que se debe hacer ahora es escribir la curva: y = K A x = (0.9813) x. Para ver cuál de las dos curvas proporciona mejores estimaciones, vamos a calcular la varianza residual o error cuadrático medio de ambas. Para calcular la varianza residual de la primera curva, es decir, de la recta de regresión, se puede utilizar la siguiente fórmula: V r = σy 2 (1 ρ 2 ), donde ρ = σ XY, es el coeficiente de σ X σ Y correlación lineal. Casi todos los elementos de esta fórmula ya los hemos calculado, salvo la varianza de Y : σy 2 = = Entonces 3 ρ 2 = ( ) = de donde V r = Para calcular la varianza residual asociada a la curva exponencial, se utiliza la fórmula N (y i yi ) 2 i=1 genérica V r =, donde yi son los valores que se estiman de la variable Y usando N la curva de regresión correspondiente, en este caso, y = (0.9813) x. y 1 = (0.9813) 28 = y 2 = (0.9813) 50 = 8.93 y 3 = (0.9813) 70 = y i y i (y i y i ) Por tanto V r = = Comparando las varianzas residuales de la recta y la curva exponencial, V r (recta) = > = V r (exponencial) lo cual implica que la curva exponencial propuesta se ajusta mejor a la nube de puntos que la recta de regresión.

10 2. Para la aviación comercial, existen unas rutas predeterminadas según diversos factores de control de tráfico, países, pasillos aéreos, etc. En un típico vuelo Madrid-París se puede sobrevolar Bilbao (ruta 1) o Santander (ruta 2). Sin embargo, entre París y Bruselas, hay una única ruta (ruta 3). Además, para ir de Madrid a Bruselas, siempre hay que hacer escala en París. Un controlador del aeropuerto de Madrid-Barajas estima que la probabilidad de que se pueda circular por la ruta 1 un día escogido al azar es de 0.88, mientras que para la ruta 2 es de Por otro lado, solamente el 0.2% de los vuelos París-Bruselas se cancelan por no estar disponible la ruta correspondiente. Teniendo en cuenta que la disponibilidad de cada ruta es independiente de la del resto, calcula: (a) la probabilidad de que un avión pueda circular por la ruta 1, sabiendo que la ruta 2 también está disponible (b) la probabilidad de que no se pueda llegar de Madrid a París un día escogido al azar (c) la probabilidad de que se pueda viajar de Madrid a Bruselas (es decir, se pueda hacer alguna de las dos rutas entre Madrid y París y además hacer la ruta 3) (d) la probabilidad de que la ruta 2 esté disponible al tráfico aéreo, sabiendo que no se puede llegar a Bruselas desde Madrid. Solución Nombramos los sucesos cuyas probabilidades están indicadas en el enunciado R i = se puede circular por la ruta i para i = 1, 2, 3. Se sabe p(r 1 ) = 0.88 y p(r 1 ) = = 0.12 p(r 2 ) = 0.65 y p(r 2 ) = = p(r 3 ) = 1 (0.2/100) = y p(r 3 ) = 2/100 = (a) Como se indica en el enunciado que la disponibilidad de cada ruta es independiente de la del resto, la probabilidad de que un avión pueda circular por la ruta 1, sabiendo que la ruta 2 también está disponible, es decir p(r 1 R 2 ) es igual, simplemente, a la probabilidad de R 1, p(r 1 ) = (b) La probabilidad de que no se pueda llegar de Madrid a París un día escogido al azar es igual a la probabilidad de que no estén disponibles ni la ruta 1 ni la ruta 2, por tanto es la probabilidad de la intersección de R 1 y R 2 : p(r 1 R 2 ) = p(r 1 ) p(r 2 ) = = 0.02 (c) El suceso A= se pueda hacer alguna de las dos rutas entre Madrid y París (la ruta 1 o la ruta 2) y la ruta 3 se puede expresar, en términos de uniones e intersecciones, como A = (R 1 R 2 ) R 3. Luego, su probabilidad p(a) = p((r 1 R 2 ) R 3 ) = p(r 1 R 2 ) p(r 3 ) Para calcular la probabilidad de la unión, p(r 1 R 2 ), hay dos posibilidades: 1 a p(r 1 R 2 ) = p(r 1 ) + p(r 2 ) p(r 1 R 2 ) = p(r 1 ) + p(r 2 ) p(r 1 ) p(r 2 ) = = 0.958

11 Entonces 2 a p(r 1 R 2 ) = 1 p(r 1 R 2 ) = 1 p(r 1 R 2 ) = = p(a) = p((r 1 R 2 ) R 3 ) = p(r 1 R 2 ) p(r 3 ) = = (d) La probabilidad de que la ruta 2 esté disponible al tráfico aéreo, sabiendo que no se puede llegar a Bruselas desde Madrid es la probabilidad de R 2 condicionada a que no se pueda llegar de Madrid a Bruselas, que sería el suceso A, según la notación utilizada en el apartado anterior p(r 2 A) = p(r 2 A) p(a) El suceso R 2 A es que no funcione el sistema, (no se puede llegar de Madrid a Bruselas, pasando por París) y la ruta 2 no esté disponible. Si no funciona el sistema pero la ruta 2 está disponible, el fallo se produce porque la ruta 3 no está operativa. Entonces p(r 2 A) = p(r 2 R 3 ) = p(r 2 ) p(r 3 ) = = Es muy frecuente preguntarse en este momento qué ocurre con la ruta 1, es decir, si hay que tener en cuenta si está disponible o no. La respuesta es que no nos importa porque si calculamos la probabilidad anterior teniendo en cuenta que R 1 puede estar disponible o no, quedaría: p(r 2 A) = p(r 1 R 2 R 3 ) + p(r 1 R 2 R 3 ) = p(r 1 ) p(r 2 ) p(r 3 ) + p(r 1 ) p(r 2 ) p(r 3 ) = p(r 2 ) p(r 3 ) (p(r 1 ) + p(r 1 )) = p(r 2 ) p(r 3 ) 1 = p(r 2 ) p(r 3 ). Por otra parte, también p(a) se puede calcular de dos formas. La más directa y sencilla en este caso es p(a) = 1 p(a) = = 0.0 puesto que p(a) se pedía en el apartado anterior. La otra sería, sin usar el suceso complementario, o sea, teniendo en cuenta que A= no estén disponibles ni la ruta 1 ni la 2 o no esté disponible la ruta 3 =(R 1 R 2 ) R 3. Finalmente, la probabilidad condicionada que se pedía queda: p(r 2 A) = p(r 2 A) p(a) = =

12 3. Sea X la variable aleatoria que representa el peso neto (medido en kilogramos) de ciertos recipientes. La función de densidad de dicha variable X viene dada por k x si 0 x 2 2 f(x) = 0 en el resto (a) Cuántos kilogramos puede pesar como mucho un determinado recipiente? (b) Calcula el valor del parámetro k, para que f sea función de densidad. (c) Qué es más probable que una pieza pese más de 1.5 kg. o menos? (d) Calcula la función de distribución de la variable X. (e) Cuál es el peso por debajo del cual se encuentran el 75% de los recipientes? Solución (a) El peso máximo que puede tener un recipiente es 2 Kg porque la función de densidad de la variable solamente toma valores no nulos en el intervalo [0, 2]. (b) Para que f sea función de densidad se tiene que cumplir 1 = + k x 2 2 dx = k x 2 dx Ahora hay que tener cuidado al hacer la integral porque la constante k no puede salir de la integral, puesto que se encuentra sumando, no multiplicando, al resto de los términos de la función f. Por tanto: 1 = 2 0 k x 2 dx = [ ] 2 kx x2 0 0 = 2k = 2k 1 de donde k = 2/2 = 1. Escribimos la función de densidad para trabajar a partir de ahora con ella con el valor de k adecuado: 1 x si 0 x 2 2 f(x) = 0 en el resto (c) Para saber cuál de los dos sucesos es más probable hay que calcular las dos probabilidades y compararlas: p(x > 1.5) = Como consecuencia, 1 x 2 dx = [ ] 2 x x2 1.5 = (2 1) ( p(x < 1.5) = 1 p(x > 1.5) = = ) = =

13 Es más probable que un recipiente pese menos de 1kg y medio. (d) Función de distribución de la variable: Si x < 0, F (x) = x si 0 x 2, F (x) = x f(t) = 0 x f(t) = si x > 2, F (x) = 1. Entonces, x 0 0 = 0 ; 1 t [ 2 d t = t t2 ] x 0 = x x2 0 si x < 0 F (x) = x x2 si 0 x 2 1 si x > 2 (e) El peso, a, por debajo del cual se encuentran el 75% de los recipientes, verifica 0.75 = p(x < a) = F (a) = a a2 Hay que resolver la correspondiente ecuación de segundo grado. Para ello, considero más cómodo trabajar con números enteros, así que cambio 0.75 por 3/, de forma que multiplicando por, queda la ecuación: a 2 a + 3 = 0. a = ± = ± 2 2 = 3 ó 1 Como 3 se sale fuera del rango de valores que toma la variable X, la solución para nuestro problema es a = 1.. Según estudios realizados por la Sociedad Herpetológica Española, el cruce entre la carretera C-335 y la N-30, en la localidad de Vélez-Málaga, se considera un punto negro para la población de camaleones, porque en él mueren atropellados ejemplares de dicha especie de manera aleatoria e independiente una media de 2 ejemplares al mes, lo cual constituye un número claramente superior a la media conocida para otras carreteras de su área de distribución. Admitiendo que el número de atropellos al mes sigue una distribución de Poisson, (a) calcula la probabilidad de que mueran atropellados 2 camaleones en un mes (b) calcula la probabilidad de que el número de camaleones atropellados sea inferior o igual a la media. (c) Aparentemente en Cádiz y Málaga los camaleones se hallan en celo durante el verano y emprenden desplazamientos terrestres inhabituales. Calcula la probabilidad de que sólo en uno de los 3 meses de verano se registren más atropellos que la media esperada. Solución Sea X= número de atropellos al mes. Según nos indican en el enunciado, X sigue una distribución de Poisson de media 2, luego de parámetro 2: X P(2).

14 (a) La probabilidad pedida es simplemente p(x = 2) = , según aparece en la correspondiente tabla de la distribución de Poisson. (b) p(x 2) = p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2) = = (c) La probabilidad de este apartado se puede calcular a través de un modelo binomial, puesto que la probabilidad de que mueran más camaleones que la media esperada es la misma en cada uno de los 3 meses de verano. Prueba de Bernoulli: haya más atropellos que la media esperada o no. éxito: haya más atropellos que la media esperada probabilidad de éxito: p(x > 2) = 1 p(x 2) = = Sea Y = número de meses en los que el número de atropellos es superior a la media, de los 3 meses de verano. ( ) 3 p(y = 1) = (0.6767) 2 = Se admite que el diámetro del espiráculo (orificio respiratorio) del delfín listado sigue una distribución normal y se quiere hacer una estimación de la variabilidad de esta medida de unos inviduos a otros en el Mediterráneo. Para ello se analizan las medidas de 50 ejemplares varados en las costas mediterráneas andaluzas en los últimos dos años y se obtiene una cuasidesviación típica muestral S = mm. Da un intervalo de confianza al 95% de la varianza de esta variable aleatoria. Teniendo en cuenta que se obtuvo de la misma muestra, una media de 28.9 mm para el diámetro, se puede mantener la hipótesis de que un delfín listado del Mediterráneo posee un espiráculo de 30 mm de diámetro? (usa el mismo nivel de significación que en el apartado anterior). Solución Consultando en las tablas de intervalos de confianza, encontramos que el intervalo de confianza para la varianza σ 2 de una distribución normal N(µ, σ) viene dado por (n 1)S2, χ 2 α 2, n 1 (n 1)S2 χ 2 1 α 2, n 1 En este caso: n = 50; S = mm; α = y entonces α/2 = Como el tamaño muestral es mayor que 30, el término χ 2 α, n 1 no se encuentra en la tabla correspondiente a 2 la distribución χ 2. Utilizamos entonces el siguiente resultado teórico: Para calcular χ ,9 = a: Si X χ 2 n entonces 2X N( 2n 1, 1) ( = p(χ 2 9 a) = p 2χ 2 9 ) 2a = p ( N( 2 9 1, 1) 2a ) = p ( Z ) 2a

15 2a 97 Por lo tanto, = z = 1.96, de donde se puede despejar el valor de a = 1 ( ) 2 = Para el valor de b = χ , 50 1 = χ ,9, se procede del mismo modo: ( = p(χ 2 9 b) = p 2χ 2 9 ) 2b = p Z 2b 97 1 Ahora la dificultad está en buscar el valor de z Este número es negativo, pues es un número real que deja a su derecha un área mayor que 0.5, por debajo de la gráfica de la normal Z. z El opuesto de z 0.975, es decir z 0.975, deja a su derecha un área igual a = 0.025, utilizando la simetría de la campana de Gauss; por tanto z = z = z Entonces debe igualarse a z = z = b 97, de dónde se obtiene el valor de b 1 b = ( ) 2 2 = El intervalo de confianza es [ ] (n 1)S2 (n 1)S2, =, = [11.23, ] χ 2 α 2, n 1 χ 2 1 α 2, n En la segunda parte del ejercicio hay que realizar un contraste de hipótesis estadísticas. Como la cuestión planteada es si se puede mantener la hipótesis de que un delfín listado del Mediterráneo posee un espiráculo de 30 mm de diámetro, se trata de un contraste bilateral

16 sobre la media de una distribución normal (se quiere saber si hay indicios para pensar que el espiráculo no es de 30 mm; no se dice que se piense que es mayor o menor). Consultando la correspondiente tabla de contrastes de hipótesis paramétricos y dado que no hay ningún dato en el enunciado del problema sobre la varianza de la población, elegimos contraste bilateral para la media de una distribución normal con varianza desconocida y muestra grande, n = 50 > 30: H 0 : µ = 30 H a : µ 30 } S Se rechaza H 0 si x µ 0 > z α. 2 n Para α = 0.5, buscando en las tablas z = 1.96; la cuasidesviación S = ; la media muestral x es 28.9 y el valor con el que se compara la media µ 0 = 30. S x µ 0 = = 1.1 = 1.1 < = z α = n 50 No se cumple la condición de rechazo, por tanto, se acepta H 0 : µ = 30. Conclusión: A la vista de los datos proporcionados por la muestra, se puede mantener la hipótesis de que el diámetro del espiráculo de un delfín listado del Mediterráneo es de 30 mm.

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