CAPITULO 10. NOCIONES DE MECANICA DE FLUIDOS.

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1 Ca. 0. Mecánica de fluidos. CAPITULO 0. NOCIONES DE MECANICA DE FLUIDOS. 0. ESTRUCTURA DE LA MATERIA. En Griego, átomo significa indivisible, or eso esta alabra fue adotado or los físicos ara alicarla a la artícula más equeña y fundamental. Pero ahora se sabe que los elementos químicos están formados or artículas elementales más equeñas que son los electrones, rotones y neutrones, que en conjunto constituyen el átomo. Los átomos de la materia común, que tienen un diámetro del orden de 0-0 m, se comonen de un núcleo esado, de diámetro del orden de 0-5 m, que contiene rotones cargados ositivamente y neutrones sin carga, que esta normalmente rodeado or uno o varios electrones livianos cargados negativamente. La función de los neutrones es actuar como egamento ara mantener unidos los rotones en el núcleo, si los neutrones no estuvieran resente, la fuerza reulsiva entre las artículas cargadas ositivamente desintegraría al núcleo. La masa del rotón,.67x0-7 kg, que se define como la unidad de masa atómica u, y su carga,.6x0-9 Coulomb, se usan como unidad. El átomo mas simle es el hidrógeno neutro, su modelo clásico se muestra en la figura 0.a, su núcleo tiene un rotón y se dice que tiene número de masa y carga eléctrica +. Alrededor del núcleo del átomo de hidrógeno neutro, orbita un electrón, que tiene carga igual a, una masa de 9.x0-3 kg, igual a u/840, con un radio de la órbita de 0.5x0-0 m. Figura 0.a Figura 0.b 7

2 Ca. 0. Mecánica de fluidos. La materia común, como el aire o agua, se comone de moléculas que son eléctricamente neutras. Una molécula uede tener un solo átomo o bien uede ser la unión de dos o más átomos. Existen moléculas comuestas de cientos, miles, incluso millones de átomos. En la figura 0.b se muestra un esquema de una molécula de agua. Pero termina aquí la división? Se ha descubierto que existen artículas más equeñas aún, llamadas quarks, formadas or seis variedades diferentes de otras artículas bautizadas con nombres exóticos: arriba, abajo, extraño, encanto, belleza y suerior. Pero la materia no es continua, ya que entre cada ar de artículas hay un enorme esacio vacío. Aún así las distancias en la frontera de la Física nuclear son sorrendentemente cortas! En el otro extremo, las distancias en el Universo son súerrequetecontrahier grandes. Los extremos de la Física los odemos resumir en los tres infinitos, que se ilustran en la figura 0.. Figura 0. Los tres infinitos Además or qué habrían de existir únicamente artículas livianas con carga negativa y artículas esadas con carga ositiva? Cuando se resuelven las ecuaciones de la mecánica cuántica, generalmente se encuentran dos solucio- 7

3 Ca. 0. Mecánica de fluidos. nes simétricas, una da los resultados del comortamiento de la materia, ero no hay ninguna razón ara descartar la otra solución, or lo tanto se rouso que describía el comortamiento de la antimateria, que no se conocía. De acuerdo a las leyes de la física, en el rinciio todo era simétrico: materia y antimateria estaban resente en el Universo en artes iguales. Se busco la existencia de esta antimateria hasta que se descubrieron las antiartículas elementales: antielectrón o ositrón, antirotón, antineutrón, antiquarks, etc, que tienen la misma masa que las artículas elementales, ero cargas ouestas. 0.. Estados de la materia. La materia generalmente se clasifica de acuerdo con algunos de los cuatro estados en que se encuentra, sólido, líquido, gaseoso y lasma. Un sólido tiene forma y volumen definidos. Un líquido tiene un volumen definido ero no una forma definida. Un gas no tiene ni volumen ni forma definidos. Para cualquier sustancia, el estado líquido existe a una temeratura mayor que la del estado sólido, tiene mayor agitación térmica y las fuerzas moleculares no son suficientes ara mantener a las moléculas en osiciones fijas y se ueden mover en el líquido. Lo común que tienen los líquidos con los sólidos es que si actúan fuerzas externas de comresión, surgen grandes fuerzas atómicas que se resisten a la comresión del líquido. En el estado gaseoso, las moléculas tienen un continuo movimiento al azar y ejercen fuerzas muy débiles unas con otras; las searaciones romedios entre las moléculas de un gas son mucho más grandes que las dimensiones de las mismas. Un sólido se comrime bajo la acción de fuerzas externas, ero si estas fuerzas dejan de actuar, tiende a retomar su forma y tamaño original, or esto se dice que tiene elasticidad. Según el tiemo de resuesta del cambio de la forma a una fuerza externa o resión, la materia uede comortarse como un sólido o como un fluido. En algunos casos, el material se comorta en un estado intermedio, como or ejemlo lástico, goma, asfalto, grasa, miel, masilla, etc. 0.. Plasma. Cuando se calienta un sólido, se transforma en líquido, si se continúa calentando se convierte en gas. Pero si aumenta aún más la temeratura del gas, los 73

4 Ca. 0. Mecánica de fluidos. choques entre las artículas se vuelven tan violentos que son caaces de variar la estructura de las artículas. Los electrones ueden ser liberados de los átomos roduciendo iones cargados ositivamente. Las moléculas de un gas ueden romerse al someterlas a la acción de la luz ultravioleta, rayos X, corriente eléctrica o a intenso calor y los electrones ueden ser violentamente searados de la molécula. Al resto de la molécula que le falta uno o más electrones, queda cargada ositivamente, se le llama un ión y el gas queda ionizado. El gas ionizado formado de electrones con carga negativa y de iones con carga ositiva se llama lasma, que es otro estado fluido de la materia, sólo existe a altas temeraturas (mayor que 000 K). A esar de ser oco común en la vida cotidiana, es el estado redominante de la materia en el Universo. El Sol, las estrellas o el gas de la luz en un tubo fluorescente están en estado de lasma Fluido. Un fluido es un conjunto de moléculas distribuidas al azar que se mantienen unidas or fuerzas cohesivas débiles y or fuerzas ejercidas or las aredes de un envase. De otra forma, si definimos un fluido como aquellos materiales que no lo son, los fluidos son todos aquellos que no son sólidos. Por lo tanto, son fluidos los líquidos y los gases. Una diferencia esencial entre un fluido y un sólido es que un fluido no soorta esfuerzos tangenciales y los sólidos sí. De acuerdo con esto, los fluidos son sistemas que están en continuo movimiento. En este contexto, la mecánica clásica debe modificarse un oco, or la oca utilidad que tiene aquí el conceto de masa, or lo que esta se reemlaza or otro conceto, llamado densidad, que corresonde a la masa or unidad de volumen. En los roblemas que nos interesan, los fluidos con los que trataremos rincialmente son el aire y el agua. Cuando estudiamos la atmósfera y el océano en sus movimientos de escala lanetaria, nos referimos a estos como fluidos geofísicos. Por ejemlo el estudio de los ciclones y anticiclones, de la corriente de Humboldt, o en otros lanetas de la gran Mancha Roja de Júiter. 0. DENSIDAD. Una roiedad de cualquier sustancia es su densidad. La densidad de cualquier material se define como la cantidad de masa m contenida en cada unidad 74

5 Ca. 0. Mecánica de fluidos. de volumen V. Como la distribución de masa uede variar si se considera el volumen comleto de sustancia, se debe definir en forma microscóica la densidad en cada unto del cuero en forma diferencial, esto es: dm dv (0.) La densidad es una magnitud física escalar, su unidad de medida en el SI es kg/m 3. La densidad cambia con la temeratura ya que el volumen deende de la temeratura, or lo que se dan valores bajo condiciones de resión y temeraturas dadas. Si un cuero tiene la misma densidad en todo el volumen, es decir es constante, se dice que es homogéneo, en caso contrario es heterogéneo, en este caso el cuero tiene una distribución de masa variable dentro del volumen. La densidad de los líquidos (y sólidos) es del orden de 000 veces la de los gases. En la tabla siguiente se dan los valores de la densidad de algunas sustancias comunes. MATERIAL DENSIDAD (kg/m 3 ) Hidrógeno 0.09 Aire.8 Madera de ino 500 Petróleo 800 Hielo 97 Agua 000 Aluminio 700 Hierro 7860 Cobre 8900 Plomo 340 Mercurio 3500 Oro 9300 Platino 400 La densidad de los fluidos deende de la temeratura y de la resión. La ecuación que exresa esta deendencia se llama ecuación de estado, ero este tema 75

6 Ca. 0. Mecánica de fluidos. es un asecto de los fluidos que se tratará en forma cuantitativa en el curso de Física de Termodinámica. Baste decir ahora que la densidad deende del inverso de la temeratura. La variación de densidad con la temeratura en los gases da lugar al fenómeno de convección, muy imortante ara el transorte de calor en un fluido. Por ejemlo, la convección en la atmósfera roduce el movimiento vertical ascendente del aire, lo que origina disminución de resión en suerficie, exansión de la masa de aire, enfriamiento or la exansión y el ascenso, condensación or efecto del enfriamiento, formación de nubes debido a la condensación y de reciitación. 0.3 PRESION. Las fuerzas que existen sobre un objeto sumergido en un fluido son sólo aquellas que tienden a comrimir al objeto. La fuerza ejercida or un fluido sobre el objeto inmerso en él, reresentado or el cubo de la figura 0.3, es siemre erendicular a la suerficie del objeto. La resión del fluido en el nivel donde se encuentra sumergido el cuero se define como la razón de la magnitud de la fuerza F normal a la suerficie y el área A. La resión dentro del fluido no es la misma en todos los untos, or lo que se debe definir la resión en un unto determinado considerando una fuerza df normal a un elemento de suerficie da, entonces la resión en el unto es: aire agua df da Figura 0.3 df da (0.) 76

7 Ca. 0. Mecánica de fluidos. La unidad de medida de la resión en el sistema SI es N/m, que se llama Pascal, con símbolo Pa. Otras unidades de uso común ara la resión son atmósfera (atm), centímetros de mercurio (cm de Hg) o bar. Algunos factores de conversión comunes entre diferentes unidades son: bar 0 5 Pa y milibar (mbar) 0-3 bar 00 Pa hpa atm.03x0 5 Pa.03 bar 03 mbar 03 hpa 76 cm de Hg 0.4 LA ECUACIÓN HIDROSTATICA. Para un fluido en reoso dentro de un envase, todos los untos a la misma rofundidad tienen la misma resión, si no fuera así no estaría en reoso. Imaginar un volumen de fluido (aire) elemental en la atmósfera, de suerficie da y alto dz, como se ve en la figura 0.4. La fuerza en la arte inferior del volumen es vertical hacia arriba de magnitud F da (z)da y en la arte suerior es hacia abajo de valor F da (z+dz)da. El eso del volumen es dp (dm)g. Como el volumen está en equilibrio, or la rimera Ley de Newton, se tiene: z F da z+dz, dz z, P F aire mar Figura

8 Ca. 0. Mecánica de fluidos. ΣF 0 F - F - P 0 (z)da - (z+dz)da - (dm)g 0 [(z) - (z+dz)]da - (dm)g 0 Pero (z+dz) - (z) d, dm/dv dm dv y dv dadz, reemlazando se obtiene: -dda - dadz g 0 d dz g (0.3) Esta se llama ecuación hidrostática, se le da ese nombre orque fue deducida ara una orción de fluido en equilibrio estático. Se observa que la resión disminuye con la altura y aumenta con la rofundidad en el fluido. Si o es el valor de la resión en el nivel z o (que uede ser el nivel del mar) y el valor de la resión a una altura z en la atmósfera o una rofundidad z en el océano, y si la densidad es constante, se uede integrar la ecuación hidrostática y se obtiene: g( z zo ) o Si se considera como volumen de fluido una orción de océano, en cuya suerficie actúa la resión atmosférica o, la resión a la rofundidad h z o z en el mar, lago o cualquier envase que contenga algún líquido de densidad constante, será: + g( z z) o o o + gh 78

9 Ca. 0. Mecánica de fluidos. Esta ecuación, que es válida sólo cuando la densidad es constante, dice que la resión a la rofundidad h de la suerficie libre de un fluido es mayor que la resión atmosférica o en gh. De esto también se deduce que la resión es la misma en cualquier unto ubicado a la misma rofundidad y no se ve afectada or la forma del envase. El término gh se llama resión manométrica, ya que corresonde a la resión obtenida de la lectura de un manómetro, es decir, la diferencia entre la resión total y una resión de referencia, que con frecuencia es la resión atmosférica. La resión del agua aumenta a medida que se baja hacia el fondo del océano y disminuye en la atmósfera si nos elevamos sobre el nivel del mar. Como la densidad del aire es unas 000 veces menor que la del agua, el aumento de resión al descender un metro en agua es cerca de mil veces mayor a la disminución de la resión al ascender un metro de altura. En la atmósfera cerca de suerficie, la resión disminuye aroximadamente un hpa cada 0 metros de elevación en la vertical y en el océano la resión aumenta aroximadamente 00 hpa cada un metro de rofundidad. Ejemlo 0.. Calcular la fuerza resultante ejercida or el agua sobre una reresa de rofundidad H y de ancho D, que se muestra en la figura 0.5. o H D h dz z o Figura 0.5. Esquema de una reresa. Solución. La coordenada vertical z se mide desde el fondo de la reresa hacia arriba, entonces la rofundidad H de la reresa es igual a z o. La resión a una rofundidad h medida desde la suerficie del agua hacia abajo, como se ve en la figura 0.5, se calcula usando la ecuación hidrostática, teniendo en cuenta 79

10 Ca. 0. Mecánica de fluidos. que la resión atmosférica o actúa en todos lados sobre la reresa, or lo que no altera el valor de, el cálculo da: o g( z o z) o g( H z) Pero df (- o )da g(h-z)ddz, integrando se tiene, F H df da g gdh o ( H z ) Ddz Como la resión aumenta con la rofundidad, las reresas se deben construir aumentando su esesor con la rofundidad El barómetro. Los instrumentos usados ara medir la resión son el barómetro y el manómetro. El barómetro de mercurio, inventado en 643 or Torricelli (que fue alumno de Galileo) es un tubo cerrado en uno de sus extremos que se llena con mercurio (Hg) y desués se da vuelta y se introduce en otro envase lleno también con mercurio (figura 0.6a). En este roceso, el mercurio del tubo desciende or lo que en su extremo cerrado se roduce un vacío, donde la resión es cero. Por la resión de la atmósfera sobre la suerficie libre del envase, la columna de mercurio dentro del tubo se eleva; al nivel del mar en condiciones normales, se encuentra que siemre la columna de mercurio en el tubo es de 76 cm. De la ecuación hidrostática integrada se obtiene o -gh, donde es la densidad del mercurio y h su altura. Con g 9.8 m/s y la densidad del mercurio que es 3595 kg/m 3, se obtiene que la resión atmosférica en condiciones normales es o.03x0 5 Pa. El manómetro es un tubo en U abierto a la atmósfera en uno de sus extremos, que contiene un líquido y en el otro extremo se conecta a un sistema de resión desconocida (figura 0.6b). La resión se llama resión absoluta y la diferencia de resión - o gh se llama resión manométrica. 80

11 Ca. 0. Mecánica de fluidos. Figura 0.6a Barómetro de mercurio. Figura 0.6b Manómetro 0.5 LEY DE PASCAL. Según la ecuación hidrostática, la resión en un fluido sólo deende de la rofundidad, or lo tanto cualquier variación de resión en suerficie se transmite a cualquier arte del fluido. Entonces si se alica una fuerza F sobre un área A como se ve en la figura 0.7, la misma resión se transmite con una fuerza F sobre un área A, y or la definición de resión: F F (0.4) A A F F A A Figura 0.7 Las herramientas hidráulicas tales como frenos, gatas y elevadores de carga arovechan este rinciio descubierto or Blas Pascal y se conoce como Ley de Pascal. 8

12 Ca. 0. Mecánica de fluidos. Ejemlo 0.. En un elevador de carga el aire comrimido ejerce una fuerza sobre un equeño émbolo de área circular de 5 cm de radio, que se transmite or agua a otro émbolo de 0 cm de radio. Calcular la fuerza que se debe ejercer al aire comrimido ara levantar un auto de 0000 N y la resión que ejercería esa fuerza. Solución: or la ley de Pascal, tenemos F A A F π 5 π F 65 N Notar que el valor de la fuerza necesaria, equivalente a la ejercida or una masa de 6.5 kg, es equeña comarada con la carga a levantar. F A 65 N π ( 0.05 m) Pa 790hPa 0.6 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES. Una consecuencia de la ecuación hidrostática es el rinciio de Arquímedes. Suongamos que un objeto se sumerge en un fluido como se ve en la figura 0.4. Antes de sumergir el objeto, el fluido está en equilibrio, or lo tanto el resto del fluido ejerce una fuerza sobre la orción de fluido que desués ocuará el objeto, que iguala el eso de la orción de fluido. Esta fuerza también actuará sobre el objeto sumergido y se conoce como fuerza de emuje. El rinciio de Arquímedes se enuncia como sigue: cualquier cuero total o arcialmente sumergido en un fluido es emujado hacia arriba or una fuerza que es igual al eso del volumen de fluido deslazado or el cuero. Cualquier cuero inmerso en un fluido es emujado siemre verticalmente hacia arriba or el fluido, a esa fuerza se le llama fuerza de emuje (o de flotación), E. Según el rinciio de Arquímedes, la magnitud de la fuerza de emuje es igual al eso del volumen de fluido desalojado or el objeto. La fuerza 8

13 Ca. 0. Mecánica de fluidos. de emuje actúa verticalmente hacia arriba y su línea de acción asa or el unto donde se encontraba el centro de gravedad del fluido deslazado. Se uede demostrar que la fuerza de emuje es igual al eso. En efecto, la resión en el fondo de un cubo de fluido imaginario inmerso en el fluido, como se ve en la figura 0.4, es mayor que en la arte suerior or la cantidad g z, donde z es la altura del cubo de fluido imaginario. Esta diferencia de resión or unidad de área A, es decir la diferencia entre las fuerzas alicadas en la cara inferior y suerior del volumen hiotético, es igual a la fuerza de emuje E, entonces: F - F E Pero F A y F A ( - )A E Por la ecuación hidrostática: - g z g z A E E g V mg E P (0.5) Para un objeto que flota sobre un fluido, la fuerza de emuje equilibra al eso del objeto. Si V es el volumen de fluido deslazado al sumergir el cuero en el fluido de densidad, y V o es el volumen del cuero de densidad o, la fuerza de emuje del fluido, según la ecuación anterior, es E Vg, que es de igual magnitud al eso del cuero P mg o V o g, entonces: E P Vg V g o o o V (0.6) V o Esta ecuación ermite determinar la fracción de volumen de un objeto sumergido en un fluido de mayor densidad que la del objeto. 83

14 Ca. 0. Mecánica de fluidos. Ejemlo 0.3. Calcular la fracción del volumen de un cubo de hielo que sobresale del nivel de agua, cuando flota en un vaso con agua. Solución: el hielo flota sobre el agua orque tiene una densidad menor que el agua, hielo 97 kg/m 3. El eso del cubo de hielo es P h m h g h V h g. La fuerza de emuje igual al eso del agua deslazada es E a Vg, donde V es el volumen de la arte del cubo de hielo bajo el agua. Como P h E, entonces la fracción de hielo sumergido es: Vg V g Vg V V h h h a 0.97 V V h h a Por lo tanto, lo que sobresale del agua es: - V/V h u 8.3%. Una corona de oro. Herón II, rey de Siracusa, idió un día a su ariente Arquímedes, que comrobara si una corona que había encargado a un orfebre local era realmente de oro uro. El rey le idió también de forma exresa que no dañase la corona. Arquímedes dio vueltas y vueltas al roblema sin saber cómo atacarlo, hasta que un día, al meterse en la bañera ara darse un baño, se le ocurrió la solución. Pensó que el agua que se desbordaba tenía que ser igual al volumen de su cuero que estaba sumergido. Si medía el agua que rebosaba al meter la corona, conocería el volumen de la misma y a continuación odría comararlo con el volumen de un objeto de oro del mismo eso que la corona. Si los volúmenes no fuesen iguales, sería una rueba de que la corona no era de oro uro. A consecuencia de la excitación que le rodujo su descubrimiento, Arquímedes salió del baño y fue corriendo desnudo como estaba hacia el alacio gritando : Lo encontré! Lo encontré!, ( Eureka, Eureka ). La alabra griega " Eureka!" utilizada or Arquímedes, ha quedado desde entonces como una exresión que indica la realización de un descubrimiento. Al llevar a la ráctica lo descubierto, se comrobó que la corona tenía un volumen mayor que un objeto de oro de su mismo eso. Contenía lata que es un metal menos denso que el oro. 84

15 Ca. 0. Mecánica de fluidos. 0.7 NOCIONES ELEMENTALES DE DINAMICA DE FLUIDOS. Ahora analizaremos en forma muy elemental el comortamiento de los fluidos en movimiento. Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se uede clasificar en dos tios: a) Flujo estacionario o laminar si cada artícula de fluido sigue una trayectoria uniforme y estas no se cruzan, es un flujo ideal. Por ejemlo el humo de cigarrillo justo desués de salir del cigarro es laminar. En el flujo estacionario la velocidad del fluido ermanece constante en el tiemo. Sobre una velocidad crítica, el flujo se hace turbulento. b) Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se roducen torbellinos. Por ejemlo el humo de cigarrillo en la arte suerior alejada del cigarro es turbulento. El flujo laminar se vuelve turbulento or efecto de la fricción que también está resente en los fluidos y surge cuando un objeto o caa del fluido que se mueve a través de él deslaza a otra orción de fluido; lo notas or ejemlo cuando corres en el agua. La fricción interna en un fluido es la resistencia que resenta cada caa de fluido a moverse resecto a otra caa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide or un coeficiente de viscosidad. Por efecto de la viscosidad arte de la energía cinética del fluido se transforma en energía térmica, similar al caso de los sólidos. Debido a que el movimiento de un fluido real es muy comlejo, consideraremos un modelo de fluido ideal con las siguientes restricciones: fluido incomresible, es decir de densidad constante, no viscoso, flujo estacionario e irrotacional, en este último caso se refiere a la rotación de cada artícula de fluido y no del fluido como un todo, que uede tener una trayectoria curva o girar. 0.8 ECUACION DE CONTINUIDAD. La trayectoria seguida or una artícula de fluido estacionario se llama línea de corriente, así que or definición la velocidad es siemre tangente a la línea de corriente en cualquier unto. Por lo tanto las líneas de corriente no se ueden cruzar, sino en el unto de cruce, la artícula de fluido odría irse or 85

16 Ca. 0. Mecánica de fluidos. cualquiera de las líneas y el flujo no sería estacionario. Un conjunto de líneas de corriente forma un tubo de corriente o de flujo (figura 0.8), las artículas de fluido se ueden mover sólo a lo largo del tubo, ya que las líneas de corriente no se cruzan. Figura 0.8 Figura 0.9 Considerar un fluido que se mueve a lo largo de un tubo de corriente, cuya sección transversal aumenta en dirección del flujo, como en la figura 0.9. En un intervalo t en la sección más angosta del tubo de área A, el fluido se mueve una distancia x v t. La masa contenida en el volumen A x es m A x. De manera similar, en la sección ancha del tubo de área A, se obtienen exresiones equivalentes en el mismo t, cambiando el subíndice or. Pero la masa se conserva en el flujo estacionario, esto es la masa que cruza or A es igual a la masa que asa or A en el intervalo de tiemo t, entonces: m m A x A x A v t A v t A v Av (0.7) 86

17 Ca. 0. Mecánica de fluidos. Esta se llama ecuación de continuidad, reresenta la conservación de la masa: significa que la masa no uede ser creada ni destruida, sólo se uede transformar, similar a la conservación de la energía. Para un fluido incomresible, es decir de densidad constante, la ecuación de continuidad se reduce a: A v A v cte, esto es, el roducto del área or la raidez normal a la suerficie en todos los untos a lo largo del tubo de corriente es constante. La raidez es mayor (menor) donde el tubo es más angosto (ancho) y como la masa se conserva, la misma cantidad de fluido que entra or un lado del tubo es la que sale or el otro lado, en el mismo intervalo de tiemo. La cantidad Av, que en el SI tiene unidades de m 3 /s, se llama flujo de volumen o caudal Q Av. Ejemlo 0.4. Un jardinero está regando el astito con una manguera de cm de diámetro, or la que uede fluir 30 lt de agua en un minuto. Calcular la raidez con la cual el agua sale de la manguera. Solución: De los datos, el caudal de agua es Q 30 lt/min, transformando las unidades, se obtiene: lt 30 0 cm cm Q min 60 s s el área de la sección transversal de la manguera es: A π r π (cm) π cm Por lo tanto, la raidez de salida del agua or la manguera será: Q Av v Q A 500cm π cm 3 s 60 cm s.6 m s 87

18 Ca. 0. Mecánica de fluidos. 0.9 ECUACION DE BERNOULLI. Cuando fluye el fluido or un tubo de sección transversal no uniforme y de un nivel a otro, or la ecuación hidrostática, la resión cambia a lo largo del tubo (figura 0.0). La fuerza de la resión en el extremo inferior del tubo de área A es F A. El trabajo realizado or esta fuerza sobre el fluido es W F x A x V, donde V es el volumen de fluido considerado. De manera equivalente en el nivel suerior, si se considera un mismo intervalo de tiemo, el volumen V de fluido que cruza la sección suerior de área A es el mismo, entonces el trabajo es W - A x - V. El trabajo neto realizado or las fuerzas en el intervalo de tiemo t es: W W + W ) V ( Figura 0.0 Parte de este trabajo se usa en cambiar tanto la energía cinética como la energía otencial gravitacional del fluido. Si m es la masa que asa or el tubo de corriente en el tiemo t, entonces la variación de energía cinética es: E c mv mv y la variación de energía otencial gravitacional es: 88

19 Ca. 0. Mecánica de fluidos. E g mgy mgy Por el teorema del trabajo y energía se tiene: W E c + Eg ( ) V mv mv + mgy mgy Dividiendo or V y como m/ V, se obtiene la ecuación de Bernoulli ara un fluido no viscoso, incomresible, estacionario e irrotacional. v v + gy gy + v + gy + v + gy La ecuación de Bernoulli, que es un resultado de la conservación de la energía alicada a un fluido ideal, generalmente se exresa como: + v + gy cte. (0.8) Ejemlo 0.5: Demostrar que ara un fluido en reoso se obtiene la ecuación hidrostática integrada. Solución: si el fluido está en reoso, v v 0 y de la ecuación de Bernoulli se obtiene: 89

20 Ca. 0. Mecánica de fluidos. 90 gh gh gz gz gz gz + + Ejemlo 0.6: Tubo de Venturi. Una tubería horizontal con una estrechez, como se muestra en la figura 0., que se usa ara medir la velocidad del flujo en fluidos incomresibles, se llama tubo de Venturi. Si con un manómetro se mide la resión en los untos y, se uede calcular la raidez del flujo que sale (o entra) or el tubo. Figura 0. Tubo de Venturi. Solución. Alicando la ecuación de Bernoulli, como la tubería es horizontal, y y, se tiene: v v gy v gy v Con la ecuación de continuidad: v A A v v A v A Combinando las ecuaciones, queda:

21 Ca. 0. Mecánica de fluidos. A + A v + v v A ( ) ( A A ) Observar que debido a que A > A, >, la resión en es mayor que en, es decir la resión disminuye en la arte estrecha de la tubería. La disminución de la resión en la arte angosta del tubo tiene varias alicaciones, or ejemlo, conectando un tubo de Venturi al carburador de un automóvil, se hace entrar el vaor de gasolina a la cámara de combustión. Ejemlo 0.7: Ley de Torricelli. Un estanque que contiene un líquido de densidad tiene un orificio equeño en un lado a una altura y del fondo (figura 0.. El aire or encima del líquido se mantiene a una resión. Determinar la raidez con la cual sale el líquido or el orificio cuando el nivel del líquido está a una altura h sobre el agujero. Solución: si se suone que el estanque tiene una suerficie mucho mayor que la del agujero (A >> A ), entonces la raidez de descenso del fluido es mucho menor que la raidez de salida del agua or el hoyo (v << v ). Alicando la ecuación de Bernoulli en los untos y, con resión atmosférica o y, se tiene: + v + gy + v + gy A o + v + g ( y y ) y h y o v A Como h y - y, se tiene: Figura 0. Ejemlo 0.7 9

22 Ca. 0. Mecánica de fluidos. v ( ) o + Esta ecuación se llama Ley de Torricelli. Casos articulares: gh a) Si >> o, entonces gh ~ 0 y v, esto significa que la raidez es solo función de la resión. b) Si o, entonces v gh, en este caso la raidez es idéntica a la adquirida or un cuero en caída libre. Ejemlo 0.8: Tubo de Pitot. Es uno de los medidores más exactos ara medir la raidez de un gas dentro de una tubería. El equio, que se muestra en la figura 0.3, consta de un tubo en U con un líquido manométrico, donde la rama a en la figura 0.3, se conecta a la tubería y la otra rama b, cuya abertura está dirigida corriente arriba, se deja en el interior or donde circula el gas con raidez v, de modo que el fluido ingrese dentro de ésta y suba hasta que la resión aumente lo suficiente dentro del mismo y equilibre el imacto roducido or la velocidad. Figura 0.3.Tubo de Pitot. 9

23 Ca. 0. Mecánica de fluidos. La resión a en la rama a izquierda del tubo, cuya abertura es aralela al movimiento del gas, es igual a la resión del gas. La resión b de la otra rama b uede calcularse alicando la ecuación de Bernoulli a los untos en a y b, que se consideran ubicados a una misma altura dentro de la tubería. Como la raidez en el unto b es nula: b a + v donde es la densidad del gas. Por otra arte, la b > a or lo que el líquido manométrico dentro del tubo en U se deslaza originando una diferencia de altura h. Sea o la densidad del líquido manométrico, or lo que: b a + gh o combinando ambas ecuaciones, se obtiene: gh o v v ogh Los aviones usan sistemas basados en este equio ara determinar su velocidad resecto al aire. 93

24 Ca. 0. Mecánica de fluidos. PROBLEMAS. 0. Maria se encaricho or tener un ar de aros de oro esféricos, grandes y sólidos de.5 cm de radio y le idió a su novio que se los comrara. Cuántos gramos de oro tendrán que soortar sus orejas or carichosa? R: 58 gr c/u. 0. En el centro de un ciclón (esto es un área de bajas resiones donde se cierra una isobara, que es una línea que une untos de igual resión), se midió un descenso de resión de 0 mm de Hg resecto a la normal, cuánto fue la resión atmosférica? Por el contrario, en un anticiclón (centro de altas resiones) el aumento de resión fue de hpa, a cuánto ascendió la columna de mercurio? R: 006 hpa, 76.9 cm de Hg. 0.3 Hacer las suosiciones necesarias ara calcular la densidad media y la masa de la atmósfera considerando que el 90% de la masa de aire está debajo de la trooausa. R: arox. 5.3x0 8 kg. 0.4 Calcular la densidad del núcleo de un átomo. La masa de un rotón es de.6x0-7 kg y su radio es del orden de 0-5 m. Qué sugiere este resultado en relación con la estructura de la materia? R: 4x0 7 kg/m Paula de 50 kg se balancea sobre uno de los altos tacones de sus zaatos. Si el tacón es circular de radio de 0.5 cm, qué resión ejerce Paula sobre el iso? R: 6.36x0 6 Pa. 0.6 Una iscina tiene una suerficie de 30 m x 0 m y un fondo lano. Cuando la iscina está llena a una rofundidad de m con agua, cuál es la fuerza total ejercida or el agua sobre el fondo? Sobre cada lado? 0.7 Analizar la utilidad ráctica de usar un barómetro de agua. 0.8 El tubo vertical abierto de la figura 0.4 contiene dos fluidos de densidades y, que no se mezclan. Demuestre que la resión en el fondo del tubo está dada or la exresión o +g( h + h ). 94

25 Ca. 0. Mecánica de fluidos. 0.9 Un tubo en U abierto en ambos extremos se llena arcialmente con agua. Desués se hecha aceite de densidad ac en el brazo derecho del tubo, formando una columna de altura h, (figura 0.5). Calcular la diferencia h en las alturas de las dos suerficies de líquido. R: h ( - ac / ag ). 0.0 Un tubo en U de área de sección transversal constante, abierto a la atmósfera, se llena arcialmente con mercurio. Desués se hecha agua en ambos brazos. Si la configuración de equilibrio del tubo es como la mostrada en la figura 0.6, con h conocido, determine el valor de h. R: h ( M / a - ). h h Figura 0.4. Figura 0.5 Figura Demostrar que el % del volumen de un témano de hielo sobresale de la suerficie del mar. 0. Calcular la densidad de una boya de lástico de radio R, si flota en agua de mar, con /3 de su volumen sobre el agua. 0.3 a) Calcular la altura sobre el nivel del agua de un cubo de madera de 0 cm de lado y densidad 650 kg/m 3 que flota en el agua. b) Calcular la cantidad de masa se debe oner sobre el cubo ara que se hunda justo hasta el nivel de agua. R: a) 4 cm, b) 400 gr. 0.4 Una elota esférica de lástico flota en el agua con 50% de su volumen sumergido. Esta misma elota flota en aceite con 40% de su volumen 95

26 Ca. 0. Mecánica de fluidos. sumergido. Determine las densidades del aceite y de la elota. R: ac 50 kg/m 3, esf 500 kg/m Heidi buscando bichos ara Sanidad, encontró una rana y la uso en un tazón lástico semiesférico de radio 5 cm, que luego hizo flotar en la laguna Los Patos, quedando el tazón flotando justo a ras del agua (figura 0.7). Suonga que el agua tiene una densidad de 050 kg/m 3 y que la masa de la rana es 00 gr, calcular la densidad del tazón. R: 667 kg/m 3. Figura Un bloque de metal de 0 kg de dimensiones cmx0cmx0cm, se susende de una balanza y se sumerge en agua. El lado de cm está vertical y la arte suerior del bloque sobresale 5 cm de la suerficie del agua. Calcular: a) la fuerza de tensión de la balanza, b) la fuerza de emuje sobre el bloque. R: a) 93 N, b) 7 N. 0.7 Calcular el área de una tabla de fibra de vidrio de esesor H y densidad, cuando flota en el mar con un nadador de masa M sobre la tabla. R: M/H( ag - ). 0.8 Calcular la fuerza ara mantener comletamente sumergida en agua de densidad a a una elota de ing ong de radio R y densidad a /.5. R: 3.85g a R El estanque araleleioidal de la figura 0.8 se llena con agua hasta m de rofundidad. En la arte inferior de una ared del estanque hay una escotilla rectangular de m de alto y m de ancho, articulada en su arte suerior. Calcular: a) la fuerza neta sobre la escotilla, b) el torque ejercido alrededor de las bisagras. 96

27 Ca. 0. Mecánica de fluidos. 0.0 a) Demostrar que la fuerza resultante sobre una ared vertical de un estanque cúbico de ancho D lleno con agua de H m de rofundidad es ½gDH. b) Demostrar que el torque total ejercido or el agua sobre la ared del estanque, en un eje que asa or la base de la ared, es (/6)gDH 3 y que la línea de acción efectiva de la fuerza total ejercida or el agua está a una distancia de /3 H sobre el eje. 0. Un mosquito que chocó con el estanque del roblema 0.0, le hizo un agujero en un unto a.5 m debajo del nivel suerior de agua, or el cual se ha medido un flujo de agua de 60 lt/min. Calcular: a) la raidez de salida del agua, b) el radio del agujero. R: a) 5 m/s, b) 0.8 cm 0. El suministro de agua llega al nivel del suelo or una cañería de 5 cm de diámetro. Una llave de cm de diámetro ubicada a 5m de altura llena un envase de 0lt en un minuto. Calcular: a) la raidez con la que sale el agua de la llave, b) la resión en la cañería rincial. R: a) m/s, b).5 o. 0.3 Un estanque de agua tiene un equeño agujero en su costado a una altura h debajo del nivel de agua, or donde sale agua con un flujo de Q lt/min (figura 0.9). Calcular: a) la raidez con la que sale el agua or el agujero, b) el diámetro del agujero. R: a) gh, b).x0-3 Q gh. h Figura 0.8. Figura En un estanque con agua de m de rofundidad, se hace un agujero de 5 cm a una altura h desde la suerficie de agua (figura 0.9). Por la arte suerior del estanque se le hecha agua con un flujo continuo de 97

28 Ca. 0. Mecánica de fluidos. 000 cm 3 /s de manera que el nivel de agua ermanece constante en m. Calcular a) la altura h, b) la raidez de salida del agua. R: a) 0. m, b) m/s. 0.5 Por una manguera de incendios de 6 cm de diámetro, fluye agua a razón de 600 lt/min. Calcular la raidez de salida del agua de la manguera si el diámetro or donde sale es cm. 0.6 Por una tubería horizontal fluye agua con una raidez de 5 m/s. Si la resión es de.5x0 5 Pa en un unto donde la sección transversal del tubo es A, determine en un unto donde el área es A/3: a) la raidez y b) la resión de salida del agua. R: a) 5 m/s, b) 0.5x0 5 Pa. 0.7 Un globo esférico de radio 0.4 m, inflado con helio se amarra a una cuerda uniforme de m de largo y de ½ kg de masa. Calcular la altura de equilibrio que se eleva el globo desués que se suelta. R:.9 m. 0.8 Un globo inflado con helio, de densidad 0.8 kg/m 3, se eleva hasta una altura de 8 km en la atmósfera cuya densidad disminuye con la altura en la forma a o e -z/8, donde z está en km y o.9 kg/m 3 en suerficie. Calcular el volumen de helio con el que se debe inflar el globo ara que ueda llevar una carga de 400 kg hasta los 8 km de altura, suoniendo que su volumen se mantiene constante. R: 430 m Suoniendo la atmósfera y el océano homogéneos, esto es de densidad constante, calcular la resión en diferentes niveles de altura en la atmósfera hasta un km de altura y en el océano hasta 00 m de rofundidad. Hacer el gráfico versus z Determinar la variación de resión con la altura en la atmósfera sobre Conceción, considerando que la temeratura disminuye linealmente con la altura hasta el nivel de la trooausa, en la forma T T o - Γ z, donde T o es la temeratura en z o 0 y Γ 9.8 ºC/km, se llama gradiente adiabático seco de temeratura. Sugerencia: considerar la atmósfera formada or aire seco como un gas ideal. R: g Γ R d Γz ( z) o T, con R d la constante esecífica del aire seco. o 98

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