Flotamiento de esferas

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1 Flotamiento e esfeas M. C. José Antonio Meina Henánez Depatamento e Matemáticas y Física Univesia Autónoma e Aguascalientes Aquímies fue un científico giego nacio el año 287 a.c. en Siacusa (Sicilia), asesinao en el mismo luga en el año 22 a.c. po un solao omano. Sobe su muete se naa que al enta el ejécito enemigo a la ciua one Aquímies esiía, lo encontaon concentao en un poblema geomético. Al pisa uno e los solaos una figua ibujaa en el piso, Aquímies le inicó que no la estuyea. Esta actitu iitó y/o atemoizó al solao, que le clavó su espaa, causano la muete a uno e los más ganes genios que ha ao la humania. ARQUIMIDES a.c. Aquímies fomuló muchos teoemas geométicos, apotano ieas básicas paa el cálculo e áeas, que posteiomente fueon fomalizaas a tavés e lo que ahoa conocemos como cálculo integal. Fue auto e muchos inventos útiles, como el tonillo o bomba e Aquímies, que se utiliza paa subi el agua e lugaes bajos a pates más altas. También escubió el pincipio e la palanca. Se naa que algunos e sus inventos se utilizaon paa efene su ciua conta los solaos enemigos, sopeniénolos con sus noveosas amas, como los espejos concentaoes e luz sola, que ean iigios conta los bacos enemigos paa quemalos y cega a los tipulantes. 4

2 Revista el Depto. Mat. y Fís. UAA 5 y P b P y Imagen e esfea pacialmente sumegia Colocación el punto P Figua : Planteamiento Oto e sus escubimientos en Física es el llamao pincipio e Aquímies, que establece: Al sumegise un cuepo en un ecipiente lleno e un líquio, icho cuepo ecibiá un empuje hacia aiba igual al peso el líquio que esaloja icho cuepo el ecipiente. Utilizano este pincipio físico, así como el teoema e Pitágoas, el cálculo integal y las técnicas e análisis numéico, se puee esolve el siguiente poblema: PROBLEMA: Suponga que al intouci una esfea e aio en un líquio, quea pacialmente sumegia. Encuente la istancia a la que la esfea quea sumegia si su ensia e masa es ρ. SOLUCION. A fin e aclaa las ieas involucaas consiee la Figua. La esfea tiene aio y la cantia epesenta la istancia a la que se encuenta sumegia la esfea. Como pime paso en la solución el poblema, se esea calcula el volumen e la pate sumegia e la esfea. Paa tal fin se consiea un punto P contenio en un cículo máximo e la esfea. Dicho cículo máximo estaá contenio en el plano que es pepenicula a la línea e visión cuano se mia la figua e fente. En otas palabas, cuano se intepeta la figua como tiimensional, la línea que une el cento e la esfea con el punto P ebe se pepenicula a la iección en que apunta un lápiz que se pae sobe el ibujo. Consiee ahoa el seguno panel en la Figua. El punto supeio es

3 Revista el Depto. Mat. y Fís. UAA 6 el cento e la esfea, po lo que el segmento que une los os puntos tiene magnitu. Los os segmentos e ecta que apaecen en la pate eecha epesenten la semi-altua e la esfea, po lo que su suma es. La altua y mie qué tan alto se encuenta colocao el punto P especto a la pate más baja e la esfea. El eje y se consieaá que está en la iección el segmento. Si se consiea un cículo cuyo plano es pepenicula a icho eje, ubicao a la altua y, su áea estaá aa po A(y) = πb 2 one b es la base el tiángulo que apaece en la Figua. Obseve que la base b es función el aio e la esfea y e la altua y el punto P. La base b se puee calcula usano el teoema e Pitágoas y está aa po b(,y) = [ 2 ( y) 2 ] /2. Si se integan toas las áeas A(y) ese y = hasta y = se obtiene el volumen V e la pate sumegia e la esfea V = π[ 2 (y ) 2 ]y = π 2 (3 )/3. Así que la masa el agua esplazaa es M a = ρ agua V = π 2 (3 )/3 (en gamos) pues la ensia el agua es ρ agua = g/cm 3. El peso el agua esalojaa seá P a = gm a. Po oto lao, la masa M e e la esfea es M e = ρv = ρ(4/3)π 3, mientas que le peso e la esfea seá P e = gm e. Ahoa bien, ya que po hipótesis la esfea pemanece flotano, ello significa que la esfea es lo suficientemente liviana como paa que el peso el agua que esaloja equilibe su peso gavitacional. O sea que P a = P e, po lo que M a = M e y ρ(4/3)π 3 = π 2 (3 )/3. a Esto inica que ebe esolvese la ecuación 4ρ 3 = 2 (3 ), equivalente ρ 3 =. ()

4 Revista el Depto. Mat. y Fís. UAA 7 Obsévese que la pofunia epene e los valoes que asuman los paámetos ρ y ; es eci, es función e ρ y. La ecuación () es cúbica y no existe una fómula simple que expese en función e ρ y. Se iviiá el estuio e la ecuación () en os casos. CASO I. ρ o sean muy pequeños, en cuyo caso se obtiene que 2 ( 3) =, lo que inica que = o = 3. La solución = 3 no es conguente con la hipótesis e que la esfea flota, po lo que la única solución posible es =. El esultao = inica que la esfea pemanece completamente en la supeficie, lo cual puee ebese a os situaciones: i) El cuepo es muy liviano (ρ = ) po lo que el peso el agua que esplaza es mucho mayo al peso el cuepo. Esto se obseva cuano se intouce un globo inflao en un ecipiente con agua o una bolsa sellaa llena e aie. ii) El cuepo es muy pequeño ( = ). Aunque su ensia e masa puee no se especiable (como en el caso e los zancuos patinaoes) sus imensiones son tan pequeñas que el peso el cuepo no es suficiente paa vence la llamaa tensión supeficial el liquio sobe el que se encuenta. (La tensión supeficial es la esponsable e que en la supeficie e toos los líquios se fome una especie e pequeña membana, po la que caminan algunos pequeños insectos sin hunise). CASO II. Ni ρ ni son especiables, po lo que ebe utilizase alguna técnica paa esolve el moo más geneal posible la ecuación (). En el siglo XIV el matemático italiano Caano obtuvo un métoo paa esolve ecuaciones cúbicas polinomiales cuya fomula geneal es laga y engoosa, necesitánose en ocasiones obtene aíces cúbicas e númeos complejos. Ota foma e obtene las soluciones e (), conocios ρ y, es utilizano métoos numéicos paa la búsquea e aíces e ecuaciones en una vaiable. La Figua 2(a) muesta cómo se compota el polinomio p() = ρ 3 paa valoes e ρ =.6g/cm 3 y =.cm. En este caso, la aíz e p() que es conguente con el poblema es =.22cm. La Figua 2(b) fue obtenia con MATLAB y muesta las aíces el polinomio P(,,ρ) = ρ 3 cuano se le asignan istintos valoes a los paámetos y ρ. Como es e espease, paa valoes e o ρ muy pequeños, la istancia a la que el cuepo se sumege es muy pequeña, pues se cae en el caso I ya analizao. Paa valoes e y ρ significativos, la istancia aumenta e manea semi-lineal confome cecen ichos paámetos.

5 Revista el Depto. Mat. y Fís. UAA 8 4 Gáfica e polinomio cubico Valoes e la pofunia en funcion e p y pol.2 La aiz es apox..22cm (a) (b) p Figua 2: (a) Compotamiento el polinomio p() = ρ 3 paa valoes e ρ =.6g/cm 3 y =.cm. (b) Raíces el polinomio P(,,ρ) = ρ 3 cuano se le asignan istintos valoes a los paámetos y ρ. CONCLUSIÓN: La ecuación () efine una supeficie en el espacio que elaciona los valoes e, p y. Este ejemplo muesta cómo los conceptos físicos extaíos e la ealia se entelazan con poblemas que apaentemente son completamente matemáticos. Este puente ente ealia y abstacción matemática suele pesentase con mucha fecuencia en la investigación pua y aplicaa. Las técnicas numéicas moenas apoyaas fuetemente po la computaoa pemiten llega ápiamente a conclusiones meiante heamientas visuales, como las gáficas ya mostaas. En los tiempos e Aquímies no existían computaoas que esolviean ecuaciones como (). Obtene un solo valo paa a pati el pa (ρ,) implicaba inveti una gan cantia e tiempo en cálculos. Taza la última gáfica equeiía e semanas o meses e esfuezo. Así que no es insensato eci que si Aquímies y otos genios e la antigüea viviean en nuestos ías, es posible que, valiénose e las técnicas moenas, hubiean seguio un camino simila al ya mostao paa esolve en unas pocas hoas el poblema planteao. Aquímies, con su vocación innata, y tomano el poblema anteio como eviencia, seguamente amaía a las matemáticas y a la física; peo también, como muchos e nosotos, amaía la computaoa.

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