1. División de polinomios por monomios

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1 1. División de polinomios por monomios El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: como coeficiente, el cociente de los coeficientes; como parte literal, las letras que aparecen en el dividendo, cada una con exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo y del divisor. El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada término del polinomio por el monomio. no es un un polinomio

2 2.1 División entera de polinomios Dados los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x) 0, didivir D(x) entre d(x) es encontrar dos polinomios cociente C(x) y resto R(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + R(x) que se suele esquematizar de la siguiente manera: D(x) R(x) d(x) C(x) Si el resto R(x)= 0 la división se llama exacta, y se dice que el polinomio D(x) es divisible por d(x) o múltiplo de d(x); o que d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x).

3 2.2 Ejemplo de división entera La división entera de polinomios se realiza del mismo modo que la división entera de números naturales. Primer paso Segundo paso Tercer paso 3x 5 + 8x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x (3x 5 + 2x 4 x 4 4x 3 ) 3 6x 4 + 4x 3 11x 2 3x + 3x x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x (3x 5 + 2x 4 x 4 4x 3 + 6x ) 4x 3 11x 2 3x + 3 2x 6(6x + 4x 3 8x 2 ) 3x 2 3x + 3x 5 + 8x x 2 3x + 6 3x 2 +2x x x 2 1 (3x 5 + 2x 4 4x 3 ) 6x 4 4x 3 11x 2 3x + 6 (6x 4 4x 3 11x 2 ) 3x 2 3x + ( 3x 2 6 2x + x + 4) 2 cociente resto Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado

4 3. División por x-a. Regla de Ruffini Para dividir un polinomio P = 2x 3 6x 2 4x + 12 entre x 2 se puede usar el siguiente esquema llamado Regla de Ruffini Coeficientes de P a 2 Se opera: se suma r se multiplica por a Hemos obtenido que: P = 2x 3 7x 2 4x + 12 = (2x 2 2x 8) (x 2) + ( 4)

5 4.1 Teorema del resto P(x) Al dividir P(x) entre x a obtenemos: R x a C(x) Es decir: P(x) = (x a) C(x) + R Luego P(a) = (a a) C(a) + R = R El resto de dividir un polinomio P(x) por (x a) es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a; es decir R = P(a) El resto de dividir P(x) = 2x 3 7x 2 4x + 12 entre x 2 se puede obtener así: P(2) = = 4

6 4.2 Teorema del factor P(x) Si al dividir P(x) entre x a obtenemos: 0 x a C(x) Entonces: P(x) = (x a) C(x) + 0 = (x a) C(x) que indica que x a es un factor o divisor del polinomio P(x) Un polinomio P(x) tiene como factor x a si el valor numérico del polinomio para x = a es 0 Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero. a es raíz de P(x) P(a) = 0 Teorema fundamental del álgebra. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales.

7 5. Raíces de un polinomio. Número de raíces Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) en x=a es cero. O lo que es lo mismo, si al dividir el polinomio P(x) entre x-a la división es exacta, o sea, su resto es cero. a es raíz de P(x) P(a) = 0 Resto de (P(x):(x-a)) = 0 Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Este enunciado es conocido como el Teorema fundamental del álgebra.

8 6. Cálculo de las raíces enteras de un polinomio Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, éstas son divisores del término independiente. Sea por ejemplo P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d Si r es una raíz (entera) de P(x) entonces ar 3 +br 2 +cr+d = 0 Entonces: r(ar 2 +br+c) = d ar br c r 2 d De aquí que se deduce que r divide a d ya que ar 2 +br+c es un número entero. Por tanto las raíces enteras de un polinomio han de ser buscadas entre los divisores del término independiente.

9 7.1 Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios, no constantes, tales que su producto sea el polinomio dado. Si el polinomio P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a o ;tiene n raíces reales r 1, r 2,..., r n se demuestra que la descomposición factorial es: P(x) = a n (x r 1 ) (x r 2 )... (x r n ) Factorizar el polinomio P = x 4 + 3x 3 x 2 3x Se iguala el polinomio a cero: x 4 + 3x 3 x 2 3x = 0 Se saca factor común x: x(x 3 + 3x 2 x 3) = 0 Una raíz es x = 0 Se calculan las raíces de x 3 + 3x 2 x 3 = 0 Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3 Obtenemos que 1, 1 y 3 son raíces de x 3 + 3x 2 x 3 = 0. Por tanto las raíces de P son: 0, 1, 1 y 3 La factorización de P es: (x 0)(x 1)(x + 1) (x + 4) = x(x 1)(x + 1)(x + 4)

10 7.2 Interpretación geométrica de la factorización de polinomios

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