Operaciones con polinomios

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1 5 Operaciones con polinomios 5.1 Igualdades notables El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (a + b) a + ab + b El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (a b) a ab + b Una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo: (a + b)(a b) a b EJERCICIOS DE IGUALDADES NOTABLES 1 Desarrolla: a) (x + 5) 9x + 0x + 5 a) (x + 5) b) (x 7) 4x 8x + 49 b) (x 7) c) (x + y)(x y) 9x y c) (x + y)(x y) Opera y simplifica: (4x + 9) (4x 9)(4x + 9) (4x + 9) (4x 9)(4x + 9) 16x + 7x + 81 (16x 81) 16x + 7x x x Factorización Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de factores irreducibles. EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN Factoriza: a) 49x 4x + 9 (7x ) a) 49x 4x + 9 b) 5x + 40x + 16x x (5x + 40x + 16) x (5x + 4) b) 5x + 40x + 16x c) 5x 15x 5x (x ) c) 5x 15x e) x 7 e) x 7 _ x + 7 i_ x 7 i 4 Factoriza y simplifica: 1x + 8x a) x + 7x x + 10x + 5 b) x 5 x 6x + 9x c) x 9x a) b) c) 1x + 8x x + 7x x + 10x + 5 x 5 4x ( x + 7) x( x + 7) 4x ( x + 5) ( x + 5)( x 5) x 5 x 5 + x 6x + 9x x 9x x( x 6x + 9) x( x 9) Yx ( x ) x Yx ( x + )( x ) x + 8 Programa de ampliación. o ESO 05_Mates_ESO_CA.indd 8 15/0/11 9:4

2 EJERCICIO DE LA REGLA DE RUFFINI 5 Divide por Ruffini: P(x) x 4 5x + 6x + entre Q(x) x Cociente: C(x ) x x + 4x 6; resto: R 0 5. Teoremas del resto y del factor Teorema del resto El resto que se obtiene al dividir el polinomio P(x) entre el binomio x a es el valor numérico del polinomio para x a R P(a) Teorema del factor El polinomio P(x) es divisible entre el binomio x a si x a es una raíz del polinomio P(x); es decir P (a) 0 PROBLEMAS DEL TEOREMA DEL RESTO Y DEL FACTOR 6 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 17 (x 4 + kx x + 7k) : (x + ) Entérate Al dividir el polinomio P (x) x 4 + kx x + 7k entre x +, el resto es 17 Pregunta: Cuánto debe valer k? Manos a la obra Por el teorema del resto se ha de verificar que P ( ) 17 ( ) 4 + k ( ) ( ) + 7k k k 17 0k 70 0k 70 k 7 k 7 Solución k 7 7 Halla el valor de k para que el polinomio x 4 5x + kx 1 sea divisible entre el binomio x Entérate El polinomio P (x) x 4 5x + kx 1 debe ser divisible entre x, es decir, el resto debe ser 0 Pregunta: Cuánto debe valer k? Manos a la obra Por el teorema del factor se ha de verificar que P () k k 1 0 k 5 k 5 Solución k 5 5. Operaciones con polinomios 9 05_Mates_ESO_CA.indd 9 15/0/11 9:4

3 5. Operaciones con polinomios PASO A PASO 1 Dados los polinomios: P (x) 8x 5x + 1, Q(x) 4x x + calcula: P (x) + Q(x), P (x) Q(x), P (x) Q(x) 6 Divide D(x) 8x 5 6x 10 entre d(x) x Calcula el valor numérico del polinomio: P(x) x 5x + 7 para x, x 0, x 1 Desarrolla: (x 7) Para escribir el paréntesis del tamaño de la fracción, en elige Paréntesis. 8 Representa la parábola y x 5x + 4, y observando la gráfica calcula las raíces del polinomio P (x) x 5x + 4 En elige Factoriza: 5x + 40x + 16x 4 Simplifica: x 6x + 9x x 9x 5 Opera y simplifica: (4x + 9) (4x 9)(4x + 9) Plantea los siguientes problemas con los tres apartados (Entérate, Manos a la obra y Solución) y resuélvelos con ayuda de Wiris: 40 Programa de ampliación. o ESO 05_Mates_ESO_CA.indd 40 15/0/11 9:4

4 Windows/Linux 9 Halla el valor de k para que el resto de la división (x 4 + kx x + 7k ) : (x + ) sea Expresa el área del trapecio de la siguiente figura: x 1 x x + 10 Halla el valor de k para que el polinomio x 4 5x + kx 1 sea divisible entre x ASÍ FUNCIONA Sumar, restar y multiplicar polinomios Se introducen los polinomios y se escribe la operación a efectuar. Desarrollar la potencia de un polinomio Se escribe directamente la potencia. Factorizar un polinomio Se utiliza la función: factorizar(polinomio) Dividir polinomios En se elige División euclidiana y se escribe el dividendo y el divisor. Calcular el valor numérico de un polinomio Se escribe el polinomio y su valor para el número. Por ejemplo: P (x) x 5x + 17; P () Hallar las raíces de un polinomio gráficamente En se elige. Para ver las coordenadas de los puntos de corte con el eje X se selecciona Valor y se acerca el puntero del ratón a dichos puntos. Para cambiar el color y el grosor de la gráfica se escribe entre llaves: {curva {color rojo, anchura_línea } Cuando se introduce un polinomio en Wiris para operar, es aconsejable escribir al final punto y coma (;) para que Wiris no repita el polinomio. Por ejemplo: P(x) x 5x + 7; 5. Operaciones con polinomios 41 05_Mates_ESO_CA.indd 41 15/0/11 9:4

5 PRACTICA CON WIRIS Desarrolla: 1 x (x 1) 1 (x + 7) _ x + 7 i_ x 7 i Factoriza: 14 x 0x + 75x 15 x 11 Factoriza y simplifica: 16 x 9 17 x x x 4x x + 4x + 4x Dados los polinomios: P (x) 6x + 5x, Q(x) 7x x +, calcula: 18 P (x) + Q(x) 19 P (x) Q(x) 0 P (x) Q(x) 1 Divide 5x 5 1x 4 + 6x 4 entre x x 1 y haz la comprobación. C (x) R (x) Divide 7x 1x + 1 entre x C (x) R (x) Halla gráficamente las raíces del polinomio P (x) x 4 4 Las raíces son: Plantea los siguientes problemas con los tres apartados (Entérate, Manos a la obra y Solución) y resuélvelos con ayuda de Wiris: 4 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir x 5x + 7 entre x 5 Halla un polinomio sabiendo que al dividirlo entre x + x da de cociente x 5x + 1, y de resto, x 4 6 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P (x) x 4 x 4x + 5x es divisible entre x 7 Halla el valor de k para que el resto de la división (x x + kx 5) : (x + ) sea 7 8 Halla el valor de k para que el polinomio x 1x + k sea divisible entre x 4 Programa de ampliación. o ESO 05_Mates_ESO_CA.indd 4 15/0/11 9:4

6 Ejercicios y problemas resueltos PRACTICA CON BOLÍGRAFO Y PAPEL Desarrolla: 1 x (x 1) 1 (x + 7) _ x + 7 i_ x 7 i Factoriza: 14 x 0x + 75x 15 x 11 Factoriza y simplifica: 16 x x 9 x 17 x 4x x + 4x + 4x Dados los polinomios: P (x) 6x + 5x, Q(x) 7x x +, calcula: 18 P (x) + Q(x) 19 P (x) Q(x) 0 P (x) Q(x) 5. Operaciones con polinomios 4 05_Mates_ESO_CA.indd 4 15/0/11 9:4

7 Ejercicios y problemas resueltos 1 Divide 5x 5 1x 4 + 6x 4 entre x x 1 y haz la comprobación. Divide 7x 1x + 1 entre x Representa la función polinómica P (x) x 4 haciendo una tabla de valores y halla sus raíces viendo la gráfica: x y Y X 4 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir x 5x + 7 entre x 44 Programa de ampliación. o ESO 05_Mates_ESO_CA.indd 44 15/0/11 9:4

8 5 Halla un polinomio sabiendo que al dividirlo entre x + x da de cociente x 5x + 1, y de resto, x 4 6 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P (x) x 4 x 4x + 5x es divisible entre x 7 Halla el valor de k para que el resto de la división (x x + kx 5) : (x + ) sea 7 8 Halla el valor de k para que el polinomio x 1x + k sea divisible entre x 5. Operaciones con polinomios 45 05_Mates_ESO_CA.indd 45 15/0/11 9:4