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1 Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número infinito de términos. Por ejemplo: 3 x 3 + 7x 4 4x 5 = 3 + 0x + 0x 2 x 3 + 7x 4 4x 5 Al polinomio del segundo miembro se lo llama completo, porque siendo de grado 5, se escriben todos los términos de grado igual o menor que 5, colocando coeficiente 0 en los términos que faltan. 2. Operaciones con polinomios 2.1. Adición La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: M(x) = 3 5x + 2x x B(x) = 3 x + 7x 4 4x 5 2 M(x) + B(x) = (3 + 3) + ( 5 1)x + (2 + 0)x 2 + (0 + 7)x 4 + ( 1 2 4)x5 M(x) + B(x) = 6 6x + 2x 2 + 7x x Sustracción Dados los polinomios P(x) y S(x), efectuar la sustracción (resta o diferencia) entre P y S equivale a sumar a P el opuesto de S. Por ejemplo: Si P(x) = x + 2x 3x 2 y 4 2 S(x) = 3x 5x 3, Entonces el opuesto de 4 2 S(x) = 3x + 5x + 3 Por lo tanto: P(x) S(x) = P(x) + ( S(x)) = (x + 2x 3x 2) + ( 3x + 5x + 3) 2.3. Producto P(x) S(x) = x x 3x + 5x + 1 El coeficiente del producto de polinomios es el producto de los coeficientes de los diferentes factores. El grado del monomio producto es la suma de los grados de los factores, si estos no son nulos. Si alguno de los factores es el polinomio nulo, el producto es el polinomio nulo. Ejemplo 1. Si A(x) = 6x 3 y B(x) = 4x 5 A(x) B(x) = 6x 3 4x 5 = 6 4 x 3 x 5 = 24x 8 Ejemplo 2. Si A(x) = 2x 3 x + 1 y B(x) = 3x 2 x + 4,

2 A(x) B(x) = ( 2x 3 x + 1) ( 3x 2 x + 4 ) = = 2x 3 ( 3x 2 x + 4 ) x( 3x 2 x + 4 ) + 1( 3x 2 x + 4 ) = = x 2x + 8x 3x + x 4x + 3x x + 4 = = x 2x + 5x + 4x 5x División En el algoritmo de la división, para determinar los polinomios C (cociente) y R (resto): 1.Se ordenan, según las potencias decrecientes de la indeterminada (x), el dividendo y el divisor, completando además el dividendo. 2.Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. 3.Multiplicamos el primer término del cociente por todo el divisor. 4.Se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. 5.Reiteramos ellos puntos 2, 3 y 4 del procedimiento hasta obtener el polinomio resto, de grado menor que el divisor. Ejemplificamos con los polinomios 3x 4 2x 3 4x 4 : x 3 2x 2 1º: Ambos polinomios están ordenados, pero hay que completar el dividendo: x + 2x + 0x 4x 4 2º: 3x 3º: 3x 4 + 6x 3 3x 4º: 3x 4 + 6x 3 3x + 8x 3 + 0x 2 5º: 3x 4 + 6x 3 3x x 3 + 0x 2

3 6º: 3x 4 + 6x 3 3x x 3 + 0x 2 8x 3 16x 2 16x 2 4x 4 Y como el grado de (16x 2 4x 4) es 2 y el grado del divisor es 3, entonces quedan determinados el polinomio cociente C(x) = 3x + 8 y el polinomio resto R(x) = 16x 2 4x 4 que verifican: 4 3 3x + 2x 4x 4 = (x 3 2x 2 ) (3x + 8) + (16x 2 4x 4) 2.5. División por Ruffini Dividendo = Divisor Cociente + Resto Cuando tenemos que dividir un polinomio P(x) por un polinomio mónico de grado uno, conviene utilizar un algoritmo llamado Regla de Ruffini. Éste es un procedimiento que permite hallar el cociente y el resto sin efectuar la secuencia que describimos anteriormente. Recordemos que únicamente puede usarse la regla de Ruffini si el divisor es un polinomio de la forma x ± a. Ejemplificaremos dicho procedimiento efectuando la división entre A(x) = 3x 3 + 7x 2 + 6x 1 y B(x) = x + 2 La disposición práctica requiere que en el primer renglón se escriban los coeficientes del dividendo ordenado y completo hasta el término independiente inclusive. En el ángulo se escribe el opuesto de a que figura en el divisor (su raíz ) El coeficiente principal del dividendo (3) se copia abajo. Se multiplica por 2 y el resultado ( 6) se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo (7). Se suma 7 y 6 y el resultado (1) se escribe abajo. El 1 obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se multiplica por 2 y el resultado ( 2) se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo (6). Se suman 2 y 6 y el resultado (4) se escribe abajo.

4 El 4 obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se multiplica por 2 y el resultado ( 8) se escribe debajo del último coeficiente del dividendo ( 1). Se suman 1 y 8, y el resultado ( 9) es el resto. Se escribe abajo. El resto ( 9) siempre es una constante. Los valores 3, 1 y 4 son los coeficientes del polinomio cociente ordenado y completo, cuyo grado es una unidad menor que el grado del dividendo. Entonces C(x) = 3x 2 + 1x + 4. Según el algoritmo de la división podemos escribir: 2.6. Divisibilidad de polinomios 3x 3 + 7x 2 + 6x 1 = (x + 2) (3x 2 + 1x + 4) 9. Si al realizar la división entera entre A(x) y B(x) el resto es nulo, decimos que A(x) es divisible por B(x), o que B(x) divide a A(x). Para averiguar si A(x) es divisible por B(x), efectuamos la división entre A(x) y B(x) y comprobamos si el resto es o no es 0 (polinomio nulo). Por ejemplo, si queremos ver si A(x) = x 2 5x + 6 es divisible por B(x) = x 2, podemos dividir aplicando la regla de Ruffini: Como R(x) = 0, entonces A(x) es divisible por B(x). En otro caso: Para analizar si A(x) = x 5 x 3 + x 2 2x + 1 es divisible por B(x) = x 2 + 1, usamos la división normal ya que no puede aplicarse la regla de Ruffini. x 5 + 0x 4 x 3 + x 2 2x + 1 x x 5 x 3 x 3 2x + 1 2x 3 + x 2 2x + 2x 3 2x x x Como el resto es 0, entonces, A(x) es divisible por B(x). Observemos que en el algoritmo, en lugar de restar el polinomio obtenido en cada paso, se sumó su opuesto.

5 2.7. Teorema del resto Hay, además de los vistos, otros modos de averiguar la divisibilidad de un polinomio por otro de la forma x ± a (siendo a un número real cualquiera). Para ello debemos definir, en primer término, el valor numérico de un polinomio: Dado un polinomio P(x) llamamos valor numérico de P(x) para x = a, al número que se obtiene reemplazando x por a y efectuando los cálculos. Por ejemplo, para el polinomio P(x) = x 2 5x + 6, P(1) = = 2 P(2) = = 0 P( 1) = ( 1) 2 5 ( 1) + 6 = 12 Decimos que x = a es raíz sólo cuando un polinomio P(x) P(a) = 0. En el ejemplo anterior sólo x = 2 es una raíz (Da como resultado 0). Cuando queramos investigar si un polinomio P(x) es divisible por otro de la forma x ± a, bastará hallar P(a). Si P(a) = 0, entonces P(x) es divisible por x a. Ejemplo: Averigüemos si A(x) = x 2 5x + 6 es divisible por B(x) = x 2, utilizando el teorema del resto: En x 2 hay que despejar la x, por ello hay que analizar en 2 y no en 2. A(2) = = 0 A es divisible por B. 3. Factorización de polinomios Ejemplifiquemos, factorizando al polinomio: P(x) = 4 3 x 4x + 2 x + 8x 6. En primer lugar buscamos divisores del término independiente, (p): {1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6} Y posteriormente vamos probando con todas sus posibles raíces Vemos que con 1, el último término es 0. Esto es lo que debemos conseguir. Por tanto, P(x) es divisible por x 1. (no hay que confundir soluciones con raíces). El polinomio P queda, en principio, factorizado como: P(x) = ( x 3x 2x + 6) (x 1) 3 2

6 Busquemos ahora las raíces de Q(x) = 3 2 x 3x 2x + 6. Hasta no llegar a 3, vemos que el último término no se anula Entonces Q es divisible por x 3. También P es divisible por x 2 porque si 3 es raíz de Q también es raíz de P. El polinomio P queda expresado así: P(x) = x 2 2 x 3 x 1 Q x En otro caso, al encontrarnos con un polinomio con números fraccionarios como P(x) = x x + x + 1, si al polinomio P lo multiplicamos por 2 obtenemos el polinomio F(x) = x 5x + x + 2. Verificad que las raíces racionales de F(x) son las mismas que las de P(x), a pesar de que los polinomios son diferentes. Otra de las técnicas para factorizar es el Factor Común. Si, en un polinomio, la variable x figura en todos los términos, es conveniente sacar factor común. También puede extraerse un número que es factor en todos los coeficientes. Ejemplos: P(x) = 3x 2 18x = 3x (x 6) F(x) = x 6x + 4x = 2x (x 3x + 2) Siempre podemos controlar que el producto que obtuvimos es correcto aplicando la propiedad distributiva.

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