ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio 7 - Monomios semejntes 7 - olinomios 7 - Funciones polinómics 8 - Iguldd de polinomios 8 - Vlor numérico de un polinomio - Operciones con polinomios - um - roducto de un número rel por un polinomio - Rest 00 - roducto de polinomios 00 - Algunos productos especiles 0 - División de polinomios 0 7- Regl de Ruffini 0 - Teorem del resto 0 7- Concepto de ríz de un polinomio 0 8- Divisibilidd de polinomios 0 - Fctorizción de polinomios 0 - Fctor común 0 - Diferenci de cudrdos 0 - Trinomio cudrdo perfecto 0 0- Fctorizción de un polinomio por medio de sus ríces 0 0- Cálculo de ls ríces de un polinomio 07 - Epresiones lgebrics frccionris 08 - Funciones rcionles 08 - implificción de frcciones lgebrics 08 - Operciones con frcciones lgebrics 0 - um y rest de frcciones 0 - roducto de frcciones lgebrics 0 - División de frcciones lgebrics 0 - Ecuciones que involucrn frcciones lgebrics 0 ACTIVIDADE DE ARENDIZAJE Nº

2 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ UNIDAD olinomios Introducción Con el álgebr se ps del número l símbolo, de lo prticulr lo generl L grn epresividd del lenguje lgebrico fcilit l obtención de relciones, propieddes y l resolución de problems r trbjr eficzmente en mtemátic se debe operr convenientemente con epresiones lgebrics de form tl que se puedn trnsformr en otrs epresiones equivlentes más fáciles de mnejr Además, en Ingenierí, l relizr el modeldo mtemático de un problem, es frecuente obtener un polinomio r encontrr l solución de l situción plnted es necesrio conocer ls ríces de dicho polinomio - Epresiones lgebrics e llm epresión lgebric culquier combinción de números representdos por letrs o por letrs y cifrs, vinculdos entre sí por ls operciones de sum, rest, multiplicción, división, potencición y rdicción on ejemplos de epresiones lgebrics: y z y y y y y y z En este curso se considerrán epresiones lgebrics en ls que intervengn solmente números reles - Clsificción de ls epresiones lgebrics Epresiones lgebrics Rcionles No hy letrs fectds por el signo rdicl Irrcionles Hy por lo menos un letr fectd por el signo rdicl Frccionris Hy por lo menos un letr en el divisor Enters No hy letrs en el divisor y yz 7 Curso de Ingreso

3 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios - Epresiones lgebrics enters e estudirán hor epresiones lgebrics enters - Monomios Los monomios son epresiones lgebrics de un solo término y En el monomio y : el número recibe el nombre de coeficiente, y constituye l prte literl - Grdo de un monomio e llm grdo de un monomio l sum de los eponentes de ls letrs que precen en él El monomio y z es de grdo 7 - Monomios semejntes Dos o más monomios son semejntes si tienen l mism prte literl b c y c son monomios semejntes b Los monomios semejntes pueden sumrse o restrse dndo por resultdo otro monomio semejnte los nteriores b c b c b c b - olinomios c Un polinomio es un sum lgebric de monomios de distinto grdo y Observción Durnte el desrrollo de este tem nos referiremos polinomios donde l prte literl está constituid solmente por un vrible elevd culquier eponente nturl Curso de Ingreso 7

4 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Los polinomios que se estudirán en est Unidd son epresiones lgebrics de l form donde: n n, K, 0 n n n n K, son números reles llmdos coeficientes 0 n 0 es el coeficiente principl es el término independiente es l vrible, tmbién conocid con el nombre de indetermind Los eponentes n, n, K,,, 0, son números nturles n es el grdo del polinomio y se indic grdo n Ejemplos: 7 es un polinomio de grdo, que tiene coeficiente principl y el término independiente es 0 G es un polinomio de grdo cero 0 se llm polinomio nulo y no tiene grdo - Funciones polinómics n n Cd polinomio n n K 0 tiene socid un función polinómic f con dominio y codominio en R, definid por l fórmul n n n n f K En est Unidd se hblrá indistintmente de polinomios o de funciones polinómics En l Unidd se nlizron en prticulr ls funciones polinómics de grdo uno o funciones lineles y ls funciones polinómics de grdo dos o funciones cudrátics - Iguldd de polinomios Los polinomios n n n n K y m m m bm K b b b b son igules si: tienen el mismo grdo, es decir n m b, n b m,, 0 b0 n m Curso de Ingreso

5 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios - Vlor numérico de un polinomio e llm vlor numérico de un polinomio en k, l vlor que tom el polinomio cundo se reemplz por k n n i n n K 0, entonces el vlor de en k es n n n k n k k k K k e El vlor de en es - Operciones con polinomios - um 0 L sum de dos polinomios y es el polinomio que se obtiene sumndo los monomios semejntes que se encuentrn en y Ddos y clculr r sumr polinomios result conveniente ordenrlos según potencis decrecientes de y completr los términos que fltn escribiendo dichos términos con coeficiente cero El grdo de es - roducto de un número rel por un polinomio n n i n n K 0 y k es un número rel, entonces: Curso de Ingreso n n k k n k n K k k k 0 i,

6 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Curso de Ingreso 00 El grdo de es - Rest L rest de dos polinomios y, es el polinomio Ddos y clculr r restr polinomios result conveniente ordenrlos según potencis decrecientes de y completr los términos que fltn escribiendo dichos términos con coeficiente cero 0 El grdo de es - roducto de polinomios r relizr el producto de dos polinomios es necesrio plicr l propiedd distributiv de l multiplicción con respecto l sum y ls propieddes del producto y de l potencición Ejemplo : 0 El grdo de es Ejemplo : R R El grdo de R es

7 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios Curso de Ingreso 0 Observción Ddos dos polinomios y, se verific que: grdo grdo grdo - Algunos productos especiles Los productos que se muestrn en el siguiente cudro suelen presentrse con frecuenci en cálculos lgebricos roducto Nombre Diferenci de cudrdos Cudrdo de un binomio Trinomio cudrdo perfecto Trinomio cudrdo perfecto Cubo de un binomio Cutrinomio cubo perfecto Cutrinomio cubo perfecto - División de polinomios Cundo se reliz un división entre números se procede del siguiente modo: e verific que

8 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ dividendo resto divisor cociente Dividendo divisor cociente resto L división de polinomios se efectú emplendo el mismo procedimiento que se us pr dividir los números reles e recuerd que es necesrio ordenr los polinomios según ls potencis decrecientes de y completr los términos que fltn escribiendo dichos términos con coeficiente nulo Ddos 7 y, el polinomio cociente entre y es el polinomio C que se obtiene siguiendo el procedimiento que se muestr continución e divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor : e obtiene el primer término del cociente C 7 El término de C se multiplic por el divisor El producto se rest l dividendo o se cmbi de signo y se sum 7 Con como nuevo dividendo se repiten los psos y Así se obtiene otro término del cociente : 7 7 El proceso continú hst que no se puedn obtener más términos del cociente Cociente: C Resto: R Curso de Ingreso

9 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios Es importnte tener en cuent que: puede efecturse siempre que grdo L división : grdo C R El grdo del resto debe ser menor que el grdo del divisor, o bien R 0 R grdo grdo < grdo C grdo grdo 7- Regl de Ruffini Cundo el divisor es un polinomio de l form, l división puede relizrse de un modo más sencillo, emplendo un lgoritmo conocido como Regl de Ruffini Clculr :, siendo 7 y Obsérvese que el polinomio divisor puede escribirse tmbién como, doptndo l form con r relizr l división se emple un cudro En el primer renglón del cudro se escriben los coeficientes del polinomio dividendo, que debe estr ordendo y completo En l primer column sólo se escribe el vlor de, que en este cso es Los vlores que figurn en el segundo y tercer renglón se obtienen relizndo los cálculos uilires que se indicn en el cudro que figur l derech Curso de Ingreso 0

10 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ El último número que figur en el tercer renglón es el resto R Los números nteriores son los coeficientes del polinomio cociente C, cuyo grdo es un unidd menor que el grdo del polinomio dividendo En este cso el grdo del resto es igul cero Teorem del resto i se divide un polinomio por otro de l form, se verific que: i C R, result: C R 0 C R R El resto R que result de dividir un polinomio por otro de l form, es igul l vlor numérico de en, es decir R r clculr el resto de l división entre 7 y, bst con determinr el vlor numérico de en El resto es R 7 7- Concepto de ríz de un polinomio Un vlor de es ríz de, si el polinomio se nul pr ese vlor es ríz de si y sólo si 0 es ríz de porque 0 8- Divisibilidd de polinomios i l relizr l división entre dos polinomios y, el resto es nulo, se dice que es divisible por, o que divide, o que es múltiplo de En ese cso puede epresrse como: 0 Curso de Ingreso

11 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios C Ejercicio: Comprobr que es divisible por Observción Teniendo en cuent el Teorem del resto y los conceptos de divisibilidd y ríz de un polinomio se puede firmr que ls condiciones que se enuncin continución son equivlentes: es ríz del polinomio 0 es divisible por El resto que result de dividir por es igul cero - Fctorizción de polinomios Del mismo modo en que se descompone un número entero en producto de sus fctores primos, se puede descomponer un polinomio compuesto en producto de polinomios primos Un polinomio de grdo no nulo, es primo o irreducible cundo no puede ser epresdo como producto de polinomios de grdo positivo menor que Todo polinomio de grdo uno es primo o irreducible Cundo un polinomio no es primo, es compuesto Fctorizr un polinomio signific epresrlo como producto de polinomios primos o irreducibles olinomio desrrolldo: olinomio fctorizdo: A continución se presentn lguns técnics que permiten epresr un polinomio como producto de fctores - Fctor común Cundo en un polinomio, l vrible figur en todos los términos, se l etre como fctor común elevd l menor eponente Tmbién se etre como fctor común el número que prezc como fctor en todos los términos Luego, se divide cd término del polinomio por el fctor común e 0 8 El fctor común que prece en todos los términos es epresrse como: y el polinomio ddo puede Curso de Ingreso 0

12 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ - Diferenci de cudrdos e recuerd que un diferenci de cudrdos puede epresrse como producto del siguiente modo: Ejemplos: - Trinomio cudrdo perfecto L epresión fctorizd de un trinomio cudrdo perfecto es el cudrdo de un binomio Un trinomio cudrdo perfecto const de tres términos que cumplen ls siguientes condiciones: Dos de los términos son cudrdos perfectos El término restnte es el duplo del producto de ls bses de los cudrdos perfectos i este término es negtivo, entonces es negtivo uno de los términos del binomio H 0 es un trinomio cudrdo perfecto porque: El primer término es el cudrdo de El tercer término es el cudrdo de El segundo término es El trinomio cudrdo perfecto qued fctorizdo como: H 0 0- Fctorizción de un polinomio por medio de sus ríces El Teorem Fundmentl del Álgebr permite firmr que: Un polinomio de grdo n tiene ectmente n ríces, considerndo ls reles y ls no reles or lo tnto se puede decir que: Un polinomio de grdo n tiene como máimo n ríces reles 0 Curso de Ingreso

13 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios n n i n n K 0 con n 0, y, K,, n son sus ríces, entonces puede escribirse como K n n El polinomio h queddo epresdo como producto de polinomios primos, h sido fctorizdo 0- Cálculo de ls ríces de un polinomio olinomios de grdo uno r determinr l únic ríz de un polinomio de grdo uno, es decir de un polinomio de b l form b, se plnte l ecución b 0 y se obtiene olinomios de grdo dos r determinr ls dos ríces y de un polinomio de grdo dos, es decir de un polinomio de l form b c se resuelve l ecución cudrátic cb 0 como y se vio en l Unidd olinomios de grdo myor o igul que tres L determinción de ls ríces de polinomios se h simplificdo notblemente en l ctulidd, grcis l uso de ls computdors y ls clculdors científics En este curso de trbjrá con polinomios cuys ríces puedn ser clculds sin myores dificultdes Es importnte tener en cuent que: Un ríz enter de un polinomio de coeficientes enteros es un divisor de su término independiente Determinr ls ríces de 7 - r hllr ls posibles ríces enters de se debe considerr el conjunto de,,,,,,, divisores del término independiente : { } - e prueb cuáles de esos divisores son ríces de 7 0 0, por lo tnto no es ríz de 7 0, por lo tnto es ríz de - es divisible por Aplicndo l Regl de Ruffini se obtiene: C : Curso de Ingreso 07

14 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ - e determinn ls ríces de C 8 8 Ls ríces de son:, y El polinomio fctorizdo result: - Epresiones lgebrics frccionris Reciben el nombre de epresiones lgebrics frccionris o simplemente frcciones lgebrics ls epresiones de l form donde y son polinomios de un sol vrible y 0 - Funciones rcionles e llmrán funciones rcionles ls funciones cuy fórmul es un frcción lgebric f El dominio de un función rcionl es el conjunto de todos los vlores de que no nuln l denomindor Cudo se trbj con funciones rcionles es importnte tener en cuent su dominio Ejemplos: El dominio de l función g definid por El dominio de l función h definid - implificción de frcciones lgebrics g es: dom g R { } h es: dom h R {, } Es posible simplificrls cundo eisten fctores comunes en el numerdor y en el denomindor, de lo contrrio l epresión es irreducible Dd l epresión resultndo:, se fctoriz numerdor y denomindor, 08 Curso de Ingreso

15 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios Curso de Ingreso 0 implificndo los fctores comunes, se obtiene: si y Ls epresiones nteriores son equivlentes, pero no debe olvidrse que el dominio de l función rcionl es el que quedó determindo prtir de l epresión originl L simplificción es válid siempre que y - Operciones con frcciones lgebrics - um y rest de frcciones Con igul denomindor Con distinto denomindor Cundo ls epresiones que se quieren sumr o restr tiene distinto denomindor, es necesrio clculr el denomindor común e fctorizn los denomindores e clcul el denomindor común como el múltiplo común menor de los denomindores r ello, se multiplicn los fctores comunes y no comunes con el myor eponente con el que figuren El denomindor común en el ejemplo ddo es e divide el denomindor común encontrdo por el denomindor de cd término y se multiplic este cociente por el numerdor correspondiente Operndo en el numerdor, qued:

16 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Curso de Ingreso 0 0 e fctoriz el numerdor, y si corresponde se simplific l frcción - roducto de frcciones lgebrics El producto de dos frcciones lgebrics y T se reliz del siguiente modo: T T e fctoriz numerdor y denomindor y se simplific si es posible si - División de frcciones lgebrics e llm invers de un epresión lgebric frccionri T l epresión T, si es no nulo r relizr l división : T se multiplic l primer frcción por l invers de l segund : T T 0 : 0 y si - Ecuciones que involucrn frcciones lgebrics A continución se mostrrá trvés de un ejemplo cómo se resuelve un ecución que involucr frcciones lgebrics

17 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios Curso de Ingreso Encontrr los vlores de que stisfcen l siguiente ecución e observ en este cso, que l incógnit no puede tomr los vlores y -, ddo que dichos vlores nuln los denomindores L siguiente ecución es equivlente l dd 0 e clcul el denomindor común y se obtiene: 0 Operndo en el numerdor qued: 0 0 Ls ríces del polinomio que figur en el numerdor son soluciones pr l ecución dd Ells son 0, y Como puede observrse no es necesrio descrtr ningun de ls soluciones obtenids, y que son distints de y -, vlores de l incógnit que l comenzr el ejemplo dijimos que nuln el denomindor

18 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ ACTIVIDADE DE ARENDIZAJE Nº - Clculr A B, siendo A 8 y B - Ddos:, y T Clculr: b T - en A y B Completr el cudro que sigue con el resultdo de ls operciones indicds B A B - Obtener el cubo del siguiente binomio: y - En el polinomio A k Cuánto vle k, si A? - Efectur ls siguientes divisiones, indicndo pr cd un de ells el cociente y el resto Cundo correspond empler l Regl de Ruffini b 8 8 c d e 0 7 f Curso de Ingreso

19 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios g y y yy 7- En un división de polinomios el cociente es C y el resto es R 7 Cuál es el dividendo, si el divisor es: d? 8- Ddo el polinomio, clculr Cuál es el resto de dividir? por - Ddo 0 b se ríz de, determinr el vlor de b, pr que el número rel 0- Cuánto debe vler k pr que el polinomio k se divisible por - in relizr l división que se d continución, determinr el resto de: Completr: 8 KKKKKKKKKK b KKKKKKKKKK - e e sbe que es divisible por uno de los siguientes polinomios Indicr por cuál Justificr b Encontrr tods ls ríces de Ríces de : - i T 8, determinr T b Clculr ls ríces de 8 c Epresr el polinomio fctorizdo Curso de Ingreso

20 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ - e sbe que el polinomio es divisible por y el polinomio cociente que result de dividir por es C Clculr b Determinr ls ríces de c Epresr el polinomio fctorizdo - Construir un polinomio que dmit ls ríces:, y 7- Determinr un polinomio de grdo, que teng como ríces, que 0 0 y tl 8- Fctorizr ls siguientes epresiones: 0 b c d - Fctorizr y simplificr ls siguientes epresiones: b 8 0 c 8 d e 0 0- Operr y simplificr Curso de Ingreso

21 FACULTAD DE INGENIERÍA UNJ Unidd : olinomios Curso de Ingreso b c d - Indicr verdderov o flsof Justificr l respuest El binomio es un divisor de 0 b es divisible por c si d y y y y y y e b vle b b b b f i { }, R se verific - Resolver ls siguientes ecuciones: b c d

22 Unidd : olinomios FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ e Curso de Ingreso

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