Interpolación polinómica
|
|
- Benito Valdéz Salinas
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Interpolación de Lagrange Polinomio de Talor Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado, en este caso la función es f () = f ( ) + f ( ) f ( ) ( ). Por ejemplo, la recta que pasa por los puntos (, ) (, ) es (%i) (%i) (%o) recta(,,,):=+(-)*(-)/(-)$ recta(,,,); - + la gráfica (%i) wplotd(recta(,,,),[,,4]); (%t) El problema general es cómo se busca una función que tome unos valores en unos puntos concretos. También se puede eigir que las derivadas de algún orden tengan un valor predeterminado. 5
2 Interpolación de Lagrange 9. Interpolación de Lagrange El problema más clásico de interpolación es la interpolación de Lagrange: Dados n+ pares de puntos (, ), (, ),..., ( n, n ), encuéntrese el polinomio P de grado menor o igual que n tal que P( i ) = i, i =,,..., n. Los puntos,,..., n se llaman nodos de interpolación. 9.. Dos o tres nodos Comencemos con un caso sencillo. Dada una lista de un par de puntos un par de valores, cuál es el polinomio que pasa por esos puntos? (%i4) nodos:[,]; (%o4) [,] (%i5) valor:[,7]; (%o5) [,7] Necesitamos un polinomio de grado uno: (%i6) (%o6) define(f(),a*+b); f():=a+b que debe verificar que f () =, f () = 7. Con estas dos condiciones planteamos un sistema de ecuaciones que nos permite calcular a b: (%i7) (%o7) solve([f(nodos[])=valor[],f(nodos[])=valor[]],[a,b]); [[a=4,b=-]] Podemos aplicar la misma técnica para encontrar el polinomio, de grado en este caso, que pasa por los puntos (, ), (, 7) (, ): (%i8) (%i9) (%i) (%i) (%o) nodos:[,,]$ valor:[,7,]$ define(f(),a*ˆ+b*+c)$ solve([f(nodos[])=valor[],f(nodos[])=valor[], f(nodos[])=valor[]],[a,b,c]); [[a=-5,b=9,c=-]] Vamos a resolver este mismo problema de otra forma. Busquemos tres polinomios de orden, L, L L verificando que valen en uno de los nodos cero en el resto. En concreto, buscamos L, 54
3 Interpolación de Lagrange L L tales que L()=, L()=, L()= que valen cero en los otros puntos. Si encontramos estos polinomios, entonces la solución a nuestro problema es L+ 7 L + L. Comencemos con L: el polinomio ( )( ) se anula en en, pero su valor en, ( )( ), no es. Si dividimos por dicha cantidad L() = ( )( ) ( )( ) a hemos encontrado el primer polinomio que estábamos buscando. Análogamente L() = L() = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Con estos tres polinomios a podemos interpolar cualesquiera tres valores en,. 9.. Caso general Si ahora tenemos n + nodos distintos, podemos hacer una construcción análoga. Definición 9.. Dados i, i =,,,..., n números reales distintos, los polinomios n ( j ) L i () =, i =,,,..., n ( i j ) j= j i se llaman polinomios de Lagrange de grado n en los puntos,,..., n. Qué propiedades tienen? Fíjate que son mu fáciles de evaluar en los puntos i. Si evaluamos en el mismo índice n ( i j ) L i ( i ) = ( i j ) =, j= j i Polinomio de Lagrange a que numerador denominador coinciden. Si evaluamos en k con k i, entonces n ( k j ) L i ( k ) = ( i j ) =, j= j i a que uno de los factores del numerador, en concreto cuando j = k, se anula. Resumiendo, los polinomios de Lagrange valen {, si i = k, L i ( k ) =, si i k. para i, k =,,..., n. Observa que hemos dado el valor de los polinomios de Lagrange en n + puntos diferentes, por tanto, estos valores los determinan completamente. Con los polinomios L i ahora podemos calcular fácilmente un polinomio que tome valores i en los nodos i. En efecto, el polinomio 55
4 Interpolación de Lagrange P() = L () + L () + + n L n () cumple que P( i ) = i para i =,,...,n. El siguiente teorema recoge toda la información que hemos presentado. Teorema 9.. Sean,,..., n números reales distintos. Entonces dados,,..., n eiste un único polinomio P n () de grado menor o igual que n verificando que P n ( i ) = i, i =,,..., n. Fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación Dicho polinomio viene dado por donde para i =,,..., n. P() = L () + L () + + n L n (), (9.) L i () = ( )( ) ( i )( i+ ) ( n ) ( i )( ) ( i i )( i i+ ) ( i n ) La identidad (9.) se llama fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación. Ventajas e inconvenientes Los polinomios de Lagrange son mu fáciles de calcular. Es por ello que se utilizan como uno de los primeros ejemplos de polinomios interpoladores. Su interés práctico es limitado suelen presentarse más bien como ejemplo teórico de interpolación. Su principal inconveniente se presenta cuando el conjunto de nodos es mu grande. En ese caso el grado del polinomio también es mu grande. Esto implica dificultades para el cálculo, además, ha una alta tendencia a que el polinomio oscile mucho entre dos nodos. 9.. El paquete interpol Puedes pensar en alguna forma de calcular los polinomios de Lagrange en un conjunto de nodos, pero en Maima disponemos del paquete interpol que calcula el polinomio interpolador de Lagrange. En primer lugar cargamos el módulo (%i) load(interpol)$ podemos usar la orden lagrange para calcular el polinomio que interpola una lista de pares (nodo, valor) (%i) (%o) (%i4) (%o4) lagrange([[,],[,],[,4]]); (-)(-)-(-)(-)- (-)(-) epand(%); 5ˆ
5 Polinomio de Talor o, en el caso de que los nodos sea,,, 4, etc., simplemente dando la lista de valores (%i5) (%o5) epand(lagrange([,,4])); 5ˆ 9 + lagrange([[nodo,valor],[nodo,valor],...]) lagrange([valor,valor,...]) polinomio de Lagrange polinomio de Lagrange 9..4 Ejercicios Ejercicio 9.. Cuál es el error cuando aproimamos utilizando el valor de la función raíz cuadrada en 8,? Representa las gráficas de la función raíz cuadrada compárala con la gráfica del polinomio. Ejercicio 9.. Utiliza los valores de la función raíz cuadrada en n =,,..., puntos, elegidos por tí, para calcular el polinomio de interpolación aproimar el valor en. Haz una animación que represente la función raíz cuadrada el polinomio de interpolación de Lagrange en función de su grado. Ejercicio 9.. Calcula la fórmula de la suma de los cubos de los primeros n naturales sabiendo que es un polinomio de grado cuatro. 9. Polinomio de Talor En el Capítulo 7 hemos visto cómo la recta tangente a una función en un punto aproima localmente a dicha función en ese punto. Es decir, que si sustituimos una función por su recta tangente en un punto, estamos cometiendo un error como se puede ver. En efecto, si dibujamos en una misma gráfica la función f () = cos() su recta tangente en cero, es decir t() = f () + f ()( ) = obtenemos (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) (%i8) (%o8) f():=cos(); f():=cos() t():=; t():= plotd([f(),t()],[,-,],[,-,]);.5 cos()
6 Polinomio de Talor talor Figura 9. Ventana para el cálculo del polinomio de Talor En cuanto nos alejamos un poco del punto de tangencia (en este caso el ), la función coseno su tangente no se parecen en nada. La forma de mejorar la aproimación será aumentar el grado del polinomio que usamos, la cuestión es, fijado un grado n, qué polinomio de grado menor o igual al fijado es el que más se parece a la función. El criterio con el que elegiremos el polinomio será hacer coincidir las sucesivas derivadas, esto es, el polinomio de Talor de orden n de una función f en un punto a: T( f, a, n)() = f (a) + f (a)( a) + f (a) ( a)! + f (a) ( a) + + f n) (a) ( a) n! n! n f k) (a) = ( a) k k! El programa tiene una orden que permite calcular directamente el polinomio de Talor centrado en un punto a. Se trata del comando talor. En concreto, el comando talor(f(),,a,n) nos da el polinomio de Talor de la función f centrado en a de grado n. Haciendo uso del menú podemos acceder al comando anterior desde Análisis Calcular serie. Entonces se abre una ventana de diálogo en la que, escribiendo la epresión de la función, la variable, el punto en el que desarrollamos el orden del polinomio de Talor, obtenemos dicho polinomio. Como en otras ventanas similares, si marcamos la casilla de Especial, podemos elegir π o e como centro para el cálculo del desarrollo. k= talor(f(),,a,n) trunc(polinomio) talorp(polinomio) polinomio de Talor de la función f en el punto a de orden n convierte polinomio de Talor en un polinomio devuelve true si el polinomio es un polinomio de Talor Veamos un ejemplo. (%i9) talor(cos(),,,5); (%o9) (%i) talor(log(),,,7); (%o) ( ) + ( ) ( )4 4 + ( )5 5 ( )6 6 + ( ) En teoría, un polinomio de Talor de orden más alto debería aproimar mejor a la función. Ya hemos visto cómo aproima la recta tangente a la función coseno. Vamos ahora a dibujar las gráficas de la función f () = cos() de su polinomio de Talor de orden 8 en el cero para comprobar que la aproimación es más eacta. 58
7 Polinomio de Talor (%i) (%o) plotd([f(),talor(f(),,,8)],[,-4,4],[,-,]); cos() - /+ 4 /4-6 /7+ 8 / Pero si aumentamos el dominio podemos ver que el polinomio de Talor se separa de la función cuando nos alejamos del origen. (%i) (%o) plotd([f(),talor(f(),,,8)],[,-8,8],[,-,]); cos() - /+ 4 /4-6 /7+ 8 / Esto es lo esperable: la función coseno está acotada el polinomio de Talor, como todo polinomio no constante, no lo está. Eso sí, si aumentamos el grado del polinomio de Talor vuelven a parecerse: (%i) (%o) plotd([f(),talor(f(),,,4)],[,-8,8],[,-,]); cos() - /+ 4 /4-6 /7+ 8 /4- /688+ /4796-4/ El hecho de que la función coseno su polinomio de Talor se parezcan tanto como se quiera, con sólo aumentar el grado del polinomio lo suficiente, no es algo que le ocurra a todas las funciones. Para la función arcotangente la situación no es tan buena: 59
8 Polinomio de Talor (%i4) (%o4) (%i5) (%o5) g():=atan(); g():=atan() plotd([g(),talor(g(),,,8)],[,-8,8],[,-,]); atan() - /+ 5 /5-7 / sólo se parecen, al menos eso se ve en la gráfica, en el intervalo ], [ (a ojo). Observación 9.. Maima tiene dos formas de representar internamente los polinomios. Sin entrar en detalles, no se guardan de la misma forma un polinomio de Talor un polinomio cualquiera. Esto puede dar lugar a algunas sorpresas. Por ejemplo, hemos visto cómo el polinomio de Talor nos sirve para aproimar una función, pero, en lugar de representar la función dicho polinomio, podríamos representar la diferencia. Veamos que ocurre. Definimos las funciones, (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) f():=cos(); f():=cos() define(g(),talor(f(),,,5));` g():=- ˆ +ˆ ` dibujamos la diferencia (%i8) (%o8) plotd(f()-g(),[,-5,5]); Cómo puede salir? Es que no ha diferencia? Sí la ha. Ya lo sabemos: si evaluamos en algún punto podemos ver que el resultado no es cero. Este ejemplo está hecho con la versión 5.8 de Maima. Es posible que el resultado sea distinto en otras versiones. 6
9 Polinomio de Talor (%i9) (%o9) f()-g(); cos() + Como hemos avisado antes, Maima maneja de forma diferente un polinomio de Talor un polinomio normal. Puedes comprobarlo preguntando a Maima si g() es un polinomio de Talor o no. (%i) talorp(g()); (%o) true (%i) talorp(+ ); (%o) false La orden trunc(polinomio de Talor) nos permite pasar de polinomio de Talor a polino- trunc mio normal. Con estos a no tenemos este problema. (%i) (%o) plotd(f()-trunc(g()),[,-5,5]); - -4 cos()- 4 /4+ / Animaciones con polinomios Hasta aquí hemos visto cómo comparar la gráfica de una función con la de su polinomio de Talor. Ahora bien, en lugar de ir dibujando una función un polinomio de Talor, parece más interesante dibujar la función varios polinomios para ir comprobando si se parecen o no a dicha función cuando aumenta su orden. La orden with_slider (que a conoces) nos va a permitir hacer animaciones de la gráfica de una función sus polinomios de Talor. Por ejemplo: (%i) (%o) (%i4) (%o4) (%i5) f():=sin()+cos(); f():=sin()+cos() ta(n,):=block([ts:talor(f(z),z,,n)],subst(z=,ts)); ta(n,):=block([ts:talor(f(z),z,,n)],subst(z=,ts)) with_slider(n,makelist(i,i,,), [f(), (ta(n,))],[,-,],[,-,]); 6
10 Polinomio de Talor nos permite dibujar los primeros polinomios de Talor de la función f. En la Figura 9. tienes algunos pasos intermedios representados. Observación 9.4. Hemos usado la orden block para definir una función intermedia que nos permita realizar la animación. No vamos a entrar en más detalles sobre cómo utilizarla en la definición de funciones. Puedes consultar la auda de Maima, si tienes interés, donde encontrarás una eplicación detallada de su uso. sin()+cos() +- /- /6+ 4 /4+ 5 / sin()+cos() fun Orden 5 Orden sin()+cos() fun sin()+cos() fun Orden 5 Orden Figura 9. Función sen() + cos() sus polinomios de Talor 9.. Ejercicios Ejercicio 9.4. Es cierto o falso que el polinomio de Talor de una función al cuadrado es el cuadrado del polinomio? Ejercicio 9.5. Estudia los etremos relativos del polinomio de orden 5 centrado en el origen de la función f () = cos() + e. 6
11 Derivación e integración numérica Derivación numérica Derivación e integración numérica. Derivación numérica 6. Integración numérica 64. Métodos simples 65.4 Métodos de aproimación compuestos 67 El cálculo de la derivada de o de la integral de una función no siempre es fácil. En este capítulo vamos a ver cómo podemos aproimarlos. Una de las herramientas claves es la interpolación. Para polinomios sí es factible calcular derivadas e integrales. Aprovecharemos tanto la interpolación de Lagrange como la de Talor para aproimar una función por un polinomio.. Derivación numérica A veces ocurre que calcular la derivada de una función f en un punto a del interior de dominio no es fácil, a sea por la complejidad de la función dada, a sea porque sólo dispongamos de una tabla de valores de f. En esta sección vamos a establecer métodos para calcular f (a). No es que vaamos a calcular la función derivada primera de f, sino que vamos a aproimar los valores de ésta en un punto dado a. Hemos visto en este capítulo que la derivada de una función f : I R en un punto a I es f (a) = lim a f () f (a) a (a + h) f (a) = lim. h h Si consideramos un valor de h suficientemente pequeño, podemos dar una primera aproimación f (a).. Fórmulas de derivación numérica f (a + h) f (a) h En las fórmulas que vamos a estudiar en este apartado aparecen dos valores: el que aproima f (a) el error cometido. Aunque este último no se calcula eplícitamente, sí se puede dar una acotación del mismo. Notemos que dicho error se obtiene gracias al desarrollo de Talor de f centrado en a. En lo que sigue, el parámetro h se suele tomar positivo pequeño. a) Fórmula de dos puntos: f (a) = h ( f (a) f (a h)) + h f (ψ), ψ ]a h, a[ Esta fórmula se llama regresiva porque utiliza información de f en a en a h. f (a) = h ( f (a + h) f (a)) h f (ψ), ψ ]a, a + h[ Esta fórmula se llama progresiva porque utiliza información de f en a en a + h.. 6
SESION 4. 1. El comando Integrate 2. Aproximación de integrales definidas 3. Integración de funciones racionales
SESION. El comando Integrate. Aproimación de integrales definidas. Integración de funciones racionales . El comando Integrate El cálculo de integrales definidas e indefinidas en MATHEMATICA es sencillo
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesTema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor
Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesAproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación
Más detallesContinuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í
Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A
Más detallesEduardo Kido 26-Mayo-2004 ANÁLISIS DE DATOS
ANÁLISIS DE DATOS Hoy día vamos a hablar de algunas medidas de resumen de datos: cómo resumir cuando tenemos una serie de datos numéricos, generalmente en variables intervalares. Cuando nosotros tenemos
Más detallesTema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
Más detallesEcuación ordinaria de la circunferencia
Ecuación ordinaria de la circunferencia En esta sección estudiatemos la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria. Cuando hablemos de la forma ordinaria de una cónica, generalmente nos referiremos
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
Más detalles1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:
Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales
Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento
Más detallesPara la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim
) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()
Más detallesCASO PRÁCTICO DISTRIBUCIÓN DE COSTES
CASO PRÁCTICO DISTRIBUCIÓN DE COSTES Nuestra empresa tiene centros de distribución en tres ciudades europeas: Zaragoza, Milán y Burdeos. Hemos solicitado a los responsables de cada uno de los centros que
Más detallesTema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detalles3. Operaciones con funciones.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesPropiedades de los límites
SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesTema : ELECTRÓNICA DIGITAL
(La Herradura Granada) Departamento de TECNOLOGÍA Tema : ELECTRÓNICA DIGITAL.- Introducción. 2.- Representación de operadores lógicos. 3.- Álgebra de Boole. 3..- Operadores básicos. 3.2.- Función lógica
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detallesUNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables
Más detallesLos polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x
Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detallesDescomposición factorial de polinomios
Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas
Más detallesSelectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009. Opción A
SEPTIEMBRE 2009 Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES,
Más detallesUNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar
Más detalles_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas
Más detallesUsamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos
Más detallesLa ventana de Microsoft Excel
Actividad N 1 Conceptos básicos de Planilla de Cálculo La ventana del Microsoft Excel y sus partes. Movimiento del cursor. Tipos de datos. Metodología de trabajo con planillas. La ventana de Microsoft
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detalles5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales de funciones
Programa Inmersión, Verano 206 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 300 y MATE 3023 Clase #6: martes, 7 de junio de 206. 5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales
Más detallesHoja1!C4. Hoja1!$C$4. Fila
CAPÍTULO 6......... Cálculo y funciones con Excel 2000 6.1.- Referencias De Celdas Como vimos con anterioridad en Excel 2000 se referencian las celdas por la fila y la columna en la que están. Además como
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la
Más detallesTEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños
Más detallesPRÁCTICA N 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
PRÁCTICA N 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Ejercicio 1. Diseñar una planilla EXCEL que tome como dato de entrada un número entero y devuelva la representación en base 2. Testearla con los números 23, 245, 673,
Más detallesDOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)
Más detallesLección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones
Más detallesSelectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León ATEÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR
Más detallesIntegración por fracciones parciales
Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detalles(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Factorización
Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación
Más detallesQué son los monomios?
Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes
Más detallesEn cualquier caso, tampoco es demasiado importante el significado de la "B", si es que lo tiene, lo interesante realmente es el algoritmo.
Arboles-B Características Los árboles-b son árboles de búsqueda. La "B" probablemente se debe a que el algoritmo fue desarrollado por "Rudolf Bayer" y "Eduard M. McCreight", que trabajan para la empresa
Más detallesCAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas
CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas Introducción En la economía, la variación de alguna cantidad con respecto a otra puede ser descrita por un concepto promedio o por un concepto
Más detallesLección 9: Polinomios
LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios
Más detallesEsta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:
Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.
Más detallesMatemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Más detallesTema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa
Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Más detallesDESIGUALDADES página 1
DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos
Más detallesSelectividad Septiembre 2008 SEPTIEMBRE 2008
Bloque A SEPTIEMBRE 008.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máimo de 7 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable
Más detallesMicroeconomía Intermedia
Microeconomía Intermedia Colección de preguntas tipo test y ejercicios numéricos, agrupados por temas y resueltos por Eduardo Morera Cid, Economista Colegiado. Tema 03 La elección óptima del consumidor
Más detallesCombinar comentarios y cambios de varios documentos en un documento
Combinar comentarios y cambios de varios documentos en un documento Si envía un documento a varios revisores para que lo revisen y cada uno de ellos devuelve el documento, puede combinar los documentos
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Juan Jesús Pascual TEOREMAS DEL VALOR MEDIO. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f( x) = x 5x 6 en [ 0, 5 ]? El teorema de Rolle
Más detalles1. Ecuaciones no lineales
1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar
Más detallesQUÉ ES LA RENTABILIDAD Y CÓMO MEDIRLA. La rentabilidad mide la eficiencia con la cual una empresa utiliza sus recursos financieros.
QUÉ ES LA RENTABILIDAD Y CÓMO MEDIRLA La rentabilidad mide la eficiencia con la cual una empresa utiliza sus recursos financieros. Qué significa esto? Decir que una empresa es eficiente es decir que no
Más detallesUnidad 5 Estudio gráfico de funciones
Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =
Más detalles1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR
. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz
Más detalles6.1. Conoce la papelera
Unidad 6. La papelera de Reciclaje 6.1. Conoce la papelera La papelera no es más que un espacio en el disco duro reservado para almacenar la información que eliminamos, evitando que esta información aparezca,
Más detallesMICROECONOMÍA II PRÁCTICA TEMA III: MONOPOLIO
MICROECONOMÍA II PRÁCTICA TEMA III: MONOPOLIO EJERCICIO 1 Primero analizamos el equilibrio bajo el monopolio. El monopolista escoge la cantidad que maximiza sus beneficios; en particular, escoge la cantidad
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesOPERACIONES CON POLINOMIOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detallesMATERIAL 2 EXCEL 2007
INTRODUCCIÓN A EXCEL 2007 MATERIAL 2 EXCEL 2007 Excel 2007 es una planilla de cálculo, un programa que permite manejar datos de diferente tipo, realizar cálculos, hacer gráficos y tablas; una herramienta
Más detallesDiagnosis y Crítica del modelo -Ajuste de distribuciones con Statgraphics-
Diagnosis y Crítica del modelo -Ajuste de distribuciones con Statgraphics- 1. Introducción Ficheros de datos: TiempoaccesoWeb.sf3 ; AlumnosIndustriales.sf3 El objetivo de esta práctica es asignar un modelo
Más detallesCálculo Simbólico también es posible con GeoGebra
www.fisem.org/web/union ISSN: 1815-0640 Número 34. Junio de 2013 páginas 151-167 Coordinado por Agustín Carrillo de Albornoz Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra Antes de exponer las posibilidades
Más detallesCAPÍTULO III. FUNCIONES
CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN
Más detallesTransformación de gráfica de funciones
Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir
Más detallesÍndice general de materias LECCIÓN 7 74
Índice general de materias LECCIÓN 7 74 BUSCAR 74 BUSCAR CON FORMATO 77 REEMPLAZAR 78 REEMPLAZAR CON FORMATO 79 NOTAS AL PIE DE PÁGINA 79 CONFIGURAR LAS NOTAS 81 INSERTAR NOTAS AL PIE 83 MODIFICAR NOTAS
Más detallesFunciones definidas a trozos
Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad
Más detallesResistencia de Materiales
Tema 5 - Deflexión en Vigas Resistencia de Materiales Tema 5 Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica Ecuación diferencial de la elástica Para comenzar este tema se debe recordar
Más detallesSe llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en
Más detallesNemoTPV SAT Manual de usuario 1. NemoTPV SAT APLICACIÓN DE GESTIÓN DE SERVICIO TÉCNICO PARA PUNTOS DE VENTA DE EUSKALTEL
NemoTPV SAT Manual de usuario 1 NemoTPV SAT APLICACIÓN DE GESTIÓN DE SERVICIO TÉCNICO PARA PUNTOS DE VENTA DE EUSKALTEL NemoTPV SAT Manual de usuario 2 Ante un problema, lo importante no es saber solucionarlo,
Más detallesCálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3: Aplicaciones Tema 3.7 Polinomio interpolador
Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3: Aplicaciones Tema 3.7 Polinomio interpolador Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería Manresa Universidad Politécnica
Más detallesOperaciones con polinomios
Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS SOLUCIONES HOJA 5: Optimización 5-1. Hallar los puntos críticos de las siguiente funciones y clasificarlos: a fx, y = x y + xy.
Más detallesEnunciado unidades fraccionarias fracción fracciones equivalentes comparar operaciones aritméticas fracciones propias Qué hacer deslizador vertical
Enunciado Si la unidad la dividimos en varias partes iguales, podemos tomar como nueva unidad de medida una de estas partes más pequeñas. Las unidades fraccionarias son necesarias cuando lo que queremos
Más detallesPRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 2014
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES DE 5 AÑOS PRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 014 PRUEBA SOLUCIONARIO HAUTAPROBAK 5 URTETIK 014ko MAIATZA DE 5 AÑOS MAYO 014 Aclaraciones previas Tiempo de duración de la
Más detallesFORMACIÓN DE EQUIPOS DE E-LEARNING 2.0 MÓDULO DE DISEÑO Y PRODUCCIÓN DE MATERIALES UNIDAD 6 B
141 1 FORMACIÓN DE EQUIPOS DE E-LEARNING 2.0 Unidad 6 B 142 2 Índice SEGUIMIENTO DE PERSONAS 1 INFORMES 2 143 3 SEGUIMIENTO DE PERSONAS E INFORMES EN MOODLE El seguimiento de los participantes en Moodle
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()
Más detallesUTILIZACIÓN DE UNA CUENTA DE CORREO ELECTRÓNICO (NUEVO) Acceso al correo electrónico
Acceso al correo electrónico Pasamos ahora a lo que sería usar la cuenta de correo que nos hicimos en la clase anterior. Lo primero que hacemos es entrar en la página web de Yahoo y localizar el icono
Más detalles