Interpolación polinómica

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1 Interpolación de Lagrange Polinomio de Talor Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado, en este caso la función es f () = f ( ) + f ( ) f ( ) ( ). Por ejemplo, la recta que pasa por los puntos (, ) (, ) es (%i) (%i) (%o) recta(,,,):=+(-)*(-)/(-)$ recta(,,,); - + la gráfica (%i) wplotd(recta(,,,),[,,4]); (%t) El problema general es cómo se busca una función que tome unos valores en unos puntos concretos. También se puede eigir que las derivadas de algún orden tengan un valor predeterminado. 5

2 Interpolación de Lagrange 9. Interpolación de Lagrange El problema más clásico de interpolación es la interpolación de Lagrange: Dados n+ pares de puntos (, ), (, ),..., ( n, n ), encuéntrese el polinomio P de grado menor o igual que n tal que P( i ) = i, i =,,..., n. Los puntos,,..., n se llaman nodos de interpolación. 9.. Dos o tres nodos Comencemos con un caso sencillo. Dada una lista de un par de puntos un par de valores, cuál es el polinomio que pasa por esos puntos? (%i4) nodos:[,]; (%o4) [,] (%i5) valor:[,7]; (%o5) [,7] Necesitamos un polinomio de grado uno: (%i6) (%o6) define(f(),a*+b); f():=a+b que debe verificar que f () =, f () = 7. Con estas dos condiciones planteamos un sistema de ecuaciones que nos permite calcular a b: (%i7) (%o7) solve([f(nodos[])=valor[],f(nodos[])=valor[]],[a,b]); [[a=4,b=-]] Podemos aplicar la misma técnica para encontrar el polinomio, de grado en este caso, que pasa por los puntos (, ), (, 7) (, ): (%i8) (%i9) (%i) (%i) (%o) nodos:[,,]$ valor:[,7,]$ define(f(),a*ˆ+b*+c)$ solve([f(nodos[])=valor[],f(nodos[])=valor[], f(nodos[])=valor[]],[a,b,c]); [[a=-5,b=9,c=-]] Vamos a resolver este mismo problema de otra forma. Busquemos tres polinomios de orden, L, L L verificando que valen en uno de los nodos cero en el resto. En concreto, buscamos L, 54

3 Interpolación de Lagrange L L tales que L()=, L()=, L()= que valen cero en los otros puntos. Si encontramos estos polinomios, entonces la solución a nuestro problema es L+ 7 L + L. Comencemos con L: el polinomio ( )( ) se anula en en, pero su valor en, ( )( ), no es. Si dividimos por dicha cantidad L() = ( )( ) ( )( ) a hemos encontrado el primer polinomio que estábamos buscando. Análogamente L() = L() = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Con estos tres polinomios a podemos interpolar cualesquiera tres valores en,. 9.. Caso general Si ahora tenemos n + nodos distintos, podemos hacer una construcción análoga. Definición 9.. Dados i, i =,,,..., n números reales distintos, los polinomios n ( j ) L i () =, i =,,,..., n ( i j ) j= j i se llaman polinomios de Lagrange de grado n en los puntos,,..., n. Qué propiedades tienen? Fíjate que son mu fáciles de evaluar en los puntos i. Si evaluamos en el mismo índice n ( i j ) L i ( i ) = ( i j ) =, j= j i Polinomio de Lagrange a que numerador denominador coinciden. Si evaluamos en k con k i, entonces n ( k j ) L i ( k ) = ( i j ) =, j= j i a que uno de los factores del numerador, en concreto cuando j = k, se anula. Resumiendo, los polinomios de Lagrange valen {, si i = k, L i ( k ) =, si i k. para i, k =,,..., n. Observa que hemos dado el valor de los polinomios de Lagrange en n + puntos diferentes, por tanto, estos valores los determinan completamente. Con los polinomios L i ahora podemos calcular fácilmente un polinomio que tome valores i en los nodos i. En efecto, el polinomio 55

4 Interpolación de Lagrange P() = L () + L () + + n L n () cumple que P( i ) = i para i =,,...,n. El siguiente teorema recoge toda la información que hemos presentado. Teorema 9.. Sean,,..., n números reales distintos. Entonces dados,,..., n eiste un único polinomio P n () de grado menor o igual que n verificando que P n ( i ) = i, i =,,..., n. Fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación Dicho polinomio viene dado por donde para i =,,..., n. P() = L () + L () + + n L n (), (9.) L i () = ( )( ) ( i )( i+ ) ( n ) ( i )( ) ( i i )( i i+ ) ( i n ) La identidad (9.) se llama fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación. Ventajas e inconvenientes Los polinomios de Lagrange son mu fáciles de calcular. Es por ello que se utilizan como uno de los primeros ejemplos de polinomios interpoladores. Su interés práctico es limitado suelen presentarse más bien como ejemplo teórico de interpolación. Su principal inconveniente se presenta cuando el conjunto de nodos es mu grande. En ese caso el grado del polinomio también es mu grande. Esto implica dificultades para el cálculo, además, ha una alta tendencia a que el polinomio oscile mucho entre dos nodos. 9.. El paquete interpol Puedes pensar en alguna forma de calcular los polinomios de Lagrange en un conjunto de nodos, pero en Maima disponemos del paquete interpol que calcula el polinomio interpolador de Lagrange. En primer lugar cargamos el módulo (%i) load(interpol)$ podemos usar la orden lagrange para calcular el polinomio que interpola una lista de pares (nodo, valor) (%i) (%o) (%i4) (%o4) lagrange([[,],[,],[,4]]); (-)(-)-(-)(-)- (-)(-) epand(%); 5ˆ

5 Polinomio de Talor o, en el caso de que los nodos sea,,, 4, etc., simplemente dando la lista de valores (%i5) (%o5) epand(lagrange([,,4])); 5ˆ 9 + lagrange([[nodo,valor],[nodo,valor],...]) lagrange([valor,valor,...]) polinomio de Lagrange polinomio de Lagrange 9..4 Ejercicios Ejercicio 9.. Cuál es el error cuando aproimamos utilizando el valor de la función raíz cuadrada en 8,? Representa las gráficas de la función raíz cuadrada compárala con la gráfica del polinomio. Ejercicio 9.. Utiliza los valores de la función raíz cuadrada en n =,,..., puntos, elegidos por tí, para calcular el polinomio de interpolación aproimar el valor en. Haz una animación que represente la función raíz cuadrada el polinomio de interpolación de Lagrange en función de su grado. Ejercicio 9.. Calcula la fórmula de la suma de los cubos de los primeros n naturales sabiendo que es un polinomio de grado cuatro. 9. Polinomio de Talor En el Capítulo 7 hemos visto cómo la recta tangente a una función en un punto aproima localmente a dicha función en ese punto. Es decir, que si sustituimos una función por su recta tangente en un punto, estamos cometiendo un error como se puede ver. En efecto, si dibujamos en una misma gráfica la función f () = cos() su recta tangente en cero, es decir t() = f () + f ()( ) = obtenemos (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) (%i8) (%o8) f():=cos(); f():=cos() t():=; t():= plotd([f(),t()],[,-,],[,-,]);.5 cos()

6 Polinomio de Talor talor Figura 9. Ventana para el cálculo del polinomio de Talor En cuanto nos alejamos un poco del punto de tangencia (en este caso el ), la función coseno su tangente no se parecen en nada. La forma de mejorar la aproimación será aumentar el grado del polinomio que usamos, la cuestión es, fijado un grado n, qué polinomio de grado menor o igual al fijado es el que más se parece a la función. El criterio con el que elegiremos el polinomio será hacer coincidir las sucesivas derivadas, esto es, el polinomio de Talor de orden n de una función f en un punto a: T( f, a, n)() = f (a) + f (a)( a) + f (a) ( a)! + f (a) ( a) + + f n) (a) ( a) n! n! n f k) (a) = ( a) k k! El programa tiene una orden que permite calcular directamente el polinomio de Talor centrado en un punto a. Se trata del comando talor. En concreto, el comando talor(f(),,a,n) nos da el polinomio de Talor de la función f centrado en a de grado n. Haciendo uso del menú podemos acceder al comando anterior desde Análisis Calcular serie. Entonces se abre una ventana de diálogo en la que, escribiendo la epresión de la función, la variable, el punto en el que desarrollamos el orden del polinomio de Talor, obtenemos dicho polinomio. Como en otras ventanas similares, si marcamos la casilla de Especial, podemos elegir π o e como centro para el cálculo del desarrollo. k= talor(f(),,a,n) trunc(polinomio) talorp(polinomio) polinomio de Talor de la función f en el punto a de orden n convierte polinomio de Talor en un polinomio devuelve true si el polinomio es un polinomio de Talor Veamos un ejemplo. (%i9) talor(cos(),,,5); (%o9) (%i) talor(log(),,,7); (%o) ( ) + ( ) ( )4 4 + ( )5 5 ( )6 6 + ( ) En teoría, un polinomio de Talor de orden más alto debería aproimar mejor a la función. Ya hemos visto cómo aproima la recta tangente a la función coseno. Vamos ahora a dibujar las gráficas de la función f () = cos() de su polinomio de Talor de orden 8 en el cero para comprobar que la aproimación es más eacta. 58

7 Polinomio de Talor (%i) (%o) plotd([f(),talor(f(),,,8)],[,-4,4],[,-,]); cos() - /+ 4 /4-6 /7+ 8 / Pero si aumentamos el dominio podemos ver que el polinomio de Talor se separa de la función cuando nos alejamos del origen. (%i) (%o) plotd([f(),talor(f(),,,8)],[,-8,8],[,-,]); cos() - /+ 4 /4-6 /7+ 8 / Esto es lo esperable: la función coseno está acotada el polinomio de Talor, como todo polinomio no constante, no lo está. Eso sí, si aumentamos el grado del polinomio de Talor vuelven a parecerse: (%i) (%o) plotd([f(),talor(f(),,,4)],[,-8,8],[,-,]); cos() - /+ 4 /4-6 /7+ 8 /4- /688+ /4796-4/ El hecho de que la función coseno su polinomio de Talor se parezcan tanto como se quiera, con sólo aumentar el grado del polinomio lo suficiente, no es algo que le ocurra a todas las funciones. Para la función arcotangente la situación no es tan buena: 59

8 Polinomio de Talor (%i4) (%o4) (%i5) (%o5) g():=atan(); g():=atan() plotd([g(),talor(g(),,,8)],[,-8,8],[,-,]); atan() - /+ 5 /5-7 / sólo se parecen, al menos eso se ve en la gráfica, en el intervalo ], [ (a ojo). Observación 9.. Maima tiene dos formas de representar internamente los polinomios. Sin entrar en detalles, no se guardan de la misma forma un polinomio de Talor un polinomio cualquiera. Esto puede dar lugar a algunas sorpresas. Por ejemplo, hemos visto cómo el polinomio de Talor nos sirve para aproimar una función, pero, en lugar de representar la función dicho polinomio, podríamos representar la diferencia. Veamos que ocurre. Definimos las funciones, (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) f():=cos(); f():=cos() define(g(),talor(f(),,,5));` g():=- ˆ +ˆ ` dibujamos la diferencia (%i8) (%o8) plotd(f()-g(),[,-5,5]); Cómo puede salir? Es que no ha diferencia? Sí la ha. Ya lo sabemos: si evaluamos en algún punto podemos ver que el resultado no es cero. Este ejemplo está hecho con la versión 5.8 de Maima. Es posible que el resultado sea distinto en otras versiones. 6

9 Polinomio de Talor (%i9) (%o9) f()-g(); cos() + Como hemos avisado antes, Maima maneja de forma diferente un polinomio de Talor un polinomio normal. Puedes comprobarlo preguntando a Maima si g() es un polinomio de Talor o no. (%i) talorp(g()); (%o) true (%i) talorp(+ ); (%o) false La orden trunc(polinomio de Talor) nos permite pasar de polinomio de Talor a polino- trunc mio normal. Con estos a no tenemos este problema. (%i) (%o) plotd(f()-trunc(g()),[,-5,5]); - -4 cos()- 4 /4+ / Animaciones con polinomios Hasta aquí hemos visto cómo comparar la gráfica de una función con la de su polinomio de Talor. Ahora bien, en lugar de ir dibujando una función un polinomio de Talor, parece más interesante dibujar la función varios polinomios para ir comprobando si se parecen o no a dicha función cuando aumenta su orden. La orden with_slider (que a conoces) nos va a permitir hacer animaciones de la gráfica de una función sus polinomios de Talor. Por ejemplo: (%i) (%o) (%i4) (%o4) (%i5) f():=sin()+cos(); f():=sin()+cos() ta(n,):=block([ts:talor(f(z),z,,n)],subst(z=,ts)); ta(n,):=block([ts:talor(f(z),z,,n)],subst(z=,ts)) with_slider(n,makelist(i,i,,), [f(), (ta(n,))],[,-,],[,-,]); 6

10 Polinomio de Talor nos permite dibujar los primeros polinomios de Talor de la función f. En la Figura 9. tienes algunos pasos intermedios representados. Observación 9.4. Hemos usado la orden block para definir una función intermedia que nos permita realizar la animación. No vamos a entrar en más detalles sobre cómo utilizarla en la definición de funciones. Puedes consultar la auda de Maima, si tienes interés, donde encontrarás una eplicación detallada de su uso. sin()+cos() +- /- /6+ 4 /4+ 5 / sin()+cos() fun Orden 5 Orden sin()+cos() fun sin()+cos() fun Orden 5 Orden Figura 9. Función sen() + cos() sus polinomios de Talor 9.. Ejercicios Ejercicio 9.4. Es cierto o falso que el polinomio de Talor de una función al cuadrado es el cuadrado del polinomio? Ejercicio 9.5. Estudia los etremos relativos del polinomio de orden 5 centrado en el origen de la función f () = cos() + e. 6

11 Derivación e integración numérica Derivación numérica Derivación e integración numérica. Derivación numérica 6. Integración numérica 64. Métodos simples 65.4 Métodos de aproimación compuestos 67 El cálculo de la derivada de o de la integral de una función no siempre es fácil. En este capítulo vamos a ver cómo podemos aproimarlos. Una de las herramientas claves es la interpolación. Para polinomios sí es factible calcular derivadas e integrales. Aprovecharemos tanto la interpolación de Lagrange como la de Talor para aproimar una función por un polinomio.. Derivación numérica A veces ocurre que calcular la derivada de una función f en un punto a del interior de dominio no es fácil, a sea por la complejidad de la función dada, a sea porque sólo dispongamos de una tabla de valores de f. En esta sección vamos a establecer métodos para calcular f (a). No es que vaamos a calcular la función derivada primera de f, sino que vamos a aproimar los valores de ésta en un punto dado a. Hemos visto en este capítulo que la derivada de una función f : I R en un punto a I es f (a) = lim a f () f (a) a (a + h) f (a) = lim. h h Si consideramos un valor de h suficientemente pequeño, podemos dar una primera aproimación f (a).. Fórmulas de derivación numérica f (a + h) f (a) h En las fórmulas que vamos a estudiar en este apartado aparecen dos valores: el que aproima f (a) el error cometido. Aunque este último no se calcula eplícitamente, sí se puede dar una acotación del mismo. Notemos que dicho error se obtiene gracias al desarrollo de Talor de f centrado en a. En lo que sigue, el parámetro h se suele tomar positivo pequeño. a) Fórmula de dos puntos: f (a) = h ( f (a) f (a h)) + h f (ψ), ψ ]a h, a[ Esta fórmula se llama regresiva porque utiliza información de f en a en a h. f (a) = h ( f (a + h) f (a)) h f (ψ), ψ ]a, a + h[ Esta fórmula se llama progresiva porque utiliza información de f en a en a + h.. 6

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