Series Numéricas Series de Potencias Polinomios de Taylor. Prof. Jorge Brisset

Transcripción

1 Series Numéricas Series de Potecias Poliomios de Taylor Prof. Jorge Brisset I.P.A. 008

2 Ídice geeral. Series Numéricas 3.. De icioes y coceptos Propiedades de las series Series de térmios positivos Covergecia Absoluta Series alteradas Series de Potecias 6.. De icioes y coceptos Radio de covergecia Cálculo del radio de covergecia Fucioes aalíticas reales Poliomios o fórmula de Taylor Itroducció Propiedades de los poliomios de Taylor Aplicacioes Cálculo de límites Aproimacioes co acotació del error Estudio de etremos relativos Clasi cació de series uméricas

3 A los lectores: El presete material está basado e las otas de las clases que fui dictado e el Istituto de Profesores Artigas desde el año 999 a la fecha. Sus pricipales destiatarios so los estudiates del profesorado de Matemática y de Física. Mi iteció e u primer mometo fue la de complemetar las otas que los estudiates tomaba de mis clases de Matemática II de la especialidad Física. Luego, al otar que e los cursos de Aálisis II de la especialidad Matemática eistía ua gra heterogeeidad e relació al coocimieto del curso de Aálisis I, decidí modi car parcialmete el coteido de las mismas para que les fuera útil tambié a los estudiates de la especialidad Matemática que carecía del coocimieto ecesario para arribar al curso de Aálisis II. Por otro lado, a partir del presete año lectivo 008, año e el que empieza a regir el PUNFD, los docetes cotamos co horas retadas para trabajo e el Departameto de Matemática. Este hecho hizo propicio que me pudiera dedicar a este tipo de tarea, a la que teía bastate postergada ya que apeas me era posible producir alguos materiales e los es de semaa. Por ese motivo es que espero que sea el primero de varios e este uevo marco. Alguos resultados está demostrados y otros mecioados o para que el estudiate los demuestre. Supuse que el estudiate que utilice este material es hábil co cálculo diferecial y cooce razoablemete el tema sucesioes reales y sus pricipales resultados. Cueta co tres capítulos. El primero, Series Numéricas, tiee u tratamieto tradicioal y cito varios ejemplos tato de clasi cació como de suma de alguas series. E el segudo, Series de Potecias, además de mostrar alguos aspectos básicos de las mismas, preseto alguos resultados de las fucioes aalíticas; la demostració de los mismos es simple para u curso de Aálisis II ya que co las propiedades de las sucesioes y series de fucioes y por eso o las preseto e el trabajo. Por último, e el tercer capítulo, preseto los pricipales resultados y alguas aplicacioes de los poliomios de Taylor buscado vicularlos co coceptos itroducidos e los apartados ateriores. Para alizar, quiero agradecerles a los estudiates y otros docetes y colegas por dar u bue uso al trabajo y por avisarme de los errores que ecuetre (seguramete los haya, trataré de corregirlos a la brevedad), tambié quiero agradecer toda la paciecia que me tuvo Adrea, mi esposa, y la amabilidad co la que fui tratado todo este tiempo e el Laboratorio de Física de I.P.A. y por todo el apoyo que siempre he recibido de su persoal.

4 Capítulo Series Numéricas A esta altura el lector o es completamete ajeo a este tema. E el trascurso del estudio de las sucesioes reales hemos visto alguos ejemplos de sucesioes de idas a través de la suma de los térmios de otra sucesió. De hecho, la de ició adoptada para el úmero e ivolucra ua de ese tipo. Auque o lo mecioáramos, se trataba de uestros primeros ejemplos de series uméricas... De icioes y coceptos De ició Sea (a ) N ua sucesió real. De imos ua ueva sucesió (A ) N ; a la que le llamamos serie geerada o egedrada por la sucesió (a ), de la siguiete maera: A 0 = a 0 A = a 0 + a A = a 0 + a + a. A = a 0 + a + a + + a = P a i i=0 A A se le llama suma parcial de la serie o tambié reducida eésima de la serie. Usaremos la otació P a para referiros a la serie geerada por (a ). Ejemplo La sucesió dada por a =! geera (A ) : A = P osotros (es decir, esta serie) y su límite es el úmero e y escribiremos que + P Ejemplo 3 La sucesió dada por a = 3 escribiremos que + P 3 = 3. geera (A ) : A = i=0 P i=0 i!. Esta sucesió es coocida por! = e. i 3 = Ejemplo 4 a = ( ) P geera A = ( ) i = ( ). Por lo que, i=0 9 Si = ; teemos que A =, es decir, A i = = Si 6= ; teemos que A = 0, es decir, A i+ = 0 ; ) ) (A ) o tiee límite. ( por qué?, justi que.) 3 cuyo límite es 3 y

5 Ejemplo 5 Cosideremos la sucesió de los úmeros aturales, es decir (a ) = (; ; 3; 4; :::). Dicha P sucesió geera la A = = i = (+). Claramete, lm A = lm (+) = +. i= Como hemos podido observar, estas sucesioes ta particulares (a las que coveimos e llamar series) pude teer límite o o. Si bie ya está de idos estos coceptos, al tratarse de u tipo de sucesioes co aplicacioes y usos particulares e importates, daremos alguas de icioes al respecto. De ició 6 Sea P a ua serie, decimos que: P a coverge ( otació: P a C ),Eiste k R tal que lm A = k. E este caso decimos que la serie P a coverge co suma k y escribimos que + P a = k. P a diverge ( otació: P a D ), lm A = + ó lm A = : E este caso decimos que la serie P a diverge a más o meos i ito (segú correspoda). P a oscila ( otació: P a OSC),o eiste lm A : Observació 7 Nótese que el comportamieto de ua serie o se modi ca si o teemos e cueta a los primeros p térmios de la sucesió que la geera. Lo que sí se modi ca es, e caso de covergecia, su suma. Observació 8 E aquellos ejercicios que se pide clasi car ua serie debemos determiar si la misma coverge, diverge u oscila. Ejemplo 9 Cosideremos la serie P (+). Itetaremos clasi carla y e caso de covergecia ecotrar su suma. Como pp = (+) = (+) = +, las sumas parciales de la serie so de la forma: p p+ + = p+! p!+ Por lo tato P (+) es ua serie covergete y su suma es, es decir, + P = (+) =. Ejemplo 0 Sea (a ) dada por a = : Clasi quemos la serie P a. Como podrá otarse es muy similar al ejemplo 3 y sus sumas parciales tiee la forma: pp = = p+ p De dode, P C y suma es ( + P = p+! p!+ = ). Los ejemplos 3, 9 y 0 so casos particulares de uas clases de series que so las geométricas y las telescópicas. A cotiuació de iremos cada ua de ellas y las clasi caremos. Si bie hemos escrito que sumamos a partir de = 0, esto o es riguroso, bie pudo sumarse a partir de cierto atural p > 0. Este ejemplo se cooce como la paradoja de Zeó, sabe Ud. por qué? 4

6 De ició Llamaremos series geométricas a las de la forma: P q, q R. De ició Diremos que ua serie P a es ua serie telescópica si y sólo si eiste ua sucesió (b ) 8 >< b b + tal que a = ó. (es decir, si el térmio geeral de la (a ) se puede epresar como la diferecia >: b + b de dos térmios cosecutivos de otra (b ) ). Teorema 3 Sea ua serie geométrica P q. Etoces:. Si jqj < tedremos que P q C y además + P. Si q tedremos que P q D 3. Si q tedremos que P q OSC q = q Demostració. A cargo del alumo, se sugiere utilizar apropiadamete los siguietes resultados: + q + q + + q = q+ q siempre que q 6= y que si jqj < etoces lm q = 0 Teorema 4 Sea ua serie telescópica P a (para este caso: a = b. Si lm b = k R, tedremos que P a C y además + P a = b 0 8 >< +. Si lm b = ó, tedremos que P a D, (a respectivamete) >: 3. Si o eiste el lm b, tedremos que P a OSC. Demostració. A cargo del alumo. Se sugiere imitar el ejemplo 9. b + ). Etoces: k.. Propiedades de las series A cotiuació veremos alguas propiedades de las series uméricas e geeral. Dada la geeralidad, éstas o siempre resulta de gra utilidad ya que e la mayoría de los ejercicios propuestos vamos a precisar herramietas u tato más so sticadas y especí cas. De todas maeras, estas propiedades os permitirá costruir otras a través de diferetes teoremas. Co estos es, destiaremos dos seccioes para el estudio de series co mayor especi cidad: las series de térmios positivos y las series alteradas. Propiedad 5 Esta propiedad fue mecioada e la observació 7. Es decir: si dos sucesioes (a ) y (b ) está viculadas de la siguiete maera: a = b +p e dode p N, etoces P a y P b tiee el mismo comportamieto, (esto es, ambas coverge, ambas oscila o ambas diverge). 3 3 De ser ambas covergetes y si coociéramos la suma de ua es posible deducir la suma de la otra? 5

7 Propiedad 6 Si dos series P a y P b so covergeetes, etoces P (a + b ) tambié lo es y si además teemos que + P a = l y + P b = l, etoces + P (a + b ) = l + l. Ejercicio 7 Si tuviéramos que + P a = l y + P b = l, qué podríamos a rmar? = Propiedad 8 Sea P a y k R, etoces P a y P (ka ) tiee el mismo comportamieto y si además + P a = l etoces + P (ka ) = kl. Observació 9 Las propiedades 6 y 8 se cooce co el ombre de propiedades de liealidad. Ivestigue por qué. Ejercicio 0 Demuestre las propiedades 5, 6 y 8. Se sugiere teer e cueta que las series so sucesioes y por lo tato goza de la propiedades vistas e sucesioes. Ejemplo La serie P 3 P (+) C y P (+) + coverge. Efectivamete, e los ejemplos 9 y 0, probamos que P C y por lo tato, como cosecuecia de las propiedades recié vistas 3 (+) + C : Pero o sólo eso sabemos. Tambié teemos, e virtud de la propiedad 8, que + P 3 + P (+) = 3. Por otro lado tambié sabemos que + P = De estos dos resultados cocluimos que + P = 3 (+) + = 4 = y por lo tato, +P = = 3 (+) =. El ejemplo aterior es bastate ilustrativo y permite ver la aplicació de las propiedades ateriores. Isistimos, al igual que al iicio, que esto o es lo que acotece e el comú de las series. Casi siempre deberemos coformaros co clasi carlas e covergetes, divergetes u oscilates. Propiedad Codició ecesaria para la covergecia de ua serie. Sea P a ua serie covergete, etoces lm a = 0. Demostració. Recordemos que, por de ició, P a C, lm (A ) = l, dode l R. Por otro lado, teemos que a = A A, e dode tato A como A tiee el mismo limite l. Luego, por operatoria co límites teemos que lm a = 0. Tal como su ombre lo idica estamos ate ua codició ecesaria de covergecia. Dicha codició o es su ciete para garatizar la covergecia de ua serie, para eso, veamos el siguiete ejemplo. Ejemplo 3 Sea P L + : Probaremos que es divergete pese a que lm L + = 0 pp L + P p = (L ( + ) L ) = L (p + ) L! +, = = p!+ por lo tato P L + D = 6

8 .3. Series de térmios positivos De ició 4 Decimos que ua serie es de térmios positivos 4 si la sucesió que la geera tiee su recorrido coteido e R + [ f0g. E otras palabras, P a es S.T.P., a 0 8 N Observació 5 Notemos que e virtud de la propiedad 5, las propiedades que probemos e esta secció será válidas para aquellas series geeradas por sucesioes (a ) tales que a 0 8 N, > p: Proposició 6 Las S.T.P. o oscila, más especí camete: la serie de térmios positivos P a será covergete o divergete segú fa g sea u cojuto acotado o o. Demostració. Es imediata, basta co observar que (A ) es creciete y utilizar el teorema correspodiete de sucesioes. Esta propiedad, característica de las S.T.P. y que resulta muy fácil de icorporar y demostrar, os permite demostrar alguos critrerios para la clasi cació de S.T.P.. Teorema 7 Criterio de comparació I. Sea (a ) y (b ) tales que 0 a b, N 5. Etoces teemos:. Si P b C etoces. Si P a D etoces P a C P b D Demostració.. Como a b para todo N, etoces por mootoía teemos que A B. Como e este caso teemos que P b C, se deduce que fb g está acotado superiormete por lo que fa g tambié lo está. Luego, por lo demostrado e la proposició 6 llegamos a que P a C.. Si bie este caso cueta co ua demostració similar a la del aterior, se le propoe al lector que la procure por el método del absurdo. Corolario 8 Criterio de comparació II. Si P a y P b so S.T.P. y el lm a b = k R +, etoces P a y P b tiee el mismo comportamieto (es decir, ambas coverge o ambas diverge) Demostració. Como lm a b = k R + =) def para = k cumple que k < a b < 3k, o sea (multiplicado por b ),, eiste p N tal que, para todo > p se k b < a < 3k b (.) 4 De hecho, se trata de series de térmios o egativos. 5 E virtud de la propiedad 5 bastaba co que se veri cara a partir de algú atural. 7

9 Por lo cual, si P a C, por el criterio de comparació I tedremos que P k b C y por liealidad que P b C. De maera similar, si P b C tambié lo hará P 3k b que es ua mayorate de P a y por el criterio de comparació I tedremos que P a C. E suma, P a C, P b C. 6 Ejemplo 9 Clasi quemos P. Para clasi carla la compararemos co P (+), serie de la cual coocemos su comportamieto. Fue clasi cada covergete e el ejemplo 9. Como lm (+) tato P C. = lm + =, teemos que ambas series tiee el mismo comportamieto y por lo Observació 30 De hecho, al coocer que P C podemos cocluir, por el criterio de comparació I, que P C, cualquiera sea. Ejemplo 3 Clasi quemos P. E este caso la compararemos co la serie P L +. Primero veremos que tiee el mismo comportamieto: L + = L + s. O sea que lm L ( + ) = y por lo tato P y P L + tiee el mismo comportamieto. Como fue demostrado e el ejemplo 3 que P L + P D, etoces D. Observació 3 De hecho, al coocer que P D podemos cocluir, por el cirterio de comparació I, que P D, cualquiera sea. Uiedo esto a lo observado e 30, os faltaría saber qué comportamieto tiee las series de la forma P solamete para (; ) : Estas series llamadas series armóicas puede clasi carse totalmete por varios métodos, dos de los más coocidos so el criterio de la itegral de Cauchy y el criterio llamado del k (ver [5]). Nosotros, usaremos el criterio de la itegral para probar que 7 P C para (; ) y e resume tedremos que: ( X C para > D para : (.) Nótese que para cada > teemos de ido u úmero real y por lo tato ua fució. Dicha fució es coocida como fució zeda, es decir, : (; +)! R tal que () = + P 50P = 6 Por qué o es ecesario demostrar que P a D, P b D? 7 El criterio permite probarlo cualquiera sea, pero solo resta saber qué ocurre si (; ) : = 8

10 y Grá co de la fució : () = Observació 33 Alguos datos de esta fució: () = + P = (4) = + P = (6) = + P = lm () =!+ = 6 = = X = (o tiee epresió elemetal). Ejercicio 34 Averigüe si para los úmeros pares, la fució zeda cotiúa co u comportamieto viculado co potecias de. Realice lo mismo co los impares. A cotiuació veremos dos criterios más para S.T.P., los criterios de la raíz (Cauchy) y del cociete (D Alembert), cada uo de ellos co su respectivo corolario que, e la práctica, termia siedo más usados e las distitas clasi cacioes que los propios teoremas. Teorema 35 Sea P a ua S.T.P. Etoces,. Si eiste h tal que p a h < para todo N, tedremos que P a C. Si p a para todo N, tedremos que P a D Demostració.. Como p a h para todo N, teemos que a h, co 0 h < (por lo que jhj < ) De dode que P h C por geométrica. Luego, P a C por el criterio de comparació I. 9

11 . Si p a es imediato que a, etoces o puede teer límite cero, por lo tato diverge. Corolario 36 Sea P a ua S.T.P. Etoces,. Si eiste k tal que lm p a = k <, tedremos que P a C. Si lm p a = k > (o tambié + ), tedremos que P a D 8 Demostració. Realícela como ejercicio. Se sugiere que use apropiadamete la de ició de límite y el teorema 35 Ejemplo 37 Clasi quemos, usado el corolario 36 que P coverge. q lm = lm ( p ) =, por lo tato (el k mecioado e el corolario es ) P C. Ejemplo 38 Itetemos co la serie P : Esta serie es ua vieja coocida y ya coocemos su clasi - cació. Si embargo, lm q = lm p = cualquiera haya sido : Esto parace ser ua prueba cocluyete de porqué el criterio o se mai esta para este valor. Teorema 39 Sea P a ua S.T.P. Etoces,. Si eiste h tal que a + a h < para todo N, tedremos que P a C. Si a + a para todo N, tedremos que P a D Demostració.. Como a + a h < para todo N, teemos a a 0 h a a h a 3 a h a a h multiplicado, : : : : : : : : :... a a0 h De dode a a 0 h y como P h C por geométrica, por propiedades de liealidad y el criterio de comparació I, llegamos a que P a C. Si a + a teemos que a a + y por lo que (a ) es creciete (y positiva) por lo que su límite o es cero, por lo tato diverge. 8 El real k es llamado límite de Cauchy de la sucesió (a ). 0

12 Corolario 40 Sea P a ua S.T.P. Etoces,. Si eiste k tal que lm a + a = k <, tedremos que P a C. Si lm a + a = k > (o tambié + ), tedremos que P a D 9 Demostració. Realícela como ejercicio. Se sugiere que use apropiadamete la de ició de límite y el teorema 39 Ejemplo 4 Clasi quemos la serie P! (+) (+)! :! (+) (+), teemos que P! C. = (+) (+)! (+) (+)! = usado el criterio del cociete. = + cuyo límite es e, que como es meor que (+) Teorema 4 Criterio de la primitiva (Cauchy). Sea f : [0; +) cotiua, positiva y decreciete. Sea F ua primitiva de f e [0; +). 0 Cosideramos la sucesió (a ) dada por a = f(). Etoces la sucesió (F ()) y la serie P a tiee el mismo comportamieto. Observació 43 Ates de hacer la demostració hagamos alguas putualizacioes. Auque o se diga epresamete, P a es ua STP. (F ()) es estrictamete creciete, ( por qué?) y por lo tato tiee límite. Demostració. Aalicemos la fució F e u itervalo [; + ] dode N. Como F es ua primitiva de f etoces F es cotiua e [; + ] y derivable e (; + ), por lo tato, por el teorema de Lagrage sabemos que eiste c (; + ) tal que F 0 (c ) = F (+) F () +. E otras palabras que f(c ) = F ( + ) F (): Si que importe el valor de cada c ; como f es decreciete por hipótesis, sabemos tembié que f( + ) f(c ) f(). E resume, hemos cocluido que, f( + ) F ( + ) F () f() cualquiera sea N. Etoces, para 0 f() F () F (0) f(0) para f() F () F () f() para f(3) F (3) F () f(). para f( + ) F ( + ) F () f().. sumado: + P i= a i F ( + ) F (0) P a i i=0 9 El real k es llamado límite de D Alembert de la sucesió (a ). Ivestigue si tiee algua viculació co el límite de Cauchy. 0 cómo podemos estar seguros de la eistecia de esta primitiva? qué sigi ca que F es primitiva de f? Recuerde que F 0 = f, que f es positiva y que eso le garatiza algo e relació al crecimieto de F.

13 Supogamos que P a C, al serlo sabemos que (A ) está acotada y por ede la sucesió (F ( + ) F (0)) lo está y e cosecuecia (F ()) tambié ( por qué?). Co lo que acabamos de observar y usado que (F ()) es creciete, teemos que (F ()) tiee límite ito, es decir, es ua sucesió covergete. Supodremos ahora que la que coverge es (F ()), al ser covergete (F ( + )) tambié y (F ( + ) F (0) tambié, por lo que está acotada. Luego, (A + S.T.P. obteemos que P a C. Fialmete, P a y (F ()) tiee el mismo comportamieto. Ejemplo 44 Clasi cació de la serie armóica P. Lo haremos ada más que para (; ) e el resto ya fue clasi cada. a o ) lo está y tambié lo está (A ), como P a es ua Sea f : [; +)! R dada por f() =, co (; ). Es simple apreciar que f es cotiua, positiva y decreciete e [; +) y etoces cumple co las hipótesis del criterio de la primitiva. Ua primitiva de f es R dt t = + = ( ) + (ótese que > 0) La sucesió (F ()) está dada por F () = ( ) + cuyo límite es Por el criterio de la primitiva teemos que P co (; ) es covergete. y por lo tato coverge. Observació 45 La primitiva ecotrada e el ejemplo aterior hubiese servido para clasi car la serie para todos los valores de 6=, y para = la primitiva, de la forma L + k; tambié lo hubiese hecho. E uestro caso o fue así pues esto ya había sido deducido por métodos más secillos..4. Covergecia Absoluta E esta secció itroduciremos u uevo cocepto: el de covergecia absoluta, que, como podrá apreciar el lector, o aporta ada uevo e el caso de que se trate de ua serie de térmios de sigo costate. Comezaremos por u teorema que, pese a o tratarse directamete del tema, resulta útil (etre otras cosas) para demostrar luego u resultado relevate: el criterio de covergecia absoluta. Teorema 46 Sea las sucesioes (a ), (b ) y (c ) tales que para todo N se tiee que a b c y de modo que las series P a y P c so covergetes. Etoces P b es ua serie covergete. Demostració. Como a b c, etoces (restado a ) teemos que 0 b a c a : Ahora, e virtud de lo demostrado e 6 y e 8, como P a y P c so covergetes teemos que P (c a ) C. Luego, por comparació (7) teemos que P (b a ) C y como P a C, por liealidad teemos que P b C. Observació 47 El teorema aterior, se cooce como teorema de la covergecia domiada. Corolario 48 Sea ua sucesió (a ) tal que P ja j C. Etoces P a C. Demostració. Es imediata, basta observar que ja j a ja j y aplicar el teorema aterior.

14 De ició 49 Decimos que la serie P a si y sólo si P ja j C. coverge absolutamete (o que es absolutamete covergete) Notació 50 P a CA. Observació 5 El corolario 48 se eucia de la siguiete maera: si ua serie coverge absolutamete, etoces coverge. Más adelate veremos, a través de cotraejemplos, que el recíproco o es cierto, es decir: ua serie puede ser covergete pero la serie de los valores absolutos ser divergete. Ejemplo 5 Clasi quemos P se. Veremos que coverge absolutamete y que por lo tato coverge. Como se, teemos que se. Luego, como P C por tratarse de ua serie armóica de epoete, teemos, e virtud del criterio de comparació I, que P se que P se CA y de ahí que P se C. C, lo que implica E la próima secció veremos u uevo tipo de series, llamadas series alteradas y su pricipal resultado: el teorema de Leibiz..5. Series alteradas Acabamos de ver uos cuatos criterios de clasi cació para serie de térmios positivos que, por supuesto, tambié so válidos para serie de térmios egativos. E esta parte estudiaremos u criterio para clasi car series e dode el sigo de los térmios de la sucesió que geera la serie se va alterado etre el positivo y el egativo. Si embargo, apeas cotaremos co el criterio de covergecia domiada para series e geeral, pues, como veremos a cotiuació, las series alteradas so u caso particular de las series de sigo variable. De ició 53 Decimos que ua serie es alterada si y sólo si es de la forma P ( ) a, dode (a ) es ua sucesió tal que a 0 o a 0 para todo N. Ejemplo 54 Cosideremos la serie P ( ) +. Como puede observarse, es ua serie alterada. Veamos el comportamieto de sus sumas parciales. A 8 = 8 P = A 0 = 0 P = ( ) + = + 3 ( ) + = = = A = E geeral, teemos que (A ) (sumas parciales de ídice par) es ua sucesió estrictamete creciete. Veremos que ocurre co las de ídice impar. A 5 = 5 P = ( ) + = =

15 A 7 = 7 P = ( ) + = = A = E geeral, teemos que (A + ) (sumas parciales de ídice impar) es ua sucesió estrictamete decreciete. Esto prueba que (A ; A + ) es u par de sucesioes moótoas covergetes cuyo límite comú es el llamado elemeto de separació, e este caso es L () : Es importate otar tambié, que por el hecho de que A L () A + y de que ambas tiee el mismo límite, éste puede ser aproimado por ua suma parcial A p cualquiera, de la que estamos seguros que el error cometido (sea éste por defecto o por eceso) es meor que a p+, es decir por el primer sumado que o es teido e cueta e la suma parcial. Por ejemplo: L () t + 3 4, dode el error (e este caso, por defecto) es meor que 5. 3 El ejemplo que acabamos de estudiar o es más que u caso particular de lo que ocurre e el siguiete teorema. Teorema 55 Sea (a ) ua sucesió decreciete tal que lm a = 0. Etoces P ( covergete cuya suma k t A p co u error meor que a p+. ) + a es ua serie Demostració. Hágala como ejercicio. Sugerecia: pruebe que (A + ; A ) es u PSMC. Observació 56 Este teorema es coocido como criterio de Leibiz para series alteradas. Ejemplo 57 Se cosidera la serie P ( )!. La misma puede ser clasi cada por el criterio de covergecia absoluta como covergete (itete hacerlo). Si embargo usaremos para ello el criterio de Leibiz. Veamos si la sucesió (a ) : a =! satisface las codicioes: lm! = 0 a + = (+)! es evidetemete meor que a =!, luego (a ) es estrictamete decreciete. Por lo que acabamos de probar, e virtud del teorema 55 teemos que P ( )! C. Además podemos calcular aproimadamete su suma. Itetaremos calcularla co u error meor que p O sea, debemos hallar p N de modo que su suma k t P ( )! co u error meor que Para ello buscaremos p que cumpla que (p+)! < 0000, o lo que es lo mismo, que (p + )! > 0000, lo que vale si y sólo si p 7. pedía). Por lo tato k t 7 P ( )! = co u error meor que 8! = Observació 58 El límite aterior, de hecho es + P datos obteidos e el ejercicio aterior so correctos. No es trivial que + P = ( ) + 3 Recuerde el lector que L () t 0: 693, que = L (), por lo que aceptaremos dicho resultado. + 3 (bastate meor que lo que se ( )! = e. Compruebe co su calculadora que los = 7 t 0:

16 Ejemplo 59 Cotraejemplo del recíproco del corolario 48: Como dijéramos e la observació 5, eiste series covergetes pero que o so absolutamete covergetes. La siguiete es ua de ellas. Sea P ( ) +, como acabamos de ver, es ua serie covergete co suma L (), si embargo, e valor absoluto, se geera la serie P que es divergete. Este tipo de series da motivo a la siguiete de ició. De ició 60 Decimos que la serie P a es codicioalmete covergete (se deota CC) si y sólo si P a C y P ja j D. Ejercicio 6 Ecuetre otros ejemplos de series que coverge codicioalmete. Observació 6 Las series codicioalmete covergetes ha sido objeto de estudio de célebres matemáticos, etre ellos está Riema, quie demostró ua propiedad sorpredete: si ua serie es codicioalmete covergete, etoces podemos reordearla de modo que su suma sea el úmero que se elija, o bie que diverja a más o a meos i ito o hasta se podría lograr que oscilara del modo elegido. 5

17 Capítulo Series de Potecias.. De icioes y coceptos Las series de potecias cumple u papel importate e el aálisis matemático, si bie so itroducidas e forma muy simple como ua serie umérica depediete de u parámetro, resulta ser el ejemplo más elemetal, y o por eso meos importate, de las series de fucioes. El estudio de las series de fucioes, a su vez, tiee u rol relevate e el estudio de diversos problemas topológicos y del aálisis fucioal. A lo largo de las otas, os remitiremos a trabajar, si perder geeralidad, a las series de potecias de la forma P a. De hecho, todas las de la forma P a ( a) so tambié series de potecias siedo P a u caso particular de éstas (dode a = 0). De ició 63 Llamamos series de potecias a las de la forma P a, dode (a ) es ua sucesió real y R. Ejemplo 64 E la serie de potecias P, la sucesió a la que hace referecia la de ició 63 es (a ) : a =. Por otra parte, ua suma parcial de dicha serie de potecias es: 5X = = : y Grá cos de alguas sumas parciales de P : 6

18 Ejemplo 65 Tomemos ahora a P!, e este caso a =! y ua suma parcial de ella es 3P! = y Alguas sumas parciales de P! Ejemplo 66 E el caso de P, teemos que a = y que 4 P = y Alguas sumas parciales de P Observació 67. Para cada R, P a o es otra cosa que ua serie umérica y por ello puede tratarse de ua serie covergete, divergete u oscilate.. Las sumas parciales so poliomios. 7

19 3. Cosideraremos que 0 =, aú e el caso de que sea cero. 4. Uo de los objetivos es ecotrar todos los valores de para los cuales P a es covergete. Ejemplo 68 P para cada R resulta ser ua serie geométrica de base y segú lo demostrado e 3 sabemos que P C solamete si ( ; ) y su suma es + P =. De la misma maera P es ua serie geométrica ( ote que = () ) de razó y por lo tato P coverge cualquiera sea ; +P co suma =. Observació 69 E el ejemplo 68 ecotramos dos series de potecias que resultaro covergetes e ( ; ) y ; respectivamete. Estos cojutos so coocidos como cojutos de covergecia (e estos casos fuero itervalos abiertos). Cabe otar que toda serie de potecias coverge si = 0 co suma a o. E 65 tambié citamos como ejemplo a P ; coverge si = 59?! O lo que es lo mismo, Coverge P (59)?! Por tratarse de ua STP aplicaremos el criterio de D Alembert. lm (59)+ ( + )! (59) = lm 59 P (59) = 0. Como es meor que, sabemos que coverge. Ahora! +! bie: es simple otar que el 59 o tiee ada e particular y que, del mismo modo, pudimos hacerlo co cualquier úmero real. Veamos, sea R, probaremos que P coverge absolutamete (y por lo tato! coverge, porqué?). + ( + )!! = jj +! 0 cualquiera haya sido. Por lo tato (como el límite es meor que ), P coverge para todo R.! Cabe destacar que, por el hecho de que para cada R, P es ua serie umérica covergete,! podemos asociarle a cada real, la suma de las serie (que tambié es u real), por lo que teemos ua fució f : R! R de ida por f() = Supogamos, por el mometo, que dicha fució es derivable y que su derivada puede obteerse a través de la derivació térmio a térmio de la serie P!. De ser así tedríamos: f() = + P De dode,!, por lo tato f 0 () = +P =! = + P = f() = f 0 () +X! ( )! = +P! = f(). lo que resulta ser u ecuació diferecial co solució muy elemetal y cuyas solucioes so de la forma f() = ke, como teemos la codició iicial f(0) =, la costate k es uo. Esto os llevaría al resultado: 8

20 +X! = e, cualquiera sea R. De la misma forma podríamos proceder co otras series de potecias. E el caso de P, como ya fue visto, la fució que obteemos es f : ( ; )! R f() = : E la que o fue ecesario resolver igua ecuació diferecial. Observació 70 Los ejemplos precedetes os da ua pequeña muestra de las aplicacioes de las series de potecias y del trabajo que desarrollaremos e lo que sigue. A saber: Toda serie de potecias tiee asociado u radio de covergecia (que puede ser cero, u real positivo o i ito). Métodos para calcularlo. Es válida la propiedad de derivació (y tambié la de itegració ) térmio a térmio que mecioamos ates... Radio de covergecia Pasaremos a cotiuació a demostrar dos teoremas. La cosecuecia de éstos es la eistecia del radio de covergecia de cualquier serie de potecias, cocepto que podremos de ir recié e esa istacia. Teorema 7 Si P a coverge para = 0, etoces P a coverge absolutamete cualquiera sea tal que jj < j 0 j. Demostració. Sea de modo que jj < j 0 j : ja j = a 0 = ja 0 j () < k () ()Como P a 0 coverge, por la codició ecesaria de covergecia, teemos que el lim(a 0 ) = 0: Luego, como (a 0 ) es ua sucesió covergete, debe, ecesariamete, estar acotada (el k es ua cota superior de fja 0 jg : De (), teemos que ja j < k 0 Como 0 <, P 0 coverge por ser geométrica de razó etre - y, etoces, por liealidad, P k 0 coverge. De dode, por comparació I, teemos que P ja j coverge. Teorema 7 Dada P a, se cumple ua y sólo ua de las siguietes a rmacioes: i. a) P a coverge absolutamete para todo R. 9

21 ii. P a coverge solamete si = 0. iii. Eiste r R + tal que P a coverge absolutamete para todo ( todo = [ r; r]. r; r) y o coverge para Demostració. Cosideremos el cojuto A = f [0; +) : P a Cg. Por la maera e la que lo de imos, el cojuto A o es vacío porque 0 A (toda serie de potecias coverge si = 0). De ahí que A o sea vacío. Por otro lado, por ser u cojuto de reales, éste podrá ser acotado o o superiormete. Si o estuviese acotado superiormete, probaremos que P a C cualquiera sea R (veri cádose la parte i. del euciado. A su vez, si A estuviese acotado superiormete, probaremos que se está e algua de las otras dos partes. Supogamos pues que A o está acotado superiormete. Cosideremos u úmero real cualquiera, como A o está acotado superiormete, es seguro que eiste algú elemeto 0 e A (esto implica que ) que es mayor que jj, luego, aplicado el teorema aterior (7) que P ja j coverge y por eso P a coverge (recuerde que es u real cualquiera). Por lo tato, e estas codicioes, P a coverge absolutamete para todo R. Si A fuera u cojuto acotado superiormete, dado que además o es vacío, tiee supremo. Dicho supremo es u úmero real que veri ca ser mayor o igual a cero. Si fuera cero, tedríamos que A = f0g ya que de eistir otro elemeto e A (además del cero), por el teorema 7 P a sería covergete para cualquier cuyo valor absoluto fuera meor que el valor absoluto de él; esto sería cotradictorio co el hecho de que sup (A) = 0. E suma, si sup (A) = 0, P a coverge solamete si = 0. Para alizar co la demostració, si > 0 veremos que cualquiera que sea ( coverge y que si jj >, la P a o coverge. Sea ( ; ), la P a ; ), como sup (A) = sabemos que eiste u elemeto 0 A tal que jj < 0 (coocidísima propiedad del supremo). Por el teorema 7 P a coverge (pues lo es absolutamete). Por último, si = [ ; ] (ote el lector que < j j) supodremos (por absurdo) que P a coverge. De haber sido así, se tedría que P a sería covergete para todo de modo que jj < j j. Esto es absurdo que P a sería covergete si = + que es mayor que (y o hay elemetos de A que lo sea). Si = r o si = r ada podemos a rmar. Se recomieda ver el ejemplo 64 y siguietes 0

22 Es probable que el lector ya esté familiarizado, a través de los ejemplos iiciales, co el cocepto de radio de covergecia, si embargo recié ahora estamos e codicioes de dar ua de ició. De ició 73 Dada ua serie de potecias P a, diremos que tiee radio de covergecia: i ito (se escribirá R = ) () se veri ca i. del teorema 7. cero (se escribirá R = 0) () se veri ca ii. del teorema 7. (se escribirá R = ) () se veri ca iii. del teorema Cálculo del radio de covergecia Ua vez probado que toda serie de potecias tiee asociado u radio de covergecia, cabe pregutarse cómo haremos para hallarlo. Eiste varios métodos para ello (si bie usar la de ició sería tecicamete correcto, o es recomedable). E este trabajo aalizaremos dos de los más coocidos, el método de Cauchy y el método de D Alembert, ambos e su versió más secilla. Teorema 74 Dada la serie de potecias P a límite). Etoces: tal que eiste el lm p ja j (llamaremos a dicho. Si = 0, etoces R =. Si = +, etoces R = 0 3. Si R +, etoces R = Demostració. Hágala como ejercicio. Tega e cueta que los putos e dode la serie puede ser covergete codicioalmete, se limita como máimo a = R y = R. Se sugiere que utilice el criterio de Cauchy para clasi car P ja j Teorema 75 Dada la serie de potecias P a tal que eiste el lm a + a (llamaremos a dicho límite). Etoces:. Si = 0, etoces R =. Si = +, etoces R = 0 3. Si R +, etoces R = Demostració. Ídem al teorema 74, use e este caso el criterio de D Alembert. Eiste ua versió más geeral, e dode se utiliza, e lugar de lm el lm sup :

23 Ejemplo 76 Ecotremos el radio de covergecia de P Usaremos el método de Cauchy, Como lm!+ q + +3 =, teemos que R = y etoces cualquiera sea ; coverge absolutamete. Tal como decíamos ateriormete, para los valores y cació le correspode a la serie hasta tato o lo realicemes directamete. = ( ) +3. coverge ( codicioal o absoluta- Si = + os queda la serie geerada por +3 Por el criterio de Leibiz (teorema 55) es fácil ver que P ( ) +3 mete?). Por último, si =, queda P +3 que diverge. Resumiedo teemos que P + +3 C, ; la serie P + +3 o sabremos qué clasi- Ejemplo 77 Estudiemos ahora P! aplicado el método de D Alembert (teorema 75). (+)! (+) (+) (+)! = (+)!(+) (+) (+)! = ( + ) ; cuyo límite es e por lo tato R = e. E los etremos del itervalo de covergecia, la serie o coverge. Para probarlo se podrá utilizar u equivalete de! (Stirlig). E suma tedremos que P! C, e ; e..3. Fucioes aalíticas reales Cada serie de potecias de la forma P a cuyo radio de covergecia o es cero, asocia a cada ( R; R) u úmero real determiado por la suma de la serie. De esta maera se de e ua fució f : ( R; R)! R dada por + P a. Estas fucioes so coocidas como fucioes aalíticas. 3 Las mismas so tambié u caso particular de series de fucioes y por lo tato goza de las propiedades que éstas tiee (ver [4]) E los putos siguietes veremos alguas pocas propiedades de las fucioes aalíticas y uos ejemplos. Propiedad 78 Las series de potecias P a y P a tiee el mismo radio de covergecia. ( Por qué o es correcto usar los teoremas 74 y 75?) Propiedad 79 Las series de potecias P a y P a + + tiee el mismo radio de covergecia. Propiedad 80 Sea P a cuyo radio de covergecia es R o ulo. Sea f : ( R; R)! R dada por f() = + P a. Etoces f es derivable e ( R; R) y f 0 () = + P a = (De lo que deducimos que las fucioes aalíticas e ( R; R) so i itamete derivables e ( R; R) : Eplique.) 3 Como (a ) es real, y es u úmero real, se tratará de ua fució real. Si embargo, las fucioes aalíticas e gral. tiee variable compleja y podríamos dedicar u curso etero a su estudio.

24 Observació 8 Veremos qué tiee de similar la fució f : f() = + P a y la fució poliómica P p : p () = a i i : i=0 Para eso esribiremos p() = a 0 + a + a + a a a y f() = a 0 + a + a + a a a + De estas epresioes se saca que p(0) = f(0); p 0 (0) = f 0 (0); p 00 (0) = f 00 (0), y así hasta la eésima derivada de f e = 0. Además, como p () (0) =!a teemos que para cada N que a = f () (0)! (.) Esta relació ispira la de ició de poliomios de Taylor que veremos e el próimo capítulo. (de ició 84) Observació 8 La propiedad 80, coocida como de térmio a térmio de ua serie de potecias, permite deducir la validez para la itegració térmio a térmio. Veamos el siguiete ejemplo: Ejemplo 83 Se cosidera la serie de potecias P. Ecotraremos su radio de covergecia y luego hallaremos ua epresió elemetal para g : g() = + P Ates que ada otemos que + P = = + P = () + + : q Como lm = lm p =, teemos que R =. De todos modos, lo habríamos ecotrado idirectamete. Partamos de la igualdad + P z =, la que es muy coocida y que vale para cualquier z ( ; ). z Usado la propiedad aterior teemos que + P z + + = R dz para cualquier z ( ; ), e particular z para z =, co ;. De dode + P () + + = L ( ) 3

25 y La grá ca de g : g() = + P = = L ( + ) y alguas sumas parciales de P 4

26 Capítulo 3 Poliomios o fórmula de Taylor 3.. Itroducció Acabamos de estudiar las series de potecias. E ese tema, demostramos que toda serie de potecias, es decir, toda serie de la forma P a tiee asociado u radio de covergecia R que podía ser 0, positivo, o +. Luego, a cada serie de potecias le asociamos ua fució co domiio (al meos) ( siguiete maera: f : ( R; R)! R tal que f() = + P a. R,R) de la Dicha fució f goza de la propiedad de derivabilidad (obviamete de cotiuidad e itegrabilidad), obteiedo epresioes para su fució derivada y para la primitiva que veri ca F (0) = 0, de la siguiete maera: f 0 () = + P = a y F () = + P a + +. Estos resultados os permitiero ecotrar, a partir de fucioes dadas por ua serie de potecias, otros uevos. Por ejemplo, coociedo que f() = = + P que tambié F () = L ( ) = + P + +. pudimos obteer que f 0 () = ( ) = + P Desde otro puto de vista, podríamos decir que empezamos a obteer la epresió e series de potecias de otras fucioes. Pero, qué viculació eiste etre la serie y la fució? Como respuesta a esta preguta obtuvimos que sí eiste ua viculació y que está dado por a = f () (0)! e el caso de la serie cetrada e el orige y por supuesto que a = f () (a)! e el caso de series de la forma P a ( a). De esta maera, toda fució de clase C e cierto itervalo (a R; a + R) obtiee uívocamete ua serie de potecias asociada a ella cuya epresió es: + P = y f () (a)! ( a). Obrado co este criterio obtuvimos la epresió e serie de potecias de la fució f : f() = se. La serie obteida fue la siguiet e: 3 3! + 5 5! = + P ( ) + (+)!. Lo que o sabemos es si la fució obteida (dada por la serie de potecias) resulta ser igual a f() = se para todo R. Esta preguta será respodida, luego de alguos resultados, e forma a rmativa. Pero o es ese uestro úico objetivo. Si tomamos ua suma parcial de la serie de potecias e cuestió, so parecidas las fucioes 5

27 a sus poliomios asociados? y La fució coseo y alguos de sus polioios de Mac Lauri. Y si la fució solo poseyera derivadas e = a de orde 3, resultará útil aproimar a tal fució P co 3 f () (a)! ( a)? Itetaremos dar respuesta a estas iterrogates a cotiuació. De ició 84 Sea ua fució f : I! R (I u itervalo) tal que f admite derivadas de orde e cierto etoro E(a), co a I. Llamaremos poliomio de Taylor (Brook Taylor (685-73) ) de orde geerado por f e = a al siguiete poliomio: p () = f(a) + f 0 (a)! ( a) + f 00 (a)! ( a) + + f () (a)! ( a) Propiedad 85 Al ser tomado de esta forma teemos garatizado que los valores de las derivadas iteradas de f e = a coicide co las del poliomio por qué? Notació 86 Escribiremos a p () de la siguiete maera: T (f; a), que sigi ca poliomio de Taylor de orde geerado por f e = a: E alguos casos lo escribiremos T (f; a; ) para poer éfasis e el hecho de que su variable es. Propiedad 87 E los casos que trabajamos co a = 0, los poliomios recibe el ombre de poliomios de Mac Lauri (Coli Mac Lauri ( ) ). Nótese que al ser suma parcial de ua serie de potecias, lo que teemos es u poliomio. Tega e cueta la fórmula. ecotrada e la observació 8. 6

28 Ejemplo 88 T 4 (e ; 0) = ! + 4 4! y Ejemplo 89 T 5 (se ; 0) = La epoecial (egro) y T 4 (e ; 0) (rojo). y La fució seo y alguos de sus poliomios de Mac Lauri. 7

29 Ejemplo 90 T 3 (L ; ) = ( ) ( ) + 3 ( )3 y La fució f : f() = L () y T 3 (L () ; ) Propiedad 9 E los ejemplos ateriores podemos observar que o sólo teemos coicidecias e = a sio que además de eso el parecido se etiede. Los putos siguietes itetará dar ua eplicació a uestra observació. 3.. Propiedades de los poliomios de Taylor Para obteer los poliomios de Taylor, sólo cotamos hasta el mometo co la de ició. Esto sigi ca que para obteerlos o os queda otra opció que derivar reiteradas veces la fució, lo que además de tedioso resulta poco práctico. A cotiuació veremos alguas propiedades que os permitirá obteer poliomios de Taylor a partir de otros coocidos. Sea f y g fucioes reales e las codicioes de la de ició 84, las pricipales propiedades so las siguietes:. Liealidad: T (f + g; a) = T (f; a) + T (g; a), ; R Ejemplo 9 T 3 (e + se ) = Derivació (e itegració): (T (f; a)) 0 = T (f 0 ; a) Ejemplo 93 T 7 (se ; 0) = 3! 3 + 5! 5 7! 7, etoces T 6 (cos ; 0) = + 4! 5 6! 6 8

30 3. Sustitució: 3 Si g() = f(c) etoces, T (f; ca; c) = T (g; a; ) (ver otació 86) Ejemplo 94 Busquemos el poliomio de Taylor de la fució f() = arcta e = 0. Como T ( ; 0) = P = i, etoces T ( + ; 0) = P ( ) i i P y tambié T ( ; 0) = ( ) i i + i=0 y por lo tato T + (arcta ; 0) = P i=0 i=0 ( ) i i+ i+ Veamos a cotiuació los grá cos de arcta y de alguo de sus poliomios de Mac Lauri. i=0 y La fució f : f() = arcta () y alguos de sus poliomios de Mac Lauri. 4. Otras operacioes. Tambié podemos obteer el desarrollo de productos y cocietes de fucioes a partir del desarrollo de cada ua de las ivolucradas. Se recomieda ver [5]. Ejercicio 95 Ecuetre la serie de potecias asociada a la fució f : f() = arcta () y determie su radio de covergecia. Iterprete el resultado observado el grá co aterior. De ició 96 Sea f e las mismas codicioes que e la de ició 84. Llamamos resto de Taylor de orde e = a a la fució r : I! R tal que r () = f() T (f; a; ). 4 Teorema 97 Sea r : I! R ua fució tal que sea veces derivable e cierto etoro E(a) I. r() Etoces, lm!a ( a) = 0, r(a) = r 0 (a) = = r () (a) = 0 Demostració. Realícela como ejercicio. Se sugiere utilizar adecuadamete la regla de L Hôpital. 3 Esta propiedad es mucho más geeral, es posible efectuar composicioes más complicadas, como por ejemplo obteer el T (e ; 0) a partir del T (e ; 0). 4 Utilizamos la otació r a modo de simpli carla, pues hubiera sido correcto usar r ;a: 9

31 Corolario 98 Sea f : I! R ua fució derivable hasta el orde e = a, etoces f() = f(a) + f 0 (a)! ( a) + f 00 (a)! ( a) + + f () (a) eésimo de Taylor es u i itésimo de orde mayor que e = a.)! ( a) + r () co lm Demostració. Como por de ició de resto de Taylor, r () = f()!a r () ( a) = 0 (Es decir, el resto T (f; a), teemos que r es derivable veces y que además todas sus derivadas hasta el orde y su valor fucioal e = a so r cero, etoces por el Teorema 97 teemos que lm ()!a ( a) = 0. Teorema 99 (resto de Lagrage) Sea f : I! R ua fució tal que es derivable de orde ( + ) e cierto etoro E(a) I, etoces para todo 6= a; I se cumple que: P f() = f (i) (a) i! ( a) + r () i=0 dode r () = f (+) (c) (+)! ( a) + (llamado resto de Lagrage) co c e (a; ) o e (; a) Demostració. A cargo del alumo Aplicacioes A cotiuació veremos alguas de las aplicacioes de los poliomios de Taylor: Cálculo de límites. Aproimacioes co acotació del error. Estudio de etremos relativos. Clasi cació de series uméricas Cálculo de límites Para el cálculo de límites es útil recordar los coceptos de orde y de parte pricipal de u i itésimo (se sugiere que además revise el cocepto de mayor y meor orde de i itésimo ). De ició 00 Sea f u i itésimo e = a. Decimos que q() = ( f() i itésimo f e = a, lm!a ( a) =. E este caso se dice que f es u i itésimo de orde e = a. a) es la parte pricipal del Ejemplo 0 Calculemos lm e!0 se. Utilizado los desarrollos de Mac Lauri de las fucioes que se ecuetra tato e el umerador como e el deomiador, es decir, como e = 6 3 r + r 3 (), co lm () = 0!0 3 y se = r() 0 r, co lm 0 () = 0!0 3 Teemos que lm!0 e se = lm! r 3 () 6 3 +r 0 () = 30

32 Ejemplo 0 Sea ' : '() = L ( a) + e b cos : Determie los valores de a y b para que ' sea u i itésimo del mayor orde posible e = 0. E ese caso idique su orde y parte pricipal. Obtegamos pues, el desarrollo de Mac Lauri de ': Para ello usemos los respectivos desarrollos de las fucioes que determia ': L ( a) = ( a) + a + 3 a a4 4 + r 4 () e b = + b + b + 6 b b4 4 + er 4 () cos = r 4 () Cada uo fue obteido, o bie directamete, o bie a través del uso adecuado de propiedades. De ellos obteemos el desarrollo de ' e = 0 de orde 4. Este es: '() = ( a + b) + a + b + 3 a3 + 6 b b4 4 4 a4 4 +r 4 ()+er 4 ()+r 4 (): Para que sea del mayor orde posible debemos eigir a = b Co lo que '() = + 3 a3 + 6 a a4 4 a r 4 () + er 4 () + r 4 (): De hecho, '() = + r (), depediedo el orde del resto del valor de a: El lector puede pregutarse sobre cómo saber hasta qué orde desarrollar; la eperiecia os eseñará a ver qué hacer e los distitos casos. Aalice este ejemplo y deduzca hasta qué orde hubiese sido su ciete desarrollar cada fució Aproimacioes co acotació del error Ua de las aplicacioes del resto de Lagrage, es la de cuati car el error cometido e aquellos casos e los cuales sustituimos ua fució por uo de sus poliomios de Taylor. Veamos alguos ejemplos. Ejemplo 03 Sea f : f() = e. Su desarrollo de Mac Lauri co resto de Lagrage es: e = ! + e (+)! +, dode (0; ) o al (; 0) : Si lo utilizamos para hallar e 0, es decir, si decimos que e ! 0, qué error cometeríamos? o mejor dicho, cuál sería el máimo error que estaríamos cometiedo? e La idea es acotar (+)! + 0 : Veamos, e (+)! + 0 = e + 0 (+)! < e [ 0]+ + 0 (+)! < 3 [ 0]+ + 0 (+)! 5 e E coclusió, lm = 0 cualquiera haya sido 0 : Por lo tato, T (e ; 0) aproima a e!+ (+)! + 0 hasta el ivel de eigecia que queramos e todo R. Lo que o debería sorprederos demasiado pues fue demostrado ateriormete que e = + P! para todo R. Ejemplo 04 E la itroducció quedó pediete ua preguta e relació a la fució seo. Trataremos de respoderla a cotiuació. Sabemos que: se = 5 Eplique esas desigualdades. 3! + 5! + + ( ) + (+)! + ( ) + (+)! + f (+) () (+)! +. 3

33 Nuevamete busquemos acotar f (+) () (+)! +, otemos que para hacerlo pudimos aprovechar que el coe ciete de orde ( + ) de esta fució (y lo mismo ocurre co cos ) es cero. f (+) () (+)! + + (+)! cuyo límite es cero cualquiera haya sido pre jado. (Esta última desigualdad fue posible porque las fucioes seo y coseo está acotadas). Por lo tato, T + (se ; 0) aproima a se hasta el ivel de eigecia que queramos e todo R, casualmete e todo el itervalo de covergecia de P ( ) (+)! +. Ejemplo ( 05 Recordemos que o siempre es util esta herramieta, la fució de Cauchy f : f() = e, si 6= 0 0, si = 0 es de clase C e R y si embargo su poliomio de Mac Lauri es el poliomio ulo, por lo que o es bueo para aproimar f más que e = 0, e dode ya sabemos que resulta ser ula. y La fució de Cauchy. Vale la pea otar que si las sucesivas derivadas de la fució de Cauchy estuviese uiformemete acotadas e algú etoro de cero, etoces su poliomio de Mac Lauri debería ser covergete a la fució e dicho etoro. Como esto o ocurre, podemos deducir que las fucioes derivadas de f o está uiformemete acotadas e igú etoro de cero. Veremos a cotiuació alguas de las grá cas de esas fucioes derivadas de la f. 3

34 y Alguas derivadas de la fució de Cauchy. Si bie cada ua está acotada e cualquier etoro de cero, o eiste ua cota para todas ellas cualquiera sea dicho etoro Estudio de etremos relativos Ates de ver ejemplos sobre este puto demostraremos el siguiete teorema: Teorema 06 Sea f : I! R tal que eiste las f () (a), f ( ) es cotiua e u E(a) I. Si f 0 (a) = f 00 (a) = = f ( ) ( (a) = 0 y f () (a) 6= 0, etoces (a) Si = si f () (a) > 0 f preseta u míimo relativo e = a ) si f () (a) < 0 f preseta u máimo relativo e = a f f () (a) (b) Si 6= f o preseta u etremo relativo e = a Demostració. Como f satisface las codicioes de la fórmula de Taylor, tambié lo hace la fució f(a). El desarrollo de esta última fució e = a es: f() f(a) = f () (a)! ( a) r + r (), dode lm ()!a ( a) = 0.! Es decir, f() f(a) = ( a) f () (a) + r ()! ( a) e dode la epresió señalada tiee límite {z }! : Por coservació del sigo eiste u E(a) e el cual dicha epresió tiee el sigo de f () (a): Por lo tato, dado que el sigo e el E(a) mecioado de ( a) es coocido y depede de la paridad de, obteemos lo a rmado e la tesis. Ejemplo 07 Demuestre que la fució f : f() = e Usado lo demostrado e el puto aterior, 3 6 tiee u míimo e = 0. como f 0 (0) = f 00 (0) = f 000 (0) = 0 y f iv (0) =, teemos que f preseta u míimo relativo e = 0: Mostramos a cotiuació u bosquejo de su grá co: 33

35 Clasi cació de series uméricas Este puto vale la pea ser aclarado. La eperiecia, co la cotamos corrigiedo eámees, os permitió ecotraros co u precocepto de parte de los alumos: Taylor es uo de los criterios para clasi car series. Sepa el alumo que o es cierto, al clasi car series uméricas aplicamos los criterios adecuados y que e ocasioes trabajar co el desarrollo de Taylor de ua fució (casi siempre ua fució auiliar que deberá tomarse adecuadamete), puede facilitar la tarea. Veamos el ejemplo siguiete. Ejemplo 08 Clasi que P se : Como se trata de ua serie de térmios egativos, por las propiedades coocidas 6, buscaremos ua sucesió equivalete a se, ya que la serie que geera es de la misma clase que la dada. Cosideremos la fució auiliar f : f() = se (). Usado el desarrollo de Mac Lauri de f podemos cocluír que f() = R 3 () R 3 (), co lm!0 3 = 0. Por esta razó, o solamete f() s!0 6 3 sio que, además se s 6 3 Luego, como P coverge, por ser armóica (co > ), etoces (idique qué propiedades avala 3 la coclusió) P se coverge. 6 ota cuáles so esas propiedades? 34