MATEMÁTICAS: 4ºB ESO Capítulo 3: Expresiones algebraicas. Polinomios.

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1 MATEMÁTICAS: ºB ESO Cítulo : Eresioes lgebrics. Poliomios. commos.wikimedi

2 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Ídice. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. INTRODUCCIÓN.. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO.. MONOMIOS. POLINOMIOS.. SUMA DE POLINOMIOS.. PRODUCTO DE POLINOMIOS. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES POLINÓMICAS.. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO.. FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO.. RAÍCES DE UN POLINOMIO.. REGLA DE RUFFINI.. CÁLCULO DE LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO.. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.. PRODUCTOS NOTABLES DE POLINOMIOS Resume E multitud de situcioes el ser humo se ve obligdo cutificr, mejr ctiddes, dtos, úmeros, se r elicr lgo ocurrido e el sdo, lgú hecho ue esté sucediedo e l ctulidd, o r redecir o roosticr el comortmieto de determido feómeo e el futuro. Pese l dificultd ue ued ecerrr ess justificcioes, lgus herrmiets so de crácter secillo, como ls oercioes usules de sum, rest, roducto divisió. E ocsioes h ue mejr dtos ú o coocidos, or lo ue rece idetermids o vribles. L mezcl de úmeros reles ls citds cutro oercioes básics os llev ls eresioes lgebrics, detro de ells, destc us eresioes cocrets or su budte uso simlicidd de eosició, los oliomios. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

3 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. Itroducció No hce flt imgir situcioes rebuscds r ue, l hor de relizr u rzomieto, os toemos co lgu de ls cutro oercioes mtemátics básics: sum, rest, multilicció o divisió. Ejemlos: Tres migos h relizdo u vije de vccioes. A l vuelt, h sumdo los gstos efectudos éstos sciede euros. El gsto relizdo or cd uo h sido de euros, es decir, euros. Si vmos comrr mdris u fruterí e l ue el recio de u kilogrmo es de euros, result hbitul ue, segú vmos itroduciedo l frut e u bols, vmos ttedo el imorte fil. Pr ello odemos colocr vris veces l bols sobre u blz, trs observr el eso, relizmos l oerció ' dode es l ctidd de kilogrmos ue os h idicdo l blz. Desués de cd esd, el resultdo de es multilicció reflej el imorte de ls mdris ue, e ese mometo, cotiee l bols. Suogmos ue teemos u cotrto co u comñí de telefoí móvil or el ue gmos cétimos de euro or miuto, sí como cétimos or estblecimieto de llmd. Co es trif, u llmd de miutos os costrá: 0'0 0' 0' 0' 0' euros Pero cuál es el recio de u llmd culuier? Como descoocemos su durció, os ecotrmos co u ctidd o determid, o idetermid, or lo ue e culuier resuest ue demos l regut terior se recirá l useci de ese dto cocreto. Podemos decir ue el coste de u llmd culuier es dode Actividdes rouests señl su durció, e miutos. 0'0 0' 0'0 0' euros. A files de cd mes l emres de telefoí móvil os roorcio l fctur mesul. E ell rece much iformció, e rticulr, el úmero totl de llmds relizds N sí como l ctidd totl de miutos de coversció M. Co los dtos del terior ejemlo, justific ue el imorte de ls llmds efectuds durte ese mes es: 0'0 M 0' N 0'0 M 0' N euros Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

4 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Ejemlo: Es bie coocid l fórmul del áre de u triágulo de bse b ltur socid h: b h E todos estos ejemlos h surgido eresioes lgebrics... Eresioes lgebrics Llmmos eresió lgebric culuier eresió mtemátic ue se costru co úmeros reles ls oercioes mtemátics básics: sum, rest, multilicció /o divisió. E u eresió lgebric uede hber dtos o cocretdos; segú el coteto, recibirá el ombre de vrible, idetermid, rámetro, etre otros. Si e u eresió lgebric o h vribles, dich eresió o es más ue u úmero rel: Ejemlo: 0 Al fijr u vlor cocreto r cd idetermid de u eresió lgebric rece u úmero rel: el vlor umérico de es eresió lgebric r tles vlores de ls idetermids. Ejemlo: El volume de u cilidro viee ddo or l eresió lgebric r h e l ue r es el rdio del círculo bse h es su ltur. De este modo, el volume de u cilidro cu bse tiee u rdio de 0 cm de ltur cm es igul : 0 00 cm L eresió lgebric ue rereset el roducto de los cudrdos de dos úmeros culesuier e se simboliz or. Si e l eresió z rticulrizmos ls tres vribles co los vlores,, z Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

5 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO surge el úmero rel / E u eresió lgebric uede o teer setido otorgr lgú vlor ciert idetermid. E efecto, e el último ejemlo o es osible hcer z 0. Actividdes rouests. Recuerd l eresió lgebric ue os roorcio l logitud de u circufereci.. Escribe e leguje lgebrico los siguietes eucidos, referidos dos úmeros culesuier e : L mitd del ouesto de su sum. b L sum de sus cubos c El cubo de su sum d El iverso de su sum e L sum de sus iversos. U tied de ro uci e sus escrtes ue está de rebjs ue todos sus rtículos está rebjdos u 0 % sobre el recio imreso e cd etiuet. Escribe lo ue gremos or u red e fució de lo ue rece e su etiuet.. El terior comercio, e los últimos dís del eriodo de rebjs, dese deshcerse de sus eistecis r ello h decidido umetr el descueto. Mtiee el 0 % r l comr de u úic red, rtir de l segud, el descueto totl umet u % or cd uev iez de ro, hst u máimo de 0 rtículos. Aliz cuáto gremos l relizr u comr e fució de l sum totl de ls ctiddes ue figur e ls etiuets del úmero de rtículos ue se duier.. Clcul el vlor umérico de ls siguietes eresioes lgebrics r el vlor o vlores ue se idic: + r = 0. b + b + b r = b =. c + r =.. Idic, e cd cso, el vlor umérico de l siguiete eresió: z =, =, z = b =, = 0, z = c = 0, =, z = 0. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

6 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO.. Moomios. Poliomios Us eresioes lgebrics de gr utilidd so los oliomios, cu versió más simle, l vez, geerdor de ellos, so los moomios. U moomio viee ddo or el roducto de úmeros reles e idetermids. Llmremos coeficiete de u moomio l úmero rel ue multilic l idetermid, o idetermids; l idetermid, o idetermids, coform l rte literl del moomio. Ejemlos: L eresió ue os roorcio el doble de u ctidd,, es u moomio co u úic vrible,, coeficiete. El volume de u cilidro, r h, es u moomio co dos idetermids, r h, coeficiete. Su rte literl es r h. Otros moomios:, z L eresió está formd or tres térmios, tres moomios. Cd uo tiee u coeficiete u rte literl: E el rimero,, el coeficiete es l rte literl El segudo,, tiee or coeficiete rte literl Y e el tercero,, el coeficiete es l rte literl Atediedo l eoete de l vrible, o vribles, djudicremos u grdo cd moomio co rreglo l siguiete criterio: Cudo h u úic idetermid, el grdo del moomio será el eoete de su idetermid. Si rece vris idetermids, el grdo del moomio será l sum de los eoetes de ess idetermids. Ejemlos: es u moomio de grdo e l vrible. r h es u moomio de grdo e ls idetermids r h. es u moomio de grdo e e. z es u moomio de grdo e, z. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

7 0 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO U úmero rel uede ser cosiderdo como u moomio de grdo 0. U oliomio es u eresió costruid rtir de l sum de moomios. El grdo de u oliomio vedrá ddo or el mor grdo de sus moomios. Ejemlos: es u oliomio de grdo e l vrible. es u oliomio de grdo e ls idetermids e. es u oliomio de grdo e e. z es u oliomio de grdo e, z. Tto e est secció como e l siguiete os limitremos, básicmete, cosiderr oliomios co u úic vrible. Es hbitul escribir los diferetes moomios de u oliomio de form ue sus grdos v e desceso r, co este criterio, recir e su rimer moomio cuál es el grdo del oliomio. El secto geérico de u oliomio e l vrible es dode los coeficietes k so úmeros reles Decimos ue u oliomio es móico cudo el coeficiete de su térmio de mor grdo es igul. Ejemlos: es u oliomio de grdo e l vrible. es u oliomio de grdo e l idetermid. z z es u oliomio de grdo e z. Además, es u oliomio móico. es u oliomio de grdo e. Como ocurre co culuier eresió lgebric, si fijmos, o escogemos, u vlor cocreto r l vrible de u oliomio rece u úmero rel: el vlor umérico del oliomio r ese vlor determido de l vrible. Si hemos llmdo u oliomio, l evlució de e, or ejemlo, el úmero l deotmos or, leemos de meos tres o e meos tres. Co este criterio, si es u oliomio cu idetermid es l vrible, odemos referiros él como o idistitmete. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

8 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO De est form recimos ue u oliomio uede ser etedido como u mer cocret de sigr cd úmero rel otro úmero rel. Ejemlos: Si evlumos el oliomio e os ecotrmos co el úmero El vlor del oliomio r es 0 Al rticulrizr el oliomio z z r e 0 z result el úmero 0 r... Sum de oliomios Como u oliomio es u sum de moomios, l sum de dos oliomios es otro oliomio. A l hor de sumr dos oliomios rocederemos sumr los moomios de igul rte literl. Ejemlos: L sum de los oliomios es el oliomio + + = + E el siguiete ejemlo sumremos dos oliomios disoiédolos, decudmete, uo sobre otro. Ejemlo:

9 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Proieddes de l sum de oliomios Proiedd comuttiv. Si so dos oliomios, o imort el orde e el ue los colouemos l hor de sumrlos: Ejemlo: Proiedd socitiv. Nos señl cómo se uede sumr tres o más oliomios. Bst hcerlo gruádolos de dos e dos: r r Ejemlo: Tmbié: Actividdes rouests. Reliz ls siguietes sums de oliomios: Elemeto eutro. H u oliomio co u roiedd rticulr: el resultdo de sumrlo co culuier otro siemre es éste último. Se trt del oliomio ddo or el úmero 0, el oliomio cero. Ejemlo: 0 0

10 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Elemeto ouesto. Cd oliomio tiee socido otro, l ue llmremos su oliomio ouesto, tl ue l sum de mbos es igul l oliomio cero. Alczmos el oliomio ouesto de uo ddo, simlemete, cmbido el sigo de cd moomio. Ejemlo: El oliomio ouesto de es, l ue deotremos como " ". Rtifiuemos ue su sum es el oliomio cero: 0 Actividdes rouests. Escribe el oliomio ouesto de cd uo de los siguietes oliomios: 0. Cosider los oliomios,, sí como el oliomio sum s. Hll los vlores ue dot cd uo de ellos r, es decir, clcul, s. Estudi si eiste lgu relció etre esos tres vlores.. Obté el vlor del oliomio e. Qué vlor tom el oliomio ouesto de e?.. Producto de oliomios Otr oerció ue odemos relizr co oliomios es l multilicció. El resultdo del roducto de oliomios siemre será otro oliomio. Auue e u oliomio teemos u idetermid, o vrible, como ell tom vlores e los úmeros reles, l hor de multilicr oliomios utilizremos ls roieddes de l sum el roducto de los úmeros reles, e rticulr l roiedd distributiv del roducto resecto de l sum; sí, todo ued e fució del roducto de moomios, cuestió ue resolvemos co fcilidd: b m b m Ejemlos: 0 0 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

11 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Tmbié odemos mterilizr el roducto de oliomios tl como multilicmos úmeros eteros: Ejemlo: Recordemos ue el oliomio ouesto de otro se obtiee simlemete cmbido el sigo de cd moomio. Est cció se corresode co multilicr or el úmero el oliomio origil. De est form el oliomio ouesto de es E este mometo rece de mer turl l oerció difereci, o rest, de oliomios. L defiimos co l ud del oliomio ouesto de uo ddo: Ejemlo: Actividdes rouests. Efectú los siguietes roductos de oliomios:

12 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. Reliz ls siguietes diferecis de oliomios:. Multilic cd uo de los siguietes oliomios or u úmero de tl form ue surj oliomios móicos:. Clcul simlific los siguietes roductos: b c b b d Proieddes del roducto de oliomios Proiedd comuttiv. Si so dos oliomios, o imort el orde e el ue los colouemos l hor de multilicrlos: Ejemlo: Proiedd socitiv. Nos señl cómo se uede multilicr tres o más oliomios. Bst hcerlo gruádolos de dos e dos: r r Ejemlo:

13 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Tmbié: Actividdes rouests. Reliz los siguietes roductos de oliomios: Elemeto eutro. H u oliomio co u roiedd rticulr: l multilicrlo or culuier otro siemre os d éste último. Se trt del oliomio ddo or el úmero, el oliomio uidd. Ejemlo: Proiedd distributiv de l multilicció resecto de l sum. Cudo e u multilicció de oliomios uo de los fctores viee ddo como l sum de dos oliomios como, or ejemlo, teemos dos ocioes r coocer el resultdo: relizr l sum, desués, multilicr b distribuir, licr, l multilicció cd uo de los sumdos, desués, sumr: Comrobmos ue obteemos el mismo resultdo. E geerl, l roiedd distributiv de l multilicció resecto de l sum os dice ue r r Coviee cometr ue l terior roiedd distributiv leíd e setido cotrrio, de derech izuierd, es lo ue comúmete se deomi scr fctor comú. Ejemlo: Actividdes rouests. De cd uo de los siguietes oliomios etre lgú fctor ue se comú sus moomios: 0 0 0

14 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. Itroducció ls frccioes oliómics Hst este mometo hemos estudido vris oercioes co oliomios: sum, rest roducto. E culuier de los csos el resultdo siemre es otro oliomio. Cudo estblecemos u frcció oliómic como, or ejemlo, lo ue teemos es u eresió lgebric, u frcció lgebric, l cul, e geerl, o es u oliomio. Sí rece u oliomio e el mu rticulr cso e el ue el deomidor es u úmero rel diferete de cero, esto es, u oliomio de grdo 0. Es secillo costtr ue l eresió terior o es u oliomio: culuier oliomio uede ser evludo e culuier úmero rel. Si embrgo es eresió o uede ser evlud r, ue os uedrí el úmero 0 e el deomidor. Podrímos creer ue l siguiete frcció oliómic sí es u oliomio: L eresió de l derech sí es u oliomio, ues se trt de u sum de moomios, ero l de l izuierd o lo es ue o uede ser evlud e 0. No obstte, es frcció lgebric el oliomio, cudo so evludos e culuier úmero diferete de cero, ofrece el mismo vlor. So eresioes euivletes llí dode mbs tiee setido... Divisió de oliomios Auue, como hemos visto e el rtdo terior, u frcció oliómic, e geerl, o es u oliomio, vmos detrros e l divisió de oliomios ues es u cuestió imortte útil. Alicemos co deteimieto l divisió de dos úmeros eteros ositivos. Cudo dividimos dos úmeros, D dividedo etre d divisor, distito de 0, surge otros dos, el cociete c el resto r. Ellos se ecuetr ligdos or l llmd rueb de l divisió: Altertivmete: D d c r c Además, decimos ue l divisió es ect cudo r 0. D d El coocido lgoritmo de l divisió ersigue ecotrr u úmero etero, el cociete c, tl ue el resto r se u úmero meor ue el divisor d, mor o igul ue cero. Fijémoos e ue, si est eigeci r el resto r, odemos escoger rbitrrimete u vlor r el cociete c el cul os sumiistr su vlor socido como resto r. E efecto, si teemos como dividedo D = como divisor d =, si ueremos ue el cociete se c = su resto socido es r d Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

15 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO r Dd c l coeió etre estos cutro úmeros es Est últim lectur de l divisió de úmeros eteros v guiros l hor de dividir dos oliomios. Ddos dos oliomios, l divisió de, oliomio dividedo, etre, oliomio divisor, os roorciorá otros dos oliomios, el oliomio cociete c el oliomio resto r. Tmbié uí esrá u eigeci sobre el oliomio resto: su grdo deberá ser meor ue el grdo del oliomio divisor. L relció etre los cutro será, turlmete, Tmbié escribiremos c r r c uue, e tl cso, seremos coscietes de ls cutels señlds e el rtdo terior e cuto ls euivlecis etre oliomios otrs eresioes lgebrics. Al igul ue ocurre co el lgoritmo de l divisió eter, el lgoritmo de l divisió de oliomios cost de vris ets, de crácter reetitivo, e cd u de ls cules rece uos oliomios cociete resto rovisioles de form ue el grdo de esos oliomios resto v descediedo hst ue os tomos co uo cuo grdo es iferior l grdo del oliomio divisor, lo ue idic ue hemos cocluido. Vemos este rocedimieto co u ejemlo cocreto. Ejemlo: Vmos dividir el oliomio etre el oliomio. Como el oliomio divisor,, es de grdo, debemos ecotrr dos oliomios, u oliomio cociete c, u oliomio resto r de grdo o 0, tles ue c r o, como iguldd etre eresioes lgebrics, r c A l vist de los oliomios, de lo dicho sobre r, es evidete ue el grdo del oliomio cociete, c, h de ser igul. Vmos obteerlo moomio moomio. Primer roimció los oliomios cociete resto: Pr oder logrr l iguldd cr, como el grdo de r será o 0, el térmio de mor grdo de,, surgirá del roducto c. Así obteemos l rimer roimció de c, su moomio de mor grdo: c, de mer utomátic, tmbié u rimer resto r : Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

16 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO c r Como este oliomio r es de grdo, mor ue, el grdo del oliomio divisor, ese oliomio resto o es el defiitivo; debemos cotiur. Segud roimció los oliomios cociete resto: Si rticulrizmos l iguldd etre eresioes lgebrics r c lo ue teemos hst hor result Est segud et cosiste e dividir el oliomio r, surgido como resto de l et terior, etre el oliomio, el divisor iicil. Es decir, reetimos lo hecho tes ero cosiderdo u uevo oliomio dividedo: el oliomio resto del so terior. El uevo objetivo es lczr l iguldd r c r. Al igul ue tes, el grdo de r deberí ser o 0. Como el térmio de mor grdo de r,, sle del roducto c, es ecesrio ue el oliomio cociete coteg el moomio c Ello os llev u segudo resto r : c r r Como este oliomio r es de grdo, igul ue el grdo del oliomio divisor, ese oliomio resto o es el defiitivo; debemos cotiur. Tercer roimció los oliomios cociete resto: Lo relizdo e l et segud os ermite vzr e l decud descomosició de l eresió lgebric ue os ocu: Est tercer et cosiste e dividir el oliomio r, el resto de l et terior, etre el oliomio, el divisor iicil. De uevo reetimos el lgoritmo ero co otro oliomio dividedo: el oliomio resto del so terior. Perseguimos ue r c r. Como e cd so, el grdo de r deberí ser o 0. El térmio de mor grdo de r,, surge del roducto c, or lo ue c el tercer resto r es

17 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios 0 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO c r r Como este oliomio r es de grdo, meor ue, grdo del oliomio divisor, ese oliomio resto sí es el defiitivo. Hemos cocluido: Si lo eresmos medite oliomios: Coclusió: l dividir el oliomio etre el oliomio obteemos como oliomio cociete c como oliomio resto r. Seguidmete vmos gilizr l divisió de oliomios: Actividdes rouests. Comrueb ue los cálculos ue tiees cotiució reflej lo ue se hizo e el ejemlo terior r dividir el oliomio etre el oliomio. Primer et: Primer segud ets: Ls tres ets:

18 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. Divide los siguietes oliomios: etre 0 etre etre 0 etre etre 0. Ecuetr dos oliomios tles ue l dividirlos rezc como oliomio cociete r como resto... Oercioes co frccioes lgebrics Puesto ue tto los oliomios como ls frccioes lgebrics obteids rtir de dos oliomios so, e oteci, úmeros reles, oerremos co tles eresioes siguiedo ls roieddes de los úmeros reles. Sum o rest. Pr sumr o restr dos frccioes oliómics deberemos coseguir ue teg igul deomidor. U mer segur de logrrlo, uue uede o ser l más decud, es ést: Producto. Bst multilicr los umerdores deomidores etre sí: Divisió. Sigue l coocid regl de l divisió de frccioes umérics: Actividdes rouests. Efectú los siguietes cálculos:

19 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO :. Reliz ls siguietes oercioes lterdo, e cd rtdo, úicmete uo de los deomidores, su resectivo umerdor:. Comrueb ls siguietes idetiddes simlificdo l eresió del ldo izuierdo de cd iguldd: b b b b b b b b b b. Clcul los siguietes cocietes: : b 0 : c 0 : d :. Simlific ls siguietes frccioes lgebrics: b c d b b b b

20 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO.. Fctorizció de u oliomio Tl como ocurre co l divisió eter, l divisió de oliomios tmbié uede ser ect, es decir, el resto uede ser el oliomio cero. Ejemlo: 0 E este cso escribimos diremos ue divide. Si otmos or u iguldd oliómic: Observmos ue el hber obteido como resto el oliomio 0 os ermite eresr el oliomio dividedo,, como roducto de otros dos oliomios, los oliomios divisor cociete, c. Hemos lczdo u fctorizció del oliomio, o u descomosició e fctores de. E geerl, u oliomio cocreto uede ser fctorizdo, o descomuesto, or medio de diferetes gruos de fctores. Si cotiumos co el oliomio terior, u mer de obteer u descomosició ltertiv cosiste e, su vez, lczr u fctorizció de lguo de los oliomios o c. Costtemos ue el oliomio divide c : 0

21 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO E efecto, l divisió es ect ello os llev l siguiete iguldd: Si l trsldmos l descomosició ue teímos de : Actividdes rouests. Comlet, cudo se osible, ls siguietes fctorizcioes:. Determi u oliomio de grdo ue dmit u descomosició fctoril e l ue rticie el oliomio. Decimos ue u oliomio es reducible si dmite u fctorizció medite oliomios de grdo iferior l suo. E cso cotrrio el oliomio será irreducible. Es clro ue los oliomios de grdo o uede ser descomuestos como roducto de otros dos oliomios de meor grdo. So oliomios irreducibles. E el siguiete rtdo costtremos ue h oliomios de grdo ue tmbié so irreducibles. De ls diferetes fctorizcioes ue uede dmitir u oliomio l ue más iformció os roorcio es uell e l ue todos los fctores ue iterviee so oliomios irreducibles, uesto ue o es mejorble. Coviee dvertir ue, e geerl, o es fácil lczr ese tio de descomosicioes. Seguidmete vmos hodr e est cuestió... Ríces de u oliomio Ddo u oliomio diremos ue u úmero rel cocreto es u ríz, o u cero, del oliomio, si l evlur e obteemos el úmero 0, esto es, si 0 Ejemlo: Cosideremos el oliomio s. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

22 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO El úmero es u ríz de s, uesto ue s 0 Otr ríz de s es el úmero : s E cmbio, el úmero o es u ríz de s : Tmoco es ríz de s el úmero 0: 0 s 0 s Actividdes rouests. Estudi si los siguietes úmeros so o o ríz de los oliomios idicdos: de de de 0 de de E el siguiete ejercicio vmos recoger lgus coeioes etre ls ríces de u oliomio ls oercioes de sum roducto de oliomios. Actividdes rouests. Suogmos ue teemos dos oliomios, Si es u ríz de Si es u ríz de, u úmero rel., tmbié es ríz del oliomio sum?, tmbié es ríz del oliomio roducto? H lgu relció etre ls ríces del oliomio ls del oliomio? El ue u úmero rel se ríz de u oliomio está fuertemete coectdo co l fctorizció de dicho oliomio: Si u úmero rel cocreto es u ríz del oliomio, etoces el oliomio divide. Dicho de otro modo, el oliomio dmite u descomosició fctoril de l siguiete form: Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

23 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO c r cierto oliomio c, el cul uede ser coocido l dividir etre. Vmos demostrr l terior severció. Si dividimos etre, obtedremos c r Como el oliomio divisor,, es de grdo, el oliomio resto h de ser de iferior grdo, deducimos ue el resto terior es u úmero rel. Escribmos r : c El oliomio de l izuierd,, es idético l de l derech, c. Por es rzó, l evlurlos e cierto úmero rel obtedremos el mismo vlor. Procedmos rticulrizrlos r. Al ser ríz de, 0. Esto os llev, sí, el resto es 0, 0 c 0 c 0 c Es turl ue os regutemos si es cierto el recíroco del resultdo terior. L resuest es firmtiv: Si u oliomio dmite u descomosició fctoril de l form c r cierto oliomio c cierto úmero rel, etoces el úmero es u ríz del oliomio, esto es, 0. Su demostrció es secill. Bst ue evluemos e : c 0 c 0 Si fudimos estos dos últimos resultdos e uo solo os ecotrmos te el deomido teorem del fctor: Teorem del fctor. U úmero rel cocreto es ríz de u oliomio si solo si el oliomio divide, es decir, si solo si el oliomio dmite u descomosició fctoril de l form c Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

24 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Ejemlo: Volvmos co el oliomio s. Sbemos ue el úmero es u ríz de s. Rtifiuemos ue divide s : 0 Podemos descomoer s de l siguiete form: Vimos ue otr ríz de s es el úmero. Si observmos l recedete fctorizció de s, es evidete ue este úmero o es ríz del fctor, or lo ue ecesrimete debe serlo del otro fctor c : c 0 Al hber costtdo ue es ríz del oliomio c, deducimos ue os v udr descomoer c : Luego: 0 Si reuimos lo hecho e los rtdos recedetes de este ejemlo: s Se h descomuesto s como roducto de tres oliomios irreducibles de grdo. A l vist de ellos coocemos tods ls ríces de s, los úmeros,. Los resultdos teóricos ue hemos estblecido os coduce este otro: Todo oliomio de grdo tiee lo sumo ríces reles, lgu de ls cules uede recer reetid etre esos o más de úmeros reles. H oliomios ue o dmite ríces, es decir, ue o se ul uc: Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

25 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Ejemlos: El oliomio t o tiee ríces uesto ue l evlurlo e culuier úmero rel siemre os d u vlor ositivo, or lo tto, distito de 0: t 0 Además, este oliomio de grdo dos, t, es u oliomio irreducible orue, l crecer de ríces, o odemos eresrlo como roducto de oliomios de meor grdo. Otro oliomio si ríces es u Si embrgo, u es u oliomio reducible uesto ue, obvimete, uede ser eresdo como roducto de dos oliomios de iferior grdo. Auue o se osible demostrrlo, or su dificultd, sí se uede ucir ue todo oliomio de grdo imr osee, l meos, u ríz rel. Actividdes rouests 0. Costrue u oliomio de grdo tl ue ose tres ríces distits.. Determi u oliomio de grdo tl ue teg, l meos, u ríz reetid.. Costrue u oliomio de grdo de form ue teg u úic ríz.. Cojetur, luego demuestr, u le ue os ermit sber cuádo u oliomio culuier... 0 dmite l úmero 0 como ríz.. Demuestr u orm ue señle cuádo u oliomio culuier... 0 dmite l úmero como ríz.. Obté tods ls ríces de cd uo de los siguietes oliomios: Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

26 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO.. Regl de Ruffii E el rtdo terior se robó l euivleci etre ue u úmero rel se ríz de u oliomio el hecho de ue el oliomio móico de grdo uo divid, esto es, ue eist otro oliomio c tl ue se osible u fctorizció de del tio: c Debido l imortci ue tiee l divisió de oliomios cudo el oliomio divisor es de l form, es coveiete gilizr tles divisioes. Ejemlo: Cosideremos el oliomio. Vmos dividirlo etre. Si el resto es 0 el úmero será u ríz de ; e el cso cotrrio, si o es 0 el resto, etoces o será ríz de Puesto ue el resto o es cero, o es u ríz de. 0 Vemos cómo h surgido tto el oliomio cociete como el resto. El ue el grdo del dividedo se tres ue el divisor se de grdo uo imoe ue el cociete teg grdo dos ue el resto se u úmero rel. El cociete cost de los moomios, 0, los cules coicide co los moomios de mor grdo de cd uo de los dividedos desués de dismiuir sus grdos e u uidd: rocede de el dividedo iicil, 0 viee de 0, or último, de. Este hecho, coicideci e el coeficiete dismiució del grdo e u uidd, se debe ue el divisor,, es móico de grdo uo. Seguidmete, vmos teer e cuet úicmete los coeficietes del dividedo, or orde de grdo,,, ; e cuto l divisor, como es móico de grdo uo, bst cosiderr su térmio ideediete, +, ero como el resultdo de multilicr los moomios ue v coformdo el Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

27 0 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO cociete or el divisor hemos de restárselo cd uo de los dividedos, tediedo este cmbio de sigo, e lugr del térmio ideediete, +, oerremos co su ouesto,, úmero ue, l vez, es l ríz del divisor sobre el ue es l regut de si es o o ríz de. Primer so de l divisió: 0 Arece e el cociete el moomio coeficiete, el cul rovoc l desrició de e el dividedo l rició del moomio coeficiete. Desués de oerr sumr os ecotrmos co 0 coeficiete 0, e el cociete, 0. Segudo so. El dividedo s ser L irrució e el cociete del moomio 0 coeficiete 0 rovoc l desrició de 0 e el dividedo l rició del moomio 0 coeficiete 0 0. Desués de oerr sumr os ecotrmos co coeficiete 0 Tercer so. El dividedo s ser , e el cociete,. Teemos e el cociete el térmio ideediete. Éste rovoc l elimició de e el dividedo l rició del térmio. Desués de oerr sumr os ecotrmos co el resto. E cd uo de los sos figur, e l rte derech, lo mismo ue se h relizdo e l divisió coveciol, ero co l vetj de ue todo es más ágil debido ue úicmete se mej úmeros reles: los coeficietes de los distitos oliomios iterviietes. 0 0 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

28 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Estmos te l llmd regl de Ruffii, u lgoritmo ue os roorcio tto el cociete como el resto ue result de dividir u oliomio culuier etre otro de l form. Ejemlo: Dividmos el oliomio etre : 0 El cociete es el resto. Como el resto o es 0 deducimos ue el úmero o es ríz de. L relció etre dividedo, divisor, cociete resto es, como siemre: Si evlumos e o uede dr cero, ero ué vlor result? 0 Nturlmete hemos obteido el resto terior. Este hecho viee recogido e el deomido teorem del resto. Teorem del resto. El vlor umérico ue dot u oliomio l rticulrizrlo e coicide co el resto ue rece l dividir etre. Actividdes rouests. Us l regl de Ruffii r relizr ls siguietes divisioes de oliomios: etre etre etre etre. Emle l regl de Ruffii r dictmir si los siguietes úmeros so o o ríces de los oliomios citdos: de de de de Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

29 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. Utiliz l regl de Ruffii r coocer el vlor del oliomio e.. Estudi si es osible usr l regl de Ruffii, de lgu form, r dividir etre. Pr fcilitr l comresió de los cocetos resultdos de este tem l morí de los úmeros ue h recido hst hor, coeficietes, ríces, etc., h sido úmeros eteros. Por suuesto ue odemos ecotrros co oliomios co coeficietes rcioles, o irrcioles, o co oliomios co ríces dds or u frcció o u úmero irrciol. Tmbié eiste oliomios ue crece de ríces. Ejemlos: Comrobemos, medite l regl de Ruffii, ue es ríz del oliomio : / 0 Pr coocer ls ríces del oliomio debemos estudir si h lgú úmero rel tl ue lo ule, es decir, r el ue se teg 0 Así, el oliomio de grdo dos irrcioles. tiee dos ríces distits, ls cules so úmeros Y sbemos ue h oliomios ue crece de ríces, como or ejemlo. Arecimos ue l regl de Ruffii os iform sobre si u úmero cocreto es o o ríz de u oliomio. Nturlmete, cudo estmos te u oliomio, os iteres coocer sus ríces, o es osible efectur u rueb co cd úmero rel r determir cuáles so ríz del oliomio. E el róimo rtdo destcremos ciertos úmeros cdidtos ser ríz de u oliomio... Cálculo de ls ríces de u oliomio A l hor de buscr ls ríces eters de u oliomio disoemos del siguiete resultdo: Ddo u oliomio culuier... 0 cuos coeficietes so todos úmeros eteros, sus ríces eters, si ls tuvier, se ecuetr ecesrimete etre los divisores eteros de su térmio ideediete 0. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

30 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Procedmos su demostrció. Suogmos ue cierto úmero etero es u ríz de ese oliomio. Tl úmero debe ulrlo: E l últim iguldd, el úmero del ldo izuierdo es etero, orue está eresdo como u sum de roductos de úmeros eteros. Por ello, el úmero del ldo derecho, 0, tmbié es etero. Al ser tmbié eteros tto 0 como, lczmos ue es u divisor de Ejemlos: Determiemos, co rreglo l terior resultdo, ué úmeros eteros so cdidtos ser ríces del oliomio : Tles úmeros eteros cdidtos debe ser divisores de, el térmio ideediete del oliomio. Por ello, los úicos úmeros eteros ue uede ser ríz de ese oliomio so:,,, Puede comrobrse ue los úmeros eteros so ríces; los demás o lo so. Ls úics osibles ríces eters del oliomio tmbié so:,,, E este cso iguo de esos úmeros es ríz del oliomio. Actividdes rouests 0. Pr cd uo de los siguietes oliomios señl, e rimer lugr, ué úmeros eteros so cdidtos ser ríces sus, desués, determi cuáles lo so: Algo más geerl odemos firmr sobre clses de úmeros ríces de u oliomio: Ddo u oliomio culuier... 0 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

31 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO cuos coeficietes so todos úmeros eteros, sus ríces rcioles, si ls tuvier, ecesrimete tiee or umerdor lgú divisor del térmio ideediete, 0, or deomidor lgú divisor del coeficiete del térmio de mor grdo,. Ejemlos: Volviedo uo de los oliomios del ejemlo terior,, los úmeros rcioles cdidtos ser ríces sus tiee or umerdor u divisor de or deomidor u divisor de. Por lo tto, los úicos úmeros rcioles ue uede ser ríz de ese oliomio so:,,,,,,, Además de, tmbié es ríz ; los demás o lo so. Ls úics osibles ríces rcioles del oliomio so:,,, E este cso iguo de esos úmeros es ríz del oliomio. Actividdes rouests. Comlet el ejemlo recedete comrobdo ue, e efecto, es ríz del oliomio.. Pr cd uo de los siguietes oliomios idic ué úmeros rcioles so cdidtos ser ríces sus, desués, determi cuáles lo so: E el cítulo róimo, dedicdo ls ecucioes, seremos cces de obteer ls ríces de todo oliomio de grdo dos, si ls tuviere... Fctorizció de oliomios frccioes lgebrics L fctorizció de oliomios uede ser utilizd r simlificr lgus eresioes e ls ue iterviee frccioes lgebrics. Veámoslo trvés de u r de ejemlos: Ejemlo: U frcció lgebric como Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

32 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO uede ser simlificd grcis ue el umerdor el deomidor dmite fctorizcioes e ls ue lgú oliomio está resete e mbs. Como hemos utdo e otrs ocsioes, ls eresioes fil e iicil o so idétics ero sí so euivletes e todos uellos vlores r los ue mbs tiee setido, esto es, r uellos e los ue o se ul el deomidor. Ejemlo: E u sum de frccioes oliómics como ést odemos lczr u comú deomidor e ls frccioes rtir de l descomosició de cd deomidor: Coviee destcr ue e el resultdo fil se h otdo or dejr el deomidor fctorizdo. De es form, etre otrs cuestioes, se reci ráidmete r ué vlores de l idetermid es frcció lgebric o dmite ser evlud. Actividdes rouests. Simlific, si es osible, ls siguietes eresioes:. Reliz ls siguietes oercioes teiedo e cuet ls fctorizcioes de los deomidores:

33 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO.. Productos otbles de oliomios E este rtdo vmos destcr u serie de roductos cocretos de oliomios ue surge frecuetemete. Podemos eoerlos de mu diverss forms. Tl como lo hremos, recerá más de u idetermid; hemos de ser cces de recir ue si, e u lgú cso cocreto, lgu idetermid s ser u úmero cocreto esto o hrá d más ue rticulrizr u situció más geerl. Potecis de u biomio. Ls siguietes igulddes se obtiee, simlemete, trs efectur los oortuos cálculos: b bb El cudrdo de u sum es igul l cudrdo del rimero, más el doble roducto del rimero or el segudo, más el cudrdo del segudo. Comrueb l iguldd rtir de los cudrdos rectágulos de l ilustrció. b bb El cudrdo de u difereci es igul l cudrdo del rimero, meos el doble roducto del rimero or el segudo, más el cudrdo del segudo. Observ l figur coéctl co l iguldd. b bb b Rtific l iguldd co los cubos risms de l figur. b bb b Podemos observr ue, e cd uo de los desrrollos, el eoete del biomio coicide co el grdo de cd uo de los moomios. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

34 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Ejemlos: Actividdes rouests. Reliz los cálculos:. Obté ls fórmuls de los cudrdos de los siguietes triomios: bc bc. Desrroll ls siguietes otecis: + b + / c / d e b f / /. Eres como cudrdo de u sum o de u difereci ls siguietes eresioes lgebrics: + + b + c b 0b + d + + e + f + + Sum or difereci. De uevo l siguiete iguldd se obtiee trs efectur el roducto señldo: b b b Sum or difereci es igul difereci de cudrdos. Observ ls figurs coéctls co l iguldd. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

35 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO Ejemlos: Actividdes rouests. Efectú estos roductos: De vuelt los oliomios de u vrible, odemos decir ue e este rtdo hemos edido otecis de u oliomio, o roductos de u oliomio or sí mismo, sí como roductos de l form sum or difereci. Coviee drse cuet de ue sus fórmuls, leíds l revés, costitue u fctorizció de u oliomio. Ejemlos: Actividdes rouests 0. De cuerdo co lo euesto, fctoriz los siguietes oliomios:. Clcul los siguietes roductos: + b b + b c + d +. Eres como sum or difereci ls siguietes eresioes b b c d 00. Simlific ls siguietes frccioes lgebrics b c Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

36 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO CURIOSIDADES. REVISTA Numerosos ctos ue odemos ecudrr detro de "trucos de mgi" uede ser lizdos, o "destridos", medite u uso decudo de ls Mtemátics, e rticulr rtir de eresioes lgebrics. E los ejercicios tiees otros ejemlos de esto. i. Dile u comñero ue escrib e u el u úmero turl ue o lo muestre ii. Que lo multiliue or 0 iii. Que l resultdo terior le sume iv. Que multiliue or 00 lo obteido v. Qué le sume 00 vi. vii. viii. Que divid etre 000 l últim ctidd Que l resultdo recedete le reste el úmero ue escribió Tiee u! Mgi! ALGORITMOS L regl de Ruffii es u ejemlo de lgoritmo. U lgoritmo es u relció orded recis de oercioes, o ccioes, ue se h de relizr sobre los dtos iicilmete disoibles co l filidd de resolver u roblem o lczr uev iformció. Otros lgoritmos: el de l divisió de dos úmeros eteros, ue os roorcio su cociete su resto. el de Euclides, or el ue obteemos el máimo comú divisor de dos eteros ositivos. el de l ríz cudrd, ue ofrece l ríz cudrd de u úmero. el ue origi l letr de u DNI o NIF. Los lgoritmos so u ilr básico e el fuciomieto de culuier ordedor o comutdor. Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

37 0 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO COEFICIENTES BINOMIALES Cudo edimos el biomio b rece u oliomio tl ue todos sus moomios so del mismo grdo, grdo. L rte literl de cd uo de ellos es mu fácil de escribir, o sí, e riciio, cd uo de los coeficietes. Si embrgo, grcis u triágulo umérico odemos coocer los coeficietes ue corresode cd eoete : el triágulo de Trtgli o de Pscl. Es u triágulo umérico co muchs roieddes utiliddes. Autemos u roiedd: cd u de sus líes comiez coclue co el dígito, el resto de úmeros es igul l sum de los dos úmeros ue se ecuetr sobre él. Por ejemlo, el desrrollo r el eoete serí b b0 b 0 b b b Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

38 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO RESUMEN Noció Descrició Ejemlos Eresió lgebric Eresió mtemátic ue se costrue co úmeros reles ls oercioes mtemátics básics de sum, rest, multilicció /o divisió z Vrible, idetermid Vlor umérico de u eresió lgebric Moomio Coeficiete de u moomio Prte literl de u moomio Grdo de u moomio Lo o cocretdo e u eresió lgebric Al fijr u vlor cocreto r cd idetermid, o vrible, de u eresió lgebric rece u úmero rel: el vlor umérico de es eresió lgebric r tles vlores de ls idetermids Eresió dd or el roducto de úmeros reles e idetermids El úmero rel ue multilic l idetermid, o idetermids, del moomio L idetermid, o roducto de idetermids, ue multilic l coeficiete del moomio Cudo h u úic idetermid es el eoete de dich idetermid. Si rece vris, el grdo del moomio será l sum de los eoetes de ess idetermids Ls vribles, o idetermids, del ejemlo terior so,, z. Si, e l eresió recedete, hcemos =, =, z=/ obteemos z, Los coeficietes de los teriores moomios so, resectivmete, L rte literl de z es z Los grdos de los moomios recedetes so, resectivmete Poliomio Eresió costruid rtir de l sum de moomios Grdo de u oliomio Sum, rest roducto de oliomios Divisió de dos oliomios El mor grdo de sus moomios El terior oliomio es de grdo El resultdo siemre es otro oliomio = + ; = +. Se obtiee otros dos oliomios, los oliomios cociete c resto r, ligdos los oliomios + = + 0; = + ; = + +. c r Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

39 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO iiciles, los oliomios dividedo divisor Fctorizció de u oliomio Poliomio irreducible Ríz de u oliomio Ríces fctorizció Número de ríces grdo Regl de Ruffii Cosiste e eresrlo como roducto de otros oliomios de meor grdo Es uel ue o uede ser eresdo como roducto de otros oliomios de grdo iferior U úmero rel cocreto es u ríz, o u cero, del oliomio, si l evlur e obteemos el úmero 0, es decir, si 0 El ue u úmero rel cocreto se u ríz del oliomio es euivlete ue el oliomio dmit u descomosició fctoril de l form c r cierto oliomio c Todo oliomio de grdo tiee lo sumo ríces reles, lgu de ls cules uede recer reetid etre esos o más de úmeros reles Nos uede udr l hor de fctorizr u oliomio coocer sus ríces, es ríz de so ríces de es u ríz de tiee dos ríces, o tiee ríces Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

40 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. E este ejercicio se v resetr u truco medite el cul vmos divir el úmero ue result trs miulr reetidmete u úmero descoocido. Covierte e u eresió lgebric ls sucesivs ltercioes del úmero descoocido justific lo ue ocurre. i. Dile u comñero ue escrib e u el u úmero turl ue o lo muestre ii. Que lo multiliue or 0 iii. Que l resultdo terior le sume 00 iv. Que multiliue or 000 lo obteido v. Que divid etre 0000 l últim ctidd vi. Que l resultdo recedete le reste el úmero ue escribió vii. Ideedietemete del úmero descoocido origil ué úmero h surgido?. E este otro ejercicio vmos divir dos úmeros ue h esdo u comñero. Costrue u eresió lgebric ue recoj todos los sos, filmete, descubre el truco. i. Solicit u comñero ue escrib e u el, o muestre, dos úmeros turles: uo de u cifr etre otro de dos cifrs etre 0 ii. Que multiliue or el úmero escogido de u cifr iii. Que l resultdo terior le sume iv. Que multiliue or lo obteido v. Que l últim ctidd le sume 0 vi. Que multiliue el resultdo recedete or vii. Que le sume lo terior el úmero de dos cifrs ue eligió viii. Dile l comñero ue desvele cuál es el resultdo de todos esos cmbios i. Qué debemos hcer r descubrir los dos úmeros ue escogió el comñero?. Estudi si h úmeros reles e los ue ls siguietes eresioes o uede ser evluds:. U erso tiee horrdos 000 euros decide deositrlos e u roducto bcrio co u tio de iterés ul del %. Si decide recuerr sus horros l cbo de dos ños, cuál será l ctidd totl de l ue disodrá? Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

41 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. Geerlicemos el ejercicio terior: Si igresmos X euros e u deósito bcrio cuo tio de iterés es del i % ul, cuál será l ctidd ue recuerremos l cbo de ños?. Costrue u oliomio de grdo,, tl ue.. Cosideremos los oliomios, r. Reliz ls siguietes oercioes: r r r. Clcul los roductos: b b 0, 0, + 0,z 0, + 0, 0,z c b. Efectú ls divisioes de oliomios: etre 0 etre 0. Clcul los cocietes: : b z : / z c + + : +. Reliz ls oercioes etre frccioes lgebrics: :. Costrue u oliomio de grdo tl ue el úmero se ríz su.

42 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. Determi u oliomio de grdo tl ue sus ríces se, 0.. Costrue u oliomio de grdo tl ue teg úicmete dos ríces reles.. Ecuetr u oliomio tl ue l dividir etre se obteg como oliomio resto r.. Hll ls ríces eters de los siguietes oliomios:. Obté ls ríces rcioles de los oliomios del ejercicio terior.. Descomó los siguietes oliomios como roducto de oliomios irreducibles:. Clcul ls otecis: + z b c / + b d 0. Aliz si los siguietes oliomios h surgido del desrrollo de otecis de biomios, o triomios, o de u roducto sum or difereci. E cso firmtivo eres su rocedeci. 0 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

43 Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO. Descomó e fctores: b c z d +. Co este ejercicio se retede mostrr l coveieci l hor de o oerr u eresió oliómic ue teemos fctorizd totl o rcilmete. Comrueb l iguldd. b Determi tods ls ríces del oliomio.. Fctoriz umerdor deomidor simlific: b c. Efectú ls siguietes oercioes simlific todo lo osible: b c. Efectú ls siguietes oercioes simlific todo lo osible: : b b b c. Efectú ls siguietes oercioes simlific todo lo osible: : b : c b b b b b b :. Efectú ls siguietes oercioes simlific todo lo osible: : b : c

44 Eresioes lgebrics. Poliomios. ºB ESO AUTOEVALUACIÓN. Señl los coeficietes ue rece e ls siguietes eresioes lgebrics: z b c z. El vlor umérico de l eresió e,, z es: z b c d. Comlet decudmete ls siguietes frses: L sum de dos oliomios de grdo dos es siemre otro oliomio de grdo. b L sum de tres oliomios de grdo dos es siemre otro oliomio de grdo. c El roducto de dos oliomios de grdo dos es siemre otro oliomio de grdo. d L difereci de dos oliomios de grdo dos es siemre otro oliomio de grdo.. Al dividir el oliomio etre el oliomio resto resultte: debe ser de grdo. b uede ser de grdo. c debe ser de grdo. d igu de ls ocioes recedetes.. Cosider el oliomio. Cuáles de los siguietes úmeros eteros so rzobles cdidtos r ser u ríz su? b c d. Cosider el oliomio. Cuáles de los siguietes úmeros rcioles so rzobles cdidtos r ser u de sus ríces? b c. Todo oliomio co coeficietes eteros de grdo tres tiee tres ríces. b tiee, lo sumo, tres ríces. c tiee, l meos, tres ríces.. Es osible ue u oliomio, co coeficietes eteros, de grdo cutro teg ectmete tres ríces, se diferetes o co lgu múltile?. Justific l vercidd o flsedd de cd u de ls siguietes frses: L regl de Ruffii sirve r dividir dos oliomios culesuier. b L regl de Ruffii ermite dictmir si u úmero es ríz o o de u oliomio. c L regl de Ruffii solo es válid r oliomios co coeficietes eteros. d L regl de Ruffii es u lgoritmo ue os roorcio tods ls ríces de u oliomio. 0. Aliz si uede hber lgú oliomio de grdo ocho ue o teg igu ríz. d Mtemátics º B de ESO. Cítulo º : Eresioes lgebrics. Poliomios

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