Polinomios. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid

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1 Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

2 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0

3 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n: grado del polinomio

4 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n: grado del polinomio a n : coeficiente principal

5 Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n: grado del polinomio a n : a 0 : coeficiente principal término independiente

6 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a.

7 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2

8 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

9 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2

10 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2 = ( 3) 2

11 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2 = ( 3) 2 =

12 Valor numérico. Definición El valor numérico de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = 2 ( 3) 4 5 ( 3) ( 3) 2 = ( 3) 2 = = 103

13 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini.

14 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2

15 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

16 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

17 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

18 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

19 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

20 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

21 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

22 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

23 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

24 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

25 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

26 Valor numérico. Regla de Ruffini(1) El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x 4 5x 2 + 4x 2 Calculemos su valor numérico para x = 3:

27 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0

28 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente:

29 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +

30 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0

31 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0 = a 0 = a 1 r a 2 r 2 a 3 r 3

32 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0 = a 0 = a 1 r a 2 r 2 a 3 r 3 = a 0 = r(a 1 + a 2 r + a 3 r 2 + )

33 Raíces de un polinomio Definición Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a 2 r 2 + a 3 r 3 + = 0 = a 0 = a 1 r a 2 r 2 a 3 r 3 = a 0 = r(a 1 + a 2 r + a 3 r 2 + ) = r es divisor de a 0

34 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1)

35 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1) Son polinomios primos los que no pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo, 3x 6 o x son polinomios primos.

36 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1) Son polinomios primos los que no pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo, 3x 6 o x son polinomios primos. Los polinomios primos son los polinomios de primer grado y los de segundo que no tienen raíces (los de discriminante menor que cero). Todos los demás pueden descomponerse en factores y son compuestos.

37 primos y compuestos Son polinomios compuestos los que pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo x 2 1 es compuesto porque puede descomponerse como: x 2 1 = (x + 1)(x 1) Son polinomios primos los que no pueden descomponerse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo, 3x 6 o x son polinomios primos. Los polinomios primos son los polinomios de primer grado y los de segundo que no tienen raíces (los de discriminante menor que cero). Todos los demás pueden descomponerse en factores y son compuestos.

38 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x)

39 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración.

40 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración. Sea r raíz del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0.

41 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración. Sea r raíz del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. Si se divide P (x) por x r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: P (x) = (x r)q(x) + R

42 Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x) Demostración. Sea r raíz del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. Si se divide P (x) por x r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: Para x = r: P (x) = (x r)q(x) + R P (r) = (r r)q(r) + R = R = P (r) = 0 y por consiguiente P (x) = (x r)q(x).

43 Teorema del resto Teorema (Teorema del resto) El resto de dividir un polinomio por x a es el valor numérico del polimomio para x = a. P (x) = (x a)q(x) + R R = P (a)

44 Teorema del resto Teorema (Teorema del resto) El resto de dividir un polinomio por x a es el valor numérico del polimomio para x = a. P (x) = (x a)q(x) + R R = P (a) Demostración. Si se divide P (x) por x a se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: Para x = a: P (x) = (x a)q(x) + R P (a) = (a a)q(a) + R = R = P (a)

45 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini

46 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: Divisor: Cociente: Resto:

47 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: Cociente: Resto:

48 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: x + 3 Cociente: Resto:

49 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: x + 3 Cociente: 2x 3 6x x 35 Resto:

50 Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: 2x 4 5x 2 + 4x 2 Divisor: x + 3 Cociente: 2x 3 6x x 35 Resto: 103

51 Factorización de un polinomio de segundo grado Sea ax 2 + bx + c un polinomio de segundo grado.

52 Factorización de un polinomio de segundo grado Sea ax 2 + bx + c un polinomio de segundo grado. Según el valor del discriminante: = b 2 4ac

53 Factorización de un polinomio de segundo grado Sea ax 2 + bx + c un polinomio de segundo grado. Según el valor del discriminante: = b 2 4ac el polinomio se descompone: raíces Factorización > 0 r 1, r 2 ax 2 + bx + c = a(x r 1 )(x r 2 ) = 0 r ax 2 + bx + c = a(x r) 2 < 0 ax 2 + bx + c es primo

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57 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0. Si sabemos que una solución es x = 1, dividimos el polinomio por x + 1:

58 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0. Si sabemos que una solución es x = 1, dividimos el polinomio por x + 1: Ahora podemos escribir la ecuación como: (x + 1)(x 2 5x + 4) = 0

59 Aplicación Una ecuación de tercer grado puede resolverse si se conoce una de las raíces. Sea, por ejemplo, la ecuación x 3 4x 2 x + 4 = 0. Si sabemos que una solución es x = 1, dividimos el polinomio por x + 1: Ahora podemos escribir la ecuación como: (x + 1)(x 2 5x + 4) = 0 e igualando a cero cada factor se calculan las soluciones.

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