Notas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Universidad de Costa Rica

Transcripción

1 Notas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Universidad de Costa Rica Carlos Montalto Estas notas esta diseñadas como material adicional, en nigún momento pretenden ser un sustituto de las lecciones. Los ejercicios con asterisco ( ) han sido tomados de exámenes de la cátedra.

2 Contenido Primer Orden 3. Definiciones EDO Primer Orden Teorema Fundamental del Cálculo Variables Separables Ecuación Homogénea EDO Reducibles a Homogéneas Ecuación Exacta Factor Integrante Ecuación Lineal Ecuación de Bernoulli Ecuación de Clairaut, Lagrange y Ricatti Reducción de Orden EDO de una Familia de Curvas Trayectorias Ortogonales Crecimiento y Decrecimiento de Poblaciones Ley de Enfriamiento de Newton Mezclas y Reacciones Químicas Leyes del Movimiento de Newton Orden Arbitrario Definiciones Existencia y Unicidad de Soluciones Dependecia e Independencia de Funciones Dependencia e Independencia Lineal de Solciones Ecuacion Lineal Homogenea Coeficientes Constantes Método de Euler Reducción de Orden con Solución Particular Ecuacion Lineal No Homogenea Coeficientes Indeterminados Variación de parámetros Sistemas de EDO Operadores Sitemas lineales - Forma Matricial Sistema Homogeneo Valores Propios Complejos

3 CONTENIDO 4 Solución por Series Puntos Singulares

4 Capítulo Primer Orden. Definiciones Supongamos que la función y = f(x) expresa cuantitativamente un fenómeno y que al estudiar este fenómeno es imposible establecer directamente la relación de dependencia entre y y x; sin embargo se logra establecer una dependencia entre las magnitudes x, y y sus derivadas y, y,..., y (n). Una ecuación que establezca una relación entre la variable independiente x, la función buscada y y sus derivadas y, y,..., y (n) se llama ecuación diferencial, simbólicamente: F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (.) Una solución de la ecuación diferencial es una relación directa y = f(x) que satisfaga la ecuación diferencial. Al proceso de encontrar soluciones a un ecuación diferencial se le conoce como integrar la ecuación diferencial. EJEMPLO. Desde cierta altura es arrojado un cuerpo de masa m. Determinar la ley según la cual cambia la velocidad v, si sobre el cuerpo, además de la fuerza de gravedad, actúa la fuerza de resistencia del aire, proporcional a la velocidad (con coeficiente de proporcionalidad k); es decir debemos hallar v = f(t) Solución. De la segunda ley de Newton ma = F, donde F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo en dirección del movimiento y a la aceleración, obtenemos: mv = mg kv que es un ED que modela el problema, resolviendola obtenemos la relación directa entre la velocidad y el tiempo dada por v = Ce m k t + mg k donde C es una constante arbitraria. Si añadimos la condición de velocidad inicial v(0) = v 0 obtenemos: v = (v 0 mg k )e m k t + mg k De esta fórmula se deduce que si t es suficientemente grande la velocidad depende poco de v 0, más aun cuando t la velocidad tiende a la constante mg que esta determinada solamente por la masa del cuerpo y la resistencia del aire. k Si v 0 < mg el cuerpo irá aumentando su velocidad, pero si el v k 0 > mg el cuerpo se irá deteniedo y si v k 0 = mg la k velocidad sera constante. Finalmente cuando no hay resistencia del aire obtenemos la muy conocida fórmula v = v 0 + gt Si la función buscada y = f(x) es de una sola variable la ED se llama ordinaria y se escribe EDO, si la función buscada tiene varias variables la ED se llama parcial y se escribe EDP. El orden de la más alta derivada que aparece en la ecuación se llama orden de la ED. 3

5 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN EJEMPLO.2 La ecuación x 2 (y ) 2 + xy + (x 2 4)y = 0 es un EDO de orden 3. EJEMPLO.3 La ecuación 4 u x 4 + 2x 3 u y 3 4 u y 2 x 2 = 0 es un EDP de orden 4. Una solución de una EDO que contenga al menos una constante arbitraria se llama solución gen eral. Una solución que se obtenga de un solución general mediante asignarle valores a las constantes arbitrarias se llama solución particular. Si una solución general tiene la propiedad de que toda solución de la EDO se puede obtener de esta mediante la asignación de valores a las constantes se dice que es una solución completa de la EDO. EJEMPLO.4 La ecuación y y 2y = 0 tiene como solución completa donde a y b son constantes arbitrarias. EJEMPLO.5 La ecuación y + y = 0 tiene como solución completa donde a y b son constantes arbitrarias. y = ae x + be 2x y = a sin x + b cos x.2 EDO Primer Orden La ecuación diferencial de primer orden tiene la forma general: F (x, y, y ) = 0 en caso en que se pueda resolver para y obtenemos: y = f(x, y) se dice que la ecuación se puede resolver con respecto a la derivada. EJEMPLO.6 La ecuación diferencial y = a 0 + a x a n x n, donde a 0,..., a n son constantes fijas, es de primer orden y tiene como solución completa a la función donde C es una constante arbitraria. EJEMPLO.7 y = C + a 0 x + a 2 x a n n + xn+ La EDO y = y es de primer orden y tiene como solución completa a la función donde C es una constante arbitraria. y = Ce x Teorema.. Si en la ecuación la función f(x,y) y su derivada parcial f y y = f(x, y) respecto a y son continuas en cierto dominio D del plano, y si (x 0, y 0 ) es un punto en este dominio, entonces existe una única solución definida en D dada por y = ϕ(x), que satisface ϕ(x 0 ) = y 0 4

6 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN La condición de que la función y debe tomar del valor y 0 en x 0 se llama condición inicial. Por el Teorema. las soluciones de los ejemplos 7 y 8 son únicas dada una cualquier condición inicial, en estos casos utilizando la notación del Teorema D = R, veamos un caso en que se rompe una de las hipótesis del teorema. EJEMPLO.8 Considere la EDO y = 2y x en R. Observe que j C x y = 2 si x 0 C 2 x 2 si x 0 es solucion de la EDO para C y C 2 constantes arbitrarias. Lo cual indica que dada cualquier condición inicial hay una infinidad de soluciones que la satisfacen. Note que no se aplica el teorema pues 2y x no es continua en x = 0. Desde un punto de vista más geométrico, la solución general de la EDO de primer orden, es una familia de curvas en el plano, dependientes de al menos una constante arbitraria C (o como se suele decir, de un parámetro C). Estas curvas se llaman curvas integrales de la ecuación diferencial dada. Suponga que tenemos una EDO resuelta con respecto a la derivada y = f(x, y) para todo punto (x 0, y 0 ) la ecuación anterior determina un valor de la derivada de y. Por consiguiente, dicha ecuación define un conjunto de direcciones que se llama el campo direccional de la EDO. En otras palabras, el problema de integración de un EDO consiste en hallar las curvas, cuyas tangentes están orientadas de modo que su dirección coincida con la dirección del campo en cada punto. A primera entrada esto puede resultar un poco confuso, sin embargo, conforme el lector se familiarice con el tema le resultará muy intuitivo. EJEMPLO.9 La EDO de primer orden y = x y tiene como solución general la familia x 2 + y 2 = C 2 de círculos de radio C. Si imponemos la condición inicial y(0) = (i.e. que la solución pase por el punto (0, )) obtenemos que la solución buscada es el círculo unitario. Observe que que la solución general que varian según varia C y su forma (dirección en cada punto) esta determinada por la ED y = x y. Ejercicio. Analice la EDO ( cos x)y (sin x)y = 0 a la luz del teorema, sabiendo que y = c n ( cos x) 2nπ x 2(n + )π es una solución de dicha EDO, donde c n son constantes arbitrarias para todo entero n. Grafique las curvas integrales y explique el problema de la unicidad dada una condición inicial, En cuáles dominios del plano hay unicidad? Ejercicio.2 Grafique los campos direccionales de la ecuación diferencial y Encuentre la función que para por el punto (0, ). = y e intuya la forma de las soluciones generales..3 Teorema Fundamental del Cálculo El caso más familiar de una EDO es de la forma: y = f(x) (.2) y las soluciones de esta ecuación están descritas por teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera 5

7 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN Teorema.2. Si f(x) es continua en R, entonces se cumple la fórmula ( ) d f(x)dx = f(x) dx Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial (.2) viene dada por: y = f(x)dx que como sabemos representa una familia de curvas. Esto justifica las soluciones de los dos primeros ejemplos de esta sección. EJEMPLO.0 La solución de la ecuación diferencial y = cos x viene dada por Z y(x) = cos xdx = sin x + C. Si añadimos la condición inicial y(0) = 0, obtenemos que C = 0 y por lo tanto y = sin x Existen soluciones de EDO que dependen de integrales que no pueden evaluarse en terminos de las funciones elementales. EJEMPLO. La solución de la ecuación diferencial y = e x2 viene dada por Z y(x) = e x2 dx que como sabemos no puede ser evaluada en términos de funciones elementales. Ejercicio.3 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:. y = sin x cos x. 2. y = sin 2 x. 3. y = sin 3 x. 4. y = sin xe x. 5. y = cos xe x. 6. y = cos xe x. 7. y = ln x. 8. y = arctan x. 9. y = ln 2 x..4 Variables Separables Estudiemos la EDO de la forma dy dx = f (x)f (y) (.3) 2 suponiendo que f 2 (y) 0 en el dominio de interes. Asumamos que podemos parametrizar la curva (x(t), y(t)), de donde obtenemos que (.3) se transforma en dy f 2 (y(t)) dt = f (x(t)) dx dt integrando ambos lados con respecta a t obtenemos: dy f 2 (y(t)) dt dt = f (x(t)) dx dt dt finalmente haciendo un cambio de variable llegamos a que f 2 (y) dy = f (x)dx + C 6

8 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN lo cual es una correlación entre la solución y, la variable x y la constante C. Es decir hemos encontrado las curvas integrales y por ende implícitamente una solucíon general de la EDO. Una EDO M(x)dx + N(y)dy = 0 (.4) que se pueda escribir de la forma(.3) se llama ecuación con variables separables y debido a lo anterior satisface la ecuación M(x)dx + N(y)dy = C EJEMPLO.2 Considere la EDO con variables separables integrando obtenemos que xdx + ydy = 0 x 2 + y 2 = C 2 observe que esta ecuación representa la familia de circunferencias de centro 0 y radio C, que son precisamente las curvas integrales de la EDO. EJEMPLO.3 Resolvamos la ecuación + xyy = y 2 + yy, separando variables obtenemos: integrando obtenemos: donde k 0, y entonces dx x = ydy y 2 2 ln x = ln y 2 + C = ln x 2 y 2 ( x) 2 = λ( y 2 ) = C = x 2 y 2 = ec = k 2 donde λ R {0}, escribiendo las curvas integrales de manera más familiar obtenemos ( x) 2 + y 2 = λ por lo tanto, si λ > 0,las curvas son elipses; y si λ < 0 las curvas son hipérbolas. Observe que x =, y = y y = son soluciones de la EDO, que no es obtienen para ningún valor de λ. Dichas soluciones se llaman soluciones singulares, pues no se pueden obtener de ninguna solución general por medio de la asignación de valores a las constantes arbitrarias. EJEMPLO.4 Veamos que por medio del cambio de variable v = ax + by + c la EDO que no es de VS se convierte en una EDO de VS. y = f(ax + by + c) Solución. Diferenciando con respecta a x la igualdad v = ax + by + c obtenemos que: sustituyendo en la EDO dv dv = a + bf(v) = dx y = v a b = dx = a + bf(v) Z Z dv a + bf(v) = dx + C = x + C Ejercicio.4 Utilice lo anterior para resolver las siguientes EDO.. y = (x y) y = (x + y 3) 2 2x 2y y = e 2x+y 2 7

9 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN Ejercicio.5 Muestre que la ecuación no separable (F (x)+yg(xy))dx+xg(xy)dy = 0 se convierte en separable por medio del cambio de variable v = xy. Utilice lo anterior para resolver la EDO (x 2 + y sin xy)dx + (x sin xy)dy = 0. Ejercicio.6 Muestre que el cambio de variable y = x en una EDO de VS y resuélvala. Ejercicio.7 Compruebe que la ecuación direrencial +v convierte la EDO v x 2 y xy = y 2 x 2 y = yf(xy) xg(xy) se convierte en una ecuación de variables separables, mediante la transformación z = xy. Aplique este procedimiento para resolver la ecuación diferencial y y(2xy + ) = x(xy ) Ejercicio.8 Muestre que el cambio de variable u = ye x separa variables en la ecuación diferencial y dx + ( + y 2 e 2x dy = 0) y resuélvala. Además determine la región del plano xy en la cual se puede garantizar existencia y unicidad de soluciones. Ejercicio.9 Determine una transformación apropiada que convierta las ecuación dada en una de variables separables:. xy = yf ` y x n. 2. x + yy = f(x 2 + y 2 ). 3. xy ax + y = x 2a. (Sugerencia: Despeje xy ).5 Ecuación Homogénea Una función f(x, y) se llama homogénea de grado n, si para todo λ R se tiene que EJEMPLO.5 Fácilmente se ve que. f(x, y) = 3p x 3 + y 3 es homogenea de primer grado. 2. f(x, y) = x2 y 2 xy Una EDO de la forma es homogenea de grado cero. f(λx, λy) = λ n f(x, y) y = f(x, y) se llama homogénea si f(x, y) es homogénea de grado cero. Dicha EDO se soluciona mediante el cambio de variable u = y x, pues la convierte en du f(, u) u = dx x 8

10 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN que es una EDO de VS que tiene como solución du f(, u) u = dx x + C EJEMPLO.6 Analicemos la EDO dy dx = xy x 2 y 2 claramente f(x, y) = xy x 2 y 2 es homogenea de grado cero, por lo tanto la EDO es homogena, tomamos u = y x y convertimos la EDO en du dx = u 3 x( u 2 ) que es de una EDO de VS, separando variables e integrando llegamos a que ln u = ln x + ln C = = ln uxc 2u2 2u2 sustituyendo u = y llegemos a la solución dada implícitamente por la fórmula x x2 = ln Cy 2y2 Ejercicio.0 Resuelva las siguientes EDO.. y = (x y) y = y+x cos2 (y/x) x ; y() = π y = y(+xy) x( xy) 4. y = 2x y x 2y 5. (x y ln y + y ln x)dx + x(ln y ln x)dy = 0 6. y p x 2 + y 2 dx xdy = 0; y(0) = Ejercicio. Considere la EDO 2xy 3 dx + (x 2 y 2 ) dy = 0. (a) Muestre que el cambio de variable y = z a transforma la EDO dada en 2xz 3a dx + a(x 2 z 3a z a ) dz = 0. (b) Determine un valor a tal que la ecuación anterior sea homogénea. (c) Resuelva la EDO dada inicialmente. Ejercicio.2 Considere la ecuación diferencial dy r dx = (a) Muestre que la sutitución u = q y + x2 2 (b) Resuelva la ecuación dada inicialmente y + x2 2 transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación homogenea..5. EDO Reducibles a Homogéneas Se reducen a homogeneas las EDO de la forma ( ) ax + by + c y = f a x + b y + c (.5) donde f es una función continua arbitraria. 9

11 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN Si c = c = 0 la ecuación (.5) es homogenea. Supongamos que alguno de los dos valores no es cero, realicemos el cambio de variable x = x + h, y = y + k. Entonces, Sustituyendo en (.5) tenemos que: Elejimos h y k de modo que dy = f dx dy dx = dy dx ( ) ax + by + ah + bk + c. a x + b y + a h + b k + c ah + bk + c = 0 (.6) a h + b k + c = 0 (.7) bajo estas condiciones la ecuación (.6) se transforma en una EDO homogénea, solucionando dicha ecuación y sistituyendo nuevamente los valores de x, y obtenemos la solución de (.5). En caso de que el sistema (.7) no tenga solución, es decir cuando a b b = 0 obtenemos que ab = a b. Entonces si λ = a a = b b tenemos que a = λa y b = λb, por consiguiente (.5) se transforma en ( ) ax + by + c y = f = g(ax + b) λ(ax + by) + c que, como vimos, se transforma en un EDO de VS por medio del cambio de variable v = ax + b. EJEMPLO.7 Analicemos la EDO dy dx = x + y 3 x y en este caso el sistema (.7) tiene solución h = 2 y k = y por lo tanto si x = x + h y y = y + k obtenemos que: dy dx = x + y x y que es una EDO homogenea, haciendo la sustitución u = y x, como ya sabemos llegamos a un EDO de VS integrando, hallamos que simplificando sustituyendo u por y x en la igualdad, tenemos: u + u 2 du = x x arctan u 2 ln( + u2 ) = ln x + C Cx p + u 2 = e arctan u C qx y 2 + y2 = earctan x finalmente pasando a las variables x y y, obtenemos: C q(x 2) 2 + (y ) 2 y arctan = e x 2. a 0

12 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN EJEMPLO.8 Analicemos la EDO en este caso vemos que 2x+y 4x+2y+5 = u = 2x + y y llegamos a que dy dx = 2x + y 4x + 2y + 5 2x+y (i.e. el sistema (.7) no tiene solución), hacemos el cambio de variable 2(2x+y)+5 du dx = 5u + 9 2u + 5 resolviendo, encontramos: 2 5 u + 7 ln 5u + 9 = x + C 25 finalmente volvemos a las variables iniciales y obtenemos la solución final dada por 0y 5x + 7 ln 0x + 5y + 9 = C. Ejercicio.3 Solucione las siguientes EDO. (3x 7y + 7) dx (3x 7y 3) dy = (x + 2y + ) dx (2x + 4y + 3) dy = (x + 2y + ) dx (2x 3) dy = (y 3x + 6) dx (x + y + 2) dy = 0..6 Ecuación Exacta Una EDO de la forma se llama exacta si existe una función U(x, y) tal que: y en este caso debido a que la solución viene dada por du = U x M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (.8) U x = M y U y = N U dx + dy = M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 y U(x, y) = C Teorema.3. Si M y N son continuamente diferenciables, una condición necesaria y suficiente para la exactitud de la ecuación diferencial (.8) es que M y = N x (.9) Entonces si tenemos una EDO de la forma (.8), basta comprobar que cumple (.9), para asegurara que es exacta. Sin embargo aun tenemos el problema de hallar la función U(x, y), ilustremos el método general por medio de los siguientes ejemplos. EJEMPLO.9 Analicemos la EDO 2xy dx + (x 2 + cos y)dy = 0 aqui M = 2xy y N = x 2 + cos y claramente satisfacen (.9). Entonces existe U(x, y) tal que U x = 2xy, U y = x2 + cos y

13 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN integrando la primera ecuación con respecta a x, obtenemos: U = x 2 y + f(y) de segunda ecuación y derivanda a ambos lados U = x 2 y + f(y) con respecto a y tenemos: U y = x2 + f (y) = x 2 + cos y por lo tanto f(y) = sin y + c, y por ende U = x 2 y + sin y + c, finalmente la solución de la EDO viene dada por la fórmula x 2 y + sin y = C. EJEMPLO.20 Resuelva la EDO con la condición inicial y(0) =. y = xy2 x 2 y Solución. Escribimos la EDO como (xy 2 )dx+(x 2 y )dy = 0, vemos que es exacta. Analogamente al procedimiento anterior encontramos que la solución de la EDO es utilizando la condición inicial obtenemos que C =. U = x2 y 2 x y = C 2 En ciertos casos las EDO exactas se pueden resolver un método de inspección conocido como agrupación de términos. Este esta basado en la habilidad de reconocer ciertas diferencias exactas. EJEMPLO.2 Utilicemos el método de agrupación de términos para resolver la EDO exacta: agrupando obtenemos: entonces 2xy dx + (x 2 + cos y)dy = 0 (2xy + x 2 dy) + (cos y)dy = 0 d(x 2 y) + d(sin y) = 0 = d(x 2 y + sin y) = 0 y por lo tanto las solución general viene dad por x 2 y + sin y = C. Ejercicio.4 Considere la ecuación diferencial (3y a + 0xy 2 ) dx + (6x a y 2 + 0x 2 y) dy = 0. (a) Para cuales valores de a esta ecuación es exacta? (b) Para tales valores resuelva la ecuación diferencial. Ejercicio.5 Considere la ecuación diferencial (y + xy a ) dx + (x + x a y) dy = 0. (a) Para cuales valores de a esta ecuación es exacta? (b) Para tales valores resuelva la ecuación diferencial. Ejercicio.6 (a) Para cuales funciones N(x, y) la ecuación diferencial (y + x 2 y 3 )dx + N(x, y)dy = 0 es exacta? (b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial. Ejercicio.7 Muestre que el teorema.3 2

14 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN.6. Factor Integrante Supongamos que la EDO M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (.0) no es exacta. En ciertos casos es posible hallay una función µ(x, y) tal que, si multiplicamos la ecuación (.0) por µ se convierte en exacta, y la solución general de la ecuación así obtenida coincide con la solcuión general de la ecuación inicial; la función µ(x, y) se llama un factor integrante de la ecuación (.0). Para hallar un factor integrante de (.0), necesitamos que µm dx + µn dy = 0 sea un EDO exacta. y por el teorema.3, basta que (µm) y = (µm) x y por la regla de la cadena podemos simplificar dicha condición a que M ln µ y N ln µ x = N x M y. (.) Entonces es claro que toda función µ(x, y) que satisfaga (.) es un factor integrante de (.0). Lamentablemente la eucación (.) es un ecuación en derivadas parciales, y el caso general de esta EDP, para hallar µ(x, y), es más dificil que la ecuación original. Sin embargo si asumimos que el factor integrante depende de una función u(x, y), entonces podemos simplificar (.) y obtenemos: [ µ = exp Algunos casos específicos son los siguientes: ] N x M y du Mu y Nu x. Si u = x entonces donde f(x) = ( M N y Si u = y entonces donde g(y) = M ) N x ( ) N x M y µ = e R f(x)dx µ = e R g(y)dy. EJEMPLO.22 Hallar la solución de la EDO (y + xy 2 ) dx x dy = 0 Solución. Aquí: M = y + xy 2 ; N = x; M y = + 2xy; N x = ; M y N x. por lo tanto la EDO no es exacta. Examinemos para ver si la EDO admite un factor integrante que depende solo de y, para eso vemos que N M x M «= 2 y y = g(y) es una función que solo depende de y y por lo tanto la EDO si admite dicho factor integrante, y sabemos que viene dado por la fórmla R µ = g(y) dy 2 er = e y dy = y 2 3

15 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN multiplicando por µ la EDO obtenemos «y + x dx x y 2 dy = 0 que es exacta, resolviéndola encontramos que y = 2x x 2 + 2C EJEMPLO.23 Hallar la solución de la EDO (x 4 + x 2 y 2 + x) dx + y dy = 0 Solución. Veamos que en este caso podemos encontrar un factor integrante µ depende solo de u = x 2 + y 2, para esto basta ver que N 2(yM xn) x M «= y u = h(u) y por lo tanto R µ = e h(u) du = u = x 2 + y 2 Aun más podemos ver que esta EDO también admite un factor integrante que depende solamente de x, calculemos M N y N «= 2x 2 = f(x) x y por lo tanto µ = e 2x3 3. Con cualquiera de los dos factores integrantes, la EDO se puede transformar en exacta. Encontrar la solución queda como ejercicio al lector. Ejercicio.8 Muestre que en cada uno de los casos, la función µ es la que indica la fórmula. h R i Nx M Si u = xy entonces, µ = exp y Mx Ny du.» R Si u = x y entonces, µ = exp y 2 My y 2 N x du. Mx+Ny» R Si u = y x entonces, µ = exp x 2 Nx x 2 M y du. Mx+Ny Ejercicio.9 Cosidere la ecuación diferencial: y dx + (x 2 + y 2 + x) dy = 0. (a) Determine un factor integrante, µ, de esta ecuación diferencial que sea función de x 2 + y 2. Esto es µ = f(x 2 + y 2 ). (b) Resuelva esta ecuación diferencial. Ejercicio.20 (a) Determine n y m para que x n y m sea un factor integrante de la ecuación diferencial: (b) Halle la solución general de esta ecuación diferencial. (2y 2 6xy) dx + (3xy 4x 2 ) dy = 0. Ejercicio.2 (a) Determine n y m para que x n y m sea un factor integrante de la ecuación diferencial: `x2 y 3 + 2y dx + `2x 2x 3 y 2 dy = 0. 4

16 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN (b) Halle la solución general de esta ecuación diferencial. Ejercicio.22 Considere dos funciones f y g, tales que f(xy) g(xy) no se anula en alguna región del plano xy. (a) Muestre que en diche región la función µ(x, y) = es un factor integrante para la ecuación diferencial xy(f(xy) g(xy)) yf(xy) dx + xg(xy) dy = 0. (b) Resuelva la ecuación: y(2xy + ) dx + x( + 2xy x 3 y 3 dy) = 0. Ejercicio.23 (a) Determine n y m para que x n y m sea un factor integrante de la ecuación diferencial: ««x 2 + y2 dx + xy + xy dy = 0. (b) Halle la solución general de esta ecuación diferencial. Ejercicio.24 Cosidere la ecuación diferencial: «6 y2 4 dx + x x + 3x «y 3y dy = 0. (a) Determine un factor integrante, µ, de esta ecuación diferencial que sea función de xy. Esto es µ = f(xy). (b) Resuelva esta ecuación diferencial..7 Ecuación Lineal Una EDO de la forma y + P (x)y = Q(x) donde P, Q C(R) se llama EDO lineal primer orden. Facilmente observamos que si multiplicamos a ambos lados por µ = e R P dx obtenemos dy dx (yer P dx ) = Q(x)e R P dx integrando llegamos a la solución general ye R P dx = Qe R P dx dx + C EJEMPLO.24 Resuelva y 2 y = (x + )3 x+ Solución. En este caso µ = (x+) 2, entonces integrando llegamos a la solución general dy dx y = y (x + ) 2 (x + )4 2 5 «= x + + (x + ) 2 C

17 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN EJEMPLO.25 Resuelva y = x 3y Solución. En este caso consideramos a x(y) como función de y, para poder escribir la EDO en forma lineal, entonces x x = 3y por lo tanto µ = e y, entonces con el mismo procedimiento anterior obtenemos x = 3y Ce y. Ejercicio.25 Resuelva las siguietes EDO. y 2xy = x. 2. `e2x + (y + y) =. 3. y cos x + y sin x =. 4. y + n x y = a x n, n N y a R. 5. y + y cos x = sin 2x y = e y x..8 Ecuación de Bernoulli Una EDO de la forma y + P (x)y = Q(x)y n donde P, Q C(R) y n se llama EDO de Bernoulli. Utilizando el cambio de variable z = y n, dicha encuación se transforma en un EDO lineal z + ( n)p (x)z = ( n)q(x) EJEMPLO.26 Resuelva la ecuación de Bernoulli y + yx = x 3 y 3 Solución. En clase. Ejercicio.26 Considere la ecuación diferencial x dy dx + y + x = xe2xy (a) Muestre que la sustitución u = e xy transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación de Bernoulli. (b) Resuelva la ecuación de Bernoulli obtenida en (a). (c) De la solución general de la ecuación inicial. Ejercicio.27 Resuelva las siguientes EDO. y + 3x 2 y = x 2 y y + x y = xy2. 3. y + y x = x3 y 3 sin x. 4. y tan x y + cos x y 2 = ( x 2 )y xy axy 2, a R. 6. (y ln x 2)ydx = xdy. 6

18 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN Ejercicio.28 Considere la ecuación diferencial y + y 2 + y x = x 2. (a) Pruebe que si φ(x) es una solución de esta ecuación diferencial, entonces la sustitución y = φ + v transforma dicha ecuación en la ecuación de Bernoulli siguiente dv dx +» x + 2φ(x) v = v 2 (b) Pruebe que la función φ(x) = es solución de la ecuación dada inicialmente. x (c) Tomando φ(x) = resuelve la ecuación de Bernoulli dada en (a). x (d) Determine la solución general de la ecuación diferencial dada inicialmente. Ejercicio.29 Considere la ecuación diferencial x du dx + x2 + x 2 u = 4 x arctan x u /2 + x 2 (a) Muestre que la sustitución y = xu transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación de Bernoulli. (b) Resuelva la ecuación de Bernoulli obtenida en (a). (c) De la solución general de la ecuación inicial..9 Ecuación de Clairaut, Lagrange y Ricatti Una EDO de la forma y = xy + f(y ) (.2) donde f es continuamente diferenciable, se llama ecuación de Clairaut, y presenta varias propiedades interesantes. Para resolverla utilizamos el cambio de variable v = y, diferenciando a ambos lados obtenemos: v (x + f (v)) = 0. Esta ecuación se satisface si se cumplen cualquiera de las siguientes condiciones:. v = 0, en tal caso v = C, donde C es una constante arbitraria. Sustituyendo en (.2) llegamos una las solución general de la ecuación de Clairaut dada por y = Cx + f(c) 2. x + f (v) = 0, en este caso usando (.2) obtenemos las ecuaciones x = f (v) y = vf (v) + f(v) (.3) que definen parametricamente una solución singular de la ecuación de Clairaut. La solución singular de la ecuación de Clairaut determina un envolvente de la familia de rectas, dados por la solución general, veamos la motivación geométrica de este nombre en el siguiente ejemplo. 7

19 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN EJEMPLO.27 Hallar la solución de la EDO y = xy + (y ) 2 Solución. Hacemos el cambio de variable v = y, y claramente un solución general viene dada por y = Cx + C 2 para hallar la solución singular utilizamos las ecuaciones (.3) de las cuales obtenemos que la solución singular es x = 2v y = v 2 y = x2 4. Ahora, claramente cada recta de la familia Ω = {y = Cx + C 2 : C R} es tangente a la parábola y = x2 ; y por cada 4 punto de la parábola y = x2 pasa una única recta de la familia Ω. 4 Ejercicio.30 ECUACIÓN DE LAGRANGE: Considere le ecuación diferencial de la forma y = xϕ(y ) + ψ(y ) al derivar dicha ecuación y hacer el cambio y = p se puede escribir de la forma dx + A(p)x = B(p) dp resolviendo esta ecuación diferencial lineal de primer orden obtenemos x = f(p, C), lo cual nos da la solución paramétrica x = f(p, C) donde la últmi ecuación se obtiene de la ecuación inicial. Ejercicio.3 y = f(p, C)ϕ(p) + ψ(p) ECUACIÓN RICATTI: Considere la ecuación diferencial de la forma y + p(x)y 2 + q(x)y = r(x) si p(x) 0 la ecuación se convierte en lineal y si r(x) 0 se obtiene una ecuación de Bernoulli. En el caso general la ecuación diferencial se llama Ecuación de Ricatti y para resolverla se necesita conocer una solución particular de la ecuación (sea φ esta solución). Entonces muestre que utilizando el cambio de variable y = φ + z la ecuación se transforma en una ecuación lineal de primer orden..0 Reducción de Orden Si en la ecuación F (x, y, y, y ) = 0 alguna de las variables x ó y no aparecen explícitamente en la ecuación, entonces la ecuación se puede simplificar por medio del cambio de variable y = v. 8

20 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN EJEMPLO.28 Resuelva le siguiente EDO xy + y = 4x Solución. En este caso la ecuación no contiene explícitamente a la variable y, entonces el cambio de variable v = y la transforma en xv + v = 4x la cual es una EDO lineal y al resolverla obtenemos y = v = 2x + A x A R de donde finalmente y = x 2 + A ln x + B A, B R. Observe que en esta ecuación se obtienen dos constantes arbitrarias, esto se debe a que el orden de la ecuación diferencial inicial es también dos. EJEMPLO.29 Analicemos la siguiente EDO 2yy = + (y ) 2. En este caso tenemos que la ecuación no contiene explícitamente la variable x, entonces en este caso el cambio de variable v = y la transforma en 2y dv dx = + v2 utilizando la identidad dv dx = dv dy dy dx = dv dy v obtenemos 2y dv dy v = + v2 resolviendo por separación de variables llegamos a que + (y ) 2 = + v 2 = Ay A R {0} despejando y = ± Ay y finalmente separando variables obtenemos y = (Ax + B)2 4A + A A, B R, A 0. Ejercicio.32 Resuelva las siguientes EDO. xy = 2 2. xy = 2 3. y = a 2 y a R 4. y + y = xy y = x 2 e x 6. y y 3(y ) 2 = 0. EDO de una Familia de Curvas Ocasionalmente es necesario obtener una EDO de orden n que tiene a una función dada con n constantes arbirarias como solución general. Para encontrar dicha EDO, diferenciamos n veces la igualdad y resolvemos para las constantes el sistema obtenido de escoger n ecuaciones de las n + ecuaciones obtenidas. Y luego sustitiumos las constantes en alguna de las ecuaciónes. 9

21 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN EJEMPLO.30 Sean a y b constantes, encuentre una EDO de segundo orden tal que tenga a como solución general. Solución. Diferenciando obtenemos: resolviendo el sistema para a y b y = ae x + b cos x y = ae x b sin x y = ae x b cos x a = y + y 2e x b = y y 2 cos x sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos la EDO buscada. ( + tan x)y 2y + ( tan x)y = 0 Existen EDO de orden mayor que tambien tienen a y = ae x + b cos x como solución general un ejemplo de una es y (4) = y sin embargo la única de orden 2 es la que encontramos anteriormente. Ejercicio.33 Halle una EDO de orden 2 que tiene como solución general la familia de parábolas que tocan al eje x en un solo punto. Respuesta. 2yy (y ) 2 = 0. Ejercicio.34 Halle una EDO de primer orden que tiene como solución general la familia de rectas que tocan la parabola 2y = x 2 en un solo punto. Respuesta. (y ) 2 2y x + 2y = 0. Ejercicio.35 Halle una EDO de primer orden que tiene como solución general la familia de curvas tal que, para cada una de dichas curvas, el segmento de la tangente desde el punto al eje-y es bisecado por el eje-x. Respuesta. xy 2y = 0. Ejercicio.36 Halle una EDO que tiene como solución general una familia uniparamétrica de curvas tal que, para cada una de ellas, el área de la región triangular limitada por el eje-x, la linea tangente en el punto y la perpendicular por el punto de tangencia sea igual a a 2. Respuesta. 2a 2 y y 2 = 0. Ejercicio.37 Halle una EDO cuya solución general sea la familia de todas las circunferencias con centro en el eje y = x. Ejercicio.38 Halle una EDO cuya solución general sea la familia de todas las circunferencias que pasan por los puntos (0, ) y (, 0). Ejercicio.39 El área del triángulo, formado por la tangente a una curva buscada y los ejes de coordenadas, es una magnitud constante. Hallar esta curva. Respuesta. 4xy = a & y = Cx ± a C para a > 0, C R. 20

22 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN.2 Trayectorias Ortogonales Sea Φ(x, y, C) (.4) una familia de curvas dependiendo de un parámetro C, las curvas que cortan todos los elementos de esta familia bajo un ángulo constante se llaman trayectorias isogonales. Si este ángulo es recto de llaman trayectorias ortogonales. Para hallar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dada procedemos de la siguiente manera. Primeramente encontramos la EDO que tiene a (.4) como solución general. Sea F (x, y, y ) = 0 dicha ecuación, entonces la familia de soluciones de la EDO son las trayectorias ortogonales de (.4). EJEMPLO.3 Encuentre las trayectorias ortogonales de x 2 + y 2 = Cx. Solución. En clase. EJEMPLO.32 F (x, y, y ) = 0 Halle las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas y = Cx 2. Solución. En clase. Ejercicio.40 Halle las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias con centro sobre el eje x y que pasan por el origen. Ejercicio.4 Determine n para que la familia de curvas x n + y n = C sea ortogonal a la familia y = Ejercicio.42 Halle las trayectorias ortogonales de las lemniscatas (x 2 + y 2 ) 2 = (x 2 y 2 )C 2. x Cx. Ejercicio.43 Muestre que la familia de parábolas y 2 = 4Cx + 4C 2 es asi misma ortogonal. Grafique algunos de los miembros de esta familia. Ejercicio.44 Muestre que la familia x 2 a 2 + C + y2 b 2 + C = donde a y b son constantes dadas es asi misma ortogonal. Esta familia se llama la familia de cónicas confocales. Grafique algunos de los miembros de esta familia. 2

23 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN.3 Crecimiento y Decrecimiento de Poblaciones La ley de crecimiento exponencial de poblaciones afirma que la tasa de crecimiento de una población es proporcional, en el tiempo, a la cantidad de habitantes que este presente en dicha población. Entonces si denotamos: N = Cantidad de habitantes en el tiempo t. k = Constante de proporcionalidad. (k > 0). obtenemos por la ley de crecimiento, que y por lo tanto dn dt = kn N(t) = Ce kt ; C R EJEMPLO.33 Si un cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional a la cantidad, además tenemos que despues de una hora hay un cultivo de 000 familias de bacterias, y despueds de 4 horas hay 3000 familias de bacterias. Halle el número de familias de bacterias en función del tiempo y el número inicial de familias. Solución. En clase. EJEMPLO.34 Bacterias en cierto cultivo incrementan su reproducción a una velocidad proporcional al número presente. Si el número original de bacterias se incrementa en un 50% en media hora, en cuánto tiempo se espera tener tres veces el número original, y cinco veces el número original? Solución. En clase. Ejercicio.45 En una solución de un compuesto químico, se sabe que la razón de formación del compuesto es proporcional a la cantidad del químico presente en cada instante. Si despues de una hora la cantidad medida del compuesto es 3/2 de la cantidad inicial. Cuánto tiempo se requiere para triplicar el número de gramos iniciales? Ejercicio.46 Un cultivo de bacterias enferma crece a una tasa que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número presente. Si hay inicialmente 9 unidades y si 6 unidades están presentes después de 2 días, en cuánto tiempo habrá 36 unidades? Ejercicio.47 Una pequeña población crece según la ley de crecimiento exponencial. Si la población inicial es de 500 habitantes y si esta aumenta en un 5% en 0 a ;os. Determine la población dentro de 30 años y la cantidad de tiempo que debe pasar para que la población crezca un 60%. Ejercicio.48 La población, N(t), de individuos de una población que manifiestan cierta característica, en un instante t obedece a la ecuación diferencial dn = k( N)N. nt Si en el instante inicial esta proporción es de, determine el tiempo necesario para que esta proporción se duplique. 3 Suponga que k = por año. 22

24 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN La ley de desintegración exponencial radioactiva afirma que la tasa de desintegración de una substancia es proporcional, en el tiempo, a la cantidad de substancia que este presente. Entonces si denotamos: N = Cantidad de substancia en el tiempo t. k = Constante de proporcionalidad. (k > 0). obtenemos por la ley de desintegración, que y por lo tanto dn dt = kn N(t) = Ce kt ; C R La vida media de una substancia se define como el tiempo que ésta requiere para reducir su masa inicial a la mitad. EJEMPLO.35 Se sabe que cierto material radioactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad de material presente, además sabemos que inicialmente hay 50 miligramos de material y despues de 2 horas se observa que el material ha perdido un 0% de su masa original. Halle la masa de este material en función del tiempo, y encuentre su vida media. Solución. En clase. EJEMPLO.36 El Pb-209 isótopo radioactivo del plomo, se desintegra según la ley de desintegración exponencial. Si sabemos que tiene una vida media de 3.3 horas y que al principio había N 0 gramos de plomo, cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90% de su masa inicial? Solución. En clase. Ejercicio.49 Un material radioactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si después de un hora se observa que el 0% del material se ha desintegrado, halle la vida media del material. Ejercicio.50 La velocidad de desintegración del radio es proporcional a la cantidad presente. Si su vida media es de 600 años, halle qué tanto porciento resultará desintegrado cuando pasen 00 años. Ejercicio.5 Encuentre la vida media de una substancia radioactiva se el 25% de ésta desaparece en 0 años y sabiendo que esta substancia se rige por la ley del decrecimiento exponencial. Ejercicio.52 La carga eléctrica en una superficie esférica se escapa a una tasa proporcional a la cantidad presente en cada instante. Si inicialmente hay 2 unidades presentes y si 8 unidades esta presentes después de 2 días, cuánto tiempo tomará para que la sustancia desaparezca? Ejercicio.53 Suponga que una substancia decrece a una razón que es inversamente proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 2 unidades presentes y si 8 unidades están presentes despues de 2 días cuánto tiempo tomará para que la substancia desaparezca? 23

25 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN.4 Ley de Enfriamiento de Newton La ley de enfriamiento de Newton afirma que la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional, en el tiempo, a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio. Sea T = Temperatura del cuerpo al instante t. T m = Temperatura del medio (constante). k = Constante de proporcionalidad. (k > 0). Por la ley de enfriamiento de Newton obtenemos que dt dt = k(t T m) donde el signo negativo se explica por el hecho de que la temperatura del cuerpo tiende a la temperatura del medio, resolviendo la ecuación diferencial llegamos a que T = T m + Ce kt EJEMPLO.37 Una barra metálica a una temperatura de 00 F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0 F. Si despues de 20 minutos la temperatura de la barra es 50 F, hallar el tiempo que gastará la barra en llegar a una temperatura de 25 F y la temperatura inicial de la barra. Solución. En clase. EJEMPLO.38 Un cuerpo con temperatura de 80 C se coloca, en instante t = 0, en un medio cuya temperatura se mantiene a 50 C y luego de 5 minutos la temperatura de dicho cuerpo es de 70 C. Halle la temperatura del cuerpo luego de 0 minutos, y el instante en que su temperatura es de 60 C. Solución. En clase. Ejercicio.54 Una taza de café se calienta a 200 F y luego se coloca en una habitación donde la temperatura es de 70 F. Si transcurrido un minuto, el café llegó a una temperatura de 90 F, cuánto tiempo hay que esperar para que su temperatura sea de 50 F? Ejercicio.55 Despues de estar expuesto durante 0 minutos, en el aire a una temperatura de 0 C, un objeto se enfrió de 00 C a 55 C. (a) En cuánto tiempo, a partir de este momento, la temperatura del objeto llegaráa los 9 C? (b) Cuánto tiempo le tomará el mismo objeto enfriarse de 500 a 250 C si se coloca en el agua que se mantiene a una temperatura de 0 C?.5 Mezclas y Reacciones Químicas Veamos la aplicación de las EDO a mezclas de substancias, considere un tanque que contiene V 0 galones con s 0 libras de sal. Otra solución salina que contine α libras de sal por galón, se vierte en el tanque a una tasa de n galones por minuto, mientras que, simultaneamente, la solución bien mezclada sale del tanque a una tasa de m galones por minuto. En este tipo de problemas podemos hallar la siguiente información: 24

26 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN V (t) : Volumen (gal) de la solución salina en tiempo t. C(t) : Concentración de sal (lb/gal) que hay en tanque en tiempo t. Q(t) : Cantidad de sal (lb) que hay en el tanque en tiempo t. Claramente el volumen en tiempo t está determinado por la fórmula y por ende la concentración viene dada por Ahora observe que o equivalentemente que V (t) = V 0 + (n m)t, C(t) = Q(t) V (t) = Q(t) V 0 + (n m)t. dq dt = αn C(t)m dq dt + m V 0 + (n m)t Q = nα que es una ecuación diferencial lineal con condición inicial Q(0) = s 0, de la cual obtenemos Q(t). EJEMPLO.39 Un tanque contiene inicialmente 00 gal de una solución salina que contine 20 lb de sal. A partir de cierto momento se vierte agua dulce en el tanque a razón de 5 gal/min, mientras que del tanque sale una solución bien mezclada a la misma tasa. Hallar la cantidad de sal que hay despues de 20 minutos. Solución. En clase. EJEMPLO.40 Un tanque de 50 gal contiene inicialmente 0 gal de agua pura. A partir de cierto momento se vierte en el tanque una solución salina que contiene una libra de sal por galón a razón de 4 gal/min, simultanemente sale del tanque la solución bien mezclada a razon de 2 gal/min. Hallar la cantidad de tiempo que toma el tanque en llenarse, asi como la cantidad y la concentración de sal en ese momento. Solución. En clase. Ejercicio.56 Un tanque contiene inicialmente 00 galones de salmuera en la cual están diluidas 30 libras de sal. Sale salmuera del tanque a razón de tres galones por minuto y simultaneamente entran, a dicho tanque, agua pura a dos galones por minuto; manteniéndose la mezcla homogénea a cada instante. Determine la cantidad de sal en el tanque al cabo de diez minutos de iniciado dicho proceso. Ejercicio.57 En un depósito que contiene 00 galones de salmuera en los que hay disueltas 40 libras de sal, se desea reducir la concentración de sal a 0. libras por galón. Para ello se introduce agua pura el depósito a razón de 5 galones por minuto, permitiendo que salga la misma cantidad por minuto y manteniendo, en todo instante, la mezcla uniforme. En cuánto tiempo se logra lo propuesto? Ejercicio.58 Un tanque tiene 0 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua salado, con una concentración de.5 libras de sal por galón, entra a razón de 3 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a razón de 4 galones por minuto. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo y encuentre la concentración de sal despues de 0 minutos. 25

27 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN Ahora analicemos la aplicación de EDO a la teoría de reacciones químicas. Una ecuación química describe cómo las moleculas de varias substancias se combinan para formar otras (2H 2 + O 2 2H 2 O). La tasa a la cual se forma una substanca se llama velocidad de reacción. Aunque ninguna regla general se aplica para todos los casos, la ley de acción reacción que sostiene que si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacción química es proporcional al producto de las concentraciones de las substancias que están reaccionando; esta es una manera muy usual para abordar este problema. Supongamos que para formar la substancia C, se combinan α unidades de A y β unidades de B. Sea x(t) la cantidad formada de C en el tiempo t. Si para obtener una unidad de C se necesita n de A y n de B (0 < n < ), entonces la cantidad de A y B presentes (restantes) en cualquier instante t, es α nx(t) cantidad presente de A en tiempo t. β ( n)x(t) cantidad presente de B en tiempo t Entonces por la ley de acción de masa, si (k > 0) es la constante de proporcionalidad dx dt = k(α nx)(β ( n)x) observe que esta ecuación tiene sentido siempre que cada miembro de la parte derecha sea positivo, pues de lo contrario ya se habría acabado algúna substancia. EJEMPLO.4 Dos químicos A y B reaccionan para formar otro químico C. La tasa de formación de C es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación de C require de 2 libras de A por cada 3 libras de B. Si inicialmente están presentes 0 libras de A y 30 libras de B, y si en 2 minutos se forman 0 libras de C. Halle la cantidad de químico C en cualquier tiempo t, además encuentre la cantidad máxima de C que se puede formar, y averigue la cantidad restante de los químicos A y B despues de que ha pasado mucho tiempo. Solución. En clase. Ejercicio.59 En una reacción química, la sustancia A se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de A no transformado. Si, en un principio, habían 40 gramos de A y una hora más tarde 2 gramos; cuándo se habrá transformado el 90% de A? Ejercicio.60 Cierta sustancia C se produce de la reacción de dos químicos A y B. La tasa a la cual se produce C es proporcional al producto de las cantidades instantaneas de A y B presentes. La formación de tal sustancia C requiere 3 libras de A por cada 2 libras de B. Si inicialmente habían 60 libras de A y 60 libras de B y luego de una hora, de iniciada la reacción, se han producido 5 libras de C, determine: (a) La cantidad de C en cualquier instante t. (b) la cantidad de C al cabo de 2 horas de iniciada la reacción. (c) La cantidad máxima de C que se puede formar. Ejercicio.6 Dos sustancias A y B reaccionan para formar C, de tal manera que se requiere 2 gramos de A por cada gramo de B. La tasa de producción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han transformado en C. Si inicialmente hay 00 y 50 gramos de A y B respectivamente, y si se forman 0 gramos de C en 5 minutos. Cuál es la cantidad límte de C que se puede formar y cuánto se espera tener de los reactivos A y B en ese momento? 26

28 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN.6 Leyes del Movimiento de Newton Las tres leyes del movimiento de Newton son:. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una linea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas actuen sobre el. 2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo y tiene la misma dirección a la fuerza. 3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta. La segunda ley de Newton nos proporciona una relación importante que podemos escribir matemáticamente de la siguiente manera: d (mv) = kf dt donde m es la masa, v la velocidad, F la fuerza que actua sobre el objeto en dirección a la velocidad y k es el coeficiente de proporcionalidad. Utilizaremos el valor de k = para simplificar los cálculos y asumiremos que la masa es constante con el tiempo (lo cual sabemos que no es necesariamente cierto), entonces tenemos que de donde llegamos a la conocida fórmula F = d dt (mv) = m d (v) = ma dt F = ma. Veamos con ejemplos como podemos utilizar dicha relación para estudiar fenómenos físicos. EJEMPLO.42 Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad de 28m/s. Cuál es su velocidad despues de 6 segundos?, Cuándo regresará a su posición de partida por primera vez?, Cuál es la altura máxima que alcanza? Solución. En clase. EJEMPLO.43 Un caja de peso W se desliza hacia abajo desde el reposo en un plano inclinado el cual forma un ángulo de α con la horizontal. Establezca la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que describan el movimiento de la caja. Halle la aceleración, la velocidad y la distancia de la caja en el tiempo t. Solución. En clase. Ejercicio.62 Un hombre y su bote de motor pesan juntos 343 N. Suponga que el empuje del motor es equivalente a una fuerza constante de 40 N en dirección del movimiento. Si la resistencia del agua al movimiento es igual a 7 veces la velocidad instantánea, y si el bote esta inicialmente en reposo. Encuentre la velocidad y la distancia en cualquier tiempo. Ejercicio.63 Un cuerpo de 6 kg tiene una velocidad límite de 6m/s cuando cae en el aire, el cual ofrece una resistencia proporcional a la velocidad intantánea del cuerpo. Si el cuerpo parte del reposo. (a) Encuentre la velocidad del cuerpo despues de seg. (b) A qué distancia se encuentra el cuerpo en el momento que que la velocidad es de 5 m/s? Ejercicio.64 Un cuerpo de masa m cae, partiendo del reposo, en un medio que le ofrece una resitencia proporcional al cuadrado de su velocidad (v). Determine se velocidad límite, esto es lim t v(t). 27

29 CAPÍTULO. PRIMER ORDEN Ejercicio.65 Un punto material de masa m es atraido por cada uno de dos centros con fuerzas proporcionales a la distancia. El factor de proporcionalidad es igual a k. La distancia entre dos centros es 2c. El punto de halla en el instante inicial en la linea que une los centros a la distancia a de su medio. La velocidad inicial es cero. Hallar la ley de movimiento del punto. q «2k Respuesta. a cos m t Ejercicio.66 Una bala a la velocidad v 0 = 400 m/s atraviesa una pared cuyo espesor es h = 20 cm y sale a la velocidad de 00 m/s. Suponiendo que la fuerza de resistencia de la pared es proporcional al cuadrado de la velocidad de movimiento de la bala. Halle el tiempo que tardo la bala en atravesar la pared. Respuesta. t = Ejercicio.67 3 s 0, 00 s 2000 ln 4 PÉNDULO MATEMÁTICO Suponga que un material de peso m se mueve bajo la acción de la fuerza de gravedad por una circunferencia L (en forma de péndulo). Halle la ecuación del movimiento del punto despreciando las fuerzas de resistencia. Más claramente si asumimos que el radio de la circunferencia es l y s(t) como la longitud de arco desde el punto mínimo, debemos hallar la función s en términos de t, l y g donde g es la gravedad. Ejercicio.68 VELOCIDAD DE ESCAPE Determine la mínima velociada con la cual se debe lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba para que este no regrese a la tierra. La resistencia del aire se desprecia. (Recordar que según la ley de Newton de atracción, la fuerza F que actúa en un cuerpo de masa m es F = k M m r 2 donde M es la masa de la tierra, r es la distancia entre el centro de la tierra y el objeto y k es la constante de gravitación universal.) Para un análisis detallado refierase a [], pág