Introducción a la Programación Lineal

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1 Itroduccó a la Programacó Leal Clauda Llaa Daza Garzó Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Rego Rego Igeero Uversdad Nacoal de Colomba Fudacó Uverstara Korad Lorez Facultad de Matemátcas de juo de 005

2 Tabla de cotedo Itroduccó 3 Programacó o leal 4 Optmzacó clásca varable udmesoal 4 Utlzacó de métodos umércos e la determacó de putos crítcos 0 Optmzacó clásca varable multdmesoal Codcoes ecesaras y sucetes para la esteca de putos óptmos 6 Utlzacó de métodos umércos e la determacó de putos estacoaros 9 Método de Newto para sstemas de ecuacoes 0 Etremos restrgdos. Multplcadores de Lagrage 3 Método de los multplcadores de Lagrage 4 Optmzacó o clásca varable multdmesoal 6 Método del gradete 6 Programacó separable 9 Algortmos Geétcos: u cambo de paradgma 35 Característcas de los algortmos geétcos 43 Coclusoes 44 Bblograía 45

3 Itroduccó Las matemátcas presta su servco a la socedad medate la elaboracó de modelos matemátcos de la realdad. Esta modelacó cosste e crear u objeto coceptual que releje las característcas relevates de u eómeo para, a partr de tal smplcacó, llegar a etraer coclusoes que erquezca, e algú setdo, el coocmeto que hasta el mometo se tee del eómeo. Ua modelacó de gra mportaca y utldad el la modelacó leal, la cual acude al empleo de ucoes leales para cosegur sus objetvos. S embargo, a medda que crece la complejdad de los eómeos que os rodea, comeza a hacerse ecesaro modelar eómeos co los cuales las apromacoes leales so otoramete ecaces. Por esta razó es ecesaro emplear modelos o leales que se ajusta de ua maera más precsa a las realdades de alto grado de complejdad. Uo de los propóstos udametales co los cuales se costruye modelos matemátcos es el de obteer respuestas a problemas de óptmzacó, esto es, a la toma de decsoes mejorables. La modelacó leal tee e los métodos símple y del puto teror de Karmarkar uas herrametas de gra poder que le permte resolver problemas co grades catdades de varables y restrccoes. Este o es el caso de los modelos o leales, e los cuales, como se verá, los camos de ácl recorrdo costtuye más la ecepcó que la orma. S embargo, el trabajo realzado e este campo ha estado guado por uas grades doss de geo, que ha llevado a la creacó de algortmos de base puramete matemátca, a otros que mezcla resultados matemátcos co procesos heurístcos y, almete, como es el caso de los algortmos geétcos, a emular los procesos de evolucó bológca, que ha llevado a muchas ormas de vda a elevados veles de complejdad y sosstcacó, como estratega para la resolucó de problemas. El trabajo, de carácter eploratoro, ha preteddo ser algo más que ua recoplacó muda de resultados ya pleamete establecdos. No se ha dejado escapar la oportudad de hacer, lo que se ha cosderado, pequeños aportes, e su mayoría de tpo pedagógco. Como su taló de Aqules puede mecoarse la escasez de los métodos tratados, muchos de los cuales squera está detro de los cosderados como de alto redmeto, s embargo, la razó ha sdo que, como lo dca el ombre, se trata de ua troduccó, que busca llamar la atecó tato sobre resultados teórcos de bajo vel que muchas veces se pasa por alto, así como també sobre el empleo de las herrametas ormátcas, tato como ayuda para las téccas cláscas, así como cuado so la base de metodologías que está completamete spradas e ellas. El campo es eteso y ascate. El trabajo realzado es de dmesoes modestas, pero aspra a relejar, al meos e algú mometo, algo de la belleza que se ecotró e la etapa eploratora. 3

4 Programacó o leal Se puede dar ua decó de programacó o leal PNL por cotraposcó co la programacó leal PL. Recuérdese que esta últma trata el problema de optmzar ua ucó leal : R R sujeta a ua sere de restrccoes també leales. S el problema se modca, cambado la ucó objetvo y/o, al meos, ua de las restrccoes, por o leales, se cae e el campo de la PNL. La teoría clásca de la optmzacó acude al empleo del cálculo derecal para determar los putos e los cuales la ucó : R R asume valores óptmos mámos o mímos. Luego de uas decoes esecales se epodrá alguos resultados teórcos así como ejemplos de solucó de problemas medate la aplcacó de esta teoría. Se ca co la teoría propa de las varables udmesoales, pues este campo permte la compresó tutva de los coceptos y procedmetos empleados, y també, porque alguos de sus resultados tee aplcacó drecta e la etesó de la teoría a las varables multdmesoales. Decó : se dce que ua ucó : S R, S R tee u mámo absoluto o global e u puto S s para todo de S. El úmero se llama mámo absoluto de e S. Decó : se dce que ua ucó : S R, S R tee u mámo relatvo o local e u puto S s este r > 0 tal que para todo B, r. El úmero se llama mámo relatvo de e S. De las decoes y se cocluye que todo mámo absoluto es, a su vez, mámo relatvo. Las decoes de mímo absoluto o global y mímo relatvo o local se hace de maera equvalete. Optmzacó clásca varable udmesoal Decó 3: U puto crítco de ua ucó c 0 o c o este. : R R es u úmero c para el cual Teorema : S ua ucó : R R tee u mámo o mímo relatvo e u puto c, etoces c es u puto crítco. 4

5 Demostracó: s c o este, etoces c es u puto crítco. Supógase ahora que c este. Deíase la ucó c c para c g c ' c para c etoces lm g g c y, e cosecueca, g es cotua e c. Se debe demostrar que gc 0, para ello se procede por cotradccó: s gc > 0, por la propedad de la coservacó del sgo para ucoes cotuas, este u tervalo que cotee a c e el cual g es postva. Por lo tato e, para e el tervalo mecoado, c, el umerador tee el msmo sgo que el deomador, lo cual mplca que s > c etoces > c, y s < c etoces < c. Esto cotradce la hpótess de que tee u etremo e c. De maera smlar se demuestra que supoer que gc < 0 coduce a la msma cotradccó, por lo tato gc 0 y como gc ' c ha cocludo la demostracó. El resultado ateror garatza que s tee u óptmo e c, etoces c es u puto crítco. El recíproco o es certo, como lo demuestra el coocdo cotraejemplo 3, pues ' 3 y etoces '0 0, co lo cual 0 es u puto crítco de y, s embargo, o tee u óptmo e 0 como se ve e la gura. Fgura Etoces, para determar el cojuto de putos óptmos de ua ucó debe hacerse u trabajo adcoal, luego de haber determado el cojuto de putos crítcos, pues solo alguos de ellos será putos óptmos. El sguete teorema aporta las herrametas para realzar este trabajo. Teorema crtero de la prmera dervada para etremos e u puto crítco: Supógase que : R R es cotua e u tervalo [a, b] y que este ' e todo puto de a, b, ecepto posblemete e c a, b, etoces:. S es postva para toda, co a < < c, y egatva para toda, co c < < b, etoces tee u mámo relatvo e c. 5

6 . S es egatva para toda, co a < < c, y postva para toda, co c < < b, etoces tee u mímo relatvo e c. 3. S es postva egatva para toda, co a < < b, c, etoces o tee u óptmo relatvo e c. Demostracó: e el caso. es estrctamete crecete e [a, c] y estrctamete decrecete e [c, b]. Etoces < c para todo c e [a, b] y por lo tato tee u mámo relatvo e c. El caso se demuestra de maera aáloga. La hpótess del caso 3 mplca que es estrctamete crecete decrecete e [a, b] y, e cosecueca, o puede teer óptmos relatvos e el puto teror c. 3 Ejemplo : ecuetre los putos e los cuales tee valores óptmos y determe de que clase so. Solucó: segú el teorema los caddatos a ser putos óptmos so los putos crítcos, e cosecueca, el prmer paso es determarlos: ' la dervada está deda e todo, e cosecueca, se busca aquellos putos crítcos para los cuales tee como solucoes 4 y -. El producto e es postvo cuado los dos térmos varables so ambos egatvos, o ambos postvos, por lo tato, > 0 e -, - y e 4,, y < 0 e -, 4. Etoces, es posble costrur u tervalo alrededor de - tal que > 0 para < - y, < 0 para > - e cosecueca, segú el teorema, tee u mámo e -, co u valor U razoameto aálogo lleva a coclur que tee u mímo e 4, co La gura muestra ua comprobacó gráca de este hecho. Fgura 6

7 3 Ejemplo : ecuetre los putos e los cuales 3 / + 5 tee valores óptmos y determe de que clase so. Solucó: ' / 3 esta ucó uca es cero y o está deda e 3 0. E cosecueca 0 es el úco puto crítco. Es evdete que para < 0, < 0, y para > 0, > 0. Aplcado el teorema se cocluye que tee u mímo e 0. La gura 3 lustra la stuacó. Fgura 3 Ejemplo 3: ecuetre los putos crítcos de óptmos relatvos. 3 y establezca s e ellos tee Solucó: ' 3 etoces está deda e todo. El úco puto crítco de es etoces 0. S embargo, es postva para todo, 0. Y por el caso 3 del teorema se cocluye que o tee óptmos relatvos e 0, pues es estrctamete crecete e toda vecdad de 0. Véase la gura. El sguete teorema, e alguos casos, aclta los cálculos que permte coclur que tpo de óptmo se preseta e u puto crítco c. Es aplcable úcamete cuado c es tal que c 0 y c 0. Es útl para ucoes como la del ejemplo ; o puede ser usado e ucoes como la del ejemplo. Para ucoes como la del ejemplo 3, para la cual c 0, se epodrá u teorema especal más adelate. Teorema 3 crtero de la seguda dervada para etremos e u puto crítco: Supógase que c a, b y que c 0. Supógase, además, que c este, etoces:. S c < 0, tee u mámo relatvo e c.. S c > 0, tee u mímo relatvo e c. Demostracó: E el caso, al ser egatva e c, es estrctamete decrecete e ua vecdad alrededor de c y como c 0 etoces pasa de postvo a egatvo e c, aplcado el caso del teorema se cocluye que tee u mámo relatvo e c. El caso se demuestra de maera aáloga. 7

8 Ejemplo 4: E el ejemplo se establecó que 4 y - so los putos crítcos de , tales que - 0 y 4 0. Empleado el teorema 3, determe que clase de valores óptmos so. Solucó: y ' '' > 0, etoces tee u mímo relatvo e < 0, etoces tee u mámo relatvo e -. El teorema 3 o dce que ocurre e el caso de que c 0. Este es el caso de 3 4 y. El sguete teorema resuelve este problema. Teorema 4: Sea que posee -ésma dervada cotua e el tervalo a, b. Supógase que para u certo puto c a, b se tee: ' c '' c... c 0, pero c 0. etoces para par, posee u mímo local e c s c > 0, y u mámo local e c s c < 0. S es mpar, o este óptmo e c. Demostracó: Como c 0 este u tervalo a, b que cotee a c, tal que para cada a, b la dervada tee el msmo sgo que c. Por la órmula de Taylor co resto co el resto e la orma de Lagrage se tee! c c, dode a, b S es par, esta ecuacó mplca que c cuado c > 0, y c cuado c < 0. S es mpar y c > 0, etoces > c cuado > c, y < c cuado < c, e cosecueca o este óptmo e c. Se llega a ua coclusó aáloga cuado es mpar y c < 0. Nótese que el teorema 3 es u caso partcular del teorema 4. Este hecho puede ser empleado como emoteca para recordar el resultado. Ejemplo 5: E el ejemplo 3 se establecó que 0 es el úco puto crítco de emplee el teorema 4 para determar que clase de puto crítco es. 3, Solucó: ' 3 etoces 0 0 8

9 '' 6 etoces como 3 es mpar y la ucó costate 6 es cotua se cocluye que e 0 o se preseta óptmos relatvos. Ejemplo 6: Determe los putos crítcos de 4 y establezca de que clase so. Solucó: 3 ' 4 etoces 0 0 '' etoces etoces como 4 es par y como, además 0 > 0, etoces e 0 la ucó tee u mímo relatvo. Hasta el mometo o se ha tratado el caso e el cual la ucó a optmzar se ecuetra restrgda e su domo. E tales casos los etremos del tervalo, o los tervalos, so caddatos a ser putos óptmos. Este caso es tratado e el ejemplo sguete. Ejemplo 7: Determe los putos óptmos de restrge segú los casos: a [-, ] b [,3]. cuado su domo se Solucó: La gura lustra el eecto, sobre los putos óptmos, de restrgr el domo de ua ucó. E el caso a el mímo absoluto es el msmo que cuado o hay restrccó, y aparece u mámo absoluto que o este e el caso rrestrcto. Para b tato el mámo como el mímo absolutos o este e el caso rrestrcto y, e este caso, cocde co los etremos del tervalo. Fgura 4 9

10 Utlzacó de métodos umércos e la determacó de putos crítcos E alguos casos la solucó de la ecuacó 0 o puede calcularse por medos algebracos y es ecesaro recurrr a algú método umérco para llevar a cabo esta labor. E el sguete ejemplo se lustra esta stuacó. 3 Ejemplo 8: Determe los putos e los cuales la ucó g se preseta óptmos relatvos. Solucó: E prmer lugar se graíca la ucó para teer ua dea de dode puede localzarse los óptmos relatvos. Fgura 5 La gura 5 permte coclur que, eectvamete, este óptmos y que estos se ecuetra, el prmero e [-, 0] y el segudo e [0, ]. El procedmeto a segur es smlar al de los ejemplos aterores. g ' 3 - cos Esta ucó está deda e todo, etoces, los putos crítcos so las solucoes de 3² - cos 0 para resolver esta ecuacó es ecesaro acudr a los métodos umércos. E este caso se empleará el método de Newto. Este método cosste e la aplcacó de la ecuacó recursva + ' 0

11 e dode 0 es u úmero prómo a la raíz buscada. Para este caso se tee 3 - cos ' 6 + se tomado -0.8 los cálculos so los sguetes: Iteracó ' E E Tabla Se tee etoces, que es el puto crítco que se ecuetra e [-, 0]. E vrtud de la smetría de se cocluye que el puto crítco e [0, ] es Para determar que clase de óptmo es evaluamos g e putos cercaos a uo a la zquerda y el otro a la derecha: g *0 > 0 y g *0 < 0 hacedo aalogía co el caso del teorema se cocluye que e g tee u mámo local. U procedmeto aálogo permte coclur que e g tee u mímo local. Estos resultados corma lo observado e la gura 5. E este ejemplo hemos currdo e ua mprecsó teórca al armar que es gual al úmero ecotrado co el método umérco, s embargo, para eectos práctcos, este hecho es rrelevate pues la solucó puede ser calculada co la precsó requerda por el problema que se este resolvedo e el mometo. Como ejemplo se muestra el resultado que se obtee al emplear Matemátca co ua precsó de 40 decmales: Optmzacó clásca varable multdmesoal Decó 4 Dervadas dreccoal y parcal: Sea u vector utaro y a es u puto teror a S, la dervada : S R, S R. S y es + h ' lm, h > 0 h 0 h se llama dervada dreccoal de e a e la dreccó de y. S y vector de la base caóca de R la dervada dreccoal ' a; dervada parcal respecto a k y se represeta medate el símbolo k el k-ésmo k se deoma

12 k a,..., a. E el caso de la varable bdmesoal el sgcado geométrco de esta dervada es ua geeralzacó del caso udmesoal. La gura 6 lustra la stuacó Fgura 6 las alturas de a y a + hy so perpedculares a la hoja y pasa por los putos a y a + hy respectvamete. Como y es utaro la logtud del segmeto que ue a co a + hy tee ua logtud gual a h. Los cuatro putos: a, a + hy, a y a + hy está todos cotedos e u plao perpedcular al plao y que sgue la dreccó del segmeto que ue a co a + hy. Co esto e mete se puede coclur que la dervada dreccoal represeta la pedete de la recta tagete a la curva que se orma al tersecar la superce co el plao que es perpedcular al plao y, que pasa por a y es paralelo a y. Decó 5: El vector,,..., se cooce como el gradete de e a. Teorema 5: Sea óptmo e a es que. : S R, S R. Ua codcó ecesara para que tega u Demostracó : S tee u óptmo e a, al dejar costates - varables y aalzar la stuacó e la varable restate, dgamos, debe teerse que, para esta, la proyeccó de la ucó tee u óptmo e a k y, como se estaría e el caso udmesoal, segú el teorema la dervada de la ucó proyeccó debe ser gual a cero. Como este resultado se tee para todas y cada ua de las varables, ecesaramete. El teorema 5 motva u método, aálogo al empleado e el caso de varable udmesoal, para ecotrar putos óptmos. Este método cosste e determar los putos e los cuales el gradete se hace cero. S embargo, como e el caso k

13 udmesoal, la aulacó del gradete es ua codcó ecesara, pero o sucete, para la esteca de óptmos. La decó 6 troduce la termología que se emplea para clascar los deretes casos. Mas adelate se establece u crtero, també aálogo al del caso udmesoal, basado e las segudas dervadas para establecer que clase de óptmo s lo es es u puto e el cual se aula el gradete. Decó 6: U puto a para el cual se cooce como puto estacoaro de. U puto estacoaro se llama de slla o de eslladura s toda -bola Ba cotee putos tales que < a y otros para los cuales > a. Ejemplo 9 método de los mímos cuadrados: Cada plaeta, co ua úca ecepcó, se halla etre,3 y,0 veces ta alejado del Sol e relacó al sguete plaeta más cercao. La úca ecepcó es Júpter, el quto plaeta, que se halla 3,4 veces más alejado de lo que está Marte. Este hecho trgó otablemete a los astróomos Podría estr u plaeta e el hueco etre Marte y Júpter? Herch Wlhelm Mathas Olbers, astróomo alemá, reclutó u grupo que plaeaba empreder la búsqueda sstemátca del plaeta altate. S embargo, e la oche del 3 de dcembre de 800 Guseppe Pazz, astróomo talao, que descoocía la esteca y los propóstos del grupo de Olbers, localzó, e el mecoado hueco, u objeto celeste que varaba de poscó de u día al sguete. Lo deomó Ceres y ue el prmer asterode de que se tuvo otca. U mes después Ceres desaparecó detrás del Sol. E los meses posterores ue buscado ructuosamete e los celos. Tres meses después aparecó eactamete e el lugar e el cual Carl Fredrch Gauss, matemátco alemá, empleado u método de su vecó para aalzar las observacoes hechas, había predcho que lo haría. El método vetado por Gauss se deoma de los mímos cuadrados, y cosste e ua técca que se utlza para ecotrar la curva que se ajusta mejor a u cojuto de resultados epermetales, de maera que sea míma la suma de los cuadrados de las derecas etre las ordeadas de dchos putos y las de la curva que tee la msma abscsa. El ejemplo que sgue desarrolla la dea del método. Dadas parejas ordeadas dsttas, y,, y,...,, y o sempre es posble ecotrar ua recta m + b que pase por todos los putos, y. S embargo, puede calcularse las costates m y b de tal maera que la recta m + b se ajuste de la mejor maera a la coleccó de putos. Ates de resolver el problema se cosderará el mejor crtero segú el cual se puede armar que la recta se ajusta de la mejor maera. E cada puto el error cometdo será gual a la dereca etre el valor geerado por la órmula m + b y el valor tabulado, esto es, e y m + b y. Véase la gura 7. Fgura 7 3

14 Cualquer método debe, de algua maera, mmzar el total de los errores cometdos. E u prmer mometo podría pesarse e mmzar la suma de todos los errores, esto es, mmzar y La gura 8 muestra que o es ua buea dea, pues lo mímo que se espera de la recta de ajuste es que, cuado se tee eactamete dos putos, pase por ambos. Este o es el caso, pues cualquer recta que pase por el puto medo, co la úca ecepcó de ua vertcal, cumple la codcó de mmzar la suma de los errores, hacédola gual a cero ótese que los errores so guales e magtud pero de sgo cotraro. Fgura 8 Ua solucó alteratva sería tetar mmzar la suma de los valores absolutos de los errores, o sea, mmzar y la dcultad de este eoque radca e que es ecesaro calcular dervadas parcales pero el valor absoluto es ua ucó que se dee por partes y que, además, o es dervable e 0. Todas estas dcultades so superadas co el eoque de los mímos cuadrados, el cual cosste e mmzar la suma de los errores al cuadrado, esto es, mmzar y m + b y El problema se cocreta etoces a determar las costates m y b de tal maera que se mmce Sm, b m + b y Solucó: S m S b m + b y m + b y gualado estas dervadas parcales a cero se obtee 4

15 5 + y b m + y b m Este es u sstema leal de dos ecuacoes co dos cógtas, resolvedo por el método de susttucó, de la seguda ecuacó se obtee m y b reemplazado e la prmera + y m y m despejado m y y y y m resumedo y y m y m y b es la solucó pedda. Cualquer hoja de cálculo o calculadora cetíca geera estás catdades a partr de los datos troducdos. E cosecueca, la recta de regresó es b m Y + Λ Ejemplo 0: Demuestre que para la recta de regresó ecotrada e el ejemplo ateror se tee y 0 Solucó: y y Y Λ + y b m + y b m

16 m + y m y 0 Auque se ha trabajado úcamete la regresó de tpo leal e dos varables, el eoque de los mímos cuadrados puede etederse drectamete a polomos de grado e el caso de que se tega + putos el polomo de regresó será precsamete el polomo de colocacó, el grado del polomo puede establecerse por algú resultado teórco, algua epectatva o por la aplcacó que se le preteda dar. Medate trasormacoes, problemas o leales puede adaptarse para hacer regresó leal a datos que, por ejemplo, se ajuste apromadamete a ua c epoecal del tpo y ab, ya que, evaluado e ambos lados logartmos de base b se obtee log b y logb a + c y hacedo las susttucoes Y log b y y A logb a se llega a ua ecuacó de tpo leal. També es posble trabajar e más de dos dmesoes ecotrado, ya o la recta, so el hperplao que mejor se ajusta a ua ube de putos e R. Codcoes ecesaras y sucetes para la esteca de putos óptmos El método empleado e el ejemplo 9 se lmtó a determar u puto estacoaro de. Las dervadas parcales está dedas e todo el plao y, e cosecueca, este puto estacoaro es úco. Cosderacoes teórcas propas del caso partcular que se estaba tratado permtía coclur que la solucó estía. Por lo tato se asumó que e este puto se preseta el mímo buscado. Este procedmeto es lícto. S embargo, este o es sempre el caso: la esteca de varos putos estacoaros puede hacer ecesaro que se clasque e mámos, mímos o putos de slla. També puede ocurrr que el modelo matemátco o garatce la esteca de la solucó y, e cosecueca, e los putos estacoaros hallados puede presetarse putos de slla u óptmos de aturaleza cotrara a los buscados. Estas cosderacoes hace que sea ecesaro cotar co u crtero de clascacó de los putos estacoaros. Las decoes y el teorema, s demostracó, que se preseta e seguda suple esta ecesdad. Decó 7: La matrz de las segudas dervadas parcales de es llamada matrz hessaa y se desga por H. Así, se tee H 6

17 Decó 8: Dada la matrz A se dee el k-ésmo meor prcpal de A como a a a k a a a k a a a k k kk k,,..., Decó 9: Dada la matrz smétrca A se dce que A es:. deda postva s los valores de los meores prcpales de A so postvos o egatvos. k. deda egatva s el valor del k-ésmo meor prcpal tee sgo Teorema 6: sea a u puto estacoaro de etoces. S Ha es deda postva tee u mímo e a.. S Ha es deda egatva tee u mámo e a. Ejemplo : ecuetre los putos óptmos de la ucó +,, Solucó: el sstema tee como solucó el vector a /, /3, 4/3, etoces H los meores prcpales de H tee valores -, 4, -6. Segú la decó 9, H es deda egatva. Aplcado el teorema 6 se cocluye que tee u mámo e a. Ejemplo : Determe el puto del plao + y + z más cercao al orge. Solucó: El problema puede represetarse como mmzar, y, z + y + z 7

18 sujeto a + y + z despejado z e la restrccó se tee z - - y, reemplazádola e la ucó objetvo queda + y + y calculado las dervadas parcales e gualado a cero o y 0 y 4 y 0 y 4 + 4y y 4 0 y que tee como solucó y /3, /6. E cosecueca z /6. Así, el puto estacoaro a es gual a /6, /3. Como ya se mecoó, característcas propas del problema e partcular e este caso el hecho de que la dstaca míma de u puto a u plao sempre este garatza que el puto ecotrado correspode a la solucó. S embargo, se hará los cálculos que verca este hecho. H Los meores prcpales de H so 4 y 4. Por cosguete H es deda postva y tee u mímo e a. Hecha esta cormacó se puede armar que el puto solucó es /6, /3, /6. Ejemplo 3: ecuetre los putos estacoaros de, y, z yz - 4z - yz + ² + y² + z² - - 4y + 4z. Solucó: calculado las dervadas parcales e gualado a cero yz - 4z z - z + y y Nota: este problema pude resolverse acudedo eclusvamete a argumetos geométrcos. La dstaca míma de u puto a u plao es la perpedcular del puto al plao. La solucó se halla, etoces, tersecado la recta, y, z t,, t, t, t, t que es perpedcular al plao co el plao. Para ello se resuelve para t la ecuacó t + t + t. La solucó es t /6 y el puto es /6*,, /6, /3, /6. 8

19 y 4 - y + z z Para resolver este sstema o leal de 3 ecuacoes co 3 cógtas se emplea el método de susttucó. Despejado e la prmer ecuacó reemplazado e la seguda yz + z yz + zz - z + y hacedo el producto, smplcado y actorzado actorzado de uevo z²4 - y + y yz² - 4 yz - z + 0 de esta últma gualdad se cocluye que y o z o z -. Reemplazado e la seguda ecuacó yz + zy 4 yz + z - y + z smplcado y actorzado e cosecueca zy² - 4y + 3 zy 3y - 0 z 0 o y 3 o y. Se escoge las parejas y, z de tal maera que se cumpla las codcoes, por ejemplo, s se escoge y 3 e la seguda codcó etoces, por la prmera codcó, z o z -. Se tee, por lo tato, las parejas 3, y 3, -. Cosderacoes aálogas da como resultado las parejas,,, - y, 0. Tomado, por ejemplo, la pareja 3, se obtee 3* + * 0, co lo cual se tee la trpla 0, 3,. El msmo procedmeto coduce a la obtecó de los putos,, 0,, 3, -,,, y 0,, - como putos estacoaros de. Utlzacó de métodos umércos e la determacó de putos estacoaros El ejemplo 3, de ácl solucó, lustra las bodades de u problema artcal, esto es, u problema que ha sdo creado para que tega ua solucó relatvamete ácl. E este caso la solucó del sstema de ecuacoes, orgado al gualar el gradete a cero, se pudo realzar acudedo úcamete al álgebra elemetal. S embargo, este tpo de 9

20 0 problemas costtuye la ecepcó y o la regla cuado se preseta como parte de la solucó de u problema real de aplcacó. E estos casos, de maera smlar a lo vsto e el trabajo co varable udmesoal, hay que recurrr a algú método umérco para resolver el sstema. El método que se tratará aquí es el de Newto para sstemas de ecuacoes o leales. Método de Newto para sstemas de ecuacoes Dado el sstema de ecuacoes F 0, dode El método de Newto para sstemas cosste e la aplcacó de la ecuacó recursva [ ] k k k k J e dode 0 es u puto prómo a la raíz buscada y J Ejemplo 4: Ecuetre los putos estacoaros de, y, z ² + y² + z² y + z + yz Solucó: Calculado las dervadas parcales e gualado a cero 4 + yz y y + z z z + y Para aplcar el método de Newto se costruye la matrz J

21 4 J z y Comezado co 0 0, 0, 0 se tee z y además se tee etoces J 0,0,0 0 0 y [ J 0,0,0] 0 0 0, 0, 0 - / F0, 0, 0 0 / / / /, -3, -3 / 6 Iteracó X Y Z Tabla / La tabla resume los cálculos. Nótese que los valores e la teracó 4 cocde co los de la 3 esto se debe a que F 0. Así, partedo del puto 0, 0, 0 se ha ecotrado ua solucó al sstema cosstete e , y y z S embargo, e el ejemplo 3 se ecotraro 5 putos estacoaros 5 solucoes al sstema o leal de ecuacoes por lo tato es probable que també e este caso esta varas solucoes. U procedmeto tutvo cosste e ejecutar las teracoes a partr de deretes putos e busca de las otras raíces del sstema, por ejemplo, a partr del puto 5, -5, 5 se obtee la solucó, y y z Como los papeles de y y z e el sstema so smétrcos, a partr de esta últma solucó se deduce que, y.9584 y z també es solucó. Obvamete esta técca de esayo y error o costtuye u método de

22 aplcacó geeral y además las smetrías so etrañas. Para evadr estas dcultades, se puede, e el caso partcular del sstema que se está resolvedo, dsmur la dmesó del problema despejado e la prmera ecuacó y reemplazádola e las otras co lo cual se obtee: -yz + 3/ y el sstema se reduce a y - z ² - 3z y²z - 3y + z como para ua solucó cualquera debe satsacerse smultáeamete las dos ecuacoes, las solucoes se localza e los putos de terseccó de las grácas. Esta stuacó se lustra e la gura 9 Fgura 9 Así, es posble vercar de orma gráca que las raíces ecotradas so todas las estetes. Es mportate sstr que la técca empleada para la resolucó de este ejemplo o sempre es aplcable. E geeral es dícl determar el úmero eacto de raíces, como també el lugar apromado e dode se ecuetra. Lo que se desea dcar es que, e la resolucó de cada problema e partcular, es acosejable acudr a todas las herrametas que sea lícto emplear e el mometo. De maera aáloga al caso udmesoal los óptmos de ua ucó de varable multdmesoal, : S R, S R, també puede presetarse e aquellos putos para los cuales o este las dervadas parcales o que correspode a la rotera. El propósto del ejemplo 5 es lustrar esta stuacó. Ejemplo 5: Dada, y + y deda e {, y / ² + y² 4} que aparece gracada e la gura 0

23 Fgura 0 es evdete que preseta u mímo e 0, 0, puto e el cual las dervadas parcales + y y y y + y o este. Además toma u valor mámo de e todos y cada uo de los putos de la rotera. Etremos restrgdos. Multplcadores de Lagrage De la msma maera que la dervada udmesoal a represeta la pedete de la recta tagete a la curva e el puto a, a, el vector gradete tee ua terpretacó geométrca que es útl e el mometo de dar ua motvacó del método coocdo como de los multplcadores de Lagrage. El vector gradete es u vector ormal perpedcular al plao tagete a la superce e el puto a, a. Este hecho se lustra e la gura. Fgura Se troduce las deas del método medate la solucó de u problema de aplcacó. 3

24 Ejemplo 5: Ecuetre los putos de la superce z² - y más prómos al orge. Solucó: Al platear el problema de la orma Mmzar ² + y² + z² Sujeto a z² - y Se hace evdete que se trata de u problema de optmzacó co restrccoes. U puto, y, z se ecuetra a ua dstaca r del orge s, y solo s, está e la esera ² + y² + z² r² Esta esera es ua superce de vel de la ucó, y, z ² + y² + z² que hay que mmzar. Como la superce z² - y o pasa por el orge, la dea de la solucó cosste e comezar co r 0 e r aumetado hasta que la esera sea tagete a la superce. Cada puto de cotacto será ua solucó del problema. E el puto de tageca las dos superces tee el msmo plao tagete y, e cosecueca, gradetes paralelos. El paralelsmo de los gradetes se traduce e que uo es múltplo del otro. Deedo g, y, z z y se tee que la superce queda deda por g, y, z 0 y que λ g e cosecueca,y,z λ y,,z que equvale a las 3 ecuacoes -λy y -λ z λz la cuarta ecuacó está dada por g, y, z 0 o sea z y 0. Este sstema tee como solucó: λ, y 0, z o z -. Se tee, e cosecueca, las dos solucoes 0, 0, y 0, 0, -. El método empleado e la solucó del ejemplo 5 se geeralza de la sguete maera. Método de los multplcadores de Lagrage S S R, S R : tee u óptmo relatvo cuado está sometda a m codcoes g,..., 0,..., g,..., 0 m 4

25 co m <, este etoces m escalares λ,...,λm tales que λ g + + λ g Los escalares λ,...,λm que se trodujero para resolver este tpo de problemas se deoma multplcadores de Lagrage. Ejemplo 6: Ecuetre las dmesoes de la cubeta que aparece e la gura de tal maera que se mmce el materal empleado y se cumpla las dos restrccoes:. cada uo de los espacos debe teer ua seccó horzotal cuadrada.. el volume total s teer e cueta las partcoes debe ser gual a pulgadas cúbcas. Fgura Solucó: El problema se platea de la sguete maera: Mmzar 3z + y + 6yz Sujeto a / 5 - y / 0 yz- 0 e dode, y, z 3z + y + 6yz, g, y, z / 5 y / y g, y, z yz. Etoces 3z + y, + 6z,3 + 6y, g / 5, /,0 y g yz, z, y El sstema λ g g λ g + g, y, z 0, y, z 0 es u sstema de 5 ecuacoes co 5 cógtas de solucó dspedosa. S embargo, empleado u paquete matemátco e este caso Derve se obtee la solucó: 5

26 3 3* 60, 3 3*60 y y 5 3 * 60 z 9 Al o cotarse co u paquete matemátco este problema puede smplcarse despejado e la prmera restrccó y reemplazádola e la ucó objetvo y e la seguda restrccó, co lo cual se obtee u problema e dos varables co ua restrccó. Aú más, este uevo problema puede a su vez smplcarse despejado z y se tee u problema e ua sola varable s restrccoes. S embargo, el método de los multplcadores de Lagrage está cocebdo para resolver problemas e los cuales es mposble hacer tales smplcacoes. Optmzacó o clásca varable multdmesoal Hasta el mometo los métodos empleados ha sdo ruto de la aplcacó de resultados teórcos como, por ejemplo, gualar el gradete a cero o emplear el método de los multplcadores de Lagrage, las dcultades ha aparecdo al mometo de atacar el problema de resolver los sstemas de ecuacoes o leales que aparece al aplcar los resultados teórcos. Para ello se ha acuddo al método de Newto, el cual es u método teratvo de apromacoes sucesvas a partr de u puto cal. Lo que se hará ahora es emplear ua dea smlar para ecotrar drectamete el óptmo: comezado co u puto cal, adecuado segú algú crtero, terar hasta estar lo sucetemete cerca del óptmo. Método del gradete Este ua relacó udametal etre la dervada dreccoal y el gradete la cual es epresada e la sguete órmula ' ; cosθ cosθ dode θ es el águlo ormado por a e y. La gura 3 proporcoa ua lustracó gráca del hecho Fgura 3 6

27 Al teer la dervada dreccoal la orma cosθ es claro que esta asume u valor mámo cuado θ 0 y u valor mímo cuado θ π. O sea que, el valor mámo de la dervada dreccoal es y ocurre cuado y tee la msma dreccó del gradete y el valor mímo es - que ocurre cuado y tee dreccó opuesta al gradete. E otras palabras, el gradete de e a aputa e la dreccó de mámo crecmeto de a partr de a, e tato que aputa e la dreccó del mámo decrecmeto de. Este mportate hecho costtuye la base del método del gradete el cual cosste e comezar a partr de u puto cal, y avazar e la dreccó del gradete, e el caso de mamzacó, o e la dreccó cotrara, e el caso de mmzacó. Ua vez determada la dreccó de avace es ecesaro escoger la logtud de dcho avace o tamaño del paso lo cual costtuye, a su vez, u problema de optmzacó de varable udmesoal. El sguete ejemplo lustra el procedmeto. Ejemplo 7: Mamce la ucó, y 4 + 6y ² -y y² Solucó: comezado e el puto cal 0, 0 y cosderado que, y 4 4 y, 6 4y etoces el vector 0,0 4, 6 determa la dreccó que debe tomarse a partr de 0, 0. S p cotrola la logtud del paso, el puto de llegada será 0, 0 + p4, 6 4p, 6p para determar el mejor p se optmza 4p, 6p, se tee etoces dervado e gualado a cero 4p, 6p 6p + 36p 3p² - 48p² - 7p² 5p 5p² 5 304p 0 etoces p 5/304 3/76 co lo que el uevo puto es 3/9, 39/38. Evaluado 3/9, 39/38 69/ que represeta ua mejora rete a 0,0 0. Se hace los cálculos para dar el sguete paso. 3/9, 39/38-5/9, 0/9 co lo que el uevo puto es etoces 3/9, 39/38 + p-5/9, 0/9 3/9-5p/9, 39/38 + 0p/9 3/9-5p/9, 39/38 + 0p/9-700p² - 650p 3 / 7 dervado, gualado a cero y despejado se obtee p 3/8 co lo que el uevo puto es 69/53, 69/33 co 69/53, 69/33 69/

28 Este proceso es egorroso, s embargo, como e este caso e el proceso de optmzacó la p se obtee de maera eplícta, puede hacerse los cálculos para cualquer puto geérco a, b, co lo cual se obtee etoces el uevo puto es a, b 4 4a b, 6 a 4b a, b + p4 4a b, 6 a 4b 4 p + 4 pa pb, 6p pa + 4 pb evaluado 4 p + 4 pa pb, 6p pa + 4 pb, dervado, gualado a cero y despejado p se obtee p 5a 47a + a4b 7 + 5b 6b a3b + 7b 3b + 9 co lo cual el procedmeto se puede automatzar medate ua hoja de cálculo para obteer la tabla Iteracó X X X p E-06.5E E E Tabla 3 E la tabla 3 se ve que el algortmo coverge eectvamete haca la solucó /3, 4/3 la cual puede ecotrarse de orma aalítca- metras que el gradete tede a cero como es de esperarse que ocurra e u puto óptmo. 8

29 Programacó separable La dea de la programacó separable para resolver u problema de P.N.L. es costrur ua apromacó leal del problema, esto es, u problema de programacó leal, y resolver este para ecotrar ua apromacó a la solucó de aquel. Decó 0: Ua ucó dode,,..., se dce separable s cumple la codcó: 4 Ejemplo 8: La ucó, es separable pues puede escrbrse, + dode + 3 y 4 Supogamos que e el problema de optmzacó Mamzar z Sujeto a < g j b j j,..., m 5 > 0,,..., la ucó objetvo y las restrccoes so separables. El problema adquere etoces la orma Al hacer la descomposcó Mamzar z Sujeto a < g j b j j,..., m > 0,,..., cada puede ser leal o o. E caso de o serlo se le hace ua apromacó leal de la sguete maera: sea, deda e [a, b], como aparece e la gura 4 6 9

30 Se toma la partcó Λ deda por la polgoal apromacó leal de la ucó. Fgura 4 a < < < < k < k < < r < r b. La ucó 0 + 0,,,,, r, r es ua Para estudar Λ se seleccoa el tervalo arbtraro, ] para el cual se tee [ k k + Λ k+ k k + k k + k 7 Por otra parte s [ k, k + ] etoces puede ser represetado como combacó covea de los etremos del tervalo. Se tee etoces Susttuyedo 8 e 7 queda λ k + + λ 0 λ 8 k o Λ k+ k k + λk + + λ k k 0 λ k + k Λ k+ k k + λ k+ k 0 λ k + k Smplcado y actorzado Λ λ + λ 0 9 k + k λ Como se está aalzado el tervalo [ k, k + ] se dee λ k + λ y λk λ co lo cual 8 y 9 toma la orma 30

31 λ k k + λk + k + dode λ λ, λ, λ 0. k + k+ k k+ Λ λ λ k k + k + k+ E geeral para cualquer [a, b] se puede escrbr r Λ r λ k k y k 0 k 0 r λ k k dode λ y λ 0 k 0,, r k 0 k, 0 co la codcó de que mámo dos adyacetes. λ k sea postvos, e cuyo caso debe ser Empleado 0 e el problema 6 se obtee u problema apromado de aturaleza leal el cual tee la sguete represetacó: Mamzar z λ k Sujeto a r k 0 λ r k 0 r k 0 < λ k g j k b j j,..., m >, k, λ 0, k 0,, r,, k, co la codcó de que para cada mámo dos λ k sea postvos, e cuyo caso debe ser adyacetes. Este problema es cas leal, o lo es por la propedad de adyaceca que se acaba de mecoar, e cosecueca, se resuelve por el método símple o algú método equvalete y se verca que la solucó satsaga dcha propedad. Ejemplo 8: Dado el problema separable Mamzar z + Sujeto a , costrúyase y resuélvase el problema leal apromado. Solucó: e prmer lugar se separa la ucó objetvo y la restrccó así: k 3

32 3 g g es ecesaro també ecotrar los tervalos de decó de y. De la restrccó se tee, por ua parte de dode o. 44. De maera aáloga 6 3 de dode 6 0 o Por comoddad se toma los ragos Para r 8 se tee la tabla 4 0,. k Xk g g Tabla 4 co lo cual para este caso partcular asume la orma: Mamzar z 0λ λ 0λ λ λ λ + λ λ λ λ + 0.5λ λ λ +.5λ +.5λ +.75λ + λ λ + 8 Sujeto a 0λ + 0.5λ 0λ λ + 0.5λ λ +.5λ 3 + λ λ λ + 3λ λ λ λ λ λ λ 7 + λ 8 6 3

33 λ λ 0 + λ + λ + λ3 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + λ8 0 + λ + λ + λ3 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + λ8 Para resolver este problema se ha reombrado las varables de la sguete maera λ, λ λ λ 0 0, 8 8, 9 0,, 7 8 La salda de MPL co la solucó de este problema es: se tee etoces que λ3, λ y λ se ve que la solucó satsace la propedad de adyaceca. De acuerdo co 0 se tee etoces que la solucó apromada es: y co z.0. El problema també puede ser resuelto por u método gráco aálogo al empleado e Programacó Leal. E prmer lugar se graca la regó actble cojuto de putos que satsace smultáeamete todas las restrccoes, luego se graca las dversas curvas que se obtee al asgar alguos valores a la ucó objetvo y, almete, observado el comportameto de estas últmas se determa la solucó. La gura 5 lustra el procedmeto. 33

34 Fgura 5 Se observa que a medda que z va tomado valores cada vez más grades la gráca de la ucó objetvo se desplaza haca arrba, por lo tato el puto óptmo es el últmo puto de cotacto que tee la regó actble co la ucó objetvo e su camo de asceso, este puto cumple la codcó de que e él las dos grácas la de la ucó objetvo que ascede y la que delmta la regó actble so tagetes. Aplcado lo apreddo e la seccó dedcada a los Multplcadores de Lagrage se tee que e el puto de tageca las dos ucoes debe teer la msma dervada. Despejado e la ucó objetvo y e la restrccó se tee etoces + y z d d + y d d gualado las dervadas se obtee la ecuacó aplcado el método de Newto co u valor cal de se obtee 0 de dode y z La tabla 4 cotee ua comparacó etre la solucó del problema leal apromado y la solucó del problema orgal 34

35 Tabla 4 La precsó del método puede mejorarse resolvedo dos problemas cosecutvos, el prmero co meos dvsoes e los tervalos de decó de las varables ua apromacó o ta reada co el objetvo de determar ua apromacó al óptmo. El segudo, co dvsoes más as, e u etoro del puto ecotrado e el prmer problema, cluyedo las restrccoes ecesaras. Algortmos Geétcos: u cambo de paradgma A ales de los 50 y comezos de los 60 del sglo pasado, bólogos evolutvos, e u teto de smular los mecasmos de la evolucó bológca, programaro los prmeros algortmos que hoy se cooce como geétcos. S embargo, e u prmer mometo o pesaro que estas téccas podría emplearse e la solucó de problemas de búsqueda u optmzacó. E 965 surgó u desarrollo más etoso, cuado Igo Recheberg, etoces de la Uversdad Técca de Berlí, trodujo ua técca que llamó estratega evolutva. E esta técca o había poblacó cruzameto; u padre mutaba para producr u descedete, y se coservaba el mejor de los dos, covrtédose e el padre de la sguete roda de mutacó. E 96 Joh Hollad setó las bases para estudos posterores sobre sstemas adaptatvos, també ue el prmero e propoer eplíctamete el cruzameto y otros operadores de recombacó. S embargo, el trabajo udametal e el campo de los algortmos geétcos aparecó e 975, co la publcacó del lbro Adaptacó e Sstemas Naturales y Artcales. Basado e vestgacoes y publcacoes aterores del propo Hollad y de colegas de la Uversdad de Mchga, este lbro ue el prmero e presetar sstemátca y rgurosamete el cocepto de sstemas dgtales adaptatvos utlzado la mutacó, la seleccó y el cruzameto. U algortmo geétco AG es ua técca de programacó que mta a la evolucó bológca como estratega para resolver problemas. Dado u problema especíco a resolver, la etrada del AG es u cojuto de solucoes potecales a ese problema, codcadas de algua maera, y ua ucó de apttud que permte evaluar cuattatvamete a cada caddata. Estas caddatas puede ser solucoes que ya se sabe que ucoa, co el objetvo de que el AG las mejore, pero també puede haber sdo geeradas de maera aleatora. Luego el AG evalúa cada caddata de acuerdo co la ucó de apttud. E u cojuto de caddatas geeradas de maera aleatora, muchas tedrá desempeños poco satsactoros y será elmadas. S embargo, por puro azar, uas pocas puede ser prometedoras. 35

36 Estas caddatas prometedoras se coserva y se les permte reproducrse. També se realza copas de ellas, pero las copas o so perectas; se troduce cambos aleatoros durate el proceso de copa mutacoes. Esta descedeca costtuye u uevo cojuto de solucoes caddatas que se coverte e ua ueva etrada al AG. Tras sucesvas geeracoes geeralmete ua gra catdad este proceso evolutvo debe coverger haca ua solucó óptma hasta el mometo esta últma armacó es heurístca. Los coceptos de codcacó, cruzameto y mutacó, así como alguas de las vetajas de los AG será dscutdos de maera smultáea co la solucó de u ejemplo. Ejemplo 9 Mamzar,.5 + se4π + se0π Sujeto a Solucó: e prmer lugar se hace ua gráca de la ucó objetvo Fgura 5 E la gura 5 puede aprecarse la gra catdad de mámos y mímos relatvos que preseta la ucó e su domo. El procedmeto clásco os lleva a gualar las dervadas parcales a cero, co lo cual se tee el sstema o leal 4 π cos4π + se4π 0 0 π cos0π + se0π 0 36

37 La tabla 5 cotee los resultados obtedos al emplear el método de Newto así como los deretes putos cales usados e cada cojuto de teracoes Puto cal, y Solucó ecotrada Clase de P. Est Fuera del domo Fuera del domo Fuera del domo Fuera del domo Fuera del domo Fuera del domo Tabla 5 A pesar de que la gráca dca la esteca de ua gra catdad de óptmos e el domo, para todos los putos cales dados el método de Newto coverge e putos que está por uera del domo. Ahora se mostrará la maera de emplear u algortmo geétco para resolver el problema. Codcacó: la codcacó se hace medate umeracó bara cadeas de bts. Para el tervalo [a, b] co ua precsó de cco cras decmales, se tee u total de b a 0 5 putos a codcar. Para ello se determa m tal que < b a 0 m 5 m Lo cual puede hacerse áclmete empleado logartmos e base. S [a, b] etoces puede escrbrse como a + λb - a dode 0 λ combacó covea. El mayor valor decmal que puede teer ua cadea de bts es, por lo tato 0 valor decmalcadea bts /, etoces, para cualquer cadea de bts, se tee que el úmero valor _ decmal cadea bts a + b a está e [a, b]. De esta maera se establece ua relacó etre las cadeas de bts y el tervalo [a, b]. E el ejemplo, para el tervalo de se tee log etoces < co lo cual se ecestará 8 bts para codcar el tervalo [-3,.]. De maera aáloga, para el tervalo [4., 5.8] será ecesaros 5 bts. Se empleará cadeas de 33 bts, los 8 prmeros para y los 5 restates para. 37

38 Fgura 6 Poblacó cal: se empleará ua poblacó cal de 0 dvduos geerada de maera aleatora Cada cadea de 33 bts es descompuesta e dos, ua de 8 y otra de 5 bts respectvamete y para cada ua de ellas se calcula su valor decmal. Medate la órmula valor _ decmal cadea bts a + b a cada úmero de la lsta ateror es llevado al correspodete tervalo de decó. Se obtee:

39 Evaluacó: la ucó objetvo es evaluada e cada pareja para medr su desempeño , , , , , , , , , , Seleccó: la apttud de u dvduo se determa de acuerdo a su comportameto e la ucó objetvo. S se represeta el desempeño de acuerdo a la logtud de u segmeto de recta se tee, para el caso de 3 dvduos Fgura 7 luego se escala las catdades para que la suma sea. Fgura 8 Se coloca los segmetos, uo a cotuacó del otro, de maera que llee el tervalo [0, ]. Acto segudo, se geera 0 úmeros aleatoros e [0, ], el dvduo al que perteece el tervalo e el cual cayó el úmero geerado de maera aleatora pasa a la sguete geeracó. 39

40 Fgura 9 Para el caso de la gura 9 el dvduo elegdo para pasar a la sguete geeracó es b. Volvedo al ejemplo se tee que la suma total de las mágees es 4.08 y para cada dvduo su desempeño escalado dvddo por 4.08 es Ahora se coloca u tervalo a cotuacó del otro sumado sus logtudes Se geera 0 úmeros aleatoros y de acuerdo a su valor se dca que dvduo pasa a la sguete geeracó

41 Se tee la ueva poblacó Cruce: por cada dvduo se geera u úmero aleatoro e [0, ], s el resultado es meor que 0.5 probabldad de cruce el dvduo es elegdo para ser cruzado. S se obtee u úmero mpar de padres se repte la eleccó. Por este método uero elegdas para ser cruzadas las parejas 3 y 7, 8 y 0. El mecasmo de cruce se lustra e la gura 0. Fgura 0 Se determa de maera aleatora u puto de corte y a partr de él las cadeas padres tercamba sus bts para obteer las cadeas hjos. Los hjos reemplaza a los padres e la poblacó. E este caso se seleccoaro los putos de corte 5 y. Poblacó luego del cruce de 3 co 7 puto de corte 5 y 8 co 0 puto de corte

42 Mutacó: por cada ge bt se geera u úmero aleatoro, s resulta eror a 0.0 probabldad de mutacó el ge muta. El mecasmo de mutacó se lustra e la gura Fgura 9 y cosste smplemete e trocar el bt elegdo de 0 a o vceversa puede hacerse smplemete aplcado la órmula ge_uevo -ge_orgal. E este caso ue elegdo para mutar el ge 6 del cromosoma dvduo. Poblacó luego de la mutacó Co la obtecó de esta ueva geeracó terma ua teracó del algortmo. Los uevos valores covertdos al tervalo de decó y sus respectvas mágees por la ucó objetvo so: , , , , , , , , , , Se ha ejecutado el algortmo 3 veces y e cada ua de ellas se ha realzado 000 geeracoes teracoes, el resultado se muestra e la tabla 5 4

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