DEFINICIONES BÁSICAS, EXPONENTES Y RADICALES

Transcripción

1 . TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN A prtir de los coociietos de ritétic, se desrrollrá u leguje edite síolos térios, pr elorr u serie de técics de cálculo; el leguje ls técics, costitue u r iportte de l teátic, el álger eleetl, que estudi l ctidd, cosiderd del odo ás geerl. Los étodos lgericos us letrs pr represetr úeros ideteridos o icógits, e esto rdic gr prte de l superioridd del álger sore l ritétic. Notció lgeric Los síolos usdos e álger pr represetr ctiddes so úeros literles. Los úeros se eple pr represetr ctiddes coocids ietrs que ls letrs se eple pr represetr tod clse de ctiddes se coocids o descoocids. Geerlete ls ctiddes coocids se represet por ls priers letrs del lfeto ls descoocids por ls últis letrs del iso. Fórul lgeric Es l represetció, por edio de letrs, de u regl o u pricipio geerl. Sigos del álger. Los sigos utilizdos e álger so de tres clses: operció, relció grupció. SIGNOS DE OPERACIÓN. E álger se verific co ls ctiddes ls iss opercioes que e ritétic: su, rest, ultiplicció, divisió, elevció de potecis etrcció de ríces. Los sigos que se utiliz pr dichs opercioes so: ). Pr l su () ). Pr l sustrcció (-). Pr l ultiplicció () Tié e lugr del sigo (), suele colocrse u puto (.) etre los fctores veces se idic etre prétesis los fctores. Etre los fctores literles, o etre u fctor literl uo uérico el sigo orlete se oite. d). Pr l divisió ( ) Tié se idic l divisió seprdo el dividedo del divisor edite u r (-) horizotl. e). Elevció poteci. -

2 El sigo de elevció poteci es el epoete, colocdo rri l derech de u ctidd, el cul idic ls veces que dich ctidd lld se, se to coo fctor, cudo u letr o ctidd o tiee epoete, su epoete será l uidd. f). Etrcció de ríces. El sigo de ríz es, lldo rdicl detro de él se escrie l ctidd l cul se le etrerá ríz, est ctidd recie el ore de surdicl l () recie el ore de ídice del rdicl. sigos de relció E álger h tres sigos que sirve pr relcior ls ctiddes:. igul. > or que. < eor que Sigos de grupció Etre los sigos de grupció teeos:. ( ) Prétesis Circulr. [ ] Prétesis Rectgulr o Corchetes. { } Llves. Brr o Vículo EXPRESIÓN ALGEBRAICA. E el álger prece frecueteete cierts fors siólics llds epresioes lgerics, e ells se coi de lgu er úeros, letrs, sigos de grupció de operció. DEFINICIÓN: U epresió lgeric es u coició de u úero liitdo de vriles úeros elzdos por sigos de operció e ocsioes por sigos de grupció. Ejeplos de epresioes lgerics: ). 8 ). P ). ( ) c 7). ± ). 8A 8). R R ). ). ( w) w Tério lgerico 9). V ðh c 0). V ðh(r r Rr) Es u epresió lgeric que cost de uo o vrios síolos, o seprdos -

3 ). etre sí, por los sigos positivo () o egtivo (-). 8 ). ()c Los eleetos de u tério so: ) El coeficiete. E for geerl, podeos decir, que e el producto de dos fctores, culquier de ellos se puede tor coo coeficiete del otro. Ejeplo: E, es coeficiete de, es coeficiete de, es coeficiete de es coeficiete de. E geerl ddo u tério (ooio) siepre se puede distiguir el coeficiete uérico el coeficiete literl. El coeficiete uérico es el que se tiee e el producto de u ctidd uéric por u o vris letrs. E, es el coeficiete uérico. E, es el coeficiete uérico. Cudo u tério (ctidd) o tiee coeficiete, éste vldrá l uidd. Ejeplo: E V W, se etiede que el coeficiete uérico es l uidd. Coeficiete Literl, es el que se tiee, cudo eiste u producto de literles, de odo tl que, culquier letr puede ser coeficiete de l(s) otr(s). Ejeplo: E, es coeficiete literl de es el coeficiete literl de. Es coú llr sipleete "coeficiete" l coeficiete uérico. ) El sigo. El sigo, será ctiddes positivs quells que v precedids de u sigo (), egtivs, ls que v precedids de u sigo (-). Los térios que o v precedidos de u sigo se torá coo positivo (). ) L prte literl o se. L se o prte literl, l costitue ls letrs que eist e el tério. Ejeplo: E c, l prte literl es c. ) El grdo. El grdo de u tério puede ser de dos clses, soluto co relció u letr. -

4 El soluto; es l su de los epoetes de sus fctores literles que cotiee. Ejeplo: Tério Grdo ro - z 7 8 z Co relció u letr es sipleete el epoete co que prece dich letr. ) El grdo de co relció de es, co relció es. ) El grdo de z co respecto es ; co respecto es co respecto z es. Clses de térios. Tério etero: Es quel que o tiee divisor o deoidor literl.,, 0. Tério frcciorio: Es quel que tiee u divisor o deoidor literl.,,. Tério rciol: Es quel que o tiee rdicl., p,. Tério irrciol: Es quel que cotiee rdicl.,,. Térios hoogéeos: So quellos que tiee el iso vlor soluto e grdo. Ejeplo: c z w -

5 . Térios heterogéeos: So quellos que o tiee el iso grdo soluto. c z w CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Mooio: Es u epresió lgeric que cost de u sólo tério. c, z w,, 0, c. Bioio: Es u epresió lgeric que cost de dos térios.,,,,. Trioio: Es u epresió lgeric que cost de tres térios.,,. Polioio: So quells epresioes lgerics que cost de ás de u tério.,, 7 -

6 GRADO DE UN POLINOMIO Puede ser soluto o co relció u letr. ) Grdo soluto de u polioio. Cd uo de los térios (ooio) de u polioio tiee sigdo u grdo, se torá el or de los grdos de los térios. Es de curto grdo. 8 Es de oveo grdo. Es de prier grdo. Es de segudo grdo. ) Grdo co relció u letr. Cudo se tiee vris literles, puede oteerse el grdo co respecto u de ells será l que teg el or epoete e el polioio, coo se idic cotiució. ) -, es de seto grdo e relció de l letr de curto grdo co respecto l letr. ) - 8, es de curto grdo co respecto de quito grdo co respecto. ), es de tercer grdo co respecto de tercer grdo co respecto. CLASES DE POLINOMIOS. ) Polioio Etero. Es cudo iguo de sus térios cotiee literles e divisores o deoidores. ) Polioio frcciorio. Es cudo lguo de sus térios tiee divisor o deoidor literl. Polioio Rciol. Niguo de sus térios tiee sigo rdicl. d) Polioio Irrciol. Alguo de sus térios tiee u sigo rdicl. e) Polioio Hoogéeo. Es quel, e el cul todos sus térios tiee el iso grdo soluto. f) Polioio Heterogéeo. Es quel, e el que l eos uo de sus térios o tiee el iso grdo soluto. g) Polioio Copleto. Es quel que cotiee todos los epoetes sucesivos e orde descedete; desde el ás lto hst el ás jo que teg l letr e el polioio. Ejeplo: -

7 - - h) Polioio Ordedo co relció u letr. Es quel e el cul los epoetes de u letr escogid, lld ordetriz v uetdo o disiuedo. Ejeplo: i) Tério idepediete de u polioio co respecto u letr. Es quel que o cotiee dich letr, es decir, es el que está costituido por u úero rel. ) - ; el tério idepediete es - ) ; El tério idepediete es EJERCICIOS.. Estlezc qué clse de térios so los siguietes tediedo l sigo, si tiee o o deoidor si tiee o o rdicl. Tério Solució ) Es positivo, etero, rciol. ) - Es egtivo, etero, rciol. Es positivo, etero, rciol. d) Es egtivo, etero, irrciol. e) ; Es egtivo, etero, irrciol. f) g) ; Es positivo, etero, irrciol. ; Es egtivo, frcciorio, irrciol. -7

8 . Idique el grdo soluto de los siguietes térios: Tério Solució ) Prier grdo. ) - Tercer grdo. Curto grdo. d) - c Octvo grdo. e) 8 Ocevo grdo. f) Quito grdo. g) -z Séptio grdo.. Escri el grdo de cd uo de los siguietes térios co respecto cd uo de los fctores literles. Tério Solucioes ) - : er grdo; : grdo ) - : grdo; : grdo : grdo; : er grdo; : er grdo d) -c : er grdo; : er grdo; c: er grdo; : grdo e) 0 c : grdo; : er grdo; : grdo; c: grdo. E los siguietes térios escoger cutro hoogéeos cutro heterogéeos. Tério Solució ) - hoogéeos. ) heterogéeos. - hoogéeos. d) hoogéeos. e) - heterogéeos. f) - heterogéeos. g) c hoogéeos. h) Q c heterogéeos.. Escri: Solució ). Dos térios eteros: ). Dos térios frcciorios:. Dos térios eteros, positivos, rcioles: d). Dos térios egtivos, frcciorios e irrcioles:. Escri u tério de los siguietes grdos solutos. c 7 ; 0c ; c 0 9 ; z ; Tério Solució ) er grdo ) grdo - grdo cd -8

9 d) grdo 7 c d e e) 0 grdo 0 c d 7 7. Dig el grdo soluto de los siguietes polioios. Tério Solució ) grdo ) grdo 8. Atediedo si tiee o o deoidor literl si tiee o o rdicl dig, de qué clse so los siguietes polioios. Tério Solució ) Etero, rciol ) c d Etero, irrciol Frcciorio, irrciol 9. Escriir: Tério Solució. ) U polioio de er grdo soluto: - ) U polioio de grdo soluto: 0 - U trioio de grdo co respecto : - 0. E los siguietes polioios decir cules so copletos co respecto que letr. Tério Solució ) - - copleto co respecto ) copleto co respecto - - copleto co respecto d) - - copleto co respecto e) - - copleto co respecto. Order los siguietes polioios e orde descedete. Tério Solució ) - - )

10 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Al proceso pr deterir el úero represetdo por u epresió lgeric, cudo se sig vlores específicos sus literles se le ll evlució de l epresió; el úero oteido de l evlució se cooce coo vlor uérico de l epresió lgeric. Ejeplos ) Clculr el vlor uérico de cd epresió pr los vlores sigdos ls literles. ) e) ) c f) p g) d) h) c p c c E dode:,, c,, p SOLUCIÓN Sustituedo e cd u de ls epresioes dds teeos: ) () () ) () () () () () (8) () 0 () d) e) () () ()() f) 7 g) ()()() ()(9) () () (8) 7 h) () (9) 8 ) Dd l epresió: - ( - ), clculr pr e -0

11 - SOLUCIÓN Sustituios dichos vlores teeos: ) Dd l epresió:, clculr pr - SOLUCIÓN Sustituedo se tiee: 70 7(0) )(0) ( 0 0 () ) ( ) Dd l siguiete epresió: ) )(c (c )( ( )( (, clculr pr: -, c. SOLUCIÓN Sustituedo se tiee: ) ( ) ( ) ( ) Clculr el vlor de, prtir de l forul: c ±, si, 8 c - SOLUCIÓN Sustituedo se tiee: () ) ()( 8 8 ± ± ± ± De dode:

12 TÉRMINOS SEMEJANTES Y SU REDUCCIÓN. Dos o ás térios so seejtes cudo tiee l is prte literl fectd, co los isos epoetes, si iportr el coeficiete: so térios seejtes: ) ; - 8; ) -,, 7 c c d) c c E cio:, o so térios seejtes puesto que, uque tiee l is prte literl o tiee los isos epoetes. Los térios seejtes puede reducirse etre si. Reducció de térios seejtes Es u operció que tiee por ojeto covertir e u sólo tério dos o ás térios seejtes. E l reducció de térios seejtes eiste los siguietes tres csos: Priero: Reducció de dos o ás térios seejtes del iso sigo. L su de dos o ás térios seejtes co sigos igules, es otro tério seejte cuo coeficiete es igul l su de sus coeficietes uéricos precedidos del sigo coú que tiee todos los térios, cotiució se escrie l prte literl. ) ) d) e) 7 f) 8 g) Segudo: Reducció de dos térios seejtes de diferete sigo. L su de dos térios seejtes co sigos diferetes es otro terio seejte, se rest los coeficietes, poiedo delte de est difereci el sigo del terio or cotiució se escrie l prte literl. -

13 ) - - ) d) - 8 e) 7 f) 8 g) Tercero: Reducció de ás de dos térios seejtes de diferete sigo. Se reduce uo sólo todos los térios co sigo positivo, tié se reduce uo sólo todos los térios co sigo egtivo, los dos térios oteidos se les plic, el eucido del cso terior. ) ) USO Y ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN Se us prétesis ( ), corchetes [ ] llves { }; pr grupr opercioes e idicr el orde preciso e el cul se dee efectur ésts. Ls ctiddes o úeros grupdos se dee cosiderr coo u todo. E, ( ); idic que l ultiplicció se efectú priero el producto se su co, ddo por resultdo, es decir que:. ( ) Por lo geerl se oite el sigo de ultiplicció próio u sigo de grupció. Ejeplo: E ( 8) ( 8) () Al relizr ls opercioes dode veces es ecesrio colocr o eliir prétesis o sigos de grupció, podeos plicr ls regls siguietes: Priero: Si eiste sigos de grupció coteidos detro de otro, eliir el ás iterior. -

14 Ejeplos ) [(7 ) (8 - )] - ( - ) ( ) (8 ) ) - { -[( )-( - 0)] - ( ) (- )( - )} [ ( )-() (- )()] ( - - ) (- ) Segudo: E u sucesió de sus, rests, ultipliccioes divisioes, efectur priero ls ultipliccioes divisioes, luego ls sus rests, todo de izquierd derech. Ejeplo: Coo lo uestr los ejeplos teriores, los sigos de grupció precedidos de u sigo ás (), puede colocrse o ser reovidos si cir los sigos de l epresió. Si lo que precede l sigo de grupció es u sigo (-), los sigos de todos los térios dee cirse l retirr el prétesis. Coveciolete, cudo u sigo de grupció o le tecede igú sigo, se etiede que éste es u sigo ás ().. EXPONENTES Y RADICALES. Potecis: L otció epoecil se us pr ultipliccioes repetids del iso úero. Por ejeplo:, se escrie, que se lee cudrd o l segud poteci. E geerl, si es u úero etero positivo, se tedrá:..., fctores. Se lee; l poteci o l eési poteci. A l letr se le ll se l letr el epoete de. Ejeplo: 9, e dode, es l se 9 el epoete. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.. Pr ultiplicr epoetes co l is se, se su sus epoetes... ( ) Pr elevr u poteci otr poteci, se ultiplic dichos epoetes. () Qued icluido e el cso.., ( 0) Qued icluido e cso -

15 -. Pr l divisió,, se tiee los siguietes csos: ) Si, >, teeos: ) Si, <, teeos: 0 pr Si,, se tiee: Deostrreos este últio cso: coo,, se tiee: 0. Iguldo resultdos, se tiee que: 0. Lo que sigific que tod epresió elevd cero poteci vle l uidd. Ejeplo: (8 c - ) 0 De l is for, e el ejeplo siguiete teeos: Iguldo resultdos podeos epresrlos coo:. Por lo que e for geerl será: Segú esto, tod epresió co epoete egtivo es igul u querdo que tiee coo uerdor l uidd coo deoidor l is epresió, pero co epoete de sigo cotrrio. ) ) 7) ( 7) ( OPERACIONES CON EXPONENTES. Aplicdo ls defiicioes propieddes correspodietes se d ls priciples opercioes. ) Multiplicció. 8 7

16 ) Divisió. ( ) 9 Poteci de u poteci. Siplificció de epoetes ( ) ( ) 0 ) ( )( ) 7 ) ( )( ) 9 ( ) ( ) 8 8 d) 8 Rdicció Rdicció es l operció ivers l potecició, es decir, l operció pr ecotrr l ríz de u úero. Si epresió terior, l síolo ; Podeos ecotrr el vlor de etredo ríz eési de. E l se le ll rdicl. A se le ll ídice de l ríz se le ll rdicdo o surdicl. Sí el ídice de l ríz o se idic, se sore etiede que es. Ejeplo: E el terio 7 : sigo (-), coeficiete 7; surdicl orde. Sí el ídice del rdicl es pr el surdicl es positivo el resultdo tedrá dos ríces, u positiv otr egtiv. Ejeplo: E ± ±, que: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Sí el ídice del rdicl es pr el surdicl es egtivo l ríz o es u úero rel, que o eiste úero positivo i egtivo que elevdo u poteci pr de u úero egtivo; por lo que se dice que es igirio por o teer ríz e los úeros reles. Ejeplo:, o tiee solució de úeros reles que, (-) (-) (-) Si el ídice de l ríz es ipr el surdicl es positivo o egtivo, se tedrá coo resultdo u sol ríz, fectd del iso sigo del surdicl. Ejeplo: 7 ; que (-) (-) (-) - 7 E geerl, pr etrer ríz eési de u tério, st etrer de dich ríz su coeficiete dividir etre el ídice del rdicl todos cd uo de los epoetes del surdicl. -

17 ) ) d) Segú lo terior, todo epoete frcciorio epres e su uerdor l elevció u poteci e su deoidor l etrcció de u ríz. ) ) PROPIEDADES DE LOS RADICALES ) ) ) () ) ). ) k.k k Opercioes co rdicles Ls opercioes que se puede efectur co rdicles plicdo ls propieddes correspodietes, so ls siguietes. ) Supresió de fctores del surdicl. ) 8 () 8 () 8 ) 7 () () -7

18 ) Itroducció de coeficietes detro del rdicl. ) () 8() 0 ) 7() ) Supriir los rdicles del deoidor de u frcció. Ejeplos ) o tié: ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) (7) 7 7 d) ( ) ( ) A este procediieto se le cooce coo rciolizció del deoidor. Rciolizr cosiste e quitr sigos de rdicl, se e el deoidor o uerdor, segú coveg. ) Siplificr o cir el orde de u rdicl. ) 8 (8) (9 ) ) ( ) ( ) ( ) 9 8 ( ) ( ) ( ) 9 ) Cir dos o ás rdicles l iso orde. -8

19 ) Cir ls epresioes siguietes rdicles del iso orde:,, 0. Procediieto: Lo priero que hceos es uscr el íio coú últiplo (.c..) de los ídices de los rdicles,. Es decir:.c.. (,, ) Segudo: dividios el.c.. etre el ídice de cd rdicl:, Tercero: ultiplicos tto el ídice del rdicl coo epoetes de cd surdicl por el cociete respectivo, coo se uestr e seguid., ) Cir ls epresioes siguietes rdicles del iso orde:. Priero:.c.. (, ) Segudo: Tercero: Cir ls epresioes siguietes rdicles del iso orde:. Priero:.c.. (, ) Segudo: Tercero: () () 7 ) Adició sustrcció de rdicles. Pr poder sur rdicles, es ecesrio que estos se seejtes, es decir, que teg los isos ídices surdicles, e cuo cso st sur lgericete sus coeficietes ultiplicr es su por el rdicl coú. Ejeplo: Se puede dr el cso, de teer que sur rdicles que preteete o se seejtes, e cuo cso se hce l reducció su ás siple epresió. -9

20 ) () () () 0 8 ) 8 ( 7) () ( ) ) Multiplicció de rdicles. Pr ultiplicr dos o ás rdicles, es ecesrio que estos se del iso ídice o del iso orde, pr lo cul st ultiplicr sus coeficietes ultiplicr los surdicles detro de u solo rdicl. Ejeplo: 7 () 7 Usos l propiedd: 8) Divisió de rdicles. Pr dividir dos rdicles, es ecesrio que teg igul orde, pr lo cul se divide sus coeficietes se idic l divisió de los surdicles jo u solo rdicl. Ejeplo: 8 8 Usos l propiedd: Pr ultiplicr o dividir dos rdicles de diferete orde, priero procedeos reducirlos l iso orde. ) ) () ( ) () ( ) () ( ) ( () )( ) ( ) 7-0

21 c ( ) ( ( ) ( ( ) ( c 8 c 8 ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) 9) Poteci de u rdicl. Pr elevr u rdicl ciert poteci, elévese el surdicl dich poteci féctese ést por el rdicl de ídice igul l del rdicl ddo. 0 9 Ejeplo: ( ) k E for geerl se tiee: ( ) k 0) Ríz de u rdicl. L ríz eési de u rdicl es otro rdicl cuo ídice es el producto del ídice del rdicl por, es decir: r r ) ) 8 -