Operaciones Fundamentales del Álgebra. Operaciones con Fracciones Algebraicas.. E xponentes y Radicales 99. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

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1 ÍNDICE COMPETENCIA Operaciones Fundamentales del Álgebra 5 COMPETENCIA Operaciones con Fracciones Algebraicas.. 7 COMPETENCIA E ponentes y Radicales 99 COMPETENCIA Ecuaciones Lineales o de Primer Grado COMPETENCIA 5 Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables. 88 COMPETENCIA 6 Ecuaciones Cuadráticas.. 0 ANEXO Aprendiendo a Despejar 7

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3 Competencia OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA Eplicar las Operaciones Fundamentales del Álgebra Desarrollo de Productos Notables Factorización de polinomios Saberes Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico Notación algebraica Valor numérico de una epresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios Leyes de los eponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo 5

4 5 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Por factor común Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación Ejercicios. A desarrollar suma de polinomios. A practicar la multiplicación de monomios y polinomios. A practicar la división entre monomios y polinomios. Todo mundo a desarrollar Productos Notables 5. Volviéndonos hábiles en la Factorización 6

5 Saberes Nombre Traducción del lenguaje común al lenguaje No. algebraico Notación algebraica Valor numérico de una epresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para encontrar el volor númerico de una epresión algebraica, además de desarrollar sumas y restas con epresiones algebraicas Manera didáctica de lograrlos Mediante eposición y tareas Definición de álgebra: Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética. La aritmética emplea números para su estudio, pero el álgebra emplea letras y números. NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en: LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales. INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas. 7

6 VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se epresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ". Todas las cantidades desconocidas se epresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w,, y, z...se denominan '"INCOGNITAS". De lo anterior hacemos la siguiente observación: VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO: Si tenemos la función y=, Y si Ie asignamos valores a "", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo: Sí = sí = sí = Y =() Y = () Y = () Y= y= y=6 CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π =.6 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro. Traducción de epresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico u viceversa. Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a epresiones algebraicas. Estas epresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta. Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te dará confianza para iniciar nuestro estudio algebraico. En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender. 8

7 EJEMPLOS: LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.- Tres objetos cualesquiera..y, z..- La semisuma de dos números a b.- La suma de dos veces un numero mas tres veces el mismo n + n = 5n número es igual a cinco veces dicho número..- El cubo de un numero menos el doble del mismo número w³ - w LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN: Suma de los cuadrados de dos números El doble producto de por el radio ( u v ) El doble de la diferencia de dos números El área de un rectángulo es igual al producto de su largo por su ancho Identificación de los elementos de una epresión algebraica. En la notación algebraica es el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo: EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números que conforman una o más operaciones algebraicas., 7 ; 5; ; ;. En las epresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos. 9

8 El término esta formado por coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores. Coeficiente Eponentes 7 Literales Nombre Definición Ejemplo Monomio (mono = uno) Epresión algebraica que consta de un solo término 5 ; ; Binomio (bi = dos) Trinomio ( tri = tres) Polinomio (poli = muchos, en este caso más de dos) Epresión algebraica que consta de dos términos Epresión algebraica que consta de tres términos Epresión algebraica que consta de dos o más términos. En este caso binomio y trinomio son polinomios 67 Clases de polinomios Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por ejemplo: ³ + 7 8, Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo: a c b d 7 0

9 Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo: ² + y + y² Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por Ejemplo: y 8 Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de eponente mayor a eponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último. Ordenar el siguiente polinomio: y 7 7 y 5y y 8 5y y 8 Grado de los polinomios E grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las variables. Ejemplo: Grado de un término en una sola variable: 6³ er grado. er grado. ³ er grado. - grado cero porque Grado de un término en varias variables: 7 ³ y³ 6to grado

10 ² y³ 5to grado er grado VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico. La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la epresión algebraica. Si es de primer grado sólo tiene una solución. Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple. Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente. Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores. Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una epresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico. Ejemplo : Cuánto vale la siguiente epresión? cuando y Solución: 80 Ejemplo : El valor numérico de, si,, Solución: 66 : Puede observarse el uso de corchetes para llevar un mejor orden en el cálculo.

11 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS: En la aritmética, los números positivos se suman, pero en el álgebra la adición puede realizarse entre números tanto positivos como negativos. La adición en este sistema más amplio de números es llamada a veces adición algebraica. Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes. Los que se parecen (términos semejantes) y Cada pareja de términos son semejantes ya que tanto las 8 letras como los eponentes son los mismos. 8 y 5 y y 5 y 5 Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque las letras son iguales, estas NO tienen el mismo eponente. y y Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque los eponentes son iguales, las letras NO son las mismas. Ejemplo : Combine los elementos semejantes SUMANDO < a 5a 7a = 5a SUMA

12 Ejemplo : Sumar la epresión: a 5b a ab b 7abb. Solución: Puede agrupar los términos semejantes de la epresión, si usted desea de la siguiente manera: Nota: También pude realizar la suma directamente, combinando elementos semejantes. Ejemplo 5: Restar 7 y z de 9y 5z. MINUENDO X 9Y 5Z SUSTRAENDO ( 7X Y Z) X Y 7Z RESULTADO Ejemplo 6: Suma y resta con Bolitas Polinomio Se representa con Círculos

13 Si queremos sumar los dos polinomios anteriores tenemos: Suma de polinomios Se representa con Círculos 5 5 Símbolos de agrupación de agrupación Los símbolos de agrupación los cuales son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y las llaves{ }, son usados para hacer que el significado de ciertas epresiones, sea claro y para indicar el orden en el que las operaciones son realizadas. Con frecuencia es conveniente quitar los símbolos de agrupación de una epresión, y para este propósito se usan los aiomas y propiedades del sistema de los números reales. Se eplica el procedimiento con un ejemplo. Ejemplo 6: Elimine los símbolos de agrupación y combine los términos semejantes { y [5( y) ( y )] y} y Se aplica primero el aioma distributivo a la epresión en los paréntesis para obtener { y [5 5y y ] y} y Combinando términos semejantes dentro de los corchetes { y [ 5y y ] y} y 5

14 Eliminando los corchetes { y 5y y y} y Combinando términos semejantes dentro de las llaves { 8y y } y Quitando las llaves 8y y y Combinando términos semejantes nos da el resultado final 8y 6

15 Ejercicios Nombre A desarrollar sumas de polinomios No. Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha, escribiendo en el paréntesis el número que corresponda. ( ). ( ). ( ). ( ) 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

16 II. Completa las siguientes operaciones. Utiliza los espacios disponibles: a) b) c) d) e) f) g) h) III. Escribe un polinomio que represente el perímetro de las siguientes figuras. Simplifica los polinomios reduciendo términos semejantes. a) b) 8

17 9 IV. Escribe un polinomio para cada arreglo de círculos, además encuentra la suma de polinomios. V. Encuentre la suma indicada en los problemas siguientes: a) ) ( ) ( ) ( d c b d c b d c b Resp: d c b 6 8 b) ) ( ) ( ) ( c) ) ( ) ( ) ( r q p r q p r q p Resp: r q p d) ) 6 ( ) ( ) ( y w y w y w a) y y b) y c)

18 VI. Sume las tres epresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego la tercera epresión de la suma de las dos primeras. a) 7ab c; a0b0 c;8a8b c Resp: a5b c; 5ab 8c b) y yz;y7 yz;yz 5y c) rrs7 s; sr5 rs;rss 8r Resp: 9rrs6 s;7r VII. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes a) ( y) ( ) Resp: y b) y ( y) ( y) c) y ( y) ( y) Resp: 5 y d) a b ( a b) (a 5b) e) ( y) ( y) ( y) Resp: y f) a b( a) Resp: g) ( ) ( ) h) y ( y) i) y 6 ( 5y) Resp: 8 9y j) a a ( 5a) k) y ( z y) z y Resp: 6 y z l) a b c b ( a c) b a a 5b 0

19 e) aabb a5ab6 b( ab) 5 Resp: a 7ab 6b 5 f) 0 y( ) ( y6) VIII. Evalúe las epresiones siguientes, dado que a, b, c y d a) ab c b) ab d c) 6a 5b d e) b( c d) f) c (a b) d) a b c d g) a d a d h) ab cd c i) b ad a Respuestas a algunos ejercicios: a) 9; c) 9; d) ; f) ; h) 0;

20 Saberes Nombre Leyes de los eponentes enteros positivos No. Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar multiplicaciones entre monomios y polinomios Manera didáctica de lograrlos Mediante eposición y tareas LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS Eponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si mismo; por ejemplo: a 5 = (a) (a) (a) (a) (a) La epresión a 5 se llama potencia y se lee a quinta. La representación general es: n- ésima potencia de a n Eponente (Entero positivo) a Base Leyes de los eponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los eponentes enteros y positivos, dichas leyes son: Ley I.- Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término de la misma base y con un eponente igual a la suma de los eponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:

21 Ley II.- Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de la misma base y con un eponente igual a su diferencia de los eponentes de las potencias divididas ; Es decir: a a m n m mn a (Si m > n) n n m a a a (Si n>m) a a m n m n a a 0 (Si m = n) Ley III.- Cuando una potencia base se eleva a un epo9nente, su resultado es un termino de la misma base y con una eponente al que se elevo la potencia ; Es decir: ( a m ) n a mn Ley IV.- cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un eponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al eponente de dicho producto ;Es decir: ( ab) m a m b m Ley V.- cuando un cociente se eleva aun eponente su resultado es la potencia del dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división ; Es decir: a b m a b m m

22 Ejemplo : a) 5 ( u )( u ) u u b) m m m m c) ()() 6 ( c ) c c a. a 8a d) ()() 6 b b b MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS Regla Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un eponente que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos. Ejemplos : a) Multiplicar a pora. 5 ( a )(a ) ()() a 6a b) Multiplicar a b( ab ) ()() a b a b c) Multiplicar y por 5m y 5 5 ( y )( 5m y ) 5m y 5m y d) Multiplicar m n ab pora b c m n m n m n ( ab )(a b c ) ( )() a b c a b c

23 e) Efectuar la siguiente multiplicación ( ab ) ( a b) ( bc ) 6 8 ( ab ) ( a b) ( bc ) ( ) a b ( ) a b ( ) b c ( ) ( ) ( ) ( a a 6 )( b 8 b b )( c ) 8 8 ( )( 7)( ) a b c a b c f) Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas ( ab) ( a b) ( a ) ( a b ) (ab) ( a b) ( a ) ( a b ) (6a b 6 )( a b ) ( 7a 6 )( a b 6 ) a b 7a b 0 6 a b Multiplicación de Polinomios por Monomios Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios signos. En otras palabras, se aplica la Ley Distributiva de la multiplicación. Ejemplo : Multiplicar 6 7 ( 6 7)(a ) (a ) 6(a ) 7(a ) a a 8a 5

24 a 6 7 La operación puede disponerse así a a 8a MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS Regla para Multiplicar dos Polinomios Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes. Ejemplo : Multiplicar Tendremos: o sea En el ejemplo siguiente se muestra otra forma de multiplicar. Ejemplo 5: Multiplicar

25 Ejemplo 6: El siguiente rectángulo está seccionado y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total del rectángulo Solución: Primeramente, tenemos que buscar el valor de los lados de cada rectángulo pequeño para que coincida con el área de cada rectángulo pequeño. Por lo tanto: Por lo tanto, los lados del rectángulo grande son 6 y 5 8 El área total será:

26 Ejercicios Nombre A practicar las multiplicación de monomios y polinomios No. Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: ) ( a b)( a ) ) ( ab )( a ) ) ( y)( y ) ) ( ab)( b ) 5) ( ab)( a ) 6) ( )( y ) 7) y( y) 8) ( y)( y ) 9) y( y)( ) 0) (7 y )(y)( y) ) z ( y z)( y) ) 6 y ( yz )( z ) ) ( )( y )( 5 y) ) a b(a )( 5b ) 5) y( y)(5 ) 6) ab( ab)( 9 ab) 7) abab ( ) 8) 6 ab( ab ) 9) ( ab) ( ab ) 0) ( ab) ( ab ) ) ( y) ( 8 y) ) ( y ) ( yz ) ( 5 z ) ) ( ab) (8 abc) ( bc) 5 8

27 ) ( c ab ) (a b )( a ) 5) ( ab ) ( 9a c) ( a bc ) 5 6) a ( b ) a ( b) 7) ( a) ( a) ( ) 8) a ( b ) ( a )( b) Respuesta para algunos de los ejercicios anteriores: ) ab ; 5) 5 ab ; 6) 6 y ; 7) 6 6 y ; 8) 7 y ; 9) 7 y ; 6) ab ; 7) 7 ab ; 8) 5 a b; 9) 7 8 8a b; ) 5 6 y ; ) 0 z y ) 8 58ab c ; 6) a b ab ; 7) 5a ; 8) a b II. Efectué la siguiente multiplicación entre un polinomio y un monomio. () por Resp: 6 () 8 y y por a () por Resp: 8 6 () a a 6a por ab III. Efectúe las multiplicaciones indicadas. Simplifique cuando sea necesario. ) 6( 7) ) 7( ) ) y ( ) ) 5 (y ) 5) ( y ) 6) ( ) 7) 6( ) 8) ( 5 ) 9) ( 5) 0) ab( a ab b ) ) aba ( 5ab b) ) 5 ab( ab b a) ) ab (a b ) ) (5 6) ( ) 5) ( ) ( ) 9

28 6) ( 6) ( 8) 7) ( ) ( ) Respuestas a los impares: ) 6 ; ) y ; 5) y ; 7) 6 ; 9) ; ) 5 5 ab0ab 6ab; ) 5 ab 6ab ab ; 5) 0 ; 7) IV. Efectué la siguiente multiplicación entre polinomios.. a. por. a Resp:. 8 y. por. y. y 5. por. y Resp:. a b. por. b 8a a a 5 y 8y V. Efectué las operaciones con polinomios y simplifique: ) ( 7)( ) 9) ( )(( ) ) ( 6)( 6) 0) ) ( )( 6) ) ) ()( ) ) ( )( ) ()( ) ( y)( y y ) 5) ( )( ) ) ( )( ) 6) (7 )(8 5 ) ) ( )( ) ( ) 7) ( y)( y) 5) (+)(-)+ (+) 8) ( y )( y ) 6) ( )( ) ( ) Respuestas a los impares: ) 7) 6y 6y ; 9) 8; ) ; ) 8 ; ) 7 6; 5) 96 8 ; ; 5) 0

29 VI. Los siguientes rectángulos están seccionados y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total de cada rectángulo. (Ver ejemplo 6 resuelto de esta sección)

30 Saberes Nombre División entre monomios No. División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar divisiones entre monomios y polinomios Manera didáctica de lograrlos Mediante eposición y tareas DIVISIÓN DE MONOMIOS Ejemplos: () Dividir a b entre ab () Dividir 5 a b c. entre. a b 5a b c 5a b c / a b a b 5a b c () Dividir 0m y / y 0m y 0m y / y 5m y

31 Ejemplo () Al aplicar las leyes de los eponentes, simplificar la epresión: 6y yz Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el eponente eterior. 9 9 yz z z z 6y y y 7y DIVISIÓN DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS. Regla para dividir un polinomio por un monomio. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Ejemplo ) Dividir a 6a b 9ab entre a. a 6a b9ab a 6a b 9ab (a 6a b9 ab ) a a a a a Resultado: a ab b Ejemplo ) Dividir a a bab ab Solución: a a bab a ab ab a ab ab ab ab ab b Ejemplo ) Dividir ( a) a( a) ( a) y simplificar ( a) a( a) ( a) = ( ) ( ) a a a ( a) aaa ( a) ( a)

32 DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios respeta la siguiente serie de pasos:. Ordenamos los términos de ambos polinomios según las potencias de mayor a menor, o viceversa, de una de las letras comunes a los dos polinomios.. Dividimos el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con esto obtenemos el primer término del cociente.. Multiplicamos el término del cociente del paso anterior por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.. Con lo obtenido en el paso anterior se repiten las operaciones de los pasos y hasta que obtenemos un residuo igual a cero o una epresión algebraica de grado menor que el del dividendo. 5. El resultado se epresa de la siguiente manera: Ejemplo : Dividir 5 entre 7 5 cociente Divisor 7 5 Dividendo Residuo El resultado es: 5

33 Ejemplo : Dividir entre El resultado lo epresamos de la siguiente manera: 6 5

34 Ejercicios Nombre A practicar las división entre monomios y polinomios No. Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Ejercicios: Efectuar la siguiente división entre monomios () a b entre ab Resp: () a b c entrea b 7a b () 5m n entrem n Resp: 5 () 8a entre 8a II. Simplifique aplicando las leyes de los eponentes. ) a a 5 ) ) a a 6 ) 8 5) 0 0 6) 0 b b 6 7) ( a) 0 a 8 8) 7 ( a ) a 7 9) ( ) ( ) 8 0) ( y) ( y) 6 9 ) b b ) y y 6 ) 9ab 6ab ) 6ab 8ab a 5) ( a) ( y) 6) 6 ( y) 7) y 8) y y y 6 a b 9) 8 a b 0) 5 a b 9 70a c 6

35 a b ) a b 5 a b ) 6 8a b 6 9 5a b ) 5a b ) a 6 a 5) a b ab 6) a 5 a 6 7) 5 y 6 y 8) 7 yz 7 yz 9) yz 8y z Respuestas para algunos ejercicios: ) a ; ) ; ) 6 a ; ) ; 5) ; 6) 6 b ; 7) ; 8) ; 9) a ( ) ; 0) ( y) ; ) ; ) y ; ) 5 a b ; ) a b ; 6) 6 a 8 7) 8 8 y ; 8) 6 y ; 9) 6 z 8 8 III. Efectué las operaciones entre un polinomio y un monomio y simplifique. ) ) ) 6 ) 5) 6 a a a 6) 7 7 7) 0 y5 5 8) ) 6 y y y 0) 6 8 ) y y y 6 ) 6( a) ( a) ( a) ) ( a) ( a) ( a) ) ( a) ( a) ( a) 7

36 Respuestas a los impares: ) ; ) ; 5) ) IV. y ; ) a y y ; 7) y ; 9) y ; Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes: ) ) 6 ) 8 8 ) ) 9 6 6) 5 7) 6 8 8) 8 9) 8 0) 6 ) 6 ) 7 9 ) 6 5 ) ) yy 5y y yy 6) 9 7) ) ) 6 8 0) ) ( y 5 y y 7y ) ( y y ) Respuestas para algunos ejercicios: ) ; ) ; ) 6 ; ) 6; 5) ; 6) ; 7) 8) 7; 9) ; 0) ) 5 ; ) 6 ; 5) ; ) ; ) 9 6 y y 8

37 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir PRODUCTOS NOTABLES No. Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Manera didáctica Mediante habilidad para de lograrlos eposición y desarrollar tareas productos notables por inspección BINOMIOS CONJUGADOS Si tenemos la multiplicación cómo la resolverías? Una forma de hacerlo es multiplicando Todos vs. Todos: Aunque este método nos gusta mucho no es el más rápido, para esto estamos aprendiendo la multiplicación de binomios conjugados. El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados. ab ab a b 9

38 Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados Los binomios conjugados son iguales a: El cuadrado del primer término del binomio Menos El cuadrado del segundo término del binomio. a bab a b Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados: m n m n m n m n Producto de trinomios que se pueden resolver como un binomio conjugado PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CUALESQUIERA Los términos correspondientes de los binomios a by y c dy son semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aquí en donde se aplica la propiedad distributiva. ( a by)( c dy) a( c dy) by( c dy) Por tanto, se tiene Producto de dos binomios ac ady bcy bdy por distributividad y conmutividad ac ( ad bc) y bdy ya que ady+bcay = (ad+bc)y ( a by)( c dy) ac ( ad bc) y bdy Al observar el producto de la derecha, se ve que se tiene el producto de dos binomios con términos semejantes correspondientes al ejecutar los pasos siguientes: 50

39 ) Multiplíquense los primeros términos de los binomios para obtener el primer término del producto. ) Súmense los productos obtenidos al multiplicar el primer término en cada binomio por el segundo en el otro. Esto da el segundo término en el producto. ) Multiplíquense los segundos términos en los binomios para obtener el tercer término del producto. Por lo general, el procedimiento requerido para efectuar esos tres pasos es mental, y el resultado puede escribirse sin necesidad de indicar los pasos intermedios. Esto se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo Obtenga el producto de 5y y y ( 5y)( y) 8 y 5y Obténgase los productos mentalmente.. ( y) ( 5 ) 6y0y. 5 y y El ejemplo anterior está dada en dos variables, pero se aplica también si se considera que y. De hecho, viene siendo ( a b)( c d) ac ( ad bc) bd Ejemplo Encuentre ( )( 5). ( )( 5) ()()( ) [()( 5) ()()] ()( 5) 0 5

40 BINOMIO AL CUADRADO Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso para obtener su resultado. El cuadrado de la suma de dos términos es igual: ( a b) a ab b Cuadrado del primer término más Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término. La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo término del trinomio. El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: ( ab) a ab b Cuadrado del primer término, menos Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término. Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado

41 BINOMIO AL CUBO Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces: ab ababa b Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación debemos realizarla por partes: a b a b a b a ab b. Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio: a abb ab a a bab b Binomio al cubo = Cubo perfecto a b = a a bab b El cubo de un binomio es igual a: Cubo del primer termino más El triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo mas El triple producto del Primer termino por el cuadrado del segundo mas Cubo del segundo termino. 5

42 Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría: a b = a a bab b Ejemplos:

43 Ejercicios Nombre Todo mundo a desarrollar Productos Notables No. Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Realice los siguientes binomios conjugados:. ( )( ). ( 7)( 7). ( y)( y). ( 6a 8b)(6a 8b) 5. ( y )( y ) 6. ( a )( a ) 7. (6a b )(6a b ) 8. ( c 7d)(c 7d) 9. y y a b a b

44 II. Completa la siguiente tabla: Binomios conjugados a) Diferencia de cuadrados b) 9 5 c) d) 0 0 e) 5 f) g) h) i) j) k) III. Realice los siguientes ejercicios usando el modelo para el producto de dos binomios cualesquiera.. ( )( ). ( )( ). ( )( ). ( )( ) 5. ( )( 5) 6. ( )( ) 7. ( y)( y) 8. ( 5y)( y) 9. ( 6c d )(c 5d) 0. ( 8k m)(9k 5m). ( a 0b)(a 7b) IV. Completa la siguiente tabla: Multiplicación de dos binomios cualesquiera con un termino común Resultados a) 5 b) c) 5 d) e) 56

45 V. Obtenga el binomio al cuadrado de las siguientes epresiones:. ( ). ( ). ( 9). ( y) 5. ( 8y) 6. ( b a ) 7. ( ) 8. ( 5) 9. ( 0 5) 0. ( 5m n). ( m ). ( y ). ( 6 b a 7 ). ( b a ) 5. ( y y ) 6. ( ab a b 5 ) 7. ( z y ) 8. ( a c b ) ( y ) VI. Completa la siguiente tabla: Binomio elevado al cuadrado a) b) Polinomio c) 7 6 d) VII. Desarrollo los siguientes binomios al cubo:. ( b a ). ( ). ( 5 ). ( y 7 ) 5. ( a 6b) 6. ( y ) 7. VIII. ( y ) 8. ( q p ) 9. ( 5 n m ) 0. Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo a b a) 5 b) c) 57

46 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir FACTORIZACIÓN DE No. 5 POLINOMIOS Por factor común Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno conocerá los Manera didáctica Mediante distintos tipos de de lograrlos eposición y factorización de tareas polinomios. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorización. En particular, nos ocuparemos de factorizar polinomios con coeficientes enteros. Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se epresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la epresión se puede ya escribir como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. A continuación, consideramos la factorización de algunos polinomios especiales. I. Factor común. En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio. 58

47 Ejemplos: ) 5 5y5( y) El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y los factores son 5 y ( + y). ) a b c ( a b c) Pude ver que la es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor común, y los factores son y (a b + c). ) 8 y y y= y( ) El numero y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tanto, son comunes, es decir, y. Para encontrar el otro factor dividimos el termino común y la epresión original 8 y y y entre y, dando como resultado, que representa al segundo factor. ) Factorizar el polinomio 6 y y y Solución: El máimo factor común es 6y. 6 y y y 6y y y 6y 6y 6y 6y = 6 y ( ) II. Diferencia de cuadrados El producto de los factores ( a b) y ( a b) es a b, es decir, la diferencia de dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados. Ejemplo ) Factorizar 9a. Solución: La raíz cuadrada de 9a es a y la de es. 59

48 Por consiguiente, 9a (a)(a ) Ejemplo ) Factorizar completamente 8y. Solución: 8 y ( 9 y )( 9 y ) ( 9 y )( y)( y) Ejemplo ) Factorizar completamente Solución: 6 66( ) ( )( ) 6( )( )( ) Ejemplo ) Factorizar completamente ( y ) Solución: y y y ( ) [ ( )][ ( )] ( y6)( y 6) III. Factorización de un trinomio de la forma + b + c. Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos como resultado un trinomio de la forma + b + c. Para factorizar el trinomio, tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento:. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término.. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones: Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del trinomio (c). Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b). 60

49 Ejemplo: Dos números que multiplicados nos den, es decir, ;. ( ) ( ). Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (5). ( + ) ( + ). Entonces la factorización del trinomio = ( + ) ( + ). Ejemplo: a + 9a + 0. Dos números que multiplicados nos den a, es decir, a ;. (a ) (a ). Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (0) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + ). Entonces la factorización del trinomio a + 9a + 0 = (a + 5) (a + ). IV. Factorización de un trinomio de la forma a + b + c. Para factorizar trinomios de la forma a + b + c, aplicamos la siguiente regla: El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos etremos e interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio. Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma a + b + c. a) = Se determinan los primeros términos de los factores binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte ( ) el primer termino del trinomio, dichos términos son ()(); los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den (8) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser ()(8) y ()(), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los términos etremos e interiores de los binomios factores resulte () el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es: = ( + ) ( + ) 6

50 b) = Se determinan los primeros términos de los factores binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (5 ) el primer termino del trinomio, dichos términos son (5)(); los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den (-6) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser (-6)(), (-8)(), (-)(), (-9)(), (- 6,6), (6)(-), (8)(-), ()(-), (6)(-6) y (9)(-), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los términos etremos e interiores de los binomios factores resulte (-) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es: = (5 + 9) ( - ) V. El Tri perfecto (trinomio cuadrado perfecto) Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres condiciones:. Debe tener tres términos.. Debe tener raíz cuadrada eacta el primer y tercer término.. La doble multiplicación de la raíz del primer por el tercer término es el segundo término del trinomio original. Ejemplo: Factoriza: Primer paso: Verifica que éste sea un trinomio cuadrado perfecto (checando las condiciones). Sí es un trinomio: Sí tienen raíz cuadrada eacta el primer y el tercer términos: 5 7 Sí es el mismo resultado del segundo término del trinomio original 70 y la doble multiplicación de la primera raíz y la tercera raíz (5)(7) = 70 Segundo paso: Coloca el resultado Se toma el signo que contiene el segundo término del trinomio original. 6

51 VI. Suma y diferencia de cubos La suma o diferencia de cubos es el resultado de la multiplicación de un binomio por un trinomio. Suma y diferencia de cubos factores Identificamos como suma de cubos a un binomio cuyos términos son cubos perfectos y tienen signos positivos; cuando poseen signos diferentes se trata de una diferencia de cubos. Los binomios y son suma y diferencia de cubos, respectivamente, debido a que ambos términos son cubos perfectos por tener raíz cúbica: y Ejemplo Factorizar Solución: El binomio es una suma de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signo positivo. Las raíces son: 8 y 7 Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el modelo escrito arriba, el binomio es:. El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio y El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga Con signo contrario resulta El trinomio factor es: Finalmente, la factorización es: 6

52 Ejemplo Factorizar Solución: El binomio es una diferencia de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signos diferentes. Las raíces son: 7 y Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el modelo escrito arriba, el binomio es:. El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio y El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga Con signo contrario resulta El trinomio factor es: Finalmente, la factorización es: VII. Factorización por agrupación. Con frecuencia, es posible agrupar los términos de un polinomio de tal manera que cada grupo tenga un factor común, entonces el método de factores comunes es aplicable. Se utiliza este método en los ejemplos siguientes. Ejemplo Factorice a b ay by Solución: Obsérvese que los dos primeros términos tienen el factor común, y el tercero y el cuarto tienen el factor común y. Por tanto, los términos se agrupan como a continuación se indica ( a b) ( ayby) y se procede como sigue: a b ayby ( ab) ( ayby) con como factor común del primer ( a b) y( a b) grupo con y como factor común del ( a b)( y) segundo grupo y con a b como factor Común de ( a b) y y( a b). 6

53 Ejemplo Factorice 0 y 5y Solución: 0 ( 5) y y 5y y( 5) así que 0 y 5y ( 5) y( 5) ( 5)( y) Ejemplo Factorice a ab b a b Solución: Ya que a ab b ( a b) a b ) y a b ( a b) Se procede como está indicado a continuación: Ejemplo Factorice a ab b a b ( a c a abb ab b Solución: c a ab b c ( a ab b ) ( c) ( a b) ) (a b) ( a b)( a b) ( a b) ( a b)( a b ) [ c ( a b)][c ( a b)] ( c a b)(c a b) Ejemplo 5 Factoriza 5a a0a 6. Asociando 5a a 0a 6 5a 0a a 6. Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces aplicamos la propiedad conmutativa. 5a 0a a 6 a 6 5a 0a Factorizando: a 5aa Y de nuevo factorizando: a5a 65

54 Ejemplo 6 Factorizar a 0b 9ay 5by a 0b 9ay 5 by (a 0 b) (9ay 5 by) a 0b 9ay 5by (a 5 b) y(a 5 b) (a5 b)( y) Ejercicios Nombre Volviéndonos hábiles en la Factorización No. 5 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Factorizar por factor común ) ) 6 ) 8 7 ) 9 6 5) b b 6) 6y z 8yz 7) 5 5y 5y 8) a a 9) a b ab 9 ab 0) y y ) y 8 y ) y y ) 6 0 y y y ) y y 5) y y 6y 6) a ( b) ya ( b) 7) ( a) ( a ) 8) ( ) ( ) 9) ( a b) ( a b) 66

55 II. Factorice completamente por diferencia de cuadrados: ) 6 ) 6 ) 9 5 ) 8 5) 6 6) 8 7) 9 y 6 8) 9 y 9) a 9b c 0) a b 6 ) 9 y 6 ) 8 d 6 c 9 ) t 6 h ) y 5) 9 y y 6) 8 0 6ab 9c 7) 6 8y 8) ( ) y 9) ( a b) 0) ( y z) III. Completa la siguiente tabla: Diferencia de cuadrados Binomios conjugados ) IV. Factorizar los trinomios de la forma siguientes: ) 7 ) 8 5 ) 9 0 5) 9 8 6) 7 0 7) 8) 0 9) 0) 5 ) 8 ) 8 ) y y ) 6y 9y 5) y 7y 6) 9y y 7) y 8y 8) 0 9) 7 8 0) 8 8 ) ( y) ( y) ) ( y) 9( y) 8 67

56 V. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Encuentra también el perímetro de cada rectángulo:.. 70 VI. Factorizar los trinomios de la forma siguientes a) b) 7 c) 7 6 d) 5 e) f) 9 g) 5 h) 6 i) 8 6 j) 5 8 k) 7 6 l) 5 6 m) 7 n) 5 ñ) 9 o) 6 5 p) 6 8 q) 6 7 r) 6 s) 6 8 t) 6y y u) 7y 6y v) 8y 5y w) 6 5y 6y ) 5 8 y) 5 z) 8 9 VII. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Halla también el perímetro de cada rectángulo:

57 VIII. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos: (primero factorice por factor común) IX. Si el área de cada cuadrado está representada por el trinomio cuadrado perfecto correspondiente, determina el lado y el perímetro de los cuadrados siguientes X. Completa los espacios en blanco que llevan a la factorización de las epresiones indicadas:. 6 Ya que y 6 La epresión es una ya que se factoriza como: 6 ( ) ( ). 8 6 Ya que 8 y 6 La epresión es una ya que se factoriza como: 69

58 8 6 ( ) ( ). 7 5 Ya que 7 y 5 La epresión es una ya que se factoriza como: 7 5 ( ) ( ). 8 Ya que y 8 La epresión es una ya que se factoriza como: 8 ( ) ( ) 5. 7 Ya que y 7 La epresión es una ya que se factoriza como: 7 ( ) ( ) XI. Factorizar por agrupación los siguientes polinomios: ) y a ay ) a ay c cy ) a ay bby ) y y 5) a b ay by 6) a ay bby 7) a ay6bby 8) a ay az y z 9) a ay a 6b6by 6b 0) a ay y z 6az ) 5 y 5y ) y y ) a a b ab ) 5) 6) 7) 6 8) 70

59 Competencia OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificación de fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Multiplicación y división de fracciones algebraicas Fracciones complejas algebraicas Saberes. Simplificación de fracciones algebraicas. Suma y resta de fracciones algebraicas. Multiplicación y división de fracciones algebraicas Ejercicios. A simplificar fracciones algebraicas. A sumar y restar fracciones algebraicas. Operaciones con multiplicación y división de fracciones. 7

60 Saberes Nombre Simplificación de fracciones algebraicas No. Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una fracción algebraica Manera didáctica de lograrlos Mediante eposición y tareas SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Se dice que una fracción está en términos mínimos o en su forma más simple si el numerador y el denominador no tienen factor común. Así podemos determinar si una fracción está en sus términos mínimos epresando el numerador y el denominador como productos de sus factores primos. Cualquier factor que aparezca tanto en el numerador como en el denominador, puede entonces ser removido por división. Esto es, ac Nota: Los números a y c en la epresión bc son factores del numerador, no términos como en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos. La fracción a b a a igual a ni a. Análogamente, b b c c no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es 5a b 5 b 6a 6 Pero 5a b 6a 5a 6a b 6a 5 6 b 6a 7

61 Para encontrar el máimo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno con el mínimo eponente con que aparece en los polinomios dados. Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son monomios, se dividen tanto el denominador entre su máimo factor común. Ejemplo : 6a b c Reducir 5abc a sus términos mínimos. Solución. El máimo factor común de los monomios a b c 6 y 6a b c Dividiendo numerador y denominador entre 8abc, se obtiene. 5abc 5abc es a b. c 8 abc. Ejemplo : Reducir a su mínima epresión. 6 0y 6 y. Solución. El máimo factor común es y. Al dividir el numerador y denominador entre y 6 y 0y 6 9 y 5, obtenemos Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máimo factor común y luego se dividen por este. 0 y 8y Ejemplo : Reducir y a sus términos mínimos. 7

62 0 y 8y Solución. y 6y 5y y Dividiendo el numerador y denominador por 6y, se obtiene 0 y 8y 6y 5y y y 5y. Ejemplo : Reducir y 6 y 8 y a su mínima epresión. Solución. y y 6 y 8 y yy Se dividen numerador y denominador entre y para obtener y y 6 y 8 y yy. y Ejemplo 5: Reducir a su mínima epresión. Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máimo factor común,, resulta 7

63 75 Nota La fracción esta reducida; el numerador y el denominador no poseen ningún factor común. Notas:. a b a b b a. a b a b b a. a b a b b a Ejemplo 6: a b a b a b b a Hay que observar también que b a b a b a. Ejemplo 8: Reducir 7 8. Solución. 7 8

64 Ejercicios Nombre A simplificar fracciones algebraicas No. Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contetos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos: a b c 5 6a b c y z y z 7. 0abc 5a b 8. 5 ab 7 ab a b 9. 6a b a b 0. 6ab. a b a b y y y y a b ab a a b a 9b 6. ( a b)

65 Respuestas a los ejercicios anteriores. ;. 6a ; 5. ; 7. 7b c c ; 9. a a 5. 9b ( a b) ;. ( y) ; 5. b a ; 7. ; 9. 6 ;. II. Señalar la respuesta correcta de las siguientes preguntas:. Al simplificar la fracción la respuesta correcta es: a) b) c) d). Al simplificar la fracción el resultado es: a) b) c) d). La simplificación de la fracción algebraica es: a) b) c) d) 77

66 Saberes Nombre Suma y resta de fracciones algebraicas No. Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar una suma y resta de fracciones algebraicas y simplificarlas Manera didáctica de lograrlos Mediante eposición y tareas ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y luego, etenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos. FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES. Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la relación. a c b c a b c Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el denominador común. Ejemplo : Efectuar 78

67 79 Solución. 5 Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones. Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y la nueva fracción a su mínima epresión. Ejemplo : Efectuar Solución. Ejemplo Efectuar Solución.. Ejemplo : Efectuar Solución.. Ejemplo : Efectuar 5 9

68 80 Solución Observación. La regla para sumar fracciones se puede etender a cualquier número de ellas. c a c a c a c a c a c a a c a n c a a a a n MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS. Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus eponentes respectivos. Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor. Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de polinomios, si:. Cada polinomio del conjunto divide a p y. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también divisible por p. Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máima potencia que aparezca en los polinomios dados. Ejemplo Determinar el m.c.m. de y, y y y z. Solución. Los factores literales son, y y z. La potencia máima de es, la de y es, y la de z es. Por consiguiente, m.c.m. = y z. Ejemplo Hallar el m.c.m. de 60, 7y y 80y. Solución. 5 60

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