PROBLEMAS RESUELTOS. CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Algebra Baldor

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1 PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto CASO IV Diferencia de cuadrados perfectos CASO V Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion CASO VI Trinomio de la forma x 2 + bx + c Algebra Baldor Para cualquier inquietud o consulta escribir a: Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga Colombia

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3 FACTORIZACION CASO 1 (Pág. 144 Baldor). CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN a) Factor común monomio Problema 1. Descomponer en factores a 2 + 2a a 2 y 2a contienen el factor común que es a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; a 2 a = a y 2a a = 2 y tendremos: a 2 + 2ª = a (a + 2) Problema 2. Descomponer 10b 30 ab 2 Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 por que siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b por que esta en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b. El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b 10b = 1 y -30ab 2 10b = - 3ab y tendremos: 10b 30 ab 2 = 10 (1-3ab) Problema 3. Descomponer m (x + 2) + x + 2 Esta expresión podemos escribirla; m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1 (x + 2) Factor común (x + 2). Tendremos; m (x + 2) + 1 (x + 2) = (x + 2) (m+1) Problema 4. Descomponer a (x + 1) x 1 Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: a (x + 1) x 1 = a (x + 1) (x + 1) a (x + 1) x 1 = a (x + 1) 1(x + 1) Factor común (x + 1). Tendremos; a (x + 1) x 1 = (x + 1) (a - 1) Problema 5. Factorar 2x (x + y + z) x y z Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: 2x (x + y + z) x y z = 2x (x + y + z) (x + y + z) 2x (x + y + z) x y z = 2x (x + y + z) 1(x + y + z) Factor común (x + y + z). Tendremos; 3

4 2x (x + y + z) x y z = (x + y + z) (2x - 1) Problema 6. Factorar (x - a) (y + 2) + b(y + 2) Factor común (y + 2). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (y + 2) tenemos: ( x - a)( y + 2) b ( y + 2) = (x - a) y = b y + 2 y + 2 ( ) ( ) Luego: (x - a) (y + 2) + b(y + 2) = (y + 2) (x a + b) Problema 7. Descomponer (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) Factor común (x - 1). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (x - 1) tenemos: ( x + 2)( x -1) ( x -1) Luego: = (x + 2) y - ( x -1)( x - 3) ( x -1) = - ( x - 3) (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ (x + 2) (x 3)] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ x + 2 x + 3] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ 2 + 3] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ 5] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = 5 (x 1) Problema 8. Factorar x (a 1) + y (a 1) a + 1 Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: x (a 1) + y (a 1) a + 1 = x (a 1) + y (a 1) (a 1) x (a 1) + y (a 1) a + 1 = x (a 1) + y (a 1) 1(a 1) Factor común (a - 1). Tendremos; x (a 1) + y (a 1) a + 1 = (a 1) (x + y - 1) CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN Problema 89.1 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a 2 + ab a 2 y ab contienen el factor común que es a. EJERCICIO # 89 Pagina 145 Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; a 2 a = a y ab a = b y tendremos: a 2 + ab = a (a + b) Problema 89.3 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x 2 + x x 2 y x contienen el factor común que es x. 4

5 Escribimos el factor común x como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; x 2 x = x y x x = 1 y tendremos: x 2 + x = x (x + 1) Problema 89.5 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x 3 + 4x 4 x 3 y 4x 4 contienen el factor común que es x 3. Escribimos el factor común x 3 como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; x 3 x 3 = 1 y 4x 4 x 3 = 4x y tendremos: x 3 + 4x 4 = x 3 (1 + 4x) Problema 89.7 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer ab - bc ab y bc contienen el factor común que es b. Escribimos el factor común b como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; ab b = a y -bc b = - c y tendremos: ab - bc = b (a c) Problema 89.9 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 2a 2 x + 6ax 2 Los coeficientes 2 y 6 tienen como factor comun 2. De las letras, el único factor común es ax por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es 2ax. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 2a 2 x 2ax = a y + 6ax 2 2ax = 3x y tendremos: 2a 2 x + 6ax 2 = 2ax (a + 3x) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 9a 3 x 2-18ax 3 Los coeficientes 9 y 18 tienen como factor común 9. De las letras, el único factor común es ax 2 por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es 9ax 2. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 9a 3 x 2 9ax 2 = a 2 y - 18ax 3 9ax 2 = - 2x y tendremos: 9a 3 x 2-18ax 3 = 9ax 2 (a 2 2x) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 35m 2 n 3-70m 3 Los coeficientes 35 y 70 tienen como factor común 35. De las letras, el único factor común es m 2 por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es 35m 2. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 5

6 35m 2 n 3 35m 2 = n 3 y - 70m 3 35m 2 = - 2m y tendremos: 35m 2 n 3-70m 3 = 35m 2 (n 3 2m) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 24a 2 xy 2-36x 2 y 4 Los coeficientes 24 y 36 tienen como factor común 12. De las letras, el único factor común es xy 2 por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es 12xy 2. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 24a 2 xy 2 12xy 2 = 2a 2 y - 36x 2 y 4 12xy 2 = - 3xy 2 y tendremos: 24a 2 xy 2-36x 2 y 4 = 12xy 2 (2a 2-3xy 2 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 4x 2-8x + 2 Los coeficientes 4, 8 y 2 tienen como factor común 2. Las letras NO TIENEN factor común. El factor común es 2. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 4x 2 2 = 2x 2-8x 2 = - 4x y 2 2 = 1 y tendremos: 4x 2-8x + 2 = 2 (2x ) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a 3 - a 2 x + ax 2 a 3, a 2 x y ax 2 contienen el factor común que es a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; a 3 a = a 2 - a 2 x a = - ax y ax 2 a = x 2 y tendremos: a 3 - a 2 x + ax 2 = a (a 2 ax + x 2 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x 3 + x 5 - x 7 x 3, x 5 y x 7 contienen el factor común que es x 3. Escribimos el factor común x 3 como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; x 3 x 3 = 1 x 5 x 3 = x 2 y - x 7 x 3 = - x 4 y tendremos: x 3 + x 5 - x 7 = x 3 (1 + x 2 x 4 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 34ax a 2 y - 68ay 2 Los coeficientes 34, 51 y 68 tienen como factor común 17. De las letras, el único factor común es a por que esta en los tres términos de la expresión dada. 6

7 El factor común es 17a. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 34ax 2 17a = 2x 2 51a 2 y 17a = 3ay y - 68ay 2 17a = - 4y 2 y tendremos: 34ax a 2 y - 68ay 2 = 17a (2x 2 + 3ay - 4y 2 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) a 2 b 2 c 2 - a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 = a 2 c 2 (b 2 - x 2 + y 2 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 145) 93a 3 x 2 y - 62a 2 x 3 y 2-124a 2 x = 31a 2 x (3axy - 2x 2 y 2-4) 29) a 6-3a 4 + 8a 3-4a 2 = a 2 (a 4-3a 2 + 8a - 4) 31) x 15 - x x 9-3x 6 = x 6 (x 9 - x 6 + 2x 3-3) 33) 16x 3 y 2-8x 2 y - 24x 4 y 2-40x 2 y 3 = 8x 2 y (2xy - 1-3x 2 y - 5y 2 ) 35) 100a 2 b 3 c - 150ab 2 c ab 3 c 3-200abc 2 = 50abc (2ab 2-3bc + b 2 c 2-4c) 37) a 2-2a 3 + 3a 4-4a 5 + 6a 6 = a 2 (1-2a + 3a 2-4a 3 + 6a 4 ) 39) a 20 - a 16 + a 12 - a 8 + a 4 - a 2 = a 2 (a 18 - a 14 + a 10 - a 6 + a 2-1) Ejercicio # 90.2 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores x (a + 1) - 3 (a + 1) = (a + 1) (x 3) Ejercicio # 90.4 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores m (a - b) + (a b) n = (a b) (m + n) Ejercicio # 90.6 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores a (n + 2) + n + 2 = (n + 2) (a +1) 8) a b (a 2 + 1) = 1 (a 2 + 1) - b (a 2 + 1) (a 2 + 1) (1 b) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 1 x + 2a (1 x) = 1(1 x) + 2a (1 x) (1 x) (1 + 2a) Ejercicio # 90 pag

8 12) - m n + x (m + n) = -1 (m + n) + x (m + n) (m + n) (-1 + x) = (m + n) (x - 1) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 4m ( a 2 + x 1) + 3n ( x 1 + a 2 ) = 4m ( a 2 + x 1) + 3n (a 2 + x 1) = (a 2 + x 1) (4m + 3m) 16) (x + y) (n + 1) - 3 (n + 1) = (n + 1) (x + y 3) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + 3)(a + 1) - 4(a + 1) = (a + 1) (a + 3 4) = (a + 1) (a 1) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores a (x 1) (a +2)(x 1) = (x 1) (a a 2) = (x 1) (-2) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + b) (a b) - (a b) (a b) = (a b) (a + b a + b) (a b) (2b) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (x + m) (x + 1) - (x + 1) (x n) = (x + 1) (x + m x + n) (x + 1) (m + n) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + b 1) (a 2 + 1) - a 2 1 = (a + b 1) (a 2 + 1) - 1(a 2 + 1) (a 2 + 1) (a + b 1) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 3x ( x 1) - 2y (x 1) + z (x 1) = (x 1) (3x 2y + z) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores x (a +2) a (a + 2) = 8

9 x (a +2) - 1(a + 2) + 3 (a + 2) = (a +2) ( x ) = (a +2) (x + 2) Ejercicio # pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (3x + 2) (x + y z) - (3x + 2) - (x + y 1) (3x + 2) = (3x + 2) (x + y z) - 1 (3x + 2) - (x + y 1) (3x + 2) = (3x + 2) (x + y z 1 x y + 1) = (3x + 2) (- z) EJERCICIO # 91 pagina 148 Problema 91.1 Algebra Baldor a 2 + ab + ax + bx = a (a + b) + x (a + b) = (a + b) (a + x) a 2 + ab + ax + bx = (a + b) (a + x) Problema 91.3 Algebra Baldor ax 2bx 2ay + 4by = x (a 2b) 2y (a 2b) = (a 2b) (x 2y) ax 2bx 2ay + 4by = (a 2b) (x 2y) Problema 91.5 Algebra Baldor CASO II FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS 3m 2n 2nx 4 + 3mx 4 = 3m + 3mx 4 2n 2nx 4 = 3m (1 + x 4 ) 2n (1 + x 4 ) 3m 2n 2nx 4 + 3mx 4 = (1 + x 4 ) (3m 2n) Problema 91.7 Algebra Baldor 4a 3 1 a 2 + 4a = 4a + 4a 3 1 a 2 = 4a (1 + a 2 ) 1(1 + a 2 ) 4a 3 1 a 2 + 4a = (1 + a 2 ) (4a 1) Problema 91.9 Algebra Baldor 3abx 2 2y 2 2x 2 + 3aby 2 = 3abx 2 + 3aby 2 2x 2 2y 2 = 3ab (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) = 3abx 2 2y 2 2x 2 + 3aby 2 = (x 2 + y 2 ) (3ab 2) Problema Algebra Baldor 4a 3 x 4a 2 b + 3bm 3amx = 4a 3 x 4a 2 b 3amx + 3bm = 4a 2 (ax b) - 3m (ax b) = 4a 3 x 4a 2 b + 3bm 3amx = (ax b) (4a 2 3m) Problema Algebra Baldor 3x 3 9ax 2 x + 3a = 3x 2 (x 3a) - 1(x 3a) = 3x 3 9ax 2 x + 3a = (x 3a) (3x 2 1) 9

10 CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJERCICIO # 92 pagina 151 Problema 92.2 Algebra Baldor a 2 + 2ab + b 2 = La raíz cuadrada de a 2 es a La raíz cuadrada de b 2 es b El segundo termino es: 2(a) (b) = 2ab a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 Problema 92.4 Algebra Baldor y y 2 = y 4 + 2y = La raíz cuadrada de y 4 es y 2 La raíz cuadrada de 1es 1 El segundo termino es: 2(y 2 ) (1) = 2 y 2 = (y 2 + 1) 2 Problema 92.6 Algebra Baldor 9 6x + x 2 = La raíz cuadrada de 9 es 3 La raíz cuadrada de x 2 es x El segundo termino es: 2(3) (x) = 6x 9 6x + x 2 = (3 x) 2 Problema 92.8 Algebra Baldor a 2 14a = 1 14a + 49a 2 La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de 49a 2 es 7a El segundo termino es: 2(1) (7a) = 14a 1 14a + 49a 2 = (1 7a) 2 Problema Algebra Baldor 1 2a 3 + a 6 = La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de a 6 es a 3 El segundo termino es: 2(1) (a 3 ) = 2a 3 1 2a 3 + a 6 = (1 a 3 ) 2 Problema Algebra Baldor 10

11 a 6 2a 3 b 3 + b 6 = La raíz cuadrada de a 6 es a 3 La raíz cuadrada de b 6 es b 3 El segundo termino es: 2(a 6 ) (b 3 ) = 2a 6 b 3 a 6 2a 3 b 3 + b 6 = (a 3 b 3 ) 2 Problema Algebra Baldor 9b 2 30a 2 b + 25a 4 = La raíz cuadrada de 9b 2 es 3b La raíz cuadrada de 25a 4 es 5a 2 El segundo termino es: 2(3b) (5a 2 ) = 30a 2 b 9b 2 30a 2 b + 25a 4 = (3b 5a 2 ) 2 CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo Ejemplo: Factorizar 1 a 2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1. a 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a. Multiplica la suma de las raíces, (1 + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 - a) 1 a 2 = (1 + a) * (1 - a) Ejemplo: Factorizar 16x 2 25y 4 16 x 2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 x. 25 y 4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 y 2. Multiplica la suma de las raíces, (4x + 5y 2 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (4 x 5 y 2 ) 16x 2 25y 4 = (4x + 5y 2 ) * (4 x 5 y 2 ) Ejemplo: Factorizar 49 x 2 y 6 z 10 a x 2 y 6 z 10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7 x y 3 z 5 a 12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a 6. Multiplica la suma de las raíces, (7 x y 3 z 5 + a 6 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (7 x y 3 z 5 a 6 ) 49 x 2 y 6 z 10 a 12 = (7 x y 3 z 5 + a 6 ) * (7 x y 3 z 5 a 6 ) 11

12 Ejemplo: Factorizar 2 a 4 b 4-9 a 2 a es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es. 4 2 b 4 b 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 9 3 a b 2 Multiplica la suma de las raíces, ( + ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del 2 3 a b 2 sustraendo ( ) a 4 b 4-9 a = b a * b 3 Ejemplo: Factorizar a 2a 9b 4m a 2a es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a a 9b 4m es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3b 2m Multiplica la suma de las raíces, (a a + 3b 2m ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a a 3b 2m ) a 2a 9b 4m = (a a + 3b 2m ) *(a a 3b 2m ) 12

13 EJERCICIO # 93 Pagina 152 Problema 93.1 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores x 2 y 2 x 2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es x. y 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es y Multiplica la suma de las raíces, (x + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x - y) x 2 y 2 = (x + y) * (x - y) Problema 93.2 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 13

14 a 2 1 a 2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a. 1 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 Multiplica la suma de las raíces, (a + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 1) a 2 1 = (a + 1* (a - 1) Problema 93.3 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a 2 4 a 2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a. 4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2 Multiplica la suma de las raíces, (a + 2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 2) a 2 1 = (a + 2) * (a - 2) Problema 93.4 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 9 b 2 9 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 b 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es b Multiplica la suma de las raíces, (3 + b) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (3 - b) 9 b 2 = (3 + b) * (3 - b) Problema 93.5 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 4m 2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 4m 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2m Multiplica la suma de las raíces, (1 + 2m) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 2m) 1 4m 2 = (1 + 2m) * (1 2m) Problema 93.6 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 16 n 2 16 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 n 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es n Multiplica la suma de las raíces, (4 + n) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (4 - n) 16 n 2 = (4 + n) * (4 - n) 14

15 Problema 93.7 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a 2 25 a 2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a 25 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 Multiplica la suma de las raíces, (a + 5) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 5) a 2 25 = (a + 5) * (a - 5) Problema 93.8 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 y 2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 y 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es y Multiplica la suma de las raíces, (1 + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 y) 1 y 2 = (1 + y) * (1 y) Problema 93.9 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 4a 2 9 4a 2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2a 9 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 Multiplica la suma de las raíces, (2a + 3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (2a - 3) 4a 2 9 = (2a + 3) * (2a - 3) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 25 36a 4 25 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 36a 4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 6a 2. Multiplica la suma de las raíces, (5 + 6a 2 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (5 6a 2 ) 25 36a 4 = (5 + 6a 2 ) * (5 6a 2 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 49 a 2 b 2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 49 a 2 b 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7ab Multiplica la suma de las raíces, (1 + 7ab) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 7ab) 15

16 1 49 a 2 b 2 = (1 + 7ab) * (1 7ab) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 4x 2 81y 4 4x 2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2x 81y 4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 9y 2. Multiplica la suma de las raíces, (2x + 9y 2 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (2x 9y 2 ) 4x 2 81y 4 = (2x + 9y 2 ) * (2x 9y 2 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a 2 b 8 c 2 a 2 b 8 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es ab 4 c 2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es c Multiplica la suma de las raíces, (ab 4 + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (ab 4 c) a 2 b 8 c 2 = (ab 4 + c) * (ab 4 c) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 100 x 2 y es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 10 x 2 y 6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es xy 3 Multiplica la suma de las raíces, (10 + xy 3 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (10 xy 3 ) 100 x 2 y 6 = (10 + xy 3 ) * (10 xy 3 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a b 12 a 10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a 5 49 b 12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7b 6 Multiplica la suma de las raíces, (a 5 + 7b 6 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a 5-7b 6 ) a b 12 = (a 5 + 7b 6 ) * (a 5-7b 6 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 16

17 25x 2 y x 2 y 4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5xy es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 11 Multiplica la suma de las raíces, (5xy ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (5xy 2-11) 25x 2 y = (5xy ) * (5xy 2-11) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 100 m 2 n y m 2 n 4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 10mn y 6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 13 y 3 Multiplica la suma de las raíces, (10mn y 3 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (10mn 2-13 y 3 ) 100 m 2 n y 6 = (10mn y 3 ) * (10mn 2-13 y 3 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a 2 m 4 n a 2 m 4 n 6 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es am 2 n es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 12 Multiplica la suma de las raíces, (am 2 n ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (am 2 n 3-12) a 2 m 4 n = (am 2 n ) * (am 2 n 3-12) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 196 x 2 y x x 2 y 4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 14 xy x 12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 15x 6 Multiplica la suma de las raíces, (14 xy x 6 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (14 xy 2-15x 6 ) 196 x 2 y x 12 = (14 xy x 6 ) * (14 xy 2-15x 6 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 256 a b 4 m a 12 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 16 a b 4 m 10 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 17 b 2 m 5 17

18 Multiplica la suma de las raíces, (16 a b 2 m 5 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (16 a 6-17 b 2 m 5 ) 256 a b 4 m 10 = (16 a b 2 m 5 ) * (16 a 6-17 b 2 m 5 ) Problema Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 9 a 2 b 4 c 6 d 8 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 9 a 2 b 4 c 6 d 8 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 a 2 b 2 c 3 d 4 Multiplica la suma de las raíces, (1 + 3 a 2 b 2 c 3 d 4 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 3 a 2 b 2 c 3 d 4 ) 1 9 a 2 b 4 c 6 d 8 = (1 + 3 a 2 b 2 c 3 d 4 ) * (1 3 a 2 b 2 c 3 d 4 ) Ejemplo: Factorizar (a + b) 2 c 2 CASO ESPECIAL La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b) 2 es (a + b) La raíz cuadrada de c 2 es c Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a + b - c) (a + b) 2 c 2 = (a + b + c) (a + b - c) Ejemplo: Factorizar 4x 2 - (x + y) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 4x 2 es 2x La raíz cuadrada de (x + y) 2 es (x + y) Multiplica la suma de las raíces, [2x + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [2x - (x + y)] 4x 2 - (x + y) 2 = [2x + (x + y)] * [2x - (x + y)] 4x 2 - (x + y) 2 = [2x + x + y] * [2x - x - y] 4x 2 - (x + y) 2 = [3x + y] * [x - y] Ejemplo: Factorizar (a + x) 2 - (x + 2) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + x) 2 es (a + x) La raíz cuadrada de (x + 2) 2 es (x + 2) Multiplica la suma de las raíces, [(a + x) + (x + 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a + x) - (x + 2)] 18

19 (a + x) 2 - (x + 2) 2 = [(a + x) + (x + 2)] * [(a + x) - (x + 2)] (a + x) 2 - (x + 2) 2 = [a + x + x + 2] * [a + x - x - 2] (a + x) 2 - (x + 2) 2 = [a + 2x + 2] * [a - 2] 19

20 Problema 94.1 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + y) 2 a 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + y) 2 es (x + y) La raíz cuadrada de a 2 es a Multiplica la suma de las raíces, (x + y + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + y - a) (x + y) 2 a 2 = (x + y + a) * (x + y - a) Problema 94.2 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 4 (a + 1) 2 Así, en este caso, tenemos: 20

21 La raíz cuadrada de 4 es 2 La raíz cuadrada de (a + 1) 2 es (a + 1) Multiplica la suma de las raíces, [2 + (a + 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [2 - (a + 1)] 4 (a + 1) 2 = [2 + (a + 1)] * [2 - (a + 1)] 4 (a + 1) 2 = [2 + a + 1] * [2 - a - 1] 4x 2 - (x + y) 2 = [3 + a] * [1 - a] Problema 94.3 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 9 (m + n) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 9 es 3 La raíz cuadrada de (m + n) 2 es (m + n) Multiplica la suma de las raíces, [3 + (m + n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [3 - (m + n)] 9 (m + n) 2 = [3 + (m + n)] *[3 - (m + n)] 9 (m + n) 2 = [3 + m + n] *[3 -m - n] 9 (m + n) 2 = [3 + m + n] *[3 -m - n] Problema 94.4 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (m - n) 2 16 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (m - n) 2 es (m - n) La raíz cuadrada de 16 es 4 Multiplica la suma de las raíces, (m n + 4) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (m n - 4) (m - n) 2 16 = [(m n + 4)] *[(m n - 4)] Problema 94.5 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x - y) 2 4z 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x - y) 2 es (x - y) La raíz cuadrada de 4z 2 es 2z Multiplica la suma de las raíces, (x y + 2z) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x y 2z) (x - y) 2 4z 2 = (x y + 2z) * (x y 2z) Problema 94.6 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a + 2b)

22 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + 2b) 2 es (a + 2b) La raíz cuadrada de 1 es 1 Multiplica la suma de las raíces, (a + 2b + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a + 2b - 1) (a + 2b) 2 1 = (a + 2b + 1) * (a + 2b - 1) Problema 94.7 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 1 (x 2y) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de (x 2y) 2 es (x 2y) Multiplica la suma de las raíces, [1 + (x 2y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [1 - (x 2y)] 1 (x 2y) 2 = [1 + (x 2y)] * [1 - (x 2y)] 1 (x 2y) 2 = [1 + x 2y] * [1 - x + 2y] Problema 94.8 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 2a) 2 4x 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 2a) 2 es (x + 2a) La raíz cuadrada de 4x 2 es 2x Multiplica la suma de las raíces, (x + 2a + 2x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 2a - 2x) (x + 2a) 2 4x 2 = [(x + 2a + 2x)] * [(x + 2a - 2x)] (x + 2a) 2 4x 2 = [x + 2a + 2x] * [x + 2a - 2x] (x + 2a) 2 4x 2 = [3x + 2a ] * [2a - x] Problema 94.9Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a + b) 2 - (c + d) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b) 2 es (a + b) La raíz cuadrada de (c + d) 2 es (c + d) Multiplica la suma de las raíces, [(a + b) + (c + d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a + b) - (c + d)] (a + b) 2 - (c + d) 2 = [(a + b) + (c + d)] * [(a + b) - (c + d)] (a + b) 2 - (c + d) 2 = [a + b + c + d] * [a + b - c - d] 22

23 Problema 94.10Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - b) 2 - (c - d) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - b) 2 es (a - b) La raíz cuadrada de (c - d) 2 es (c - d) Multiplica la suma de las raíces, [(a - b) + (c - d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - b) - (c - d)] (a - b) 2 - (c - d) 2 = [(a - b) + (c - d)] * [(a - b) - (c - d)] (a - b) 2 - (c - d) 2 = [a - b + c - d] * [a - b - c + d] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 1) 2 16x 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 1) 2 es (x + 1) La raíz cuadrada de 16x 2 es 4x Multiplica la suma de las raíces, (x x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 1-4x) (x + 1) 2 16x 2 = (x x) * (x + 1-4x) (x + 1) 2 16x 2 = (1 + 5x)] * (1-3x) Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 64 m 2 (m 2n) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 64 m 2 es 8m La raíz cuadrada de (m 2n) 2 es (m 2n) Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [8m - (m 2n)] 64 m 2 (m 2n) 2 = [8m + (m 2n)] * [8m - (m 2n)] 64 m 2 (m 2n) 2 = [8m + m 2n] * [8m - m + 2n] 64 m 2 (m 2n) 2 = [9m 2n] * [7m + 2n] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - 2b) 2 - (x + y) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - 2b) 2 es (a - 2b) La raíz cuadrada de (x + y) 2 es (x + y) Multiplica la suma de las raíces, [(a - 2b) + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - 2b) - (x + y)] 23

24 (a - 2b) 2 - (x + y) 2 = [(a - 2b) + (x + y)] * [(a - 2b) - (x + y)] (a - 2b) 2 - (x + y) 2 = [a - 2b + x + y] * [a - 2b - x - y] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (2a - c) 2 - (a + c) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (2a - c) 2 es (2a - c) La raíz cuadrada de (a + c) 2 es (a + c) Multiplica la suma de las raíces, [(2a - c) + (a + c)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(2a - c) - (a + c)] (2a - c) 2 - (a + c) 2 = [(2a - c) + (a + c)] * [(2a - c) - (a + c)] (2a - c) 2 - (a + c) 2 = [2a - c + a + c] * [2a - c - a - c] (2a - c) 2 - (a + c) 2 = [3a ] * [a - 2c] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 1) 2 4x 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 1) 2 es (x + 1) La raíz cuadrada de 4x 2 es 2x Multiplica la suma de las raíces, (x x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 1-2x) (x + 1) 2 4x 2 = (x x) * (x + 1-2x) (x + 1) 2 4x 2 = (1 + 3x)] * (1 - x) Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 36x 2 (a + 3x) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 36 x 2 es 6x La raíz cuadrada de (a + 3x) 2 es (a + 3x) Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [8m - (m 2n)] 36x 2 (a + 3x) 2 = [6x + (a + 3x)] * [6x - (a + 3x)] 36x 2 (a + 3x) 2 = [6x + a + 3x] * [6x - a - 3x] 36x 2 (a + 3x) 2 = [9x + a ] * [3x - a ] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible a 6 (a - 1) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de a 6 es a 3 La raíz cuadrada de (a - 1) 2 es (a - 1) 24

25 Multiplica la suma de las raíces, [a 3 + (a - 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [a 3 - (a - 1)] a 6 (a - 1) 2 = [a 3 + (a - 1)] * [a 3 - (a - 1)] a 6 (a - 1) 2 = [a 3 + a - 1] * [a 3 - a + 1] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - 1) 2 - (m - 2) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - 1) 2 es (a - 1) La raíz cuadrada de (m - 2) 2 es (m - 2) Multiplica la suma de las raíces, [(a - 1) + (m - 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - 1) - (m - 2)] (a - 1) 2 - (m - 2) 2 = [(a - 1) + (m - 2)] * [(a - 1) - (m - 2)] (a - 1) 2 - (m - 2) 2 = [a m - 2] * [a m + 2] (a - 1) 2 - (m - 2) 2 = [a + m - 3] * [a - m + 1] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (2x - 3) 2 - (x - 5) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (2x - 3) 2 es (2x - 3) La raíz cuadrada de (x - 5) 2 es (x - 5) Multiplica la suma de las raíces, [(2x - 3) + (x - 5)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo[(2x - 3) - (x - 5)] (2x - 3) 2 - (x - 5) 2 = [(2x - 3) + (x - 5)] * [(2x - 3) - (x - 5)] (2x - 3) 2 - (x - 5) 2 = [2x x - 5] * [2x x + 5] (2x - 3) 2 - (x - 5) 2 = [3x - 8] * [x + 2] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 1 (5a + 2x) 2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de (5a + 2x) 2 es (5a + 2x) Multiplica la suma de las raíces, [1 + (5a + 2x)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [1 - (5a + 2x)] 1 (5a + 2x) 2 = [1 + (5a + 2x)] * [1 - (5a + 2x)] 1 (5a + 2x) 2 = [1 + 5a + 2x] * [1-5a - 2x] Problema Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (7x + y)

26 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (7x + y) 2 es (7x + y) La raíz cuadrada de 81 es 9 Multiplica la suma de las raíces, (7x + y + 9) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (7x + y - 9) (7x + y) 2 81 = (7x + y + 9) * (7x + y - 9) CASOS ESPECIALES COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (CASO III) se obtiene una diferencia de cuadrados (CASO IV) Ejemplo: Factorizar a 2 + 2ab + b 2 1 Aquí tenemos que a 2 + 2ab + b 2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego a 2 + 2ab + b 2 1 = (a 2 + 2ab + b 2 ) 1 Factorando el trinomio a 2 + 2ab + b 2 1 = (a + b) 2 1 a 2 + 2ab + b 2 1 = [(a + b) + 1] * [(a + b) - 1] a 2 + 2ab + b 2 1= [a + b + 1] * [a + b - 1] Ejemplo: Descomponer a 2 + m 2 4b 2 2am Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a 2-2am + m 2 4b 2 Aquí tenemos que a 2-2am + m 2 4b 2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego a 2-2am + m 2 4b 2 = (a 2-2am + m 2 ) 4b 2 Factorando el trinomio a 2-2am + m 2 4b 2 = (a - m) 2 4b 2 a 2-2am + m 2 4b 2 = [(a - m) + 2b] * [(a - m) 2b] a 2-2am + m 2 4b 2 = [a - m + 2b] * [a - m 2b] Ejemplo: Descomponer 9a 2 x 2 + 2x 1 Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) para que x 2 y 1 se hagan positivos, tendremos: 9a 2 x 2 + 2x 1 = 9a 2 (x 2-2x + 1) Factorando el trinomio 26

27 9a 2 (x 2-2x + 1)= 9a 2 - (x - 1) 2 9a 2 - (x - 1) 2 = [3a + (x 1)] * [3a - (x - 1)] 9a 2 - (x - 1) 2 = [3a + x 1] * [3a - x + 1] 9a 2 - (x - 1) 2 = [3a + x 1] * [3a - x + 1] 9a 2 x 2 + 2x 1= [3a + x 1] * [3a - x + 1] Ejemplo: Descomponer 4x 2 a 2 + y 2 4xy + 2ab b 2 El termino 4xy nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene x 2 y cuyo tercer termino tiene y 2. El termino 2ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene a 2 y cuyo tercer termino tiene b 2. Pero a 2 y b 2 son negativos, se introduce este ultimo trinomio en un paréntesis precedido del signo (-) ordenando 4x 2 a 2 + y 2 4xy + 2ab b 2 = 4x 2 4xy + y 2 - a 2 + 2ab b 2 4x 2 a 2 + y 2 4xy + 2ab b 2 = (4x 2 4xy + y 2 ) - (a 2-2ab + b 2 ) Factorando el trinomio (4x 2 4xy + y 2 ) - (a 2-2ab + b 2 ) (2x y) 2 - (a - b) 2 (2x y) 2 - (a - b) 2 = [(2x y) + (a - b)] * [(2x y) - (a - b)] (2x y) 2 - (a - b) 2 = [2x y + a - b] * [2x y - a + b] 4x 2 a 2 + y 2 4xy + 2ab b 2 = [2x y + a - b] * [2x y - a + b] Ejemplo: Factorar a 2 9n 2 6mn + 10ab + 25b 2 m 2 El termino 10ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene a 2 y cuyo tercer termino tiene b 2. El termino 6mn nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene m 2 y cuyo tercer termino tiene n 2. ordenando a ab + 25b 2 m 2 6mn 9n 2 Agrupando a ab + 25b 2 m 2 6mn 9n 2 = (a ab + 25b 2 ) (m 2 + 6mn + 9n 2 ) Factorando el trinomio (a ab + 25b 2 ) (m 2 + 6mn + 9n 2 ) (a +5b) 2 - (m + 3n) 2 (a + 5b) 2 - (m + 3n) 2 = [(a + 5b) + (m + 3n)] * [(a + 5b) - (m + 3n)] (a + 5b) 2 - (m + 3n) 2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n] a 2 9n 2 6mn + 10ab + 25b 2 m 2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n] 27

28 Problema 95.1 Algebra Baldor (Pagina 155) a 2 + 2ab + b 2 x 2 Agrupando y factorando el trinomio (a 2 + 2ab + b 2 ) x 2 (a + b) 2 - x 2 (a + b) 2 - x 2 = [(a + b) + x] * [(a + b) - x] (a + b) 2 - x 2 = [a + b + x] * [a + b - x] a 2 + 2ab + b 2 x 2 = [a + b + x] * [a + b - x] Problema 95.2 Algebra Baldor (Pagina 155) x 2 2xy + y 2 m 2 Agrupando y factorando el trinomio (x 2 2xy + y 2 ) m 2 (x - y) 2 - m 2 (x - y) 2 - m 2 = [(x - y) + m] * [(x - y) - m] (x - y) 2 - m 2 = [x - y + m] * [x - y - m] x 2 2xy + y 2 m 2 = [x - y + m] * [x - y - m] Problema 95.3 Algebra Baldor (Pagina 155) m 2 + 2mn + n 2-1 Agrupando y factorando el trinomio (m 2 + 2mn + n 2 ) 1 (m + n)

29 (m + n) 2-1 = [(m + n) + 1] * [(m + n) - 1] (m + n) 2-1 = [m + n + 1] * [m + n - 1] m 2 + 2mn + n 2-1 = [m + n + 1] * [m + n - 1] Problema 95.4 Algebra Baldor (Pagina 155) a 2 2a + 1 b 2 Agrupando y factorando el trinomio (a 2a + 1) b 2 (a 1) 2 b 2 (a 1) 2 b 2 = [(a - 1) + b] * [(a - 1) - b] (a 1) 2 b 2 = [a b] * [a b] a 2 2a + 1 b 2 = [a b] * [a b] Problema 95.5 Algebra Baldor (Pagina 155) n 2 + 6n c 2 Agrupando y factorando el trinomio (n 2 + 6n + 9) c 2 (n + 3) 2 c 2 (n + 3) 2 c 2 = [(n + 3 ) + c] * [(n + 3 ) - c] (n + 3) 2 c 2 = [n c] * [n c] n 2 + 6n c 2 = [n c] * [n c] Problema 95.6 Algebra Baldor (Pagina 155) a 2 + x 2 + 2ax - 4 a 2 + x 2 + 2ax 4 = a 2 + 2ax + x 2 4 (a 2 + 2ax + x 2 ) - 4 (a + x) 2 4 (a + x) 2 4 = [(a + x ) + 2] * [(a + x ) - 2] (a + x) 2 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2] a 2 + x 2 + 2ax 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2] Problema 95.7 Algebra Baldor (Pagina 155) a a 9b 2 a a 9b 2 = a 2 4a + 4 9b 2 (a 2 4a + 4) 9b 2 (a 2) 2 9b 2 29

30 (a 2) 2 9b 2 = [(a - 2) + 3b] * [(a - 2) - 3b] (a 2) 2 9b 2 = [a b] * [a - 2-3b] a a 9b 2 = [a b] * [a - 2-3b] Problema 95.8 Algebra Baldor (Pagina 155) x 2 + 4y 2 4xy 1 x 2 + 4y 2 4xy 1 = x 2 4xy + 4y 2 1 (x 2 4xy + 4y 2 ) 1 (x 2y) 2 1 (x 2y) 2 1 = [(x 2y) + 1] * [(x 2y) - 1] (x 2y) 2 1 = [x 2y + 1] * [x 2y - 1] x 2 + 4y 2 4xy 1 = [x 2y + 1] * [x 2y - 1] Problema 95.9 Algebra Baldor (Pagina 155) a 2 6ay + 9y 2-4x 2 Agrupando y factorando el trinomio a 2 6ay + 9y 2-4x 2 = (a 2 6ay + 9y 2 ) 4X 2 (a 3y) 2 4x 2 (a 3y) 2 4x 2 = [(a 3y) + 2x] * [(a 3y) - 2x] (a 3y) 2 4x 2 = [a 3y + 2x] * [a 3y - 2x] a 2 6ay + 9y 2-4x 2 = [a 3y + 2x] * [a 3y - 2x] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 4x y xy 4x y xy = 4x xy + 25y 2 36 (4x xy + 25y 2 ) 36 (2x + 5y) 2 36 (2x + 5y) 2 36 = [(2x + 5y) + 6] * [(2x + 5y) - 6] (2x + 5y) 2 36 = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6] 4x y xy = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 9x a 2 24ax 9x a 2 24ax = 9x 2 24ax + 16a 2 1 (9x 2 24ax + 16a 2 ) 1 (3x - 4a)

31 (3x - 4a) 2 1 = [(3x - 4a) + 1] * [(3x - 4a) - 1] (3x - 4a) 2 1 = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1] 9x a 2 24ax = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) a 2 b 2 x 4 16ab a 2 b 2 x 4 16ab = 64 a 2 b 2 16ab + 1 x 4 (64 a 2 b 2 16ab + 1) x 4 (8ab - 1) 2 x 4 (8ab - 1) 2 x 4 = [(8ab - 1) + x 2 ] * [(8ab - 1) - x 2 ] (8ab - 1) 2 x 4 = [8ab x 2 ] * [8ab x 2 ] a 2 b 2 x 4 16ab = [8ab x 2 ] * [8ab x 2 ] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) a 2 b 2 2bc c 2 a 2 b 2 2bc c 2 = a 2 b 2 2bc c 2 a 2 b 2 2bc c 2 = a 2 (b 2 + 2bc + c 2 ) a 2 (b 2 + 2bc + c 2 ) a 2 - (b + c) 2 a 2 - (b + c) 2 = [a + (b + c)] * [a - (b + c)] a 2 - (b + c) 2 = [a + b + c] * [a - b - c] a 2 b 2 2bc c 2 = [a + b + c] * [a - b - c] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 1 - a 2 + 2ax x 2 Agrupando y factorando el trinomio 1 - a 2 + 2ax x 2 = 1 (a 2-2ax + x 2 ) 1 (a 2-2ax + x 2 ) 1 - (a - x) (a - x) 2 = [1 + (a - x)] * [1 - (a - x)] 1 - (a - x) 2 = [1 + a - x] * [1 - a + x] 1 - a 2 + 2ax x 2 = [1 + a - x] * [1 - a + x] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) m 2 x 2 2xy y 2 31

32 Agrupando y factorando el trinomio m 2 x 2 2xy y 2 = m 2 (x 2 + 2xy + y 2 ) m 2 (x 2 + 2xy + y 2 ) m 2 - (x + y) 2 m 2 - (x + y) 2 = [m + (x + y)] * [m - (x + y)] m 2 - (x + y) 2 = [m + x + y] * [m - x - y] m 2 x 2 2xy y 2 = [m + x + y] * [m - x - y] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) c 2 a a - 1 Agrupando y factorando el trinomio c 2 a a 1 = c 2 (a 2-2a + 1) c 2 (a 2-2a + 1) c 2 - (a - 1) 2 c 2 - (a - 1) 2 = [c + (a - 1)] * [c - (a - 1)] c 2 - (a - 1) 2 = [c + a - 1] * [c - a + 1)] c 2 a a 1 = [c + a - 1] * [c - a + 1)] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 9 n n 9 n n = 9 n 2 10n 25 9 (n n + 25) 9 - (n + 5) (n + 5) 2 = [3 + (n + 5)] * [3 - (n + 5)] 9 - (n + 5) 2 = [3 + n + 5] * [3 - n - 5] 9 - (n + 5) 2 = [8 + n ] * [-2 - n ] 9 - (n + 5) 2 = - [8 + n ] * [2 + n ] 9 n n = - [8 + n ] * [2 + n ] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 4 a 2 x 2 + 4x - 4 Agrupando y factorando el trinomio 4 a 2 x 2 + 4x 4 = 4 a 2 (x 2-4x + 4) 4 a 2 (x 2-4x + 4) 4a 2 - (x - 2) 2 4a 2 - (x - 2) 2 = [2a + (x - 2)] *[2a - (x - 2)] 4a 2 - (x - 2) 2 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2] 4 a 2 x 2 + 4x 4 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2] 32

33 Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 1 a 2 9n 2 6an 1 a 2 9n 2 6an = 1 a 2 6an 9n 2 1 (a 2 + 6an + 9n 2 ) 1 - (a + 3n) (a + 3n) 2 = [1 + (a + 3n)] * [1 - (a + 3n)] 1 - (a + 3n) 2 = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n] 1 a 2 9n 2 6an = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 25 x 2 16y 2 + 8xy 25 x 2 16y 2 + 8xy = 25 x 2 + 8xy 16y 2 25 (x 2-8xy + 16y 2 ) 25 - (x 4y) (x 4y) 2 = [5 + (x 4y)] * [5 - (x 4y)] 25 - (x 4y) 2 = [5 + x 4y] * [5 - x + 4y] 25 x 2 16y 2 + 8xy = [5 + x 4y] * [5 - x + 4y] Problema Algebra Baldor (Pagina 155) 9x 2 a 2 4m 2 + 4am 9x 2 a 2 4m 2 + 4am = 9x 2 a 2 + 4am 4m 2 9x 2 (a 2-4am + 4m 2 ) 9x 2 - (a 2m) 2 9x 2 - (a 2m) 2 = [3x + (a 2m)] * [3x - (a 2m)] 9x 2 - (a 2m) 2 = [3x + a 2m] * [3x - a + 2m] 9x 2 a 2 4m 2 + 4am = [3x + a 2m] * [3x - a + 2m] 33

34 Ejercicios 95 Algebra Baldor (Pagina 155) 34

35 Ejemplo: Factorar x 4 + x 2 y 2 + y 4 CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION La raíz cuadrada de x 4 es x 2. La raíz cuadrada de y 4 es y 2. El doble producto de estas raíces es 2x 2 y 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino x 2 y 2 se convierta en 2x 2 y 2 lo cual se consigue sumándole x 2 y 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, x 2 y 2 x 4 + x 2 y 2 + y 4 + x 2 y 2 - x 2 y 2 x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 - x 2 y 2 = (x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 ) - x 2 y 2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 ) - x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 - x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 - x 2 y 2 = [(x 2 + y 2 ) + xy] * [(x 2 + y 2 ) - xy] (x 2 + y 2 ) 2 - x 2 y 2 = [x 2 + y 2 + xy] * [x 2 + y 2 - xy] x 4 + x 2 y 2 + y 4 = [x 2 + xy + y 2 ] * [x 2 xy + y 2 ] Ejemplo: Descomponer 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 La raíz cuadrada de 4a 4 es 2a 2. La raíz cuadrada de 9b 4 es 3b 2. El doble producto de estas raíces es 2 * 2a 2 * 3b 2 =12 a 2 b 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 8a 2 b 2 se convierta en 12 a 2 b 2 lo cual se consigue sumándole 4a 2 b 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, 4a 2 b 2 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 + 4a 2 b 2-4a 2 b 2 4a a 2 b 2 + 9b 4-4a 2 b 2 = (4a a 2 b 2 + 9b 4 ) - 4a 2 b 2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (4a a 2 b 2 + 9b 4 ) - 4a 2 b 2 (2a 2 + 3b 2 ) 2-4a 2 b 2 (2a 2 + 3b 2 ) 2-4a 2 b 2 = [(2a 2 + 3b 2 ) + 2ab] * [(2a 2 + 3b 2 ) - 2ab] (2a 2 + 3b 2 ) 2-4a 2 b 2 = [2a 2 + 3b 2 + 2ab] * [2a 2 + 3b 2-2ab] 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 = [2a 2 + 2ab + 3b 2 ] * [2a 2 2ab + 3b 2 ] 35

36 Ejemplo: Descomponer a 4-16a 2 b b 4 La raíz cuadrada de a 4 es a 2. La raíz cuadrada de 36b 4 es 6b 2. El doble producto de estas raíces es - 2 * a 2 * 6b 2 = - 12 a 2 b 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 16a 2 b 2 se convierta en - 12 a 2 b 2 lo cual se consigue sumándole 4a 2 b 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, 4a 2 b 2 a 4-16a 2 b b 4 + 4a 2 b 2-4a 2 b 2 a a 2 b b 4-4a 2 b 2 = (a a 2 b b 4 ) - 4a 2 b 2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (a a 2 b b 4 ) - 4a 2 b 2 (a 2 + 6b 2 ) 2-4a 2 b 2 (a 2 + 6b 2 ) 2-4a 2 b 2 = [(a 2 + 6b 2 ) + 2ab] * [(a 2 + 6b 2 ) - 2ab] (2a 2 + 3b 2 ) 2-4a 2 b 2 = [a 2 + 6b 2 + 2ab] * [a 2 + 6b 2-2ab] 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 = [a 2 + 2ab + 6b 2 ] * [a 2 2ab + 6b 2 ] Ejemplo: Descomponer 49m 4 151m 2 n n 8 La raíz cuadrada de 49m 4 es 7m 2 La raíz cuadrada de 81n 8 es 9n 4 El doble producto de estas raíces es - 2 * 7m 2 * 9n 4 = m 2 n 4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 151m 2 n 4 se convierta en m 2 n 4 lo cual se consigue sumándole 25 m 2 n 4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25 m 2 n 4 49m 4 151m 2 n n m 2 n 4-25 m 2 n 4 49m 4 126m 2 n n 8-25 m 2 n 4 = (49m 4 126m 2 n n 8 ) - 25 m 2 n 4 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (49m 4 126m 2 n n 8 ) - 25 m 2 n 4 (7m 2 9n 4 ) 2-25 m 2 n 4 (7m 2 9n 4 ) 2-25 m 2 n 4 = [(7m 2 9n 4 ) + 5mn 2 ] * [(7m 2 9n 4 ) - 5mn 2 ] (7m 2 9n 4 ) 2-25 m 2 n 4 = [7m 2 9n 4 + 5mn 2 ] * [7m 2 9n 4-5mn 2 ] 49m 4 151m 2 n n 8 = [7m 2 + 5mn 2 9n 4 ] * [7m 2-5mn 2 9n 4 ] 36

37 Problema 96.1 Algebra Baldor (Pagina 157) a 4 + a La raíz cuadrada de a 4 es a 2 La raíz cuadrada de 1 es 1 El doble producto de estas raíces es 2 * a 2 * 1 = 2 a 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino a 2 se convierta en 2a 2 lo cual se consigue sumándole a 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - a 2 a 4 + a a 2 - a 2 = a 4 + 2a a 2 (a 4 + 2a 2 + 1) - a 2 (a 2 + 1) 2 - a 2 (a 2 + 1) 2 - a 2 = [(a 2 + 1) + a ] * [(a 2 + 1) - a ] (a 2 + 1) 2 - a 2 = [a a ] * [a a ] a 4 + a = [a 2 + a + 1] * [a 2 - a + 1 ] Problema 96.2 Algebra Baldor (Pagina 157) m 4 + m 2 n 2 + n 4 La raíz cuadrada de m 4 es m 2 La raíz cuadrada de n 4 es n 2 El doble producto de estas raíces es 2 * (m 2 ) * (n 2 ) = 2 m 2 n 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino m 2 n 2 se convierta en 2 m 2 n 2 lo cual se consigue sumándole m 2 n 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - m 2 n 2 m 4 + m 2 n 2 + n 4 = m 4 + m 2 n 2 + m 2 n 2 + n 4 - m 2 n 2 (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4 ) - m 2 n 2 (m 2 + n 2 ) 2 - m 2 n 2 (m 2 + n 2 ) 2 - m 2 n 2 = [(m 2 + n 2 ) + mn ] * [(m 2 + n 2 ) - mn ] (m 2 + n 2 ) 2 - m 2 n 2 = [m 2 + n 2 + mn ] * [m 2 + n 2 - mn ] m 4 + m 2 n 2 + n 4 = [m 2 + n 2 + mn ] * [m 2 + n 2 - mn ] Problema 96.3 Algebra Baldor (Pagina 157) x 8 + 3x La raíz cuadrada de x 8 es x 4 La raíz cuadrada de 4 es 2 El doble producto de estas raíces es 2 * (x 4 ) * (2) = 4 x 4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. 37

38 Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3x 4 se convierta en 4 x 4 lo cual se consigue sumándole x 4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - x 4 x 8 + 3x = x 8 + 3x 4 + x x 4 (x 8 + 4x 4 + 4) - x 4 (x 4 + 2) 2 - x 4 (x 4 + 2) 2 - x 4 = [(x 4 + 2) + x 2 ] * [(x 4 + 2) - x 2 ] (x 4 + 2) 2 - x 4 = [x x 2 ] * [x x 2 ] x 8 + 3x = [x 4 + x ] * [x 4 - x ] Problema 96.4 Algebra Baldor (Pagina 157) a 4 + 2a La raíz cuadrada de a 4 es a 2 La raíz cuadrada de 9 es 3 El doble producto de estas raíces es 2 * a 2 * 3 = 6 a 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 2a 2 se convierta en 6a 2 lo cual se consigue sumándole 4a 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4a 2 a 4 + 2a a 2-4a 2 = a 4 + 6a a 2 (a 4 + 6a 2 + 9) - 4a 2 (a 2 + 3) 2-4a 2 (a 2 + 3) 2-4a 2 = [(a 2 + 3) + 2a ] * [(a 2 + 3) - 2a ] (a 2 + 3) 2-4a 2 = [a a ] * [a a ] a 4 + 2a = [a 2 + 2a + 3] * [a 2-2a + 3 ] Problema 96.5 Algebra Baldor (Pagina 157) a 4-3a 2 b 2 + b 4 La raíz cuadrada de a 4 es a 2 La raíz cuadrada de b 4 es b 2 El doble producto de estas raíces es - 2 * (a 2 )* (b 2 ) = - 2a 2 b 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 3a 2 b 2 se convierta en - 2a 2 b 2 lo cual se consigue sumándole a 2 b 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - a 2 b 2 a 4-3a 2 b 2 + a 2 b 2 + b 4 - a 2 b 2 = a 4-2a 2 b 2 + b 4 - a 2 b 2 (a 4-2a 2 b 2 + b 4 ) - a 2 b 2 38

39 (a 2 -b 2 ) 2 - a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 - a 2 b 2 = [(a 2 -b 2 ) + ab ] * [(a 2 -b 2 ) - ab ] (a 2 -b 2 ) 2 - a 2 b 2 = [a 2 -b 2 + ab ] * [a 2 -b 2 - ab ] a 4-3a 2 b 2 + b 4 = [a 2 + ab - b 2 ] * [a 2 - ab - b 2 ] Problema 96.6 Algebra Baldor (Pagina 157) x 4-6x La raíz cuadrada de x 4 es x 2 La raíz cuadrada de 1 es 1 El doble producto de estas raíces es - 2 * (x 2 ) * (1) = - 2 x 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 6x 2 se convierta en - 2 x 2 lo cual se consigue sumándole 4 x 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4 x 2 x 4-6x = x 4-6x x x 2 (x 4-2x 2 + 1) - 4 x 2 (x 2-1) 2-4 x 2 (x 2-1) 2-4 x 2 = [(x 2-1) + 2x ] * [(x 2-1) - 2x ] (x 2-1) 2-4 x 2 = [x x ] * [x x ] x 4-6x = [x 2 + 2x - 1] * [x 2-2x - 1] Problema 96.7 Algebra Baldor (Pagina 157) 4a 4 + 3a 2 b 2 + 9b 4 La raíz cuadrada de 4a 4 es 2a 2 La raíz cuadrada de 9b 4 es 3b 2 El doble producto de estas raíces es 2 * (2a 2 )* (3b 2 ) = 12a 2 b 2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3a 2 b 2 se convierta en 12a 2 b 2 lo cual se consigue sumándole 9a 2 b 2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 9a 2 b 2 4a 4 + 3a 2 b 2 + 9a 2 b 2 + 9b 4-9a 2 b 2 = 4a 4 +8a 2 b 2 + 9b 4-9a 2 b 2 (4a a 2 b 2 + 9b 4 ) - 9a 2 b 2 (2a 2 + 3b 2 ) 2-9a 2 b 2 (2a 2 + 3b 2 ) 2-9a 2 b 2 = [(2a 2 + 3b 2 ) + 3ab ] * [(2a 2 + 3b 2 ) -3ab ] (2a 2 + 3b 2 ) 2-9a 2 b 2 = [2a 2 + 3b 2 + 3ab ] * [2a 2 + 3b 2-3ab ] 39

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