RADICALES Teorema fundamental de la radicación Reducción de radicales a índice común Potenciación de exponente fraccionario

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1 RDICLES. Rdiles. Trsformioes de rdiles.. Teorem fudmetl de l rdiió.. Simplifiió de rdiles.. Reduió de rdiles ídie omú.. Poteiió de epoete friorio. Operioes o rdiles.. Produto de rdiles.... Etrió de ftores fuer del sigo rdil... Itroduió de rdiles detro del sigo rdil.. Coiete de rdiles.. Potei de u rdil.. Ríz de u rdil. Riolizió de deomidores.. Deomidores o moomios... Co u úi ríz udrd... Co u úi ríz -ésim.. Riolizió de iomios. Pres ojugdos. diió y sustrió de rdiles. Rdiles semejtes

2 . Rdiles L rdiió es l operió ivers de l poteiió. Si u potei es: L rdiió es l operió que tiee que oteer ooiedo y. Se epres: f f : : Se llm ríz -ésim de u úmero rel otro úmero rel uy potei -ésim es igul : es el rdil : es el rdido : es el ídie : esl ríz U rdil puede llevr oefiietes que forme prte de el omo por ejemplo dode es el oefiiete y form prte del rdil. Si, es l ríz udrd y se ostumr omitir el ídie Si, es l ríz úi Si, es l ríz urt y sí suesivmete Como oseuei de ls regls sore los sigos de ls poteis de epoete turl y se egtiv teemos que Tod ríz de ídie impr de u úmero tiee el mismo sigo que el rdido y que y que ( ) Tod ríz de ídie pr de u úmero positivo tiee dole sigo ± y que ( ) Tod ríz de ídie pr y rdido egtivo o es rel Clul el vlor de los siguietes rdiles idetifido e d uo de ellos ídie, rdido y ríz:

3 Trsformioes de rdiles.. Teorem fudmetl de l rdiió Si se multipli o divide el ídie de l ríz y el epoete del rdido por u mismo úmero etero, el vlor ritmétio del rdil o vrí. Demostrió Se el rdil p p Por defiiió de ríz: p q Elevmos los dos térmios de l iguldd u potei q: ( ) ( ) q o se: pq q. p q q Etremos l ríz de ídie q : Luego qued demostrdo (por defiiió de ríz) q q p q Este teorem permite l simplifiió de rdiles, defiir l poteiió de epoete friorio y l reduió ídie omú. pq () ; ) ( + y) ( + y) ; ) ( ) + d) 0 ) y ( + y ) 0 0 e) Esrie tres rdiles igules d uo de los siguietes rdiles: 7) y ) z ) y z 0) ) y y z ) z

4 .. Simplifiió de rdiles Pr simplifir u rdil se divide el ídie del rdil y el epoete del rdido por sus ftores omues (por el m..d). ) ( ) ) 7 ( ) ( ) ( ) ) y ( y ) ( y ) y y ) 0 ) 7 ) 0 y m ) 7) ) 0 y ) 0) 0 ( + ) ) ( ) ) y ) y ) 0 ) 7m ) 7) y.. Reduió de rdiles ídie omú Se oper de mer similr l de reduió omú deomidor e frioes: El ídie omú será el m..m de los ídies. Se divide el ídie omú por d ídie y el oiete se multipli por el epoete del rdido. ) Reduir ídie omú,, El m..m (,, ) 7,, 7 ) Reduir ídie omú El m..m (,, ), ( ) y

5 ( ), (( )) y ( ), ( ) y Redue ídie omú los siguietes rdiles: ) m, m, m, m, m ) 0) y, y, 7 y, y ) ) y, y, y, 0 7 0,,,,,.. Poteiió de epoete friorio U potei de epoete friorio es equivlete u rdil uyo ídie es el deomidor del epoete y uyo rdido es l se elevd l umerdor del epoete p p () Demostrió: Si dividimos el ídie y el epoete del rdido de u rdil por el ídie teemos que: p p p Esto os permite poer los rdiles e form de poteis y operr o ellos utilizdo ls regls de l poteiió. ) )( ) ( ) Esrie omo poteis los siguietes rdiles: + ) ; ) ; ) ; ) ; Esrie omo rdiles ls siguietes poteis: ) 0) ( ) ) ) ( ) ) ) + 7) ; ) ) y z

6 . Operioes o rdiles.. Produto de rdiles ) De rdiles homogéeos (de igul ídie) Se los rdiles de igul ídie y B. Se tiee que: r r B s s B Multiplido ordedmete: r s ( r s) B Etryedo l ríz -ésim: ( r s) Sustituyedo r y s por su vlor: r s B B B () El produto de rdiles de igul ídie es otro rdil que tiee el mismo ídie y por rdido el produto de los rdidos de los ftores. ) De rdiles o homogéeos Si los rdiles o tiee igul ídie se redue previmete ídie omú. ) 7 ) ) Reduimos ídie omú. m..m (,, ) 7 0 Oserv que se multipli por u ldo los oefiietes ( y ) y por otro ldo los rdiles Efetú los produtos siguietes: ) ) 7) ) ) 0) ) y ) ) y ) y ) )... Etrió de ftores fuer del sigo rdil L epresió () os permite simplifir rdiles udo uo de los ftores tiee ríz -ésim et: 7

7 Se divide el epoete del rdido por el ídie de l ríz. El oiete se esrie omo epoete del ftor fuer del sigo rdil. El resto de l divisió se esrie omo epoete del ftor detro del rdil. Ejemplo: 7 Hemos l divisió 7/ y oteemos de oiete y de resto por lo tto 7 El proeso pso pso serí: seprmos 7 e dos ftores, de tl form que uo ellos se el múltiplo del ídie más próimo l epoete del rdido plimos l epresió () simplifimos el primer rdil: 7 Si el rdido tiee vrios ftores, se efetú l divisió del epoete de d ftor por el ídie de l ríz y z y z y oiete resto oiete resto 0 oiete resto y z z y y z Oserv que los ftores y qued ítegros detro del rdil por teer epoetes meores que el ídie. Si el rdido es u úmero, se desompoe e ftores primos y se proede omo se h idido. Ejemplo: 7) 7) ) y ) m 70) d 7) 7) 0 7) 7) d 7) 7 d 7) y z 7) y y z 0) y y 7) 0 77)

8 ... Itroduió de ftores detro del sigo rdil Pr itroduir detro del sigo rdil u ftor que multipli u ríz, se multipli el epoete del ftor por el ídie de l ríz y se esrie el produto omo epoete del ftor detro de l ríz. Demostrió: ) m m ( ) 7 0 ) 7 (7 ) 7 7 m ) ) ) ) ( ) ( + ) ) ) 7) y y ) 0) ) ) y y ) + y + y ) ( y) 7) ( y) y + ) ( + ) 00).. Coiete de rdiles ) y + y + + ) d yz y ) De rdiles homogéeos (igul ídie) Se los rdiles de igul ídie y B. Se tiee que: r r B s s Dividiedo ordedmete: r s B r Etryedo l ríz -ésim: s Sustituyedo r y s por su vlor: r s r s B B ) ( + ) ) ) y B B () El oiete de rdiles de igul ídie es otro rdil que tiee el mismo ídie y por rdido el oiete de los rdidos.

9 ) De rdiles o homogéeos Si los rdiles o tiee igul ídie se redue previmete ídie omú. ) ) : : ) : : 0) : 0) 7 : 0) y : y 07) y : y 0) 0) d : d 0) : 0) : ) 0) : 7 : 0) : : ) Pr etrer ftores de u rdil o rdido e form de frió se reliz primero el oiete de rdiles y después se etre idepedietemete los ftores del umerdor y del deomidor. : Ejemplos 7 7 ) y z y z yz yz yz ) yz y ) y ) 7) 7 0 ) d f ) 7 ) 7 7 y z ) 0.. Potei de u rdil Se el rdil r. Por defiiió de ríz r p p p p p Elevdo los dos miemros l potei p: m( r ) r ( r ) p

10 Etryedo l ríz -ésim: Sustituyedo r por su vlor: ( p p p r ) r p p p ( ) () Otr form de oteer est epresió es desrrolldo l potei ( ) p y plido l regl del produto de rdiles: p p ( ) p vees p vees Pr elevr u ríz u potei se elev el rdido es potei U potei muy usd es:( ). Y e prtiulr e el so de l ríz udrd ( ) Ejemplo: () ) ( ) Clul ls poteis y simplifi el resultdo hiedo: primos etre sí el ídie y el epoete del rdido etryedo todos los ftores posiles 0)( ) )( ) )( ) ) )( ) ) ) y ) y 0).. Ríz de u rdil m Se el rdil r. Por defiiió de ríz m r )( ) ( ) 7) ( y) y z m m Elevmos l potei mos miemros : ( r ) r Etremos l ríz de ídie m. : r Sustituyedo r por su vlor: m 0 d y m m ()

11 L ríz m-ésim de l ríz -ésim de u úmero es l ríz m-ésim de diho úmero. ) ) Estos ejeriios se empiez resolver desde el rdil más iterior ) E estos ejeriios se omi l ríz de u ríz o l itroduió/etrió de ftores del rdil. 7 7 (Etrió) (Itroduió) Ejeriios ) ) ) ) ) + ) + + 7) + ) ) 0) ) ) ) ) ) ) 7) ) ) 0) :. Riolizió de deomidores L riolizió de deomidores es l operió que elimi ls epresioes rdiles que puede preer e los deomidores.

12 .. Deomidores o moomios... Co u úi ríz udrd Pr elimir el rdil se multipli umerdor y deomidor por l ríz que pree e el deomidor. ( ) Es oveiete etrer todos los ftores posiles del rdil tes de riolizr. ) 7 7 ) ) d) e) 7 ) 7) y ) ) y zt ) ) y y 7 ) y 0) + y ) ) ) ) + 7 ) ) ) y ) y 7)... Co u úi ríz -ésim Si el epoete del rdido es m se multipli umerdor y deomidor por l ríz -ésim del rdido elevdo -m. m m m m m m m m+ m m m m

13 ) ) ( ( ) ) ) 0 ( ) 0 0 ) 7 7) 7) ) 7) 0) 7 y y y z 70) y y z 7) + y ( y) 7) 7) 77) 7) 7 ( + y) 7).. Riolizió de iomios. Pres ojugdos Estremos e este so udo el deomidor se u iomio o rdil de ídie dos. Se elimi los rdiles del deomidor multiplido umerdor y deomidor por el ojugdo del deomidor. Pres ojugdos: ( + ) y ( - ) so epresioes ojugds etre sí. Tiee l propiedd de que su produto es igul l diferei de los udrdos de y o lo que si o so rdiles de ídie dos, ls ríes despreerá l relizr el produto. ( + ) ( ) + ) Si el deomidor es +,su ojugdo es y el produto de ojugdos drá omo resultdo: ( + ) ( ) ( ) o lo que despree el rdil. ) Si el deomidor es, su ojugdo es + y el produto de ojugdos ( ) ( + ) ( ) 7 ) Si el deomidor es su ojugdo es + y el produto de ojugdos: ( ) ( + ) ( ) ( )

14 d) Si el deomidor es +, su ojugdo es y el produto de ojugdos: ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 7) ) ) ) ) ) ) ) ) + + ) + + ) 7) + + 0) ) + + y y ) y y ) DE HOR EN DELNTE EN TODOS LOS EJERCICIOS DE RDICLES LOS RESULTDOS PRECERÁN SIMPLIFICDOS L MÁXIMO, ESTO QUIERE DECIR QUE: El ídie y el epoete del rdido será primos etre sí (..) Etrer del rdil todos los ftores posiles Riolizr deomidores. diió y sustrió de rdiles. Rdiles semejtes Pr sumr o restr rdiles estos h de ser semejtes. So rdiles semejtes los que tiee el mismo ídie y el mismo rdido So semejtes: ; ( y z) Tmié so semejtes y y que L diió o sustrió de rdiles semejtes d omo resultdo otro rdil semejte, uyo oefiiete se otiee sumdo o restdo los oefiietes de los rdiles Si los rdiles o so semejtes, se dej l operió idid. Pr usr rdiles semejtes usremos l simplifiió, l etrió de ftores, l itroduió y l riolizió de deomidores.

15 ) grup los rdiles semejtes:,,,,,,,,,, So semejtes por u ldo:,,,, y por otro: y,,,,, ) + + ( + + ) ) ( ) d) ( + ) ) + ) ) + 0) + 0 0) + 0) 7 + 0) 0 + 0) ) + 07) + 0) ) y y + y y y y y 0 0) y + ) ( + ) + ) + ) + + ) + ) + ) + + 7) + + ) ( y) + y + y + y y y y + y + y

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