Cómo desarrollar y factorizar expresiones algebraicas?

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1 1 Cómo desarrollar y factorizar expresiones algebraicas? Prof. Jean-Pierre Marcaillou OBJETIVOS: La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de los comandos [expand], [factor], [rfactor], [factorout] y [collect] del submenú desplegable Transformación del menú Acción para desarrollar y factorizar expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones en el conjunto de los números reales y los números complejos. CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Expresión algebraica: Es una expresión en la cual aparecen: Números (enteros naturales, enteros relativos, racionales, irracionales) Variables (letras del alfabeto) Símbolos de instrucciones (operaciones +,,, ; funciones inversa, potencia, radicales) Signos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }. y que se transforma en un número cuando todas las variables que aparecen en ellas son sustituidas por números. Factorizar una expresión algebraica: Es transformarla de manera que la última instrucción de su esquema sea una multiplicación, un cuadrado o una potencia con exponente entero positivo. Una expresión algebraica está factorizada por completo si cada factor algebraico es un factor primo, es decir, admite como únicos divisores sobre el conjunto de los enteros el mismo y el valor 1. Desarrollar una expresión algebraica: Es la operación inversa de la factorización. Supresión de los signos de agrupación: 1. Al suprimir los signos de agrupación precedidos del signo + se conserva el mismo signo que tengan cada una de las cantidades que se hallan dentro de ellos.. Al suprimir los signos de agrupación precedidos del signo se cambia el signo que tengan cada una de las cantidades que se hallan dentro de ellos. 3. Los signos de agrupación se eliminan desde los más internos hacia los más externos. Introducción de cantidades dentro de signos de agrupación: 1. Para introducir cantidades dentro de signos de agrupación precedidos del signo +, se conserva a cada una de las cantidades su mismo signo.. Para introducir cantidades dentro de signos de agrupación precedidos del signo, se cambia el signo a cada una de las cantidades. Divisor (de): Se dice que un número a es un divisor de un número b si y sólo si existe un número n tal queb Múltiplo (de): Se dice un número a es un múltiplo de un número b si y sólo si existe un número n tal que a 1 = na. = nb. Máximo común divisor (MCD): Es el mayor de los divisores comunes a varios números. La regla práctica para calcularlo es la siguiente: 1. Descompone los números en producto de factores primos.. Considera los factores comunes con su menor exponente. 3. Multiplica esos factores.

2 Mínimo común múltiplo (MCM): Es el menor de los múltiplos comunes a varios números. La regla práctica para calcularlo es la siguiente: 1. Descompone los números en producto de factores primos.. Considera los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. 3. Multiplica esos factores. Productos notables: Son identidades que, debido a la frecuencia con la cual aparecen en los cálculos algebraicos, se realizan en forma directa, mediante la aplicación de mecanismos preestablecidos. Se presentan a continuación los productos notables más comunes: FACTORIZACIÓN 1 xy + yz = x(y + z) x + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 3 abx + (ad + cb)x + cd = (ax + c)(bx + d) 4 x + xy + y = (x + y) 5 x xy + y = (x y) 6 x y = (x y)(x + y) x + 3x y + 3xy + y = (x + y) x 3x y + 3xy y = (x y) x y = (x y)(x + xy + y ) x + y = (x + y)(x xy + y ) DESARROLLO Procedimiento para factorizar una expresión algebraica: PASO 1: Extrae todos los monomios que sean comunes a todos los términos. PASO : Agrupa todos los términos por parejas y extrae los monomios comunes de cada par de términos. PASO 3: Agrupa todos los términos con la finalidad de hacer aparecer productos notables como los mencionados en la tabla anterior en 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. PASO 4: Escribe la expresión algebraica original bajo la forma de un producto de factores. Factorizaciones especiales: Factor común. Diferencia de cuadrados. Trinomio cuadrado perfecto. Completación de un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Suma de cuadrados. Agrupación de términos. Factorización de un trinomio de la forma ax + bx + c.

3 OPERACIÓN CON LA CALCULADORA: Cuando se activa el menú secundario Transformación del menú desplegable Acción, aparece un listado de comandos relacionados con diversos problemas de transformación y expansión. El tercer comando [expand], como lo indica la pantalla adjunta, permite el desarrollo de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine). Sintaxis del comando [expand]: expand(expresión) El cuarto comando [factor], como lo indica la pantalla adjunta, permite factorizaciones de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine). Sintaxis del comando [factor]: factor(expresión) El quinto comando [rfactor], como lo indica la pantalla adjunta, permite factorizaciones de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine). Sintaxis del comando [rfactor]: rfactor(expresión) El sexto comando [factorout], como lo indica la pantalla adjunta, permite factorizaciones de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine) con respecto a una variable o un factor específico. Sintaxis del comando [factorout]: factorout(expresión,variable) El octavo comando [collect], como lo indica la pantalla adjunta, permite reorganizar con respecto a una variable o un factor, una expresión algebraica (Exp), una ecuación (Ecu), una inecuación (Ine). Sintaxis del comando [collect]: collect(expresión, variable) Observaciones: Los comandos [expand], [factor], [rfactor], [factorout] y [collect] del submenú Transformación son también disponibles en el teclado de catálogo cat del teclado virtual. Basta con presionar la lengüeta [cat] y deslizar el cursor mediante las flechas de desplazamiento y hasta identificar el comando indicado (sombrearlo) y presionar seguidamente la tecla [INTRO] para introducirlo en la pantalla. 3

4 Cómo desarrollar una expresión algebraica? El comando [expand] desarrolla una expresión algebraica, una ecuación, una inecuación. 1. Desarrolle la expresión algebraica (x + y ). (1) Presione la tecla [ON/OFF] y active la Aplicación Principal tocando el icono del panel de iconos. () Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (3) Presione la tecla [Keyboard] para activar el teclado virtual y toque la lengüeta [mth] para acceder al teclado matemático. (4) Toque seguidamente [(] / [x] / [^] / [] / [+] / [y] / [^] / [] / [)] / [^] / [] / [Ejec] para introducir la expresión algebraica y aparece en la línea de salida la expresión. (5) Seleccione con el lápiz táctil la expresión que se encuentra en la línea de salida, deslice la punta del lápiz táctil sobre la expresión de izquierda a derecha hasta obtener dicha expresión resaltada, y toque [ ] para copiar esta expresión y colocarla en el portapapeles. (6) Ahora posicione la punta del lápiz táctil en el cuadro de línea de entrada para mover el cursor allí, toque [Acción] / [Transformación] / [expand] / [ ] / [Ejec] para introducir el comando expand, pegar la expresión algebraica y aparece en la línea de salida el desarrollo completo de dicha expresión. 1. Descompone la función racional propia bajo la forma de funciones racionales simples. x 1 (8) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (9) Toque [Acción] / [Transformación] / [expand] y seguidamente [1] / [ ] / [(] / [x] / [^] / [] / [ ] / [1] / [)] / [,] / [x] / [Ejec] para introducir la función racional, precisar que la descomposición se realiza con respecto a la variable x, y aparece en la línea de salida el desarrollo de la función racional bajo la forma de funciones racionales simples. El comando [expand] desarrolla una función racional como la suma de funciones racionales simples. 3. Desarrolle (x 1) = (3x + ) y (x 8x) < (x + 10). (10) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (11) Toque [Acción] / [Transformación] / [expand] y seguidamente [(] / [x] / [ ] / [1] / [)] [^] / [] / [=] / [(] / [3] / [x] / [+] / [] / [)] [^] / [] / [Ejec] y aparece en la línea de salida el desarrollo completo de la ecuación. El comando [expand] desarrolla ambos miembros de una ecuación. (1) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (13) Toque [Acción] / [Transformación] / [expand] y seguidamente [(] / [x] / [^] / [] / [ ] / [8] / [x] / [)] [^] / [] / [OPC] / [<] / [(] / [x] / [+] / [1] / [0] / [)] [^] / [] / [Ejec] y aparece en la línea de salida el desarrollo completo de la inecuación. El comando [expand] desarrolla ambos miembros de una inecuación. 4

5 Cómo factorizar una expresión algebraica? El comando [factor] descompone un número bajo la forma de un producto de factores primos, y escribe el resultado, si es posible bajo la forma de una fracción irreducible. 4. Descompone el número bajo la forma de un producto de factores primos. (14) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (15) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [4] / [0] / [7] / [7] / [] / [3] / [9] / [1] / [6] / [6] / [0] / [0] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la descomposición del número como un producto de factores primos. (16) Toque con la punta del lápiz el símbolo situado a la extrema derecha de la línea de salida y aparecen los restantes factores primos que hacen parte de la descomposición. 5. Descompone en una fracción irreducible (17) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (18) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [D] / [ ] / [1] / [] / [4] / [7] / [4] / [0] / [0] / [ ] / [1] / [9] / [8] / [1] / [9] / [8] / [0] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la fracción original escrita como una fracción irreducible con el numerador y denominador escritos como el producto de factores primos. El comando [factor] factoriza expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones tanto en el conjunto de los números reales como en el conjunto de los números complejos. 6. Factorice 3 x 3x + 8x 1. (19) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (0) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [(] / [] / [x] / [^] / [3] / [ ] / [3] / [x] / [^] / [] / [+] / [8] / [x] / [ ] / [1] / [] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la factorización de la expresión algebraica. Una raíz es racional mientras que las otras dos no son reales. La factorización es completa en el conjunto de los números reales. (1) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. () Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [(] / [] / [x] / [^] / [3] / [ ] / [3] / [x] / [^] / [] / [+] / [8] / [x] / [ ] / [1] / [] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la factorización completa de la expresión algebraica en el conjunto de los números complejos. 5

6 7. Factorice 3x + x 1. (3) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (4) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [] / [+] / [x] / [ ] / [1] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la misma expresión. Con el comando [factor], los polinomios cuyas raíces son irracionales no se pueden factorizar; es a través del comando [rfactor] que se puede realizar dicha factorización. (5) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (6) Toque [Acción] / [Transformación] / [rfactor] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [] / [+] / [x] / [ ] / [1] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la expresión factorizada. Con el comando [rfactor], los polinomios cuyas raíces son irracionales se pueden factorizar y el resultado se presenta bajo la forma a(x x 1)...(x x n ) donde x 1,...,x n son la raíces irracionales. 8. Factorice 3x + 10x 8 = x + 4 y + + < + x 6x 9 x 1. x 9 4x 4x 1 () Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (3) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [] / [+] / [1] / [0] / [x] / [ ] / [8] / [=] / [x] / [+] / [4] / [Ejec] y aparece en la línea de salida la ecuación con ambos miembros factorizados. (4) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (5) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] / [D] / [ ] / [x] / [^] / [] / [+] / [6] / [x] / [+] / [9] para introducir el numerador del primer miembro; presione [ ] y toque [x] / [^] / [] / [ ] / [9] para introducir el denominador del primer miembro; presione [ ] y toque [mth] / [OPC] / [<] / [D] / [ ] / [] / [x] / [ ] / [1] para introducir el numerador del segundo miembro; presione [ ] y toque [4] / [x] / [^] / [] / [ ] / [4] / [x] / [+] / [1] / [Ejec] para introducir el denominador del segundo miembro y aparece en la línea de salida la inecuación original factorizada y simplificada. El comando [factorout] factoriza una expresión algebraica con respecto a una variable determinada o un factor determinado. 9. Factoriza el siguiente trinomio 3x 13x + 1 con respecto: al valor 3; a la variable x; al factor x + 3. (6) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (7) Toque [Acción] / [Transformación] / [factorout] y seguidamente [3] / [x] / [^] / [] / [ ]] / [1] / [3] / [x] / [+] / [1] / [] / [,] / [3] / [Ejec] y aparece en la línea de salida el trinomio factorizado por el factor 3. 6

7 (9) Toque [Acción] / [Transformación] / [factorout] y seguidamente seleccione con el lápiz táctil el trinomio 3x ^ 13x + 1 deslizando la punta del lápiz táctil sobre la expresión de izquierda a derecha hasta obtener dicha expresión resaltada y toque [ ] para copiar esta expresión y colocarla en el portapapeles; inmediatamente después toque [ ] / [,] / [x] / [Ejec] para pegar el trinomio, precisar la variable de factorización x, y aparece en la línea de salida el trinomio factorizado con respecto a la variable x. (30) Toque [Acción] / [Transformación] / [factorout] y toque [ ] / [,] / [x] / [+] / [3] / [Ejec] para pegar el trinomio, precisar el factor de factorización x + 3, y aparece en la línea de salida el trinomio factorizado con respecto a x + 3. En conclusión, el comando [factorout] escribe el polinomio bajo la forma siguiente n n 1 n n + n 1 + n a x a x a x... a x a x a n n n a0 a1x a1x an x an 1x anx factor factor factor factor factor factor factor El comando [collect] reduce y reordena una expresión algebraica, una ecuación, una inecuación con respecto a una variable determinada o un factor determinado. 10. Reduzca y reordena la siguiente expresión algebraica después con respecto al factor x + 1. (31) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. 3x + ax + 5x ax + con respecto a la variable x y (3) Toque [Acción] / [Transformación] / [collect] y seguidamente [3] / [x] / [+] / [VAR] / [a] / [x] / [^] / [] / [+] / [5] / [x] / [^] / [] / [ ] / [a] / [x] / [+] / [] / [Ejec] para introducir la expresión algebraica, precisar la variable de ordenación x, y aparece en la línea de salida dicha expresión reducida y ordenada como potencia decreciente con respecto a la variable x. (33) Toque [Acción] / [Transformación] / [collect] y seguidamente seleccione con el lápiz táctil la expresión 3x + ax ^ + 5x ^ ax + deslizando la punta del lápiz táctil sobre la expresión de izquierda a derecha hasta obtener dicha expresión resaltada y toque [ ] para copiar esta expresión y colocarla en el portapapeles; inmediatamente después posicione la punta del lápiz táctil en el cuadro de línea de entrada para mover el cursor allí, toque [ ] / [,] / [x] / [+] / [1] / [Ejec] para pegar la expresión, precisar el factor de ordenación x + 1, y aparece en la línea de salida dicha expresión reducida y ordenada con respecto al factor x + 1. El comando [collect] realiza la división de polinomios P(x), y escribe el resultado final bajo la forma Q(x) P(x) = Q(x) C(x) + R donde C(x) representa el cociente y R el resto. Este comando [collect] es muy útil para expresar un polinomio P en x en términos de x + a (Método De Horner). Si dado P (x) se quiere encontrar P (x + a) equivalente a P (x), se realiza una serie de divisiones sucesivas aplicando la identidad fundamental de la división de polinomios P (x) = (x + a)q(x) + R. 7

8 11. Reduzca y ordena la inecuación (x + ) < 3( x + 5) con respecto a la variable x. (33) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (34) Toque [Acción] / [Transformación] / [collect] y seguidamente [(] / [x] / [+] / [] / [)] / [^] / [] / [OPC] / [<] / [3] / [(] / [ ] / [] / [x] / [+] / [5] / [)] / [^] / [] / [Ejec] para introducir la inecuación, precisar la variable de ordenación x, y aparece en la línea de salida dicha ambos miembros de la inecuación reducidos y ordenados con respecto a la variable x. 1. Desarrolle y reduce las siguientes expresiones algebraicas: (6x 4x 9x)(x 3) + + (4x 1)(3 6x)(x 1) (x 3x x )(x 4x 1) + + (x y z) (y z x) (z x y) (x y z) (a + b )A + (a b )B (a b )A + (a + b )B ab ab 13.- Verifique las siguientes identidades: (a 3mab ) m(3a b mb ) (a mb ) + + = (a b) (a b ) 3(a b)(a b ) = (a b )x + aby + (a b )y abx = (a + b ) (x + y ) x + 8x x 9x 14 = 3(x + 1) 4(x + 1) 7(x + 1) + 5(x + 1) 11 (ax + by + cz) + (bx ay) + (cy bz) + (az bx) = (a + b + c )(x + y + z ) 14.- Factorice las siguientes expresiones algebraicas: a (b c) + b (c a) + c (a b) ab(x + y ) + xy(a + b ) (xy + ab) + (ay bx) 90(a + b + c ) (7a + 5b 4c) (4b + 5c) (4a + 7c) (a + b 5) 4(ab + ) 8