TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Transcripción

1 TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTO Son quells epresones en ls que ls opercones que se usn son sólo ls de dcón, sustrccón, multplccón, dvsón, potenccón, rdccón entre sus vrbles en un número lmtdo de veces. Ejemplos:, Son epresones lgebrcs,, log.. ',, log.. Son epresones lgebrcs... TÉRMINO ALGEBRAICO Es quell epresón lgebrc en l que no se enlz ls vrbles mednte l dcón l sustrccón, present dos prtes que con el coefcente l prte lterl (prte vrble) Ejemplo: TÉRMINOS SEMEJANTES Se llmn térmnos semejntes de un epresón lgebrc quellos que tenen l msm prte lterl, esto es; l msms letrs con los msmos eponentes. Dferen, entre sí en los coefcentes. Ejemplos: ) z ; - z ; z Son térmnos semejntes b) b; b; 7 b; b Son térmnos semejntes c) np ; np, np Son térmnos semejntes d) b; b No Son térmnos semejntes CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ls epresones lgebrcs se clsfcn en Monomos Polnomos. I) Monomos: Es l epresón lgebrc que const de un solo térmno. Ejemplos:. ; 7 ; ; 0,7 b; z. II) Polnomos: Es l epresón lgebrc de dos o más térmnos. Ejemplos:. ; + ; + +.

2 Bnomo: Es l epresón lgebrc que const de dos térmnos. Son bnomos:. ; 8 + ; + ; +. Trnomo: Es l epresón lgebrc que const de tres térmnos Son trnomos: GRADO DE UNA VARIABLE. 7 + z; + b + b ; 7 +. El grdo de un vrble es el eponente de dch vrble. Ejemplo:: En el térmno: 7 L vrble es de grdo, o segundo grdo. L vrble es de grdo, o tercer grdo. GRADO DE UN MONOMIO El grdo de un monomo puede ser reltvo o bsoluto. El Grdo Reltvo o con respecto un letr o vrble está ddo por el eponente de dch letr. Así: 9... es de tercer grdo con respecto ; de segundo grdo con respecto. Grdo Reltvo con respecto es Grdo Reltvo con respecto es. Grdo Absoluto de un térmno lgebrco está ddo por l sum de los eponentes de l prte lterl. Así: El grdo bsoluto de: 9 es: + = El grdo bsoluto de: 8 z es: 8 + = 7 GRADO DE UN POLINOMIO El grdo de un Polnomo puede ser reltvo bsoluto. El Grdo Reltvo o con respecto un letr es gul l mor eponente de dch letr o vrble en el polnomo. Así: Ddo el polnomo: Grdo reltvo con respecto es. - Grdo reltvo con respecto es. Otro ejemplo: Ddo el polnomo. z + 8 z z - Grdo reltvo con respecto es:. - Grdo reltvo con respecto es:. - Grdo reltvo con respecto z es:. El Grdo Absoluto de un polnomo es gul l grdo de su térmno de mor grdo bsoluto. Así: Ddo el polnomo: + 7

3 El grdo bsoluto del monomo es: + = El grdo bsoluto del monomo es: + = 7 El grdo bsoluto del monomo 7 es: + = 8 Luego; el grdo bsoluto del polnomo: + 7 es de octvo grdo o de grdo 8. Otro ejemplo: Ddo el polnomo: z + 0 z 7 G.A. del monomo z = + + = G.A. del monomo = + = G.A. del monomo 0 z = + + = 7 G.A. del monomo 7 = + = Luego; el polnomo: z + 0 z 7 tene por grdo bsoluto 7 ó el polnomo es de séptmo grdo. VALOR NUMÉRICO Hllr el vlor numérco de un monomo o de un polnomo es reemplzr cd letr por un vlor correspondente dch letr efectur ls opercones ndcds. Ejemplo : Cuál es el vlor numérco de b; s: = ; b =? Resolucón: Reemplzmos el vlor de = b =, en l epresón: b = = 0. b = 0. L plccón del vlor numérco tene un cmpo mplísmo en el desrrollo de tod clse de fórmuls rtmétcs, geométrcs, físcs químcs, etc. Orden de Opercones Es de sum mportnc el orden de ls opercones en el curso, pr el desrrollo de los ejerccos o problems. S en un ejercco, h dstnts opercones, el orden de ls opercones que se h de segur es el sguente:. Se desrrolln ls potencs o se etren ls ríces s ls h.. Se efectún ls multplccones o dvsones ndcds.. Se hcen ls sums o rests de los térmnos. Ejemplo : Hllr el vlor numérco del polnomo + ; cundo =. Resolucón: Reemplzndo el vlor de en l epresón dd, obtenemos: + = ( ) + ( ) = () 0 = 0 =. + =.

4 Ejemplo : Hllr el vlor numérco de l epresón: S: = Resolucón: Reemplzmos el vlor de en l epresón dd obtenemos: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Pr sumr o restr dos o más monomos semejntes se sumn o restn sus coefcentes l resultdo se le pone l msm prte lterl de los monomos semejntes ddos. Ejemplos: Sumr: ) + 7 = ( + 7 ) = 8 b) z + 8z = ( + 8)z = z c) n m + b n m c n m = ( b c ) n m Pr sumr o restr dos o más monomos no semejntes, sólo se ndc l sum o dferenc de ellos. Ejemplos: Sumr: ) + z = + z. b) 7b + 8b b = 7b + 8b b = 7b b + 8b = b + 8b MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Pr hllr el producto de dos monomos se multplcn ls coefcentes de ellos. A contnucón de este producto se escrben en orden lfbétco, tods ls letrs de los monomos ddos ponendo cd un un eponente gul l sum de los eponentes que teng en los fctores. Ejemplo : Hllr el producto de: por Resolucón:. = (. ) (. ) (. ) Multplcmos los coefcentes (. ) Multplcmos ls prtes lterles. = ()( + ) =. = Ejemplo : Hllr el producto de: 8 por 9 Resolucón: 8. ( 9 ) = 8( 9) (.. ) 8. ( 9 ) = 7 +. = ( 9 ) = 7.

5 POTENCIAS DE MONOMIOS L potenc de monomos en un cso prtculr de l multplccón de monomos. Es un multplccón de fctores monomos gules. Ejemplo : ( ) =. =... =.. Ejemplo : ( ) =.. = =.. Ejemplos: ) ( b) =. ( ). b = z. b b) ( ) = ( ). ( ) = 0 =. 0 c) ( z) = ( ) = ( ) z = z d) ( ). () = ( ). ( ).. =... = 7. 8 = DIVISIÓN DE MONOMIOS Pr hllr el cocente de dos monomos se dvde el coefcente del dvdendo entre el dvsor contnucón se escrben ls letrs en orden lfbétco ponéndole cd un un eponente gul l dferenc entre el eponente que tene el dvdendo el que tene en el dvsor. Ejemplo : Hll el cocente de dvdr: 8 Resolucón: m n m n m n Ejemplo : Hll el cocente de dvdr: ( 8 ) (7 ) Resolucón:.. USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN En álgebr los sgnos de grupcón: préntess ( ); corchetes [ ]; llves { }; brrs ; se usn pr grupr térmnos seprr opercones. S un sgno de grupcón es preceddo por un sgno postvo, éste se puede suprmr sn vrr los sgnos de los térmnos que están dentro del sgno de grupcón, vemos: + (+ b) = + b ; + ( b) = b

6 Ejemplo: + ( 8 + 9) 0 = = 8 Se suprmen los préntess no cmbn los sgnos de los térmnos comprenddos entre ellos. S un sgno de grupcón es preceddo por un sgno negtvo, lo podemos suprmr cmbndo los sgnos de los térmnos que están dentro del sgno de grupcón, vemos: (+ b) = + ( b) ( b) = + (+b) = b = + b Ejemplo: 0 ( - 7b) + b = 0 + 7b b = + b Se suprmen los préntess se cmbn los sgnos de todos los térmnos comprenddos entre ellos PROBLEMAS PARA LA CLASE. Efectur: 8 ( - ) ( + ) Rpt.. Reducr: (,b,) (, +,b) Rpt.. Smplfcr: ( + z) ( z ) + + z Rpt.. Efectur: p (p 0,q) + (0,...q p) + q. Reducr: { [ { ( + ) } + ]} Rpt. 7. Efectur: [ 0, [0, + (0,0 + 0,7)]] Rpt. 8. Efectur: {[(p ) (p + q)]} {q (p + q) p} Rpt. Rpt.. Reducr: [ 9 ( + 7) + ] Rpt. 9. Efectur b c 7 c Rpt. b +

7 0. Smplfcr: ( + ) + ( + ) ( ). Reducr: Rpt. Rpt.. Reducr: b { c [ d { c ( d b ) + } d] }. Reducr: 7 z + z 8 z Rpt. Rpt.. Smplfcr: { q + [ p + q ( p q) + p] 0,...q} Rpt.. Reducr: Rpt. PROBLEMAS PARA LA CASA. Hllr el grdo bsoluto del polnomo: P(;;z) = z z z 7 A) B) 9 C) 0 D) 8 E). El monomo: +b b Es de G.R.() = G.R.() = Entonces vle: A) B) C) D) E). S: =, =, el vlor de l epresón +, es: A) B) C) D) 7 E). Los / de: Es: ; Cundo: A) 9 B) C) 9 D) 0 E). En el polnomo P() = m + + m El grdo bsoluto es 0, entonces el vlor de m es: A) B) 7 C) D) E) 9. S los térmnos b ; 0 son semejntes, clculr el vlor de b A) B) C) D) E) 0 EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN...

8 7. Hllr m N, sbendo que el polnomo P() es de grdo. P() = 0,[ m+ ] + 7 [ m+ ] A) B) C) D) E) 8 9. Al resolver: [ { ( )} + ( )] Se obtene: A) B) C) + D) + E) 8. L epresón: 0, + + 0, equvle : A) B) 0,8 0, 0. S: = ; b = ; c = ; d = 9; entonces el vlor de b d db es: c A) 7 B) 7 C) 7 D) 7 E) 77 C) D) + 0, E) 0, 0, CLAVES. C. E. B. A. C. C 7. A 8. D 9. C 0. B

9 TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES CONCEPTO Estud tods ls clses de eponentes ls dferentes relcones que esten entre ellos, mednte lees. L opercón que d orgen l eponente es l potenccón. POTENCIACIÓN Es l opercón que consste en repetr un número denomndo bse, tnts veces como fctor, como lo ndc otro número que es el eponente, el resultdo de esto se le denomn potenc. Representcón: " " Ejemplos: LEYES FUNDAMENTALES. Producto de Potencs de Igul Bse.. b = +b. Ejemplos:.. = + = = +7 =. Cocente de Potencs de Igul Bse.. 0 Ejemplos: 8. = 8 =

10 . = ( ) =. Producto de Potencs de Dferente Bse.. = (. ). Ejemplos:.. = (. ).. = (. ). Cocente de Potencs de Bses Dferentes.. 0 Ejemplos: Potenc de Potenc..... Eponente Negtvo Ejemplos:.. 7. Eponente Nulo o Cero. 0 =. 0 Ejemplos: 0.

11 Eponente Frcconro.. b 0 Ejemplos:.. 9. Producto de Rdcles Homogéneos.... Ejemplos: Potenc de un Rdcl.... Ríz de Ríz.... Ejemplos: EJEMPLOS DE APLICACIÓN En cd cso completr:... =. =

12 ... = 8. =. = 9. =. 0 0 = 0. 0 =. =. = 7.. =. = LOS NIÑOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO. TODO LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIÓN INDELEBLE PROBLEMAS PARA LA CLASE. Luego de operr Se obtene. Reducr: 0 0 Rpt. Rpt.. S n = A que es gul n 7. Reducr: Rpt. Rpt.

13 . S =, clculr Rpt. 8. Cul es el eponente de en Rpt.. Reducr Reducr: 8 Rpt. Rpt.. Cul es el eponente fnl de b en: ; b 0 0. Reducr: 8 Rpt. Rpt.. S Rpt. 9, hllr. Smplfcr:. S = 8, hllr Rpt.. Smplfcr: n n n Rpt.. Smplfcr: Rpt. Rpt.

14 PROBLEMAS PARA LA CASA. Después de operr Se obtene: A) B) C) 8 D) 8 E). Cul es el eponente fnl de en:.., 0 A) 0 B) C) D) E). S n = 7, hllr el vlor de n A) B) C) 9 D) E). Reducr A) B) C) D) E). S =, Clculr A) B) D) E) C) 7. Reducr 8 7 A) B) 7 7 E) N.A. D) C) 7. Reducr.. 8. Reducr 8 A) 0 B) C) D) 8 E) A) B) C) D) E) 9. Smplfcr: 0. Smplfcr A) B) C) D) 7 E) 9 A) B) C) 9 D) E) 7 CLAVES. C. C. D. B. C. C 7. E 8. B 9. C 0. B

15 SI NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTE PARA TI, SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTÁS DISPUESTO A LUCHAR PARA OBTENERLO, TE ASEGURO QUE TU VIDA ESTARÁ LLENA DE ÉXITO. SERÁ UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NO ES FÁCIL PERO VALDRÁ LA PENA. TEMA: POLINOMIOS CONCEPTO Es quell epresón lgebrc con o más térmnos. GRADO DE UN POLINOMIO. Grdo Reltvo (GR) Es el mor eponente de l vrble en referenc. Ejemplo: 0 Luego: GR() = 0 GR() = 7. Grdo Absoluto (GA) ) Pr un Monomo: se obtene sumndo los grdos reltvos. b) Pr un Polnomo: se obtene como el mor grdo bsoluto de los monomos que lo conformn POLINOMIOS ESPECIALES Son quellos que tenen certs crcterístcs de cuerdo ello son:. Polnomo Ordendo Cundo el eponente ument o dsmnue de mner ordend: Ejemplos:. P(;) = + + Es ordendo crecente respecto ;. Es ordendo crecente respecto b Es ordendo crecente respecto 8. Polnomo Completo S esten todos los grdos ncluendo el térmno ndependente, hst un grdo determndo Ejemplos:. P() = + 7 Es completo de grdo. Q(;) = + + Es completo respecto e

16 GR() =, GR() = Propedd: En todo polnomo completo Número de térmnos = G.A. +. Polnomo Homogéneo Es homogéneo s cd uno de los térmnos tene el msmo G.A. Ejemplo: P(;) = Propedd: Térmnos Semejntes: Dos o más térmnos no nulos son semejnte s solo dferen en los coefcentes. Ejemplo: T (,) = 7 T (,) = 7 T (,) = 7. Polnomo Idéntcos Dos o más polnomos son déntcos cundo tenen los msmos vlores numércos pr culquer vlor de l vrble Ejemplo: P(;) = ( + ) Q(;) = ( ) ) Polnomo Idéntcmente Nulo Un polnomo es déntcmente nulo, s pr culquer vlor de su vrble el polnomo se nul. b) Polnomo Mónco Un polnomo es un monomo cundo el coefcente prncpl es. Ejemplo: A() = + + B() = Propedd:. Cmbo de Vrble Ejemplo Se P()= + P( + ) = P( + ) = ( + ) + P( + ) = + + P( + ) = +. Sum de Coefcentes Ejemplo: Se: P() = + +..

17 0. Térmno Independente: Ejemplo: Se: P() = (X + ) T.I. = P(0)= (0 + ) = = 9 EJEMPLOS DE APLICACIÓN. S R(,) = + b Hllr G.R.() = _ G.R.() = _ G.A. = _. Ordenr el polnomo P() de mner decrecente. P() = El sguente polnomo es completo? P(,) = Con respecto _ Con respecto _. Cuál es el coefcente prncpl de: Q() = + + EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DE MATEMÁTICA. Clculr: ( b) s el monomo: M(,) = + b + b ; tene G.A. = G.R.() = 8 A) B) C) D) E)

18 Resolucón M(;) = +b + b A) B) C) D) E) 8 G.R.() = 8 + b = 8 b = 8... (I) G.A. = ( + b) + ( + b) = + b =... (II) Reemplzmos (I) en (II): + (8 ) = + = 9 =. =. Reemplzmos el vlor de = ; en (I) b = 8 (). b =.. b = =. Rpt. A. S el grdo de: F(,) = es. Clculr el grdo de Q(;) = + A) B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 Resolucón Aplcndo l propedd:.. En el: F(;) = ; obtenemos: F(;) = Por dto: + = ( ) + =. 7 =. Luego, reemplzmos el vlor de = 7 en el monomo: Q(;) =. + Q(;) = = 7. ; sendo el grdo de este monomo: 7 + = 9. El grdo de: Q(;), es: 9. Rpt. D. Clculr: m + n, s se sbe que el monomo: P(;) = n m + n m + n es de: G.A. = 0; G.R.(Y) =

19 Resolucón Por dto: G.R.() = m + n = m = n... (I) G.A. = 0 (m + n) + (m + n) = 0... (II) Reemplzndo (I) en (II); obtenemos: ( n) + n = 0 n = n = 0. = n. Reemplzmos el vlor de n = ; en (I) m = () m =. m + n = + =. Rpt. B. Sendo F() = 8 Determnr: F(98) G.A. = 0; G.R.(Y) = A) 08 B) 0 C) 98 D) 00 E) 000 Resolucón Aplcndo:. (A - B) = A AB + B. Obtenemos: F() =. 8 F() = F() = + de est epresón, clculmos: F(98) = 98 + = 00. F(98) = 00. Rpt. D. S f() es un polnomo de prmer grdo tl que verfque: ) f(0) = ) f( ) = Según ello determne f() A) B) C) D) E) 7 Resolucón Como f() es un polnomo de prmer grdo Será de l form: f() = + b Luego: f(0) = (0) + b. = b. f( ) = ( ) + b = + b = +. =.

20 De l epresón: f() = + b f() = + Clculmos: f() = () +. f() = 7. Rpt. E. S: P(;) = m + m n +. n +.. Tene el grdo reltvo en 7, en 9, hllr el grdo bsoluto del polnomo. A) 7 B) C) 9 D) E) Resolucón G.R.() = 7 m + = 7. m =. G.R.() = 9 n + = 9. n = 7. Del polnomo: P(;) = m + m n +. n +. Luego el grdo bsoluto del polnomo es:. m + n = + 7 =. Rpt. B 7. 7 S el grdo de A es 8 el grdo de B es. Clculr el grdo de: A. B A) B) C) D) E) Resolucón Grdo de A = 8 Grdo de (A ) = 8 = Grdo de B = Grdo de (B ) = = Cundo ls epresones se multplcn los grdos se sumn: Grdo (A B ) = + = 8 Grdo (A B ) = 8 Cundo l epresón está fectd por un rdcl el grdo se dvde por el índce rdcl Grdo 7 8 A B 7. Grdo 7 A.B. Rpt. C 8. Indcr el grdo reltvo de en el polnomo homogéneo: A) B) C) D) E) 7 Resolucón Como el polnomo es homogéneo, el grdo de cd monomo debe ser gul, o se: n + = n + = m

21 ) n + = n + n n + = 0 (n ) = 0. n =. ) n + = m () + = m = m. m = 0. Luego, clculmos el grdo reltvo de G.R.() = m = 0 =. G.R.() =. Rpt. D 9. Determnr m s el sguente polnomo es homogéneo P(;) = m +. n + +. b + m. n + A) B) C) D) E) Resolucón Como el polnomo: P(;) = m +. n + +. b + m. n + Es homogéneo: m + + n + = + b = m + n + m + n + = + b = m + n + ) m + n + = m + n +. = m. Rpt. B 0. S el polnomo P(;) es déntcmente nulo, hllr P(;) = (9 n) + m + A) B) C) D) E) Resolucón En prmer lugr grupmos los térmnos semejntes de l mner sguente: P(;) = (9 n) + m + P(;) = (9 n + ) + (m ) P(;) = ( - n) + (m ) Pr que este polnomo: P(;) = m +. n + +. b + m. n + Se déntcmente nulo, debe cumplrse que: ) ( n) = 0. = n. ) m = 0. m =. / Luego:

22 .. Rpt. E. Hllr A + B + C en l dentdd: A + B C + B = + A) / B) / C) 8 D) / E) / Resolucón Agrupmos los témnos de mner l sguente: (A + B ) C + B = + (A + B) C + B = + Identfcndo: ).. ) C =. C = -. ). B =. Luego: A +B + C = + ( ).. Rpt. C TU ERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO Y AMBOS SOMOS HIJOS DE UN ÚNICO ESPÍRITU SANTO; SOMOS IGUALES Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA TIERRA. ERES MI COMPAÑERO EN EL SENDERO DE LA VIDA Y MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA VERDAD OCULTA. ERES HUMANO Y ESTO BASTA PARA QUE TE AME COMO HERMANO... PROBLEMAS PARA LA CLASE. Sen: R(,) = H(,) = 0 + Térmnos semejntes; hllr + b Rpt.. S el coefcente prncpl de: P() = + ( + ) + + Es cnco, clculr su térmno ndependente.. S P() = Hllr P() Rpt.. Se P() = ( + ) + +, un polnomo cúbco, clculr su coefcente prncpl Rpt. Rpt.

23 . Se: P() = + + +, un polnomo de er grdo, clculr P() Rpt. 7. Se: P() = + b + c; c 0 Además P() = 0, hllr. Rpt.. Sen: P() = Q() = + S P Q tenen el msmo coefcente, clculr el eponente en Q 8. Se: P() = + b ; 0 Además P() =, clculr: + b Rpt. Rpt. 9. S Q() = + Q() = b Clculr b Rpt..Se P() = +, P() =. Hllr el térmno ndependente de P() Rpt. 0.S f() = Rpt., hllr. Se P() = +, Hllr P( ) Rpt.. S R() = +, R(n) =. Hllr n Rpt..S P( + ) = +, Hllr P() Rpt..Se P() = Hllr P(0) + P() Rpt. ME PREGUNTAS QUÉ ES DIOS? NO SÉ QUÉ DECIRTE; LO QUE SI PUEDO AFIRMAR ES QUE SIEMPRE SERÁ MUCHO MÁS DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANA PUEDE OFRECERTE. PROBLEMAS PARA LA CASA

24 . Sen: P(,) = m Q(,) = 0 n+, Hllr m + n, S son térmnos semejntes A) B) C) 7 D) 8 E). Sen: A() = K B() = k+ S A B tenen el msmo coefcente, clculr el eponente de en B A) B) 7 C) 8 D) E). S el coefcente prncpl de: Q() = + (k + ) + + k, es, clculr su térmno ndependente: A) 8 B) C) D) E). Se: R() = n + n + + n, un polnomo de er grdo, clculr P() A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 70. S Q()= Hllr Q() A) B) C) D) E). Se: R() = (K + ) K + + Un polnomo de to grdo, hllr el coefcente del térmno prncpl. A) B) C) D) 8 E) 9 CUALQUIER COSA QUE VALGA LA PENA HACERSE BIEN, VALE LA PENA HACERLA DESPACIO. 7. Se: P() = + b + c + d Además P() = 0, Hllr A) 0 B) C) D) E) 8. S P() = + b, 0 9. Se P() = +, hllr P(+) A) - B) + C) + D) E) 0. S P(+) = +, Hllr P() A) + B) + C) D) E) demás P() =, Clculr A) B) C) 7 D) 8 E) 8 CLAVES. C. C. D. C. C. D 7. C 8. E 9. C 0. C

25 TEMA: PRODUCTOS NOTABLES CONCEPTO Son los resultdos de cert multplccones ndcds que se obtenen en form drect. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES. Bnomo Sum o Dferenc l Cudrdo (T.C.P.). ( b) = b + b. Identddes de Legendre ( + b) + ( b) = ( + b ) ( + b) ( b) = b ( + b) ( b) = 8b ( + b ) Ejemplos: ( + ) ( ) =. = Dferenc de Cudrdos. b = ( + b) ( b). Ejemplos: ( + ) ( ) =. Bnomo l Cubo.... Ejemplo: ( + ) = ( + ) = ( + ) =. Producto de Bnomos con Térmno Común. ( + )(+ b) = + ( + b) + b.

26 EJEMPLOS DE APLICACIÓN Smplfcr:.. Smplfcr: N = ( + b) ( b) + b. S + b =, Smplfcr:. Smplfcr N b b b PROBLEMAS PARA LA CLASE. Smplfcr:. Sbendo que: ( + ) =, Clculr + Rpt.

27 Rpt.. Reducr: P b b b 7. S ( + b) ( b) = 0: b 0. clculr Rpt. Rpt.. Smplfcr: Rpt. 8. S ( + + ) ( + ) =, clculr ( + ) Rpt.. S: + b = b =, hllr + b Rpt. 9. S + b = b =, hllr + b Rpt.. S Rpt., hllr 0. S: b = b =, Hllr b Rpt.. Smplfcr: 0 8. Reducr ( + ) ( ) + ( + ) + ( + ) ( + ) Rpt. Rpt.. Reducr: P = ( + ) ( + ) 8 Rpt.. SI, hllr Rpt.. S: ª + = 0, clculr: + Rpt.

28 PROBLEMAS PARA LA CASA. Smplfcr:. S:, Hllr A) B) C) D) t E) A) B) C) D) E). Reducr:. Sbendo que: ( + ) =, hllr + A) B) C) D) E) A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0. Smplfcr: S ( + b) ( b) = 0, b 0, clculr A) 0 B) C) D) 8 E) A) B) C) 9 D) E). S: + =. =, Hllr + 8. S ( + b) = b = 8, hllr + b A) B) C) D) E) 9. S ( + b + ) ( + b ) =, hllr ( + b) A) B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 A) B) 7 C) D) E) 08 0.S = Smplfcr: A) B) C) D) / E) CLAVES. A. A. B. C. C. C 7. C 8. B 9. E 0. E

29 EL ÉXITO CONSISTE EN UNA SERIE DE PEQUEÑOS ESFUERZOS DIARIOS. TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Pr dvdr polnomo entre un monomo, se dvde cd uno de los térmnos del polnomo seprdmente entre el monomo dvsor: Ejemplo: = + DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS Pr dvdr dos polnomos tenemos l sguente regl práctc:. Se ordenn el dvdendo el dvsor según l msm letr, dejndo espcos pr los térmnos que fltsen.. Se dvde el prmer térmno del dvdendo entre el prmer térmno del dvsor pr obtener el prmer térmno del cocente.. Se multplc el prmer térmno del cocente por todo el dvsor el producto se rest del dvdendo. Pr ello se coloc cd térmno de este producto debjo de su semejnte cmbndo de sgno.. Se dvde el prmer térmno del resduo, entre el prmero térmno del dvsor, pr obtener el segundo térmno del cocente.. Este segundo térmno se multplc por todo el dvsor este producto se rest del resduo nteror.. Se dvde el prmer térmno del segundo resduo, entre el prmer térmno del dvsor pr obtener el tercer térmno del cocente. 7. Se contnú nálogmente los psos nterores hst que el resduo se un polnomo de menor grdo que el dvsor. Ejemplo: Dvdr 7 + entre + Resolucón: Ordenndo en sentdo decrecente completndo ente + Serí:

30 El cocente es + el resduo es cero Ejemplo: Dvdr Cocente Q() = _ Cocente R() = _ MÉTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIÓN Coefcentes Seprdos En l dvsón de polnomos de un sol vrble podemos prescndr de l prte lterl. Ejemplo: Dvdr entre Q() = + R() = Ejemplo: Dvdr: + + entre +

31 Cocente Q() = _ Cocente R() = _ Método de Horner Prmermente se trzn dos rects que se ntersecten, un vertcl otr horzontl. Encm de l rect horzontl l derech de l vertcl se colocn los coefcentes del dvdendo con su propo sgno. Encm de l vertcl zquerd se coloc el prmer coefcente del dvsor con su propo sgno en ese msmo sto debjo de l horzontl se coloc el resto de coefcentes del dvsor con el sgno cmbdo. Ejemplo: Dvdr: + + entre + Pr comenzr dvdr se trz otr r vertcl entre los coefcentes del dvdendo, el número de columns contr de derech zquerd es gul l grdo del dvsor, ést r servrá pr seprr el cocente del resduo. Además se trz otr rect horzontl pr colocr debjo de ell l respuest. En el ejemplo: Pr empezr dvdr. Se dvde el prmer térmno del dvdendo entre el número encerrdo en un círculo el resultdo se coloc debjo de l segund r horzontl se multplc por cd uno de los número que estén l zquerd, de l r vertcl debjo de l rect horzontl, colocndo los productos debjo de los números que le sguen l prmero.. Se sum l sguente column, el resultdo se dvde entre el número encerrdo en un crcunferenc se coloc como resultdo debjo de l r horzontl, se procede gul que en el pso nteror.. L opercón se relz hst completr el resultdo correspondente tods ls columns, después de l d r vertcl, luego de es r l sum de ls columns no se dvde entre el número encerrdo en l crcunferenc.

32 LA DESGRACIA ABRE EL ALMA A UNA LUZ QUE LA PROSPERIDAD NO VE. Ejemplo: Dvdr entre + + Q( ) = R() = Método de Ruffn Este método es plcble dvsores de l form: ( l form ( n b). ) con certs restrccones dvsores de. Dvsor de l form ( ) Pr dvdr por el Método de Ruffn, se trzn dos rs que se ntersectn, un vertcl otr horzontl. Encm de l r horzontl l derech de l vertcl se colocn los coefcentes del dvdendo con su propo sgno encm de l r horzontl l zquerd de l vertcl se coloc el vlor de que nul l dvsor. Ejemplo: Dvdr: + entre Pr comenzr dvdr se procede de l sguente mner:

33 Q() = + R() = Ejemplo: Dvdr 8 + entre Q() = _ R() = _ TEOREMA DEL RESTO Este método se emple pr clculr el resduo en form drect, sn necesdd de efectur l dvsón. Se emple cundo el dvsor es de l form b o trnsformble ell. Procedmento:. Se gul l el dvsor cero encontrándose un vlor de l vrble.. El vlor encontrdo se Reemplz en el polnomo dvdendo obtenéndose un resultdo el cul será el resduo Ejemplo: Clculr el resduo del dvsor: + 7 entre Igulmos el dvsor cero = 0. =. Este vlor de se reemplz en el dvdendo + 7 Resduo (R)= () () + 7 = = = Ejemplo: Clculr el resduo de dvdr: entre Igulmos el dvsor cero = 0. =. Reemplzndo Resduo (R) = _

34 NO SE MIDE EL AMOR POR EL NÚMERO DE CARICIAS, SINO POR LA FRECUENCIA CON QUE UNO Y EL OTRO SE COMPRENDEN PROBLEMAS PARA LA CLASE. Indcr el resduo de l sguente dvsón 7 Rpt.. Clculr n, s el resto de l dvsón es Rpt.. Efectur l sguente dvsón Indcr el resduo Rpt.. Al dvdr entre +, el resduo es: Rpt.. Indcr el térmno ndependente del resto de l sguente dvsón Rpt. 7. Hllr el cocente en: Rpt.. Indcr l sum de coefcentes del cocente luego de efectur: Rpt El cocente de l sguente dvsón: + entre + es: Rpt. 8. Cul es el vlor que deberá tener K pr que l dvdr + K entre, el resduo se cero Rpt.. Hllr el cocente plcndo Horner Rpt Hllr el resduo en. Hllr el cocente plcndo Ruffn + 8 entre +

35 Rpt. Rpt.. Hllr el cocente en: 8 Rpt. 7. Hllr el cocente plcndo Horner entre + Rpt.. Hllr el coefcente del térmno cudrátco en: Rpt. 7 PROBLEMAS PARA LA CASA. Indcr el resduo en l sguente dvsón: A) B) C) 0 D) E). Clculr l sum de coefcentes del cocente, después de efectur. 8 A) B) C) D) E) 7. Efectur l sguente dvsón: E ndcr el cocente A) + B) C) + D) + E). Clculr n s el resto de l dvsón es cero 8 A) B) C) D) E). Indcr el térmno ndependente del resto en l sguente dvsón Al dvdr: 7 El resduo es: A) B) C) D) E) 0 A) B) X + C) D) E) + 7. Hllr el cocente en: 9. Dvdr usndo Ruffn + 8 entre

36 0 A) + B) C) + D) E) e ndcr el térmno ndependente del cocente A) B) C) D) 9 E) 8. Dvdr usndo Horner e ndcr l sum de coefcentes del cocente A) 0 B) C) D) E) 0. Dvdr usndo Horner 8 7 e ndcr el coefcente del térmno cúbco A) 0 B) C) D) E) CLAVES. C. B. D. D. E. A 7. D 8. B 9. C 0. B

37 TEMA: COCIENTES NOTABLES CONCEPTO Son certos cocentes que se escrben por smple nspeccón, sujetándose regls fjs sn relzr l dvsón.. Cocente de l dferenc de cudrdos entre l sum o dferenc e los msmos.... Ejemplos:.. 8 = _ 9.. = _.. = _. Cocente del sum o dferenc de cubos entre l sum o dferenc de los msmos.... Ejemplos: 8.. = _.. = _ = _ En generl: los cocentes notbles son de form Se presentn csos: er cso.. Ejemplos:

38 .. = _ do cso. n n n n n n n.... Ejemplos:.. = _ do cso. n n n n n n n Ejemplos:.. = _ er cso Se cumple sólo s n es mpr Ejemplos: = _ En generl Se: n n. n n.

39 El número de térmnos es El térmno de lugr K es: T k = n K. K Pr que un epresón de l form Se cocente notble nte todo deberá cumplrse que: NO VAYAS DELANTE DE MI, NO TE SEGUIRÉ, NI ME SIGAS, NO TE GUIARÉ; SOLO CAMINA A MI LADO Y SEAMOS AMIGOS. PROBLEMAS PARA LA CLASE. Efectur hllr l sum de coefcentes del resultdo. Desrrollr Rpt. Rpt.. S:. Clculr el tercer térmno de: 8 Rpt., es C.. Hllr m Rpt.. Clculr el segundo térmno de 7 Rpt. 7. Hllr el térmno de lugr en 8 8 Rpt.. Desrrollr 8. Hllr el térmno de lugr en

40 E Rpt. Rpt. 9. Hllr el vlor de n pr que: Notble Rpt. se Cocente.Cul es el qunto térmno del desrrollo de: Rpt. 0. Hllr el vlor de P pr que: Rpt., se C.N. Cuál es l sum de coefcentes del desrrollo del cocente: 7 Rpt.. Efectur: e ndcr el curto térmno. Hllr el térmno centrl del desrrollo Rpt.. Cul es el tercer térmno en el cocente 0 Rpt. Rpt. PROBLEMAS PARA LA CASA. Hllr l sum de coefcentes del desrrollo de: 0 A) 0 B) C) D) E). Desrrollr dr el vlor numérco del tercer térmno pr = del sguente Cocente Notble A) 0 B) C) 0 D) E) 0. Clculr el curto térmno del desrrollo de:. S: 9 9, es un Cocente

41 A) B) C) D) E) Notble, hllr n A) B) C) D) E). Clculr el qunto tercer térmno del desrrollo de: 8 8. Hllr el térmno de lugr 7 en A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 0 7. Hllr el térmno de lugr 0 en A). 8 B). 9 C). 9 D). 0 E) Hllr el vlor de K pr que, se C.N. A) B), C) D) m E) 9. Hllr el V.N. del qunto térmno del desrrollo de 9 = 9, pr que =, A) B) 0 C) 8 D) E) 8 0. Hllr el térmno centrl de A) 9 8 B) 8 9 C) 7 7 D) 9 9 E) 8 8 CLAVES. B. C. B. C. C. C 7. C 8. C 9. C 0. D TEMA: FACTORIZACIÓN (I)

42 CONCEPTO L Fctorzcón es un procedmento mednte el cul un polnomo se epres como producto de sus fctores. Ejemplo:. + b = ( + b). 9 = (7 + ) (7 ). m + m + 9 = (m + ) (m + ) = (m + ) POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLE Un polnomo P() es prmo o rreducble cundo no se puede descomponer en un producto de polnomos de grdo postvo menor que el grdo de P(). en cso contrro se dce que el polnomo es compuesto o reducble o no prmo. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN. Fctor Común Monomo Se determn el MCD de los coefcentes se tom l vrble común con el menor eponente. Ejemplos:. Fctorzr:. Fctorzr Hllmos el M.C.D. de - M.C.D. (,) = El menor eponente de es el fctor común es Luego ( ). Fctorzr: +. Fctor Común Polnomo El fctor común es un polnomo. Ejemplo: ( ) + 0b ( ) Se procede de gul form que en el cos nteror M.C.D.(0) = Fctorzndo tenemos ( ) ( + b )

43 POR EL BRILLO DE LOS OJOS, DESDE EL COMIENZO DE LOS TIEMPOS, LAS PERSONAS RECONOCEN A SU VERDADERO AMOR. PROBLEMAS PARA LA CLASE. Fctorzr: Rpt.. Fctorzr: Rpt.. El fctor común de es: Rpt. 7. Fctorzr: b + ( + b) Rpt.. Fctorzr + 8 Rpt. 8. S: = m =. Hllr m + m Rpt.. Fctorzr: Rpt. 9. Fctorzr: + ( ) Rpt.. Al fctorzr z + 0z + z + z, se obtene: Rpt. 0. Fctorzr ( + b) ( + b) b Rpt.. Fctorzr: ( b + c) + ( b - c) + b c Rpt.. Fctorzr: + Rpt.. Fctorzr: Rpt.. Fctorzr: + n Rpt.

44 . Fctorzr: n m 8n m 7 Rpt. PROBLEMAS PARA LA CASA. En l epresón 7 + El fctor común es: A) B) 7 C) 7 D) E) 7. Después de fctorzr (+) (+) + (+) (+) Uno de los fctores es: A) 7 B) 7+ C) 7+ D) 7 E) 7+. En l sguente epresón n + m + m n, l fctorzr, el fctor común es A) m. n B) m n C) mn D) m. n E) m n. S b = m =, hllr el vlor de m mb A) 0 B) 0 C) 0 D) E). S fctorzmos 9 8 el fctor que no es monomo es: 7. S p + q =, + =, hllr el vlor de (p + q) + (p + q) A) 9 B) 9 C) 9 D) + 9 E) 9 A) B) C) 8 D) E) 9. Uno de los fctores de: (+b) (+b) ( b) (b-), es: A) + b + B) + b + C) b + D) +b E) b 8. S: m + n = ; b =, hllr el vlor de: (m + n) (m + n)b A) 0 B) C) 8 D) E) 9. S: + = ; p + q =, hllr el vlor de: (p + q) + (p + q) A) 0 B) C) 7 D) 9 E) 0. Fctorzr ( + b ) ( + ) + ( + b ) ( ) + ( + b ) ( ) Uno de los fctores es: A) ( + b) B) ( + b) C) ( + b) D) ( + b ) E) ( b )

45 CLAVES. C. B. D. C.. B 7. C 8. C 9. B 0. D ÍNDICE PÁG. EXPRESIONES ALGEBRAICAS... 7 TEORÍA DE EXPONENTES... 0 POLINOMIOS... 0 PRODUCTOS NOTABLES... 7 DIVISIÓN ALGEBRAICA... TEOREMA DEL RESTO... 8 COCIENTES NOTABLES... FACTORIZACIÓN (I)... 7

46 TEMA: FACTORIZACION II Método de Agrupcón Se us este método cundo el polnomo posee un fctor común de ms térmnos por lo generl se encuentrn luego de grupr. Ejemplos:. + b + + b grupndo (+b) + (+b) fctor común Fctorzndo: (+b)(+) ( + ) + + Fctor común Fctorzndo: ( + )( + ) ) + z + z +

47 + z + z + = ( + z ) + (z + ) = ( + z )( + ) Método de ls Identddes ) Trnomo Cudrdo Perfecto + b +b = ( + b) - b +b = ( - b) Ejemplo:. Fctorzr Ríz ()() = ( + ) Doble producto S es T.C.P. b) Dferenc de Cudrdos b = ( + b)( -b) Ejemplo:

48 . Fctorzr - b Ríz b b = ( + b)( b) Método del Asp Smple Se utlz pr fctorzr polnomos de l form: + b + c Ejemplo:. Fctorzr: + + Método del Asp Doble: Se utlz pr fctorzr polnomos de l form: + b + c + d + e + f

49 Ejemplo: Fctorzr Luego: Fctorzndo ( + +)( + + ) = ( + +)

50 PROBLEMAS PARA LA CLASE 0) Señlr un fctor de: 0) Señle uno de los fctores de: + + b + b + z + w - - z w 0) Señle un fctor de: 0) Después de fctorzr. ( + )( - ) + b( + ) Señle un fctor. b + b + c c 0) Fctorzr: + fctor. señl un 07) Después de fctorzr. n + m + n b + m b El fctor de do grdo es: 0) Fctorzr señle uno de los fctores de: z q + bz bq 08) Fctorzr: + + 9

51 09) Fctorzr: Fctorzr: + b + b Q = 00 8 z 0) Fctorzr: P = + + ) Fctorzr; e ndcr l sum de los fctores prmos: N = + ) Fctorzr: Q = + + e ndcr el fctor prmo de menos térmnos. ) Fctorzr hllr l sum de los fctores de: N = z ) Fctorzr e ndcr uno de los fctores de: M = + 8 ) Fctorzr e ndcr uno de los fctores de: P = + 0

52 ) fctorzr e ndcr l sum de los fctores de: N = + 0 7) Fctorzr; e ndcr uno de los fctores de : Q = ) Fctorzr, e ndcr l sum de sus fctores de: N = ) Fctorzr usndo el método del sp doble. N = señl un fctor.

53 PROBLEMAS PARA LA CASA 0) Señle un fctor de: + wz w + z P = + b - b ) ( + w) b) (w - ) ) b b) + c) ( + z) d) ( - z) c) + b d) e) (z - ) e) 0) Señlr uno de los 0) Señle un fctor de: fctores de: m p + n + m p + n ( + )( -) + ( + ) ) (m - n + p) b) (m n - p) ) ( + ) b) ( - ) c) (m + n - p) d) ( - ) c) ( - ) d) ( + ) e) (m + n) e) 0) Después de fctorzr. 0) Señlr un fctor de: señlr fctores: uno de los n + n + + b + b c + c ) (n - ) b) ( - ) c) ( + ) d) e) ) ( + ) b) ( ) c) ( + b + c) d) ( b - c) e) ( b + c) 0) Fctorzr señlr uno de los fctores de: 07) Después de fctorzr señle el fctor común de do grdo.

54 N = k k + p + p ) ( + ) b) ( ) c) ( - ) d) (p + k ) e) (p k ) 08) Fctorzr: P = ( + b + b ) ) ( + b) b) ( + b) c) ( - b) d) ( - b) e) ( - b) ) Fctorzr e ndcr uno de los fctores de: N = Hllr l sum de sus fctores prmos: ) 0 b) c) d) 8 e) 09) Hllr l dferenc de los fctores mínmos de: N = ) ( + 8) b) ( + ) c) ( - 8) d) ( - ) e) ( - ) ) Indcr l sum de los fctores: N = z ) b) z c) d) e) ) ( + 9) b) ( - 9) c) ( - ) d) ( + ) e) ( - ) 0) Al fctorzr l epresón, uno de los fctores es: ) Indcr uno de los fctores de:

55 N = ) + b) + - c) - d) + 8 e) 8 + ) Después de fctorzr, ndcr l sum de los fctores de. P = ) + b) + - c) - d) - - e) + N = 9 + ) b) c) d) e) 8 ) Fctorzr, e ndcr un fctor

56 TEMA: TEORÍA DE ECUACIONES Consderemos prmero los sguentes conceptos: I) Iguldd (=).- Son dos epresones rtmétcos o lgebrcs, que gozn del msmo vlor. Ejemplos: ) un docen = 0 unddes ) 9 + = ) = 0 II) Identdd ( ).- Es un guldd por s msm evdente. Ejemplos: ) 8 8 ) k k ) III) Ecucón.- Es un guldd de epresones de ls cules un encerr cntddes desconocds (ncógnts), ls cules le corresponden unos vlores condcondos, pero determndos. Por ejemplo: = 0 Ls cntddes desconocds están epresdos por medo de letrs, generlmente ls ultms del lfbeto, como lo son:,, z, etc. Membros de un Ecucón En cd ecucón se dstnguen dos prtes llmds membros de l ecucón, que se encuentrn de uno otro ldo, del sgno de guldd. Prmer membro l zquerd del sgno (=) Segundo membro l derech del sgno (=)

57 Ríz conjunto solucón d un ecucón Es el número o conjunto de números que l reemplzr l vrble de l ecucón, l trnsform en un proposcón verdder. Ejemplo: + = El vlor = es un ríz (l únc), de l ecucón. Luego: + = 0 + = = Proposcón verdder Prncpos Generles de ls ecucones ro Sn lterr ls solucones de un ecucón, se puede ñdr o qutr un msm cntdd sus dos membros. Ejemplo: ) = 7 + = 7 + = ) + = 8 + = 8 = do Sn lterr ls solucones de un ecucón, se puede multplcr o dvdr por un msm cntdd mbos membros.

58 Ejemplo: ) + = ( + ) =. ~ 8 + = ) = 9 9 ~ = Propedd de l Trnsposcón de Térmnos En tod ecucón, lo que est sumndo, restndo, multplcndo dvdendo en un membro, ps prestndo, sumndo, dvdendo multplcndo, respectvmente l otro membro. Así: ) + 8 = entonces: = 8 ) 9 = entonces: = + 9 ) z = 8 entonces: z w ) 8 entonces: w =.

59 Ecucones de Prmer Grdo con un Incógnt l form: Tod ecucón de Prmer Grdo con un ncógnt, puede reducrse + b = 0 *Donde: : ncógnt b : coefcentes ( b R) Despejndo ncógnt "" se tendrá:. = -b Dscusón de l ríz b El vlor de "" es decr, l solucón o ríz de l ecucón, depende de los vlores de b, vemos: ) S: 0 b 0; tendremos: b (l ecucón es Determnd el vlor de "" es únco) ) S: 0 b = 0; tendremos: = 0 (l ecucón es Determnd l ríz es nul) ) S: = 0 b 0; no h solucón (l ecucón es Incomptble o bsurd) ) S: = 0 b = 0; l ecucón es ndetermnd.

60 b) Regl pr resolver ecucones de prmer Grdo con un ncógnt Pr resolver un ecucón de prmer gdo con un ncógnt se puede segur este orden: Se suprme los sgnos de coleccón, s los h. Se reduce l ecucón l común denomndor, s es frcconr. Se reúnen ls ncógnts en el prmer membro los demás en el segundo (trnsposcón de térmnos) Se reúnen los térmnos semejntes, s los h. Se despej l ncógnt, dvdendo mbos membros de l ecucón entre el coefcente de l ncógnt. Se comprueb l ecucón resuelt, reemplzndo l ncógnt por el vlor hlldo, reducéndol un dentdd. Ejemplo : Resolver l ecucón: + = + 7 Resolucón + = 7; trnsponemos térmnos, cmbndo de sgno = 7 ; reducmos térmnos semejntes.

61 ; Despejmos ""; dvdendo los membros entre el coefcente de "" = = 8 (vlor de l ríz) Rpt: El conjunto solucón de l ecucón + = + 7 ; S = { 8 } Ejemplo : Resolver l ecucón: ( - ) = 8 ( ) Resolucón ( - ) = 8 ( ) ; suprmmos los sgnos de grupcón + = 8 + ; trnsponemos térmnos - - = 8 ; reducmos térmnos semejntes - = -0; despejmos "" 0 = (vlor de l ríz) Rpt. El conjunto solucón de l ecucón ( - ) = 8 ( ) : es : S = { }

62 c) Resolucón de Problems utlzndo Ecucones de Prmer grdo con un Incógnt Problem: Problem es l nvestgcón de térmnos desconocdos por medo de los conocdos. Resolver un problem: Quere decr: Hllr el vlor de l ncógnt, hllr un guldd l cul se desrrolld, stsfg l vlor de l ncógnt. Y sí tod clse de ecucón es un epresón ms sencll de un problem dndo por ejemplo l sguente ecucón: + = ; puede ser epresón lgebrc de este problem. Cuál es el numero cuo trple, umentdo en se gul? - Luego el numero desconocdo es "" - Cuo trple es: - Aumentndo en es: + - Es gul ; o se: + = Resolvendo l ecucón: + = ; tenemos que: = = = = = Rpt. El número es

63 Plnteo de un problem: Por plnter un problem se entende comodr todos sus térmnos conocdos desconocdos con respecto l ncógnt, de tl suerte que obteng un ecucón, epresndo felmente el sentdo del problem ddo. Norms pr el plnteo: unque no h regls fjs pr el plnteo de Problems, de donde venen ls dfcultdes pr resolver, ests se supern vencen úncmente con l constnte práctc de múltplos vrdos problems (ejerccos). Con todo se pueden segur ests norms generles: ) Sber determnr ben, cul es l cntdd que se h de consderr como ncógnt del problem. b) Relconr con precsón ests cntddes entre s, con respecto l ncógnt. c) Igulr ls epresones equvlentes, resolvendo l ecucón obtend. Ejemplo: Cuál es el numero cuos umentndo en es gul sus dsmnudo en? Rcocno: El numero buscdo es ""

64 Los del número, umentdo en gul sus dsmnudo en + = - Plnteo ; trnsponemos térmnos = 0 El número buscdo es 0 Clses de problems: Consderndo los vlores que corresponden ls ríces de los problems, estos pueden ser: ) Determndos: cundo tenen un número lmtdo de solucones. b) Indetermndos: cundo tene un número lmtdo de solucones. c) Absurdos: cundo l solucón no stsfg l problem o es mposble hllr su vlor.

65 PROBLEMAS PARA LA CLASE 09) Resolver: 0) Resolver l ecucón: ( ) = 9 ( + ) + = + 7 0) Resolver: + = + 0) Resolver l ecucón: ( + )( + ) ( + ) = 0) Resolver: { + 8- ( + ) } = - + 0) Resolver: 0) Resolver: ( + ) + ( + )=( + ) + ( + ) ) Resolver: ( + ) ( + ) = ( - ) ) Resolver: ( + ) ( + )=( + ) ( - 7) ) Hllr el conjunto solucón de: ( - ) = 8 ( ) 0) Resolver: 7 + = ( - ) ) Resolver: 07) Resolver: 7 ( + ) = ( - ) ) Hllr "" 08) Resolver: ( - ) = + ( - ) ) Hllr "" en:

66 7) Resolver: 8) Resolver: 9) Resolver: 8 0) Resolver: 7

67 PROBLEMAS PARA LA CASA 0) Hllr "" en: 7 ) b) 8 c) 0 d) 0 e) 8 0) Resolver: ( - ) = ( + ) ) b) c) 7 d) 9 e) 0) Resolver: 8 + ( + ) = 7( ) + ( + ) + ) b) c) d) - e) ndetermndo 0) Hllr el vlor de "" en l sguente ecucón: ) / b) / c) / d) / e) 0) Hllr el vlor de "" en: 8 ) 9 b) 8 c) 7 d) e) 0) Hllr "" en: ) 0 b) - c) d) e) 07) Resolver: ( + 7)( - ) = ( - ) ) b) c) d) e) - 08) Resolver: 7 9 Dr como respuest ) b) c) 7 d) e) 09) Hllr el vlor de "" en:

68 9 ) b) c) d) e) 0) Hllr el vlor de: 9 ) b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 ) Resolver: ) Hllr el vlor de "" en: 7 ) - b) - c) - d) - e) - ) Hllr "" en ) / b) / c) / d) / e) 0 ) b) 0 c) d) 0 e) ) Hllr "" 7 7 ) Hllr el vlor de: ) b) c) d) e) 9 ) 0 b) c) d) e)

69 TEMA: MÍNIMO COMÚN NULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) Pr clculr el M.C.D de dos o más epresones, se fctorzn ests el M.C.D estrá formdo por los fctores comunes, elevdos su menor eponente, Ejemplo : Hllr el M.C.D de: b ; 8 b ; 0 b Resolucón: M.C.D = b menor eponente =. = menor eponente = Ejemplo : Hllr el M.C.D de: 7 z ; 9 z ; 0 z 7 Resolucón: M.C.D

70 MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M) Pr clculr el M.C.M de dos o más epresones se fctorzn ests el M.C.M se formrá con los fctores comunes no comunes con su mor eponente. Ejemplo : Hllr el M.C.M de 7 z ; 9 ; 0 z 7 Resolucón M.C.M = 0 z 7 9 mor eponente 7 9 mor eponente mor eponente M.C.M =.. = 0 Ejemplo : Hllr el M.C.M de: 8 bc ; 08 b c ; 8 b c M.C.M = M.C.M =

71 PROBLEMAS PARA LA CLASE 0) Hllr el M.C.D de: b ; b ; b z P( ; ) = Q( ; ) = R( ; ) = 0) Hllr el M.C.D de: P() = + Q() = 9 R() = + 0) Hllr el M.C.D de: A() = ( - ) B() = ( - 8) C() = - 0 0) Hllr el M.C.D de: 08) Hllr el M.C.D de: P() = + Q() = R() = ( + ) 09) Hllr el M.C.D de los sguentes polnomos. N() = M() = O() = 0) Hllr el M.C.D de: P() = + + Q() = R() = + + ; b 0) Hllr el M.C.D de: ) Hllr el M.C.M de: ; ; 0) Hllr el M.C.D de: ; ) Hllr el M.C.M de: ; 07) Hllr el M.C.D de:

72 ) Hllr el M.C.M de: 7) Hllr el M.C.M. de: b ; 8b ; b ) Hllr el M.C.M de: 8 ; b ; 9 ) Hllr el M.C.M de los sguentes polnomos P() = + b + b Q() = b + b R() = - b ) Hllr el M.C.M de los sguentes polnomos: P() = + + Q() = + z R() = + + P() = (7 + ) Q() = (9 ) R() = (9 + ) 8) Hllr el M.C.M de: P = 8 Q = R = + + 9) Hllr el M.C.M de: P() = Q() = + + 0) Hllr el M.C.M de: P() = Q() = +

73 PROBLEMAS PARA LA CASA 0) Hllr el M.C.D de: 0) Hllr el M.C.D de: P = b Q = R = b ) b) c) d) e) P() = ( + ) Q() = ( - ) R() = ( + ) ) - b) + c) + d) - e) + 0) Hllr el M.C.D de: P = Q = R = b ) b) c) d) e) 0) El M.C.D de los sguentes polnomos es: P() = Q() = + R() = ) + b) - c) - d) + e) - 0) El M.C.D de los sguentes monomos es: P( ; ; z) = 8 Q( ; ; z) = R( ; ; z) = ) b) z c) z d) e) 0) Hllr el M.C.D de los sguentes polnomos A() = B() ( + ) C() = ) - b) + c) + d) - e) -

74 07) Hllr el M.C.D de: 0) Hllr el M.C.M de: P() = + b b Q() = + + b + b R() = + c + c P() = ( + ) ( - ) Q() = ( - ) ( + ) ) + b) - c) - c d) + b e) + c 08) Hllr el M.C.M de los sguentes monomos ; ; 8 ) 7 b) 0 c) d) 8 e) 09) Hllr el M.C.M de los sguentes polnomos: P() = - Q() = - 9 R() = - Dr como respuest el V.N. del M.C.M pr = ) 0 b) 80 c) -0 d) 0 e) -0 ) ( + ) ( + ) b) ( + ) ( + ) c) ( + ) ( - ) d) ( + ) ( - ) e) ( + ) ( - ) ) Hllr el M.C.M de: P() = + Q() = - ) + b) - c) + d) - e) ) Hllr el M.C.M de: A() = - B() = + C() = ) ( - ) ( + ) b) ( - )( + ) c) ( + ) d) ( - ) e) ( - )

75 ) Hllr el M.C.M de: ) Hllr el M.C.M de: P() = - Q() = - + R() = + + P() = + + Q() = R() = + + ) ( - ) b) ( + ) c) ( - ) d) ( - ) e) ( + ) ) ( + )( + )( + ) b) ( + )( + ) c) ( + )( + ) d) ( + )( + ) ) Hllr el M.C.M de: e) ( + ) A() = b + + b + B() = + ) ( + )(b + ) b) ( + )(b - ) c) ( - )(b + ) d) ( - ) e) (b - )

76 TEMA: FRACCIONES ALGEBRAICAS Frccón lgebrc.- Es tod epresón de l form: P( Q X ) ( X ) Numerdor Denomndor Smplfccón de Frccones lgebrcs Un frccón lgebrc es reducble (se puede smplfcr) s su numerdor su denomndor se pueden dvdr por un msmo fctor. Ejemplo: 8.. Ejemplo: 7b c bc 7 = Ejemplo: ( ( ) ) Ejemplo: =

77 PROBLEMAS PARA LA CLASE 0) Smplfcr l sguente frccón 0) Hllr el vlor numérco de: P 0 Q 9 0) Al smplfcr l sguente frccón N 7 b c 9 b c 0) Al smplfcr l sguente frccón Pr = - 07) Cul es el vlor de: N Pr = - Q Se obtene: 08) Smplfcr N 8 7 0) Al smplfcr l sguente frccón 09) Smplfcr R 8 Q 8 0) Smplfcr N 9 0) Smplfcr 9 Z

78 ) Sumr ls sguentes frccones N M ) Sumr ls sguentes frccones P Q ) Multplcr ls frccones A B ) Dvdr ls frccones N 0, Entre ) Smplfcr Q 7) Smplfcr R 8) Smplfcr Q 9) Smplfcr N M ) Smplfcr P 0) Smplfcr Q

79 PROBLEMAS PARA LA CASA 0) Smplfcr R ) c) e) b) d) 8 0) Smplfcr l sguente frccón ) - b) c) d) ) c) d) 0) Smplfcr Q ) c) e) 0) Al smplfcr N b) d) b) d) e) Es rreductble 0) L epresón Equvle ) b) c) e) d)

80 0) Al sumr ls frccones lgebrcs P Qued: Q b) + b) c) - d) - e) A) c) e) b) d) 09) Al dvdr ls sguentes frccones lgebrcs 07) Al sumr ls sguentes frccones R 7 M Quedrá: N Entre S 8 7 c) + b) - c) - d) e) 08) Multplcr ls sguentes frccones P Q Quedrá: Quedrá: ) b) c) d) e)

81 0) Smplfcr N Qued: ) - b) - c) - d) e) ) Smplfcr P ) c) e) ) Smplfcr P b) d) ) b) - c) - d) e) ) Smplfcr Q ) + b) - c) d) e) ) Smplfcr N ). b) + c) d) e) ) Smplfcr b P b. b ) c) e) b b) b d) b

82 TEMA: RADICACIÓN Sbemos que l ríz n-esm de ; denotdo por n es el numero r s se cumple que r n = n r r n Clsfccón Consderndo su Nturlez ) Rconles: Son quellos en los cules ls ríces son ects. Ejemplos: ) 9 ) 8 0) Irrconles: Son quellos en los cules ls ríces son nects. Ejemplos: ) 7 ) 0) Reles: Son quells cus ríces son pres los subrdcles son postvos. Ejemplos: ) )

83 0) Imgnros: Son quellos en los cules los índces son números pres cuos subrdcles son negtvos. Ejemplos: ) ) 9 8 Clsfccón Consderndo su Espece ) Homogéneos: Son quellos rdcles que tene el msmo índce. Ejemplos: ) 7 8z 9 ) b b z ) Heterogéneos: Son quellos rdcles que tene dstnto índce Ejemplos: ) b ) ) Semejntes: Dos o ms rdcles son semejntes s tenen el msmo índce l msm prte subrdcl, solo se dferencn por los coefcentes. Ejemplos: ) ) b b m b

84 Introduccón de Fctores dentro del Sgno Rdcl. Pr l ntroducr un fctor bjo un sgno rdcl se escrbe dcho fctor elevdo l potenc gul l índce de l ríz el resultdo se multplc por el rdcndo. Ejemplos: ) b b 8 b ) b b b Reduccón de Rdcles l Común Índce Pr reducr o ms rdcles l índce común, se hll prmero el M. C. M. de los índces, este resultdo es el índce común, luego se dvde este vlor entre el índce de cd rdcl el cocente se multplc por el eponente del subrdcl. Ejemplo: ) Reducr común índce ; ; z Resolucón: El M. C. M. de los índces es 0. Luego: 0 = = = 0 z z 0 8

85 Smplfccón de Rdcles Smplfcr un rdcl es reducrlo su mínm epresón, dvdendo en índce del rdcl los eponentes del subrdcl entre un msmo número por medo del M. D. D. de ellos. Ejemplo: ) Smplfcr el rdcl: Resolucón: 0 El M. C. D. de 0 es. Luego: 0 0

86 PROBLEMAS PARA LA CLASE 0) Efectur: 07) Smplfcr 8 b N = b b 0) Efectur: 08) Smplfcr 8 Q = b 00 b 0) Etrer los fctores fuer 09) Smplfcr del rdcl Q = 8 0) Etrer l ríz 0) Introducr el coefcente en: P = N = 8 ) Introducr dentro del sub rdcl en: 0) Etrer l ríz de: P = Q = b b b b ) Smplfcr 0) Smplfcr N = R =

87 ) Reducr índce común 7) Smplfcr ; ; Dr como respuest el número mor N = b. 8b 8) Smplfcr ) Reducr índce común b ; b ; P = ) Smplfcr 9) Que numero flt en el cudrdto N = ) Indque los rdcles homogéneos en: 0) Que número flt en el cudrdo ; b ; ; 0 ; b ; b

88 PROBLEMAS PARA LA CASA 0) Efectur: 0) Luego de ntroducr los Q 8 8 coefcentes, dentro del sgno del rdcl: ) 9 b) 9 c) 9 d) 9 e) 9 0) Efectur Q Qued ) 8 b) 8 R ) c) e) b) d) c) 8 d) 8 e) 8 8 0) Smplfcr N 0) Después de etrer los fctores fuer del rdcl en. Q ) b) Nos qued: b) ) c) d) c) e) d) e)

89 0) Smplfcr 08) Smplfcr Qued: N N 9 ) b) + c) + d) - e) + ) b) 09) Smplfcr c) d) N 8 ) b) 8 e) 07) Smplfcr c) d) e) 8 P ) b b b b) b b 0) Smplfcr N 0 ) + b) - c) + d) c) b d) b b e) e) b ) Smplfcr N b 8b 0 9 S b b = n

90 ) n B) n c) n d) n e) n ) Smplfcr S N 7 P ) Que numero flt en el cudrdto X ) b) 7 c) 8 d)9 e) 0 ) P b) P c) P d) P e) P ) Que numero flt en el cudrdto ) Smplfcr N ) b) c) d) e) 7 ) b) 7 c) 7 d) 7 e) 7

91 TEMA: TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES No todo rdcl doble podrá trnsformrse un sum o rest de rdcles sencllos, podrá hcerse con quellos que cumpln certs condcones o requstos. Rdcles de l form. Formul Generl A B A B A C A C C A B Ejemplo: Trnsformr rdcles smples: 8 7 Clculmos C: C Luego:

92 PROBLEMAS PARA LA CLASE 0) Trsformr rdcles smples. 9 07) Trsformr : 7 0 0) Trsformr rdcles smples. 7 08) Trsformr : 0) Trsformr : 8 09) Trsformr : 8 0) Trsformr : 0) Trsformr : 9 0) Trsformr : ) Smplfcr : N ) Trsformr : ) Trsformr : 0 7

93 ) Trsformr : 7) Trsformr : ) Trsformr : 8) Trsformr : 0 0 ) Trsformr : ) Trsformr : 9 9) Trsformr : 7 0) Trsformr :

94 PROBLEMAS PARA LA CASA 0) Trnsformr: 0) Smplfcr: 9 P 9 ) b) c) d) e) ) b) c) 0 d) e) 0) Smplfcr: N 7 ) b) c) d) e) 0) Smplfcr: P 7 ) b) c) d) - e) 0) Smplfcr: 0) Smplfcr: N 8 ) B) c) d) e) 0 Q ) b) c) d) e) 0 8

95 07) Smplfcr: Q 8 ) - b) - c) - d) 0 e) - ) Smplfcr: Q 7 7 ) b) c) d) 0 e) 08) Smplfcr: Q 7 0 ) b) c) d) e) 09) Smplfcr: Ñ ) b) c) d) 7 e) 0) Smplfcr: S ) Smplfcr: Q ) b) c) d) e) ) Smplfcr: N ) b) c) d) e) ) - b) 0 c) d) e) ) Smplfcr: Q ) Smplfcr: Q 9 ) 9 b) c) 0 d) e) ) b) c) d) 7 e)

96 TEMA: RACIONALIZACIÓN Denomnmos frccón rrconl, quells que tenen en el denomndor uno o ms rdcles. Rconlzr un frccón es trsformrl en otr equvlente, elmnndo los rdcles del denomndor. Fctor Rconlznte (F. R). es otr epresón rrconl que multplcd por el numerdor denomndor de un frccón permte que uno de estos (El denomndor) se trnsforme en un epresón rconl. Ejemplo: Ddo 7 El fctor rconlznte es, luego: 7 7 Csos que se presentn: A) Que el denomndor teng un solo térmno. ) Cundo el denomndor es un ríz cudrd bst multplcr los dos térmnos de l frccón por dch ríz. Ejemplo:

97 ) Cundo el denomndor present rdcles de culquer índce con rdcndos monomos, el fctor rconlznte estrá epresdo por otro rdcl de gul índce pero cuo rdcndo, tendrá los msmos fctores, cuos eponentes se determnn restndo el índce de l ríz con el eponente orgnl Ejemplo: Rconlzr: Hllmos el fctor rconlznte de l sguente mner: F.. R Luego:.

98 PROBLEMAS PARA LA CLASE 0) Rconlzr: 0) Rconlzr: 9 0) Rconlzr: 0) Rconlzr: 0) Rconlzr: 07) Rconlzr: 08) Rconlzr: 09) Rconlzr: 0) Rconlzr: 0) Rconlzr: b

99 ) Rconlzr: ) Rconlzr: ) Rconlzr: ) Rconlzr: 7) Rconlzr: 0 8) Rconlzr: ) Rconlzr: ) Rconlzr: 9) Rconlzr: 0) Rconlzr:

100 PROBLEMAS PARA LA CASA 0) Efectur: 0) Smplfcr: N N ) b) c) d) e) 0) Smplfcr: P 9 ) b) c) d) e) 0) Smplfcr: Q 9 8 ) b) 0 c) - d) 8 e) ) b) 0 8 c) 0 d) e) 0) Smplfcr: M. ) b) d) c) e) 0) Smplfcr: Q ) c) B) d) e)

101 07) Smplfcr: N c) d) e) ) b) 0) Smplfcr: c) d) 0 e) Z ) Smplfcr: N ) 7 b) 7 c) 7 d) 7 e) 7 ) b) c) d) e) ) Smplfcr: Q 8 8 ) 7 b) 09) Smplfcr: c) d) 8 Q e) ) b)

102 ) Smplfcr: Z c) d) ) b) e) d) c) e) ) Smplfcr: Q 7 8 ) Smplfcr: R 7 7 ) 9 b) 0 c) d) e) ) Smplfcr: ) 7 b) 7 c) 7 d) 7 e) N ) b)

103 PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS FACTORIZACION II 0) Fctorzr: e ndc l sum de los T.I. de cd uno de sus fctores. ) b) c) 8 d) 0 e) 0) Fctorzr l epresón: N b e ndcr l sum de sus fctores. ) ( +b) b) c c) ( + c) d) (b + d) e) + c c c) d) 9 e) 0 0) Fctorzr l sguente epresón: N 7 7b e ndcr un fctor ) 7 b) +b c) b + d) e) b 0) Fctorzr: c 0c e ndcr l sum de sus fctores. 0) Fctorzr e ndcr l dferenc de los fctores de: ) + c b) + c c) - c d) + c e) c Q 9 ) b) +

104 0) Fctorzr e ndcr l sum de sus fctores: ) - b) - c) - d) -8 e) -9 ) + b) c) + d) - e) + 07) Fctorzr: 09) Indc l sum de los térmnos ndependentes de cd uno de los fctores de: e ndcr l sum de los coefcentes de de cd fctor ) b) 7 c) 8 d) e) ) b) c) 7 d) 8 e) 9 0) Fctorzr: e ndcr el fctor bnomo. ) ( + ) b) ( - ) 08) Fctorzr c) ( + ) d) ( - ) e) ( + ) e ndcr l sum de los coefcentes de de cd uno de sus fctores.

105 PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS TEORÍA DE ECUACIONES 0) Hllr en: 0) Resolver: 7 ) b) c) d) 7 e) 8 0) Resolver: ) c) b) d) 7 e) ) b), c) d) 0) Resolver: e) 0) Resolver 8 ) 0 b) 0 ) - b) -0 c) - d) c) 7 0 d) e) e) 0) Resolver:

106 09) Resolver: ) b) c) d) 9 e) 0 0 ) - b) - c) -7 d) -8 07) Resolver: e) -9 0) Resolver: ) c) e) 7 b) 9 d) ) b) c) 7 d) 8 e) 9 08) Resolver: w w w 8 ) b) 7 c) 9 d) e)

107 PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS M.C.M. M.C.D. 0) Hllr el M.C.D de: P Q ) b) c) d) e) M N R S 0 ) ( - ) b) ( +) c) ( -) d) ( + ) e) ( - ) 0) Hllr el M.C.D de: 0) Hllr el M.C.D de: A B A B C ) ( - ) b) ( +) c) ( + ) d) ( + ) e) ( - ) 0) Hllr el M.C.D de: ) ( - ) ( - ) b) ( + ) ( - ) c) ( + ) ( + ) d) ( + ) e) ( - )