Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12

Transcripción

1 C u r s o : Matemática Material N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una epresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos eponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una epresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. EJEMPLOS. Si a -, b - y c 4, entonces ab a : c 0 6,5 -,5-6 E) -0. y + z 4 + 4y z y z - y + z - + y + z + y + z E) - + y + z +

2 . a b ab 4 a b + ab 4 ab + a b 4 a4 b + a4 b 4 ab a b 4 a b + ab E) - 4 ab + a b 4. -[a {-b ( c)} b] -a + c + -a c -a + c -a + b + c + E) -a b + c 5. 0,a + [(,4a,5) (,a 0,7)] + 0,,a,6,a 8,4 -,a +,6,a +,6 E) -,a, y { [ (y ) ] y} 5 + 5y 5 + y y 7 5y E) 5 y

3 OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir: a (b c) (a b) c MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir: a(b + c + d) ab + ac + ad POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. EJEMPLOS. Si A y B 5 7 4, entonces -(A E) Al restar la epresión -( a) de -(-a), se obtiene - -a + -a E) a

4 . José tiene 5a b estampillas. Le regala a su hermano Miguel a b y a su hermana Cristina a + b. Con cuántas estampillas quedó José? 9a b 7a b a b a b E) a b 4. y z 5 5 y 4 (- yz- ) -5 - y 4 z - -5 y -4 z y 4 z - -5 y 4 z - E) 5 y 4 z - 5. (-ab)(a b ab ) -a b 6a b 4 a b + 6a b 4 -a b 6a b 6 -a b + 6a b 4 E) a b + 6a b 6 6. (a ) (a n + a n + + a n + ) -a n + a n + a n + a n a n a n a n + a n + E) a n a n + 4

5 PRODUCTOS NOTABLES CUADRADO DE BINOMIO El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo. (a + b) a + ab + b (a - b) a ab + b EJEMPLOS. ( + ) E) + +. (5 ) E). Si A + 64 (, entonces los valores de A y B, respectivamente, pueden ser -6 y 64 6 y y 8 8 y 6 E) 8 y 5

6 4. Cuál(es) de las siguientes epresiones es (son) equivalente(s) con ( )? I) ( ) II) 4 9 III) [- (-)] Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I y III E) I, II y III 5. 5 ( + 0y) E) y y y + y ( y + 9y ) y + y Si 9 (0 a) 0 0 b + c, entonces cuál de las siguientes opciones es verdadera? a > b > c b > a > c c > a > b a b > c E) a b c 6

7 SUMA POR DIFERENCIA El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. ( + y)( y) y BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más el producto de los términos no comunes. ( + a) ( + b) + (a + b) + ab EJEMPLOS. ( ) ( + ) - E) +. Si (000 + a)(000 a), entonces a E) ±4. En el cuadrado ABCD de lado (fig. ), EF // AB y MN // BC. Si > 8, entonces la diferencia positiva de las regiones no achuradas equivale a D M 4 C ( 4) ( 4) 4 E) 4 ( + 4) E F 4 fig. A N B 7

8 E) ( 5) ( + ) E) 6. (z + ) z 4z + z z + z 4z + z 4z + z + E) 4z 7. Si a , b 00 y c 99 0, cuál de las siguientes opciones es verdadera? c > a > b c > b > a a > c > b b > c > a E) a > b c 8

9 FACTORIZACIÓN FACTORIZAR Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores. FACTOR COMÚN ab + ac a (b + c) DIFERENCIA DE CUADRADOS: a - b (a + b) (a - b) EJEMPLOS. Cuál(es) de las siguientes epresiones es (son) equivalentes al binomio a b? Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II E) I, II y III I) -(-a + b) II) -(b a) III) -(-a b). Al factorizar y 8 y 6y se obtiene ( y 8y 6y ) -6 6 y 6 y( 4y y ) y (y 8y 8 ) E) y( 6y y). La factorización de la epresión (a + b) + (a + b) es (a + b) (a + b + ) (a + b ) (a + b) [(a + b)] (a b) (a b ) E) (a b) (a b + ) 4. Al factorizar (a + b) + 9a b se obtiene (a + b) (a b) (a + b) (a b) (a + b) (a b) a (a + b) E) 6a (a + b) 9

10 5. Al factorizar 6 9y se obtiene (4 y) (4 y) (8 + y) (8 y) y(6 9y) (4 y) E) (4 + y) (4 y) E) ninguno de los valores anteriores E) (5 + y) ( 7y) + 9y 6 45y (8 + 5y)( + 9y) (8 5y)( + 9y) E) (8 5y)( 9y) 0

11 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: a + ab + b (a + b) TRINOMIO DE LA FORMA: + p + q ( + a) ( + b) con p a + b, q ab EJEMPLOS. y + 6 y 4 + y 5 y ( + 4y) y ( + 4y) ( + 4y 4 ) y( + 4y) E) y ( + 8y). 6a 4 7a b + 8b 4 (a + b)(a b) (a + b) (a b) 4 (a + b) (a b) E) (a + b) 4. 4m 6 n 6 + m 4 n m m 4m n (m n + 4) 4m n (m n 4) m n (4m n 6) m n (m n + 6) E) m n (4m n + 4) 4. Al factorizar 5 se obtiene ( + ) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) ( + ) ( + 5) ( ) E) ( + 5) ( + )

12 5. - (a b) ab ( )( + ab) ( + a)( b) ( a)( + b) ( a)( b) E) ( + a)( + b) 6. ( + )( 5) ( + )( + 4) ( )( ) ( )( + ) ( + )( + ) -( + )( + ) E) -( )(- + ) 7. + a + b + b a ( + b) b + a ( + b) b + a a ( + b) ( + )( + b) a E) b + a b + a 8. Si (5 + a)( + b), con a > b, entonces a + b E) -6

13 FRACCIÓN ALGEBRAICA Se llama fracción algebraica a toda epresión de la forma P(), donde P() y Q() son Q() polinomios. La variable puede tomar cualquier valor real, siempre que no anule al denominador. SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA Para ello se debe considerar lo siguiente: Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes. Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o el denominador y se cancelan los factores comunes. EJEMPLOS E) +. 4a b 4b a - a a b E) b a E)

14 E) : ( ) ( ) ( ) - E) no se puede determinar 6. a + b a b a + b + a b a b - b a 0 b a E) - a b 4

15 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas, pueden ocurrir dos casos: Fracciones de igual denominador Si A B y C B A C son fracciones algebraicas, donde B 0, entonces ± B B A ± C B Fracciones de distinto denominador Si A B y C D son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces A B ± C D A D ± B C B D MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Si A B y C D son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces: A La multiplicación B. C D A C B D La división A B : C D A D (C 0) B C EJEMPLOS. a b + bc ac E) a + b c a + b abc a + b abc 5 c 5 abc 5

16 E) E) - 4. y y y y + y y + -y + -(y + ) y E) 0 5. a + b + ab a b : a + b a b a + b a b a + b + ab a b a + b a b ab E) 6

17 EJERCICIOS. Si a, b - y c -, entonces -a 4 + b c -4-0 E) 4. Si -5, y, z, entonces (- + y - )(-z) E) La epresión es un entero negativo para E) a [a (b a)] (a + b) -a + b -a b -5a + b -5a b E) -5a + 4b 7

18 5. Si en la sucesión: a, (a + 4), 5(a 6), 7(4a + 8),..., se suman el quinto y seto término, resulta a + 46 a + a a 4 E) a Al escribir en lenguaje algebraico: la diferencia entre el triple de a y el cuadrado de b, resulta a b (a b ) (a b) b a E) a b 7. Si el área de un rectángulo es a + ab y su ancho es a, entonces el largo es a + b a + b a + b b E) a b 8. Al multiplicar 4 + y 4 y 4 el coeficiente del término y es - - E) (4n 7m) 8n 4m 6n 49m 6n 8nm + 49m 6n 56nm + 49m E) 6n 56nm 49m 8

19 0. ( ) + + E). ( ) E) 7 4. ( 5 + )( 5 ) 0 7 E) 7. Si u - a + y v - a +, entonces u + v - -a -4a 8 E) 0 9

20 4. Si a b a b y a Δ b a + b, entonces (p q) (p q) (p Δ q) q pq q 4pq -4pq -pq E) 0 5. Un factor del trinomio 6 6 es E) Cuál(es) de las epresiones siguientes es (son) divisor(es) de la epresión algebraica 9? I) II) ( + ) III) ( 4) Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I y III E) I, II y III 7. 4 y 4 ( y) 4 ( + y) ( y) ( + y )( y) ( y )( + y) E) ( + y )( y ) 8. En la epresión b c, si b se incrementa en c, entonces la variación que eperimenta es c bc + c c + bc b + c c E) b + bc + c c 0

21 9. Al factorizar m n m n se obtiene (m n) (m + n ) (m + n) (m n ) (m n) (m n ) (m + n) (m n + ) E) (m n) (m n + ) 0. La fracción 6 + 8, con ±, es igual a E) 4 +. ab a c cb : b b - ab c - ac b - c ab ab c ac(b ) E) - b

22 . Al efectuar la suma c ab + b ac + a, con abc 0, se obtiene bc E) a + b + c ab + ac + bc a + b + c abc a + b + c abc a + b + c abc a + b + c abc. Si p 0, entonces p + p p 5 p 5 p - p 5 p 0 E) 5 p 4. [() - + () - + (5) - ] E) 0

23 5. a b a b b a a + b ab a + b a a b a b a E) 6. Se puede determinar el valor numérico de a b si se sabe que : () El 50% de (a + b) es 40. () El 5% de (a b) es 5. () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 7. Se puede determinar el valor numérico de a 5b si : () a - () a 5b () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 8. ( + y) + y si : () y 0 () + y 0 () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional

24 9. ( a)( b) + 6 si : () ab 6 () -a b - () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 0. Se puede calcular el valor numérico de a ab + b (a b ), con a ±b, si se conoce el valor de: () a + b () a b () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional DMNMA5 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 4