UNIDAD I NÚMEROS REALES

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1 UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números irracionales. Los números enteros, a su vez, se dividen en números negativos, números positivos y cero (0). Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. Existen dos maneras: Decimales terminales Decimales que se repiten infinitamente Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente. Orden de operaciones Reglas importantes para resolver operaciones aritméticas: Primero resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. Evaluar las expresiones exponenciales. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. 1

2 Propiedades de los números reales Conmutativa de adición: La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo = Conmutativa de multiplicación: 4. 2 =

3 Asociativa de adición: La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo. Por: ejemplo: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) Asociativa de multiplicación: 4. (2. 9) = (4. 2). 9 Distributiva de multiplicación sobre adición: 4. (2 + 9) = Reglas de los signos En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor. 3

4 5 + 8 = = -3 En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor. 5-8 = (-8) = 13 En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo. 5 x 8 = 40 5 x -8 = -40 Recta numérica Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes. 4

5 Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro. Si a - b es positivo, entonces a > b. Si b - a es positivo, entonces a < b. Valor absoluto La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto. Se representa con el símbolo x. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera: si el número es negativo, lo convertimos a positivo. si el número es cero o positivo, se queda igual. Ejemplos: 7 = 7-7 = 7 Notación exponencial La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X). Ejemplos: Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos. 5

6 Monomio = un solo término. Binomio = suma o resta de dos monomios. Trinomio = suma o resta de tres monomios. Polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios. Reglas de los exponentes Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes. Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual. 6

7 En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n. En suma y resta, solo se procede si son términos similares; en otras palabras, lo que difiere es su coeficiente numérico. Productos especiales 7

8 Factorización de polinomios Factorizar un polinomio, es el primer método para obtener las raíces o ceros de la expresión. Para factorizar se comienza con una regla que permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad. Se buscan dos factores o números cuyo producto sea el último término y a la vez sumados o restados den como resultado el coeficiente del término del medio. Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadráticas cuyo coeficiente de la variable elevado al cuadrado es 1. Si el coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la manera de factorizar sería tanteando hasta poder lograr la factorización. Muchas veces la factorización es simplemente reconocer factores comunes. Se puede utilizar también la inversa de las fórmulas de productos especiales. O sea, expresamos el polinomio como una multiplicación o un producto, usando las fórmulas a la inversa. Completando el cuadrado es el segundo método para obtener las raíces o ceros de un polinomio. El proceso es el siguiente: Primero se mueve el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad. Luego, se calcula el término que permite crear un cuadrado de la siguiente forma: se selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos y se eleva al cuadrado. Este resultado se sumará a ambos lados de la expresión. Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del último término, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha. Luego, se saca raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo. Por último, se despeja por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio. Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio:. 8

9 Expresiones fraccionales Una fracción es una expresión en la forma: Una expresión fraccional está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. 9

10 Multiplicación y división de expresiones algebraicas Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. Para dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado. 10

11 Suma y resta de expresiones algebraicas En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. Exponentes enteros Reglas básicas para manejar los exponentes Regla: 11

12 Radicales Un radical es una expresión en la forma: Cada parte de un radical lleva su nombre. El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido. Propiedades de los radicales 12

13 Suma y resta de radicales Cuando tenemos radicales semejantes, podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales semejantes son los que tienen el mismo radicando. 13

14 Ejemplos: Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta solo puede ser indicada. Se pueden agrupar los términos semejantes del radical. 14

15 Álgebra Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos; cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita. La palabra álgebra proviene del árabe Al-jabr que significa reducción o sustitución. Aparece por primera vez en el título de un libro publicado en el año 825 por el matemático árabe Muhammad Ibn Musa Alkhwãrizmï. El título del libro era Al-jabrw'almûqabala, es decir Ciencia de la restauración y oposición, donde por restauración podemos entender como suma de términos iguales y por oposición podemos entender igualación de dos iguales. En dicho libro se estudiaban ecuaciones polinómicas y se daba la solución de la ecuación de segundo grado. En realidad esa solución era ya conocida por los griegos, pues aparece una demostración rigurosa en el libro Elementos de Euclides aproximadamente en el año 300 a.c. Pero no solamente era conocido por los griegos, los babilónicos utilizaban un método para resolver la ecuación de segundo grado aproximadamente por el año 200 a.c. FRACTALES Los números complejos Vamos a iniciar la explicación de forma más detallada, en qué consiste cada uno de los tipos de fractales comentados en el capítulo anterior. Hemos empezado con los conjuntos de convergencia, debido a que son los más vistosos y los que más llaman la atención, pero antes tenemos que dar una pequeña introducción sobre los números complejos, ya que estos conjuntos viven aquí. Todos sabemos la clasificación de los números y el orden en los que estos están establecidos, así el primer conjunto de números que estudiamos en el colegio son los números naturales, después siguiendo el orden de inclusión nos encontramos los siguientes conjuntos, enteros, racionales y reales. Pero pocos son los que saben que después vienen los llamados números complejos, y menos aún los que saben realmente qué son estos números. 15

16 La introducción de los números complejos en las matemáticas se puede abordar de forma distinta, utilizando conceptos analíticos, topológicos, vectoriales... y otros. Debido al tema que nos trata, utilizaremos el último método para explicar qué son los números complejos, ya que esta es la forma geométrica de introducirlos y, por tanto, la más adecuada, es la forma más visual de comprender ste concepto. Lo que vamos a explicar, básicamente, consiste en comparar el conjunto de los números complejos, que lo denotaremos por C, con el espacio vectorial R 2, todos sabemos que los puntos en R 2 se caracterizan por tener dos coordenadas (x, y), y también sabemos cómo se representan en el plano. Bien, pues vamos a realizar el siguiente cambio, dado un punto (x, y) en R 2 lo representaremos por x+iy siendo así un número en C, así tendremos una representación en el plano de los números complejos. Dos detalles importantes: Tenemos que resaltar que cuando y = 0, es decir, un punto con coordenadas (x, 0) viene representado en C por x solamente, es decir, es un número real, así podremos decir que los números reales están incluidos en los complejos. Por otro lado, si tomamos el punto de coordenadas (0, y) obtendremos en C el número yi, y más particularmente cuando y = 1 que entonces solo nos queda i. Ahora viene el apartado más importante, y lo que haremos será dar a los recién llegados (a los números complejos) unas operaciones, con los que podremos sumar, multiplicar, etc. Claro, lo que no podemos hacer es inventarnos unas operaciones que luego no den los mismos resultados cuando vemos estos números en R 2 o, cuando viendo un número real como complejo, el resultado sea distinto, es decir, tenemos que respetar las operaciones que ya existían antes. Sumar. Si tenemos dos números complejos a+bi y c+di la suma tendrá que ser (a+c)+(b+d)i ya que así es como se suma en R 2. Multiplicar. La multiplicación es más complicada, ya que en R 2 no tenemos multiplicación, pero esto tampoco es un gran problema, si tenemos dos números complejos a+bi y c+di la multiplicación nos dará (ac-bd)+(ad+bc)i, un poco complicado pero enseguida uno la aprende. Con respecto a lo que antes había comentado, qué pasa si tomamos dos números reales a y c, y los consideramos como complejos, la suma da (a+c)+(b+d) pero como b=d=0 y 0+0=0, rápidamente uno ve 16

17 que la suma es a+c, justo lo que debería de dar si los sumamos como números reales; con la multiplicación pasa lo mismo y no lo voy a comprobar. Y por hoy ya está bien de estudiar, a medida que vayamos necesitando más conceptos los iremos introduciendo, como por ejemplo cómo hallar el logaritmo de un número complejo. No me iré sin antes poner la siguiente fórmula, por la cual son necesarios los números complejos en las matemáticas modernas: i 2 = (ac-bd) + (ad+cb)i y como a = c = 0 y b = d = 1 tendremos que i 2 =

18 Números reales como medida de las cosas 1. Cuál de los siguientes números es un número racional: pi, la raíz cuadrada de 13, 2, 0, 1, o 1/3. seleccione la respuesta adecuada 2. Cuál es la distancia entre los puntos T con una medida de 2 + S con una medida de 6? seleccione la respuesta adecuada 3. Dada que la coordinada de A es -3 y la coordinada de B es 5, entonces, cuál es el punto medio del segmento AB? seleccione la respuesta adecuada 4. Verdadero o falso. Es el segmento AB = el segmento MB. Refiriéndonos si es verdad que la distancia desde el punto A hasta el punto medio es igual a la distancia desde el punto medio hasta el punto B. 5. Si el segmento LM = al segmento MN, entonces cómo se le llama al segmento M? seleccione la respuesta adecuada seleccione la respuesta adecuada? 18

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