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2 Matemática Ingreso 0 UADER Facultad de Ciencias de la Gestión

3 Estimado Estudiante: El material que presentamos a continuación es un resumen de los contenidos que ya estudiaste durante el transcurso de la educación secundaria y que debes recordar y retomar para poder comenzar con Matemática en la carrera que elegiste. Es por esta razón que la propuesta es utilizar este material como guía para que comiences a estudiar previo al curso propedéutico y que vayas a las clases con consultas específicas. Mientras vayas estudiando no dudes en consultar tus carpetas del secundario así como la bibliografía que hayas trabajado en el transcurso. Los profesores desarrollarán aquellos temas que consideren de especial atención basado, entre otras cosas, con las consultas que vayas realizando. Para ello queda a tu disposición la siguiente dirección de correo electrónico: También puedes incorporarte al grupo de Facebook https://www.facebook.com/groups/modulomat/ En este grupo estarán las respuestas que faltan en el material así como algunos explicados con mayor detalle y, por supuesto, más ejercitación y preguntas. El mismo comenzará a funcionar a partir del lunes de Enero. Una aclaración importante: Todo este material también lo puedes solicitar por correo electrónico. Te esperamos, para ayudarte a estudiar y para escuchar tus inquietudes y sugerencias. Te deseamos un gran comienzo! Los Profes de Matemática.

4 Unidad 0: OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.. El conjunto de los Números Reales: En este curso trabajaremos con un conjunto numérico sumamente basto es aquel que se obtiene mediante la unión de los números Naturales, los Enteros, los números Racionales y los Irracionales. Al mismo se lo denomina como el conjunto de los números Reales. Esto implica que podremos efectuar casi cualquier operación entre ellos y de la misma obtendremos como resultado otro número real. Por lo que, para los fines que perseguimos en el curso, con conocer las operaciones que podemos realizar en este conjunto tendremos bastante. Para conocer mejor cómo trabajar con ellos iremos estudiando las operaciones que podemos efectuar y sus propiedades.. Adición en Sumar es algo que realizamos a diario o no? Pero hay algunas cosas que no nos vendría mal recordar: Propiedades: Notación: se lee x pertenece a los reales El símbolo indica que el número se encuentra dentro del conjunto. Ley de Cierre: si sumamos dos números reales obtenemos otro número real., entonces + Conmutatividad: la suma de e es igual a la suma de y, entonces + = + Asociatividad: Sumar e y al resultado sumarle es igual que sumar con y al resultado sumarle,, entonces + ( + ) = ( + ) + Cambio de Signos: En este caso = ( ) es decir que el signo adelante de un número implica la idea de signo contrario. El cero es elemento Neutro: Si sumamos cero a cualquier número real el valor de la suma es igual a dicho número real. 0 y Para Todo se cumple que 0 + = Existe el elemento opuesto para cada número real: Para cualquier número real existe otro (de signo contrario y de igual módulo) que al sumarlos da como resultado cero. Para todo existe tal que + ( ) = 0

5 Algunas observaciones sobre estas propiedades!!! A pesar de ser tan obvias a simple vista, estas propiedades son sumamente importantes. Por ejemplo la propiedad Asociativa nos indica el modo en el qué debemos sumar. El hecho de que el cero sea el elemento neutro es sumamente interesante, no existe ningún otro real que cumpla dicha Sumar números de distinto signo: Recordar que si los números que sumamos tienen signos opuestos debemos restar. Símbolo de la multiplicación: El símbolo que indica que hay que multiplicar dos números es un punto pero muchas veces este punto se omite, esto es cuando hay variables como factores, por ejemplo = o =. condición. En particular interesa observar que a partir de la existencia del elemento opuesto, cualquier sustracción se puede expresar como una adición, por ejemplo 6 - = 6 + (-) O no? Esto es sumamente útil puesto que todas estas propiedades ahora también las hereda la sustracción.. Multiplicación en Sabemos bien que es 0. Que el y el son los factores de la multiplicación y que 0 se llama producto. Pero Por qué es 0? Multiplicar un número por otro es sumar uno de los factores tantas veces como indique el otro factor, es decir: = = 0 Resumiendo: = = y son los FACTORES y es el producto de la multiplicación. Conozcamos mejor esta operación mediante sus propiedades. Ley de Cierre: Si multiplicamos dos números reales el producto es otro número Regla de los signos. Recordar que si multiplicás dos números del mismo signo el producto es positivo pero si los signos son distintos el resultado es negativo. En resumen: + + = + + = += = + real., entonces Conmutatividad: El orden de los factores no altera el producto, entonces = Asociatividad: multiplicar e y al resultado multiplicarlo por es igual que multiplicar con y al producto multiplicarlo por,, entonces ( ) = ( )

6 El inverso del inverso: Es fácil notar que el inverso de será y que el inverso de - será pero Cuál es el inverso de? Según la definición tenemos que el inverso es = Recordar No existe la división por cero!!! Podrías explicarlo? El uno es elemento Neutro: Si multiplicamos por uno a cualquier número real el valor del producto es igual a dicho número real. Existe de modo que para todo se cumple que: = Existe el elemento inverso para cada número real que no sea 0: Para cualquier número real distinto de cero existe otro que al multiplicarlos da como resultado uno. Para todo, 0 existe tal que = Algunas observaciones sobre estas propiedades!!! AL igual que en el caso anterior, a partir de la existencia del inverso podemos relacionar a la multiplicación con su operación inversa, la división. Por ejemplo podemos pensar que: 6: = 6 = 6 Tanto 6 como son números reales y su producto es igual que el cociente entre 6 y. Esto es sumamente útil puesto que todas estas propiedades ahora también las hereda la división.. La Propiedad Distributiva. Como habrás visto las propiedades que se describen anteriormente son cinco para la adición y otras cinco para la multiplicación. Ahora veremos una propiedad que une ambas operaciones. Propiedad distributiva. Sean, y números reales, entonces ( + ) = + Observemos que por las propiedades conmutativas de la multiplicación también es cierto que ( + ) = + Separar en términos: Cada término se separa por los signos + y qué están fura de paréntesis, corchetes y llaves. A su vez, dentro de cada paréntesis, corchete o llave se debe volver a separa en términos al resolver. Términos, paréntesis, corchetes y llaves Son equivalentes las siguientes expresiones? ) )( ) ) ( ) veamos ) + = Separo en términos y resuelvo cada uno = + = Ahora sí, sumo = 7 ) ( + ) = Separo en términos (en este caso toda la expresión es un único término)

7 6 = 8 = Resuelvo primero el paréntesis y luego multiplico = c) ( ) Separo en términos y resuelvo cada uno. Ahora sí sumo. 7 Si bien este es sólo un ejemplo podemos ver que en el primero y en el último de los ejemplos el resultado es el mismo puesto que los paréntesis que colocamos en el tercero de los ejemplos están de más, ya que al separar en términos estamos ordenando la prioridad de las operaciones. Recordá: Primero SEPARO EN TÉRMINOS y resuelvo cada uno. Luego puedo sumar cada resultado. Los corchetes [ ] y las llaves { } en cualquier suma algebraica nos permiten establecer prioridades en las cuentas. Recordar SIEMPRE el siguiente orden: ro) Separar en términos do) resolver paréntesis ro) Resolver corchetes to) Resolver las llaves. A partir de lo desarrollado te sugerimos realizar las siguientes autoevaluaciones. Si querés conocer los resultados de las mismas para comparar con los tuyos podés encontrarlas al final del capítulo. Si te interesa resolver más ejercitación o tenés consultas podes acceder al grupo del curso en dónde hay más material disponible así como un espacio abierto para debatir tus ideas. Autoevaluación I: ) Calcular las siguientes sumas algebraicas: ) + = ) = ) = ) Resuelve los siguientes ejercicios combinados: a) ( + ( + )) = b) (6 ( + ) ) = c) (6 [ (0 )] + ( )) = d) ( ) = e) (6 [ ( ) + ]) = f) { [ ( + )]} + = g) [ + ( + )] =

8 7 h) ( ( + ) ( 6 + ) + ) = ) Calcular la suma en cada caso: ) 6 + = ) + 8 = ) 8 + : = ) : + + = 6. Potenciación en. Sean un número real y un número natural = Se dice que está elevado a la y que es la potencia enésima de b. El número es el exponente, se llama base. Ahora cómo se calcula una potencia? Decir que está elevado a la significa que debemos multiplicar a por sí mismo veces, es decir = Algunos ejemplos: = = 8 = = = Propiedades:. Potencias de igual base: El producto de dos potencias de igual base es igual a otra potencia de la misma base elevada a la suma de ambos exponentes. = El cociente de dos potencias de igual base es igual a otra potencia de igual base elevada a la diferencia de ambos exponentes. =. Potencia de una potencia La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes. ( ) =. Distributiva de la potenciación respecto a la multiplicación y a la división. La potencia enésima de un producto es igual al producto de las potencias enésimas de los factores. Esto significa que: ( ) = Y del mismo modo, recordando que = Tendremos que = Ahora veamos cómo aplicamos estas propiedades

9 8. Si tenemos que calcular 0. Lo primero que podemos observar es que todas las potencias tienen la misma base y además sólo se multiplican o dividen. Entonces ( ) 0 Tanto en el numerador como en el denominador aplicamos productos de potencias de igual base. Como verán se suman los exponentes. Ojo con los signos! Ahora aplicamos la propiedad de potencia de potencia en el numerador. Multiplicamos los exponentes Ahora aplicamos la propiedad de potencia de igual base respecto al cociente. Se restan los exponentes. 8 Ahora para resolver esta potencia volvemos a aplicar propiedad distributiva respecto al cociente Y por último calculo las potencias den numerador y del denominador. Por supuesto que esta es una forma y no la única de resolver este ejercicio. Sólo tenés que asegurarte de poder justificar cada uno de los pasos que realizás. Hasta aquí hemos trabajado con exponentes naturales, es decir que el cero, los números negativos y las fracciones quedaron excluídas. Entonces, estudiemos que sucede en esos casos:

10 9 0 0 : Es indetermi_ nado, es decir, no se puede calcular. 7. Si el exponente Cero: Supongamos que 0. Observemos que aplicando producto de potencias de igual base,. = = lo que nos lleva a afirmar que = y en general: Todo número distinto de cero, elevado a cero es igual a la unidad. 8. Exponente negativo: Supongamos que queremos calcular con 0 Entonces = = Dado que hay una diferencia en el exponente se puede pensar en el cociente de potencias de igual base = = Por lo visto anteriormente como 0 tenemos que = 0 - No existe: Si quisiéramos calcular 0 - debería existir el inverso de cero. Pero como la división por cero no existe este cálculo es imposible. Sea Ejemplos: 0 entonces = = = = = Dado que todo número negativo se puede expresar como el producto de su opuesto por - tenemos que si queremos resolver potencias de exponentes enteros negativos basta con realizar el siguiente procedimiento: = Por ejemplo = = = = = 7 8 = = Teniendo en cuenta que -= - cambio el exponente por esta expresión equivalente Si hay un producto en el exponente esto nos permite pensar en potencias de potencias Ahora resuelvo la potencia de exponente - Entonces ahora sí calculo la potencia restante Autoevaluación II: ) En los siguientes ejercicios utiliza las propiedades vistas hasta aquí para calcular el resultado.. a) 6 b) 0 c) ( ) d). 8 e) f).( ).

11 0 ) Calcula los siguientes ejercicios combinados: a) 7 b) 6 : 0 c) : 6 0 : 0 9. La Radicación. Diremos que sean un número natural mayor o igual a y un número real entonces = siempre que = Es decir que la radicación es la operación inversa de la potenciación. Dónde es el índice, es el radicando y es la raíz enésima de. Algunos ejemplos: 8 porque 8 porque ( ) 6 " 6 8 " ( 8) " A tener en cuenta!!! Observemos que: 6 = porque = 6 pero también ( ) = 6 por lo tanto 6 posee dos resultados - y, esto lo escribiremos 6 No es 6 el único radicando al que le sucede esto ni es el único índice. En general tendremos que Si el radicando es positivo y el índice, un número par, existen dos raíces reales enteras que son números opuestos. Si el radicando es positivo y el índice, un número impar, sólo tendremos una raíz entera. En general, a menos que se indique lo contrario, nos quedaremos con la raíz positiva. Ahora bien Qué sucede si el radicando es negativo? Supongamos que la raíz es par por ejemplo, que sucede si queremos calcular 8 Podremos encontrar algún valor que elevado a nos de cómo resultado un número negativo? La respuesta es No, de hecho todo número elevado a una potencia par da como resultado un número positivo, entonces esta operación no posee

12 solución en el conjunto de los Reales. Si bien existe otro conjunto dónde se puede calcular esto no lo estudiaremos en este curso. Como hemos visto anteriormente en los ejemplos si el radicando es negativo y la raíz es impar no hay mayores inconvenientes en calcularlo y el resultado de dicha operación es negativo. Si el radicando es negativo y el índice, un número par, no existe solución en el conjunto de los reales. Si el radicando es negativo y el índice, un número impar, sólo tendremos una raíz entera negativa. Potencias de exponentes Fraccionarios: por ejemplo si queremos calcular 8 = 8 = = O también = = Propiedades:. Distributiva de la radicación respecto a la multiplicación y la división. =. Raíz de una Raíz. =. Potencia de una raíz. = = = 0 Observación: a partir de esto tenemos que = entonces toda raíz se puede expresar cómo potencia de exponente fraccionario, para estas potencias todas las propiedades vista se siguen cumpliendo. 0. Logaritmación Sabemos que es una potencia enésima de dos y una de las preguntas que me puedo hacer es cuál es el exponente al que elevé el para obtener como resultado. Es decir: = cuánto vale? En este caso es fácil ver que = La operación que nos permite calcular el exponente de una potencia cuando se conoce su base es la logaritmación. Para poder calcularla la definiremos y daremos sus propiedades: Se llama logaritmo de un número > 0 en una base > 0 y al exponente al que hay que elevar la base para obtener el número. Y esto se escribe: log = siempre que = Veamos algunos ejemplos: log 6 = porque 6 = 6 log = porque = log = porque = Propiedades:. Logaritmo de un producto y de un cociente: El logaritmo en base b de un producto es igual a la suma de los logaritmos de la misma base de cada uno de los factores, es decir:

13 log ( ) = log + log El logaritmo en base b de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos de la misma base del numerador menos el denominador, es decir: log = log log. Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia enésima es igual al múltiplo enésimo del logaritmo de la base de la potencia, esto es: log = log Y recordando que el exponente puede ser fraccionario, es decir una raíz, tenemos que: log = log. Cambio de base: log = log log Esta última propiedad es muy importante para poder calcular logaritmos con la calculadora. En la calculadora hay dos teclas que nos sirven para calcular logaritmos estas son: log ln La primera es el logaritmo en base 0 y el segundo el logaritmo en base el cual, como, es un número irracional. Entonces si queremos calcular log podemos realizar un cambio de base, expresándolo del siguiente modo: log log = log En la calculadora escribimos: log log = El resultado, es una aproximación al valor de log Autoevaluación III: ) Calcular las siguientes potencias. ) )0,06 ) 9 ) )(8) )( 7) )69 )( 8) ) ) Calcular los siguientes logaritmos: ) log 8 ) log ) log ) log e) log ) Expresar como único logaritmo: log a log b a) d ) log a log b log c b) log a log b c) log m log n. Respuestas a las autoevaluaciones:

14 Autoevaluación I: ) Calcular las siguientes sumas algebraicas: ) ) 8 ) 9 ) Resuelve los siguientes ejercicios combinados: ) 8 b) 0 c) 7 d)00 e) f) 7 g) 8 h)6 ) Calcular la suma en cada caso: ) 7 ) ) 6 ) 60 Autoevaluación II: ) En los siguientes ejercicios utiliza las propiedades vistas hasta aquí para calcular el resultado. a) b) c)- d) e) f) ) Calcula los siguientes ejercicios combinados: a)9 b) c) Autoevaluación III: ) Calcular las siguientes potencias. a) b) c) d)6 e)- f) g) h) i)97 ) Calcular los siguientes logaritmos: ) ) ) ) ) ) Expresar como único logaritmo: ) log ) log ) log ) log

15 Unidad 0: Expresiones Algebraicas Enteras. Definiciones. Expresiones Algebraicas: Son combinaciones de operaciones entre números expresadas en letras, llamados variables, y cifras. Ejemplos: - b h m n x b A r b Expresiones Algebraicas Enteras: Se llama así a las expresiones algebraicas en que las variables están sometidas únicamente a las operaciones de SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN y POTENCIA de exponente Entero no negativo. (es decir No hay variables en el denominador). Ejemplos: Pero... No son Expresiones Algebraicas Enteras Podrías explicar porqué no lo son?. Dar tres ejemplos de expresiones algebraicas enteras. Valor numérico de una expresión algebraica entera para valores particulares de sus variables Si en una expresión algebraica entera a cada una de las variables se le otorga un valor en particular, al reemplazar este valor por la variable correspondiente nos encontraremos con una operación entre números que podremos calcular sin ninguna dificultad. Por ejemplo: Si al la expresión se le atribuyen los valores = y = al reemplazar estos valores nos queda la siguiente expresión: = ( ) = 0 En este caso -0 es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores = y = de sus variables.. Monomios Aquellas expresiones Algebraicas enteras de un solo término (es decir dónde ni la suma o la resta participan) se llaman MONOMIOS. Ejemplos: m p xy 7y 0xt Pero... No son Monomios: m x 7x No es Expresión Algebraica Entera x Dos términos Tres términos

16 Partes de un monomio: Algunos Casos Especiales: a) Cuando el coeficiente no aparece: En estos casos el valor del coeficiente es siempre o esto dependerá del valor del signo. Ejemplos: En xyb signo: +, entonces coeficiente: En xb signo: -, entonces coeficiente: - b) Cuando el coeficiente es cero: En estos casos el cero siempre está escrito y no importa cuál es el signo del monomio puesto que es un monomio neutro. Ejemplos: 0 0 Monomios Semejantes: Llevan esta denominación aquellos monomios que poseen exactamente la misma parte literal. Ejemplos: x y con 0x y p q; 7 p q y p q son todos semejantes con y Pero no son semejantes x yb con xy b porque si comparamos la parte literal x yb Parte literal: x yb xy b Parte literal: xy Son distintas b Grado de un Monomio: Es el número de factores literales (letras) que aparecen en el monomio y se calcula sumando los exponentes de la parte literal del mismo. El monomio es de grado cuatro, veamos por qué: Cuál es el grado de un monomio sin parte literal? Por ejemplo en el monomio 7 E signo es -, el coeficiente es 7 y la parte literal como no aparece se entiende que está elevada a cero, porque cualquier número distinto de cero elevado a cero es uno. Es decir 0 7 7x

17 6 Esto último sucede con una o con más variables, por eso cuando nos encontramos con un monomio sin parte literal decimos que SU GRADO ES CERO. Autoevaluación IV: ) Decidir si las siguientes expresiones son monomios, justificar tu decisión. a )8m b)-x - c)8xyp d)7 e) - yb ) Señalar la parte literal y el coeficiente de aquellas expresiones del ejercicio anterior que son monomios. ) Escribir un monomio semejante al consignado en cada caso. a)x y b)pr 6 c)t y ) Calcular el grado de los siguientes Monomios: a ) xy b)-cd c) a b d)- x bp e). Polinomios Aquellas expresiones Algebraicas enteras de dos o más términos (es decir dónde la suma y/o la resta participan) se llaman POLINOMIOS. Ejemplos: x 7x x xyz-6x y 6z 7xp Si observamos con atención cada término del Polinomio es un monomio x 7x x Por lo que por cada término posee: - Un signo - Un coeficiente - Una parte literal Y también de cada Término Podemos calcular su GRADO!!! En particular trabajaremos con polinomios de una sola variable. Por ello si la variable es x escribiremos P(x) y diremos polinomio P de la variable x o si la variable es z escribiremos R(z) y diremos polinomio R de la variable z. Grado de un polinomio, polinomios ordenados y completos, Raiz de un polinomio. Grado de un Polinomio: El grado de un polinomio es igual al grado del término de mayor grado. Por ejemplo; P(b) b b 6 7b grado 6 grado grado

18 7 Entonces: El grado de este polinomio es 6 Polinomio Ordenado: Ordenado decrecientemente. Se dice que un polinomio está ordenado respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras, cuando ésta letra figura en cada término con una potencia menor que en el término anterior. P(a) a a 0 a a a a a Polinomio ordenado Decrecientemente según las potencias de a. a 6a Ordenado crecientemente. Se dice que un polinomio está ordenado respecto a las potencias crecientes de una de sus letras, cuando ésta letra figura en cada término con una potencia mayor que en el término anterior. P (z) z z 7z z z z z z Polinomio ordenado Crecientemente según las potencias de z. Polinomio Completo: Se dice que un polinomio está completo respecto a las potencias de una de sus letras cuando aparecen todas las potencias de esa letra menores a la de mayor potencia. Por ejemplo: x x x x Es un polinomio completo respecto a x porque en él aparecen todas las potencias de x menores a. La mayoría de los polinomios no están completos por lo que, más adelante observarán, es muy útil completarlos. Por esto a continuación aprenderemos: Cómo completar un polinomio Empecemos por un polinomio que no está completo, por ejemplo P(y) y 7 y Para comenzar ordenamos los términos según las potencias de la variable. P(y) y y 7 Una vez ordenado podemos notar cuales son las potencias que nos están faltando. Ahora, en el lugar que le corresponde a cada potencia de y faltante sumamos un término con dicha potencia de y pero de coeficiente CERO. y 0y 0y y 0y 7 Ahora sí tenemos un polinomio que además de ordenado está COMPLETO. Raíz o Cero de un Polinomio: Se dice que un valor real es raíz de un polinomio ( ) cuando al reemplazar la variable por el número y efectuar las operaciones indicadas por el polinomio el resultado que se obtiene es igual a cero, es decir ( ) = 0 Por ejemplo:

19 8 ( ) = + si = tenemos que () = + = 0 Entonces es raíz de ( ) Autoevaluación V: ) Ordenar decrecientemente y completar los siguientes polinomios. 7 a)x x x b) x x x 8 c) x x 8 ) Ordenar crecientemente los siguientes polinomios a)k k 6k b) p 0.8p p c)8y y y ) Es raíz de los siguientes polinomios? Justifica tu respuesta ) ( ) = 6 ) ( ) = ) ( ) = 6 +. Operaciones con polinomios: Ahora que ya conocemos los polinomios veremos cuáles son las operaciones que podemos efectuar entre ellos. Adición de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = x +x + x Q(x) = x + x ro Ordenamos los polinomios, si no lo están. (no es obligatorio pero te ayudará al principio). P(x) ya está ordenado y Q(x) = x + x P(x) + Q(x) = (x + x + x + x) do Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = x +x + x + x + x ro Sumamos los monomios semejantes: es decir sumamos los coeficientes mientras que la parte literal queda igual. P(x) + Q(x) = x +(+ )x + (+ )x +x x + 9x Sustracción de polinomios La sustracción de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. Esto quiere decir que hay que cambiar los signos de los coeficientes del polinomio que sustrae, por ejemplo: P(x) Q(x) = (x + x + x) P(x) Q(x) = x + x + x P(x) Q(x) = x + x + x P(x) Q(x) = x + x Multiplicación de polinomios a) Multiplicación de un número por un polinomio Para calcularlo se utiliza la propiedad distributiva. El resultado es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

20 9 Si por ejemplo P(x)= x + x y quiero multiplicarlo por tres, entonces: P(x)= ( x + x + x b) Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio utilizando la propiedad distributiva. Además al multiplicar las variables debemos recordar la propiedad de las potencias de igual base. x (x + x = x x + x (-x )+ x x + x (-) = = x + + (-) x + + x + + (-)x = =6x + x c) Multiplicación de polinomios Supongamos que queremos multiplicar P(x) = x y Q(x) = x + x ro. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) Q(x) = (x + x) = = x + 8x + 9x do. Se suman los monomios del mismo grado. = x + x + 9x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. División de polinomios Sean los polinomios P(x) = x + x -x +6x y Q(x) = x efectuar P(x):Q(x) ro Ordenamos de forma decreciente y completamos los polinomios, si no lo están. P(x) = x + x -x +6x +0 Q(x) = x A la izquierda situamos el dividendo. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja x + x -x +6x +0 x Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x : x = x Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: x + x -x +6x +0 x x - x + x x + 6x - x + 6x Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 6x : x = x

21 0 x + x -x +6x +0 x x - x + x x + x + 6x - x + 6x + 6x - x + x x Ahora el polinomio que resta es x que es de grado, mientras que el divisor x es de grado. Como el grado del polinomio restante es menor que el del divisor culminamos con la división. x es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. Mientras que x + x es el cociente. Entonces: P(x):Q(x)= x + x y el resto es x División por el método de Ruffini Si el divisor es un binomio de la forma, dónde es un número real constante y la variable, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini. Si queremos efectuar (x +) : (x ro: Si el polinomio a dividir no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros x +0x x +0x+ do: Colocamos los coeficientes del dividendo ( cada uno con su signo!!!) en una línea horizontal separados por espacios. ro: Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. to: Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. 0-0 to: Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 6to: Sumamos los dos coeficientes. 0-0 multiplico 7mo: Repetimos el proceso anterior Y así seguimos El último número obtenido, 6, es el resto. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

22 (x +) : (x + x + 6x +8 Cuando el resto de una división es cero se dice que la división es exacta y que el dividendo es múltiplo del divisor. Teorema del Resto El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a. Esto significa que si P(x)= x + y Q(x)= x + El resto de efectuar P(x) : Q(x) es igual a P(-)= (-) -) + = 6 Será así? Observación: Un polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(a) = 0. En ese caso al valor x = a se le llama raíz o cero del polinomio P(x). Veamos un caso en el que la división es exacta Sea P(x)=x +x +x +x+ observemos que - es raíz de este polinomio pues por el teorema del resto P(-)= (-) + (-) + (-) + (-)+ = = 0 Esto significa que el polinomio (x-(-)) es divisor de P(x) entonces veamos que sucede al dividirlo por (x+) Como vemos en este caso el cociente es x +x +x+ y el resto es cero entonces la división es exacta y además vemos que P(x)= (x +x +x+) (x+) Este es un primer paso para factorizar polinomios que es el tema que veremos después de la autoevaluación siguiente. Autoevaluación VI: ) Con los siguientes polinomios: P(x) = x Q(x) = x + 6x R(x) = 6x + x + S(x) = x + T(x) = x + U(x) = x + Efectuar: a) P(x) + Q (x) = b)p(x) c)p(x) + R (x) =

23 d) P(x) e)s(x) + T(x) + U(x) = f)s(x) ) Calcular los siguientes productos. a) (x + ) (x b) (x + x c) (x + x ) Calcular los cocientes y restos de las siguientes divisiones a) (x + 0x : (x + x b) (x 6 + x + x c) (x + x 8): (x ) ) Calcula utilizando el método de Ruffini a) (x + x +70) : (x+) b)(x c) (x + ) : (x 6. Factorización de Polinomios El verbo factorizar proviene de la palabra factor. Si hacemos memoria recordaremos que factor es cada uno de los que intervienen en una multiplicación. Básicamente Factorizar es convertir un polinomio en un producto de polinomios de grado menor. Como hemos visto en el ejemplo anterior si queremos factorizar un polinomio ( ) es suficiente con hallar sus raíces, puesto que a cada raíz le corresponde un factor del tipo ( ). Cuando queremos factorizar de forma completa un polinomio debemos hallar todas sus raíces reales. Este proceso puede ser un poco engorroso pero para ello aprenderemos algunas técnicas. Factorización de polinomios de do. grado aplicando la resolvente Sea P(x) ax bx c, a 0 es un polinomio de segundo grado si queremos hallar sus raíces, si existen podremos hacerlo resolviendo la fórmula resolvente, = ± Mediante esta fórmula obtendremos, si existen, dos raíces reales. Entonces el polinomio ( ) = + + queda factorizado del siguiente modo: ( ) = ( ) ( ) Ejemplo: ( ) = 6 Observemos que, en este caso: = = 6 = 0 Entonces, al efectuar la resolvente obtenemos 6 ± ( 6) ( ) 0 6 ± 6, = = ( ) = = = = 0 Es decir que las dos raíces reales, en este caso distintas, de ( ) son - y 0. Entonces la factorización de ( ) = ( 0) ( ( )) = ( + )

24 Factor común. Un factor común de un polinomio es un máximo común divisor (MCD) de todos sus términos. Es un factor que aparece en todos los términos y el mismo se extrae dejando en cada término el cociente. Por ejemplo: á é = ( + ) Factor común por grupos. Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo. Se agrupan los términos y se extraen los factores comunes de cada grupo, luego se espera que en cada nuevo término haya algún factor común para extraerlo nuevamente y así factorizar el polinomio. Por ejemplo: + 7 = ( + 7 ) ( + ) = ( + 7) ( + 7) = ( + 7)( ) Trinomio Cuadrado Perfecto. Se identifica por tener dos términos cuadrados perfectos y un tercer término que es el doble producto de las bases de esos cuadrados, y ya sabemos que es igual al binomio formado por la suma de las bases, al cuadrado. ± + = ( ± ) Por ejemplo: ( ) = + 0 En primer lugar observamos que es un trinomio y que dos de sus términos son cuadrados perfectos, en este caso = ( ) y = Entonces, = y = además el tercer término es el doble producto de y puesto que = = 0 Entonces como el signo de este término es negativo entonces la factorización es ( ) = ( ) Cuatrinomio Cubo Perfecto. Se identifica por tener términos de los cuales dos términos son cubos perfectos, un tercer término que es el triple de la multiplicación del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo y un cuarto término que es el triple de la base del primer cubo por el cuadrado del segundo cubo. Podrás probar que es igual al cubo del binomio formado por la suma de las bases de los cubos. Si llamamos a uno de los términos del binomio y al otro la fórmula que definimos es: ± + ± = ( ± ) Veamos un ejemplo: ( ) = Es un cuatrinomio y los términos que son cubos perfectos son = y = además: y. Luego = = y = =

25 Como este polinomio cumple con todas las condiciones para ser un cuatrinomio cubo perfecto su factorización es ( ) = + Diferencia de cuadrados. Toda sustracción de cuadrados se puede transformar en la multiplicación de la adición de las bases por la diferencia de las mismas. = ( ) ( + ) Por ejemplo: = ( )( + ) 6 = (8 )(8 + ) Lema de Gauss. A partir de este Lema y utilizando el teorema del resto y el método de Ruffini para dividir polinomios podemos encontrar divisores de polinomios de grado uno e ir factorizandolos. El Lema dice: Sea P(x) un polinomio. Entonces: - Un número entero a es raíz de ( ) si es divisor del coeficiente independiente - Un número racional es raíz de ( ) si es divisor del coeficiente independiente y si es divisor del coeficiente principal Por ejemplo: ( ) = Coeficiente Principal = Coeficiente independiente = 0. Las posibles raíces enteras y racionales son los cocientes entre los los divisores de 0 y de, es decir: ; ; ; 0 Aplicamos teorema del resto para ver cual es raíz del polinomio. Comencemos con : P() = = = 0 como el resultado no es cero el polinomio (x-) no es divisor de P(x). Sigamos con : P() = = = 0 es raíz de P(x). Entonces aplicamos Ruffini para hallar el cociente C(x) - 0 Es decir: ( ) = ( ). ( + 0) Pero ( + 0) es un polinomio de do. Grado. Por lo tanto puede aplicarse la resolvente para hallar las raíces reales. Luego hallamos = y =. Finalmente el polinomio totalmente factorizado es: ( ) = ( ) ( ) ( + )

26 Autoevaluación VII:. Factorizar los siguientes polinomios: ) ( ) = 6 ) ( ) = 6 ) ( ) = ) ( ) = + ) ( ) = ) ( ) = ) ( ) = + 0 ) ( ) = 6 ) ( ) = ) ( ) = + ) ( ) = 8. Completar para que el polinomio sea un trinomio cuadrado perfecto y luego factorizarlo a) + + b) + c) + d) + 7. Respuestas a las autoevaluaciones. Autoevaluación IV: ) Decidir si las siguientes expresiones son monomios, justificar tu decisión. a) no lo es pues tiene dos términos. b) no lo es pues la variable está elevada a un exponente negativo. c) sí, es monomio. d) Sí, es monomio. e) Sí, es monomio. ) Señalar la parte literal y el coeficiente de aquellas expresiones del ejercicio anterior que son monomios. c) parte literal: xyp, coeficiente: 8 d) parte literal: no posee, coeficiente: 7 e) parte literal: yb, coeficiente: - ) Escribir un monomio semejante al consignado en cada caso. a)8x y b)89pr 6 c)-6t y o cualesquiera otros que tengan la misma parte literal ) Calcular el grado de los siguientes Monomios: a) grado, b)grado, c)grado, d)grado, e) grado 0 Autoevaluación V: ) Ordenar decrecientemente y completar los siguientes polinomios. a) x x 0x x 0 b) x x 0x x 8 c)x 0x 0x 8 ) Ordenar crecientemente los siguientes polinomios. 6 7 a) 0k k 6k 0k 0k 0k k 0 b) 0.8p p p 7 x 0x -

27 6 c)0 0y 8y y 0y 0y y 6 Autoevaluación VI: ) Efectuar: a) P(x) + Q (x) = x -x +6x- b)p(x) x - c)p(x) + R (x) = 0x +x d) P(x) x - x - e)s(x) + T(x) + U(x) =x + f)s(x) ) Calcular los siguientes productos. a) x 6 -x + x +x x x +6 b) 6x + x -x +x 0 x c) 6x 6 x +7x +8x x +9x 8 ) Calcular los cocientes y restos de las siguientes divisiones a) cociente: x -x +6 resto: x-8 b) cociente: x + x + x 6 resto: 8 x + 8 c) cociente: x + x x+ resto: x ) Calcula utilizando el método de Ruffini a) x - x +0 b) x +x +x +8x+6 c) x +x +x+0 Autoevaluación VII:. Factorizar los siguientes polinomios: ) ( ) = ( )( + ) ) ( ) = ( ) ) ( ) = ( ) ) ( ) = ( 6)( 7) ) ( ) = ( + ) ) ( ) = ( + 7) ) ( ) = ( + )( ) ) ( ) = 6( )( + ) ) ( ) = ( + )( + ) ) ( ) = ( + )( ) ) ( ) = ( + 9)( + )( ). Completar para que el polinomio sea un trinomio cuadrado perfecto y luego factorizarlo a) + + = ( + ) b) + = ( ) c) 0 + = ( ) d) + = ( )

28 7 Unidad 0: ECUACIONES E INECUACIONES.. Relaciones: Dados dos números reales cualesquiera, llamémoslos e, sabemos que hay tres posibilidades: ) es igual a ; esto se escribe = ) es menor que ; esto se escribe < ) es mayor que ; esto se escribe > Esto se da en el conjunto de los números reales puesto que el mismo está ordenado. Las relaciones =, < y > tienen sus propiedades. Propiedades de la igualdad: Simetría: Si = entonces = Reflexividad: Para cualquier número real se cumple que = Transitividad: Si = y = entonces = Monotonía: Si = y si es un número real cualquiera se cumplen las siguientes afirmaciones: + = + = Esta última propiedad es sumamente importante para resolver ecuaciones. Propiedades de la desigualdad: Transitividad: Si < y <, entonces <. En la representación en la recta numérica significa que si a está a la izquierda de b y b a la izquierda de c, entonces a estará ubicado a la izquierda de c. Monotonía: en las desigualdades la monotonía no es tan sencilla como en la igualdad hay que tener mucho cuidado con los números negativos. Si < y si c es un número real entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: + < +. Si c > 0 entonces. <. Si < 0 entonces. >. Atención!. Qué es una Ecuación? Una ecuación es una expresión que indica que dos proposiciones son iguales. Las dos expresiones que forman una ecuación son llamadas sus lados o miembros y están separadas por el signo de igualdad =. Ejemplos: a) x + = +x b) x x + x + = 0 c) 6 d)y = x x Cada ecuación contiene al menos una incógnita. Una incógnita es un valor desconocido que puede ser expresado diferentes símbolos. Los símbolos más comúnmente utilizados son las últimas letras del alfabeto: t, w, x, y, z. Nunca se debe permitir en una ecuación que una incógnita tenga un valor para el cual alguna expresión en esa ecuación no esté definida, por lo tanto en la ecuación c) x no puede ser, porque provocaría que el denominador fuese cero (y no podemos dividir por cero).

29 8 En algunas ecuaciones los valores permisibles de una incógnita están restringidos por razones físicas. Por ejemplo, si la variable t representa el tiempo, valores negativos de t pueden no tener sentido, entonces debemos suponer que t es mayor o igual a cero. Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus incógnitas para los cuales la ecuación es verdadera. Es decir al reemplazar la incógnita por dicho valor y resolver se mantiene la igualdad a ambos miembros de la misma. Estos valores son llamados soluciones de la ecuación y se dicen que satisfacen la ecuación. El conjunto de todas las soluciones se denomina conjunto solución de la ecuación. Por ejemplo en la ecuación 7+x= Si le damos a la incógnita el valor tendremos que 7+ satisface la ecuación por lo que no es la solución. Pero si x=- observemos que 7+ (-) = este valor sí satisface la ecuación por lo que es solución de la misma. Obviamente hallar la solución o soluciones de una ecuación puede implicar la realización de operaciones en ella, obteniendo ecuaciones equivalentes (que poseen exactamente las mismas soluciones que la ecuación dada).. Ecuaciones Lineales Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede ser escrita en la forma + = 0, donde y son constantes y 0. Una ecuación lineal también es llamada ecuación de primer grado o ecuación de grado uno, ya que la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera. Para resolver ecuaciones trabajaremos con las propiedades de monotonía de la igualdad. Ejemplo: Si queremos resolver 6 = 6 = Sumo miembro a miembro 6 = = Sumo miembro a miembro 6 = 6 = 6 Multiplico miembro a miembro por = Una vez que este proceso es sistematizado simplemente pasamos cada número real al otro miembro de la igualdad realizando la operación inversa. Veamos otro ejemplo: = + 8 = 6 Calculo el común denominador del primer miembro. ( + ) ( 8) = 6 Paso el que está dividiendo en el primer miembro multiplicando al segundo ( + ) ( 8) = 6 Distribuyo en el primer miembro y simplifico y distribuyo en el segundo = Resuelvo en cada miembro

30 9 + = Paso al primer miembro sumando y paso al segundo miembro restando = Paso el que multiplica en el primer miembro dividiendo al segundo = Ecuaciones polinomicas: En general mediante la factorización de polinomios podemos resolver ecuaciones de cualquier grado. Por ejemplo la ecuación: 80 = Es una ecuación de cuarto grado y se puede resolver igualando a cero y factorizando, es decir: 8 = 0 ( + 9)( )( + ) = 0 Entonces las soluciones reales de esta ecuación son - y.. Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática en la variable es una ecuación que puede ser escrita en la forma + + = 0, donde, y son constantes y 0. Una ecuación lineal también es llamada ecuación de segundo grado o ya que la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera. Para resolver este tipo de ecuaciones deberemos primero llevarlas a la forma + + = 0 y luego observar que encontrar las soluciones para esta ecuación es equivalente a encontrar las raíces del polinomio de segundo grado del primer miembro, es decir calcular la fórmula resolvente. Por ejemplo si queremos resolver: = ( ) Primero tenemos que llevar la ecuación a la forma + + = 0 entoces: = ( ) = = 0 Ahora apliquemos la fórmula resolvente teniendo en cuenta que =, = 0 y =, entonces: 0 ± ( 0), = = 0 8 = = Entonces la solución de esta ecuación es única y es. Verificación: = 0 ± 0 8 = = 0 8 = = = = Como la igualdad se verifica la ecuación fue bien resuelta.. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas. Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en el argumento del logaritmo. Para poder resolverlas hay que llevar estas expresiones a un único logaritmo y después, a partir de la definición, despejar el valor de la variable. Si queremos resolver: log ( ) = log Primero convirtamos la expresión en un único logaritmo log ( ) = log log ( ) log = 0 log = 0

31 0 log ( ) = 0 log ( ) = 0 A partir de la definición de logaritmo sabemos que esta expresión es equivalente a = Ahora resuelvo esta nueva expresión: = + = = Entonces es solución de la ecuación. Verificación: log ( ) = log log ( ) = log log = log Ahora, en cambio, si queremos reslover: + log + log ( + ) = log Primero, mediante las propiedades de los logaritmos escribamos esta igualdad como un único logaritmo. + log + log ( + ) = log log + log ( + ) log = log ( + ) = log ( + ) = Ahora para continuar recordemos la definición de logaritmo. es el exponente al que hay que elevar el para obtener como resultado + entonces: = + = = 8 = Pero en este caso veamos que = no es solución puesto que si queremos verificar si este valor satisface la ecuación no encontramos que log no está definido. Entonces + log + log ( + ) = log no posee solución. Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable se encuentra en el exponente. Para poder resolverlas deberemos recordar las propiedades de la potenciación. Una vez que dejamos la expresión reducida a una única potencia debemos despejar el exponente y esto lo hacemos mediante el logaritmo. Veamos algunos ejemplos: = 6 = ( ) = = =

32 = Ahora por la definición de logaritmo tenemos que: Si = entonces log = Calculamos el primer miembro, en este caso aproximando, mediante el cambio de base entonces log = =, Que lo aproximamos con,8 entonces,8 =,8 = 0,8 = Entonces 0,8 es aproximadamente nuestro resultado. Autoevaluación VIII: )Resolver las siguientes ecuaciones lineales: 7x 9x 8 a).(x ) 7x b) 6 c) 7x 7 (x ) d) (x ) (x ) x x e) x 6 x 6x 7 g) x f) x x h) ( x ) (x ) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) x + x = 0 b) 9x - 0x + = 0 c) x(-x) = d) 6x + x 0 = 0 e) 0x + 7 = x f)6 = x(x+) g)x = (x-) x x h) x x ) (x ) ) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y Logarítmicas: a) log = -x+9 b) log (x+6)= c) log (x+)= d) x =9 e) x- = f) log(x+)+log x= g) log 8 +0.log 8 =log 8 x 6. Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Estas desigualdades pueden ser estrictas: menor que < mayor que > o pueden no serlo: menor o igual que mayor o igual que Las inecuaciones se resuelven del mismo modo que las ecuaciones pero recordando que al multiplicar o dividir por un número negativo el signo de la desigualdad cambia. Por ejemplo: + 6 > 6 > 6 > 6 < Cambio el signo de la desigualdad!! 6 <

33 Cómo se interpreta la solución? Observemos que 6 < nos dice que -6 es menor que los valores de x. Por lo que nos interesan todos los numero mayores que -6. Si observamos en la recta numérica esto es: Es decir todos los valores a la derecha del -6 sin el -6. Entonces se dice que el intervalo está abierto en -6 y esto se escribe con el intervalo ( 6, + ) Entonces ahora definiremos: 7. Intervalos. Una porción de la recta real es un subconjunto que recibe el nombre de intervalo. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre y es un intervalo. Se indica: < < Observá que el número real es simultáneamente mayor que menos uno y menor que cuatro. Geométricamente los intervalos corresponden a rectas, semirrectas o segmentos de recta. Los intervalos correspondientes a la recta real o a semirrectas son intervalos no acotados y los que corresponden a segmentos de rectas son acotados. Un intervalo acotado es: cerrado, cuando contiene a sus dos extremos; semiabierto, si contiene a un extremo pero no al otro y abierto si no contiene a ningún extremo. En la tabla siguiente se resumen los tipos de intervalo y su representación geométrica: Si y son números reales tales que < y es una variable real: Conjunto Notación Gráfica < (, + ) [, + ) > (, ) (, ] < ó > ó (, ) (, + ) (, ] [, + )

34 < < (, ) [, ] < (, ] < [, ) Autoevaluación IX:. Resuelve las siguientes desigualdades y expresa la solución como intervalo. Representa en la recta real el conjunto solución. a) < b) 8 c) x x d)( ) < ( + ) e) x 7x f) 8 x x g) x x Si querés obtener las respuestas a las últimas dos autoevaluaciones, si te interesa algunas guías de ejercicios similares a las que trabajarás durante el cursado de la materia o simplemente realizar alguna consulta te sugerimos que escribas a: o que busques el grupo https://www.facebook.com/groups/modulomat/ Buen comienzo!!!

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