M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1

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1 M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9 ) Poli - dígitos: formdos por l unión de dos o ms dígitos: 0,4,46,... Frccionrios Positivos Negtivos MIXTOS: ¼ Finitos : 0.5; Irrcionles Son quellos no periódicos Infinitos: :.44 π :.46 Periódicos infinitos : 0.; PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Cerrdur.- Cundo se opern con números reles se obtienen números reles. Tricotomí.- Propiedd de orden, entre dos números reles solo puede existir un de tres relciones. > b b < b Conmuttiv.- Se cumple solo pr dición y productos. El orden de los sumndos o fctores no ltern l sum o producto. Asocitiv. - Los sumndos o fctores se pueden grupr o socir de diferente mner y obtenerse el mismo resultdo. Distributiv.- El producto de un número por l sum o diferenci de otros dos números diferente será igul l producto de él número por cd sumndo, o igul l producto del número por el minuendo menos el producto del número por él sustrendo respectivmente. Existenci de elementos neutros.- Ddo un número () siempre existe un número (b) tl que:. + b. * b. b 4. / b Siendo ( b ) en los dos primeros csos cero y en los csos y 4 uno. Inverso Aditivo. El inverso ditivo de un número () es (-) de tl form que - 0 y ddo un número (-) el inverso ditivo es () de tl form que Por lo tnto el inverso ditivo de un número rel es el mismo número pero con signo contrrio.

2 Inverso Multiplictivo. - El inverso multiplictivo de un número rel, es el cociente de l unidd entre el mismo número de tl form que: Trnsitiv. - Leyes de l iguldd: * / Sí b e independientemente b c c Sí > b e independientemente b > c > c Sí < b e independientemente b < c < c ) Sí x y y p R x + p y + p. b) Sí x y y q R x * p y * q

3 Leyes de los signos ARITMETICA OPERACIONES CON NUMEROS REALES Vlor bsoluto. Distnci en uniddes recorrids sobre l rect numéric, del cero hci él numero en cuestión sin observr el sentido. Sum Vlor numérico Ejemplo (+) + (+) + Sum de vlores bsolutos. ( 4 ) + ( ) 6 (-) + (-) - Sum de vlores bsolutos (-7) + (-0) -7 (+) + (-) Signo de él número con myor vlor bsoluto ( 0) + (-) 7 (-) + (+) El vlor numérico de l operción es l diferenci de vlores bsolutos Producto Vlor numérico Ejemplo ( + ) ( + ) + ( ) ( 4 ) ( - ) ( - ) + (-6 ) (-5 ) 0 ( + ) ( - ) - Vlor numérico productos de los vlores bsolutos ( 9 ) (- ) -8 ( - ) ( + ) - (-0 ) ( 4 ) -40 Cociente Vlor numérico Ejemplo +/+ + 8 / 4 -/- + 5 / -5 7 Vlor numérico división de los vlores bsolutos +/- - / / / -4 Sustrcción Vlor numérico Ejemplo (+) (+) + - ( 4 ) ( ) (-) (-) + + (+) (-) + + (-) (+) - + Se invierte el signo de él sustrendo y se plic leyes de signos pr l sum. ( -9 ) (-5 ) 6 ( 0 ) - (-0 ) 0 (-4 ) - ( 6 ) 0

4 Ejemplos : ) ) ) [ ] + [-7+0-+] - [-4+6-6] [5-6]+[-9]-[6-0] [9]+[4]-[-4] [( )( )] - [( )-(+4-5)] [(-)(5-0)]-[(0-)-(5-5)] [(0)(5)]-[(-)-(0)] -[--0] -[-] [( ) ( )] + [(4+-)-(9+)] [(4-8) (-0)] + [(7-)-()] [(6) ()] + [-6-] [] + [-8] -5 OPERACIONES CON RACIONALES FRACCIONARIOS SUMA ) ) ) ) RESTA PRODUCTO 6 ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 4 ) 8 8 ) ) DIVISION

5 DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS L descomposición de fctores primos, consiste en l división de los números que se quiern descomponer entre los diferentes números primos Pr el 6 * * 7 y pr el 04 4 * 9.

6 Mínimo común múltiplo. Son el producto de los fctores primos comunes que existen entre un pr de números, un de ls plicciones se encuentr en l obtención de él común denomindor en los números rcionles frccionrios El M.C.M es * * 5 60 El M:C:M es 4 * * 7 6 El máximo común divisor.- Es el producto de los fctores primos comunes de menor exponente. El M.C.D de 0, 00 y 400 es: *5 00 ** *5 Los fctores primos comunes con menor exponente son: *5 el M.C.D es 0. RAZONES Y PROPORCIONES Un rzón equivle un cociente, relción ó división. Un proporción es un iguldd entre dos rzones, relciones, cocientes ó divisiones. y b Son los llmdos extremos y b son los llmdos medios b b

7 MEDIA PROPORCIONAL X 6 X X X ± 6 8 X ± 4 TERCERA PROPORCIONAL O REGLA DE TRES 6 4 x ()(X)(6)(4) X4/ X TANTO POR CIENTO (Porcentjes) Existen dos forms distints de obtener el porcentje de un numero determindo, ls cules son exctmente ls misms lo que cmbi es l interpretción. Cuál es el 5% de 9?. Se reliz el producto del número por él porcentje que se quiere obtener 9 x El producto obtenido se divide entre El 5% de9 es 45.5 L Segund Form es: Cuál es el 4% de 56? ) Se divide el vlor de él porcentje entre cien ) El cociente se multiplic por él numero l cul corresponde el porcentje. ) El producto obtenido es el 4% de

8 LEYES DE LOS EXPONENTES ) n * m n + m Ejemplos: * 6 8 ; x 4 * x - x ) ( * b ) n n b n ( * 5 ) * 5 ; ( x y ) x y ) ( / b ) n n / b n ( 4 / ) 4 / ; ( x / y ) x / y 4) ( n ) m n * m ( ) 5 0 ; ( x ) 4 x 8 5) ; x x 6) ; x 0 7) n m n m X 5 ; X 4 8 X 4 ( 8) X n 7 ) n 4 ;. X 4 X 8) n / m m n 4 / 4 x / x ÁLGEBRA Expresiones lgebrics.- Son cntiddes que se representn por números constntes y por letrs que tmbién representn cntiddes. Tod expresión lgebric debe contener los siguientes elementos: exponente ± x signo fctor literl o vrible fctor numérico o coeficiente L expresión lgebric nterior es l más simple y es denomind término. Términos semejntes.- Son quellos que tienen él o los mismos fctores literles y cd uno de ellos tiene respectivmente el mismo exponente. Son términos semejntes: x y z y - y z x NO son términos semejntes: - b c y 5 b c A D I C I Ó N O S U M A L sum de expresiones lgebrics se obtiene grupndo los términos semejntes y reduciendo los coeficientes, poniendo much tención los signos de cd término. Ejemplo: ( x + 6x 4 + xy ) + ( 4x + yx 9x ) x + 6x + xy 4 9x 4x + yx + - 6x + x + 5xy - Si se tienen coeficientes frccionrios el procedimiento es exctmente el mismo: ( x 4 5 x + 6 ) + ( x + x 4 )

9 x 4 5 x + 6 x x x x + S U S T R A C C I Ó N O R E S T A Se reliz l mism grupción que pr l sum, el cmbio que present l sustrcción es l inversión de signos en cd término del sustrendo. ( - x + 6 x 9 x + 6 x y ) - ( x + x 9 x y + ) ( - x + 6 x 9 x + 6 x y ) - x - x + 9 x y x + 6 x - x + 6 x y - x - x + 9 x y - - x + 4 x x + 5 x y P R O D U C T O Ó MULTIPLICACIÓN. Pr el producto de expresiones lgebrics se utiliz l propiedd distributiv de los números reles; ( b + c ) b + c y ( b c ) b - c, es decir, se multiplic cd término del er fctor por cd término del do fctor, el producto relizdo nteriormente tiene que implicr ls leyes de los signos y ls leyes de los exponentes. Ejemplos: ( - x x y ) ( x + x ) - 9 x 9 x + x + 9 x + 8 x 6 x 4 x + 4/ x /4 yx / xy + /6 y - 6 x 4 / x + 4/ x /4 x y / xy + 9 x + /6 y Independientemente de él número de términos de mbos fctores, el producto se reliz: cd término del primer fctor por cd término del segundo fctor. Otro ejemplo: ( x + 6y x ) ( - + 6x + x ) - 6x + 8x + 9x y + 6x y + 8xy + 4x x 4 6x - 6x + x y + 6x y + 8xy + x x 4 - x 4 + x + 6x y + x - 6x + 8xy y P R O D U C T O S N O T A B L E S ) ( ± b ) ( ± b ) ( ± b ) ± b ± b + b ± b + b Binomio l cudrdo Trinomio Cudrdo Perfecto El producto de un binomio l cudrdo es igul l cudrdo del primer término, más el doble producto del primero por el segundo término, más el cudrdo del segundo término. Ejemplos: ( x + y ) x + xy + y ( x 4 ) 9x - 4x + 6 ( x + 5x ) x 4 + 0x + 5x ) ( + b ) ( b ) - b + b - b - b Binomios conjugdos Diferenci de cudrdos El producto de binomios conjugdos es igul l cudrdo del primer término menos el cudrdo del segundo término. Ejemplos: ( x + y ) ( x y ) x - y ( x + 4 ) ( x 4 ) 9x - 6 ( y 6 ) ( y + 6 ) 4y 4-6 ) ( + b ) ( + c ) + c + b + bc + ( b + c ) + bc Binomios con Término Común Trinomio de do grdo o Cudrático

10 El producto de binomios con término común es igul l cudrdo del primer término, más el producto de l sum de los dos términos no comunes por el término común más el producto de los términos no comunes. Ejemplos: ( x + ) ( x 4 ) x - x - 8 ( x ) ( x + 6 ) 9x + 5x - 6 ( 6x 8 ) ( 6x 7 ) 6x 4-90x + 56 D I V I S I O N Pr l división de expresiones lgebrics, se requiere de l utilizción de ls leyes de los signos y de ls leyes de los exponentes. er cso. Cundo el divisor es un monomio. 6 x y 4 x y + 8 xy 6 x y 4 x y + 8 xy ¾ xy - ¾ xy - ¾ xy - ¾ xy - 4 x + 6 x y 7-6 x y - 8 x - 4 do cso. Cundo el divisor es un binomio. x - y ) Sé recomodn de myor menor exponente con respecto un vrible x - y y se colocn dentro de un gler. x + xy + y x y x - y - x + x y + x y - x y + xy + xy - y - xy + y 0 0 ) Se divide él primer término del dividendo, entre él primer término del divisor. ) El cociente se multiplic por cd término del divisor y se coloc en los términos semejntes del dividendo pr reducir. 4) Se repiten el do y er pso pr cd nuevo dividendo encontrdo. FACTORIZACION L fctorizción como su nombre lo dice, es descomponer en fctores primos un producto. Pr fctorizr expresiones lgebrics comunes se tienen dos vrintes, cuy utilizción de pende de l form de dichs expresiones. er Fctorizción por fctor común. Fctorizr: 6x y - 4x y z + 6x y v Los fctores literles comunes son x e y porque se encuentrn en todos los términos de l expresión. Se tomn los mínimos exponentes de cd uno de esos fctores literles comunes. El fctor numérico común o máximo común divisor de los coeficientes es dos, por lo tnto se coloc junto con el fctor común literl. x y ( - xyz + 8yv ) d Fctorizción por grupción. Teniéndose: x + by + y + bx Como no se tiene un fctor común pr todos los términos de l expresión se grupn quellos términos que si tienen fctor común y sé fctoriz: x + bx + y + by

11 x ( + b ) + y ( + b ) Como l expresión obtenid es un binomio que tiene un fctor común, que es ( + b ) sé fctoriz nuevmente: ( + b ) ( x + y ) Ejemplo: x + 5x + 4x + 0 ( x + 5x ) + ( 4x + 0 ) x ( x + 5 ) + 4 ( x + 5 ) ( x + 5 ) ( x + 4 ) FACTORIZACION DE PRODUCTOS NOTABLES Trinomio Cudrdo Perfecto.- Un trinomio es cudrdo perfecto si el doble producto de ls ríces de los extremos produce el término linel o medio. Por lo tnto pr fctorizrlo únicmente se colocn ls ríces en un préntesis con el signo del término linel, y el conjunto elevdo l cudrdo. Teniéndose : x + 0x + 5 Aplicndo el criterio nterior: ) Ls ríces de los extremos son: x y 5 respectivmente. ) El doble producto de ls ríces es: ( 5x ) 0x ) Podemos decir que el trinomio es cudrdo perfecto, por lo tnto l fctorizción es: ( x + 5 ) ó ( x + 5 ) ( x + 5 ) Otro ejemplo: Teniendo: 49y - 4y + 9 ) Ls ríces son: 7y y ) El doble producto es: ( 7y * ) ( y ) 4y ) De quí se observ que es T.C.P por lo tnto: ( 7y ) ó ( 7y - ) ( 7y - ) Trinomio de do grdo o cudrático. er cso.- Un trinomio es cudrático cundo NO cumple el criterio nterior, por lo tnto se buscrn dos números que sumdos proporcionen el coeficiente del término linel incluyendo el signo y multiplicdos el término constnte tmbién incluyendo su signo. Pr encontrrlos más fácilmente se descompone en fctores primos el número resultnte del producto y se formn pres de números con los fctores. Teniéndose: x + 9x + 0 ( ) + ( ) 9 ( ) ( ) 0 Descomponiendo en fctores primos se tiene: 0 y y 5 Los números que buscmos son 4 y 5 mbos positivos y como el coeficiente del término cudrático es, se obtiene l ríz de dicho término y se coloc en dos préntesis con los números encontrdos, es decir: ( x + 4 ) ( x + 5 ) obteniendo sí l fctorizción del trinomio. do Cso.- Cundo el coeficiente del término cudrático es diferente de uno, se multiplic dicho coeficiente y el término independiente, pr después encontrr dos números que sumdos proporcionen el coeficiente del término linel y multiplicdos el producto obtenido nteriormente. Termindo el proceso se siguen los psos del primer cso. Ddo: 9x - 5x - 4 ( ) + ( ) -5 ( ) ( ) -6 por lo tnto:

12 6 6 y 6 9 y y 6 Los números que se buscn son el 6 y el, por lo tnto se colocn los números nteriores en el trinomio considerándolos como coeficientes de términos lineles quedndo: 9x + 6x - x - 4 Fctorizndo por grupción l expresión obtenid: ( 9x + 6x ) ( x - 4 ) x ( x + ) - 7 ( x + ) ( x + ) ( x - 7 ) Siendo l últim expresión el resultdo de l fctorizción. ECUACIONES Un ecución es siempre un iguldd entre dos cntiddes, de ls cules se desconoce uno o más prámetros llmdos vribles. ECUACIONES DE ER GRADO. Se llm sí ls igulddes en donde el prámetro desconocido tiene como máximo exponente l unidd. De quí se deduce que el número de soluciones o ríces de un ecución es igul l myor exponente de cd vrible; en este cso el número de soluciones es uno. L resolución de ecuciones es bstnte simple, si se plicn los siguientes psos. Dd: 4x ½ x + 4 x x - ½ ) Se colocn todos los términos que contengn l vrible en el ldo izquierdo de l ecución, mejor conocido como primer miembro. Se debe recordr que l psr un término de un miembro otro, si en un inicio se encuentr sumndo, l psr l otro miembro psrá restndo y vicevers. 4x - ½ x - x - 0x ½ ) Se colocn todos los términos independientes o constntes en el segundo miembro de l ecución ( ldo derecho de l iguldd ), siguiendo el mismo criterio de operciones que pr el primer pso. 4x - ½ x - x -0x -9 - ½ ) Se relizn reducciones de términos en mbos miembros de l ecución x 4) Se despej l vrible considerndo que el coeficiente está multiplicándol y por lo tnto psrá dividiendo todo el segundo miembro. -59/ x -9/ -9 9 Siendo x 59 / 9, el vlor que cumple l iguldd inicil si se sustituyer. SISTEMAS DE ECUACIONES O ECUACIONES SIMULTANEAS Teniendo: x + 6y ( ) x - y ( ) Los métodos pr resolverls son: Reducción o Sum y/o rest. - Eliminción por Igulción. Sustitución. - Método de los Determinntes. Pr resolver el sistem de ecuciones plntedo por el método de reducción o sum y rest se debe: ) Se iguln los términos vribles, con los términos constntes. El objetivo de este método es igulr los coeficientes de l vrible que se quiere eliminr, buscndo con l igulción que queden tmbién con diferente signo dichos coeficientes (esto se logr multiplicndo o dividiendo culquier o mbs ecuciones por un vlor determindo).

13 En este cso, se multiplicrá l ecución ( ) por -, quedndo: -x + 6y ( ) ) Sumr término termino ls ecuciones, tnto en el primer como en el segundo miembro. x + 6y ( ) + -x + 6y ( ) 0 + y -46 ) Despejr el vlor obtenido de un de ls vribles. 46 y - y - 6 4) Sustituir el vlor de l vrible encontrd en culquier de ls ecuciones iniciles y despejr el vlor de l segund vrible. x + 6 ( - 6 ) 4 x - 4 x 4 + x 7 7 x 5) Si los vlores encontrdos son correctos, l sustituir mbos en ls ecuciones iniciles, mbs igulddes se deben de cumplir. Pr resolver el sistem de ecuciones inicil por el método de sustitución se tiene que: ) Se iguln los términos constntes con el resto de ls ecuciones quedndo: x + 6y () x - y () ) Se escoge un vrible de un de ls ecuciones y se despej. Despejndo x de l ecución () se tendrá: x 0 + y (A) ) Sustituir el vlor de x en l otr ecución: ( 0 + y ) + 6y 4 Resolviendo l ecución de primer grdo con un vrible resultnte se tiene: y + 6y 4 y 4-60 y y - y - 6 Sustituyendo el vlor obtenido pr y en (A) : x 0 + ( - 6 ) x 0-7 x METODO DE LOS DETERMINANTES Determinnte.- Es un rreglo de números en renglones y columns. c d - cb b d D. secundri D. primri El resultdo de un determinnte es el producto de los números en l digonl primri menos el producto de los números de l digonl secundri

14 Pr plicr este concepto los sistems de ecuciones se form un determinnte principl de l siguiente form: x - 4y () x + y () coef. x coef. y ( - 4) Posteriormente se form un determinnte pr x ctes. coef. y - 4 x 4 - ( - 40 ) Se form un determinnte pr y coef. x ctes y Pr encontrr x se plic: x 64 x Pr encontrr y se plic: y 8 y.8 0 ECUACIONES DE DO GRADO. Ls ecuciones complets de do grdo tienen l form: x + bx + c 0 Donde: x : Término cudrático. bx: Término linel. c: Término constnte o independiente. Se pueden tener ecuciones incomplets de l form: x + bx 0 x + c 0 En todos los csos se pueden resolver por medio de l fórmul cudrátic o fórmul generl l cul tiene l form: Ejemplo: x - ( - ) ± ( ) 4(4)( 4) - b ± b 4c 4x - x ± ± 68 x ( 4 ) 8 8

15 x y x 8 8 Se encuentrn dos vlores pr l mism vrible ddo el grdo de l ecución. Ls ecuciones de segundo grdo pueden resolverse por fctorizción por el método de complemento del cudrdo perfecto que se muestr continución: Teniendo: x + 8x - 0 ) Se coloc en el do miembro el término constnte. X + 8x ) Se extre l mitd del término linel y se elev l cudrdo, gregndo mbos miembros el número obtenido. X + 8x ) Sé fctoriz el T.C.P del er miembro y se reduce l expresión ubicd en el do miembro. ( x + 4 ) 8 4) Se despej l vrible. x + 4 ± 8 x - 4 ± 8 x x DESIGUALDADES O INECUACIONES Ls desigulddes o inecuciones son quells expresiones que proporcionn l relción entre dos cntiddes, en ls cules existe ciert diferenci, y demás se desconoce un prámetro llmd vrible o incógnit. A pesr de que l metodologí pr resolver ls desigulddes es prácticmente l mism que pr ls ecuciones, hy que clrr que cundo un término negtivo se encuentr multiplicndo o dividiendo en lguno de los miembros de l desiguldd ps l otro miembro con l operción invers, pero el signo de l desiguldd se invierte. Es decir: x x + 6 x + + 7x x - x - x - 7x x x 9 x El resultdo de un desiguldd no es un solo vlor, es ms bien un intervlo de vlores, que no es otr cos que un conjunto de vlores que poseen cierts propieddes. En nuestro cso el intervlo de vlores que hce ciert l desiguldd es todo el conjunto de números menores que l unidd. En el cso que estmos mnejndo el intervlo de vlores que cumplen l desiguldd son todos los números reles menores uno. Otro ejemplo: x x ( x 4 ) + 5x ¾ x + ½ + x 4x x ¾ x + x - 4x - 5x ½ 7 ¾ x - 7x x - x x 5 8 x. En ls inecuciones o desigulddes tmbién nos podemos encontrr con sistems o inecuciones simultnes, en este cso dichos sistems consisten en inecuciones que poseen soluciones comunes, por ejemplo, teniendo el sistem: 7 5 4

16 x ( ) x ( ) Resolviendo l desiguldd ( ) tendremos que: x x x 0 0 x x 5 Resolviendo l desiguldd ( ) tendremos que: x x 4-5 x 9 9 x x Los resultdos nteriores implicn que los vlores que hcen cierts mbs desigulddes son todos quellos myores que cinco, y que todos los vlores que cinco tmbién son myores que tres. GEOMETRIA EUCLIDEANA Y TRIGONOMETRIA Geometrí.- Es l prte de l mtemátic que tiene por objeto el estudio de ls propieddes de ls forms o figurs. Pr estudir l geometrí necesitmos conocer ciertos conceptos, los cules se presentn continución. Rect.- Es el conjunto de puntos que se extiende sin límite en mbos sentidos. Ángulo.- Es l figur formd por todos los puntos de dos ryos distintos que emnn del mismo origen. Otr definición es: Un ángulo es l pertur o espcio formdo entre l intersección de dos segmentos de rect; el punto de intersección es el vértice. B α C V A CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS. De cuerdo su pertur: s menores de 90 : Ángulos gudos. s igules 90 : Ángulos rectos. s myores de 90 y menores de 80 : Ángulos obtusos. s igules 80 : Ángulos Llnos. s igules 60 : Ángulos Perigonles. De cuerdo su sum: D B A Cundo A + B 90 se dice que A y B son COMPLEMENTARIOS. B A Cundo A + B 80 se dice que A y B son SUPLEMENTARIOS. De cuerdo su posición: B A A y B son opuestos por el vértice.

17 B A A y B son colineles. S A A y B son lternos con respecto l rect S. B Ángulos entre rects prlels interceptds por un secnte u oblicu. Se tienen: B A Ángulos lternos externos C D A y G A G F E G H 4 B y H B H Ángulos Igules Ángulos lternos internos A E D H B F C G C y E C E D y F D F T R I A N G U L O S El triángulo es un polígono de tres ldos y tres ángulos cuyo perímetro es: L + L + L y de áre: ( b * h ) /. Cundo: L L L L L L L L L es un triángulo Equilátero. es un triángulo Isósceles. es un triángulo Escleno. Cundo en un triángulo: s < 90 Triángulo Acutángulo. 90 Triángulo Rectángulo. > 90 Triángulo Obtusángulo. Propieddes de los triángulos..- L sum de los ángulos interiores de culquier triángulo es igul En todo triángulo, ldos igules se oponen ángulos igules y vicevers. Dichos ángulos y ldos se llmn homólogos..- En un triángulo, un ldo es menor que l sum de los otros dos y myor que l diferenci. 4.- En un triángulo, myor ldo se opone myor ángulo y vicevers. 5.- En todo triángulo equilátero, los tres ángulos son igules y cd uno vle En todo triángulo un ángulo exterior es igul l sum de los dos interiores que no le son dycentes. 7.- En todo triángulo l sum de los ángulos exteriores es igul En todo triángulo rectángulo, los ángulos gudos son complementrios y l hipotenus es myor que culquier de los ctetos. 9.- Todo triángulo que tiene dos ángulos igules es isósceles. 0.- En todo triángulo isósceles, los ángulos contiguos l bse son igules. CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

18 Congruenci.- Un triángulo es congruente o igul otro, si tiene todos sus ldos y ángulos respectivmente igules los ldos y ángulos del otro triángulo. Postuldos de Congruenci ( iguldd ). Postuldo L A L.- Dos triángulos que tienen dos ldos igules y el ángulo comprendido entre ellos tmbién igul, son congruentes. Postuldo A L A.- Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivmente igules y el ldo comprendido entre ellos tmbién igul, son congruentes. Postuldo L L L.- Dos triángulos que tienen los tres ldos respectivmente igules son congruentes. Postuldos de Semejnz. Postuldo A A.- Dos triángulos son semejntes, si tienen dos ángulos respectivmente igules. Postuldo L A L.- Dos triángulos son semejntes, si tienen un ángulo respectivmente igul y proporcionles los ldos que los formn. Postuldo L L L.- Dos triángulos son semejntes si tienen sus tres ldos respectivmente proporcionles. ANÁLISIS DE LOS TRIÁNGULOS. Triángulos Rectángulos. Teorem de Pitágors Cteto Cteto Hipotenus c + b El cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos. A + B + C 80 c L sum de los ángulos interiores de culquier triángulo es igul 80. b Funciones Trigonométrics.- Son quells regls de correspondenci que relcionn los ldos con los ángulos en un triángulo Rectángulo. Seno Ct._ opuesto Hipotenus Cotngente Ct._ dycente Ct._ opuesto Coseno Ct._ dycente Hipotenus Secnte Hipotenus Ct._ dycente Tngente Ct._ opuesto Ct._ dycente Cosecnte Hipotenus Ct._ opuesto Triángulos Oblicuángulos.- Son quellos triángulos cutángulos y obtusángulos. c b A + B + C 80 Ley de Senos. b c

19 Sen A Sen B Sen C Ley de Cosenos. c + b - b Cos C c + b - cb Cos A b c + - c Cos B VALORES ESPECIALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS θ θ Sen θ Cos θ Tng θ Cot θ Sec θ Csc θ grdos rdines π / 6 / / / / 45 π / 4 / / 60 π / / / / / 90 π / IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Identiddes de Recíprocos. Sen A * Csc A Tng A * Cotg A Cos A * Sec A Identiddes de División. Sen A Tng A Cotg A Cos A Cos A Sen A Identiddes de Cudrdos. Sen A + Cos A Sec A + Tng A Csc A + Cotg A Identiddes de Sum y Diferenci de dos Ángulos. Sen (A ± B) Sen A Cos B ± Sen A Cos B Cos (A ± B) Cos A Cos B Sen A Sen B Tng A ± Tng B Tng (A ± B) Tng A Tng B Identiddes del Doble de un Ángulo Sen A Sen A Cos A Cos A Cos A - Sen A - Sen A Cos A - Tng A Tng A - Tng A Otrs Identiddes Importntes. - Cos A Sen A + Cos A

20 Cos A ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Un ecución trigonométric es un iguldd entre expresiones de un mismo ángulo que solo se stisfce pr determindo vlor o vlores de ángulo. No hy que confundir un ecución trigonométric con un iguldd trigonométric, y que l ecución se cumple únicmente pr determindos vlores y l iguldd pr culquier vlor de ángulo. No existen métodos generles pr l solución de ecuciones trigonométrics, en muchos csos esto depende de l gudez y l experienci de l person, pero puede empezrse por trnsformr l ecución trigonométric en lgun otr equivlente más sencill y luego resolver por los procesos lgebricos correspondientes. Por ejemplo: Sen (x) - Sen (x) Cos (x) 0 pr Primero fctoricemos el fctor común Sen (x) : Sen (x) [ Cos (x) ] 0 De l expresión nterior se puede observr que se cumple l iguldd cundo lguno de los dos fctores se cero de lo que se puede deducir que: Si Sen (x) 0 entonces x 0 y/o x π π y Cos (x) 0 entonces Cos (x) ½ lo que implic que x y/o x 5 π por lo tnto ls soluciones buscds pr 0 x < π son: π x 0,, π y 5 π Se puede verificr si los vlores son ciertos si se sustituyen en l ecución originl uno por uno. POLÍGONOS Polígono.- Es l porción de un plno, que se encuentr limitdo por línes rects, llmds ldos. Clsificción. De cuerdo l número de ldos. ldos Triángulo. 7 ldos Heptágono. 4 ldos Cudrilátero. 8 ldos Octágono. 5 ldos Pentágono. 9 ldos Eneágono. 6 ldos Hexágono. 0 ldos Decágono. Pueden ser: Convexos.- Si todos sus ángulos interiores son menores de 80. Cóncvos.- Si tiene por lo menos un ángulo interior myor de 80. Convexo Cóncvo Tmbién se clsificn en: - Equilátero.- Todos sus ldos igules. - Equiángulo.- Todos sus ángulos igules. - Regulr.- Es l vez equilátero y equiángulo. - Irregulr.- Cundo No cumple lo nterior. Propieddes.

21 Perímetro.- Es l sum de ls medids de sus ldos. Digonl.- Es el segmento de rect que une un vértice con otro vértice no consecutivo. Vértice.- Punto de unión de dos ldos. Apotem (En un polígono regulr).- Es el segmento de rect perpendiculr trzd desde el centro del polígono uno de sus ldos. Teorems. L sum de los ángulos interiores de un polígono, es igul : S int 80 ( n ). L sum de los ángulos exteriores de un polígono es igul 60. El número de digonles de un polígono de n ldos es igul : D n * ( n ) n número de ldos. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. Circunferenci.- Es un curv pln y cerrd, cuyos puntos equidistn de un punto interior llmdo centro. Círculo.- Es l superficie pln limitd por l circunferenci. Rects y Puntos Importntes. O Centro. OR ( Rdio ).- Rect que une l centro con un punto culquier de l circunferenci. AB ( Diámetro ).- Es l rect que une dos puntos de l circunferenci psndo por el centro. MCN (Arco).- Prte culquier de l circunferenci. MN ( Cuerd ).- Es tod rect que une dos puntos de l circunferenci. TS ( Secnte ).- Es un rect que cort l circunferenci en dos puntos. EG ( Tngente ).- Es un rect que tiene un solo punto en común con l circunferenci. B ( Punto de Tngenci ).- Es el punto donde l tngente toc l circunferenci. CF ( Flech ).- Es l prte de rdio, perpendiculr en el punto medio de un cuerd, comprendid entre está y el rco. LOGARITMOS. Los logritmos se definen como:

22 Si es un número positivo ( > 0 ) distinto de y x es un número rel en l ecución x y; entonces x es llmdo el logritmo de y en bse. Es decir: x y x log y El LOGARITMO de un NUMERO y es el exponente l que hy que elevr l bse pr obtener el vlor y. Esto implic que se puede llevr un función exponencil un función logrítmic y vicevers, por ejemplo: 5 5 log 5 5 Existen dos tipos básicos de logritmos, los llmdos logritmos de BRIGGS, comunes, vulgres o decimles y los llmdos logritmos de NEPER o logritmos nturles, mbos tipos siguen l mism definición de logritmo, l diferenci es l bse que se tom pr cd uno de ellos, en el primer cso l bse de l potenci es 0 y en el segundo cso es el número e, el cul tiene un vlor de , continución se presentn ls leyes que rigen ls operciones con logritmos. LEYES DE LOS LOGARITMOS ) log c ( b) log c + log c b ) log c ( b ) log c log c b ) log c n n log c 4) log c n log c / n 5) log c 0 sí c 0 6) log c 0 Ejemplo: L expresión log [ x z y ] es equivlente : Pr est expresión, primero se plic l ley número, quedndo l expresión: log [ x z y ] log ( x z ) - log ( Aplicndo l ley número, l primer término del segundo miembro de l ecución nterior obtenemos: log [ x z y ] log y ) x + log z - log y Aplicndo por último l ley número, l expresión equivlente serí: log [ x z ] log x + log z - log y y Un de ls plicciones más importntes de ests regls de los logritmos son ls ecuciones exponenciles y/o logrítmics, por ejemplo: Resolver: 4 x 8 x + Aplicndo logritmo mbos miembros de l ecución, y l ley número tres: log ( 4 x ) log ( 8 x + ) ( x ) log 4 ( x + ) log 8

23 Mnipulndo lgebricmente y relizndo operciones se tendrá: x ( x + ) x ( x + ) log8 log x ( x + ) (.5 ) x.5 x +.5 x.5 x x.5.5 x 0.5 x -5 Por lo tnto el vlor de x que hce ciert l ecución es : x -5. GEOMETRÍA ANALÍTICA L geometrí nlític es l rm de l mtemátic, que conjug y une él álgebr y l geometrí pln, es un de ls áres que tiene l myor plicbilidd y l myor importnci y que en est se fundment el cálculo y sus diferentes plicciones. L principl herrmient de l geometrí nlític es el plno crtesino, el cul se conoce ms formlmente como sistem de coordends rectngulres, este sistem est formdo como sbemos, de un pr de rects numérics que se interceptn en un punto llmdo origen y son perpendiculres entre sí, lo que d lugr l formción de los llmdos ejes crtesinos los cules se conocen como eje x (o eje de ls bciss) y eje y (o eje de ls ordends), ests condiciones formn tmbién los llmdos cudrntes los cules se numern como muestr l siguiente figur, se muestr tmbién el sentido de cd uno de los ejes coordendos, y los signos de un punto representtivo loclizdo en cd cudrnte. De l figur nterior se puede observr que se puede representr un punto por medio de un pr ordendo de números que representrn ls uniddes sobre el eje x y ls uniddes sobre el eje y que se deben tomr pr loclizr un punto en prticulr, lo cul implic que podemos representr lugres geométricos prtir de números y ecuciones, que es donde rdic uno de los objetivos de l geometrí nlític, el otro objetivo es teniéndose ls ecuciones y números obtener el tipo de lugr geométrico l que están representndo. LA RECTA. L rect es el primer lugr geométrico que se trt en l geometrí nlític, no hy un definición precis de lo que es un rect y por lo tnto se tomrá entonces l definición intuitiv que se mnejo en el prtdo de geometrí pln, complementrimente eso un rect se puede definir prtir de ls propieddes que cumplen los puntos que l formn de lo cul se deduce que un rect se puede representr si se cumplen dos condiciones:. Si se conocen dos puntos que l formn o por los cules pse.

24 . Si se conoce un punto y su inclinción o pendiente con respecto l horizontl. Ls siguientes relciones nos drán l form de representr un ecución en diferentes circunstncis y con diferentes dtos, pero siempre cumpliendo ls dos condiciones nteriores. Distnci entre dos puntos. D ( ) ( ) x x + y y Punto medio de un segmento. Ecución Pendiente Ordend l origen y mx + b Prlelismo Perpendiculridd m m m * m - Pm x + x, y + y tng α Ángulo entre Dos Rects m - m + m * m m tng α Pendiente de un rect. y x y x Ecución crtesin de l rect o ecución de l rect teniendo dos puntos. y x y x y x y x Ecución Punto Pendiente de l rect. y y m ( x x ) Ecución Generl de l rect. Ax + By + C 0 D Distnci de un Punto un Rect. A x + B y + C ± A + B LA CIRCUNFERENCIA L definición de l circunferenci es exctmente l mism que pr l geometrí pln, l s siguientes relciones proporcionn l interpretción nlític de este lugr geométrico Ecución ordinri de l circunferenci con centro en el origen. (Fig. ). x + y r c ( 0, 0 ) Ecución ordinri de l circunferenci con centro fuer del origen. (Fig. ) ( x h ) + ( y k ) r c ( h, k ) Fig. Ecución generl de l circunferenci.

25 A x + C y + D x + E y + F 0 Como se observ un circunferenci estrá definid si se conoce su centro y su rdio, independientemente de l loclizción de su centro si se nliz detenidmente, se podrá ver que mbs ecuciones de l circunferenci, con centro dentro y fuer del origen son ls misms. LA PARABOLA. Fig. L prábol form prte de un conjunto de lugres geométricos llmdo secciones cónics, el cul está formdo por l circunferenci, l prábol, l elipse y l hipérbol. L prábol se define formlmente como el lugr geométrico formdo por el conjunto de puntos que equidist de un punto fijo llmdo foco (F) y un rect fij llmd directriz (D), en l figur, se muestrn los elementos de un prábol. Fig. Ls siguientes son relciones que proporcionn ls diferentes representciones nlítics de l prábol. x ± 4 p y Prábol verticl V ( 0, 0 ) y F ( 0, ± p ) (Fig. 4) y ± 4 p x Prábol horizontl V ( 0, 0 ) y F ( ± p, 0 ) (Fig. 5) ( x h ) ± 4 p ( y k ) Prábol verticl V ( h, k ) y F ( h, k + p ) (Fig. 6) ( y k ) ± 4 p ( x h ) Prábol horizontl V ( h, k ) y F ( h + p, k ) (Fig. 7) A x + D x + E y + F 0 Ecución generl de l prábol. C y + E y + D x + F 0 Pr tods ls condiciones nteriores el Fig. 4 Fig. 5

26 vlor del ldo recto es: LR 4p y l ecución de l directriz se puede obtener prtir de ls coordends del foco y l orientción del eje focl sbiendo que l directriz será perpendiculr dicho eje. Al igul que los dos lugres geométricos nteriores, pr definir este lugr geométrico se deben conocer dos de sus prámetros, los cules pr l prábol pueden ser el vértice y el foco, el vértice y el prámetro ó el foco y el prámetro. LA ELIPSE L elipse es otro lugr geométrico de ls llmds cónics, y se define formlmente como: El lugr geométrico formdo por el conjunto de puntos en un plno, cuy sum de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. L definición nterior sí como los elementos de un elipse se presentn en l figur 8. L sum de los segmentos PF y PF es los que hce referenci l definición, lgebricmente se tiene: PF + PF De l figur: O es el centro de l elipse V y V son los vértices del eje myor. B y B son los vértices del eje menor. F y F son los focos Fig. 8 Existe un prámetro que se debe tomr en cuent pr ls elipses e hipérbols, unque tmbién implic l circunferenci y l prábol, dicho prámetro es l excentricidd, que indic el grdo de redondez que posee l sección cónic de l que sé este hblndo. Ls siguientes son ls ecuciones de un elipse en sus diferentes orientciones. Elipse Horizontl con centro en el origen. (Fig. 9) x y > b C ( 0, 0 ) c + e F ( c, 0 ) F ( -c, 0 ) b c b V (, 0 ) V ( -, 0 ) b LR B ( 0, b ) B ( 0, -b ) Elipse Verticl con centro en el origen. (Fig. 0) x y C ( 0, 0 ) + F ( 0, c ) F ( 0, -c ) b V ( 0, ) V ( 0, - ) B ( b, 0 ) B ( -b, 0 )

27 Elipse Horizontl con centro fuer del origen. (Fig. ) ( x h) ( y k) + b > b C ( h, k ) e c F ( h + c, k ) F ( h - c, k ) c Elipse Verticl con centro fuer del origen. (Fig. ) ( x h) ( y k) b + b V ( h +, k ) V ( h -, k ) b LR B ( h, k + b ) B ( h, k - b ) Fig. 9 C ( h, k ) Fig. 0 F ( h, k + c ) F ( h, k - c ) V ( h, k + ) V ( h, k - ) B ( h + b, k ) B ( h - b, k ) Pr l elipse tmbién de debe conocer ciertos elementos pr poder representrl nlíticmente, los prámetros pueden ser el centro y los vértices (del eje myor y del eje menor); el centro, un foco y uno de los vértices ó el centro, un foco y l excentricidd, etc. Un ecución de l form: Ax + Cy + Dx + Ey + F 0 representrá un elipse con ejes prlelos los ejes crtesinos si los coeficientes A y C son diferentes pero con el mismo signo. Est ecución se conoce como ecución generl de l elipse. LA HIPERBOLA Fig. Fig.

28 L hipérbol se define como el lugr geométrico de los puntos del plno cuy diferenci de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. Mtemáticmente se define como: PF - PF ; l curv tiene como crcterístics ser biert y ser formd por dos rms, l igul que l prábol y l elipse, l hipérbol es simétric. En l siguiente figur se muestrn los elementos de l hipérbol. Ls siguientes son ls relciones que proporcionn ls ecuciones de l hipérbol en sus diferentes orientciones: Hipérbol horizontl con centro en el origen. x b y F ( c. 0 ) F ( -c, 0 ) V (, 0 ) V ( -, 0 ) c + b b LL e ec. Asíntots: y ± b x c + b Hipérbol verticl con centro en el origen. y b x F ( 0. c ) F ( 0, -c )

29 V ( 0, ) V ( 0, - ) c + b b LL e ec. Asíntots: y ± x c + b b L hipérbol l igul que los lugres geométricos nteriores puede ser trsldd un centro fuer del origen, con coordends C( h, k) y l igul que estos l vrición en sus ecuciones se obtiene tomndo en cuent el corrimiento horizontl y verticl que sufre el lugr geométrico, el cmbio de cd uno de sus elementos se puede deducir fácilmente, ls ecuciones ordinris quedrn en l form: Pr l hipérbol horizontl Pr l hipérbol verticl ( x h ) ( y k ) ( y k ) ( x h ) b L ecución generl que represent un hipérbol con ejes prlelos los ejes crtesinos es: Ax + Cy + Dx + Ey + F 0 en donde los coeficientes A y C deben ser de diferente signo. Como podemos notr, los lugres geométricos cuys ecuciones están expresdos por ecuciones de do grdo, tienen un form o ecución generl muy similr l cul si se generliz est dd por l expresión: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F 0 l cul es precismente l ecución generl de ls cónics, l ecución prticulrizd pr cd un de ells y se mostró, pero existe otro criterio pr sber prtir de un ecución generl de que tipo de lugr geométrico se trt, dicho criterio implic l evlución del discriminnte o indicdor: B - 4AC; el criterio es el siguiente: Sí B - 4AC 0 l ecución represent un elipse. Sí B - 4AC 0 l ecución represent un prábol. Sí B - 4AC 0 l ecución represent un hipérbol. Con este criterio es posible identificr más fácilmente el lugr geométrico que se está nlizndo y poder plicr ls relciones correspondientes. COORDENADAS POLARES Este es otro sistem de coordends por medio del cul se puede fijr l posición de un punto o lugr geométrico sobre un plno, dicho sistem está formdo por un eje fijo llmdo eje polr, el cul inici en el origen o polo del sistem. L ubicción de un punto estrá dd trvés de l distnci existente entre el polo y el punto que se este mnejndo (llmdo rdio vector), y por medio del ángulo formdo por el rdio vector y el eje polr, gráficmente: b

30 El sentido del ángulo θ es el convencionl, es decir, positivo en el sentido contrrio l giro de ls mnecills del reloj (nti-horrio), el rdio vector tmbién puede ser positivo o negtivo, el sentido lo drá tmbién el sentido convencionl, hci l derech positivo y hci l izquierd negtivo. L relción existente entre ls coordends polres y ls rectngulres se d por medio de ls siguientes relciones: x r cosθ, y rsenθ y r x + y ls expresiones nteriores se pueden deducir fácilmente si se hce coincidir el origen del plno crtesino con el origen o polo del sistem polr y obteniendo l bscis y ordend del punto P. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Función.- Es un regl de correspondenci unívoc (uno uno) entre los elementos de dos conjuntos. Vrible independiente.- Es quell l cul se le sign vlores rbitrrimente. Vrible dependiente.- Es quell en l cul el vlor de l mism, depende del vlor signdo l vrible independiente y de l regl de correspondenci entre ls dos vribles. Clsificción de ls funciones. - Constntes. - Algebrics. - Trscendentes: * Exponenciles. * Logrítmics. * Trigonométrics. Función explícit.- Este tipo de función explic clrmente l regl de correspondenci entre l vrible dependiente y l vrible independiente. Función implícit.- De un mism expresión se pueden deducir dos regls de correspondenci o más. y f ( x ) x + x + 4 y 6 función explícit función implícit Concepto de Límite. Límite.- Se dice que l vrible V tiende l constnte L como límite, cundo los vlores sucesivos de V son tles que el vlor numérico de l diferencis V L puede llegr ser, finlmente, menor que culquier número positivo predetermindo tn pequeño como se quier. Lím z v l El límite de z, cundo v tiende l, es. Teorems sobre límites. ) k k ) ku k u lim x ) x lim x lim x lim x 4) ( u v w) A B C lim x + + +

31 5) lim ( u v w) A B C 6) x u A x v B n lim u limu lim si B 0 7) ( ) n x x lim n 8) n x u limu x El cálculo de límites es sencillo, solo hy que evlur l vrible de l función en el vlor hci el cul tiende dich vrible y relizr ls reducciones correspondientes, en lgunos csos nos encontrremos con forms indeterminds como 0 0 e, ls cules se pueden resolver por medio de operciones lgebrics simples, por medio de fctorizciones, por medio de rcionlizciones, etcéter. DERIVACIÓN Derivd.- L derivd, coeficiente diferencil o función derivd de un función es el límite de l rzón del incremento de l función l incremento de l vrible independiente cundo éste tiende cero. Simbólicmente: lim x 0 f ( x + x) f ( x) L notción que se utiliz pr expresr l derivción es vrid pero tenemos principlmente que l derivd se expres de ls siguientes forms: y lim lim x 0 x x 0 f ( x + x) f ( x) x d dx y x d dx f ( x) D y D f ( x) y' f '( x) L derivd se puede interpretr de diferente mner como por ejemplo puede representr un rzón de cmbio, l pendiente de un rect y l velocidd de un cuerpo. El derivr un función es relizr l trnsformción de dich función en otr más simple, l mner en que se hcen ests trnsformciones depende de l form de l función originl, continución se presentn ls regls de derivción más importntes y comunes: Regls de derivción. ) f ( c ) 0 8) f ( ln v ) /v ( f (v) ) ) f ( x ) 9) f ( v ) v ln f (v) ) f ( u + v w ) f (u) + f (v) - f (w) 0) f ( e v ) e v f (v) 4) f ( c v ) c f (v) ) f ( sen v ) cos v f (v) 5) f ( u v ) u f (v) + v f (u) ) f ( cos v ) - sen v f (v) 6) f ( v n ) n v n ) f ( tn v ) sec v f ( v ) 7) f ( u / v ) ( v f (u) - u f (v) ) / v Ejemplo: Dd l f(x) x + 4x 6x +, hllr su derivd..- Si observmos l función que nos están proporcionndo, está formd por un sum de cutro funciones, l primer cúbic, l siguiente cudrátic, l tercer linel y l últim constnte, lo que implic que se debe plicr l regl de derivción número tres. f ( x ) f ( x ) + f ( 4 x ) - f ( 6 x ) + f ( ).- Ahor vemos que ls tres primers funciones son multiplicds por un constnte por lo cul se plic l regl cutro, observemos que l ultim función es un constnte por lo tnto se plic l regl uno. f ( x ) f ( x ) + 4 f ( x ) - 6 f ( x ) + 0 x x

32 .- Se obtiene l derivd de ls dos primers funciones por medio de l regl seis, pr l tercer función se plic l regl dos. f ( x ) ( x ) + 4 ( x ) - 6 ( ) 4.- Se relizn los productos indicdos y l expresión resultnte es l derivd solicitd. f ( x ) 6 x + 8 x - 6 Otro ejemplo: Hllr l derivd de f ( x) x 8 x Est función est formd por un división y un producto de funciones, primero obtendremos l derivd de cd función como en el ejemplo nterior. ( x 8) x f ' 6 y f '( x + 5).- Y teniendo l derivd de cd un de ls funciones que intervienen en l función originl plicremos l regl siete. ( x) f ' ( x + 5)( 6x) ( x 8)( ) ( x + 5).- Se relizn ls operciones indicds y se reduce obteniendo sí l derivd de l función. ( x) f ' 6 + 4x 6x ( x + 5) Aplicciones de l derivd. Método de máximos y mínimos. ero.- Hllr l primer derivd de l función. do.- Igulr cero l primer derivd y resolver l ecución. ero.- Hllr l segund derivd. 4 t.- Sustituir en l segund derivd, en lugr de l vrible, cd uno de los vlores críticos obtenidos. Sí el resultdo es negtivo, l función tiene un máximo pr este vlor crítico; si el resultdo es positivo, l función tiene un mínimo. INTEGRACIÓN L integrción indefinid es l operción invers l diferencición, en otrs plbrs l integrción es l ntiderivción de ls funciones obtenids en l diferencición, por lo tnto tmbién se tienen regls pr integrr funciones, ls regls pr ls integrles indefinids se muestrn continución: du.- du du + dv.- ( du dv dw) + dw.- dx x + c n+ n v 4.- v dv + c n + dv 5.- ln v + c v v v 6.- dv + c ln v v 7.- e dv e + c 8.- senvdv cos v + c 9.- cos vdv senv + c 0.- sec vdv tn gv + c.- csc vdv ctgv + c dv secv + c csc v ctgv dv cscv +.- ( sec v)( tgv).- ( )( ) c dv ln cos v + c ln secv + c 4.- ( tgv) ctgv dv ln senv + c 5.- ( )

33 + c csc v dv ln cscv ctgv ( sec v) dv ln( secv + tgv) 7.- ( ) ( ) c Ejemplo: + Hllr l integrl ( x 5x x 4). Se observ que l expresión est formd por un sum lgebric de diferenciles, lo que implic que se debe plicr l regl de integrción número dos. ( 5x x + 4) dx x dx 5x dx xdx x + 4dx. Pr ls integrles obtenids se observ que hy un producto de constntes con diferenciles, por lo cul se deduce l plicción de l regl uno. ( x 5x x + 4) dx x dx 5 x dx xdx 4 +. El siguiente pso será l plicción de ls regls cutro y tres. 4 x x x ( x 5x x + 4) dx 5 + [ x] + c Relizndo ls reducciones correspondientes se obtendrá l integrl requerid. 4 5 ( x 5x x + 4) dx x x x + x + c 4 L letr c que se h estdo incluyendo tnto en ls regls de integrción inmedit como en el ejemplo nterior es l llmd constnte de integrción, est constnte represent el vlor por medio del cul se puede obtener un fmili de curvs o funciones que solo sé diferencín entre sí trvés de dich constnte. INTEGRAL DEFINIDA Si f es un función definid en un intervlo cerrdo [, b ], y se P un prtición de [, b ] con divisiones en x 0, x,..., x n, en donde cd un de ess divisiones se encuentr dentro del intervlo, entonces l integrl definid de f de b es: b f n * ( x) lim f ( xi ) P 0 i sí este limite existe. Si existe, entonces se dice que f es integrble en el intervlo [,b]. El plntemiento nterior es l definición forml de un integrl definid, pr nuestros fines est definición es hst cierto punto irrelevnte, con l yud del teorem fundmentl del cálculo l evlución de un integrl definid se reduce : Si f es continu en [, b ], entonces: b f x ( x) dx F( b) F( ) en donde F es culquier ntiderivd de f, es decir, F f. L expresión nterior nos indic que pr obtener l integrl definid de un función o diferencil, simplemente se debe obtener l integrl inmedit o ntiderivd de l función y posteriormente obtener el vlor de l diferenci de l integrl inmedit evlud en el limite superior menos l integrl inmedit evlud en el limite inferior. L integrl definid nos proporcion como resultdo un número o vlor constnte por lo cul no depende de un vrible en prticulr, se puede utilizr culquier vrible l evlur un integrl definid sin lterr el vlor de l integrl, dds ests condiciones, l vrible signd l evlur un integrl definid en prticulr, se le conoce como vrible fictici, si un integrl definid es positiv, entonces dich integrl puede interpretrse como un áre. Ejemplo: i dx dx

34 9 Clculr: t + t t t dt..- Antes de trtr de evlur l integrl observemos que se puede reducir lgebricmente él integrndo, quedndo: 9 t t dt + L reducción se hizo dividiendo cd termino del numerdor del integrndo entre él denomindor..- Y reducido él integrndo se obtiene l integrl inmedit pr él mismo, quedndo l expresión: 9 t dt + t t + t.- Evlundo l expresión nterior en los limites tendremos: 9 + t 4 + t t dt ( 9) + ( 9) + ( ) ( ) ( ) + + ( ) 9 9 él cul es el vlor solicitdo. L integrl definid puede tener diferentes plicciones o interpretciones entre ls cules se encuentrn el áre bjo un función o entre dos funciones, puede interpretrse como el volumen de un cuerpo, como el áre de un sólido en revolución, como el trbjo relizdo por un cuerpo o pr encontrr l longitud de un rco. 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

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