Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral. Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina

Transcripción

1 Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina

2 ÍNDICE 1.- Qué es el cálculo diferencial 2.- Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos 3.-Criterio de la I derivada 4.-Ejemplos 5.- Criterio de la II Derivada 6.- Ejemplos 7.-Aplicaciones del cálculo integral a la administración 8.- El excedente del consumidor y el excedente del productor 9.- Ejemplos

3 Contenidos del Webinar Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral Criterio de la I Derivada Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos Criterio de la II Derivada Aplicaciones de la Integral en la Administración Excedentes del consumidor y del productor Ej 1 Ej 2 Ej 1 Ej 2 Ej 1 Ej 2

4 Qué es el cálculo? El cálculo es una de las áreas de la Matemática dedicada al estudio de los cambios que se dan en las diferentes funciones, es por este motivo que su estudio esta relacionado con la pendiente de una curva, la recta tangente, la velocidad de cambio, entre otros. El presente trabajo busca mostrar de una manera gráfica la relación de una función con su primera y segunda derivada, apoyados con el software libre GeoGebra. Mediante diferentes ejemplos el estudiante puede manipular las funciones y observar su relación con sus derivadas. Regresar

5 Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos La I derivada y la II derivada están estrechamente ligadas a la función original y proporcionan información valiosa de la misma. La misma es de gran ayuda a la hora de graficar la función. En la mayoría de los cursos de cálculo se habla que la I derivada permite determinar los intervalos de monotonía de la función y sus puntos extremos. La segunda derivada nos indica los intervalos de concavidad, puntos de inflexión y verifica si los puntos extremos son máximos y mínimos Regresar

6 Criterio de la I derivada Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que es derivable en todo punto del intervalo abierto ]a, b[. Sea c en ]a, b[ tal que f (c) = 0 ó f (c) no existe. Si f`(x) es positiva para todo x<c, y negativa para todo x > c, entonces f ( c ) es un valor máximo relativo de f( x )

7 Criterio de la I derivada Si f`(x) es negativa para todo x<c, y positiva para todo x > c, entonces f ( c ) es un valor mínimo relativo de f( x )

8 Criterio de la I derivada Si f`(x) es positiva para todo x<c, y también lo es para todo x > c, o s i f`(x) es negativa para todo x<c, y a su vez para todo x > c, entonces f ( c ) es un valor relativo máximo, ni es un valor mínimo relativo de f( x )

9 Puntos críticos Un valor c que pertenezca al dominio de f y que cumpla alguna de las condiciones f (c) = 0 o que f (c) sea indefinida recibe el nombre de valor crítico.

10 Recordatorio Puntos críticos Primera derivada Creciente Decreciente

11 Ejemplo 1

12 Ejemplo 2

13 Criterio de la II Derivada La segunda derivada de una función nos permite determinar donde la función es cóncava hacia arriba y donde la función es cóncava hacia abajo. Regresar

14 Concavidad La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo, si la segunda derivada de la función es positiva. f x > 0 La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en un intervalo, si la segunda derivada de la función es positiva. f (x) < 0

15 Segunda derivada Concavidad Máximos y mínimos relativos Posibles puntos de inflexión Segunda derivada

16 Puntos de inflexión Un punto c del dominio de una función es un punto de inflexión si: f c = 0 o f (c) ni existe En c se presenta un cambio de concavidad. f es continua en c

17 Ejemplo 1 Regresar

18 Ejemplo 2 Regresar

19 El cálculo integral en la Administración Una de las aplicaciones del cálculo integral en la administración es el cálculo de los excedentes tanto de los consumidores como de los productores. El precio de un artículo o bien esta determinado por su utilidad o su valor, es decir, depende de la cantidad de dinero que el consumidor esta dispuesto a pagar por el producto, o el valor monetario asignado por el productor al vender el producto o bien. En ocasiones los consumidores están dispuestos a pagar un precio superior al precio real del producto o al precio que el productor estaría dispuesto a venderlo, es menor que el precio que sugiere el mercado. Regresar

20 Curva de demanda de los consumidores Se llama función de demanda de los consumidores a una función p = D( q ), que proporciona el precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar por obtener la q-ésima unidad de un artículo. Esta función por lo general es una función decreciente de q

21 Curva de oferta de los productores Se llama curva de oferta de los productores a la función p=s (q), la cual determina el precio unitario al que los productores estarían dispuestos a aceptar por ofertar q unidades en el mercado. Esta función por lo general es creciente para q.

22 Excedentes Se llama excedentes a la suma de todas las diferencias entre el valor que cada persona asigna a un producto o bien y el valor del producto en el mercado. EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Es la diferencia entre la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar y el gasto real de los consumidores. EXCEDENTE DEL PRODUCTOR Es la diferencia entre el gasto real de los consumidores por q0 unidades y la cantidad total que los productores reciben cuando ofertan q0 unidades. Regresar

23 Excedentes de los consumidores y de los productores

24 EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES Desde el punto de vista del cálculo diferencia el excedente de los consumidores se puede expresar por. EC q 0 0 dq p0q0 D q Regresar

25 EXCEDEN TES DE LOS PRODUCTORES Desde el punto de vista del cálculo diferencia el excedente de los productores se puede expresar por EC p 0 q 0 q 0 0 S qdq Regresar

26 Ejemplo 1 Un fabricante de llantas estima que los mayoristas compraran q (miles) de llantas cuando el precio sea p D p 0.1q 2 90 dólares por llanta, el mismo número de llantas se ofertarán cuando el precio sea p S 2 q 0.2q q 50 dólares por llanta. Para determinar el excedente del consumidor y del productor se debe hallar el punto de equilibrio, para lo cual se deben igual ambas ecuaciones 0.1q q 2 q 50 q 10, luego p 80

27 Excedente del consumidor EC q 90dq , ,67

28 EXCEDENTE DEL PRODUCTOR 10 EP = ,2q 2 + q dq ,67=183,33 Regresar

29 Ejemplo 2 Un fabricante de mesas estima que los mayoristas compraran q de mesas cuando el precio sea dólares por mesa, el mismo número de mesas se ofertarán cuando el precio sea dólares por mesa. p p D S 2 p 131 q Para determinar el excedente del consumidor y del productor se debe hallar el punto de equilibrio, para lo cual se deben igual ambas ecuaciones q 50 q q 50 3 q 9, luego 2 2 q 3 p 104

30 Excedente del consumidor EC q 2 dq

31 EXCEDENTE DEL PRODUCTOR EP = q dq = = 324 Regresar

32 BIBLIOGRAFÍA Larson, R. E. (2011). Cálculo. México: McGraw Hill.

33 CONTACTO M.Ed. Gerardo Garita Orozco Tel: (506)