REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

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1 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Dada una función real y f( ) y un punt D se dice que f( ) es: Creciente en, si eiste un entrn de Estrictamente creciente en f( ) < f( ) si < f( ) < f( ) si < Decreciente en, si eiste un entrn de Estrictamente decreciente en f( ) > f( ) si < f( ) > f( ) si < en el que se cumple, si eiste un entrn de en el que se cumple, si eiste un entrn de f( ) f( ) si < f( ) f( ) si < en el que se verifica f( ) f( ) si < f( ) f( ) si < en el que se verifica A cntinuación se van a dar cndicines suficientes para caracterizar ests cncepts para funcines derivables en. Prpsición Dada f( ) una función derivable en se cumple: a) Si f '( ) > 0 entnces f es estrictamente creciente en. b) Si f '( ) < 0 entnces f es estrictamente decreciente en. Ntar que ls recíprcs de estas afirmacines n sn cierts, pr ejempl, f( ) es estrictamente creciente en 0 (ver figura) y sin embarg, f '(0) n es psitiva ya que f '(0) Ejempl 1: Estudiar el crecimient y decrecimient de las siguientes funcines en su dmini de definición: a) f( ) Esta función es derivable en su dmini, D (-, + ), pr ser un plinmi y su derivada es f '( ) 6 6. En este cas, para estudiar el sign de f '( ) se factriza el plinmi bteniéndse: f '( ) 6 6 6( 1) 6( + 1)( 1) El sign de esta epresión depende del sign de ( + 1) y del sign de ( 1) que cambian en ls punts -1 y 1 respectivamente, cm se bserva en la siguiente tabla: Pryect de innvación ARAGÓN TRES 1

2 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Sign (-, -1) (-1, 1) (1, + ) f '( ) Al ser f '( ) > 0 en (-, -1) y en (1, + ), se deduce que f es estrictamente creciente en dichs intervals y al ser f '( ) < 0 en (-1, 1), la función f es estrictamente decreciente en este interval. b) f( ) (ln ) Esta función es derivable en su dmini D (0, + ) y su derivada es ln f '( ) Para determinar el sign de f '( ) se analiza el sign del numeradr y del denminadr: - El sign del numeradr puede cambiar en ls punts que l anulan: ln 0 1 Así, ln < 0 en (0, 1) y ln > 0 en (1, + ). - El sign del denminadr es siempre psitiv en ls punts del dmini. Se divide el dmini en ls intervals determinads pr 1 y se estudia el sign de f '( ) en cada un de ells, bteniéndse: En (0, 1), f '( ) < 0, lueg f es estrictamente decreciente. En (1, + ), f '( ) > 0, lueg f es estrictamente creciente. EXTREMOS RELATIVOS Dada una función y f( ) y un punt D se dice que f( ) tiene en : Un máim relativ, si eiste un entrn de en el que se cumple f( ) f( ). Un mínim relativ, si eiste un entrn de en el que se cumple f( ) f( ). Un etrem relativ, si f tiene en un máim un mínim relativ. Si las desigualdades anterires se verifican de frma estricta para, se dice que el máim mínim es estrict. Ls etrems relativs también se denminan óptims lcales; dand lugar a ls términs máim lcal y mínim lcal. Cndición necesaria de etrem relativ (cndición de primer rden) Si f( ) es una función derivable en un punt f '( ) 0. D y Esta cndición es necesaria per n es suficiente; pr ejempl, f '( ) es un etrem relativ de f, entnces f( ) tiene cm derivada que se anula en 0 y sin embarg, es estrictamente creciente en 0 pr l que n tiene etrem en dich punt. Se dice que es un punt crític de f si f '( ) 0 n eiste f '( ). Pryect de innvación ARAGÓN TRES

3 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Ls etrems relativs de f sn punts crítics, per n td punt crític es etrem relativ. Nótese que ls punts candidats a ser etrems relativs están entre aquells que verifican la cndición necesaria anterir y aquells dnde la función derivada n eiste. Cndición suficiente de etrem relativ (cndición de segund rden) Si f es una función cn derivada segunda cntinua en y f '( ) 0, se verifica: a) f ''( ) > 0 f tiene en un mínim relativ estrict. b) f ''( ) < 0 f tiene en un máim relativ estrict. Otra frma de determinar l que curre en un punt crític el crecimient y decrecimient de la función en punts muy próims a después de él. Así, f estrictamente creciente en punts próims a cn < f estrictamente decreciente en punts próims a cn > en el que f es cntinua, es estudiar, situads antes y f tiene en un máim relativ estrict f estrictamente decreciente en punts próims a cn < f estrictamente creciente en punts próims a cn > Ejempl : Calcular ls etrems relativs de las funcines: a) f( ) ln(1 + ) f tiene en un mínim relativ estrict El dmini de definición de esta función es D (-, + ) ya que 1+ > 0 para cualquier valr de. Para hallar ls punts crítics se calcula f '( ) 1 + que eiste siempre y se anula en 0, lueg este es el únic punt crític de f. Para determinar si 0 es etrem relativ n, se puede prceder de las ds frmas siguientes. Si se quiere aplicar la cndición suficiente se tiene que hallar f ''( ) f ''(0) > 0, se deduce que f tiene en 0 es un mínim relativ estrict. (1 + ) (1 ) (1 ) y cm Si se quiere estudiar el crecimient y decrecimient de f en las primidades de 0, es necesari estudiar el sign de f '( ) antes y después del 0 cm se indica en la tabla que sigue: 1 + Sign (-, 0) (0, + ) f '( ) - + f( ) En 0 la función cambia de estrictamente decreciente a estrictamente creciente, pr l tant, f tiene un mínim relativ en dich punt. b) f( ) + < 7 9 si 1 si 1 Pryect de innvación ARAGÓN TRES

4 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Al estar definida la función de frma distinta antes y después de 1, se estudia f en cada un de ls ds intervals en que se divide el dmini. En (-, 1), f( ) y su derivada f '( ) 7 se anula si 7 0, es decir en cnsidera ya que esta fuera del interval cnsiderad. En (1, + ), f( ) y su derivada f '( ) n se anula nunca. 7, valr que n se Pr l tant, el únic candidat a ser etrem relativ es 1, punt en el que se cmprueba fácilmente que es f cntinua. Para determinar si es etrm, se estudia el crecimient y decrecimient de f en las primidades de 1: - si < 1, f '( ) 7 < 0, entnces f es estrictamente decreciente en (-, 1) - si > 1, f '( ) > 0, entnces f es estrictamente creciente en (1, + ) Pr tant, f tiene en 1 un mínim relativ estrict. Generalización de las cndicines suficientes La cndición suficiente de etrem relativ vista anterirmente n da infrmación si f ''( ) 0. A cntinuación se enuncia una generalización de esta cndición suficiente. Si f( ) es una función que tiene derivadas cntinuas hasta rden n en un punt f '( ) f ''( ) ( n f 1) ( ) 0, ( n f ) ( ) 0, entnces: D y n par y ( n) f ( ) > 0 f tiene en un mínim relativ estrict ( n) f ( ) < 0 f tiene en un máim relativ estrict n impar y ( n) f ( ) > 0 f es estrictamente creciente en ( n) f ( ) < 0 f es estrictamente decreciente en Ejempl : Calcular ls etrems relativs de la función 4 f( ) + 5 La derivada de la función es f '( ) 4 que se anula en 0. La derivada segunda es f ''( ) 1 y al sustituir 0 queda f ''(0) 0. Cm esta derivada se anula la cndición suficiente de etrem n ns da infrmación y hay que aplicar la generalización de esta. Para ell se halla la derivada tercera, f '''( ) 4, cuy valr en 0 es f '''(0) 0; que de nuev n ns da infrmación al ser nula. La derivada cuarta es f (4) ( ) 4 que es psitiva y n un númer par, pr tant, f tiene en 0 un mínim relativ estrict. CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Dada una función y f( ) y un punt D en el que la función es derivable, se dice que f( ) es: Cóncava en, si eiste un entrn de en el que la gráfica de f n queda pr encima de la recta tangente a f en, es decir, si f( ) f( ) + f '( )( ). Si para la desigualdad anterir es estricta se dice que f es estrictamente cóncava en. Cnvea en, si eiste un entrn de en el que la gráfica de f n queda pr debaj de la recta tangente a f en, es decir, si f( ) f( ) + f '( )( ). Si para la desigualdad anterir es estricta se dice que f es estrictamente cnvea en. Pryect de innvación ARAGÓN TRES 4

5 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal La función f tiene en D un punt de infleión si f es estrictamente cóncava a la izquierda de y estrictamente cnvea a su derecha viceversa. Si f es derivable en un punt de infleión atraviesa a la gráfica de f en (, ( )) f., entnces la recta tangente a f en dich punt A cntinuación, se enuncian tres resultads que caracterizan la cncavidad, cnveidad y la eistencia de punts de infleión para funcines derivables. Prpsición 1 (cndicines suficientes de cncavidad y cnveidad) Si f es una función cn derivada segunda cntinua en un punt, se verifica : a) f ''( ) >0 f es estrictamente cnvea en b) f ''( ) <0 f es estrictamente cóncava en Prpsición (cndición necesaria de punt de infleión) Si f es una función cn derivada segunda cntinua en un punt infleión, entnces f ''( ) 0. y f tiene en un punt de Prpsición (cndición suficiente de punt de infleión) Si f es una función cn derivada tercera cntinua en un punt y f ''( ) 0, se verifica: f '''( ) 0 es un punt de infleión de f Nta: Entre ls candidats a punts de infleión, hay que tener en cuenta n sól aquells punts que anulan f ''( ) sin también dnde n eiste. Ejempl 4: Estudiar la cncavidad, cnveidad y hallar ls punts de infleión de las siguientes funcines. a) f( ) ln(1 + ) Su derivada segunda se ha calculad en el ejempl a) y es + f ''( ). (1 + ) Para realizar el estudi de su sign se factriza únicamente el numeradr ya que el denminadr es siempre psitiv (1 ) (1 ) (1 )(1 + ) quedand f ''( ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) El sign de esta epresión depende de ls signs de (1 - ) y de (1 + ) que cambia en ls punts 1 y -1 respectivamente, cm se bserva en la siguiente tabla: Sign (-, -1) (-1, 1) (1, + ) f ''( ) f() Lueg en ls intervals (-, -1) y (1, + ) la función es estrictamente cóncava y en (-1, 1) es estrictamente cnvea. Además cm 1 y 1 sn punts del dmini de f en ls que cambia la cncavidad-cnveidad de la función, se Pryect de innvación ARAGÓN TRES 5

6 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal tiene que sn punts de infleión. b) f( ) 1 Calculams sus derivadas de primer y segund rden que sn f ''( ) 0 sól hay que cnsiderar el punt f ''( ) antes y después de él. f '( ) ( 1) y 4 f ''( ) 9 ( 1) 5. Cm 1 del dmini en el que la función n es derivable, y estudiar el sign de 1 En -, se cumple que ''( ) 0 f >, lueg f es estrictamente cnvea y en 1, + 1 es estrictamente cóncava. Pr l tant, es un punt de infleión de f. se cumple que f ''( ) < 0, lueg f Ejempl 5: Hallar ls punts de infleión de la función 4 f( ) Se calcula la derivada de segund rden que es f ''( ) y ls punts dnde se anula, bteniéndse f ''( ) y Para cmprbar la cndición suficiente de punt de infleión se halla la derivada tercera quedand f '''( ) 7 60 cuy valr en ls punts y 1 es: f '''() y 1 sn punts de infleión de f f ''' Pr l tant, y Las tres prpsicines anterires se pueden generalizar en el siguiente resultad: Si f( ) es una función que tiene derivadas cntinuas hasta rden n en un punt f ''( ) f '''( ) ( n f 1) ( ) 0, ( n f ) ( ) 0, entnces: D y Si n es par y ( n) f ( ) > 0 f es estrictamente cnvea en ( n) f ( ) < 0 f es estrictamente cóncava en Si n es impar es un punt de infleión de f Ejempl 6: Hallar ls punts de infleión de la función f( ) Se calcula la derivada de segund rden, f ''( ) 40 que únicamente se anula en 0. Halland la derivada tercera queda f '''( ) 10 cuy valr en el punt 0 es f '''(0) 0. Al ser cer esta derivada se calculan las derivadas siguientes en 0 hasta encntrar la primera que n se anule, bteniéndse: f (4) ( ) 40 cuy valr en 0 es f (5) ( ) 40 cuy valr en 0 es f (4) (0) 0 f (5) (0) 40 0 Cm la primera derivada n nula en 0 es de rden impar, n 5, se cncluye que 0 es punt de infleión de f. ASÍNTOTAS Y RAMAS PARABÓLICAS Ests cncepts surgen al estudiar el cmprtamient de la función en el infinit. Asínttas Una recta r es asíntta de y f( ) si la gráfica de la función se acerca indefinidamente a algun de ls etrems de la recta r. Pryect de innvación ARAGÓN TRES 6

7 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal La recta a es asíntta vertical de y f( ) si se cumple lim f( ) ± lim f( ) ±. La recta y b es asíntta hrizntal de y f( ) si se cumple lim f( ) b lim f( ) b. + a + La recta y m + ncn m 0, es asíntta blicua de y f( ) si se cumple: ( f m + n ) ( f m n ) lim ( ) ( ) 0 + lim ( ) ( + ) 0 a Ls valres de m y n se calculan de la frma que sigue: f( ) m lim y n lim f( ) m + + f( ) m lim y n lim f( ) m Ntar que la eistencia de asíntta hrizntal en una dirección (+ - ) implica que n puede eistir en dicha dirección asíntta blicua. Ahra bien l que curre en una dirección es independiente de l que pasa en la tra. Asíntta vertical Asíntta hrizntal Asíntta blicua Ejempl 7: Calcular las asínttas, si eisten, de la función ( 1) f( ) La única recta candidata a ser asíntta vertical es 0 ya que al anular el denminadr puede dar lugar a que el límite de la función sea infinit. Para cmprbarl hallams ls límites laterales de la función, ( 1) 1 lim ( 1) 1 lim Lueg, 0 es asíntta vertical de f pr la derecha y pr la izquierda ya que ambs límites dan infinit. Para determinar si eisten asínttas hrizntales hay que hallar ls límites siguientes: ( 1) lim + ( 1) lim +, al n haberse btenid un númer real, n eiste asíntta hrizntal si +, al n haberse btenid un númer real, n eiste asíntta hrizntal si Cm en las ds direccines anterires n eisten asínttas hrizntales, f puede tener asínttas blicuas. Par determinarl se calculan ls límites siguientes: f( ) ( 1) + 1 m lim lim lim ( 1) n lim f( ) m lim lim lim lueg, y es asíntta blicua cuand +. Pryect de innvación ARAGÓN TRES 7

8 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal f( ) ( 1) + 1 m lim lim lim 1 ( 1) n lim f( ) m lim lim lim lueg, y también es asíntta blicua cuand. Ramas Parabólicas Una función f tiene rama parabólica hrizntal, vertical u blicua si la gráfica de f cuand +, se cmprta cm si frmara parte de una parábla de eje hrizntal, vertical u blicu respectivamente. Cada tip de rama parabólica se caracteriza pr: a) Rama parabólica de eje hrizntal - Cuand +, si se cumple lim f( ) ± y + - Cuand, si se cumple lim f( ) ± y b) Rama parabólica de eje vertical - Cuand +, si se cumple lim f( ) ± y + - Cuand, si se cumple lim f( ) ± y c) Rama parabólica de eje blicu y m f( ) lim 0 + f( ) lim 0 f( ) lim ± + f( ) lim ± - Cuand +, si se cumple: f( ) lim f( ) ±, m lim 0, ± y lim ( f( ) m) ± Cuand, si se cumple: f( ) lim f( ) ±, m lim 0, ± y lim ( f( ) m) ± Ntar que la eistencia en una dirección de asíntta hrizntal u blicua cuand + impide que haya rama parabólica en esa misma dirección. Ejempl 8: Estudiar si la función f( ) e tiene ramas parabólicas. En la dirección lim f( ) lim e lim lim lim 0 e + ( L Hôpital), + ( ) e + L Hôpital + 4e + lueg y 0 es una asíntta hrizntal si +, así n hay rama parabólica en esta dirección. En la dirección - lim f( ) lim e ( + ) e ( )( ) , lueg n hay asíntta hrizntal si y eiste la psibilidad de rama parabólica. f( ) e + lim lim lim e ( ) e ( )( + ), pr l tant, tiene una rama parabólica de eje vertical cuand. Pryect de innvación ARAGÓN TRES 8

9 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Dada la función y f( ), su gráfica es el cnjunt de punts (, f( )) siend cualquier punt de su dmini. En la mayría de ls cass es impsible btener tds ests punts, pr l que es cnveniente realizar un estudi de la función que ns permita btener su gráfica; para ell seguirems ls siguientes pass que resumen l estudiad anterirmente: 1) Determinación del dmini de la función, D. ) Cntinuidad y derivabilidad de f( ). ) Simetrías: Respect del eje OY: si f( ) f( ) D. Respect del rigen O: si f( ) f( ) D. 4) Peridicidad (sól se cmprueba si la función es de tip trignmétric) Las simetrías y la peridicidad de f( ) ns permiten btener la gráfica de la función estudiándla en un subcnjunt del dmini. 5) Punts de crte cn ls ejes: Cn OX: se resuelve la ecuación f( ) 0 que ns da las abcisas de ls punts buscads. Cn OY: si 0 D, el punt de crte es (0, f (0) ). 6) Crecimient, decrecimient y etrems relativs. f '( ) > 0 f es estrictamente creciente en. f '( ) < 0 f es estrictamente decreciente en. f ''( ) > 0 es un mínim relativ estrict. f '( ) 0 y f ''( ) < 0 es un máim relativ estrict. f ''( ) 0, en este cas n se btiene infrmación. Observar que ls etrems relativs también se pueden determinar analizand ls cambis de crecimient a decrecimient viceversa, de la función. 7) Cncavidad, cnveidad y punts de infleión. f ''( ) > 0 f estrictamente cnvea en. f ''( ) < 0 f estrictamente cóncava en. f ''( ) 0 y f '''( ) 0 es un punt de infleión. f '''( ) 0, en este cas n se btiene infrmación. Observar que ls punts de infleión también se pueden determinar analizand ls cambis de cncavidad-cnveidad estricta de la función. 8) Asínttas y ramas parabólicas. Las asínttas verticales se estudian en ls punts de discntinuidad de la función y las demás asínttas y las ramas parabólicas se estudian cuand + y. A veces puede ser interesante hallar ls punts de crte de las asínttas hrizntales y blicuas cn la gráfica de la función. 9) Tabla cn alguns valres significativs de y de f( ). Pryect de innvación ARAGÓN TRES 9

10 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Ejempl 8: Estudiar y representar gráficamente la función 1) D R - {1} f( ) ( 1). ) f() es cntinua y derivable en D pr ser cciente de plinmis cn denminadr n nul. 1 f() es discntinua en 1, ya que lim +. Además, n es derivable en este punt pr n ser cntinua. 1 ( 1) 0 ( ) ) Para estudiar si la gráfica de f() es simétrica se halla f( ). Al n cincidir cn f( ) ni cn - f( ), ( 1) ( + 1) se cncluye que n es simétrica ni respect del eje OY ni respect del rigen. 4) La peridicidad de la función en este cas n es necesari estudiarla ya que n es trignmétrica. 5) Crtes cn ls ejes: Cn OY, 0 f(0) 0 Cn OX, y 0 ( 1) 0 0 Lueg el únic punt de crte es (0, 0). 6) Crecimient, decrecimient y etrems relativs. Se calcula 4 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) f '( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) En la tabla siguiente se estudia el sign de f '( ) en ls intervals determinads pr ls punts 0, 1, que sn ls que anulan al denminadr numeradr de f '( ). Sign (-, 0) (0, 1) (1, ) (, + ) ( 1) ( ) f '( ) ( 1) f( ) La función es estrictamente creciente en (-, 0), (0, 1) y (, + ) y estrictamente decreciente en (1, ). Así en hay un cambi de decrecimient a crecimient, lueg se alcanza en este punt un mínim relativ. Para 7 7 dibujarl se calcula f (), pr l tant, el punt mínim es, 4 4. Observar que en el punt 1 también hay cambi de crecimient a decrecimient, sin embarg n es máim de la función ya que este punt n pertenece al dmini. 7) Cncavidad, cnveidad y punts de infleión. Derivand f '( ) ( 1) se calcula f ''( ) : ( 6 )( 1) ( )( 1) ( 6 )( 1) ( ) 6 f ''( ) ( 1) ( 1) ( 1) En la siguiente tabla se estudia el sign de f ''( ) en ls intervals determinads pr 0 y 1: Pryect de innvación ARAGÓN TRES 10

11 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Sign (-, 0) (0, 1) (1, + ) f ''( ) f( ) La función es estrictamente cóncava en (-, 0) y estrictamente cnvea en (0, 1) y (1, + ). Cm en el punt 0 cambia la cncavidad-cnveidad estricta de f(, ) se deduce que (0, 0) es un punt de infleión. 8) Asínttas. La única asíntta vertical es 1 ya que 1 es un punt de discntinuidad, cm se ha cmprbad en el estudi de la cntinuidad de la función: lim +. 1 ( 1) Para analizar la eistencia de asínttas hrizntales se calculan ls siguientes límites: lim + ( 1) + lim ( 1) Pr l tant, n hay asínttas hrizntales pudiend eistir asínttas blicuas ramas parabólicas, que se estudian halland ls siguientes límites: f( ) ( 1) m lim lim lim ( 1) ( 1) n lim ( f( ) m) lim lim lim + + ( 1) + ( 1) + ( 1) y + es asíntta blicua si + f( ) ( 1) m lim lim lim 1 ( 1) ( 1) n lim ( f( ) m) lim lim lim ( 1) ( 1) ( 1) y + es asíntta blicua si N hay ramas parabólicas ya que eisten asínttas blicuas. Se pueden calcular ls punts de crte de f( ) y la asíntta y + reslviend la ecuación: Cm + ( 1) ( + ) 0 ( 1) ( + )( 1) 0 ( 1) f 8 8, el únic punt de crte de la gráfica cn la asíntta blícua es,. 0 ( 1) + ( 1) 9) Pr últim pdems cnstruir la siguiente tabla de punts relevantes btenids en ls apartads anterires: f( ) Pryect de innvación ARAGÓN TRES 11

12 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Teniend en cuente el estudi realizad, la gráfica de la función f( ) ( 1) es: Pryect de innvación ARAGÓN TRES 1

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